2006/11/13 機械力学Ⅰ

講義内容(11/13)4. １自由度系の強制振動

4.2 粘性減衰系の強制振動4.2.4 変位による強制振動

5. ２自由度系の自由振動および強制振動5.1 不減衰系の自由振動

5.1.1 運動方程式と解の求め方

5.1.2 ねじり系の自由振動

5.1.3 直進と回転が混在する系の自由振動

5.2 粘性減衰系の自由振動

演習 6.8，6.9，6.13

2006/11/13 機械力学Ⅰ

前回までの復習

配布資料

「１自由度系の振動まとめ」

講義録公開HPhttp://www.ems.k.u-tokyo.ac.jp/lecture.html

2006/11/13 機械力学Ⅰ

4.2.4 変位による強制振動

ex.地震による構造物の振動

図4.10 変位による加振

r

y

xk

m

c

運動方程式

)()( rxcrxkxm &&&& −−−−=

rxy −=

rmkyycym &&&&& −=++

相対変位

相対変位に対する運動方程式

固定基礎上の振動系に，なる外力が働く問題と等価

rm &&−

tar ωcos=

tmakyycym ωω cos2=++ &&&

基礎が単振動

運動方程式

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特解

)cos( φω −= tBy

( ) ( ) 22

222222

2

412

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+−

=

ωωζ

ωωωζωωω

ω

nnnn

aaB

222

tanωωωζω

φ−

=n

nB

ωnωo

ς2a

a

図4.11 変位加振時の振幅特性

振幅応答(力による強制振動と比較)

aBaaB

aB

nn

n

→⇒∞→→≈⇒=

→≈⇒→

ωζζωωωω

ωωω22

00 22

2006/11/13 機械力学Ⅰ

( )0cos,

=−=−=≈≈⇒<<

xrtayaBn

ωπφωω

L

地震計の原理変位の計測

加速度の計測

速度の計測

質点は空間に固定(相対変位＝振幅)

相対変位は加速度に比例

相対変位は速度に比例

B

ωnωo

ς2a

a

図4.11 変位加振時の振幅特性

222

22

cos

0,

nn

nn

rtay

aB

ωωωω

φωωωω&&L ==

≈≈⇒>>

nn

nn

rtay

aB

ζωζωωω

πφζωωωω

22sin

2,2&L −==

≈≈⇒≈

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実演

Interactive PhysicsMSC. Software Corp.

http://www.interactivephysics.com

2006/11/13 機械力学Ⅰ

5. ２自由度系の自由振動

および強制振動

2006/11/13 機械力学Ⅰ

5.1 不減衰系の自由振動

2006/11/13 機械力学Ⅰ

5.1.1 運動方程式と解の求め方

図4.1　２自由度ばね質量系

k3

k2

m1

m2

x1

x2

k1

運動方程式

( )2121111 xxkxkxm −−−=&&

( ) 2312222 xkxxkxm −−−=&&

( ) 02212111 =−++ xkxkkxm &&

( ) 02321222 =++− xkkxkxm &&

行列表示

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

00

2

1

322

221

2

1

2

1

xx

kkkkkk

xx

mm

&&

&&

質量行列(対角行列) 剛性行列(対称行列)

Maxwellの相反定理

2006/11/13 機械力学Ⅰ

基本解

( )φω +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

tXX

xx

cos2

1

2

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

00

00

2

1

322

221

2

1

2

12

XX

kkkkkk

XX

mm

ω

[ ]{ } [ ]{ } { }02 =+− XKXMω 一般化固有値問題

固有値 固有ベクトル

{ } [ ] [ ]( ){ }XKMX 12 −=ωまたは

2006/11/13 機械力学Ⅰ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+−−−+

00

2

12

2322

22

121

XX

mkkkkmkk

ωω

固有値(固有振動数)の計算

X1、X2がゼロ以外の解 ⇒ 行列式⊿=0

( )( ) 021

2232212

2

32

1

21421

22322

22

121

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+−=

−+−−−+

=Δ

mmkkkkk

mkk

mkkmm

mkkkkmkk

ωω

ωω

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

21

22

2

2

32

1

21

2

32

1

2122

21

421,

mmk

mkk

mkk

mkk

mkk

mωω

１次、２次固有振動数

特性方程式(振動数方程式)

2006/11/13 機械力学Ⅰ

固有ベクトルの計算(１次モード)

