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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
3°
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UNA ECUACIÓN DE LA FORMA :
donde a , b y c son números reales y a ≠ 0
ax2 + bx + c = 0
X
Y’
X’
Y
A
B
D
C E
X1 = 0 X2 = 3
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ax2 + bx + c = 0
CUADRATICO
Segundo Grado
LINEAL
Primer Grado
INDEPENDIENTE
ELEMENTOS
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ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0
ax2 + bx + c = 0
CUADRATICO + LINEAL + INDEPENDIENTE
CUADRATICO + LINEAL CUADRATICO + INDEPENDIENTE
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ENCONTRAR EL VALOR DE SUS DOS RAICES
PROCEDIMIENTO GRAFICO COMPLETANDO UN
CUADRADO
FACTORIZACION FORMULA GENERAL
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François Viète (1540 – 1603)
Matemático francés. Se le considera uno de los principales precursores
del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una
ecuación con letras.
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FACTORIZACION PROCEDIMIENTO GRAFICO
RESOLUCION DE PROBLEMAS
FORMULA GENERAL COMPLETANDO UN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
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FACTORIZACION
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UNA ECUACIÓN DE LA FORMA :
a , b y c son números reales y a ≠ 0
ax2 + bx + c = 0
X
Y’
X’
Y
A
B
D
C E
X1 = 0 X2 = 3
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ax2 + bx + c = 0
CUADRATICO
Segundo Grado
LINEAL
Primer Grado
INDEPENDIENTE
ELEMENTOS
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X
Y’
X’
Y
A
B
D
E
C
Eje Real X1 = - 5
X2 = 4
Parábola Secante
Ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
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x2 + 11x + 30 = 0 TRINOMIO CUADRADO
PRODUCTO
BINOMIO CON TERMINO COMUN
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Signos iguales Tipo
+ 30 + 1
+ 15 + 2
* ES LA RESPUESTA
+ 10 + 3
+ 6 + 5
Igualamos con cero y resolvemos
( x + 6 ) = 0
x1 = - 6
( x + 5 ) = 0
x2 = - 5
( x + 6 ) ( x + 5 ) = 0
Par de números
que multiplican + 30 y suman + 11
EJEMPLO No. 1
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x2 + 13x - 30 = 0 TRINOMIO CUADRADO
PRODUCTO
BINOMIO CON TERMINO COMUN
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Signos diferentes Signo del mayor
+ 30 - 1
+ 15 - 2 * ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( x + 15 ) = 0
x1 = - 15
( x - 2 ) = 0
x2 = + 2
( x + 15 ) ( x - 2 ) = 0
Par de números
que multiplican - 30 y suman + 13
EJEMPLO No. 2
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x2 - 3x - 40 = 0 TRINOMIO CUADRADO
PRODUCTO
BINOMIO CON TERMINO COMUN
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Signos diferentes Signo del mayor
- 40 + 1
- 20 + 2
* ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( x - 8 ) = 0
x1 = + 8
( x + 5 ) = 0
x2 = - 5
( x - 8 ) ( x + 5 ) = 0
Par de números
que multiplican - 40 y suman - 3
- 10 + 4
- 8 + 5
EJEMPLO No. 3
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9x2 + 21x + 10 = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Signos iguales Tipo de signo
+ 10 + 1
+ 5 + 2 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( 3x + 5 ) = 0
x1 = - 5/3
( 3x + 2 ) = 0
( 3x + 5 ) ( 3x + 2 ) = 0
Par de números
que multiplican + 10 y suman + 7
*
3x
3x ( 7 )
x2 = - 2/3
EJEMPLO No. 4
COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD
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25x2 + 40x - 9 = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Signos diferentes Signo del mayor
+ 9 - 1 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( 5x + 9 ) = 0
x1 = - 9/5
( 5x - 1 ) = 0
( 5x + 9 ) ( 5x - 1 ) = 0
Par de números
que multiplican - 9 y suman + 8 *
5x
5x ( 8 )
x2 = 1/5
EJEMPLO No. 5
COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD
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49x2 + 14x - 3 = 0
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
Signos diferentes Signo del mayor
+ 3 - 1 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( 7x + 3 ) = 0
x1 = - 3/7
( 7x - 1 ) = 0
( 7x + 3 ) ( 7x - 1 ) = 0
Par de números
que multiplican - 3 y suman + 2 *
7x
7x ( 2 )
x2 = 1/7
EJEMPLO No. 6
COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD
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5x2 + 14x - 3 = 0
+ 15 - 1 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( ) ( )
Par de números
que multiplican - 15 y suman + 14 *
15 por
Sustituimos
5x2 + 15x x - 3 = 0 -
Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio
5x ( x + 3 ) - 1( x + 3 ) = 0
( 5x - 1 ) ( x + 3 ) = 0
*
( 5x - 1 ) = 0
x1 = 1/5
( x + 3 ) = 0
x2 = - 3
EJEMPLO No. 7
COEFICIENTE NO CUADRATICO
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
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7x2 - 33x - 10 = 0
- 35 + 2 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( ) ( )
Par de números
que multiplican - 70 y suman - 33 *
70 por
Sustituimos
7x2 - 35x 2x - 10 = 0 +
Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio
7x ( x - 5 ) + 2( x - 5 ) = 0
( 7x + 2 ) ( x - 5 ) = 0
( 7x + 2 ) = 0
x1 = - 2/7
( x - 5 ) = 0
x2 = 5
