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E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2)
François Cuvelier
Laboratoire d'Analyse Géométrie et Applications
Institut Galilée
Université Paris XIII.
5 janvier 2015
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 1 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 2 / 41
Le couplage Océan-Atmosphère est décrit par un système d'E.D.P. couplées
de Navier-Stokes de la mécanique des �uides.
Le modèle de Lorentz est une version très simpli�ée de ces équations
pour l'étude du phénomène de convection de Rayleigh-Bénard :
$
&
%
x 1ptq “ ´σxptq ` σyptqy 1ptq “ ´xptqyptq ` ρxptq ´ yptq
z 1ptq “ xptqyptq ´ βzptq(1)
où
‚ xptq : proportionnel à l'intensité du mouvement de convection,
‚ yptq : proportionnel à la di�érence de température entre les courants
ascendants et descendants,
‚ zptq :proportionnel à une variation de température
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 3 / 41
Modèle de LorentzAvec σ “ 10, ρ “ 28, β “ 8{3 et les données initales xp0q “ ´8, yp0q “ 8
et zp0q “ ρ´ 1.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−20
0
20x(
t)
t
Modele de Lorentz
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−50
0
50
y(t)
t
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
20
40
z(t)
t
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Modèle de Lorentz : papillon
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 5 / 41
Modèle du Bruxelator
Une solution de bromate de potassium et d'acide sulfurique mélangée à une
solution d'acide manolique et de bromure de sodium peut entrainer, sous
certaines conditions, une oscillation de la couleur de la solution mélange du
rouge au bleue avec une période de 7 secondes.
Le modéle associé est nommé modèle du bruxelator. Sous certaines
hypothèses, le modèle simpli�é peut s'écrire :
"
A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq
B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq(2)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 6 / 41
Modèle du BruxelatorAvec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. Ap0q “ 3 et Bp0q “ 2 :
0 5 10 15 20 25 30 35 400
1
2
3
4
5
6
t
Brusselator simplifie − Concentrations
A(t)
B(t)
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Modèle du BruxelatorAvec α “ 1, β “ 3.5 et les C.I. Ap0q “ 3 et Bp0q “ 2 :
0 1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
A(t)
B(t
)
Brusselator simplifie
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 8 / 41
Pendule pesant sans viscosité
Le pendule pesant : objet pesant accroché à une tige de masse négligeable,
l'autre extrémité de la tige est l'axe de rotation du pendule.
θ2ptq `g
Lsinpθptqq “ 0. (3)
où θptq est l'angle que fait, à l'instant t, le pendule par rapport à l'axe
vertical, L la longueur de la tige.
θ
L
M
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Pendule pesant sans viscositéAvec g
L“ 3 et les C.I. θ0 “
5π6, θ10 “ 0 :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−3
−2
−1
0
1
2
3
t
θ(t)
Pendule pesant − valeur angulaire
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−4
−2
0
2
4
t
θ’(t
)
Pendule pesant − vitesse angulaire
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 10 / 41
Pendule pesant sans viscositéAvec g
L“ 3 et les C.I. θ0 “
5π6, θ10 “ 0 :
−3 −2 −1 0 1 2 3−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
θ(t)
θ’(t
)
Pendule pesant
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 11 / 41
Pendule pesant sans viscositéAvec g
L“ 3 :
0 5 10 15 20
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
AB
C
θ
θ’
Représentation des courbes paramétrées (θ(t),θ’(t))
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 12 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 13 / 41
Soit une fonction yyy dé�nie sur un intervalle de R à valeurs dans Rm de
classe Cp (continûment dérivable d'ordre p) et on note yyy ppq la dérivée
d'ordre p de yyy .
Dé�nition
On appelle équation di�érentielle ordinaire (E.D.O.) d'ordre p une
équation de la forme :
Fpt,yyyptq,yyy p1qptq,yyy p2qptq, . . . ,yyy ppqptqq “ 0.
