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Econometria Financeira

Ralph S. Silvahttp://www.im.ufrj.br/ralph/econometriafinanceira.html

Departamento de Métodos EstatísticosInstituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro

2019

Econometria FinanceiraModelos condicionalmente heterocedásticos

Modelos condicionalmente heterocedásticos

I O objetivo é a modelagem da volatilidade do retorno de um ativo.I Os modelos são chamados de condicionalmente heterocedásticos.I A volatilidade é um fator importante na negociação de opções

(por exemplo, fórmula de Black-Scholes).I A volatilidade significa a variância (ou desvio padrão) condicional do

retorno de um ativo.I A modelagem da volatilidade de uma série temporal pode melhorar a

eficiência na estimação dos parâmetros e na precisão do intervalo deprevisão.

I Veremos os seguintes modelos:ARCH: autoregressivo condicionalmente heterocedástico;

GARCH: ARCH generalizado; eSV: volatilidade estocástica.

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Econometria FinanceiraCaracterísticas da volatilidade

Características da volatilidade

I A volatilidade de uma ação não é diretamente observável.I Isto implica que é difícil avaliar a performance de previsão nos modelos

condicionalmente heterocedásticos.I Existem conglomerados de volatilidade (períodos de alta e de baixa).I A volatilidade muda de forma contínua através do tempo.I A volatilidade não diverge para o infinito. Logo, a volatilidade é

geralmente estacionária.I A volatilidade parece reagir diferentemente para um aumento grande de

preço ou uma queda grande de preço, conhecido como efeito de influência(leverage effect).

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Dias

Log

Reto

rno

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

−0.1

0−0

.05

0.00

0.05

0.10

Figura: Log retornos diários do IBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de2013.

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0 2 4 6 8 10 12 14

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Defasagem

AC

F

(a) Log retornos

0 2 4 6 8 10 12 14

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

DefasagemA

CF

(b) Log retornos ao quadrado

Figura: ACF e PACF amostral para algumas funções do log retornos diários doIBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de 2013.

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I O ACF dos retornos rt sugerem que os mesmos são não correlacionados.I O ACF de r 2t sugere que estas séries são correlacionadas.I Logo, os retornos rt são dependentes.I Os modelos de volatilidade tentam capturar esta dependência na série de

retornos.I Seja Ft−1 a informação disponível até o tempo t − 1.I Temos que

µt = E(rt |Ft−1) e σ2t = Var(rt |Ft−1).

I A série de retornos tem uma estrutura de correlação baixa (ver ACF).I Podemos utilizar um modelo ARMA(p, q) e regressores. Temos

rt = µt + at e

µt = α+∑k

j=1βjxjt +

∑p

j=1φj rt−j +

∑q

j=1θjat−j ,

para algum k inteiro e xjt como regressores.I Para dados diários, xjt poderia ser uma variável binária representando a

segunda-feira para estudar o efeito do fim de semana no preço de umaação.

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Econometria FinanceiraModelos ARCH

Modelos ARCH

I Um modelo ARCH(m) é dado por

rt = µt + at , at = σtεt , σ2t = α0 + α1a2t−1 + α2a2t−2 + · · ·+ αma2t−m,

em queI εt é uma sequência iid (ruído branco) com média 0 e variância 1 ; eI α0 > 0 e αj > 0 para j > 0.

I Os coeficientes αj devem satisfazer a certas condições para garantir que avariância incondicional de at seja finita.

I Em geral, εt segue distribuição normal ou t-Student. Podemos incluiroutras distribuições e também permitir a modelagem da assimetria.

I Note que valores de {a2t−j}mj=1 grandes, implicam que σ2

t será grande.I Se σ2

t é grande, então at poderá ser grande com maior probabilidade (secomparado a um σ2

t menor).

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Dias

Log

Ret

orno

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

−0.

10−

0.05

0.00

0.05

0.10

(a) Log retornos

Dias

Log

Ret

orno

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0.00

00.

005

0.01

00.

015

(b) Log retornos ao quadrado

Figura: Log retornos e log retornos ao quadrado diários do IBOVESPA de 3 de janeirode 2000 a 26 de abril de 2013.

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Construção do modeloConstruir um modelo de volatilidade para um série de retornos de um ativoconsiste em quatro passos:1. Especifique a equação da média testando a dependência serial nos dados.

