ECUACIONES DE 2º GRADO

Ecuaciones de 2º grado :

¿Cuáles son?

Son igualdades de la forma

02 cbxax

con a, b, c números reales y siempre

¿dónde queda reflejado que es una ecuación de segundo grado?

0a

Resolución o cálculo de las SOLUCIONES o RAÍCES o CEROS de una ecuación de 2º grado.

RESOLVER una ecuación consiste en buscar los valores concretos de x para los cuales se verifica la ecuación.

A estos valores que al sustituirlos en la incógnita x, la verifican se les llama CEROS, SOLUCIONES o RAÍCES de la ecuación.

Es conveniente, para ganar tiempo, tener en cuenta los siguientes casos particulares :

1.) Si en la ecuación general, tenemos c = 0 , es decir, no hay término independiente , resulta la ecuación de segundo grado :

02 bxax

Distinguimos tres casos:

- Siempre podremos sacar factor común, al menos , de x

Pasos:

- recordando que en el producto de números reales, para que el resultado de un producto sea cero, siempre uno de los factores debe ser cero, tenemos que :

x =0 ax+b=0

ax =-b

x = -b/a

NO te aprendas estos resultados con letras, es inútil; reserva la memoria para casos que de verdad lo requieran; entiende los pasos dados y aplícalos en cada caso concreto.

0 baxx

Ejemplos, ahora te toca a ti :

0287 2 xxRecuerda:

- saca factor común de todo lo que puedas

- haz cero cada uno de los factores que has obtenido

Soluciones : x = 0 y x = 4.

0172 xx 0255 2 xx 0123 2 xx

Observa que en estos casos, siempre una solución sale x = 0. Piensa ¿porqué?

Más ejemplos:

2.) Si b = 0, tenemos la ecuación de segundo grado:

02 cax

Este también, es un caso especial, que se puede tratar más cómodamente, sin aplicar la fórmula.

Despeja

2x cax 2

a

cx 2

¿Cómo quito el cuadrado del exponente?

Extrayendo la raíz cuadrada, resultando :

a

cx

a

cx

No te aprendas el resultado , tienes que saber obtener la solución, sin memorizar la fórmula.

Ejemplos, resuelve tú estos casos: :

0123 2 x 0287 2 x 052 2 x

3.) Estudiemos ya el caso general, de la resolución de una ecuación completa de segundo grado.

Si tenemos una ecuación de segundo grado completa :

02 cbxaxlas soluciones se obtienen del cálculo :

a

acbbx

2

42

a

acbbx

2

42

¿Todas tienen solución?

Estas fórmulas SI te las tienes que aprender de memoria.

Ejemplos: 0132 2 xx

Recuerda a = 2 b = 3 c = 1.

Las soluciones salen : x = -12

1x

0823 2 xx Recuerda a = 3 b = -2 c = -8.

Las soluciones salen : x = 23

4x

¿Te has preguntado alguna vez, de donde pueden salir estas fórmulas de resolución de la ecuación de segundo grado? Pues si tienes curiosidad, aquí tienes la explicación.

Antes de empezar es bueno que sepas cual es la idea, para obtener el valor de x.

Como se trata de despejar x, lo primero que tenemos que conseguir es tener una sola x, para lo cual tendremos que escribir la ecuación como un binomio al cuadrado y luego despejar la x.

Empezamos paso a paso, pero ten presente lo que buscamos.

a) Pasamos el término independiente (sin x ) al otro lado.

cbxax 2

b) Multiplicamos los dos miembros por 4a acabxxa 444 22

c) Sumamos a ambos miembros de la

igualdad 2bacbbabxxa 444 2222

d) Expresamos el primer miembro como un binomio al cuadrado

acbbax 42 22

e) Extraemos la raíz cuadrada de los dos miembros acbbax 42 2

f) Despejamos x :acbbax 42 2

a

acbbx

2

42

Comprueba que efectivamente nos salen dos soluciones. ¿Dónde están?

a

acbbx

2

42

a

acbbx

2

42

DISCUSIÓN DEL NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de 2º grado?

Dedúcelo, resolviendo :

0372 xx 0455 2 x

0452 2 xx 0962 xx

Una ecuación de segundo grado puede tener :

• dos soluciones reales distintas

• una solución real doble ( un mismo valor repetido dos veces)

• ninguna solución real (es decir, no nos sale ningún valor real)

¿De qué crees que depende que estemos en un caso u otro?

Si dispones de un minuto, piensa ....., si no pasa al párrafo siguiente donde te ayudaré a descubrirlo.

Para ello tenemos que definir lo que es EL DISCRIMINANTE.

El discriminante es el número que está dentro de la raíz: D = b – 4ac

• Si D > 0, entonces existen dos soluciones• Si D < 0, no existen soluciones• Si D =0, solo existe una solución, que se dice doble.

Aplícalo a: 0122 xx 0132 2 xx