Dé�nition
On appelle forme canonique d'une E.D.O. une expression du type :
yyy ppqptq “ GGGpt,yyyptq,yyy p1qptq,yyy p2qptq, . . . ,yyy pp´1qptqq. (4)
Proposition
Toute équation di�érentielle d'ordre p sous forme canonique peut s'écrire
comme un système de p équations di�érentielles d'ordre 1.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 14 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 15 / 41
Dé�nition (problème de Cauchy)
Soit fff l'application continue dé�nie par
fff : rt0, t0 ` T s ˆ Rm ÝÑ Rm
pt,yyyq ÞÝÑ fff pt,yyyq
avec T Ps0,`8s. Le problème de Cauchy revient à chercher une
fonction yyy dé�nie par
yyy : rt0, t0 ` T s ÝÑ Rm
t ÞÝÑ yyyptq
continue et dérivable, telle que
"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy0 P Rm.(5)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 16 / 41
pCq"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy r0s P Rm.
Exercice
Quelles sont les données du problème de Cauchy ?
"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy0 P Rm.(6)
t0 P R, T P R`˚, m P N˚
la fonction fff
le vecteur yyy r0s P Rm
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 17 / 41
pCq"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy r0s P Rm.
Exercice
Quelles sont les données du problème de Cauchy ?
"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy0 P Rm.(6)
t0 P R, T P R`˚, m P N˚
la fonction fff
le vecteur yyy r0s P Rm
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 17 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator
simpli�é :
pBq"
A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq
B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq
avec C.I. Ap0q “ A0 et Bp0q “ A0.
On pose yyyptq “
ˆ
y1ptq
y2ptq
˙
avec y1ptq “ Aptq et y2ptq “ Bptq.
La forme canonique de pBq est yyy 1ptq “ GGGbpt,yyyptqq avec p “ 1 et
GGGbpt,zzzq “
ˆ
1` αz21 z2 ´ pβ ` 1qz1´αz21 z2 ` βz1
˙
.
On pose fff bpt,zzzq “ GGGbpt,zzzq et yyyr0s “ pA0,B0q
t
pCBq"
yyy 1ptq “ fff bpt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 18 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator
simpli�é :
pBq"
A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq
B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq
avec C.I. Ap0q “ A0 et Bp0q “ A0.
On pose yyyptq “
ˆ
y1ptq
y2ptq
˙
avec y1ptq “ Aptq et y2ptq “ Bptq.
La forme canonique de pBq est yyy 1ptq “ GGGbpt,yyyptqq avec p “ 1 et
GGGbpt,zzzq “
ˆ
1` αz21 z2 ´ pβ ` 1qz1´αz21 z2 ` βz1
˙
.
On pose fff bpt,zzzq “ GGGbpt,zzzq et yyyr0s “ pA0,B0q
t
pCBq"
yyy 1ptq “ fff bpt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 18 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator
simpli�é :
pBq"
A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq
B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq
avec C.I. Ap0q “ A0 et Bp0q “ A0.
On pose yyyptq “
ˆ
y1ptq
y2ptq
˙
avec y1ptq “ Aptq et y2ptq “ Bptq.
La forme canonique de pBq est yyy 1ptq “ GGGbpt,yyyptqq avec p “ 1 et
GGGbpt,zzzq “
ˆ
1` αz21 z2 ´ pβ ` 1qz1´αz21 z2 ` βz1
˙
.
On pose fff bpt,zzzq “ GGGbpt,zzzq et yyyr0s “ pA0,B0q
t
pCBq"
yyy 1ptq “ fff bpt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 18 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du Bruxelator
simpli�é :
pBq"
A1ptq “ 1` αA2ptqBptq ´ pβ ` 1qAptq
B 1ptq “ ´αA2ptqBptq ` βAptq
avec C.I. Ap0q “ A0 et Bp0q “ A0.
On pose yyyptq “
ˆ
y1ptq
y2ptq
˙
avec y1ptq “ Aptq et y2ptq “ Bptq.
La forme canonique de pBq est yyy 1ptq “ GGGbpt,yyyptqq avec p “ 1 et
GGGbpt,zzzq “
ˆ
1` αz21 z2 ´ pβ ` 1qz1´αz21 z2 ` βz1
˙
.
On pose fff bpt,zzzq “ GGGbpt,zzzq et yyyr0s “ pA0,B0q
t
pCBq"
yyy 1ptq “ fff bpt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 18 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant
simpli�é :
pPq θp2qptq `g
Lsinpθptqq “ 0.
avec C.I. θp0q “ θ0 et θ1p0q “ θ10.
