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orld of Mathematics 数学烟云W

2016 第7卷第2期数学文化 61

现代数论诞生了两次。它的第一次诞生必定是在 1621-1636 年间的某一天，很可能靠近后一个年份。1621 年，巴彻（Claude Gaspard Bachet）出版了丢番图的《算术》（Arithmetica）的希腊文本和附带了大量评注的拉丁文译本。费尔马是在何时得到了该书的一个复本，又

是何时开始读这本书的，我们不得而知。但我们从他的通信中得知，在 1636 年，他不仅已经仔细地阅读了它，而且发展出他本人对与该书相关的各类课题的想法。

……至于它重生的日子，我们则可以知道得一清二楚。在 1729 年 12 月的头一天，哥德巴赫询问欧拉对费尔马关于所有形如 22

n＋ 1 的数都是素数这一断言的意见。欧拉

在答复中表达了质疑；直到 1730 年 6 月 4 日之前，欧拉都没再说什么，然而在这一天，欧拉宣称他“只不过一直在读费尔马”，并对费尔马关于每个正整数都是四个平方数的

和（也是三个三角形数的和、五个五边形数的和，如此等等）印象深刻。从这一天起，

欧拉再也没有忘记过这个学科——广而言之——数论；终于拉格朗日也跟上来了，然后是勒让德，再后是高斯，数论也随之而臻于完全成熟的境地。

安德烈 • 韦伊，《数论》1

费尔马的多边形数猜测

16 世纪的业余数学家费尔马的名字之所以到今天都家喻户晓，主要是因为所谓的费尔马大定理历经 350 多年才被 20 世纪的英国数学家怀尔斯证明。但鲜为人知的是他有一个重要的身份——现代数论之父。

费尔马大定理原本是费尔马 1637 年在阅读古希腊数学家丢番图（被誉为“代数学之父”）的《算术》时所作的一个断言：当幂指数 n > 2 时，方程 xn ＋ yn ＝ zn 只有平凡的正整数解（即 x, y 之一等于 0）。2 费尔马声称发现了一个绝妙的证明，但可惜书边缘的空白不够写下整个证明，因而略去了。据数学家、数学史家韦伊 1 分析，费尔马很

可能后来意识到，他的证明方法仅适用于 n ＝ 3 与 n ＝ 4 的情况（这在几何上对应于亏格为 1 的椭圆曲线）。

费尔马一定想不到，后人探索证明的道路竟是如此曲折漫长。但事实上，费尔马生前最感兴趣的数论结果并非他自以为解决了的费尔马大定理，而是他于 1636 年发现的多边形数定理。他在 1636 年 9 月写给梅森（Mersenne）的信中说：3

从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想

林开亮郑豪

1 A. Weil, Number Theory: An Approach through History from Hammurahi to Legendre, Birkhäuser,Boston, Mass., 1983. 中译本《数论：从汉穆拉比到勒让德的历史导引》，胥鸣伟译，高等教育出版社，2010 年。2 注意 n ＝ 1 的情况方程是平凡的，而 n ＝ 2 就得到了毕达哥拉斯三元数组（勾股数）。3 E. Deza, M. M. Deza, Figurate Numbers p. 313, First Edition, World Scientific, 2012.

纪念杨武之教授诞辰 120 周年


数学文化第7卷第2期 201662

我第一个发现了下述优美而完全一般的定理：每个正整数可以写成不超过 3 个三角形数之和；可以写成不超过 4 个平方数之和；可以写成不超过 5 个五边形数之和；如此等等以至无穷，不论对六边形数、七边形数还是任意的多边形数，都有类似的结果。我不能在

此给出证明，它将依赖于正整数的诸多深奥的性质；我将计划就这个题目写一整本书，以

介绍算术在这方面的惊人进展。

完全有理由推断，韦伊界定“现代数论第一次诞生是在 1621-1636 年间”（本文开篇的引语）的后一个年份“1636”，正是以费尔马提出多边形数猜测为依据的。

平方数、三角形数、五边形数以及更一般的多边形数的概念可追溯到毕达哥拉斯学派，

他们曾提出“万物皆数”的理念。我们不打算在此详细解释多边形数名称的由来，仅满足于给出 s 边形数（其中 s ≥ 3）的定义：一个 s 边形数是一个形如

Ps (n) = (s − 2) ⋅n2 − n2

+ n, (n = 0,1,2,…)

的数。按此定义，三边形数（三角形数）即形如 n(n ＋ 1)/2 的数，四边形数（即平方数）即形如 n2 的数，五边形数即形如 n(3n － 1)/2 的数。

于是，费尔马的多边形数猜想可以表述为：

费尔马多边形数猜想：设 s 是一个大于 2 的整数，则对任意的正整数 n，丢番图方程

Psi=1

s

∑ (xi ) = n

对 x1, …, xs ∈有解。

1654 年，在写给友人帕斯卡（Blaise Pascal）的一封信中，费尔马声称这个发现是他最重要的成果，然而费尔马的证明以及他所宣称要写的书，却从未被发现。

现代数论之父：费尔马（1601-1665）



费尔马多边形数猜测的证明

欧拉与拉格朗日对四平方和定理的贡献

费尔马的种种不带证明的论断忙坏了欧拉。欧拉为费尔马的许多漂亮断言所吸引，开始了他的数论研究，并成功证明了部分命题。例如，对费尔马大定理，欧拉本人就证明 n＝ 3 与 n ＝ 4 的情况。但跟费尔马一样，最吸引欧拉的，还是费尔马的多边形数定理，特别是其第二条特款：每一个正整数可以写成四个平方数之和。欧拉一度尝试证明这个结果，但直到 1748 年 5 月 4 日，他才迈出决定性的一步——那一天他发现了下述著名的四平方和的乘积公式（见 1）：

(x12 + x2

2 + x32 + x4

2 )(y12 + y2

2 + y32 + y4

2 ) = z12 + z2

2 + z32 + z4

2,

其中 z1, z2, z3, z4 为 4

z1 = x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4 , z2 = x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3,z3 = x1y3 − x2y4 + x3y1 + x4y2, z4 = x1y4 + x2y3 − x3y2 + x4y1.

