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HOEPLI
Tecnologie meccaniche
e applicazioni
Per gli Istituti Professionali
settore Industria
e Artigianato
lUigi caligaRiS
STeFano FaVa
caRlo TomaSello
anTonio piVeTTa
2
editore Ulrico Hoepli milano
lUigi caligaris stefano fava carlo tomasello
Tecnologie Meccaniche e Applicazioni
Per gli Istituti Professionali settore Industria e Artigianato
Volume 2
UN TESTO PIÙ RICCO E SEMPRE AGGIORNATONel sito www.hoepliscuola.it sono disponibili:
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Indice
Presentazione .................................................................................................................... VI
modulo H le maccHine semplici e la resistenza
dei materiali 1
Verifica dei Prerequisiti, 2
unità H1 Le macchine semplici .............................................................. 3
H1.1 Caratteristiche generali, 3
H1.2 La leva, 3 Leva di primo genere, 3 • Leva di secondo genere, 4 • Leva di
terzo genere, 5
H1.3 Le carrucole e i paranchi, 5 Carrucola mssa, 5 • Carrucola mobile, 5
H1.4 Il verricello e l’argano, 6 Il verricello, 6 • L’argano, 6
H1.5 Il piano inclinato e le sue applicazioni, 7 Il piano inclinato, 7 • Il cuneo, 7 • La vite, 7
esercitazione guidata H1.1, 9
Verifica degli obiettiVi di unità, 10
unità H2 Sollecitazioni semplici ....................................................... 11
H2.1 Sollecitazione e deformazione, 11 Demnizioni, 11
H2.2 Sollecitazioni semplici, 12 Trazione, 12 • Legge di Hooke, 12 • Compressione, 13 • Taglio, 13
• Flessione, 14 • Torsione, 15
esercitazione guidata H2.1, 17
Verifica degli obiettiVi di unità, 18
unità H3 Sollecitazioni composte e criteri di resistenza
dei materiali ......................................................................................................................... 19
H3.1 Sollecitazioni composte, 19 Flessione e taglio, 19 • Flessione e torsione, 21 • Presso-nessione, 22
H3.2 Instabilità elastica, 22 Metodo ω, 22
H3.3 Criteri di resistenza dei materiali, 23 Sollecitazioni statiche, dinamiche e a fatica, 23 • Tensioni ammis-
sibili, 24 • Calcolo di verimca, 25 • Calcolo di progetto, 25
H3.4 Esempi di calcolo, 25
esercitazioni guidate H3.1 – H3.2, 29
Verifica degli obiettiVi di unità, 31
Verifica degli obiettiVi di modulo, 32
modulo i componenti meccanici 33
Verifica dei Prerequisiti, 34
unità I1 Alberi, perni e bronzine ...................................................... 35I1.1 Alberi, assi e perni, 35 Generalità, 35 • Alberi e assi orizzontali, 36 • Alberi e assi
verticali, 38
I1.2 Norme di proporzionamento, 39 Pressione specimca, 42 • Riscaldamento, 43
I1.3 Sopporti per alberi, 43 Generalità, 43 • Tipi di sopporti, 43
I1.4 Bronzine, 45 Generalità, 45 • Materiali, 45
esercitazione guidata i1.1, 46
Verifica degli obiettiVi di unità, 47
unità I2 Cuscinetti volventi, guarnizioni e tenute ....... 48I2.1 Cuscinetti volventi, 48 Generalità, 48 • Tipi di cuscinetti, 49 • Norme di applicazione e di
montaggio, 53
I2.2 Criteri di scelta dei cuscinetti, 57
I2.3 Proporzionamento dei cuscinetti con le formule della durata, 58
Capacità di carico, 58 • Durata L10 e L10h, 59 • Calcolo dei cu-
scinetti sollecitati dinamicamente, 59 • Esempio di calcolo di un
cuscinetto, 60 • Calcolo dei cuscinetti sollecitati staticamente, 61
I2.4 Lubrificazione dei cuscinetti volventi, 61 Lubrimcazione a grasso, 62 • Lubrimcazione con olio, 62 • Metodi
di lubrimcazione, 62
I2.5 Cuscinetti volventi lineari, 63 Generalità, 63 • Tipi di cuscinetti volventi lineari, alberi e sop-
porti, 64 • Manicotti a sfere, 64 • Manicotti a sfere aperti a 60°,
64 • Cuscinetti per movimenti assiali e rotativi, 64 • Cuscinetti
per movimenti assiali, rotativi e oscillatori, 64 • Cuscinetti con
sopporto integrale, 64 • Slitte per movimenti assiali lineari, 65
I2.6 Guarnizioni e tenute, 66 Generalità, 66 • Tipi di guarnizioni, 66 • Esempi di guarnizioni e
tenute, 68
esercitazioni guidate i2.1 – i2.2, 70
Verifica degli obiettiVi di unità, 72
Verifica degli obiettiVi di modulo, 73
modulo l trasmissioni del moto 75
Verifica dei Prerequisiti, 76
unità L1 Organi flessibili: cinghie, funi e catene ........... 77L1.1 Cinghie piatte, 77
IV
Generalità, 77 • Vantaggi e svantaggi, 78 • Materiali, caratteristi-
che, sollecitazioni e impieghi, 78 • Pulegge per cinghie piatte, 79
L1.2 Cinghie trapezoidali, 80 Generalità, 80 • Pulegge per cinghie trapezoidali, 81 • Calcolo di
una trasmissione con cinghie trapezoidali, 82
L1.3 Cinghie dentate o sincrone, 86 Generalità, 86
L1.4 Cinghie scanalate o Poly-V, 87 Dimensionamento delle cinghie scanalate Poly-V, 88
L1.5 Funi metalliche, 89 Generalità, 89 • Avvolgimento dei mli e dei trefoli, 90 • Materiali e
dimensionamento delle funi, 90 • Pulegge per funi, 91
L1.6 Catene, 91 Tipi di catene, 92 • Ruote dentate per catene, 93 • Esempio di
ruota dentata per catena, 93
esercitazioni guidate l1.1 – l1.2, 94
Verifica degli obiettiVi di unità, 96
unità L2 Ruote dentate .............................................................................. 97
L2.1 Ruote di frizione, 97 Generalità, 97
L2.2 Ruote dentate cilindriche, 99 Demnizioni, 99 • Rappresentazione convenzionale, 102 • Propor-
zionamento degli ingranaggi cilindrici, 104 • Minimo numero
dei denti – Dentature ribassate – Dentature corrette, 105 • Con-
trollo della dentatura – Forme costruttive – Rendimento, 107
L2.3 Ruote dentate cilindriche a denti elicoidali, 110
L2.4 Ruote dentate coniche, 113
L2.5 Vite a evolvente, 115 Forme costruttive dell’ingranaggio a vite, 117
L2.6 Ruotismi, 119 Generalità, 119
L2.7 Riduttori, 121 Generalità, 121 • Classimcazione dei riduttori, 122 • Materiali dei
riduttori, 122 • Lubrimcazione, 123
esercitazione guidata l2.1, 124
Verifica degli obiettiVi di unità, 125
Verifica degli obiettiVi di modulo, 126
modulo m lavorazioni meccanicHe 127
Verifica dei Prerequisiti, 128
unità M1 Fresatrici e alesatrici ........................................................ 129
M1.1 Fresatrici, 129 Generalità e classimcazione, 129 • Fresatrice orizzontale, 130
• Fresatrice universale, 131 • Fresatrice verticale, 132 • Fresa-
trice da attrezzisti, 132 • Attrezzature per fresatrici, 132 • Di-
visori, 134 • Operazioni speciali di fresatura eseguibili con il
divisore, 136
M1.2 Utensili per la fresatura, parametri di taglio e potenza assorbita, 138
Utensili per la fresatura, 138 • Parametri di taglio, 140 • Metodi e
potenza di fresatura, 141 • Tempi di lavorazione, 143
M1.3 Generalità sulle alesatrici, 144
M1.4 Utensili per le alesatrici, 145
esercitazioni guidate m1.1 – m1.2, 146
Verifica degli obiettiVi di unità, 148
unità M2 Affilatrici e rettificatrici ................................................ 149
M2.1 Affilatura e affilatrici, 149 Aċlatrici manuali, 149 • Aċlatrici universali, 150 • Aċlatrici
speciali, 150 • Aċlatrici elettrochimiche, 150
M2.2 Rettificatura e rettificatrici, 150 Rettimcatrici in tondo per esterni, 152 • Rettimcatrici in tondo per
interni, 152 • Rettimcatrici universali, 153 • Rettimcatrici senza
centri, 154 • Rettimcatrici per supermci piane, 154 • Rettimcatrici
speciali, 156
M2.3 Mole, 156
Abrasivi, 157 • Dimensione dei grani, 157 • Leganti o agglome-ranti, 158 • Durezza, 158 • Struttura, 158 • Specimca dei compo-nenti, 158 • Ravvivatura della mola, 158 • Designazione della
mola UNI ISO 525, 159
M2.4 Parametri tecnologici, 160 Tempo macchina, 160 • Potenza di taglio, 162
