Ecuaciones diferenciales

Matemáticas Avanzadas

Alumno: Rolando Fernando

Echavarría Velázquez

Profesor: Lic. Edgar Mata Ortiz

Grupo: 7º ‘’A’’ T.M.

Concepto de ecuaciones

diferenciales Una ecuación diferencial es una expresión que

involucra a una función desconocida y sus

derivadas.

Ejemplo:

Y+Y¹= 0

Definición de y

Y’ = Y prima

Y’’= Y biprima

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en :

-Ordinarias

-Parciales

Orden de una ecuación diferencial: Son los

grados y El orden de la derivada máxima que

aparece en la ecuación

Solución de una ecuación

diferencial

La solución en una función

desconocida’’ y’’ la variable

independiente ‘’X’’ definida en un

intervalo y es una función que satisface

la ecuación diferencial para todos los

valores de ‘’X ‘’en el intervalo

1-. Solución Y’’ + 4y =0

Y= sen2x + cos2x

Y’= 2cos2x – 4cos (2x)

Y’’= – 4sen2x – 4 cos (2x)

La comprobación nos arroja

– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0

– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0

Esto nos arroja una solución general

2-. Y= 5sen2x + 3cos2x

5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)

Y¹= – 6sen2x + 10cos2x

Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x

Comprobación :

–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0

– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0

Esto nos arroja una solución particular

Comprobar

3-. Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1

Y¹ = 2x

2x + (x² – 1 ) ²= 1

4-. Y’ + Y² = 0

Y= 1

𝑥

Y’= –1

𝑋²

Y’’= 2

𝑋³

–1

𝑋²+ – (

1

𝑋)² = 0

–1

𝑋²+ –

1

𝑋²= 0

5-. Y = 𝑒2𝑥

Solución :Y’’ + Y’ – 6 Y = 0

Y’=2 𝑒2𝑥

Y’’= 4 𝑒2𝑥

Comprobacion:

4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 ( 𝑒2𝑥) = 0

6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0

6-.Y= 𝑒^(−2𝑥) + 𝑒^3𝑥

Solución :Y’’ + Y ‘ - 6Y = 0

Y ‘ = - 2 𝑒−2𝑥 + 3 𝑒3𝑥

Y’’ = - 4 𝑒−2𝑥 + 9𝑒3𝑥

Comprobación

-4 𝑒−2𝑥 + 9 𝑒3𝑥 - 2 𝑒−2𝑥+ 3 𝑒3𝑥 - 6 (𝑒−2𝑥 +

𝑒3𝑥) =0

7-. Y= x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥

Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )

Y’ = 2 x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥

Y’’ = 2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥

2+ 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥 -2 (x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥)= 0

2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥- 2 x²- 2 𝑒−2𝑥 =

2( 1+ X - x² )

2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )

8-.Y= C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥

Solución : y‘’ - 4y´ + 4y = 0

Y’= 2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥

Y’’= 4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥

Comprobación

=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 4(2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥 ) + 4 (C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥 ) =0

4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 8C1 𝑒2𝑥 -8C 2 𝑥𝑒2𝑥 - 4 C 2 𝑒2𝑥 + 4C1 𝑒2𝑥 + 4 C2 𝑒2𝑥 = 0

8C1 𝑒2𝑥 + 8C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 4 C 2 𝑒2𝑥 -12C2 𝑒2𝑥 - 8 C1 𝑒2𝑥 = 0

Y= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦

𝑥

∫ 𝑑𝑦

𝑦= ∫

𝑑𝑥

𝑥

Lny= Lnx + l n C1

Lny = LnC1x

Aplicado antilogaritmos

Y= C1x

Comprobación

Y= C1x𝑑𝑦

𝑑𝑥= C1

Comprobación:

𝒚 = 𝑪𝟏𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝑪𝟏

Sustituyendo:𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒚

𝒙

𝑪𝟏 =𝑪𝟏𝒙

𝒙𝑪𝟏 = 𝑪𝟏

𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝒙

𝒚

𝒚𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒙

𝒚𝟐

𝟐=𝒙𝟐

𝟐+𝑪𝟏

𝟐2

𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝑪𝟏

Ecuaciones diferenciales exactas1-. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2dy = 0

𝑀 = 𝑋2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥

𝑁=𝑦2

∂ 𝑀∂ 𝑦

=2𝑥∂ 𝑁∂ 𝑥

=0

5𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥 − 8𝑦3 𝑑𝑦 = 0𝑥 5𝑑𝑥 + 4𝑑𝑦 + 4𝑦 𝑑𝑦 − 2𝑦2𝑑𝑦 = 05𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 − 8𝑦3𝑑𝑦 = 0

No existe posibilidad para separar las variables , por lo tanto se tiene que buscar otro metodo