On pose yyyptq “ py1ptq, y2ptqqt avec y1ptq “ θptq et y2ptq “ θ1ptq.
yyy p1qptq “
˜
yp1q1 ptq
yp1q2 ptq
¸
“
ˆ
θp1qptq
θp2qptq
˙
“
ˆ
θp1qptq´
gLsinpθptqq
˙
“
ˆ
y2ptq
´gLsinpy1ptqq
˙
.
On pose fff ppt,zzzq “
ˆ
z2´
gLsinpz1q
˙
et yyy r0s “ pθ0, θ10qt
pCPq"
yyy 1ptq “ fff ppt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 19 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant
simpli�é :
pPq θp2qptq `g
Lsinpθptqq “ 0.
avec C.I. θp0q “ θ0 et θ1p0q “ θ10.
On pose yyyptq “ py1ptq, y2ptqqt avec y1ptq “ θptq et y2ptq “ θ1ptq.
yyy p1qptq “
˜
yp1q1 ptq
yp1q2 ptq
¸
“
ˆ
θp1qptq
θp2qptq
˙
“
ˆ
θp1qptq´
gLsinpθptqq
˙
“
ˆ
y2ptq
´gLsinpy1ptqq
˙
.
On pose fff ppt,zzzq “
ˆ
z2´
gLsinpz1q
˙
et yyy r0s “ pθ0, θ10qt
pCPq"
yyy 1ptq “ fff ppt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 19 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant
simpli�é :
pPq θp2qptq `g
Lsinpθptqq “ 0.
avec C.I. θp0q “ θ0 et θ1p0q “ θ10.
On pose yyyptq “ py1ptq, y2ptqqt avec y1ptq “ θptq et y2ptq “ θ1ptq.
yyy p1qptq “
˜
yp1q1 ptq
yp1q2 ptq
¸
“
ˆ
θp1qptq
θp2qptq
˙
“
ˆ
θp1qptq´
gLsinpθptqq
˙
“
ˆ
y2ptq
´gLsinpy1ptqq
˙
.
On pose fff ppt,zzzq “
ˆ
z2´
gLsinpz1q
˙
et yyy r0s “ pθ0, θ10qt
pCPq"
yyy 1ptq “ fff ppt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 19 / 41
Exercice
Déterminer le problème de Cauchy associé au modèle du pendule pesant
simpli�é :
pPq θp2qptq `g
Lsinpθptqq “ 0.
avec C.I. θp0q “ θ0 et θ1p0q “ θ10.
On pose yyyptq “ py1ptq, y2ptqqt avec y1ptq “ θptq et y2ptq “ θ1ptq.
yyy p1qptq “
˜
yp1q1 ptq
yp1q2 ptq
¸
“
ˆ
θp1qptq
θp2qptq
˙
“
ˆ
θp1qptq´
gLsinpθptqq
˙
“
ˆ
y2ptq
´gLsinpy1ptqq
˙
.
On pose fff ppt,zzzq “
ˆ
z2´
gLsinpz1q
˙
et yyy r0s “ pθ0, θ10qt
pCPq"
yyy 1ptq “ fff ppt,yyyptqq, @t P r0,T s
yyypt0q “ yyy r0s P R2.Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 19 / 41
Problème de Cauchy linéaire :
"
y 1ptq “ 3yptq ´ 3t, si t ą 0
yp0q “ 1
On a f pt, vq “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1´ 1{3qe3t ` t ` 1{3.
Problème non-linéaire :"
y 1ptq “ 3a
yptq, si t ą 0
yp0q “ 0
On a f pt, vq “ 3?v et trois solutions yptq “ 0, yptq “
a
8t3{27 et
yptq “ ´a
8t3{27.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 20 / 41
Problème de Cauchy linéaire :
"
y 1ptq “ 3yptq ´ 3t, si t ą 0
yp0q “ 1
On a f pt, vq “ 3v ´ 3t et une solution yptq “ p1´ 1{3qe3t ` t ` 1{3.