由此，根据算术基本定理（每个大于 1 的整数可以分解为素因子的乘积），只要证明，每个素数可以写成四个整数的平方和。然而欧拉在此卡住了，他只能够证明每个素数（进而每个正整数）可以写成四个有理数的平方和。1770 年，拉格朗日首先克服了欧拉的困难，从而给出了四平方和定理的第一个证明。1773 年，欧拉简化了拉格朗日的证明，此即哈代与赖特的经典教材 5 第 20 章给出的第一个证明。

高斯的三角形数定理

费尔马多边形数定理的第一条特款——每一个自然数是三个三角数之和，最早是由高

4 事实上，它们就是四元数乘法公式。1817 年，高斯也许正是从欧拉的这个等式预见到四元数，这比哈密尔顿（Hamilton）要早出 26 年。5 G. H. Hardy and E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, Oxford, 5th edition, 1979. 中译本《数论导引》，张明尧、张凡译，人民邮电出版社，2008 年。

现代数论之“亚父”：欧拉



斯证明的。这件事对年方十九的高斯意义非凡，因而被记载在他的《数学日记》中（作为

全部 146 条日记中的第十条）：

1796 年 7 月 10 日 EΎREKA. num ＝∆ ＋∆ ＋∆ .

这里∆代表三角形数，而“EΎREKA”是阿基米德洗澡时发现浮力定律后冲到大街上的欢呼，即“有了！” num 即 number 的缩写，指代任意的正整数。因此整条日记是说，高斯证明了每个正整数都可以写成三个三角形数之和。高斯的证明可见于他 1801 年出版的划时代数论著作《数论研究》6 第 293 目，他证明了下述等价的

高斯定理：每一个满足 n ≡ 3(mod 8) 的正整数 n 都是三个奇数的平方之和。

柯西、勒让德、纳坦松对费尔马多边形数定理的贡献

直到 1815 年，柯西才对一切 s ≥ 3 证明了费尔马的多边形数断言。因此，这个结果也被称为柯西 – 费尔马多边形数定理。我们在此正式表述一遍：

定理 A（柯西 – 费尔马多边形数定理）：设 s 是一个大于 2 的整数，则每个自然数可以写成不超过 s 个 s 边形数之和。

勒让德在 1830 年出版的第三版《数论随笔》7 中简化了柯西的证明，并证明了这样的结果：

勒让德定理：若 s ≥ 5 是奇数，则每一个≥ 28(s － 2)3 的整数是 4 个 s 边形数的和；若 s ≥ 6是偶数，则每一个≥ 7(s － 2)3 的整数是 5 个 s 边形数的和，其中之一是 0 或 1。

韦伊曾一度认为，不存在柯西多边形数定理的简短而容易的证明。然而，1987 年，就在韦伊的书出版三年后，纳坦松（M. B. Nathanson）就给出了一个简短证明 8。除了借用佩平（Théophile Pépin）与迪克森（Leonard Eugene Dickson）制作的数表，纳坦松主要利用了下述关键的柯西引理：

柯西引理：设 a 和 b 是两个正奇数，满足 b2 < 4a，且 3a < b2 ＋ 2b ＋ 4。则存在自然数 s, t, u, v 使得

a = s2 + t 2 + u2 + v2,b = s + t + u + v.

⎧⎨⎪

⎩⎪

柯西引理的证明用到了高斯的三角形数定理。因此，大致可以这么说：费尔马的那一

连串多边形数定理中第一个成立，可以推出其余的都成立。

6 C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Yale Univ. Press. New Haven, Conn., and London, 1966.中译本《算术探索》，潘承彪、张明尧译，哈尔滨工业大学出版社，2012 年。7 据说，还在上中学的黎曼（Riemann）在一周之内就把这本 800 多页的大部头著作读完并能够准确回答与之相关的种种问题！8 M. B. Nathanson, A short proof of Cauchy's polygonal number theorem, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 99, No. 1. (Jan., 1987), 22--24. 中译文，Cauchy 多边形数定理的一个简短证明，雷艳萍译，《数学通报》2013 年第 2 期。



华林问题

费尔马提出多边形数猜想过了百余年后，到了 1770 年时，英国当时的领袖数学家华林（Edward Waring）在其《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae）第二版中提出了一串猜测：

每个正整数可以写成 4 个平方数之和，可以写成 9 个立方数之和，可以写成 19 个四次方数之和，如此等等。

这就是所谓的华林问题。这里“如此等等”并不像费尔马那里的“如此等等”那么好理解。

比如，接下来的一句“每个正整数可以写成几个五次方数之和呢？”因为华林没有交

代清楚，所以我们暂时把他的猜测理解为一个定性的命题：对于每个给定的正整数 k，存在一个正整数进而存在一个最小的正整数 g(k)，使得每个自然数 n 都可以写成不超过 g(k) 个 k 次方数之和。

根据拉格朗日定理（以及 7 不能写成 3 个平方数之和的事实），我们知道 g(2) ＝ 4，这就是华林的第一个断言。因此，华林问题可以看成是四平方和定理的一个推广。

1859 年，刘维尔（Joseph Liouville）对华林问题迈出了第一步。他利用下述简单（但并不显然）的代数等式和拉格朗日四平方和定理证明了 g(4) ≤ 53，从而肯定了 g(4) 的存在性（见 5）：

6(x2 + y2 + z2 +w2 )2 = (x + y)4 + (x − y)4 + (z +w)4 + (z −w)4 + (x + z)4 + (x − z)4 +(y +w)4 + (y −w)4 + (x +w)4 + (x −w)4 + (y + z)4 + (y − z)4

直到 1895 年，梅勒（E. Maillet）才证明了 g(3) ≤ 21。他的证明依赖于下述等式

6x(x2 + y2 + z2 +w2 ) = (x + y)3 + (x − y)3 + (x + z)3 + (x − z)3 + (x +w)3 + (x −w)3.

1909-1912 年，维费里希（Arthur Wieferich）和坎普纳（Aubrey J. Kempner）终于确定出 g(3) ＝ 9。

1909 年，希尔伯特通过推广刘维尔所用的代数恒等式，对一切正整数 k 证明了g(k) 的存在性，从而解决了华林问题的定性部分。他用多重积分的技巧证明了下述结果，这原本是他的同事胡尔维茨（Adolf Hurwitz）1908 年为攻克华林问题所提出的一个猜

18 世纪下半叶英国的数学领袖：华林 20 世纪上半叶的数学领袖：希尔伯特



想 9 ：

定理（希尔伯特恒等式）：对任意的正整数 m 和 r，存在正有理数 aj 与整数 bij 使得

(x12 ++ xr

2 )m = aj (b1 jj=1

M

∑ x1 ++ brjxr )2m ,

其中M = (2m +1)r .

