2006/11/6 機械力学Ⅰ

講義内容(11/6)4. １自由度系の強制振動

4.1 不減衰系の強制振動4.1.1 運動方程式と解の求め方4.1.2 強制振動項の性質

4.2 粘性減衰系の強制振動4.2.1 運動方程式と解の求め方4.2.2 定常振動解4.2.3 入力エネルギと損失エネルギ

演習 6.3.1，6.3.3自励振動の話

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前回の復習

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減衰がある１自由度系の自由振動

0=++ kxxcxm &&&運動方程式

パラメータの導入

2nm

k ω=

02 2 =++ xxx nn ωζω &&&

線形同次型の運動方程式

減衰の無い系の固有角振動数

mkcmc

n 22 ×=⇒= ζζω減衰比

図2.1 粘性減衰系

xc&

mx

ダンパーc

kx

ばねk

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tex λ=

02 22 =++ nn ωλζωλ

( )121 −+−= ζζωλ n

( )122 −−−= ζζωλ n

tt eCeCx 2121

λλ +=

線形同次型方程式の解法指数関数を仮定

特性方程式

特性方程式の解(特性根)

一般解

減衰比ζが１より大きいか否かで解の挙動が異なる

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ζ>1の場合(過減衰)

( )( )1

sinhcosh2

1

2

1

1

22

−=

+=

+=−

−−−

−+−

ζωω

ωωζω

ωζζωζζ

nh

hht

tt

tDtCeeCeCx

n

nn

ζ=1の場合(臨界減衰)tt nn DteCex ωω −− +=

ζ<1の場合

( )( )2

1

2

1

1

1

sincos

22

ζωω

ωωζω

ωζζωζζ

−=

+=

+=−

−−−

−+−

nd

ddt

tjtj

tDtCeeCeCx

n

nn

減衰固有角振動数

ωnt

x

o

ζ=10

ζ=5

ζ=2

ζ=1

ζ=0.52 4 6 8

1

図2.6　種々の減衰比におけるxの挙動mkccr 2=臨界減衰係数

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図3.8 減衰振動の振幅

πζ22 ≈− +

i

ii

aaa

T=

対数減衰率

δπζ ≡≅

+

2log2i

ie aa

一定値；等比級数的に減衰

減衰振動の振幅(粘性減衰の場合)

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① ② ③

図3.10 固体摩擦系の自由振動

x0<x&

( ) 02 =−+ bxx nω&&

0>x&

振幅の包絡線は直線的(等差級数的)に減少

bxx ≤∩= 0&

停止の条件

初期条件により異なる位置で停止⇒機械の位置決め精度の低下

(固体摩擦の場合)

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１自由度系の強制振動

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4. １自由度系の強制振動系に外力が作用して発生する振動を強制振動と呼ぶ．外力としては，定常的な力，過渡的な力，その他さまざまな波形が考えられ，それに伴って，系の応答特性も異なってくる．種々の外力のうち，最も計算が容易で，実用上も重要なものは正弦波外力である．これは，回転部をもつ機械の振動が正弦波状であること，あらゆる周期運動は正弦波の組合せで表現できること，定常振動振幅が簡単な代数計算で求まることなどによる．本章では正弦波外力に対する応答を扱う．一般の外力に対する応答は６章で扱う．

図3.1　ばね質量系の強制振動

k

tF ωcosm

x

図3.4 粘性減衰系の強制振動

c

mx

k

tF ωcos

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不減衰系の強制振動

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4.1.1 不減衰系の強制振動運動方程式と解の求め方

図3.1　ばね質量系の強制振動

k

tF ωcosm

x

tFkxxm ωcos=+&&

tmFxx n ωω cos2 =+&&

運動方程式

一般解は，１つの特解と２つの基本解（右辺ゼロの解．斉次解とも呼ぶ）の重ね合わせ

基本解

02 =+ xx nω&& tDtCx nn ωω sincos +=

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特解

tAx ωcos=

tmFtAtA nn ωωωωω coscoscos 22 =+−

mFAA n =+− 22 ωω

A；未知数

運動方程式に代入してAについて解く

221ωω −

⋅=nm

FA ( )nωω ≠

一般解

tmFtDtCx

nnn ω

ωωωω cos1sincos

22 −⋅++=

強制振動項

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4.1.2 強制振動項の性質•ωとωnの大きさによって振幅が変化