Problème non-linéaire :"
y 1ptq “ 3a
yptq, si t ą 0
yp0q “ 0
On a f pt, vq “ 3?v et trois solutions yptq “ 0, yptq “
a
8t3{27 et
yptq “ ´a
8t3{27.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 20 / 41
pPCq"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqqyyypt0q “ yyy0 P Rm.
avec fff : U ÝÑ Rm, U un ouvert de Rˆ Rm et pt0,yyy r0s P U.
Theorem (Cauchy-Lipschitz)
On suppose que la fonction fff est continue sur U et quelle est localement
lipschitzienne en yyy : @pt,yyyq P U, DW voisinage ttt, DV voisinage yyy , DL ą 0
tels que
@s PW, @puuu,vvvq P V2, }fff ps,uuuq ´ fff ps,vvvq} ď L }uuu ´ vvv} (7)
Sous ces hypothèses le problème de Cauchy pPCq admet une unique
solution.
Proposition
SiBfff
Byyypt,yyyq est continue et bornée, alors fff satisfait (7).
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 21 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 22 / 41
On note tn “ a ` nh, n P v0,Nw et h “ pb ´ aq{N une discrétisation
régulière de ra, bs. Soit pDyqn une approximation de y 1ptnq. On appelle
di�érence �nie progressive l'approximation
pDyqPn “yptn`1q ´ yptnq
h, @n P v0,N ´ 1w (8)
di�érence �nie rétrograde l'approximation
pDyqRn “yptnq ´ yptn´1q
h, @n P v1,Nw (9)
di�érence �nie centrée l'approximation
pDyqCn “yptn`1q ´ yptn´1q
2h, @n P v1,N ´ 1w (10)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 23 / 41
On note tn “ a ` nh, n P v0,Nw et h “ pb ´ aq{N une discrétisation
régulière de ra, bs. Soit pDyqn une approximation de y 1ptnq. On appelle
di�érence �nie progressive l'approximation
pDyqPn “yptn`1q ´ yptnq
h, @n P v0,N ´ 1w (8)
di�érence �nie rétrograde l'approximation
pDyqRn “yptnq ´ yptn´1q
h, @n P v1,Nw (9)
di�érence �nie centrée l'approximation
pDyqCn “yptn`1q ´ yptn´1q
2h, @n P v1,N ´ 1w (10)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 23 / 41
On note tn “ a ` nh, n P v0,Nw et h “ pb ´ aq{N une discrétisation
régulière de ra, bs. Soit pDyqn une approximation de y 1ptnq. On appelle
di�érence �nie progressive l'approximation
pDyqPn “yptn`1q ´ yptnq
h, @n P v0,N ´ 1w (8)
di�érence �nie rétrograde l'approximation
pDyqRn “yptnq ´ yptn´1q
h, @n P v1,Nw (9)
di�érence �nie centrée l'approximation
pDyqCn “yptn`1q ´ yptn´1q
2h, @n P v1,N ´ 1w (10)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 23 / 41
De�nition
Soit g une fonction. On dit que g se comporte comme un grand O de
hq quand h tend vers 0
DH ą 0, DC ą 0, t.q. |gphq| ď Chq, @h Ps ´ H,Hr ô gphq “ Ophqq
Proposition (Développement de Taylor)
Soit f P Cr`1pra, bs;Rq.‚ @px , yq P ra, bs2 il existe un ξ Psx , y r tel que
f pxq “ f pyq `rÿ
k“0
f pkqpyq
k!px ´ yqk `
f pr`1qpξq
pr ` 1q!px ´ yqr`1 (11)
‚ @x P ra, bs, @h P R˚ véri�ant x ` h P ra, bs, il existeξ Psminpx , x ` hq,maxpx , x ` hqr tel quel
f px ` hq “ f pxq `rÿ
k“0
f pkqpxq
k!hk `
f pr`1qpξq
pr ` 1q!hr`1 (12)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 24 / 41
Dé�nition
La di�érence |y 1ptnq ´ pDyqn| est appelée erreur de troncature au pointtn. On dira que |y 1ptnq ´ pDyqn| est d'ordre p ą 0 si il existe une
constance C ą 0 telle que
|y 1ptnq ´ pDyqn| ď Chp.