由此可以推出 g(k) 的存在性，这一结果被称为希尔伯特 - 华林定理。然而，希尔伯特的方法不能确定出 g(k) 的值。由于对希尔伯特的代数方式的证明不满意，哈代与李特尔伍德在哈代 – 拉曼纽扬（Ramanujan）关于数的分拆的工作基础上开创了圆法，随后维诺格拉多夫（Ivan Vinogradov）将它发扬光大，解析数论亦因此一度繁荣。沿此方向，林尼克（Yuri Linnik）最终得到希尔伯特 – 华林定理的一个初等证明，其中一个重要的概念是俄国数学家施尼勒尔曼（Lev Schnirelmann）引入的密度。关于这方面的介绍，可见华罗庚的经典著作《数论导引》10、纳坦松的标准加性数论著作 11 和埃里

森对此课题的精彩综述 12。

关于华林问题的小欧拉猜想

华林问题的定性方面解决以后，剩下的问题就是在定量的方面确定 g(k) 的值，从而完善华林 1770 年的论断。事实上，欧拉（Leonhard Euler）的长子小欧拉（Johann Euler）在 1772 年提出了以下猜想（又称为理想华林猜想）：

小欧拉猜想 I ：对一切 k ∈+ ，有 g(k) ＝ 2k ＋［(3/2)k] － 2。

考虑数 m ＝ 2k ＋［(3/2)k] － 1 ，容易看出 g(k) ≥ 2k ＋［(3/2)k] － 2。因为 m < 3k，

20 世纪英国领袖数学家：哈代与李特尔伍德

9 这个乍一看来有点神秘的希尔伯特恒等式，后来在等距嵌入、球面函数的求积等理论中得到了更深刻的理解与发展，而不再是一个孤立的辅助结果，见雷兹尼克（B. Reznick）的报告 The secret lives of polynomial identities（http://www.math.uiuc.edu/ reznick/eiu10413f.pdf）以及那里的参考文献。雷兹尼克教授曾在回函中特别指出，希尔伯特所给出的恒等式是非构造性的（aj 与 bij 具体可以怎样取值并不清楚），人们一直在探索显式的希尔伯特恒等式，但进展缓慢。10 华罗庚，《数论导引》，科学出版社，1957 年。收入《华罗庚文集：数论卷 II》，科学出版社，2010 年。11 M. B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, GTM195, Springer-Verlag, New York, 2000.12 W. J. Ellison, Waring's problem. American Mathematical Monthly, volume 78 (1971), 10-36.



所以只有 2k 和 1k 可以用来表示这个数，而最精简的表示 m ＝ (［(3/2)k] － 1)· 2k ＋ (2k －1) · 1 要［(3/2)k] － 1 个 2k 和 2k － 1 个 1k，因此 g(k) ≥ 2k ＋［(3/2)k] － 2。

小欧拉猜想 I 的证明进展缓慢，但今天这个问题原则上已经解决，主要贡献者如下：

小欧拉猜想 I 进展一览表k g(k) 解决者年份2 g(2) ＝ 4 Lagrange 17703 g(3) ＝ 9 Wieferich, Kempner 1909–19127 可确定 Dickson, Pillai,Rubugunday, Niven 1936–19446 g(6) ＝ 73 Pillai 19405 g(5) ＝ 37 陈景润 19644 g(4) ＝ 19 Balasubramanian, Deshouillers, Dress 1986

这些人物中我们要特别介绍三位：迪克森（L. E. Dickson）、皮莱（S. S. Pillai）和陈景润。

迪克森是美国本土数学家，主攻代数与数论。从 1927 年起开始关注华林问题，受到维诺格拉多夫 1934 年的解析结果的激励，迪克森一鼓作气致力于解决理想华林猜想，终于在 1936 年对这个问题取得了近乎圆满的解决。迪克森培养了许多数论学

美国数论先驱：迪克森

（1874-1954）印度数论专家：皮莱

（1901-1950）中国数论学家：陈景润

（1933-1996）

欧拉的长子：小欧拉 (1734-1800)



家，中国近代代数和数论的先驱杨武之 13 就是他数论方向的首批博士生。除了杨武之，

迪克森还指导了珀尔（G. Pall, 1929）、詹姆斯（R. D. James, 1932）、卡特兰德（H. Chatland, 1937）和尼文（I. M. Niven, 1938）等人完成了华林问题方面的博士学位论文。迪克森精力充沛，在多产的数学研究之外，还完成了三卷大部头《数论史》14，搜集整

理了相当丰富的史料。

皮莱是自拉曼纽扬之后第二个为印度赢得国际声誉的数学家。他在同一时期也集

中精力研究理想华林猜想，并稍稍领先于迪克森而取得了同样的结果。但因为他的论文系列发表在流通有限的印度刊物上而不受关注，后来陷入与迪克森的优先权之争。

不过，皮莱的突出贡献最终得到了认可。1950 年，普林斯顿高等研究院邀请他访问一年。然而不幸的是皮莱在赴美途中飞机失事，英年早逝。

陈景润对哥德巴赫猜想取得了举世瞩目的成就，一度成为中国最红的数学明星，他的

故事也激励了许多年轻人学习数学。事实上，他对华林问题亦有突出贡献，他不仅证明了15 g(5) ＝ 37 ，还证明了 g(4) ≤ 27，而且他的结果和方法激励了后继者最终得到 g(4) ＝ 19。

容易验证，当 k ＝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 时，上表中给出的结果均与小欧拉的猜测 g(k) ＝2k ＋ [(3/2)k] － 2 吻合。但尚不能确定的是，是否对一切 k 都有 g(k) ＝ 2k ＋ [(3/2)k] －2。不过，根据迪克森与皮莱的结果，后者对某个给定的 k 成立的一个充分条件是：

2k 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+ 3

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ≤ 2k ,

其中 {( 32 )k}与 [( 32 )

k ]分别表示 ( 32 )k 的小数部分与整数部分。上述不等式等价于，3k 除以

2k 的余数 r ≤ 2k − [( 32 )k ]− 2。目前所有检测过的 k 都满足这个不等式，有人证明了，例外

的 k 至少大于 471600000。马勒（K. Mahler）曾证明，至多只有有限多个例外。人们猜测根本不存在例外，从而小欧拉猜想 I 对一切正整数成立。此外，还有这样的结果，如果著名的 abc 猜想 16 成立，那么上述猜测成立。然而，日本数学家望月新一（Shinichi Mochizuki）近年来对 abc 猜想给出的证明，尚未得到数学界的确认。

