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減衰振動、強制振動

Made by R. Okamoto (Emeritus prof.， Kyushu Inst. of Tech.)

filename=vibration-dampted-summary100603a.ppt

目次

１．(フックの力による）単振動＋現実的効果

２．（フックの力＋速度比例抵抗）の下の振動

３．（フックの力＋周期的に変化する外力）の下の振動

４．（フックの力＋速度比例抵抗＋周期的に変化する

外力）の下の振動

2

１．理想化された単振動から現実的振動へ

現実の振動的運動：有限の空間的領域内、

有限の時間だけ持続、

最終的には減衰し、消滅する。

複雑な挙動。

単振動：無限の空間的領域内、

無限の時間持続し、減衰しない。

単純な挙動。

現実的効果：抵抗力、周期的外力

3

単振動 減衰振動

強制振動（共振） 減衰する強制振動

速度比例抵抗力

周

期

的

外

力

周

期

的

外

力

k

x

m

速度比例抵抗力

4

（フックの力＋速度比例抵抗力）の下の振動：減衰抵抗 ２．

2

2

22

202 [ ] /

2d x

mdt

d x

dxmkx

dxx k m

dt d

dt

t

微分方程式同次

フックの力（k：バネ定数）

質量ｍの物体の、つりあい位置からの変位をｘとすると、

任意の時刻ｔにおいて

速度に比例する抵抗力

（２γは単位質量あたりの

抵抗力の比例係数）

時刻ｔにおける変位ｘ（ｔ）の値が未知：

時間ｔについての２階の微分方程式

(1)

5

数学的準備

純虚数の指数関数についてのオイラーの公式 ie cos i sin [ : ] 実数

0 0

210 0 0 0 02!

210 2!

( ) ( )

( ) '( )( ) ''( )( ) .

0 ( ) (0) '(0) ''(0) .

f x f x x x

f x f x x x f x x x

x f x f f x f x

の場合：

（証明） 関数f(x)の点x=x0近傍におけるテーラー展開公式

2 31 1 12! 3! !

2 41 12! 4!

3 51 13! 5!

e 1 ,

cos 1 ,

sin .

x n

nx x x x

x x x

x x x x

これらの式を用いると証明される。

（準備）

i -i'e 'e ( ' ')cos i( ' ')sin

cos sin , [ ( ' '), i( ' ') ]

t ta b a b t a b t

a t b t a a b b a b

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解法(1)： 解の候補としてx（ｔ）=eλtとおいて、λを求める。

2t 2 t

2e , e

dx d x

dt dt

22

22 0 ( / )

d x dxx k m

dt dt

関数ｘをｔで微分

(1)式に代入して、λを決める方程式を得る：

(1)

2 22 0

しかし、括弧内の符号（ωとγの大小関係）が分からないと

これ以上解けないので場合わけする！

(2)

7

解法(2)： 解の候補としてx（ｔ）=y（ｔ） e-γtとおいて、

ｙ（ｔ）を求める。

2 2- t - t - t - t 2 - t

2 2e e , e 2 e e

dx dy d x d y dyy y y

dt dt dt dt dt

22

22 0 ( / )

d x dxx k m

dt dt

関数ｘをｔで微分

(1)式に代入して、ｙを決める方程式を得る：

(1)

22 2

2( ) 0

d yy

dt

しかし、括弧内の符号（ωとγの大小関係）が分からないとこれ以上解けない！

(2)

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固有振動数と抵抗の強さを比較した場合ごとの一般解

(a) （弱抵抗）の場合 0

(c) の場合：臨界減衰

- teA

2 2

0( , , :A 積分定数）

振幅 ：時間とともに減衰

周期 2 2

T

減衰振動

2 2( , , :p A B 積分定数）

振動しない(過減衰） (b) < ( ) 強い抵抗の場合：過減衰

t

0( ) e cos( )x t A t

( ) ( )( ) e ep t p tx t A B

( ) ( )e tx t At B

9

減衰振動、臨界減衰の実例

衝撃吸収装置付のドア：

ドアを開けて初速度ゼロでそっと手を離したとき、

ドアが音を立てることなく閉じるようになっている。

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（フックの力＋周期的に変動する外力）の下の振動： 強制振動と共振

2

02cos

d xm kx mf pt

dt

00 2 2

cos( ) cosf

x A t ptp

0

0

sin2

lim sin2

2

sin( )2

p

pt

f px t t

ppt

ft t

x

t

共振（共鳴、Resonance)

３．

単振動（自由振動）

強制振動

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共振（共鳴）の実例

1.遊具の「ブランコ」の、動きの調子に合わせて力を加える

と次第に揺れが大きくなる

2.架橋後すぐに風の影響で落橋したタコマナローズ橋

アメリカ合衆国、ワシントン州のピュージェット湾にある海峡、タコマナローズ (Tacoma Narrows)

に架かる吊り橋。1940年7月1日に開通。全長1,600m、吊径間853m、幅11.9m。太平洋側有数の

港湾都市タコマ市と、アメリカ海軍有数の海軍工廠（造船所）があるブレマートン市などの位置する

キトサップ半島地区を結ぶ目的で建設された。当時の最新理論に基づいて設計されており、

架橋当時は世界で第3位の長さだった。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BF%E3%82%B3%E3%83%9E%E3%83%8A%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BA%E6%A9%8B

12

参考：強制振動における振幅と位相のずれの

外力振動数依存性

2

0 0( ) / /p f p

1 cos( ) (cos cos sin sin )x pt pt pt

0

2 20; ( )

( )

fp

p

発散する！

現実には抵抗力など働き、

発散は抑制される

0( ) /p

1(共鳴)

1(共鳴)

０

δ

π

13

参考：（フックの力＋速度比例抵抗力＋周期的に変化する

外力）の下の振動

2

2

22

02

02 cos( )

2 cos( )

d xm

dt

d x dxx

dt

kxdx

m mf ptdt

f ptdt

４．

1 2

t

1 0

2

,

e cos( ),

cos( )

x x x

x A t

x pt

一般解

減衰振動

強制振動

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参考：速度比例抵抗がある場合の、

強制振動の振幅と位相の外力振動数への依存性

位相（という情報）は、光学、力学、波動だけではなく、量子力学における

干渉性など物理学の諸分野においても重要な役割を果たす。また、ある種の魚は

敵からの回避、餌の捕獲において位相情報を利用していることも知られている。

「外部からの刺激」に対する「系の応答」についての情報

0

2 2 2 2

2 2

; ( )( ) (2 )

2tan ; ( )

( )

fp

p p

pp

p

15

0

0

2

( 0)p

f

強制振動の振幅増幅率（感受率）と位相（のずれ）

2 2 2 20

2

( ) 1; ,

2(1 )

/tan

1

p pQ

Q

Q

抵抗力の相対的弱さ

共振の鋭さ

固有角振動数で換算された

外力の角振動数

最大振幅

参考

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0

( )p

Q=1

Q=5

Q=10

共振（共鳴）

Q=10 Q=5

Q=1

振幅増幅率（感受率）

1

2

/tan

1

Q

位相のずれの外力振動数依存性

注意：逆tan関数の主値は通常の定義とは異なることに注意。

（HP別紙、逆三角関数＠物理のための数学を参照

共振（共鳴）

参考