EJEMPLO No. 8
COEFICIENTE NO CUADRATICO
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
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8x2 - 23x - 3 = 0
- 24 + 1 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( ) ( )
Par de números
que multiplican - 24 y suman - 23 *
24 por
Sustituimos
8x2 - 24x x - 3 = 0 +
Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio
8x ( x - 3 ) + 1( x - 3 ) = 0
( 8x + 1 ) ( x - 3 ) = 0
( 8x + 1 ) = 0
x1 = - 1/8
( x - 3 ) = 0
x2 = 3
EJEMPLO No. 9
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
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3x2 + 11x + 10 = 0
+ 6 + 5 ES LA RESPUESTA
Igualamos con cero y resolvemos
( ) ( )
Par de números
que multiplican + 30 y suman + 11 *
30 por
Sustituimos
3x2 + 6x 5x + 10 = 0 +
Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio
3x ( x + 2 ) + 5( x + 2 ) = 0
( 3x + 5 ) ( x + 2 ) = 0
( 3x + 5 ) = 0
x1 = - 5/3
( x + 2 ) = 0
x2 = - 2
EJEMPLO No. 10
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
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FACTORIZACION
x2 + 17x + 66 = 0 ( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0
x1 = - 11 y x2 = - 6
x2 - x - 56 = 0 ( x - 8 ) ( x + 7 ) = 0
x1 = 8 y x2 = - 7
x2 - 11x - 26 = 0 ( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0
x1 = 13 y x2 = - 2
x2 - 18x + 72 = 0 ( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0
x1 = 12 y x2 = 6
x2 + 19x + 70 = 0 ( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0
x1 = - 14 y x2 = - 5
x2 - 8x + 7 = 0 ( x - 7 ) ( x - 1 ) = 0
x1 = 7 y x2 = 1
x2 - 19x + 78 = 0 ( x - 13 ) ( x - 6 ) = 0
x1 = 13 y x2 = 6
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
x2 - 8x - 9 = 0 ( x - 9 ) ( x + 1 ) = 0
x1 = 9 y x2 = - 1
x2 + 21x + 90 = 0 ( x + 15 ) ( x + 6 ) = 0
x1 = - 15 y x2 = - 6
x2 - 3x - 88 = 0 ( x - 11 ) ( x + 8 ) = 0
x1 = 11 y x2 = - 8
x2 + 3x - 108 = 0 ( x + 12 ) ( x - 9 ) = 0
x1 = -12 y x2 = 9
x2 - 13x + 42 = 0 ( x - 7 ) ( x - 6 ) = 0
x1 = 7 y x2 = 6
x2 + 15x + 50 = 0 ( x + 10 ) ( x + 5 ) = 0
x1 = -10 y x2 = - 5
x2 + 10x - 39 = 0 ( x + 13 ) ( x - 3 ) = 0
x1 = -13 y x2 = 3
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
121x2 + 22x – 3 = 0 ( 11 x + 3 ) ( 11x - 1 ) = 0
x1 = - 3/11 y x2 = 1/11
9x2 - 9x - 70 = 0 ( 3x + 7 ) ( 3x – 10 ) = 0
x1 = -7/3 y x2 = 10/3
64x2 + 16x + 1 = 0 ( 8x + 1 ) ( 8x + 1 ) = 0
x1 = - 1/8 y x2 = -1/8
36x2 - 72x + 32 = 0 ( 6x - 8 ) ( 6x - 4 ) = 0
x1 = 4/3 y x2 = 2/3
25x2 + 55x - 26 = 0 ( 5x + 13 ) ( 5x – 2 ) = 0
x1 = -13/5 y x2 = 2/5
49x2 + 42x + 5 = 0 ( 7x + 5 ) ( 7x + 1 ) = 0
x1 = -5/7 y x2 = - 1/7
81x2 + 54x - 16 = 0 ( 9x + 8 ) ( 9x - 2 ) = 0
x1 = - 8/9 y x2 = 2/9
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
4x2 + 6x – 54 = 0 ( 2x + 9 ) ( 2x - 6 ) = 0
x1 = - 9/2 y x2 = 3
49x2 - 70x + 16 = 0 ( 7x - 2 ) ( 7x - 8 ) = 0
x1 = 2/7 y x2 = 8/7
16x2 + 44x - 12 = 0 ( 4x + 12 ) ( 4x - 1 ) = 0
x1 = - 3 y x2 = 1/4
25x2 + 60x + 27 = 0 ( 5x + 9 ) ( 5x + 3 ) = 0
x1 = -9/5 y x2 = - 3/5
100x2 + 40x – 12 = 0 ( 10x + 6 ) ( 10x - 2 ) = 0
x1 = -3/5 y x2 = 1/5
9x2 + 39x + 42 = 0 ( 3x + 7 ) ( 3x + 6 ) = 0
x1 = -7/3 y x2 = -2
36x2 - 30x + 4 = 0 ( 6x - 4 ) ( 6x - 1 ) = 0
x1 = 2/3 y x = 1/6
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
12x2 - 10x – 12 = 0 ( 4x – 6 ) ( 3x + 2 ) = 0
x1 = 3/2 y x2 = -2/3
3x2 + 5x – 42 = 0 ( 3x + 14 ) ( x - 3 ) = 0
x1 = - 14/3 y x2 = 3
14x2 - 3x - 5 = 0 ( 7x – 5 ) ( 2x + 1 ) = 0
x1 = 5/7 y x2 = -1/2
6x2 - 10x - 16 = 0 ( 2x + 2 ) ( 3x - 8 ) = 0
x1 = -1 y x2 = 8/3
18x2 - 25x – 3 = 0 ( 9x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0
x1 = -1/9 y x2 = 3/2
6x2 - 17x - 45 = 0 ( 3x + 5 ) ( 2x – 9 ) = 0
x1 = -5/3 y x2 = 9/2
10x2 - 34x + 12 = 0 ( 5x - 2 ) ( 2x - 6 ) = 0
x1 = 2/5 y x2 = 3
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
2x2 - 15x – 77 = 0 ( 2x + 7 ) ( x – 11 ) = 0
x1 = -7/2 y x2 = 11
2x2 + 4x - 30 = 0 ( 2x + 10 ) ( x - 3 ) = 0
x1 = - 5 y x2 = 3
6x2 - x - 35 = 0 ( 3x + 7 ) ( 2x - 5 ) = 0
x1 = -7/3 y x2 = 5/2
6x2 + 3x - 30 = 0 ( 2x + 5 ) ( 3x – 6 ) = 0
x1 = -5/2 y x2 = 2
15x2 + 25x – 40 = 0 ( 5x – 5 ) ( 3x + 8 ) = 0
x1 = 1 y x2 = -8/3
8x2 - 29x - 12 = 0 ( 8x + 3 ) ( x - 4 ) = 0
x1 = - 3/8 y x2 = 4
3x2 - 4x - 7 = 0 ( 3x - 7 ) ( x + 1 ) = 0
x1 = 7/3 y x2 = - 1
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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X
Y’
X’
Y
A
B
D
C E
Eje Real
Parábola Secante
X1 = 0
X2 = 3
Ecuación de la forma ax2 + bx = 0
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x2 11x = 0 +
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( x + 11 )
Igualamos con cero y resolvemos
= 0 x
Factor común
x = 0 x + 11 = 0
x1 = 0 x2 = - 11
*
EJEMPLO No. 1
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
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5x2 15x = 0 -
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( x - 3 )
Igualamos con cero y resolvemos
= 0 5x
Factor común
5x = 0 x - 3 = 0
x1 = 0 x2 = 3
*
EJEMPLO No. 2
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
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9x2 18x = 0 +
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( x + 2 )
Igualamos con cero y resolvemos
= 0 9x
Factor común
9x = 0 x + 2 = 0
x1 = 0 x2 = - 2
*
EJEMPLO No. 3