13 杨武之，字克纯，英文名为 Ko‐Chuen Yang。杨武之 1928 年的博士论文考虑的是华林问题的一个变体，也正是他将近代数论特别是华林问题介绍到中国。以华罗庚、陈景润为代表的中国数论学派在华林问题方面贡献的源头就是杨武之的这一工作，参见林开亮、张爱仙，杨武之的九金字塔数定理，《数学传播》第 38 卷（2014 年）第 4 期，42-52 。14 L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 3 Volumes. New York: Dover, 2005. 数学家盖伊（R. Guy）很小的时候得到了这部书，十分迷恋，后来在接受访谈时说（见 Fascinating Mathematical People: Interviews and Memoirs , Edited by Donald J. Albers & Gerald L. Alexanderson, Princeton University Press, 2011 ）：“得到它 [ 迪克森的《数论史》] 比得到整套《莎士比亚全集》还要痛快！”15 英国数学家康威（J. H. Conway）在 1965 年也独立地得到了 g(5) ＝ 37。对当时正准备靠这个结果作为学位论文申请博士学位的康威来说，这样的坏消息无异于晴天霹雳。因此他一度非常沮丧，不过最后还是挺过来了。这个故事很励志，我们与读者分享一下康威的人生感悟（引自 M. Cook, Mathematicians: An outview of the inner World, Princeton University Press, 2009. 中译本《当代大数学家画传》，林开亮等译，上海世纪出版集团，2015 年）：

在我二十好几的时候，曾一度非常沮丧，因为虽然我很快就在剑桥大学找到了职位，但我觉得我所做的工作与我的职位还有差距。之后我做出了一个又一个的发现，首先是“大群（即现在以他命

名的 Conway groups）”，这在职业数学家看来是我最好的工作。紧接着，我发明了“生命游戏”，又发现了超实数（surreal numbers）。一段时间以后，好像我触摸的每一样东西都变成了金子，而在几年之前，我触摸的东西没有一样开花结果。16 对 abc 猜想的一个通俗介绍，见卢昌海，ABC 猜想浅说，《数学文化》2014 年第 4 期，64-69；更详细的介绍可见，普拉达·米哈伊内斯库，关于 ABC 猜想，翟文广译《中国数学会通讯》，2014 年第 2 期。



小欧拉与贝格兰关于多边形金字塔数的猜想

小欧拉在 1772 年还提出了以下两个猜想 17。

小欧拉猜想 II ：每个自然数可以写成不超过 12 个形如 n2 (n+1)24 的数的和。

小欧拉的第三个猜想经过简单的代数变形后，可以重新表述如下：

小欧拉猜想 III ：设 d, s 是给定的正整数，

fd , s (n) = s(n −1)n(n +1)(n + d − 2)

d!+ n(n +1)(n + d − 2)

(d −1)!= s ⋅ n + d − 2

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ n + d − 2

d −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

如果每一个自然数都可以用不超过 m 个形如 fd , s (n)的数求和表出，有 m ≥ 2d ＋ s － 2。

注意 d ＝ 1 是平凡的，这里不考虑。当 d ＝ 2 时，

f2, s (n) = sn(n −1)2

+ n = Ps (n)

其实就是费尔马的 s ＋ 2 边形数。当 d ＝ 3 时，

f3, s (n) = s(n +1)n(n −1)

3!+ (n +1)n

2即三维空间的多边形金字塔数；一般地， fd , s (n)是 s ＋ 2 边形数 f2, s (n)的 d 维推广。另

一方面，当 s ＝ 1 时，

fd , 1(n) =n + d − 2

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ n + d − 2

d −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= n + d −1

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

便得到了三角形数的 d 维推广，即所谓的 d 维单形数（三角形即 2 维单形）。18 与欧拉同时代的贝格兰 19 一度断言，小欧拉猜想 III 可加强为 20 ：

贝格兰猜想：对给定的正整数 d, s，存在自然数 m ＝ m(d, s) 使得每一个自然数都可以

用不超过 m 个形如 fd , s (n)的数求和表出，而且 m 的最小值为 2d ＋ s － 2 。

注意，当 d ＝ 2 时，这就是费尔马多边形数猜想的加强版本。为看出这一点，只要证明 s － 1 个 s 边形数（这里 s ≥ 3 ）无法表出所有的自然数。容易验证 Ps(0) ＝ 0, Ps(1) ＝ 1, Ps(2) ＝ s, Ps(3) ＝ 3s － 3 由此立即推出，自然数 2s － 1 ＝ 2Ps(2) － 1 ＝Ps(2) ＋ (s － 1)Ps(1) 至少需要 s 个形如 Ps(n) 的数求和得出。

贝格兰一度以为他找到了费尔马多边形数猜想的一个漂亮推广。然而他很快就发

现，自己过于乐观了。正如他本人后来指出的，对于

f4,1(n) =n + 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

17 L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 2 Volumes.18 在早期的文献中， figurate numbers 特指这种二项式系数（俗称组合数），而在中国被朱世杰称为垛积数。中国古代数学家在高次开方的算法中发现了二项式系数以及（正整数次幂的）二项式定理，在中国，第一个注意到二项式系数在种种垛堆数中之独特地位的，是元代的朱世杰（1249–1314）。19 Nicolas de Béguelin，1714 生于瑞士，1789 卒于柏林。贝格兰 15 岁入学巴塞尔大学，学习法律和数学，其数学老师之一是伯努利家族的约翰·贝努里（Johann Bernoulli）。20 L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 2 Volumes, 14.



断言所给出的m的最小值为 2 ⋅ 4＋ 1－ 2＝ 7，而事实上 64至少用 f4,1() = {1, 5,15, 35, 70,…}

的 8 项求和才能表出。所以他在其论文的结尾撤回了自己先前的大胆猜想。然而，计算机测试的一个意外发现是，贝格兰猜想在 d ＝ 3 时几乎是成立的（唯一

的例外是 s ＝ 3），这可以视为费尔马多边形数猜想的三维推广：21

猜想 A（关于多边形金字塔数的贝格兰‐詹姆斯猜想）：设 s 为正整数，多项式

P3(n) = f3,n (n) = s(n +1)n(n −1)

3+ (n +1)n

2.