Proposition
|y 1ptnq ´ pDyqPn | “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
y 1ptnq ´yptn`1q ´ yptnq
h
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ Ophq, (13)
|y 1ptnq ´ pDyqRn | “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
y 1ptnq ´yptnq ´ yptn´1q
h
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ Ophq, (14)
|y 1ptnq ´ pDyqCn | “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
y 1ptnq ´yptn`1q ´ yptn´1q
2h
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ Oph2q. (15)
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 25 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 26 / 41
On veut résoudre le problème de Cauchy :
pPCq"
y 1ptq “ f pt, yptqq, @t P rt0, t0 ` T s
ypt0q “ y0 P R.
La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma
"
yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq, @n P v0,N ´ 1w
y0 “ ypt0q(16)
Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yn`1 en fonction
de yn.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 27 / 41
On veut résoudre le problème de Cauchy :
pPCq"
y 1ptq “ f pt, yptqq, @t P rt0, t0 ` T s
ypt0q “ y0 P R.
La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma
"
yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q, @n P v0,N ´ 1w
y0 “ ypt0q(17)
Ce schéma est implicite, car yn`1 est dé�nit implicitement en fonction de
yn. Il faut donc résoudre à chaque pas de temps une équation non-linéaire
en utilisant des méthodes de point �xe par exemple.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 28 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 29 / 41
Soit l'E.D.O. suivante"
y 1ptq “ yptq ` t2y2ptq, pour t P r0, 5s,yp0q “ ´1
de solution exacte
yptq “ 1{pe´t ´ t2 ` 2t ´ 2q.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
t
y’(t)=y(t)+t2 y2(t) avec y(0)=−1 et N=10
exacte
Euler Progressive
Euler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 30 / 41
Soit l'E.D.O. suivante"
y 1ptq “ yptq ` t2y2ptq, pour t P r0, 5s,yp0q “ ´1
de solution exacte
yptq “ 1{pe´t ´ t2 ` 2t ´ 2q.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
t
y’(t)=y(t)+t2 y2(t) avec y(0)=−1 et N=50
exacte
Euler Progressive
Euler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 31 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 32 / 41
Stabilité (absolue)On étudie le problème modèle suivant :
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
où λ ă 0 est donné. La solution exacte est
yptq “ y0eλt .
En particulier, on a
limtÑ`8
yptq “ 0
Dé�nition
On pose tn “ nh, où le pas de temps h ą 0 est donné et yn une
approximation de yptnq par un schéma donné. On dit alors que le schéma
associé à ce problème est absolument stable si
limnÑ`8
yn “ 0.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 33 / 41
Stabilité (absolue)Ce n'est malheureusement pas toujours le cas avec le schéma d'Euler
progressif et h “ 2019« 1.05.
Instabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
t
y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=1.0526
exacte
Euler Progressive
Euler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 34 / 41
Stabilité (absolue)Ce n'est malheureusement pas toujours le cas avec le schéma d'Euler
progressif et h “ 2019« 1.05.
Instabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
t
y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=1.0526
exacte
Euler Progressive
Euler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 34 / 41
Stabilité (absolue)
Par contre, avec h “ 2021« 0.95, le même schéma est stable.
Stabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.95238
exacteEuler ProgressiveEuler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 35 / 41
Stabilité (absolue)
Par contre, avec h “ 2021« 0.95, le même schéma est stable.
Stabilité Euler progressif - Stabilité Euler rétrograde :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.95238
exacteEuler ProgressiveEuler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 35 / 41
Stabilité (absolue)Avec h “ 0.1, les deux schémas sont stables :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y’(t)=−2y(t) avec y(0)=1 et h=0.1
exacteEuler ProgressiveEuler Regressive
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 36 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler progressif
Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq “ yn ` λhyn “ p1` λhqyn
yn “ p1` λhqny0, @n ě 0.
si |1` λh| ă 1 alors limnÑ`8 |yn| “ 0,
si |1` λh| ą 1 alors limnÑ`8 |yn| “ `8,
Stabilité ssi |1` λh| ă 1ðñ 0 ă h ă ´ 2λ .
Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 37 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler progressif
Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq “ yn ` λhyn “ p1` λhqyn
yn “ p1` λhqny0, @n ě 0.
si |1` λh| ă 1 alors limnÑ`8 |yn| “ 0,
si |1` λh| ą 1 alors limnÑ`8 |yn| “ `8,
Stabilité ssi |1` λh| ă 1ðñ 0 ă h ă ´ 2λ .
Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 37 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler progressif
Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq “ yn ` λhyn “ p1` λhqyn
yn “ p1` λhqny0, @n ě 0.
si |1` λh| ă 1 alors limnÑ`8 |yn| “ 0,
si |1` λh| ą 1 alors limnÑ`8 |yn| “ `8,
Stabilité ssi |1` λh| ă 1ðñ 0 ă h ă ´ 2λ .
Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 37 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler progressif
Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq “ yn ` λhyn “ p1` λhqyn
yn “ p1` λhqny0, @n ě 0.
si |1` λh| ă 1 alors limnÑ`8 |yn| “ 0,
si |1` λh| ą 1 alors limnÑ`8 |yn| “ `8,
Stabilité ssi |1` λh| ă 1ðñ 0 ă h ă ´ 2λ .
Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 37 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler progressif
Le schéma d'Euler progressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn, ynq “ yn ` λhyn “ p1` λhqyn
yn “ p1` λhqny0, @n ě 0.
si |1` λh| ă 1 alors limnÑ`8 |yn| “ 0,
si |1` λh| ą 1 alors limnÑ`8 |yn| “ `8,
Stabilité ssi |1` λh| ă 1ðñ 0 ă h ă ´ 2λ .
Le schéma d'Euler progressif est conditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 37 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler régressif
Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q “ yn ` λhyn`1 “1
1´ λhyn
yn “
ˆ
1
1´ λh
˙n
y0, @n ě 0.
Or | 11´λh | ă 1 donc limnÑ`8 |y
n| “ 0,
Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 38 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler régressif
Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q “ yn ` λhyn`1 “1
1´ λhyn
yn “
ˆ
1
1´ λh
˙n
y0, @n ě 0.
Or | 11´λh | ă 1 donc limnÑ`8 |y
n| “ 0,
Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 38 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler régressif
Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q “ yn ` λhyn`1 “1
1´ λhyn
yn “
ˆ
1
1´ λh
˙n
y0, @n ě 0.
Or | 11´λh | ă 1 donc limnÑ`8 |y
n| “ 0,
Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 38 / 41
Stabilité (absolue) pour Euler régressif
Le schéma d'Euler régressif associé au problème modèle
"
y 1ptq “ λyptq, pour t P R`,yp0q “ y0
yn`1 “ yn ` hf ptn`1, yn`1q “ yn ` λhyn`1 “1
1´ λhyn
yn “
ˆ
1
1´ λh
˙n
y0, @n ě 0.
Or | 11´λh | ă 1 donc limnÑ`8 |y
n| “ 0,
Le schéma d'Euler régressif est inconditionnellement stable.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 38 / 41
Plan
1 Introduction
ExemplesMétéorologie
Chimie : La réaction de Belousov-Zhabotinsky
Mécanique
Dé�nition des E.D.O.
Formulation générale : le problème de Cauchy
Dérivation numérique
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m “ 1
Exemple
Stabilité (absolue)
Méthode des di�érences �nies pour le problème de Cauchy en
dimension m
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 39 / 41
On veut résoudre le problème de Cauchy :
pPCq"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy0 P Rm.
La méthode d'Euler progressive est donnée par le schéma
"
yyyn`1 “ yyyn ` hfff ptn,yyynq, @n P v0,N ´ 1w
yyy0 “ yyypt0q(18)
Ce schéma est explicite, car il permet le calcul direct de yyyn`1 en fonction
de yyyn.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 40 / 41
On veut résoudre le problème de Cauchy :
pPCq"
yyy 1ptq “ fff pt,yyyptqq, @t P rt0, t0 ` T s
yyypt0q “ yyy0 P Rm.
La méthode d'Euler régressive est donnée par le schéma
"
yyyn`1 “ yyyn ` hfff ptn`1,yyyn`1q, @n P v0,N ´ 1w
yyy0 “ yyypt0q(19)
Ce schéma est implicite, car yyyn`1 est dé�nit implicitement en fonction de
yyyn.
Cuvelier F. (Ingénieurs Energétique I) E.D.O. : méthodes numériques (cours 1 et 2) 5 janvier 2015 41 / 41