M2.5 Dispositivi e norme di sicurezza, 162 Aċlatrice (molatrice), 162 • Rettimcatrice, 162
esercitazione guidata m2.1, 164
Verifica degli obiettiVi di unità, 165
Verifica degli obiettiVi di modulo, 166
modulo n pneumatica e oleodinamica 167
Verifica dei Prerequisiti, 168
unità N1 Circuiti pneumatici, elettropneumatici
e pLC ........................................................................................................................................... 169 Introduzione, 169
N1.1 Studio delle tecniche per l’eliminazione dei segnali bloccanti, 169
Annullamento meccanico, 170 • Collegamenti in cascata, 170
N1.2 Elementi di Elettropneumatica, 177 Realizzazione del circuito elettropneumatico, 178
N1.3 Operatori logici nella tecnologia elettrica, 179
N1.4 Esempi di circuiti elettropneumatici, 181
N1.5 Il sequenziatore, 183
N1.6 PLC, 186 Generalità, 186 • Struttura, 187 • Funzionamento, 189
N1.7 Elementi di programmazione dei PLC, 189 Le variabili e le unità di organizzazione di programma, 190 • Il
ladder diagram (diagramma a contatti), 190 • Il Grafcet, 191 • Linguaggi strutturati, 195
esercitazioni guidate n1.1 – n1.3, 198
Verifica degli obiettiVi di unità, 201
unità N2 Oleodinamica ........................................................................... 202
N2.1 Elementi di Oleodinamica, 202 Produzione di energia nei sistemi oleodinamici, 205
N2.2 Organi di regolazione e comando del moto, 208
N2.3 Attuatori oleodinamici, 210
N2.4 Applicazioni dell’Oleodinamica, 211
esercitazioni guidate n2.1 – n2.2, 212
Verifica degli obiettiVi di unità, 214
Verifica degli obiettiVi di modulo, 216
V
modulo o termodinamica 217
Verifica dei Prerequisiti, 218
unità O1 principi di Energetica ....................................................... 219O1.1 Calore e temperatura, 219 Riscaldamento dei corpi, 219 • Misura della temperatura, 219
• Capacità termica, 220
O1.2 Trasmissione del calore, 221 Flusso termico, 222
O1.3 Combustibili e comburenti, 223 Generalità sulla combustione, 223 • Potere calorimco dei combu-
stibili, 224 • Fabbisogno di aria, 224 • Tipi di combustibili, 225
esercitazione guidata o1.1, 228
Verifica degli obiettiVi di unità, 229
unità O2 Applicazioni della Termodinamica ................... 230O2.1 Termodinamica dei gas, 230 Sistemi termodinamici, 230 • Le coordinate termodinamiche,
230 • Gas ideale e gas reale, 230
O2.2 Trasformazioni fondamentali dei gas ideali, 231 Trasformazione a volume costante, 231 • Trasformazione a pres-
sione costante, 231 • Trasformazione a temperatura costante, 233
• Trasformazione adiabatica, 233 • Trasformazione politropica,
234 • Equazione di stato dei gas perfetti, 234 • Lavoro compiuto
da un gas, 234 • Leggi di Gay-Lussac, 234
O2.3 Principi della Termodinamica, 234 Primo principio della Termodinamica, 234 • Secondo principio
della Termodinamica, 235
O2.4 Cicli termodinamici, 235 Ciclo di Carnot, 235 • Principali cicli termici utilizzati nei motori
a combustione interna, 236 • Ciclo Otto - Beau de Rochas, 236
• Ciclo Diesel teorico, 237 • Ciclo Sabathè teorico, 238
O2.5 Il vapore, 238 Vapore acqueo, 238
esercitazione guidata o2.1, 243
Verifica degli obiettiVi di unità, 244
Verifica degli obiettiVi di modulo, 245
Presentazione
L’opera costituisce un corso completo della materia Tecnologie Meccaniche e Applicazioni per il secondo biennio e per il quinto anno dei nuovi Istituti Professionali settore Manutenzione e Assistenza tecnica.
Il corso si propone di fornire agli allievi degli Istituti Professionali un percorso mnalizzato a far conseguire allo
studente, al termine dei cinque anni di studio, risultati di apprendimento che gli consentano di utilizzare, attraverso
la conoscenza e l’applicazione della normativa sulla sicurezza, gli strumenti e le tecnologie specimche del settore e
di sapersi orientare nella normativa di riferimento; di riconoscere e applicare i principi dell’organizzazione, della
gestione e del controllo dei diversi processi produttivi assicurando i livelli di qualità richiesti.
L’opera si compone di tre volumi che sviluppano le Tecnologie meccaniche e le loro applicazioni.
Ciascun volume è suddiviso in moduli indipendenti, articolati in unità didattiche, che rendono possibile l’adozione di percorsi diĊerenziati e adattabili alle necessità delle singole classi e delle specimche realtà.
Ogni modulo si apre con le indicazioni dei prerequisiti, degli obiettivi didattici e delle unità che lo compongono;
seguono la verimca dei prerequisiti, le unità didattiche e le verimche di unità e di modulo.
Le unità didattiche si aprono con la dichiarazione degli obiettivi, seguiti dai contenuti, e si chiudono con la verimca
di unità.
I contenuti hanno carattere di essenzialità: presentano la sintesi necessaria a risolvere le esercitazioni proposte,
sono aggiornati con le più moderne tecnologie e tecniche italiane ed europee e prestano particolare attenzione
all’evoluzione tecnologica.
La parte preponderante delle unità didattiche è dedicata ai contenuti, organizzati in modo da coniugare il rigore
logico tecnico con un linguaggio essenziale e diretto. Gli esempi e le esercitazioni proposte mirano a rendere chiari
e lineari anche gli argomenti più impegnativi.
Il Volume 2, strutturato in sei moduli, tratta le macchine semplici, la resistenza dei materiali, le sollecitazioni semplici, i componenti meccanici, le trasmissioni del moto, le ruote di frizione e dentate, le lavorazioni meccaniche, le tecniche di programmazione della pneumatica in logica cablata e programmata, i PLC e l’Oleodinamica.Il modulo H aĊronta lo studio delle macchine e la resistenza dei materiali: nella prima unità didattica si studiano
le macchine semplici, quali leve, carrucole, verricello e piano inclinato; la seconda unità aĊronta le sollecitazioni
semplici; la terza unità analizza le sollecitazioni composte e i criteri di resistenza dei materiali.
Nel modulo I si esaminano i componenti meccanici: nella prima unità didattica si studiano gli alberi, i sopporti
e le bronzine, con le relative indicazioni per il dimensionamento; nella seconda unità si aĊrontano i diversi tipi di
cuscinetti volventi, la lubrimcazione e le tenute.
Il modulo L presenta gli organi di trasmissione del moto: la prima unità didattica tratta gli organi nessibili, quali
cinghie, funi e catene; la seconda unità aĊronta lo studio dei diversi tipi di ruote dentate, le modalità della loro
rappresentazione gramca e termina con i ruotismi e i riduttori.
Il modulo M aĊronta lo studio delle macchine utensili e fornisce indicazioni utili sui parametri tecnologici: la
prima unità didattica è mnalizzata allo studio delle fresatrici, delle attrezzature e dei loro utensili; la seconda unità
presenta le alesatrici, le aċlatrici e le rettimcatrici.
Il modulo N introduce allo studio dell’automazione, soprattutto per quanto concerne le tecniche di eliminazione
dei segnali bloccanti, quali l’annullamento meccanico, la cascata e il sequenziatore. Nella prima unità didattica
viene introdotta anche l’Elettropneumatica con il PLC e le relative tecniche di programmazione; nella seconda
unità si forniscono elementi di Oleodinamica e si presentano i principi di base, i campi di applicazione e la
componentistica.Nel modulo O si aĊronta il tema dell’Energetica: la prima unità didattica fornisce informazioni di base e
analizza i combustibili e la combustione, mentre la seconda unità studia le leggi dei gas, le trasformazioni, i cicli
termodinamici e il vapore acqueo.