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++−

=−−+

0

0

212

1232112

212112

1121

XmkkXk

XkXmkk

ω

ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

→21

111 X

Xω

121223

2

2

21121

11

21 λω

ω=

−+=

−+=

mkkk

kmkk

XX

振幅の比一定

固有モードベクトル；

( )01

11

>⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

λλ

(１次)固有モードベクトル

2006/11/13 機械力学Ⅰ

固有ベクトルの計算(２次モード)

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−++−

=−−+

0

0

222

2232122

222122

2121

XmkkXk

XkXmkk

ω

ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

→22

122 X

Xω

222223

2

2

22121

12

22 λω

ω=

−+=

−+=

mkkk

kmkk

XX

( )01

22

<⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

λλ

(２次)固有モードベクトル

2006/11/13 機械力学Ⅰ図4.2　振動波形

(a)1次振動モード (b)2次振動モード

m1

m2

m1

m2

一般解

運動方程式は線形同次⇒２つの固有角振動数の解の重ね合わせ

未定定数⇒初期条件から決定

)cos(1

)cos(1

222

12111

112

1 φωλ

φωλ

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

tXtXxx

同位相 逆位相

モード図

1

λ1

1λ2

2006/11/13 機械力学Ⅰ

例題

mmmkkkk ===== 21321 ,

mk

mk

mk

mk

mmk

mkk

mkk

mkk

mkk

3,2421

421,

21

22

2

2

32

1

21

2

32

1

2122

21

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

m

mωω

mk

mk 3,, 21 =ωω

1

1

22223

2

2

22121

12

222

21223

2

2

21121

11

211

−=−+

=−+

==

=−+

=−+

==

ωωλ

ωωλ

mkkk

kmkk

XX

mkkk

kmkk

XX

固有角振動数

固有モード

1次 2次

1

1

1

-1

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n自由度系の一般解

⇒n個の固有角振動数の解の重ね合わせ

( )∑=

+

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

n

jjj

nj

ij

j

j

n

i t

X

X

X

A

x

x

x

1

11

cos φω

M

M

M

M

(j次)固有モードベクトル

(j次)固有角振動数

2006/11/13 機械力学Ⅰ

m1

m2

m3

k1

k2

k3

k4

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=M

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=K

m1

m2

m3

+k2

+k1 -k1

-k1 +k1 +k3

+k3

-k3

-k3 +k4

多自由度系の運動方程式の立て方（おまけ）

・対角は＋・対称行列

・対角行列

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多自由度系解析の例~Multi-body dynamics 提供 ㈱電通国際情報サービス

2006/11/13 機械力学Ⅰ

5.1.2 ねじり系の自由振動

運動方程式

行列表示質量行列(対角行列) 剛性行列(対称行列)

図4.3　２自由度ねじり系

円板1

円板2

I1

I2

θ1

θ2

k1

k2

( )21212

11 θθθ −−−= kkI &&

( )122222 θθθ −−= kI &&

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

00

2

1

22

221

2

1

2

1

θθ

θθ

kkkkk

II

&&

&&

2006/11/13 機械力学Ⅰ

5.1.3 直進と回転が混在する系の

自由振動運動方程式(自由度: x, θ )

行列表示

図4.4　並進と回転が混在する系

1l 2l

θ

x

1k 2k

( ) ( )θθ 2211 ll&& +−−−= xkxkxm

( ) ( )θθθ 222111 llll&& +−−= xkxkI

( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−−−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

00

222

2112211

221121

θθx

lklklklklklkkkx

Im

&&

&&

2006/11/13 機械力学Ⅰ

1x 2x

図4.5　x1，x2を自由度とする2自由度系

1l 2l

θ

x

1k 2k

x1、x2を自由度とする場合

21

12

21

2112 ,llxx

llxlxlx

+−

=++

= θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

111][,][ 12

212

1 ll

llT

xx

Txθ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+ 0

012

1

3211

21

2

112

21 xx

kkkk

xx

IImm

ll&&

&&ll

ll

x、θの運動方程式に代入

非対称 ⇒相反定理が成り立たない?!