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
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7x2 35x = 0 -
PRODUCTO
FACTOR COMUN POR BINOMIO
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( x - 5 )
Igualamos con cero y resolvemos
= 0 7x
Factor común
7x = 0 x - 5 = 0
x1 = 0 x2 = 5
*
EJEMPLO No. 4
UNA DE SUS RAICES ES CERO
Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0
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FACTORIZACION
x2 + 17x = 0 x ( x + 17 ) = 0
x1 = 0 y x2 = - 17
x2 - x = 0 x ( x - 1 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 1
x2 - 11x = 0 x ( x - 11 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 11
x2 - 18x = 0 x ( x - 18 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 18
x2 + 19x = 0 x ( x + 19 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -19
x2 - 8x = 0 x ( x - 8 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 8
x2 - 10x = 0 x ( x - 10 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 10
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
4x2 + 6x = 0 2x ( 2x + 3 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -3/2
49x2 - 10x = 0 x ( 49x – 10 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 10/49
16x2 + 44x = 0 4x ( 4x + 11 ) = 0
x1 = 0 y x2 = - 11/4
25x2 + 60x = 0 5x ( 5x + 12 ) = 0
x1 = 0 y x2 = - 12/5
100x2 + 40x = 0 20x ( 5x + 2 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -2/5
9x2 + 39x = 0 3x ( 3x + 13 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -13/3
36x2 - 30x = 0 6x ( 6x - 5 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 5/6
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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FACTORIZACION
2x2 - 15x = 0 x ( 2x - 15 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 15/2
2x2 + 4x = 0 2x ( x + 2 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -2
6x2 - x = 0 x ( 6x - 1 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 1/6
6x2 + 3x = 0 3x ( 2x + 1 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -1/2
15x2 + 25x = 0 5x ( 3x + 5 ) = 0
x1 = 0 y x2 = -5/3
8x2 - 29x = 0 x ( 8x - 29 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 29/8
3x2 - 4x = 0 x ( 3x - 4 ) = 0
x1 = 0 y x2 = 4/3
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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X
Y’
X’
Y
A
B D
C
E
Eje Real
Parábola Secante
X1 = - 1 X2 = 1
Ecuación de la forma ax2 + c = 0
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x2 36 = 0 -
PRODUCTO
BINOMIO CONJUGADOS
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( + ) ( - = ) 0
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
x 6
x 6 x 6
Igualamos con cero y resolvemos
x + 6 = 0 x - 6 = 0
x1 = - 6 x2 = 6
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
EJEMPLO No. 1
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x2 81 = 0 -
PRODUCTO
BINOMIOS CONJUGADOS
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( + ) ( - = ) 0
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
x 9
x 9 x 9
Igualamos con cero y resolvemos
x + 9 = 0 x - 9 = 0
x1 = - 9 x2 = 9
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
EJEMPLO No. 2
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4x2 49 = 0 -
PRODUCTO
BINOMIOS CONJUGADOS
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( + ) ( - = ) 0
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
2x 7
2x 7 2x 7
Igualamos con cero y resolvemos
2x + 7 = 0 2x - 7 = 0
x1 = - 7/2 x2 = 7/2
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
EJEMPLO No. 3
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25x2 81 = 0 -
PRODUCTO
BINOMIO CONJUGADOS
PRODUCTO
FACTORES LINEALES
IGUALADOS CON CERO
( + ) ( - = ) 0
Ecuación de la forma ax2 - c = 0
5x 9
5x 9 5x 9
Igualamos con cero y resolvemos
5x + 9 = 0 5x - 9 = 0
x1 = - 9/5 x2 = 9/5
RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS
EJEMPLO No. 3
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DIFERENCIA DE CUADRADOS
x2 - 16 = 0 ( x + 4 ) ( x - 4 ) = 0
x1 =- 4 y x2 = 4
81x2 - 36 = 0 ( 9x + 6 ) ( 9x – 6 ) = 0
x1 = - 2/3 y x2 = 2/3
b2 - 64 = 0 ( b + 8 ) ( b – 8 ) = 0
b1 = - 8 y b2 = 8
x2 - 4 = 0 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0
x1 = - 2 y x2 = 2
100x2 - 25 = 0 (10x + 5 ) (10x - 5 ) = 0
x1 = - 1/2 y x2 = 1/2
x2 - 81 = 0 ( x + 9 ) ( x - 9 ) = 0
x1 = - 9 y x2 = 9
9a2 - 121 = 0 ( 3a + 11 ) ( 3a – 11 ) = 0
a1 = - 11/3 y a2 = 11/3
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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DIFERENCIA DE CUADRADOS
x2 - 36 = 0 ( x + 6 ) ( x – 6 ) = 0
x1 = - 6 y x2 = 6
81x2 - 49 = 0 ( 9x + 7 ) ( 9x - 7 ) = 0
x1 = - 7/9 y x2 = 7/9
b2 - 100 = 0 ( b + 10 ) ( b – 10 ) = 0
b1 = - 10 y b2 = 10
x2 - 144 = 0 ( x + 12 ) ( x - 12 ) = 0
x1 = - 12 y x2 = 12
100x2 - 49 = 0 (10x + 7 ) (10x - 7 ) = 0
x1 = - 7/10 y x2 = 7/10
x2 - 25 = 0 ( x + 5 ) ( x - 5 ) = 0
x1 = -5 y x2 = 5
9y2 - 9 = 0 ( 3b + 3 ) ( 3b – 3 ) = 0
b1 = - 1 y b2 = 1
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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“El príncipe de los matemáticos” Título póstumo con que se ha conocido a Gauss,
que junto a Arquímedes y Newton, es uno de los tres genios de la historia de las matemáticas.
JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS ( 1777 – 1855 )
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COMPLETANDO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
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MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
( x + 7 ) ( x + 7 ) = x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 49
ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE
¿ QUE OBSERVAS ?
( x + 7 ) ( x + 7 )
LOS BINOMIOS SON IGUALES
¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR ?
+ 14x
( x + 7 )2
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( x + 7 ) ( x + 7 ) = x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 49 + 14x
2 ( 7 ) ( x )
( x + 7 )2 = x2 + 49 + 14x
2 ( 7 ) ( x ) x • x 7 • 7
Cuadrado del primer término
Cuadrado del segundo término
Doble producto Primero por segundo
BINOMIO AL CUADRADO
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
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CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
x2 + 49 + 14x
2 ( X ) ( 7 )
x • x 7 • 7
Cuadrado del primer término
Cuadrado del segundo término
Doble producto Primero por segundo
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COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJEMPLO No. 1
x2 + 32 + 12x 0 =
x2 - 32 + 12x =
Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la
ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:
x2 - 32 + 12x = 12 : 2 = 6 , 62 = 36 + 36 + 36
Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el
segundo miembro:
4 = ( x + 6 )2
Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:
± 2 = x + 6 Se buscan las dos raíces de la ecuación:
x + 6 = + 2 , x = + 2 - 6
Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
x1 = - 4
x + 6 = - 2 , x = - 2 - 6
x2 = - 8
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EJEMPLO No. 2
x2 + 21 + 10x 0 =
x2 - 21 + 10x =
Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la
ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:
x2 - 21 + 10x = 10 : 2 = 5 , 52 = 25 + 25 + 25
Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el
segundo miembro:
4 = ( x + 5 )2
Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:
± 2 = x + 5 Se buscan las dos raíces de la ecuación:
x + 5 = + 2
Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
x + 5 = - 2
x = + 2 - 5 x = - 2 - 5
x1 = - 3 x2 = - 7
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EJEMPLO No. 3
x2 + 15 - 8x 0 =
x2 - 15 - 8x =
Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la
ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal:
x2 - 15 - 8x = 8 : 2 = 4 , 42 = 16 + 16 + 16
Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el
segundo miembro:
1 = ( x - 4 )2
Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación:
± 1 = x - 4 Se buscan las dos raíces de la ecuación:
x - 4 = + 1
Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
x - 4 = - 1
x = + 1 + 4 x = - 1 + 4
x1 = 5 x2 = 3
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EJEMPLO No. 4
x2 - 20 - 8x 0 =
x2 + 20 - 8x =
x2 + 20 - 8x =
8 : 2 = 4 , 42 = 16
+ 16 + 16
36 = ( x - 4 )2
± 6 = x - 4
x - 4 = + 6
TRANSPONER
x - 4 = - 6
x = + 6 + 4 x = - 6 + 4
x1 = 10 x2 = - 2
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
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EJEMPLO No. 5
x2 - 55 - 6x 0 =
x2 + 55 - 6x =
x2 + 55 - 6x =
6 : 2 = 3 , 32 = 9
+ 9 + 9
64 = ( x - 3 )2
± 8 = x - 3
x - 3 = + 8
TRANSPONER
x - 3 = - 8
x = + 8 + 3 x = - 8 + 3
x1 = 11 x2 = - 5
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
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EJEMPLO No. 6
x2 - 40 - 3x 0 =
x2 + 40 - 3x =
x2 + 40 - 3x =
3 : 2 = 3/2 , (3/2)2 = 9/4
+ 9
4
+ 9
4
169
4
= ( x - 3 )2
2
± 13/2 = x - 3/2
x - 3/2 = + 13/2
TRANSPONER
x - 3/2 = - 13/2
x = + 13/2 + 3/2 x = - 13/2 + 3/2
x1 = 8 x2 = - 5
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
40 (4) + 9 = 169/4
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EJEMPLO No. 7
x2 - 36 + 5x 0 =
x2 + 36 + 5x =
x2 + 36 + 5x =
5 : 2 = 5/2 , (5/2)2 = 25/4
+ 25
4 + 25
4
169
4
= ( x + 5 )2
2
± 13/2 = x + 5/2
x + 5/2 = + 13/2
TRANSPONER
x + 5/2 = - 13/2
x = + 13/2 - 5/2 x = - 13/2 - 5/2
x1 = 4 x2 = - 9
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
36 (4) + 25 = 169/4
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EJEMPLO No. 8
2x2 + 5 + 7x 0 =
x2 - 5
2
+ 7 x
2
=
x2 - 5
2 + 7 x
2
=
7/2 : 2 = 7/4 , (7/4)2 = 49/16
+ 49
16
+ 49
16
9
16
= ( x + 7 )2
4
± 3
4
= x + 7
4
x + 7/4 = + 3/4
DIVIDIR ENTRE 2
Y
TRANSPONER
x + 7/4 = - 3/4
x = + 3/4 - 7/4 x = - 3/4 - 7/4
x1 = - 1 x2 = - 5/2
COMPLETAR
CUADRADO
FACTORIZAR Y
REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
-5 (8) + 49 = 9/16
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EJEMPLO No. 9
7x2 - 4 - 27x 0 =
x2 + 4
7
- 27 x
7
=
x2 + 4
7 - 27 x
7
=
27/7 : 2 = 27/14 , (27/14)2 = 729/196
+ 729
196
+ 729
196
841