当 s ≠ 3 时，每个自然数可以写成 s ＋ 4 个形如 Ps(n)的数之和；而当 s ＝ 3 时每个自然数可以写成 8 个形如 P3(n)的数之和。

贝格兰 - 詹姆斯猜想中的詹姆斯是迪克森的学生，曾在 1934 年独立地提出了上述猜想中 s ≥ 4 的那部分（不过他误认为每个自然数可以写成 7 个形如 P3(n)的数之和）。

容易看出这里 s ＋ 4 与 8 都是最优的。注意 Ps(0) = 0 , Ps(1) = 1 , Ps(2) = s + 3 , Ps(3) = 4s + 6 , Ps(4) = 10s +10，因此，3s ＋ 8 ＝ 2(s ＋ 3) ＋ s ＋ 2 至少需要用到 2 个Ps(2)和 s ＋ 2 个 Ps(1)表出，从而至少需要 s ＋ 4 个求和项。而当 s ＝ 3 时，检测发现， 35 ＝ 18 ＋ 17 不能用 P3() = {0,1, 6,18, 40,…}中的 7 个数求和表出。

特别地，当 s ＝ 1 时，就得到了后人所谓的四面体数猜想，它通常归功于英国数学家波洛克（Frederick Pollock），见下一节。

当 s ＝ 2 时，猜想 A 给出下述正方形金字塔数猜想：22

正方形金字塔数猜想：对正方形金字塔数 P(n) = P2(n) =n(n+1)(2n+1)

6 ，有 WP ＝ 6 。

注意到下述可以追溯到古希腊数学家阿基米德的结果：

12 + 22 ++ n2 = n(n +1)(2n +1)6

,

由此可以看出，P(n) 确实是正方形数（即平方数）堆垒得到的金字塔数。更一般地，从 s ＋ 2 边形数 f2, s (n)堆垒即可得到 s ＋ 2 边形数金字塔 f3, s(n) ：

f2, sk=1

n

∑ (k) = s k2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ k

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟k=1

n

∑ = s k2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ k

k=1

n

∑ = s n +13⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ n +1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= f3, s (n).

其中第三个等号用到了著名的朱世杰恒等式（d ＝ 2 的特殊情况）

kd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=d

n

∑ = n +1d +1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

朱世杰恒等式表明，从 fd , s (n)堆垒即得到 fd+1, s (n)。因此 fd , s (n)可以视为 s ＋ 2 边形数

21 我们对 s ≤ 50 的情况，在 n ≤ 105 内验证了这一猜想。22 计算机测试表明，5 个金字塔数不够，103 以内不能写成 5 个数之和的分别是 23, 27, 53, 78, 81, 82, 158, 277, 284, 307, 361, 362, 367, 403, 488, 813, 872, 908。值得注意的是，即使把范围放大到 108，也只能找到这几个例外，而没发现更大的。我们因此猜测，除了这 18 个数，其它正整数都可以写成 5 个金字塔数之和。我们之所以要特别指出正方形金字塔数猜想这一特殊情形，是因为，本质上这是我们整篇论文的出发点。由此出发，我们独立地发现了猜想 A,B,C,D,E,F 以及更多的猜想。



f2, s (n)的自然推广。这里的关键点在于，朱世杰恒等式表明：d 维单形数堆垒即得到

d ＋ 1 维单形数。这从几何上看是显然的。事实上，朱世杰最早得到这个恒等式，就是从堆垛的背景（所谓“垛积术”）而来。

华林问题的一般化：波洛克猜想

1782 年，《代数沉思录》第三版出版，华林在前述著名论断之后补充道：

对任意次数的多项式（除了某些必要的例外情形）定义出的数，可以提出类似的规律。

1850 年，英国数学家波洛克 23 提出了一批类似的堆垒猜想，并总结出下述一般猜想 24 ：

波洛克猜想：设 f(n) 是一个整数值多项式，满足 f (+ )⊂ + ，且 f(1) ＝ 1，并约定 f(0) ＝ 0，则存在一个依赖于 f 的最小正整数 Wf ，使得对任意的 n∈，

f (xii=1

Wf

∑ ) = n

对 x1,…, xWfn∈有解。

一个熟知的事实是（通常归功于希尔伯特，但本质上这就是朱世杰‐牛顿差分公

式的直接推论，其证明可见华罗庚 25）：一个 k 次整数值多项式具有下述形式

英国首席检察官、数学家：波洛克（1783-1870）

23 Frederick Pollock，其职业跟费尔马一样，是法官，并且是英国的首席检察官（Attorney General）；跟华林（1757 年）一样，他在 1806 年曾获得剑桥大学数学学士学位考试（Mathematical Tripos）的优等生第一名（Senior Wrangler）。 24 F. Pollock,On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders. In Proc. Roy Soc. London, volume 5, 1843-1850, 922-924.25 华罗庚，《从杨辉三角谈起》，人民教育出版社，1979 年。收入《华罗庚科普著作选集》，上海教育出版社，1984 年。



f (x) = a0 + a1

x1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟++ ak

xk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,

其中 a0, a1,…, ak 为整数，而xk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= x(x −1)(x − k +1)

k!

为 k 次差分多项式。波洛克的上述猜想也许正是华林的简短评论想要表达的确切含义，为此我们称 Wf

为 f 的华林数。特别地，波洛克给出了诸多明确的猜测，我们汇集如下：

波洛克猜想

序号 f(n) Wf

(1) (2n － 1)2 10

(2) (3n － 1)2 11(3) 四面体数 T(n) ＝ (n ＋ 2)

35

(4) 八面体数 O(n) ＝n(2n2 +1)

3 7

(5) 六面体数 C(n) ＝ n3

9

(6) 二十面体数 I(n) ＝n(5n2 − 5n + 2)

2

(7) 十二面体数 D(n) ＝n(9n2 − 9n + 2)

2

(8) n4 19

(9) n2 (n +1)2

4

(10) 2n4 － n2 31

其中除了 (1)(2)(5)(8)，其余 6 个猜想目前都尚未解决，而 (6)(7)(9) 猜错了，应该更正如下 26 ：

二十面体数猜想 (6*) 对 I(n) ＝ n(5n2 − 5n + 2)2

， W1 ＝ 15 。

十二面体数猜想 (7*) 对 D(n) ＝ n(9n2 − 9n + 2)2

， WD ＝ 22 。

小欧拉的猜想 II (9*) 对 E(n) ＝ n2 (n +1)2

4， WE ＝ 12 。

13

21

11

26 (6)(7) 的更正是基于计算机测试，结果表明，对于 (6)，95 不能用 I( ) ＝ {0, 1, 12, 48, 124, …} 中的 14 个数求和表出，因此其华林数大于 14；对于 (7)，79 不用 D( ) ＝ {0, 1, 20, 84, 220 455 , …}中的 21 个求和表出，因此其华林数大于 21。(9*) 事实上是小欧拉的猜想，容易验证，71 不能用序列 (9) 中的 0, 1, 9, 36, 100, …的 11 个数求和表出，因此其华林数大于 11。



