ecuaciones lineales dra. noemí l. ruiz © derechos reservados 2006-2007
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Ecuaciones LinealesDra. Noemí L. Ruiz © Derechos Reservados
2006-2007
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Objetivos de la lección• Definir términos fundamentales relacionados
con ecuaciones• Conocer el significado de una ecuación lineal en una
variable• Conocer las propiedades de la igualdad y demostrar
el proceso para aplicar las mismas al resolver una ecuación lineal en una variable
• Conocer cómo se resuelven ecuaciones especiales que: - Contienen fracciones
- Representan identidades
- Son inconsistentes, no tienen solución
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Definiciones Fundamentales
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• Ecuación:
Igualdad que contiene variables.
• Ecuación Lineal:
Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.
• Ecuación Trivial:
Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante (número).
Definiciones
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Definiciones Continuación…
• Solución de una ecuación lineal:
Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma.
• Resolver la ecuación:
Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación.
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Ejemplos de Ecuaciones Lineales
en Una Variable
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Ejemplos de Ecuaciones
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
¿Cuáles son lineales?
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Ejemplos de Ecuaciones
3x + 5 = 8
-2x - 6y = 12
x2 – 6x + 8 = 25
y3 + 8y2 – 10y = 36
¿Cuáles son lineales
en una variable?
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Proceso para resolver una ecuación lineal en
una variable
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Para resolver una ecuación lineal…
3x – 7 = 14Hay que convertir la ecuación anterior a la ecuación trivial,
o sea,
hay que despejar la variable en uno de los lados de la ecuación, el izquierdo o el derecho.
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• Una ecuación es como una balanza
de dos platillos…
Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad.
Recordar que...
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Ejemplo:
Si añado 2 en el lado izquierdo
Hay que añadir 2 también, en el lado derecho
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Para que una ecuación permanezca balanceada…
• Hay que aplicar las propiedades de la igualdad:
Propiedad Aditiva de la Igualdad
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad
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Propiedades de la Igualdad
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Propiedades de la Igualdad
• Propiedad Aditiva
Para todo número a, b, c:
Si a = b, entonces, a + c = b + cEsta propiedad asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado.
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Propiedades de la Igualdad
• Propiedad Multiplicativa
Para todo número a, b, c,
c 0:
Si a = b, entonces, a . c = b . c
Esta propiedad asegura que en una igualdad al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se obtiene el mismo resultado.
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Aplicación de las Propiedades de la
Igualdad
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Demostración de proceso para resolver ecuación
Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo.
Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde está. En este ejemplo la variable x está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2.
Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.
2x + 5 = 11
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Continuación de proceso...
Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad.Se elimina una operación haciendo la operación contraria:
Se elimina una suma restando Se elimina una resta sumandoSe elimina una multiplicación dividiendoSe elimina una división multiplicando.
2x + 5 = 11
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Demostración de proceso...
2x + 5 = 11
2x + 5 – 5 = 11 – 5
2x + 0 = 6
2x = 6
2x = 6
2 2
x = 3
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Otro ejemplo: 6x – 9 = 27
6x – 9 = 27
6x –9 + 9 = 27 + 9
6x + 0 = 36
6x = 36
6 6
x = 6
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Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6
3x – 1 = - 4x + 6
3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1
3x = - 4x + 7
3x + 4x = 4x + - 4x + 7
7x = 7
7 7
x = 1
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Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10
2(x – 8) = 10
2x – 16 = 10
2x = 10 + 16
2x = 26
2 2
x = 13
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Ecuaciones que contienen fracciones
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Ecuaciones que contienen fracciones
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones:
Método de Proporciones
Método de No-Proporciones
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Ecuaciones que contienen fracciones
Método de Proporciones
Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.
Ejemplos de proporciones: x – 4 = x + 4 3 2
2x – 4 = x + 8 3 5
En una proporción si se multiplica cruzado se obtiene la misma cantidad.
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Ecuaciones que contienen fracciones
Método de Proporciones
x – 4 = x + 4
3 2
2 (x – 4) = 3 (x + 4)
2x – 8 = 3x + 12
-12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Se multiplica cruzado.
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Ecuaciones que contienen fracciones
Método de No-Proporciones
Aplica cuando la ecuación no es una proporción.
5 - 2x = 9
3
x + 3 = 2x - 5
4 5 3
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Ecuaciones que contienen fracciones
Método de No-Proporciones5 - 2x = 9
35 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3
3 115 – 2x = 27-2x = 27 – 15
-2x = 12-2 -2x = -6
Cuando no es una proporción se multiplica cada término por el MCD.
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Reflexión
Ecuación Condicional
Ecuación que tiene una sola solución
(Como todas las anteriores)
Hay ecuaciones especiales que no son condicionales. Veamos...
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Ecuaciones Especiales
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Ecuaciones Especiales
Ecuación Identidad
La solución es infinita o la solución son todos los Reales (que es un conjunto infinito).
Ecuación Inconsistente
No tiene solución.
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Ecuación IdentidadEcuación Identidad
2x + 1 = 5x + 1 - 3x
2x + 1 = 2x + 1
2x – 2x = 1 – 1
0 = 0
Solución son todos los números Reales
Enunciado cierto
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Ecuación InconsistenteEcuación Inconsistente
2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x)
6x + 2 = 9x + 3 – 3x
6x + 2 = 6x + 3
6x – 6x = 3 – 2
0 = 1
No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.
Enunciado falso
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Ejercicios de Práctica
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Instrucciones
1.Copia las siguientes ecuaciones en la libreta y resuélvelas.
2.Después de resolverlas haz clic en el reloj para conocer las respuestas correctas.
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Resuelve las siguientes ecuaciones:
x – 8 = 20 6 = 4 - 5x
x + 4 = 52 3 (x – 4) = 8
3x = 81 16 + x = 3x - 5
-5x = 45 2 (x + 1) = 7 – (x + 3)
2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5
6 – 4x = -12 5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)
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Fin de la lección
Para salir de la lección, haz clic en el reloj grande que está a la izquierda.
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Contestaciones de las ecuaciones:
x = 28 x = 2/-5
x = 48 x = 20/3
x = 27 x = 21/2
x = -9 x = 2/3
x = 3 No tiene solución
x = 9/2 La solución es todos los Reales