•C=D=0の場合を例に、応答振幅Aの挙動について考察

( ) 00,1)0(022 ==

−⋅=⇒== xA

mFxDC

n

&ωω

0;;0;0

;0 2

−→+∞→−∞→+→+∞→−→

=→→

AAA

kF

mFA

n

n

n

ωωωωω

ωω

0ωn ω

図3.2　不減衰系の振幅応答曲線

kF

A

共振点

同位相

逆位相

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共振時の運動前述した特解(ω≠ωnの場合)

tAx ωcos=

tmFtAtA nn ωωωωω coscoscos 22 =+−

mFAA n =+− 22 ωω

A；未知数

運動方程式に代入してAについて解く

ω=ωnでは左辺(0)≠右辺(F/m)

tBtx nωsin=ω=ωnの場合の特解

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運動方程式に代入

tmFtBxx nnnn ωωωω coscos22 ==+&&

nmFBω2

=

ttmFx n

nω

ωsin

2=

ω=ωnの場合の特解

図3.3　共振時の運動

nmtω2

x

to

時間と共に増大(危険速度)

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別解法 ~ 一般解のω→ωnの極限を考える

tmFtDtCx

nnn ω

ωωωω cos1sincos

22 −⋅++=

初期条件

( ) ( ) 00,00 == xx &

( )

( )

( ) ttmF

dd

mFt

tttt

mFt

ttmFx

nntn

n

n

n

nn

n

n

ωω

θθωω

ωωωω

ωω

ωωωω

ωθ

ωω

sin2

cos

coscos

coscos122

=

⋅

+−

=

−−

⋅+

−=

−−

=

=

→

cosの微分

同じ結果

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実演

Interactive PhysicsMSC. Software Corp.

http://www.interactivephysics.com

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粘性減衰系の強制振動

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4.2.1 粘性減衰系の強制振動運動方程式と解の求め方

図3.4 粘性減衰系の強制振動

c

mx

k

tF ωcos

tt eCeCx 2121

λλ +=

運動方程式

tFkxxcxm ωcos=++ &&&

基本解(右辺=0)

( )122,1 −±−= ζζωλ n

特解の求め方

⇒ ･実関数による方法

･複素関数による方法

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特解

tAtAx ωω sincos 21 +=

( )( )

( ) tFtAtAktAtActAtAm

ωωωωωωωωω

cossincoscossinsincos

21

21

212

=+++−++−

運動方程式に代入

両辺のsin、cosの係数を比較

FkAAcAm =++− 1212:cos ωω

0:sin 2122 =+−− kAAcAm ωω

実関数(三角関数)による特解の求め方

2回微分と1回微分があるため

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( ) ( )⋅

+−

−⋅=

2222

22

12 ωζωωω

ωω

nn

n

mFA

( ) ( )222222

2

ωζωωω

ωζω

nn

n

mFA

+−⋅= mkn /=ω

mkc 2/ =ζ

( ) ( )( ){ }tt

mFx

nn

nn

ωωζωωωω

ωζωωω

sin2cos

2

1

22

2222

+−×

+−⋅=

特解

減衰の無い系の固有角振動数

減衰比(臨界減衰に対する)

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( ) ( )2222 2

1

ωζωωω nnmFA

+−=

222tan

ωωωζωφ

−=

n

n

( ) ( )( ){ }

( )φωωωζωωωω

ωζωωω

−=+−×

+−⋅=

tAtt

mFx

nn

nn

cos sin2cos

2

1

22

2222

特解

√2

()/√=cosφ ()/√=sinφ

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複素関数による特解の求め方運動方程式

tFkxxcxm ωcos=++ &&&tFkyycym ωsin=++ &&&

(1)

(2)

(1)＋j(=√-1)×(2)

( ) ( ) ( )( )tjtF

jyxkyjxcyjxmωω sincos +=

+++++ &&&&&

jyxz +=

tjFekzzczm ω=++ &&&Eulerの公式

Re

Im

x

y

0

z

複素平面

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特解tjZez ω=

( ) ( ) tjtjtjtj FekZeZejcZem ωωωω ωω =++− 2運動方程式に代入

φ

ωζωωωωωj

nn

Aejm

Fjcmk

FZ

−=

+−⋅=

+−=

21

222

( )φω −= tjAez

( ) ( )2222 2

1

ωζωωω nnmFA

+−= 22

2tanωωωζωφ

−=

n

n

[ ] ( )φω −== tAzx cosRe

極形式

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極形式(polar form)への変換

( )