Luigi Caligaris Stefano Fava Carlo Tomasello
VI
PrerequisitiConoscenze
Le principali unità di misura
Le relazioni di proporzionalità fra grandezze
Le equazioni d’equilibrio della Statica
Abilità
Assegnare le principali unità di misura
Utilizzare le relazioni di proporzionalità fra grandezze
Scegliere i materiali in base alle caratteristiche meccaniche
ObiettiviConoscenze
Le principali macchine semplici
Le sollecitazioni semplici e composte
Abilità
Valutare e definire i sistemi di carico e il vantaggio nelle macchine semplici
Individuare gli effetti di forze e momenti sugli organi meccanici e riconoscere
le cause che contribuiscono all’usura, alla fatica e alla rottura degli stessi
Competenze di riferimento
Individuare i componenti che costituiscono il sistema e i vari materiali impiegati
Analizzare il valore, i limiti e i rischi delle varie soluzioni tecniche con particolare attenzione
alla sicurezza nei luoghi di vita e di lavoro
modulo Hle macchine semplici e la resistenza dei materiali
H1 Le macchine semplici
H2 Sollecitazioni semplici
H3 Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali
modulo Hverificadeiprerequisiti
1. Indicare le unità di misura e i relativi simboli utilizzati
nel SI per le seguenti grandezze:
1. accelerazione [...................]; simbolo: ................................................
2. momento [...................]; simbolo: ................................................
3. potenza [...................]; simbolo: ................................................
2. Dare la definizione di forza (max 20 parole).
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
3. Le forze non sono grandezze vettoriali.
Vero Falso
4. Gli elementi caratteristici di una grandezza vettoriale
sono:
1. ..........................................................................................................................................................
2. ..........................................................................................................................................................
3. ..........................................................................................................................................................
4. ..........................................................................................................................................................
5. La composizione di due forze complanari, e fra loro
ortogonali, si può effettuare con il teorema di:
1. Newton
2. Pitagora
3. Norton
4. Archimede
6. Una forza non può essere scomposta in due direzioni
note se queste ultime sono ortogonali fra loro.
Vero Falso
7. Dare la definizione di coppia di forze (max 20 parole).
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................
8. Calcolare le reazioni vincolari di una trave, appog-
giata alle estremità, su cui agisce una forza F = 1000 N
posta nella mezzeria.
RA = .......................................................................................................................................................
RB = .......................................................................................................................................................
9. Indicare tre fra le principali proprietà meccaniche
dei materiali.
1. ..........................................................................................................................................................
2. ..........................................................................................................................................................
3. ..........................................................................................................................................................
10. La velocità media è:
1. il rapporto fra il tempo e lo spazio percorso
2. il prodotto dello spazio per il tempo
3. il rapporto fra lo spazio e il tempo
4. Il prodotto dell’accelerazione per la velocità
11. L’accelerazione è una grandezza che rimane sempre
costante.
Vero Falso
12. Lo spazio percorso nel moto rettilineo uniforme vale:
1. s = ma
2. s = at
3. s = vt
4. s = a/t
13. Qual è la velocità angolare di un punto che si muo-
ve su una circonferenza e percorre 10 rad in 5 s?
w = .........................................................................................................................................................
14. Un corpo con massa m = 10 kg è posto a 3 m di
altezza dal suolo. Calcolare la sua energia potenziale ri-
spetto al piano di un tavolo alto 1 m.
Ep = ........................................................................................................................................................
15. La potenza è:
1. il prodotto della forza per lo spazio percorso
2. il rapporto fra la forza e il tempo di azione
3. il prodotto della forza per la velocità di spostamento
4. il rapporto fra la forza e lo spazio percorso
3
le macchine semplici
H1.1 caratteristiche generaliUn dispositivo in grado di moltiplicare la forza umana prende il nome di macchina semplice.
Si defi nisce forza resistente FR la forza da vincere o equilibrare, forza motrice FM quella fornita alla macchina.
Il rapporto k fra la forza resistente FR e quella motrice FM è defi nito vantaggio:
k =FR
FM
[H1.1]
Di conseguenza le macchine possono essere:
vantaggiose, se FR > FM con k > 1;svantaggiose, se FR < FM con k < 1;indiff erenti, se FR = FM con k = 1.
Appartengono alle macchine semplici:
le leve;le carrucole, i paranchi, gli argani e i verricelli;i piani inclinati e le relative applicazioni (cunei e viti).
Lo studio delle macchine semplici si eff ettua, in prima approssimazione, senza tenere conto dell’attrito e applicando le equazioni cardinali della statica [vol. 1, unità E1].
H1.2 La levaIn relazione alla posizione delle forze rispetto all’appoggio, le leve pos-sono essere di:primo genere;secondo genere;terzo genere.
Leva di primo genere
Questa leva è anche detta interfulcrale per la posizione dell’appoggio (fulcro) posto fra le due forze [fi g. H1.1].
OBIETTIVI
Conoscenze
Le tipologie di leva
La carrucola e le sue
applicazioni
Il cuneo e la vite
Abilità
Valutare le condizioni
di carico delle leve
e il relativo vantaggio
Calcolare i carichi
applicati alle carrucole,
ai paranchi e ai verricelli
Valutare le forze
trasmesse dalle viti
CONTENUTI
H1.1 Caratteristiche generali
H1.2 La leva
H1.3 Le carrucole e i paranchi
H1.4 Il verricello e l’argano
H1.5 Il piano inclinato
e le sue applicazioni
UNITÀ
H1
bR bM
O
FR
FMH1.1 Schema della leva di primo genere.
4 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Indicando con bR il braccio della forza FR rispetto al fulcro O e con bM il braccio della forza FM sempre ri-spetto a O, si ha la condizione di equilibrio:
FRbR= F
MbM [H1.2]
da cui si può ricavare, tenendo conto della [H1.1]:
FR
FM
=
bM
bR
= k
Dalla [H1.2] si può dedurre che:
se bM > bR, k > 1 e la leva è vantaggiosa;se bM < bR, k < 1 e la leva è svantaggiosa;se bM = bR, k = 1 e la leva è indifferente.
Poiché l’utilizzo di questo tipo di leva prevede sicura-mente un vantaggio, è opportuno che il rapporto bM/bR
sia il più grande possibile.Sono leve di primo genere il palanchino [fig. H1.2], le forbici, le pinze ecc.
bR bM
O
FR
FM
H1.2 Palanchino e relativo schema di carico.
esempio
Calcolare la forza necessaria a equilibrare il carico FR = 1000 N [fig. H1.3] e il vantaggio k.
FR = 1000 N
FM
0,2 m 1,25 m
H1.3 Schema di carico di una leva di primo genere.
Dalla [H1.2] si ottiene:
1000 0,2= FM
1,25
da cui si ricava:
FM=1000×0,2
1,25=160N
k=bM
bR
=1,25
0,2= 6,25
Leva di secondo genere
Si ha una leva di secondo genere quando il fulcro è posto a un’estremità e la forza motrice FM è applicata all’estremità opposta [fig. H1.4].
bR
bM
O
FR
FM
H1.4 Schema della leva di secondo genere.
Dalle relazioni [H1.2] e [H1.1] si ricava:
FRbR
FMbM= 0;
FR
FM
=
bM
bR
= k
Osservando la figura H1.4, si nota che FM ≤ FR per cui questo tipo di leva è sempre vantaggiosa o, al massi-mo, indifferente, ma non sarà mai svantaggiosa; è op-portuno che bM sia il più grande possibile rispetto a bR. Sono leve di secondo genere la carriola [fig. H1.5], lo schiaccianoci ecc.
bR
bM
O
FR
FM
H1.5 Carriola e relativo schema di carico.
Le macchine semplici unità H1 5
esempio
Calcolare la forza resistente FR che può essere equi-librata con una forza motrice FM = 150 N [fig. H1.6].
O
FR
FM = 150 N
0,25 m
1 m
H1.6 Schema di carico e valori delle forze in gioco.
Dalla [H1.2] si ricava:
150×1= FR×0,25
da cui si ottiene:
FR=
150
0,25= 600N
Dalla [H1.1] si calcola il valore di k:
k =FM
FR
=
1
0,25= 4
Leva di terzo genere
Nelle leve di terzo genere [fig. H1.7] la forza motrice è posta fra il fulcro e la forza resistente. In questo caso, poiché bM < bR, la leva è sempre svantaggiosa e k < 1.
bR
bM
O
FR
FM
H1.7 Schema di carico della leva di terzo genere.