196
= ( x - 27 )2
14
± 29
14
= x - 27
14
x - 27/14 = + 29/14
DIVIDIR ENTRE 7
Y
TRANSPONER
x - 27/14 = - 29/14
x = + 29/14 + 27/14 x = - 29/14 + 27/14
x1 = 4 x2 = - 1/7
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
4 (28) + 729 = 841/196
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EJEMPLO No. 10
5x2 - 6 - 7x 0 =
x2 + 6
5
- 7 x
5
=
x2 + 6
5 - 7 x
5
=
7/5 : 2 = 7/10 , (7/10)2 = 49/100
+ 49
100
+ 49
100
169
100
= ( x - 7 )2
10
± 13
10
= x - 7
10
x - 7/10 = + 13/10
DIVIDIR ENTRE 5
Y
TRANSPONER
x - 7/10 = - 13/10
x = + 13/10 + 7/10 x = - 13/10 + 7/14
x1 = 2 x2 = - 3/5
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
6 (20) + 49 = 169/100
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COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 + 45 + 14x 0 = TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x2 - 45 + 14x =
x2 + 49 + 14x - 45 = + 49
4 = ( x + 7 )2
± 2 = x + 7
x + 7 = + 2 x + 7 = - 2
x = + 2 - 7 x = - 2 - 7
x1 = - 5 x2 = - 9
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COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 - 45 - 12x 0 = TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x2 + 45 - 12x =
x2 + 36 - 12x + 45 = + 36
81 = ( x - 6 )2
± 9 = x - 6
x - 6 = + 9 x - 6 = - 9
x = + 9 + 6 x = - 9 + 6
x1 = 15 x2 = - 3
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COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x2 - 54 - 3x 0 = TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAER RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x2 + 54 - 3x =
x2 + 9
4
- 3x + 54 = + 9
4
225
4
= ( x - 3 )2
2
± 15/2 = x - 3/2
x - 3/2 = + 15/2 x - 3/2 = - 15/2
x = + 15/2 + 3/2 x = - 15/2 + 3/2
x1 = 9 x2 = - 6
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COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
7x2 - 3 + 20x 0 = DIVIDIR ENTRE 7
Y
TRANSPONER
COMPLETAR CUADRADO
FACTORIZAR Y REDUCIR
EXTRAEMOS RAIZ CUADRADA
BUSCAMOS RAICES
x2 + 3
7
+ 20x
7
=
x2 + 400
196
+ 20x
7 + 3
7
= + 400
196
484
196
= ( x + 20 )2
14
± 22/14 = x + 20/14
x + 20/14 = + 22/14 x + 20/14 = - 22/14
x = + 22/14 - 20/14 x = - 22/14 - 20/14
x1 = 1/7 x2 = - 3
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PIONERO EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y LA TEORÍA DE GRUPOS DE PERMUTACIONES. UNO DE LOS MATEMÁTICOS MÁS IMPORTANTES DE LA HISTORIA.
PROPUSO LA TEORÍA DE LAS FUNCIONES COMPLEJAS.
AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789 – 1857)
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FORMULA GENERAL
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DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL APLICAMOS EL PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR
UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
ax2 + c + bx 0 =
x2 - c
a
+ b x
a
=
x2 - c
a + b x
a
=
b/a : 2 = b/2a , (b/2a)2 = b2/4a2
+ b2
4a2
+ b2
4a2
b2 – 4ac
4a2 = ( x + b )2
2a
Dividir entre “a” y transponer
Completar el cuadrado
Factorizar y reducir
Extraer raíz cuadrada b2 - 4ac
2a = x + b
2a
Buscamos raíces de la ecuación
= x
- b
2a
Reducimos a un denominador común
±
b2 - 4ac
2a ±
x
- b
b2 - 4ac
±
=
2a
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x
- b
±
=
2a
b2 - 4ac
FORMULA GENERAL
UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES
x1
- b
+
=
2a
b2 - 4ac x2
- b
-
=
2a
b2 - 4ac
b2 - 4ac DISCRIMINANTE
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DISCRIMINANTE
b2 - 4ac > 0 Raíces reales y desiguales
b2 - 4ac = 0 Raíces reales e iguales
b2 - 4ac < 0 Raíces imaginarias y desiguales
Por ejemplo: 3x2 + 5x - 2 = 0 a = 3 , b = 5 y c = - 2
( 5 )2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) = 25 + 24 = 49 x1 = 1/3 , x2 = - 2
Por ejemplo: 36x2 + 12x + 1 = 0 a = 36 , b = 12 y c = 1
( 12 )2 - 4 ( 36 ) ( 1 ) = 144 - 144 = 0 x1 = - 1/6 , x2 = - 1/6
Por ejemplo: x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 , b = - 4 y c = 8
( - 4 )2 - 4 ( 1 ) ( 8 ) = 16 - 32 = - 16 x1 = 2 + 2i , x2 = 2 – 2i
![Page 67: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/67.jpg)
x
- b
±
= b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
x2 + 9x + 14 = 0 a = 1 b = 9 c = 14
SUSTITUYENDO VALORES
x
- ( 9 )
±
= ( 9 )2 - 4( 1 ) ( 14 )
2( 1 )
x
- 9
±
= 81 - 56
2
x
- 9
±
= 25
2
x
- 9
±
=
5
2
x1
- 9
+
=
5
2
x2
- 9
-
=
5
2
=
=
- 2
- 7
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
EJEMPLO 1
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x
- b
±
=
b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
x2 - 7x - 44 = 0 a = 1 b = -7 c = - 44
SUSTITUYENDO VALORES
x
- (-7 )
±
=
( -7 )2 - 4( 1 )(- 44 )
2( 1 )
x
+ 7
±
=
49 + 176
2
x
+ 7
±
=
225
2
x
+ 7
±
=
15
2
x1
+ 7
+
=
15
2
x2
+ 7
-
=
15
2
=
=
11
- 4
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
EJEMPLO 2
![Page 69: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/69.jpg)
x
- b
±
= b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
2x2 - 7x - 15 = 0 a = 2 b = -7 c = - 15