=+==

+=

++

++=

+=

xyyxrre

jryx

yjyx

xyx

jyxZ

j θ

θθ

θ tan,

sincos

22

2222

22

Re

Im

x

y

0

z

複素平面

r

θ

( ) ( )θ,, ryx ⇒

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指数関数と三角関数/双曲線関数の関係

xeexee xxxx

sinh2

,cosh2

=−

=+ −−

θθ

θθθ

θ

sincossincosieie

i

i

−=

+=−

実関数

θθθθθθ

sin2

,cos2

=−

=+ −−

ieeee iiii

オイラーの公式

複素関数

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一般解(ζ＜1の場合)

( ) )cos(sincos φωωωζω −++= − tAtDtCex ddtn

t→∞でゼロに収束

dωπ2

ωπ2

x

t

(b)ωd<ωの場合

図3.5　定常応答と遷移状態

dωπ2

ωπ2x

t

(b)ωd>ωの場合

十分時間が経過したあとの定常振動は強制振動項のみを考えればよい

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4.2.2 定常振動解

( ) ( )2222 2

1

ωζωωω nnmFA

+−=

強制振動項の振幅

kFmFA n ==⇒= 20 ωω

kFAn ζ

ωω21

=⇒=

静的変位

kFAn 2max

2

12121

ζζζωω

−=⇒−=

静的変位の1/2ζ倍

ζ<<1のとき両者はほぼ一致

振幅最大となる振動数(分子が最小)

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振幅応答曲線

ζ21

kFA/

図4.6 粘性減衰系の振幅応答曲線

nωω /

ζωω

21/

=≡∆ Qn

ζ221

Q値(ピークの尖り具合)

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位相応答曲線

図4.7 減衰系の位相応答曲線

・共振点を境に位相差が急変・共振点ではζに依らず位相差はπ/2

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実演

Interactive PhysicsMSC. Software Corp.

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4.2.3 入力エネルギと損失エネルギ

ck

cosωtFf =

)cos( φ−= ωtAx

図3.8 強制振動の定常応答

m

∫= fdxW f

外力がなす仕事(=入力エネルギー)

dtxdx &=xをtに変換

{ }φπ

φωωωωπ

sin

)sin(cos2

0

FA

dttAtF

dtxfWf

=

⋅−−⋅=

=

∫

∫ &

Aに比例

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ダンパーがなす仕事(=損失エネルギー)

22

0

222

2

0

2

)(sin AcdttcA

dtxcdxxcWc

ωπφωω ωπ

ωπ

=−=

==

∫

∫∫ &&

定常状態ではWc=Wp

φω

ωπφπ

sin

sin 2

cFA

AcFA

=⇒

=

A2に比例

図3.9　入力エネルギと損失エネルギ

cf WW ,2AcWc ωπ=

φπ sinFAWf =

cf WW >

fc WW >

振巾増大

振巾減少

φω

sincF AO

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kF

cF

cFA

n ζωφ

ω 21sin ===

共振点(ω=ωn)においては、φ=π/2なので

・外力とダンパーのエネルギバランス(エネルギ保存)から振幅が求まる。

cf. ばね(ポテンシャルエネルギ)と質点(運動エネルギ)のエネルギバランスから固有振動数が求まる。

消費エネルギ

全エネルギπζφπ 4

21

sin2

====kA

FAEW

EW cf

減衰自由振動における1周期当たりのエネルギ減少率に一致

自励振動(self-excited vibration) 2006.11.6 N. Suzuki

自励振動とは、 外部から周期的外力を受けずに発生する定常的振動。 系の非線形性＊により発生。

＊ 復原力や減衰力が、変位あるいは速度などに比例しない 自励振動の例、

バイオリンの音、ブレーキの鳴き、ワイパーのビビリ、切削機械のビビリ振動、ポンプのサー

ジング、管路･弁系の振動、流力不安定（翼のフラッター、旗のばたつき、電線、橋、ビルの風による

振動など）、沸騰にともなう振動、生体リズム、など 典型的な自励振動発生機構の一例、 摩擦励起振動(スティック･スリップ)

動摩擦係数 ＜ 静止摩擦係数

流体励起振動

カルマン渦列

U⇒

L

h

D

U⇒

L

h

D

タコマ橋の崩壊事故(1940) 高速増殖原型炉もんじゅナトリウム漏えい事故(1985)

h/L=0.281 St=nD/U=0.19~0.20 St：ストローハル数 n：渦剥離周波数