Tale rapporto può essere espresso anche nel seguente modo:
FRbR
FMbM= 0; F
R=FMbM
bR
; k =bM
bR
<1
Nella figura H1.8 è rappresentata una leva di terzo ge-nere; si sfrutta la grande forza fornita da un pistone idraulico per sollevare il carico.
H1.8 Braccio di autogru con pistone idraulico.
H1.3 Le carrucole e i paranchi
carrucola fissa
La figura H1.9 rappresenta una carrucola fissa con lo schema del sistema di carico. Dall’equazione di equili-brio dei momenti rispetto al punto O, si ha:
FRR = F
MR
da cui si evince che FR = FM; la carrucola è quindi una macchina indifferente, la sua utilità consiste nel solle-vare carichi ad altezze dipendenti solo dal punto in cui è appesa la carrucola.
RR RO
FR FM
FMFR
H1.9 Carrucola fissa e relativo schema di carico.
carrucola mobile
Nella carrucola mobile, un’estremità della fune è fis-sata a un sostegno fisso e all’altra estremità è applicata la forza motrice.
6 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
In genere la carrucola mobile è abbinata a una fissa [fig. H1.10].
O
R
FR
FM
FM
FR
FM
R
2R
O
H1.10
Carrucola mobile e relativo schema di carico.
Dall’equazione dei momenti rispet-to al punto O, si ottiene:
− = = =2 0;1
2; 2F R F R F F k
R M M R
La carrucola mobile è una mac-china vantaggiosa.
paranco semplice e multiplo
La figura H1.11a mostra l’abbina-mento costruttivo di una carru-cola mobile con una fissa, detto paranco semplice.
La figura H1.11b riporta lo sche-ma costruttivo di un paranco multiplo, detto anche taglia, otte-nuto abbinando tre carrucole fis-se e tre mobili.
H1.11 Schema costruttivo di paranco: a) semplice; b) multiplo.
Il paranco multiplo, con n carru-cole mobili, si può ottenere abbi-nando n paranchi semplici; poiché il vantaggio del paranco semplice è k = 2, il vantaggio del paranco multiplo sarà:
k = 2n
Il numero di carrucole in una ta-glia può arrivare fino a 12, con un vantaggio k = 24.
H1.4 il verricello e l’argano
il verricello
Il verricello è costituito da un cilindro orizzontale di raggio R
su cui si avvolge una fune con una estremità fissata al cilindro e l’altra al carico FR da sollevare. Il cilindro può essere azionato ma-nualmente agendo su una mano-vella lunga bM [fig. H1.12].
H1.12 Schema costruttivo di verricello semplice.
Dall’equazione di equilibrio dei momenti si ottiene:
− = =
=
F R F b FF b
R
kb
R
R M M R
M M
M
0; ;
Da ciò si deduce che maggiore è la lunghezza della manovella ri-spetto al raggio del cilindro, più grande sarà il vantaggio che si consegue.
L’argano
L’argano differisce dal verricello per l’asse di rotazione verticale e perché è provvisto di due o quat-tro barre di manovra [fig. H1.13].
H1.13 Schema costruttivo di argano.
FM
FR
(a) (b
FR
FM
(a) (b)(a) (b)
FM
bM
R
R
FR
R
bM
F1M
FR
F1MF1M
Le macchine semplici unità H1 7
Se si indica con z il numero di forze F1M applicate alle barre di manovra alla distanza bM, per l’equilibrio dei momenti si avrà:
zF1MbM= F
RR; F
R=
zF1MbM
R; k =
FR
zF1M
esempio
Un argano ha le seguenti caratteristiche:
numero di barre di manovra;lunghezza utile delle barre bM = 1 m;raggio dell’argano R = 0,40 m.
Nell’ipotesi che la manovra sia compiuta da z = 3 uo-mini che trasmettono ognuno una forza F1M = 300 N, calcolare la forza resistente equilibrata e il vantaggio conseguito:
FR=
3 300 1
0,4= 2250N
k=FR
FM
=
2250
3 300= 2,5
H1.5 il piano inclinato e le sue applicazioni
il piano inclinato
Il piano inclinato si rappresenta con un triangolo rettangolo in cui l’ipotenusa corrisponde al piano inclinato, il cateto b alla base e il cateto h all’altezza [fig. H1.14a].
Nel caso in cui la forza motrice FM sia parallela al pia-no inclinato [fig. H1.14b], vale la seguente relazione:
FM= F
Rsenα; k =
1
senα
Nel caso in cui la forza motrice FM sia parallela alla base b [fig. H1.14c], vale la seguente relazione:
FM= F
Rtan ; k =
1
tan
Il rapporto fra l’altezza e la base del piano inclinato prende anche il nome di pendenza i:
i =h
b= tan
il cuneo
Il cuneo è un solido a forma di prisma triangolare su cui la forza motrice agisce perpendicolarmente alla testa [fig. H1.15].
α
α
FR
FM
FR
H1.15 Cuneo e relativo schema di carico.
Si può scrivere che:
FM= 2F
Rsenα
2; k =
1
2senα
2
Da ciò si deduce che più è piccolo l’angolo a più gran-de sarà il vantaggio.
La vite
Gli elementi filettati possono essere utilizzati come organi di collegamento, oppure come componenti per la trasmissione di moto e forza (per esempio, la vite di chiusura di una morsa). In ambedue i casi non è
FR
FM
h
b
FR1
FR2α
α
(a) (b)
FM
FR
FR1
FR2
α
(c)
H1.14 Piano inclinato: a) schema; b) forza motrice FM parallela al piano inclinato; c) forza motrice FM parallela alla base.
8 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
possibile trascurare l’attrito che agisce fra i filetti della vite e del dado e quello dovuto allo strisciamento fra dado e rosetta [fig. H1.16].
d
Dm
Mt
F
F
H1.16 Vite di collegamento che esercita sulle due piastre una forza F.
Nel caso della vite di collegamento, se si vuole valuta-re con certezza la forza F trasmessa, occorre utilizzare una chiave dinamometrica che permette di controlla-re il momento torcente Mt trasmesso al dado di chiu-sura. Si può scrivere:
Mt=M
t1+M
t 2
in cui Mt1 serve per trasmettere la forza F, mentre Mt2 serve per vincere l’attrito fra dado e rosetta:
Mt1 = Fd2
2tan +( ); Mt2 = F
Dm
2f2
Nella formula precedente:
F = forza assiale esercitata dalla vite;j = angolo di attrito fra i filetti;d2 = diametro medio di filettatura;a = angolo dell’elica;f2 = coefficiente di attrito fra dado e rosetta.
L’angolo dell’elica e quello di attrito si possono calco-lare con la seguente relazione:
α = arctanp
πd
2
; ϕ = arctanf1
cosϑ
2
in cui:
p = passo della filettatura;J = angolo del profilo (filettature ISO J = 60°);f1 = coefficiente di attrito fra i filetti della vite e del
dado.
Nel caso di vite di manovra, se manca il termine do-vuto all’attrito fra dado e rosetta, la relazione diventa:
Mt= F
d2
2tan +( )
9Le macchine semplici unità H1
esercitazione guidata H1.1
apparecchio di sollevamento
La fi gura rappresenta una macchina composta da due macchine semplici: un paranco e un verricello, preposta a
sollevare la massa Q = 360 kg.
R
400
FM = 150 N
Q = 360 kg
Dopo aver analizzato attentamente il disegno e nell’ipotesi che al paranco sia applicata una forza motrice FM = 150 N,
calcolare:
1. il raggio R del paranco;
2. il vantaggio k1 del verricello;
3. il vantaggio k2 del paranco;
4. il vantaggio ktot dell’intero dispositivo.
unità H1 verifi ca degli obiettivi10
1 Defi nire una macchina semplice (max 20 parole).
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
2 Indicando con FR la forza resistente e con FM quella
motrice, Il vantaggio k vale:
1. k = FM − FR
2. k = FM / FR3. k = FR − FM4. k = FR / FM
3 Una macchina è vantaggiosa quando:
1. k < 1
2. k = 1
3. k > 1
4. k = 0
4 La carriola è una leva di primo genere.
Vero Falso
5 Dalla fi gura allegata dedurre il valore di FR.
FR = ?
FA = 100 N
400 800
O
FR = ....................................................................
6 Nelle leve di terzo genere la .........................................................
motrice è posta fra il .................................................................... e la forza
..........................................................................................................................................................
7 La carrucola fi ssa è una macchina indiff erente.
Vero Falso
8 Un dispositivo composto da una carrucola mobile
abbinata a una fi ssa ha un vantaggio:
1. k = 1/2
2. k = 1
3. k = 2
4. k = 0
9 Un paranco è composto da 4 carrucole fi sse e
4 mobili. Determinare il vantaggio k.
k = ....................................................................