(5) 和 (8) 是华林或小欧拉猜想在 k ＝ 3, 4 的特殊情况，现在我们知道它们是对的。(1) 和 (2) 也许已经为波洛克证明，因为其推理很简单。我们以 (2) 为例，说明如下。

因为 f(n) ＝ 9n(n −1)2 ＋ 1，根据高斯三角形数定理，容易推出（注意到 m 可以写成

3 个三角形数之和），每一个形如 9m ＋ 3 的数可以写成 3 个形如 f(n) 的数的和。从而9m ＋ 4, 9m ＋ 5, …, 9m ＋ 11 分别可以写成 4, 5, …, 11 个形如 f(n) 的数的和。这就推出 Wf ≤ 11。用计算机测试，容易看出 47 不能用 1, 10, 28, … 中的 10 个数求和表出，因此 Wf ≥ 11。结论成立。

类似的，可以证明 (1)。只要回顾高斯的三角形数定理的等价命题——每一个形如 8m ＋ 3 的数都是三个奇数的平方之和，由此推出，对 f(n) ＝ (2n － 1)2 有 Wf ≤ 10。计算机测试发现，42 不能用 1, 9, 25, 47…中的 9 个数求和表出（这一点很容易验证），从而有 Wf ＝ 10。

新的结果与猜想

不难发现，波洛克的 (1)(2) 可以推广。设 s 为正整数。称中心对称的 s 边形数（Centered Polygonal Number）是一个形如

Qs (n) = s ⋅n(n −1)2

+1, (n = 1, 2,…)

的数。Qs(n) 可以视为 Ps(n) 的一个变形。读者平常见到五角星、跳棋棋盘则是另一种形状（星形）的多边形，即所谓的多角星形（Star Polygon 或 Polygram）。不过可以证明，尽管多角星形的布阵形状不同于中心对称的多边形，但 s 角星形的公式与中心对称的 2s边形数的公式一致。27

特别地，Q8(n) ＝ 4n2 － 4n ＋ 1 ＝ (2n － 1)2 是 (1) 中考虑的数，而 Q9(n) ＝ 9 .n(n −1)2 ＋

1 是 (2) 中考虑的数。而波洛克的猜测 (1)(2) 可以推广为下述一般定理，它可以视为柯西 – 费尔马多边形数定理的一个形式上的类比（证明留给有兴趣的读者）。

定理 B（中心对称的多边形数定理）：设 s 是正整数，则每个自然数可以写成不超过 s ＋2 个中心对称的 s 边形数 Qs(n) 之和。

1935 年，休格（A. Sugar）在两篇文章 28 中考虑了定理 B 的一个堆垒版本（作为詹姆斯的学生，他曾受到猜想 A 的启发以及迪克森学派相关工作的激励）：

猜想 B（休格猜想）：设多项式

Q s (n) = s ⋅(n +1)n(n −1)

6+ n ,

则当 s ≥ 4 时，Q s (n)的华林数为 s ＋ 3 ；而当 s ＝ 1, 2, 3 时，Q s (n)的华林数分别为 5, 6, 7。

休格证明了上述猜想对 s ≥ 6 成立。而当 s ≤ 5 时，迪克森曾证明Q s (n)的华林数不

27 例如一般的跳棋有 121 目（很容易看出来，六个角都是 10 目，每个角往里翻，就剩下最中心一目是空着的），它恰好等于P12 (5) = 12 ⋅10 +1= 121。28 A. Sugar, A cubic analogue of the Cauchy-Fermat theorem, Amer. J. Math. 58 (1936), 783-790;A cubic analogue of the Cauchy-Fermat theorem II, Bull. Amer. math. Soc. 42(1936), 344.



超过 9。291952 年，华森（G. N. Watson）证明了

Q1(n) =(n +1)n(n −1)

6+ n = n(n

2 + 5)6

的华林数不超过 8。注意到当 s ＝ 4 时，恰好是正八面体数，因此休格猜想将孤立的八面体数猜想纳入一个带参数的猜想中，正如贝格兰‐詹姆斯猜想将四面体数猜想纳入

其中。

我们进一步提出贝格兰‐詹姆斯猜想和休格猜想在四维空间的类比如下：30

猜想 C（贝格兰‐詹姆斯猜想的四维版本）：设多项式

f4, s (n) = s ⋅(n + 2)(n +1)n(n −1)

24+ (n + 2)(n +1)n

6

则当 s ≥ 7 时，f4, s (n)的华林数为 s＋ 6, 而当 s＝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 时，Ps (n)的华林数分别为 8, 8, 9, 10, 12, 14。

猜想 D（休格猜想的四维版本）：设多项式

g4, s (n) = s ⋅(n + 2)(n +1)n(n −1)

24+ (n +1)n

2

则当 s ≥ 7 时，g4, s (n)的华林数为 s ＋ 5，而当 s ＝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 时，其华林数分别为 7, 7, 8, 10, 12 。

特别地，在 s ＝ 6 的情况，容易算出

g4, 6 (n) =n2 (n +1)2

4= E(n),

猜想 D 给出的结果与小欧拉猜想 (9*) 吻合。猜想 A‐D 引导我们提出以下两个更一般的猜想。其中第一个猜想表明，如果补

充以小心的假设，那么贝格兰的大胆猜想有望复活。

猜想 E（修正的贝格兰猜想）：设 d ≥ 3，则当 s ≥ d (d−1)2 +1时，

fd , s (n) = s(n + d − 2)(n + d − 3)(n −1)

d!+ (n + d − 2)(n + d −1)n

(d −1)!

的华林数等于 s ＋ 2d － 2。

猜想 F（休格猜想的高维版本）：设 d ≥ 3，则当 s ≥ d (d−1)2 +1时，

gd , s (n) = s(n + d − 2)(n + d − 3)(n −1)

d!+ (n + d − 3)n

(d − 2)!