SUSTITUYENDO VALORES
x
- (-7 )
±
= ( -7 )2 - 4( 2 )(- 15 )
2( 2 )
x
+ 7
±
= 49 + 120
4
x
+ 7
±
= 169
4
x
+ 7
±
=
13
4
x1
+ 7
+
=
13
4
x2
+ 7
-
=
13
4
=
=
5
- 3
2
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
EJEMPLO 3
![Page 70: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/70.jpg)
x
- b
±
=
b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
5x2 - 14x - 3 = 0 a = 5 b = -14 c = - 3
SUSTITUYENDO VALORES
x
- (-14 )
±
=
( -14 )2 - 4( 5 )(- 3 )
2( 5 )
x
+ 14
±
=
196 + 60
10
x
+ 14
±
=
256
10
x
+ 14
±
=
16
10
x1
+ 14
+
=
16
10
x2
+ 14
-
=
16
10
=
=
3
- 1
5
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
EJEMPLO 4
![Page 71: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/71.jpg)
x
- b
±
=
b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
6x2 - 20x + 6 = 0 a = 6 b = -20 c = 6
SUSTITUYENDO VALORES
x
- (-20 )
±
=
( -20 )2 - 4( 6 )( 6 )
2( 6 )
x
+ 20
±
=
400 - 144
12
x
+ 20
±
=
256
12
x
+ 20
±
=
16
12
x1
+ 20
+
=
16
12
x2
+ 20
-
=
16
12
=
=
3
1
3
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
EJEMPLO 5
![Page 72: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/72.jpg)
x
- b
±
= b2 - 4ac
2a
FORMULA GENERAL
x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 b = - 4 c = 8
SUSTITUYENDO VALORES
x
- (- 4 )
±
= ( - 4 )2 - 4( 1 )( 8 )
2( 1 )
x
+ 4
±
= 16 - 32
2
x
+ 4
±
= - 16
2
x
+ 4
±
=
4 i
2
x1
+ 4
+
=
4 i
2
x2
+ 4
-
=
4 i
2
=
=
2 + 2 i
2 – 2 i
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
EJEMPLO 6
![Page 73: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/73.jpg)
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
4x2 + 2x - 6 = 0 a = 4 b = + 2 c = - 6
±
x
- b
= b2 - 4ac
2a
SUSTITUYENDO VALORES
±
x
- ( 2 )
= ( 2 )2 - 4( 4 )( - 6 )
2( 4 )
x
- 2
±
= 4 + 96
8
x
- 2
±
= 100
8
x1
- 2
+
=
10
8
= 1
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
x
- 2
±
=
10
8
x2
- 2
-
=
10 = - 3
2
8
COEFICIENTES
![Page 74: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/74.jpg)
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
2x2 + x - 105 = 0 a = 2 b = + 1 c = -105
±
x
- b
= b2 - 4ac
2a
SUSTITUYENDO VALORES
±
x
- ( 1 )
= ( 1 )2 - 4( 2 )( - 105 )
2( 2 )
x
- 1
±
= 1 + 840
4
x
- 1
±
= 841
4
x1
- 1
+
=
29
4
= 7
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
x
- 1
±
=
29
4
x2
- 1
-
=
29 = - 15
2
4
COEFICIENTES
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Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
8x2 - 2x - 3 = 0 a = 8 b = - 2 c = - 3
±
x
- b
= b2 - 4ac
2a
SUSTITUYENDO VALORES
±
x
- (- 2 )
= ( - 2 )2 - 4( 8 )( - 3 )
2( 8 )
x
+ 2
±
=
4 + 96
16
x
+ 2
±
= 100
16
x1
+ 2
+
=
10
16
= 3
4
REALIZANDO OPERACIONES
BUSCANDO RAICES
x
+ 2
±
=
10
16
x2
+ 2
-
=
10 = - 1
2
16
COEFICIENTES
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PLANTEO LA RESOLUCION DE DIVERSAS ECUACIONES DE LA FORMA x³+ px = q
NICCOLO FONTANA (1499 – 1557 )
MENU
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PROCEDIMIENTO GRAFICO
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 3 8 A ( -3 , 8 )
- 1 0 B ( -1 , 0 )
0 - 1 C ( 0 , -1 )
1 0 D ( 1 , 0 )
3 8 E ( 3 , 8 )
y = x2 - 1
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - 1 = 9 - 1 = 8
y = ( - 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0
y = ( 0 )2 - 1 = - 1
y = ( 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0
y = ( 3 )2 - 1 = 9 - 1 = 8
X
Y’
X’
Y
A
B D
Escala 1: 2 Vertical
C
E
Eje Real
Parábola Secante
* Ceros
de función
*
X1 = - 1 X2 = 1
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 3 6 A ( -3 , 6 )
- 2 0 B ( -2 , 0 )
0 - 6 C ( 0 , - 6 )
2 - 4 D ( 2 ,- 4 )
3 0 E ( 3 , 0 )
y = x2 - x - 6
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - ( -3 ) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6
y = ( - 2 )2 - ( -2 ) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0
y = ( 0 )2 - ( 0 ) - 6 = - 6
y = ( 2 )2 - ( 2 ) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4
y = ( 3 )2 - ( 3 ) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0
X
Y’
X’
Y
A
B
D
E
C
Eje Real
X1 = - 2 X2 = 3
Parábola Secante
* Ceros
de función
*
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 3 5 A ( -3 , 5 )
- 2 0 B ( -2 , 0 )
0 - 4 C ( 0 , - 4 )
2 0 D ( 2 , 0 )
3 5 E ( 3 , 5 )
y = x2 - 4
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - 4 = 9 - 4 = 5
y = ( - 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0
y = ( 0 )2 - 4 = - 4
y = ( 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0
y = ( 3 )2 - 4 = 9 - 4 = 5
X
Y’
X’
Y
A
B D
C
E
Eje Real
Parábola Secante
* Ceros
de función
*
X1 = - 2 X2 = 2
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 3 18 A ( -3 , 18 )
- 2 10 B ( -2 , 10 )
0 0 C ( 0 , 0 )
2 - 2 D ( 2 , - 2 )
3 0 E ( 3 , 0 )
y = x2 - 3X
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - 3 ( - 3 ) = 9 + 9 = 18
y = ( - 2 )2 - 3 ( - 2 ) = 4 + 6 = 10
y = ( 0 )2 - 3 ( 0 ) = 0
y = ( 2 )2 - 3 ( 2 ) = 4 – 6 = - 2
y = ( 3 )2 - 3 ( 3 ) = 9 – 9 = 0
X
Y’
X’
Y
A
B
D
C E Eje Real