10 Nella fi gura allegata è schematizzato un verri-
cello con indicate le dimensioni del tamburo e la lun-
ghezza della manovella. Nell’ipotesi che FM = 100 N,
calcolare il valore di FR e il vantaggio k.
40
60
FM = 100 N
FR = ?
FR = ....................................................................
k = ....................................................................
11 La vite può essere utilizzata come dispositivo per
la trasmissione del moto.
Vero Falso
12 Nel caso della vite di collegamento, se si vuole
valutare con certezza la ..................................................................................,
occorre utilizzare una chiave ......................................................................
che permette di controllare il ..................................................................
torcente trasmesso al ........................................................... di chiusura.
11
SOLLECITAZIONI SEMPLICI
H2.1 Sollecitazione e deformazione
Defi nizioni
La resistenza dei materiali è quella parte della Meccanica che studia il comportamento dei materiali, in relazione agli sforzi a cui vengono sottoposti.In questo studio i corpi si considerano elastici e isotropi:
elastici, poiché in qualunque fase di carico esiste una corrispondenza biunivoca tra tensioni interne e deformazioni;
isotropi, poiché presentano proprietà uguali in tutte le direzioni.
Quando si applica una forza a un particolare meccanico, questo si de-forma; il materiale si oppone a tale deformazione con delle forze interne defi nite tensioni. Quando la tensione è riferita all’area di 1 mm2 è detta tensione interna unitaria.Le tensioni interne unitarie possono essere:
perpendicolari, normali alla superfi cie, e sono indicate con la lettera σ [fi g. H2.1a];
tangenziali, parallele alla superfi cie, e sono indicate con la lettera τ [fi g. H2.1b].
H2.1 Schema di tensioni interne: a) perpendicolari alla superfi cie; b) tangenziali.
Le deformazioni possono essere:
parallele a un asse, e sono indicate con la lettera ε; angolari rispetto a due assi, sono dette scorrimenti e indicate con la
lettera γ.
Conoscenze
La legge di Hooke
Il legame sollecitazione-
deformazione
Le sollecitazioni semplici
Abilità
Identifi care
le caratteristiche
meccaniche dei materiali
Individuare con
un modello matematico
il legame sollecitazione-
deformazione
Individuare
le sollecitazioni semplici
in un corpo e applicare
l’equazione di stabilità
CONTeNUTI
H2.1 Sollecitazione
e deformazione
H2.2 Sollecitazioni semplici
UNITÀ
H2
Sezione 1 1
1
1
F
F
σ
σ
σ
τ
τ
τ
Sezione 1 1
1
1
T
T
(a) (b)(b)(a)
12 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Se un filo metallico è tirato si allunga [fig. H2.2].
Per allungamento totale s’intende la differenza fra la lunghezza iniziale l0 e la lunghezza finale l1 dovuta agli sforzi applicati al corpo:
l = l1
l0 [H2.1]
l 0
l 1
Δl
F
(a) (b)
H2.2 Filo sottoposto a trazione: a) scarico; b) caricato con allungamento.
L’allungamento unitario, cioè riferito alla lunghezza unitaria, equivale alla deformazione ε e si calcola con la seguente relazione:
=
l1
l0
l0
=
l
l0
[H2.2]
H2.2 Sollecitazioni semplici
Trazione
Le fibre di materiale sono allungate dalla forza F che sollecita assialmente il corpo [fig. H2.2b]. Indicando con S la superficie retta [mm2] e con F la forza [N], la tensione unitaria si calcola con la seguen-te relazione:
=
F
S
N
mm2
[H2.3]
L’unità di misura N/mm2 nel SI è detta anche MPa (megapascal).
Legge di Hooke
Nel campo elastico, cioè quando tolto il carico spari-scono le deformazioni, si può ritenere che esista di-pendenza lineare tra sforzi e deformazioni; la relazio-ne che esprime tale concetto è la seguente:
= E [H2.4]
Il parametro E che lega le tensioni e le deformazioni si definisce modulo di elasticità normale (o modu-lo di Young).
L’allungamento prodotto dall’applicazione della forza F vale, secondo le relazioni [H2.2] e [H2.3]:
l =Fl
SEmm[ ] [H2.5]
È opportuno, a questo punto, rivedere alcuni concetti.Sottoponendo una provetta a trazione, fino a giungere a rottura, si determina il grafico carichi Ð allungamenti riportato nella figura H2.3.
Rm Ru
ReHReLRp
Carichi unitari N
mm2
Allungamenti
∆ll0
A
B
C
D
EF
Ela
stic
ità
Ela
sto
-pla
stic
ità
Pla
stic
ità
lu – l0l0
H2.3 Grafico carichi-allungamenti.
Fase elastica, tratto AB
In questo tratto il diagramma è rettilineo, cioè esiste proporzionalità fra carichi e allungamenti e le defor-mazioni sono reversibili; il carico del punto finale B è detto carico di proporzionalità Rp.Se il carico totale letto sulla macchina di prova è Fp e la sezione iniziale della provetta è S0, si avrà:
Rp =
Fp
S0
N
mm2 [H2. 6]
Fase elasto-plastica, tratto BCD
Oltre alle deformazioni elastiche cominciano a veri-ficarsi le prime deformazioni plastiche irreversibili, possono essere seguite da cedimenti limitati ma im-provvisi detti snervamento. Si misurano due carichi: il primo nel punto C, o carico di snervamento supe-riore ReH; il secondo nel punto D, o carico di snerva-mento inferiore ReL.
Sollecitazioni semplici unità H2 13
Se i carichi totali letti sulla macchina di prova sono rispettivamente FeL e FeH, si avrà:
ReL=
FeL
S0
N
mm2; R
eH=
FeH
S0
N
mm2
[H2.7]
Fase plastica DEF
In questa fase le deformazioni sono piuttosto elevate e irreversibili, dal punto E alla rottura si verifica la stri-zione della provetta (riduzione di diametro). Il dato più importante che si ricava è il carico mas-simo Rm cui resiste la provetta. Questo carico è det-to anche resistenza a trazione (o carico di rottura a trazione) ed è una delle caratteristiche più importanti del materiale.Se il carico totale letto sulla macchina di prova è Fm e la sezione iniziale della provetta è S0, si avrà:
Rm=
Fm
S0
N
mm2
[H2.8]
Deformazioni
Indicando con lu la lunghezza finale (misurata ricom-ponendo la provetta) e con l0 la lunghezza iniziale, si può definire l’allungamento percentuale A% con la relazione:
A%=lu
l0
l0
100 [H2.9]
esempio
Determinare il modulo di elasticità normale E dell’ac-ciaio di una provetta di 12 mm di diametro e lunga inizialmente 100 mm che, sottoposta a un carico di trazione di 5400 N, si è allungata di 0,023 mm.
Dalle relazioni [H2.3], [H2.4] e [H2.5] si ottiene:
=
F
SE=
l
l
quindi si avrà:
E =Fl
S l=
5400×100
122
4×3,14×0,023
= 207600N
mm2
Compressione
Le fibre del materiale vengono accorciate dalla forza F che sollecita il corpo. Anche per la compressione [fig. H2.4] è valida la relazione:
=
F
S
N
mm2
[H2.10]
F
H2.4 Schema della prova di compressione.
Taglio
Si ha sollecitazione di taglio quando la risultante delle forze agisce perpendicolarmente al corpo solle-citato e parallelamente a una sua sezione trasversale.
Essendo la forza parallela alla sezione sollecitata, si è in presenza di tensioni tangenziali τ mentre la tensio-ne normale σ è nulla.Indicando con T la forza tagliante e con S la sezione resistente, la relazione del taglio è:
=
T
S
N
mm2
[H2.11]
Questa relazione esprime la situazione che si manife-sta, per esempio, nelle chiodature dove nella sezione AB esiste solo la sollecitazione di taglio [fig. H2.5].
H2.5 Esempio di taglio puro nella chiodatura.
T
T
A B
14 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Flessione
Un solido si dice sollecitato a flessione quando le forze esterne provocano una rotazione delle sezioni trasversali del solido [fig. H2.6c], che sono parallele nella trave scarica [fig. H2.6a].
N N
C C
T T
S1 S2 S3 S4
(a)
A-A
σt
σc
(b)
A
A
F
S1 S2 S3S4
N NC C
TT
(c)
H2.6 Effetti della flessione su una trave a sezione rettangolare: a) trave scarica; b) distribuzione delle tensioni; c) trave inflessa.