Se necessário, construir um modelo econométrico (por exemplo um modeloARMA) para a série de retornos para remover qualquer dependência linear.

2. Use os resíduos da equação da média para testar a existência de efeitosARCH.

3. Especifique um modelo de volatilidade se os efeitos ARCH sãoestatisticamente significantes e faça a estimação conjunta das equações damédia e da volatilidade.

4. Verifique o modelo ajustado cuidadosamente e refine-o se necessário.

Algumas observações:I A maioria das séries de retornos tem correlação serial fraca (talvez só

precisemos remover a média).I Para algumas séries de retornos diários, um modelo AR pode ser

necessário.I Em outros caso uma váriavel indicadora pode ser necessário (indicadora do

dia da semana ou do mês).9 / 22


Teste para efeitos ARCH: Ljung-BoxI Seja at = rt − µt os resíduos da equação da média.I A série {a2t } é usada para verificar a heterocedasticidade condicional.I Teste de Ljung-Box com a estatística Q(m) para a série {a2t }.

H0: as primeiras m defasagens da ACF de a2t são zero.

Teste para efeitos ARCH: multiplicadores de LagrangeI Este teste é equivalente ao teste F na qual

H0 : γ1 = γ2 = · · · = γm = 0, no modelo de regressão

a2t = γ0 + γ1a2t−1 + · · ·+ γma2t−m + et , t = m + 1, . . . ,T ,em que et é o termo de erro.I Seja SSR0 =

∑T

t=m+1(a2t − ω)2, em que ω =

1T

∑T

t=1a2t .

I Seja SSR1 =∑T

t=m+1e2t , em que et são os resíduos de mínimos quadrados.

I Logo, F =(SSR0 − SSR1)/m

SSR1/(T − 2m − 1)≈ χ2m, e rejeitamos H0 ao nível de

significância α se F > χ2m(α).

Ver arquivo aplicacao_08.r10 / 22


Fraquezas dos modelos ARCH

I O modelo assume que choques positivos e negativos têm o mesmo efeitona volatilidade.

I As restrições do modelo ARCH são bem complicadas. (Por exemplo, paraum ARCH(1) devemos ter α2

1 ∈ [0, 1/3] se a série tiver o quarto momentofinito.)

I Os modelos ARCH não nos ajudam a entender a fonte de variação de umasérie temporal financeira (apenas descreve o comportamento).

I Os modelos ARCH em geral fazem previsões acima para a volatilidadeporque eles respondem devagar a choques grandes e isolados da série deretornos.

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Construindo um modelo ARCH

I Para determinar a ordem, podemos utilizar a PACF de a2t .I No modelo, temos

σ2t = α0 + α1a2t−1 + α2a2t−2 + · · ·+ αma2t−m.

I Podemos substituir σ2t por seu estimador não tendencioso a2t , e utilizar

também a2t−1, . . . , a2t−m. Assim, teremos um modelo similar ao AR(m).I A estimação de modelos ARCH é feita através do método da máxima

verossimilhança (condicional).I A função de verossimilhança é complicada e métodos numéricos são

empregados para se obter as estimativas.I Podemos utilizar erros normais, t-Student, GED, e algumas distribuições

assimétricas.

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0 10 20 30 40 50

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Defasagem

PACF

Figura: Autocorrelação parcial para os resíduos do modelo AR(3) ajustado aos logretornos diários do IBOVESPA de 3 de janeiro de 2000 a 26 de abril de 2013.

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Verificação do modelo

I Do modelo ARCH, temos que at

σt= εt , em que εt é um ruído branco.

I Assim, os resíduos padronizados at

σt= et devem se comportar como ruído

branco.I Teste de Ljung-Box para verificar a dependência.I Teste de Jarque e Bera (no caso de normalidade).I Histogramas, boxplot e qq-plot para analisar a hipótese da distribuição

(normal, t-Student, etc.)Previsão

I A previsão do modelo ARCH pode ser obtida recursivamente como as deum modelo AR.

Ver arquivo aplicacao_09.r (só a parte ARCH e sua previsão)

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Econometria FinanceiraModelos GARCH

Modelos GARCH

I Um modelo GARCH(m, s) é dado por

at = σtεt , σ2t = α0 + α1a2t−1 + α2a2t−2 + · · ·+ αma2t−m

+β1σ2t−1 + β2σ

2t−2 + · · ·+ βsσ

2t−s ,

em queI εt é uma sequência iid com média 0 e variância 1;I α0 > 0 e αj > 0 para j > 0, e βj > 0 para j > 1; eI∑max(m,s)

i=j(αj + βj ) < 1 (para a variância incondicional de at ser finita).