Parábola Secante
* Ceros de función
*
X1 = 0 X2 = 3
Escala 1: 3 Vertical
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 5 0 A ( -5 , 0 )
- 2 - 18 B ( -2,-18 )
0 - 20 C ( 0 ,-20 )
4 0 D ( 4 , 0 )
5 10 E ( 5 , 10 )
y = x2 + x - 20
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 5 ) 2 + ( -5 ) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0
y = ( - 2 )2 + ( -2 ) - 20 = 4 - 2 - 20 = - 18
y = ( 0 )2 + ( 0 ) - 20 = - 20
y = ( 4 )2 + ( 4 ) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0
y = ( 5 )2 + ( 5 ) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10
X
Y’
X’
Y
A
B
D
E
C
Eje Real
X1 = - 5
X2 = 4
Parábola Secante
* Ceros
de función
*
Escala 1: 4 Vertical
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 5 100 A( -5 ,100 )
- 2 49 B ( -2, 49 )
0 25 C( 0 , 25 )
2 9 D( 4 , 9 )
5 0 E( 5 , 0 )
y = x2 - 10x + 25
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 5 ) 2 - 10( -5 ) + 25 = 25 + 50 + 25 = 100
y = ( - 2 )2 - 10( -2 ) + 25 = 4 + 20 + 25 = 49
y = ( 0 )2 - 10( 0 ) + 25 = 25
y = ( 2 )2 - 10( 2 ) + 25 = 4 - 20 + 25 = 9
y = ( 5 )2 - 10( 5 ) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0
X
Y’
X’
Y
A
B
D E
C
Eje Real
X1 = 5
Parábola Tangente
Cero de función Múltiple
*
Escala 1: 25 Vertical
X2 = 5
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 8 16 A( -8 , 16 )
- 4 0 B ( -2, 0 )
0 16 C( 0 , 16 )
2 36 D( 4 , 36 )
4 81 E( 5 , 81 )
y = x2 + 8x + 16
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 8 ) 2 + 8( -8 ) + 16 = 64 - 64 + 16 = 16
y = ( - 4 )2 + 8( -4 ) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0
y = ( 0 )2 + 8( 0 ) + 16 = 16
y = ( 2 )2 + 8( 2 ) + 16 = 4 + 16 + 16 = 36
y = ( 5 )2 + 8( 5 ) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81
X
Y’
X’
Y
A
B
D
E
C
Eje Real
X1 = - 4
Parábola Tangente
Cero de función Múltiple
*
Escala 1: 2 Horizontal Escala 1:16
Vertical
X2 = - 4
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 3 18 A( -3 , 18 )
- 2 11 B ( -2, 11 )
0 3 C( 0 , 3 )
2 3 D( 2 , 3 )
3 6 E( 3 , 6 )
y = x2 - 2x + 3
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = ( - 3 ) 2 - 2( -3 ) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18
y = ( - 2 )2 - 2( -2 ) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11
y = ( 0 )2 - 2( 0 ) + 3 = 3
y = ( 2 )2 - 2( 2 ) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3
y = ( 3 )2 - 2( 3 ) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6
X
Y’
X’
Y
A
B
D
E
C Eje Real
Parábola
Raíces
imaginarias
Escala 1:3 Vertical
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GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
x y Puntos
- 4 28 A ( -4 , 28 )
- 3 18 B ( -3 , 18 )
0 0 C ( 0 , 0 )
3 0 D ( 2 , 0 )
4 4 E ( 4 , 4 )
y = x2 - 3x
Asignamos valores a x
Buscamos valores de y
y = (- 4 )2 – 3(-4) = 16 + 12 = 28
y = (-3 )2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18
y = ( 0 )2 - 3( 0 ) = 0
y = ( 3 )2 - 3( 3 ) = 9 - 9 = 0
y = ( 4 )2 - 3( 4 ) = 16 - 12 = 4
X
Y’
X’
Y
A
B
C D
E
Grafica la función
en tu cuaderno
Para comprobar
resultados da un click
en el botón izquierdo
del mouse Escala 1: 6
Vertical
Parábola Secante
X1 = 0
X2 = 3
* *
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CREO LA GEOMETRIA ANALITICA INTRODUJO UN SISTEMA DE COORDENADAS, LLAMADAS CARTESIANAS.
RENE DESCARTES ( 1596 – 1650)
MENU
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RESOLUCION DE PROBLEMAS
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RESOLUCION DE PROBLEMAS
LECTURA CUIDADOSA HASTA ENTENDER LA SITUACION QUE SE PLANTEA
IDENTIFICAR CANTIDADES
UNA SE REPRESENTA POR “x”
CONOCIDAS DESCONOCIDAS
OTRAS EN FUNCION DE ESTA LETRA
IDENTIFICAR IGUALDADES (CONSTRUIR LA ECUACION)
ENCONTRAR LA SOLUCION
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El producto de dos números es 91. ¿Cuáles son esos números, si sabemos que el mayor excede en 6 unidades al menor ? .
EJEMPLO 1
Número menor :
Número mayor :
x
x + 6
x ( x + 6 ) = 91 Verificando operaciones
x2 + 6x = 91 Transponer e igualar a cero
x2 + 6x – 91 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 6x - 91 = 0
( x + 13 ) ( x - 7 ) = 0
( x + 13 ) = 0
x = - 13
( x - 7 ) = 0
x = 7 *
Número menor :
Número mayor :
7
7 + 6 13
Los números son 7 y 13
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El producto de dos números consecutivos pares es 48. Encontrar esos números.
EJEMPLO 2
Primer número :
Segundo número :
x
x + 2
x ( x + 2 ) = 48 Verificando operaciones
x2 + 2x = 48 Transponer e igualar a cero
x2 + 2x - 48 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 48 = 0
( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0
( x + 8 ) = 0
x = - 8
( x - 6 ) = 0
x = 6 *
Primer número :
Segundo número :
6
6 + 2 8
Los números son 6 y 8
![Page 92: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/92.jpg)
La suma de los cuadrados de las edades de Margarita y Josefina es 100 años. Si Margarita es dos años mayor, ¿ cuáles son sus edades ?