Le fibre che stanno sopra la zona neutra, asse N-N
[fig. H2.6c], nella trave caricata sono state accorciate;
la lunghezza C-C è minore della lunghezza delle fibre
che stanno sull’asse N-N, quindi sono state compresse.
Le fibre che sono sotto l’asse neutro sono state allun-
gate; la lunghezza T-T è maggiore della lunghezza
delle fibre che stanno sull’asse N-N, quindi sono state
tirate. Le fibre che stanno sull’asse neutro non hanno
subito deformazioni.
La flessione provoca nella trave, contemporaneamen-
te, sollecitazioni di compressione σc e di trazione σt,
queste sono tanto più grandi quanto più sono lontane
dall’asse neutro N-N [fig. H2.6b]
Nelle sezioni simmetriche rispetto all’asse neutro, le
tensioni si valutano con l'equazione di stabilità della
flessione:
= ±M f
Wf
[H2.12]
Il doppio segno davanti alla relazione indica che, con-
venzionalmente, si considerano positive le tensioni di
trazione e negative quelle di compressione, per cui:
t = +
M f
Wf
; c =
M f
Wf
dove Mf indica il momento flettente prodotto dalle
forze applicate alla trave, Wf indica il modulo di resi-
stenza a flessione [mm3]. Il modulo Wf dipende dalla
forma della sezione e dalla posizione dell’asse rispetto
cui si calcola. Nella tabella H2.1 sono riportate le rela-
zioni per determinare Wf per le sezioni più comuni,
calcolato rispetto all’asse neutro x-x.
Tabella H2.1 – Modulo di resistenza a flessione Wf per le sezioni più comuni
Rettangolare Quadrata Rombo Circolare Circolare forata
b
h
x x
lxx
l
x x
D
x x
d
D
x x
Wfx=
bh2
6W
fx=
l3
6W
fx= 2
l3
12W
fx=
D3
32W
fx=
D4
d4( )
32d
Sollecitazioni semplici unità H2 15
esempio
Calcolare la tensione unitaria massima nella mezzaria della trave (punto M) rappresentata nella figura H2.7. La trave ha sezione rettangolare con base b = 20 mm e altezza h = 50 mm.
F = 500 N
A B
RA
1000 mm
= =
M
RB
H2.7 Trave sottoposta a flessione.
Con l’equazione di equilibri dei momenti rispetto al punto B, si ottiene:
RA
1000 F 500= 0; RA=
500 500
1000= 250N
Il momento flettente nel punto M è:
M f max = RA ×500= 250×500=125000Nmm
Da notare che in Meccanica si utilizza il millimetro e il momento flettente è espresso in Nmm. Poiché la se-zione è rettangolare, il modulo di resistenza alla fles-sione vale:
Wf =bh2
6=
20 502
6= 833,3mm
3
La tensione massima si calcola come segue:
σ = ±M f max
Wf
=125000
833,3=15
N
mm2
σt= +15
N
mm2; σ
c= −15
N
mm2
Torsione
La sollecitazione di torsione si manifesta quando ogni sezione del corpo è costretta a ruotare attorno al proprio asse con un moto rigido [fig. H2.8a].
A
A'
g
A1
Mt
S2
S1
O2
(a)
g
A
A'
τmax
τmax
B
B'
O2
(b)
H2.8 Trave a sezione circolare sottoposta a torsione: a) trave deformata; b) distribuzione delle tensioni.
Le sollecitazioni normali σ sono nulle. Sono presenti le sollecitazioni tangenziali τ che aumentano a mano a mano che il punto considerato si allontana dall’as-se neutro, che nella torsione è l’asse longitudinale del corpo [fig. H2.8b].Infatti, quando la sezione S2 ruota dell’angolo γ rispet-to a S1, intorno al punto O2, si può notare che l’arco A-A', più lontano da O2, è maggiore dell’arco B-B' che sottende lo stesso angolo di rotazione; ne consegue che maggiore è la deformazione più grande è la tensione.
La tensione di torsione è espressa con l'equazione di
stabilità della torsione:
max=
Mt
Wt[H2.13]
dove Mt indica il momento torcente prodotto dalle forze applicate al corpo, mentre Wt indica il modulo
di resistenza a torsione [mm3]. Il modulo Wt dipen-de dalla forma della sezione.
È possibile determinare il valore esatto di τmax solo per i solidi a sezione circolare o anulare. Nella tabella H2.2 sono riportate le relazioni per de-terminare Wt per le sezioni più comuni, calcolato ri-spetto al punto centrale O.
16 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Tabella H2.2 – Modulo di resistenza a torsione Wt per le sezioni più comuni
Triangolare equilatera Quadrata Esagonale Circolare Circolare cava
l
l
2l
D D
d
Wt=
l3
20W
t= 0,208l
3W
t=1,511l
3W
t=
D3
16W
fx=
D4
d4( )
16d
La legge di Hooke, nel caso delle deformazioni ango-lari, è espressa dalla seguente relazione:
=G [H2.14]
dove G è il modulo di elasticità tangenziale ed è pari ai 2/5 di E e γ è l’angolo di rotazione espresso in radianti. Per la sezione circolare piena (quella più utilizzata per gli alberi soggetti a torsione), l’angolo di torsione in funzione della lunghezza è espresso dalla relazione:
= 32M
tl
GD4
rad[ ] [H2.15]
esempio
Un albero a sezione circolare piena con diametro D = 30 mm e lunghezza ltot = 200 mm, è sottoposto a torsione da un momento torcente Mt = 120 000 Nmm.Nell’ipotesi che il modulo di elasticità normale valga
E = 208 000 MPa, calcolare la tensione massima e l’an-golo di torsione fra due sezioni distanti l = 100 mm.
Il modulo di resistenza a torsione [tab. H2.2] vale:
Wt=
D3
16=
303
16= 5301mm
3
La tensione tangenziale vale:
τmax=M
t
Wt
=120000
5301= 22,6
N
mm2
L’angolo di torsione, con G =2
5E = 83200
N
mm2
vale:
γ = 32M
tl
πGD4= 32
120000×100
π ×83200×304= 0,000057 rad =
= 0,033°
Sollecitazioni semplici unità H2 17
esercitazione guidata H2.1
Calcolo delle masse e delle sollecitazioni
Nella fi gura è rappresentato un solido di acciaio che serve da basamento sul quale appoggia una lastra di marmo.
Sul piano del marmo è posto un cilindro di piombo.
ø1500
800
80
0
75
0
1800
20
09
00
12
00
25
Piombo
Marmo
Acciaio
Masse specifiche:
Piombo = 11350 kg/m3
Marmo = 2720 kg/m3
Acciaio = 7850 kg/m3
Dopo aver analizzato attentamente il disegno si calcoli la tensione massima nel basamento di acciaio, tenendo conto
del peso di tutti e tre gli elementi.
verifi ca degli obiettivi18
unità H2
1 Defi nire i corpi isotropi (max 10 parole).
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
2 Nella relazione ∆l = l1
− l0, che cosa indicano le tre
variabili?
1. ∆l = ..................................................................................................................................
2. l1
= ..................................................................................................................................
3. l0
= ..................................................................................................................................
3 Nella legge di Hooke il parametro E che lega le
tensioni e le ....................................................................................... si defi nisce
.................................................................................. e la sua unità di misura è
..........................................................................................................................................................
4 Il tratto di diagramma carichi-allungamenti che indi-
ca la fase elastica può essere sia rettilineo sia curvilineo.
Vero Falso
5 Quale signifi cato hanno i seguenti carichi unitari
dedotti dal diagramma carichi-allungamenti?
1. Rm = .................................................................................................................................
2. ReL
= ................................................................................................................................
3. Rp
= ................................................................................................................................
6 Defi nire l’allungamento percentuale.
(max 20 parole).
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................
7 Si ha ................................................................................................... di taglio
quando la risultante delle ................................................................................
agisce perpendicolarmente al corpo sollecitato e
...................................................................................................... a una sua sezione
..........................................................................................................................................................
8 La fi gura acclusa riporta un chiodo ribadito che
collega due lamiere. Sapendo che la sezione retta del
chiodo è S = 10 mm2 e che la sollecitazione di taglio
vale τ = 50 N/mm2, calcolare la forza di taglio T.
T
T
S = 10 mm2
T = ....................................................................
9 In una trave a sezione rettangolare e sottoposta a
fl essione semplice, tutte le fi bre hanno lo stesso valore
di tensione.
Vero Falso
10 Il modulo di resistenza a fl essione Wf dipende
dalla forma della ....................................................................................... e dalla
posizione dell’....................................................................................... rispetto
cui si calcola.