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Econometria FinanceiraModelos GARCH

I Se s = 0, então o modelo se reduz a um ARCH(m).I Os αj ’s são chamados de parâmetros ARCH e os βj ’s de parâmetros

GARCH.I O modelo pode resultar em uma forma mais simples de descrever a

volatilidade de uma série.I Em geral, aplicamos o método de máxima verossimilhança condicional.I Os modelos GARCH, após alguns cálculos, podem ser vistos como um

ARMA no quadrado dos retornos.I A previsão do modelo GARCH pode ser obtida recursivamente como as de

um modelo ARMA.I Na prática, os melhores ajustes são dados por modelos GARCH(1,1),

GARCH(2,1) ou GARCH(1,2).

Ver arquivo aplicacao_09.r (parte GARCH)

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Econometria FinanceiraModelo de volatilidade estocástica

Modelo de volatilidade estocástica

I O modelo de volatilidade estocástica é uma alternativa ao modelo GARCH.I Estamos interessados em modelar a volatilidade.I Este modelo também está na classe dos modelos dinâmicos (não lineares).

O modelo:rt = exp{ht/2}εt , εt ∼ N (0, 1)ht = α+ φ(ht−1 − α) + ωt , ωt ∼ N (0, σ2),

para t = 1, 2, . . . ,T .I rt é o log retorno, isto é, rt = ln(Pt)− ln(Pt−1);I ht é a log volatilidade;I α é o intercepto (constante);I φ é o parâmetro de persistência; eI σ2 é a variância das log volatilidades.

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Inferência bayesianaPara este modelo, utilizaremos a abordagem bayesiana para inferir sobre asquantidades desconhecidas do modelo.

Construimos a função de verossimilhança utilizando as equações dasobservações e do estado.

Completamos o modelo com a distribuição a priori.

Distribuição a posteriori:

p(α, φ, σ2, h1:T|y) ∝

[T∏

t=1

p(yt |ht)

][T∏

t=2

p(ht |ht−1, α, φ, σ2)

]× p(h1|α, φ, σ2)p(α, φ, σ2),

em que p(α, φ, σ2) é a distribuição a priori.

I Em geral, assumimos que p(α, φ, σ2) = p(α)p(φ)p(σ2).I Temos a restrição |φ| < 1. Vamos impor que 0 6 φ < 1.

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Distribuição a priori:

h1 ∼ N(α,

σ2

1− φ2

)α ∼ N (0; 10.000)φ ∼ Beta(20; 1, 5)σ2 ∼ IG(2, 5; 0, 025) (inversa gama).

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Exemplo: Retornos do Reino Unido (MSCI)

Semanas

Ret

orno

s

0 50 150 250 350 450−0.

15−

0.10

−0.

050.

000.

050.

10

Figura: Retornos semanais do Reino Unido (MSCI) de 6/jan/2000 a 28/jan/2010(T=526).

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Resultados

Ver arquivo volatilidade_01.odc

Parâmetro Média D.P. 2,5% Mediana 97,5%α -7,534 0,4505 -8,282 -7,545 -6,713φ 0,966 0,0171 0,927 0,968 0,993σ2 0,056 0,0256 0,021 0,052 0,120

PrevisãoI A previsão segue o padrão mostrado para os modelos dinâmicos.


Superposição de modelosI A equação da média com estrutura de tendência estável:

rt = γt + exp{ht/2}εt e γt = γt−1 + ξt , ξt ∼ N (0, δ2).I Podemos incluir o retorno defasado como um AR, por exemplo

rt = γ + βrt−1 + exp{ht/2}εt .

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Resultados do modelo

rt = γ + βrt−1 + exp{ht/2}εt

ht = α+ φ(ht−1 − α) + ωt .


Parâmetro Média D.P. 2,5% Mediana 97,5%α -7,575 0,3852 -8,2750 -7,5800 -6,8450φ 0,960 0,0190 0,9165 0,9623 0,9899σ2 0,068 0,0299 0,0254 0,0624 0,1380γ 0,002 0,0009 0,0002 0,0020 0,0038β -0,014 0,0297 -0,0973 -0,0022 0,0233

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