変換行列

2006/11/13 機械力学Ⅰ

x1、x2を自由度とする運動方程式

x、θの運動方程式

[ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

θθx

Kx

M &&&&

[ ][ ] [ ][ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

00

2

1

2

1

xx

TKxx

TM&&

&&

両辺左から [T]t をかける

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

111

00

1

2

21

2

1

2

1

ll

llT

xx

TKTxx

TMT

t

tt

&&

&&

対称行列

2006/11/13 機械力学Ⅰ

例題(タコマ橋の固有振動数)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−=

−=

θθθ22

2

222 kWWkI

kyyM

&&

&&k k

W

M,I θ

y

運動方程式

mkgMrImNk

mWmkgM

⋅××==

×=

=×=

232

3

3

8.4103.4/105.1

12/103.4

ssradI

kW

ssradMk

y

02.6/04.18.4103.42

12105.12

52.7/835.0103.4

105.122

23

232

3

3

→≈×××

××==

→≈×

××==

θω

ω

2006/11/13 機械力学Ⅰ

5.2 粘性減衰系の自由振動

図4.6　粘性減衰の自由振動

k3

k2

m1

m2

c3

c2

x1

x2

k1 c1 ( ) ( ) 0111121221211 =++−+−+ xcxkxxkxxcxm &&&&&

( ) ( ) 0232312212222 =++−+−+ xcxkxxkxxcxm &&&&&

teXx λ11 = teXx λ

22 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

00

00

2

1

322

221

2

1

322

221

2

1

2

12

XX

kkkkkk

XX

cccccc

XX

mm

λλ

運動方程式

基本解

2006/11/13 機械力学Ⅰ

( )( ) ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++++−−−−++++

00

2

1

323222

22

22212112

XX

kkccmkckckkccm

λλλλλλ

( ){ } ( ){ }{ } 02

22

323222

212112

=+−

++++++++=Δ

kc

kkccmkkccm

λ

λλλλ

X1、X2がゼロ以外の解 ⇒ 行列式⊿=0

特性方程式

⇒ λに関する４次方程式

⇒ ４つの根(ただし、複素根は共役のものの対)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

24

14

22

11

2

1 41

XX

eXX

exx tt λλ L

22431121 ,,, ωσλλωσλλ jj ±=±=

2006/11/13 機械力学Ⅰ

振幅比

( )φ

φφjAe

jba

babj

baabajba

XX

=

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++=+=

sincos22

2222

22

1

2

固有値

ωσλ j±=

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==+φωσφ

ωσλ

tjtj

tjtt

eeXxAex

eeXeXx

112

111Φ位相進み

Eulerの公式

；極形式

2006/11/13 機械力学Ⅰ

（演習問題補足）6.8 ポテンシャルエネルギの変化

釣合い位置＝ポテンシャルエネルギが最小となる位置

（最小ポテンシャルエネルギの原理）

0

5

10

15

20

25

30

-180 -90 0 90 180

θ

U

0.01

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

k=1[N/m]a=1[m]m[kg]=

m大

H18 年度機械力学Ⅰ 2006.11.13 配布

1

１自由度系の振動まとめ

自由振動

非減衰振動 粘性減衰振動 運動方程式

mkxx

kxxm

nn ==+

=+

ωω ,0

0

2&&

&&

mkcxxx

kxxcxm

nn 2,02

0

2 ==++

=++

ζωξω &&&

&&&

基本解 tAex λ= 特性方程式

n

n

jωλωλ±=

=+ 022

( )1

022

2,1

22

−±−=

=++

ζζωλ

ωλζωλ

n

nn

一般解

tCtCxor

eCeCx

nn

tjtj nn

ωω

ωω

sincos 21

21

′+′=

+= −

2

21

1

2

1

1

1

sincos

122

ζωω

ωω

ζ

ζω

ωζζωζζ

−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′+′=

+=

<

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

nd

ddt

tjtj

tCtCexor

eCeCx

n

nn

1

sinhcosh

1

2

21

1

2

1

1

22

−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′+′=

+=

>

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

ζωω

ωω

ζ

ζω

ωζζωζζ

nh

hht

tt

tCtCexor

eCeCx

n

nn

tt nn teCeCx ωω

ζ−− +=

=

21

1

H18 年度機械力学Ⅰ 2006.11.13 配布

2

強制振動

非減衰振動 粘性減衰振動 運動方程式

tmFxx

tFkxxm

n ωω

ω

cos

cos

2 =+

=+

&&

&&

t

mFxxx

tFkxxcxm

nn ωωξω

ω

cos2

cos

2 =++

=++

&&&

&&&

特解

( )nnm

FA

tAx

ωωωω

ω

≠−

⋅=

=

22

1cos

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

221

2

2222

22

21

22222

2222

22

1

21

2tan

2

1cos

2

22

sincos

ωωωζω

φ

ωζωωω

φωωζωωω

ωζωωζωωω

ωω

ωω

−==

+−⋅=+=

−=+−

⋅=

+−

−⋅=

+=

n

n

nn

nn

n

nn

n

AA

mFAAA

tAx

mFA

mFA

tAtAx

一般解 (基本解＋特解) tAtCtCx nn ωωω cossincos 21 +′+′=

( )φωωω

ζζω −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′+′=

<

− tAtCtCex ddtn cossincos

1

21