11 La fl essione provoca nella trave, contempora-
neamente, sollecitazioni di compressione σc e di tra-
zione σt.
Vero Falso
12 Nella torsione le sollecitazioni ................................................
σ sono nulle. Sono presenti le sollecitazioni ...............................
τ che aumentano a mano a mano che il punto consi-
derato si ....................................................................... dall’asse neutro.
13 Il modulo di elasticità tangenziale G è uguale ai
2/5 di E.
Vero Falso
19
SOLLECITAZIONI COMPOSTE E CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI
H3.1 Sollecitazioni composteNella realtà ad agire su un particolare meccanico non è quasi mai una sola sollecitazione semplice, ma almeno due in contemporanea. Le sollecitazioni composte più frequenti sono:
fl essione e taglio, soprattutto nelle travi infl esse;fl essione e torsione, presenti negli alberi di trasmissione;presso-fl essione, caratteristiche nelle colonne.
Flessione e taglio
Se i carichi esterni F provocano contemporaneamente fl essione e taglio, in ogni sezione saranno presenti sia tensioni normali σ, dovute al mo-mento fl ettente Mf, sia tensioni tangenziali τ dovute alla forza di taglio T.Si consideri la trave infl essa rappresentata nella fi gura H3.1a.S’immagini, adesso, di tagliare la trave in una sezione generica Sx. Te-nendo conto che ogni sezione trasmette a quella adiacente una forza e un momento fl ettente, si devono sostituire alla parte mancante le azioni che questa trasmetteva alla parte sinistra al taglio [fi g. H3.1b] per con-servare l’equilibrio.
Conoscenze
Flessione-taglio
Flessione-torsione
Presso-fl essione
Il carico di punta
Abilità
Indicare le sollecitazioni
composte
Verifi care la resistenza
dei corpi in sicurezza
Valutare la resistenza
delle strutture snelle
CONTeNUTI
H3.1 Sollecitazioni composte
H3.2 Instabilità elastica
H3.3 Criteri di resistenza
dei materiali
H3.4 Esempi di calcolo
UNITÀ
H3
RA = 87 NRB = 93 N
F1 = 100 N
F2 = 80 N
30
80
120
x
SxA BX
(a)
RA = 87 N
F1 = 100 N
x
Mxd
ATxs
X
z
RB = 93 N
F2 = 80 N
30
B
Txd
Mxs X
(b)
(c)
H3.1 Trave infl essa: a) carichi applicati; b) parte sinistra del taglio; c) parte destra del taglio.
20 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Considerando l’equilibrio rispetto al punto X, si può scrivere, applicando le equazioni cardinali:
F = 0; MX= 0
Dalla figura H3.1b si ottiene:
Tx= R
AF1; M
x= R
Ax F
1z [H3.1]
In pratica occorre sapere in quale sezione è massimo il taglio e in quale il momento flettente. Si consideri anco-ra la figura H3.1a e si calcolino i momenti nelle sezioni in cui sono applicate le forze con le relazioni espresse dalla [H3.1], tenendo conto solo della parte sinistra, ai vari punti.
In tali condizioni si avrà:
MA = MB = 0
pertanto:
MC= R
A× 40= 3480Nmm
MD= R
A×90− F
1×50= 2830Nmm
Per determinare il taglio nei vari punti si sommano le forze che stanno a sinistra.Nel punto A esiste solo RA, quindi il taglio passa da 0 a TA = 87 N, nel tratto AC il taglio rimane costante. Nel punto C il taglio vale TC = RA - F1 = -13 N e rimane costante nel tratto CD. Nel punto D si somma F2 e il taglio vale TD = -13 - F2 = -93 N che rimane costante nel tratto DB. Nel punto B si somma la reazione RB e il taglio passa da 87 N a TB = 0.Svolti questi calcoli è possibile tracciare i diagrammi della figura H3.2.
87 N
100 N
80 N 97 N
3480 Nmm2830 Nmm
0
87
100
− 13
87
80
− 93
0
A C D B
40 80 30
0 0
H3.2 Diagrammi del momento torcente e del taglio su una trave inflessa.
Osservando il diagramma del momento flettente si no-ta che, convenzionalmente, i valori positivi sono ripor-tati sotto la linea dello zero. Il valore massimo Mmax è nel punto D. In corrispondenza di questa sezione, nel diagramma di taglio, T vale 0. A sinistra della sezione, T è pari a RA mentre a destra T assume un valore infe-riore, quindi per questa sezione si pone T = RA.Con questi valori letti sul diagramma, si possono cal-colare le tensioni di flessione e di taglio nelle varie se-zioni. Nel caso di flesso-taglio, la tensione tangenziale non è costante su tutta la sezione, ma presenta un va-lore massimo sull’asse neutro ed è nullo dove è massi-ma la tensione normale [fig. H3.3], per questo motivo s’introduce un fattore correttivo a [tab. H3.1].
τm
τmax
x x
σmax
H3.3 Diagrammi della tensione σ, della tensione media di taglio τm
e tensione effettiva con il valore massimo τ
max.
Il calcolo delle tensioni si esegue con le seguenti relazioni:
max=
M f
Wf
[H3.2]
[H3.3]max=
T
Sa
Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali unità H3 21
È prassi comune sostituire le due tensioni con una sola, detta tensione ideale σid, che produce sul mate-riale gli stessi effetti ed è più facilmente confrontabile con le caratteristiche di resistenza del materiale stesso:
σid= σ
max
2+3τ
max
2 [H3.4]
Flessione e torsione
Questo tipo di sollecitazione è caratteristica degli al-beri rotanti che trasmettono un momento torcente attraverso ruote dentate o pulegge.Nel modulo E del primo volume di quest’opera sono presentate le seguenti relazioni:
N =Mt; =
2 n
60[H3.5]
dove N è la potenza espressa in watt, n è il numero di giri/minuto e Mt indica il momento torcente espresso in Nm.Nella figura H3.4a è rappresentato schematicamente un motore elettrico che trasmette il moto a un utiliz-zatore attraverso una puleggia. L’albero può essere rappresentato, convenzionalmen-te, come una trave incastrata all’estremo A e caricata all’altro estremo da una forza F dovuta al tiro della cinghia [fig. H3.4b].
Calcolato il momento flettente massimo nel punto A e il momento torcente con la [H3.5], si possono ricavare le tensioni σmax di flessione e τmax di torsione:
max =Mt
Wt
; max =
M f
Wf
Anche in questo caso è opportuno calcolare la ten-sione ideale che produce gli stessi effetti delle due tensioni:
id=
max
2+3
max
2
In fase di progetto non si conoscono le dimensio-ni per cui risulta impossibile calcolare le tensioni. In questo caso si sostituiscono il momento flettente e il momento torcente con un ipotetico momento flet-
tente ideale che produce nel materiale gli stessi effetti dei due momenti che agiscono in contemporanea. Il valore si calcola con la relazione:
M fid = M f2+3
4Mt
2 [H3.6]
Nel caso di un albero a sezione circolare piena, in cui Wf = pd3/32, il diametro d vale:
d =32M fid
am
3 [H3.7]
Tabella H3.1 – Fattore correttivo a per il calcolo della tensione massima di taglio
Quadrata Rombo Rettangolare Circolare Anulare
a=
3
2a=1,6 a=
3
2a=
4
3a= 2
F
F
l
A
(a) (b)
H3.4 Rappresentazione dell’albero di un motore elettrico: a) schematica; b) convenzionale.(b)(a)
22 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Presso-flessione
Se un solido è compresso, ma la forza F a cui è sot-toposto non si trova sul suo asse, la sollecitazione è allora di presso-flessione [fig. H3.5a].
e
σf
σf - σc
σc
σf
σf + σc
(a) (b)
Fa
H3.5 Solido sottoposto a presso-flessione: a) schema di carico; b) diagrammi delle tensioni.
Se si indica con e il disassamento della forza rispetto all’asse neutro, il momento flettente vale:
M f = Fe
Indicando con S la sezione retta del solido, le tensioni di flessione e compressione valgono rispettivamente:
f =
M f
Wf
; c =F
S
Nella figura H3.5b sono stati tracciati i diagrammi delle tensioni di compressione, di flessione e il dia-gramma ottenuto dalla somma vettoriale dei primi due, rappresentante la tensione totale.
H3.2 Instabilità elastica
Si immagini un filo di acciaio con diametro d = 5 mm e lungo l = 500 mm, pendente dal soffitto, che regge un peso pari a 100 N. Poiché il peso non è molto elevato, il filo è in grado di reggerlo senza problemi e si verificherà la condizione di equilibrio indicata nella figura H3.6a.