EJEMPLO 3
Josefina :
Margarita :
x
x + 2
x2 + ( x + 2 )2 = 100 Verificando operaciones
x2 + x2 + 4x + 4 = 100 Transponer e igualar a cero
2x2 + 4x - 96 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 48 = 0
( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0
( x + 8 ) = 0
x = - 8
( x - 6 ) = 0
x = 6 *
Josefina :
Margarita :
6 años
6 + 2 8 años
Margarita tiene 8 años y Josefina tiene 6 años
2x2 + 4x + 4 = 100
x2 + 2x - 48 = 0
Simplificando
![Page 93: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/93.jpg)
El área de un rectángulo es 36 m2, su base excede a la altura en 5 m. Encontrar las dimensiones del rectángulo.
EJEMPLO 4
Base :
Altura :
x + 5
x
x ( x + 5 ) = 36 Verificando operaciones
x2 + 5x = 36 Transponer e igualar a cero
x2 + 5x - 36 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 5x - 36 = 0
( x + 9 ) ( x - 4 ) = 0
( x + 9 ) = 0
x = - 9
( x - 4 ) = 0
x = 4 *
Base:
Altura :
4 + 5
4 metros
9 metros
Dimensiones : 9 m de base y 4 m de altura
![Page 94: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - … · ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3 ... UNA ECUACIÓN DE LA FORMA : a , b y c son números reales y a ≠ 0 ax2 + bx + c = 0 X Y’ X’ ... Ecuación](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022040713/5e17f0c108394f21ec5230d1/html5/thumbnails/94.jpg)
La diferencia entre dos números es 2 y su producto 288. Encontrar los números.
EJEMPLO 5
Número menor :
Número mayor :
x
x + 2
x ( x + 2 ) = 288 Verificando operaciones
x2 + 2x = 288 Transponer e igualar a cero
x2 + 2x - 288 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 288 = 0
( x + 18 ) ( x - 16 ) = 0
( x + 18 ) = 0
x = - 18
( x - 16 ) = 0
x = 16 *
Número menor:
Número mayor :
16
16 + 2
16 y 18 son los números buscados
18
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El área de un triángulo rectángulo mide 84 m2. Encontrar las dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 m .
EJEMPLO 6
x
x + 17
x ( x + 17 ) = 84 2
Verificando operaciones
x2 + 17x = 168 Transponer e igualar a cero
x2 + 17x - 168 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 17x - 168 = 0
( x + 24 ) ( x - 7 ) = 0
( x + 24 ) = 0
x = - 24
( x - 7 ) = 0
x = 7 *
Altura:
Base :
7 m
7 + 17
Los catetos miden 7 m y 24 m
24 m
84 m2
A = bh 2
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Un número es el doble más uno con respecto a otro. La diferencia de sus cuadrados es 96. Encontrar esos números.
EJEMPLO 7
Número menor :
Número mayor :
x
2x+1
(2 x + 1 )2 - x2 = 96 Verificando operaciones
4x2 + 4x + 1 - x2 = 96 Transponer e igualar a cero
3x2 + 4x - 95 = 0
Resolvemos la ecuación
3x2 + 4x - 95 = 0
(3x2 + 19x) - ( 15x + 95) = 0
( x - 5 ) = 0
x = 5
( 3x + 19 ) = 0
x = - 19/3
*
Número menor :
Número mayor :
5
10 + 1 11
Los números son 5 y 11
x ( 3x + 19 ) - 5 (3x + 19 ) = 0
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La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 .
EJEMPLO 8
Primer numero :
Segundo número :
x
22 - x
x ( 22 - x ) = 117 Verificando operaciones
- x2 + 22x = 117 Transponer e igualar a cero
- x2 + 22x - 117 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 - 22x + 117 = 0
( x - 13 ) = 0
x = 13
( x - 9 ) = 0
x = 9 *
Primer número:
Segundo número :
9
22 - 9 13
Los números son 9 y 13
( x - 13 ) (x - 9 ) = 0
Multiplicando por - 1
x2 - 22x + 117 = 0
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Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
La diferencia de dos números es 2 y su suma multiplicada por el mayor equivale a 40. Encontrar esos números.
Primer menor :
Segundo número :
x
x + 2
( 2x + 2 ) ( x + 2 ) = 40 Verificando operaciones
2x2 + 6x + 4 = 40 Transponer e igualar a cero
2x2 + 6x - 36 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 3x - 18 = 0
( x + 6 ) = 0
x = - 6
( x - 3 ) = 0
x = 3 *
Primer número:
Segundo número :
3
3 + 2 5
Los números son 3 y 5
( x + 6 ) (x - 3 ) = 0
Simplificando
x2 + 3x - 18 = 0
2x + 2 Suma
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El producto de dos números enteros positivos es 143, si sabemos que el mayor excede en 2 unidades al menor, ¿cuáles son los números?.
Número menor :
Número mayor :
x
x + 2
x ( x + 2 ) = 143 Verificando operaciones
x2 + 2x = 143 Transponer e igualar a cero
x2 + 2x - 143 = 0
Resolvemos la ecuación
x2 + 2x - 143 = 0
( x + 13 ) = 0
x = - 13
( x - 11 ) = 0
x = 11 *
Número menor:
Número mayor :
11
11 + 2 13
Los números son 11 y 13
( x + 13 ) (x - 11 ) = 0
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Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
Un romboide presenta un área de 133 m2. Encontrar sus dimensiones, sabiendo que la base mide el doble más cinco con respecto a la altura
Altura :
Base :
x
2x + 5
x ( 2x + 5 ) = 133 Verificando operaciones
2x2 + 5x = 133 Transponer e igualar a cero
2x2 + 5x - 133 = 0
Resolvemos la ecuación
2x2 + 5x - 133 = 0
2x ( x + 19 ) – 14 (x+ 19 ) = 0
x = 7
( x + 19 ) = 0
x = - 19
*
Altura:
Base :
7m
14 + 5 19m
El romboide tiene como dimensiones: 19 m de base y 7 m de altura
(2x2 + 19x) - (14x – 133) = 0
(2x - 14 ) (x+ 19 ) = 0
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REALIZO EL PRIMER TRATAMIENTO ANALITICO COMPLETO DEL ALGEBRA, LA TEORIA DE ECUACIONES, LA TRIGONOMETRIA Y LA GEOMETRIA ANALITICA.
LEONHARD EULER (1707 – 1783 )
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