的华林数等于 s ＋ 2d － 3。

我们并没有用计算机验证猜想 E 和 F，提出这两个猜想，凭的是我们摸索出的一条经验规律：在一定条件（比如 f 在上严格递增且 f(1) ＝ 1，且 f(3) 不是 f(2) 的倍数）

29 其中 s ＝ 3 的情况归功于迪克森的女学生贝克（Frances Baker）之博士论文。

30 关于这两个猜想，我们对 107 以内的数验证了 s ＝ 1, 2, …, 10 的情况。



下，整数值多项式 f 的华林数 Wf 如下给出：

Wf = f (2)+f (3)f (2)

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 2

注：至少可以肯定的是，在上述条件下， Wf ≥ f (2)+f (3)f (2)⎡⎣ ⎤⎦ − 2，为此只需要考虑

f (3)f (2)⎡⎣ ⎤⎦ f (2)−1的表示即可。推理跟小欧拉论证 g(k) ≥ 2k ＋［(3/2)k］－ 2 相一致，此处从略。

梅勒、卡姆克、杨武之、华森对波洛克猜想的贡献

跟华林问题一样，波洛克猜想可以分为定性与定量两部分来讨论。在这两方面都作出了先驱性工作的是 19 世纪的法国数学家梅勒。

1896 年，梅勒证明了：当 f(n) 为次数不超过 5 的整数值多项式，华林数存在。他的结果的一个简化版本如下 31 ：

定理：设首项系数为正的整数值多项式 f 的次数为 2, 3, 4, 5 之一，满足 f ()⊂ 且f ()不包含在某个公差大于 1 的等差数列中，并且1∈ f ()。则可以确定出 N0 ＝ N0(f)，使得当 n ≥ N0 时， n 可以分别写成 f ()至多 6, 12, 96 , 192 个的数之和。

梅勒还证明了，对于特定的三次多项式 T(n) ＝ (n ＋ 2) ＝ 3 n(n+1)(n+2)6 ，每一个大于等于 19272 的整数都可以写成 12 个四面体数之和。完全可以理解，在那个没有计算机的时代，梅勒放弃了对 19272 以下的数逐一验证（但如果换作喜欢计算的欧拉，结局很可能不同）。对华林所预言的华林数的存在性的一般证明，是卡姆克（E. Kamke）在 1921 年的博士学位论文《Hilbert–Waring 定理的推广》中给出的。通过推广柯西引理，他证明了下述结果 32 ：

定理：设 f(x) 是一个首项系数为正的整数值多项式。如果 f 对某两个自然数可以分别取值 0, 1，则存在正整数 m，使得对任意的自然数 n ，丢番图方程

f (xii=1

m

∑ ) = n

对自然数 x1,…, xm 可解。如前所述，对给定的满足定理条件的 f，我们将使得结论成立的最小自然数 m 记为

Wf ，并称之为 f 的华林数。根据前面的说明，多项式 Ps (x) = (s − 2) ⋅

x(x−1)2 + x（其中 s ≥ 3）的华林数等于 s ；而

Qs (x) = s ⋅x(x−1)2 +1（其中 s ≥ 1）的华林数等于 s ＋ 2。

正如哈代与李特尔伍德用圆法重新证明了希尔伯特 – 华林定理；维诺格拉多夫、兰道（Edmund Landau）、华罗庚用类似的方法重新证明了卡姆克定理。卡姆克定理的一个直接推论是波洛克猜想的定性部分，即保证了华林数的存在性。

在定量的部分，问题是：对任意的满足卡姆克定理条件的多项式 f，确定出 Wf 的值。这个问题尚无一般结论。例如波洛克的猜测 (3)(4)(6*)(7*)(9*)(10)，至今仍未解决。下

31 L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 2 Volumes.

32 M. B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, 371, 定理 11.10, Springer-Verlag, New York, 2000.



面我们介绍一下四面体数猜想 (3) 与八面体数猜想 (4) 的相关进展。对于四面体数猜想 (3)，继梅勒的先驱工作之后，下一步突破由杨武之在 1928 年

的博士学位论文中迈出，他证明了 WT ≤ 9。1952 年，华森刷新了这一记录，证明了WT ≤ 8 ，这仍然是目前最好的结果。

从 1943 年起到 1968 年，萨尔泽（H. E. Salzer）等接连发表多篇计算机测试报告，得到这样的结果：凡小于 276976383 的正整数，除 17, 27, …, 343867 等 241 个例外数需表为 5 个四面体数之和以外，都是不超过 4 个四面体数之和。1994 年，杨振宁（杨武之的长子）与邓越凡用计算机测得，凡小于 109 的正整数，除上述 241 个例外数之外，都是 4 个四面体数之和。1997 年，邓越凡及其学生周忠强对 4 . 109 以内的数验证了上述结果。这些结果支持了早期的猜测：凡大于 343867 的数都可以写成 4 个四面体数之和。

对于八面体数猜想 (4)，1934 年，迪克森证明了 WO ≤ 9。最近，布雷迪（Z. Brady）证明了下述结果：每个大于 e10000000 的整数都可以写成 7 个八面体数之和。这个结果在原则上将八面体数猜想归结为对有限范围内的数的逐一验证。然而，这个界过大，计算机的有效检验目前尚未实现。

在八面体数猜想的计算机测试方面，勒纳（S. D. Lerner）在 2005 年也提出类似的猜测：凡大于 309 的数都可以写成 6 个八面体数之和；凡大于 11579 的数都可以写成 5 个八面体数之和；凡大于 65285683 的数都可以写成 4 个八面体数之和。

高维空间的正多面体数的堆垒问题：金铉广猜想

有各种类型的垛积数（Figurate Numbers）33，从而对每一类给定的垛积数，我们都有一个对应数论问题：确定其华林数。从几何的观点来看，最引人注目的是高维空

间的正多面体数的堆垒问题。

早在古希腊时期，人们就知道了三维空间只有 5 种正多面体，也称为柏拉图立体（Platonic solid）。而 d ≥ 4 维空间的正多面体（regular polytopes）的理论直到 1850 年左右才被瑞士数学家施莱夫利（ Ludwig Schläfli）创立。34 施莱夫利证明了，四维空间中一共有 6 种多面体，分别是：四维单形（正四面体的类似，又称 5‐胞腔）、超立方体（立方体的类似，又称 8‐胞腔）、超正八面体（正八面体的类似，又称 16 胞腔）、24 胞腔（可以视为介于超立方体与超正八面体之间的中间形体）、 120 胞腔（正十二面体的类似）和 600 胞腔（正二十面体的类似）。而在 d ≥ 5 维空间，仅有三种正多面体，分别是：d 维单形、 d 维超立方体、d 维超正八面体。35