50
0
P
P
(a) (b)
¿5
Se lo stesso filo fosse piantato nel pavimento e lo stesso peso lo sollecitasse a compressione, probabil-mente si avrebbero problemi di stabilità del carico [fig. H3.6b].
Quando un solido è sollecitato a compressione e il rapporto tra la sua altezza e la dimensione minima della sezione è maggiore di 10, esiste la possibilità che il solido elastico diventi instabile ed infletta lateral-mente: si parla allora di carico di punta.La situazione di equilibrio instabile si può valutare sia in fase di progetto sia in fase di verifica con vari criteri; il più comodo è il metodo ω.
Metodo ω
Questo metodo consiste nell’adoperare l’equazione della compressione, moltiplicando il carico P per un coefficiente ω che dipende dalla snellezza del corpo (λ). L’espressione diventa:
c=
P
S[H3.8]
dove P rappresenta il carico [N], S è la sezione resi-stente [mm2] e ω indica il coefficiente funzione della snellezza λ che si calcola con la seguente relazione:
λ =l0
ρmin
[H3.9]
La lunghezza libera d’inflessione l0 di un’asta lunga l si valuta in base ai seguenti vincoli:
asta incastrata a un estremo e libera all’altro [fig.
H3.7a], l0 = 2l;asta incernierata ai due estremi [fig. H3.7b], l0 = l;asta incastrata a un estremo e incernierata all’altro
[fig. H3.7c], l0 = 0,7l;asta incastrata ai due estremi [fig. H3.7d], l0 = 0,5l.
(a) (b) (c) (d)
l
l 0
l 0
l 0
l 0
H3.7 Lunghezza libera d’inflessione di un’asta caricata di punta.
H3.6 Solidi snelli:a) trave stabile sottoposta a trazione; b) trave instabile sottoposta a compressione.
Sollecitazioni composte e criteri di resistenza dei materiali unità H3 23
Nella tabella H3.2 sono indicate le espressioni del rag-gio d’inerzia minimo ρmin, per alcune sezioni comu-nemente utilizzate.
Tabella H3.2 – Espressioni del raggio d’inezia ρmin
per le sezioni più comuni
Rettangolare Circolare Circolare cava
b
h
D D
d
ρmin=
b
12ρ
min=D
4min=
D2+d
2
4
Nella tabella H3.3 si possono leggere, a titolo di esempio, i valori di ω per acciai da costruzione S235, relativi a profilati semplici cavi, quadri, rettangolari o tondi.
H3.3 Criteri di resistenza dei materiali
Sollecitazioni statiche, dinamiche e a fatica
Per valutare la capacità di un materiale di resistere al-le forze applicate è necessario conoscere come queste ultime sono applicate.Quando il carico viene applicato in un tempo lun-go, le sollecitazioni sono considerate statiche [fig.
H3.8a]; se il tempo di sollecitazione è molto limitato la sollecitazione è dinamica [fig. H3.8b].
Tabella H3.3 – Valori di ω per acciaio da costruzione S235 (σam = 150 N/mm2)
l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0
10 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 10
20 1,00 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,02 1,02 1,02 1,03 20
30 1,03 1,03 1,03 1,04 1,04 1,04 1,05 1,05 1,05 1,06 30
40 1,06 1,06 1,07 1,07 1,07 1,08 1,08 1,09 1,09 1,10 40
50 1,10 1,11 1,11 1,12 1,12 1,13 1,13 1,14 1,14 1,15 50
60 1,16 1,16 1,17 1,17 1,18 1,18 1,19 1,20 1,20 1,21 60
70 1,22 1,23 1,24 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,29 70
80 1,31 1,32 1,33 1,34 1,36 1,37 1,38 1,40 1,41 1,42 80
90 1,44 1,45 1,47 1,48 1,50 1,52 1,53 1,55 1,57 1,59 90
100 1,61 1,63 1,65 1,67 1,69 1,71 1,73 1,75 1,77 1,79 100
110 1,82 1,84 1,86 1,89 1,91 1,94 1,96 1,99 2,01 2,04 110
120 2,06 2,09 2,12 2,14 2,17 2,20 2,22 2,25 2,28 2,31 120
130 2,34 2,37 2,40 2,43 2,46 2,49 2,52 2,55 2,58 2,61 130
140 2,65 2,68 2,71 2,74 2,78 2,81 2,84 2,88 2,91 2,95 140
150 2,98 3,02 3,05 3,08 3,12 3,16 3,19 3,23 3,27 3,30 150
160 3,34 3,38 3,41 3,45 3,49 3,53 3,56 3,60 3,64 3,68 160
170 3,72 3,76 3,80 3,84 3,88 3,92 3,96 4,01 4,05 4,09 170
180 4,14 4,18 4,22 4,27 4,31 4,35 4,40 4,44 4,49 4,53 180
190 4,58 4,62 4,67 4,72 4,77 4,81 4,85 4,90 4,94 4,99 190
200 5,03 5,08 5,13 5,18 5,22 5,27 5,32 5,37 5,42 5,47 200
210 5,52 5,57 5,62 5,67 5,72 5,77 5,82 5,87 5,92 5,98 210
220 6,03 6,08 6,14 6,19 6,24 6,30 6,36 6,41 6,46 6,52 220
230 6,57 6,63 6,69 6,74 6,79 6,84 6,90 6,96 7,02 7,08 230
240 7,14 7,19 7,25 7,31 7,38 7,44 7,50 7,55 7,61 7,67 240
250 7,73 250
24 modulo H Le macchine semplici e la resistenza dei materiali
Se poi il carico varia in intensità e verso (da positivo a negativo e viceversa) si è in presenza di sollecitazione a fatica, che è anche la più pericolosa [fig. H3.8c].
H3.8 Tempo e modo di applicazione dei carichi: a) statici; b) dinamici; c) a fatica.
Se si vogliono determinare le dimensioni di un og-getto sottoposto a un carico si parla di calcolo di progetto; se sono noti le dimensioni e i carichi appli-cati e si vuole sapere se l’oggetto potrebbe rompersi o deformarsi, si parla di calcolo di verifica.
Tensioni ammissibili
Ogni materiale d’interesse industriale possiede ca-ratteristiche meccaniche deducibili dal diagramma carichi-allungamenti [fig. H2.3] e fornite dai manuali tecnici; le più importanti sono:
carico di snervamento ReL (scritto anche Rs);
carico di resistenza a trazione Rm;allungamento percentuale A%.
Affinché un particolare resista senza pericoli alle sol-lecitazioni esterne, deve essere sottoposto a tensioni inferiori al carico di resistenza a trazione tali da non superare il carico di proporzionalità. Si deve, quindi, determinare una tensione ammissibile per il mate-riale in esame che, in funzione del tipo di carico, per-metta al materiale stesso di lavorare in tutta sicurezza.
La tensione ammissibile si ricava con le relazioni:
σam =Rm
gR
; σam =ReL
g S
[H3.10]
La tensione tangenziale ammissibile si assume in fun-zione della tensione normale σam:
am= 0,577
am [H3.11]
in cui gR e gS indicano i gradi di sicurezza assunti in base ai materiali e al tipo di carico. La tabella H3.4 ri-porta i valori dei gradi di sicurezza in relazione al tipo di carico preso come riferimento.
Per calcolare il grado di sicurezza relativo ai carichi statici si può prendere come riferimento sia il carico Rm sia il carico ReL. Se i carichi sono dinamici o a fa-tica è opportuno prendere come riferimento il solo carico ReL.
Carichi dinamici
Poiché i carichi dinamici sono più pericolosi di quelli statici, si devono utilizzare valori del grado di sicurez-za gSd più elevati, se con gS si indica il valore letto nel-la tabella H3.4:
g Sd =1,5 g S [H3.12]
> 2 minuti
Tempo [min]
Ca
rich
i
Tempo [s]
~1/10 di secondoC
ari
chi
(a) (b)
(1/1000 ÷ 1) secondi
Tempo [s]
Ca
rich
i
(c)
Tabella H3.4 – Gradi di sicurezza gR = Rm/σam e gS = ReL/σam per carichi statici
Materiale Stato gr gs
AcciaioLaminati, fucinati 2,3 ÷ 3 1,5 ÷ 2
Getti 3,2 ÷ 4,2 1,8 ÷ 2,5
Ghisa Getti 7 ÷ 9 –
Altri materiali metalliciLaminati, fucinati, estrusi 3 ÷ 4 2 ÷ 2,6
Getti 4 ÷ 5,2 2 ÷ 2,8
Legname Travi e tavole 8 ÷ 10 –