𝑀 = 5𝑥 + 4𝑦 𝑁 = 4𝑥 − 8𝑦3

∂ 𝑀∂ 𝑦

= 4∂ 𝑁∂ 𝑥

=4

Si es una ecuación diferencial exacta por que :

∂ 𝑀∂ 𝑦

= 4 es igual a ∂ 𝑁∂ 𝑥

=4

2-. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑁 = 𝑥𝑦

∂ 𝑀∂ 𝑦

= 2𝑦∂ 𝑁∂ 𝑥

=𝑦

No es exacta porque: ∂ 𝑀∂ 𝑦

= 2𝑦

son diferentes ∂ 𝑁∂ 𝑥

=𝑦

A veces es posible encontrar un factor ( que llamamos factor

integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial

la convierte en exacta. Para encontrar este factor integrante

Se usa la siguiente formula:

utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por

medio de la expresión:

𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑒 1

𝑥𝑑𝑥 𝑒

𝑑𝑥

𝑥 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥Ahora multiplicamos la ecuación diferencial original por este

integrante y el resultado de la multiplicación será una ecuación

diferencial exacta.

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑁 = 𝑥2𝑦

∂ 𝑀∂ 𝑦

=2𝑥𝑦∂ 𝑁∂ 𝑥= 2𝑥𝑦

Simplemente aplicamos el método de solución de ecuaciones

diferenciales exactas:

Integramos: 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥

𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑥

𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝑔𝑦

𝑓 =𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝑔𝑦

‘’f’’’ significa función

𝑥2𝑦 + gy = 𝑥2𝑦

Simplificando:

+𝑔𝑦 = 𝑥2𝑦- 𝑥2𝑦 𝑔𝑦=0

Si 𝑔𝑦=0 entonces gy= C1

Por lo tanto la función buscada es :

Y la solución se obtiene igualando esta función a una

constante C2:

𝑥4

4+ 𝑦2

𝑥2

2+𝑥3

3+ 𝐶1 = 𝐶2

Simplificando𝑥4

4+𝑥2𝑦2

2+𝑥3

3+ 𝐶

Multiplicando por 12 3𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2𝑦2 + 𝐶

3-. 3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0SOLUCION : 3𝑥2 + 𝑦2

𝑀 = 3𝑥2 + 𝑦2 𝑁 = −2𝑥𝑦𝑑𝑦𝜕𝑀

𝜕𝑦= 2y

𝜕𝑁

𝜕𝑋= −2y

No son exactas por lo cual se aplica la formula para encontrar el factor integrante: 𝜕𝑀

𝜕𝑦−𝜕𝑁

𝜕𝑥

𝑁= 2𝑦−(−2𝑦)

−2𝑥𝑦=2𝑦+2𝑦

−2𝑥𝑦=

4𝑦

−2𝑦=−2

𝑥

𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑒 −2

𝑥𝑑𝑥 𝑒−2

𝑑𝑥

𝑥 𝑒𝑙𝑛𝑥−2

= 𝑥−2 =1

𝑥2

3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 01

𝑥2

3 +𝑦2

𝑥2𝑑𝑥 −

2𝑦

𝑥𝑑𝑦 = 0

𝑀 = 3 +𝑦2

𝑥2𝑁 = −2𝑦

𝑥

𝜕𝑀

𝜕𝑦=2𝑦

𝑥2𝑢 = −2𝑦 𝑣 = 𝑥

𝑣𝑑𝑢

𝑑𝑥−𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑣2

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 0

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1

𝜕𝑁

𝜕𝑥=𝑥 0 − 2 −2𝑦 (1)

(𝑥)2

𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑦

𝑥2

Integramos : 3 +𝑦2

𝑥2dx

3 +𝑦2

𝑥2dx =3 𝑑𝑥 + 𝑦2

𝑑𝑥

𝑥2= 3𝑥 + 𝑦2 𝑥−2

𝑓 = 3𝑥 + 𝑦2𝑥−1

−1+ 𝑔𝑦

𝑓 = 3𝑥 −𝑦2

𝑥+ 𝑔𝑦

Determinar : 𝑔𝑌𝜕𝑓

𝜕𝑦= −

2𝑦

𝑥+ 𝑔𝑦

−2𝑦

𝑥+ 𝑔𝑦=−

2𝑦

𝑥

𝑔𝑦=−2𝑦

𝑥+2𝑦

𝑥= 𝑔𝑦=0

Sustitución 𝑓 = 3𝑥 −𝑦2

𝑥+ 𝐶1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛: 3𝑥 −

𝑦2

𝑥+ C1 = C2

Reduciendo 3𝑥 −𝑦2

𝑥= C 𝑥

Multiplicando por x 3𝑥𝑦2

𝑥= C 𝑥

Solución = 3𝑥2 − 𝑦2 = 𝐶𝑥