对于每一类正多面体，都有一个对应的多面体数。例如，正如我们前面提到的，d维单形数 αd(n) 的公式（本质上是组合数）为：

α d (n) =n(n +1)(n + d −1)

d!= n + d −1

d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

d 维超立方体数其实是方幂数 nd 。而 d 维超正八面体数 βd(n) 的公式则是 3 ：

33 关于种种形状的垛积数，读者可参考 [3]。34在施莱夫利的工作发表近 30 年后，在西尔维斯特（J.J. Sylvester）指导下的美国数学家斯特林汉姆（W. I. Stringham）也独立作出了这一发现。事实上，在 1881–1990 年间，先后有九位数学家重新发现了这一结果。见 H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes (3rd ed.). New York: Dover Publications. 1973.35 hyperoctahedron，也称为交叉多面体（cross polytope），或 orthoplex，或 cocube。这些几何体的图示模型可见网页 http://www.ics.uci.edu/ eppstein/junkyard/polytope.html.



βd (n) = (−1)k

k=0

d−1

∑ d −1k⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2d−k−1 n + d − k −1

d − k⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= d −1

k⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=0

d−1

∑ n + d − k −1d⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

对于每一类正多面体数，自然就有一个对应的华林数。例如，小欧拉猜想 I 正是猜出了 d 维超立方体数 nd 的华林数 g(d) 的显式公式。

2002 年，韩国数学家金铉广 36 考虑了用高维空间的正多面体数来堆垒的问题，但他似乎不了解波洛克的早期工作。通过计算机测试，他对维数不超过 7 的空间的（共 20 种）正多面体数 f(n)，猜测出所对应的 Wf 的值。除了之前提到的波洛克猜想的 (3)(4)(5)(6*)(7*)以及与小欧拉猜想 I 重合的 g(3) ＝ 9, g(4) ＝ 19, g(5) ＝ 37, g(6) ＝ 73 之外，金铉广的其它猜想汇集在下述三个表中。

四维空间正多面体数的金铉广猜想

序号正多面体数名称 f(n) Wf

(1') 四维单形数 n(n+1)(n+2)(n+3)4! 8

(2') 超正八面体数 13 n2 (n2 + 2) 11

(3') 24 胞腔数 n2 ＝（3n2 － 4n ＋ 2) 28

(4') 120 胞腔数 12 n(261n

3 − 504n2 + 283n − 38) 606

(5') 600 胞腔数 16 n(145n

3 − 280n2 +179n − 38) 125

d ≥ 5 维单形数的金铉广猜想

序号 d αd(n) 华林数 α(d)

(6') 5 (n ＋ 4) 5 10(7') 6 (n ＋ 5)

613

(8') 7 (n ＋ 6) 7 15

d ≥ 5 维超正八面体数的金铉广猜想

序号 d βd(n) 华林数 β(d)

(9') 5 115 n(2n4 +10n2 + 3) 14

(10') 6 145 n(2n4 + 20n2 + 23) 19

(11') 7 1315 n(4n6 + 70n4 +196n2 + 45) 21

36 H. K. Kim, On regular polytope numbers, Proc. of AMS.131(2002): 65-75.



笔者用计算机（对 108 以内的数测试 d ＝ 8, 9；107 以内的数测试 d ＝ 10, 11）测试，猜测有

α(8) ＝ 15, α(9) ＝ 19, α(10) ＝ 25, α(11) ＝ 27

测得的结果都支持了小欧拉猜想 III 中的结论（在 s ＝ 1 的特殊情形）：

关于 α(d) 的小欧拉猜想：对任意的正整数 d ，有 α(d) ≥ 2d － 1。

陈景润 37 早在 1959 年就证明了，当 d ≥ 12 时，有

d ln d － d ≤ α(d) ≤ 5( d ln d ＋ 12)

根据左边的不等式（陈景润指出，华罗庚同时也得到了这一方向的不等式），不难

看出，当 d ≥ 20 时（注意 20 < e3 < 21 以及 ln(d ＋ 1) － ln d < 1d ），有

d ln d － d > d ln(d ＋ 1) － 1 － d ≥ (ln 21 － 1) ‧d － 1 > 2d － 1,

因此，要验证上述小欧拉猜想是否成立，只需验证 d ＝ 12, 13, …, 19 的情况。通过计算机测试，我们发现

α(12) ≥ 30, α(13) ≥ 30, α(14) ≥ 26 , α(15) ≥ 34

α(16) ≥ 42, α(17) ≥ 43, α(18) ≥ 42, α(19) ≥ 44

因此上述关于 α(d) 的小欧拉猜想对一切正整数 d ≠ 14 成立。而我们的计算机测试表明，108 以内的自然数都可以用不超过 26 个形如 α14(n) 的数求和表出，因此一个合理的猜测是α(14)＝ 26，如此一来α(14)＝ 26 < 27＝ 2‧14－ 1小欧拉的上述猜想恰好有一个例外。

此外，笔者通过测试，进一步猜测：β(8) ＝ 25, β(9) ＝ 31, β(10) ＝ 33。但已知的猜测仍不足以（例如在数据库 OEIS 中搜索 38）猜出 d 维单形数 α(d) 与 d

维超正八面体数的华林数 β(d) 的一般公式。

渐近华林问题的华罗庚猜想

哈代和李特尔伍德还提出了寻求 G(k) 的问题，这里 G(k) 是最小的自然数 m，使得一切充分大的自然数（换言之，只要它大于某个固定的数）都可以写成不超过 m 个k 次幂之和。例如，容易看出（因为每个被 8 除余 7 的数不能写成 3 个平方数之和），G(2) ＝ 4。除此以外，我们目前关于 G(k) 已知的仅有的确切值就是达文波特（Harold Davenport）在 1939 年所确定的 G(4) ＝ 16。39

对于任意的 k，人们对 G(k) 的值也提出了猜想，但结果有点复杂，有兴趣的读者可以参考川田浩一 40。关于 G(k) 的下界，胡尔维茨和梅勒 1908 年证明了下述漂亮结果：

37 陈景润，华林问题中 g(η) 的估值，《数学学报》，第 9 卷第 3 期（1959 年），264-270.38 OEIS 的全称是 On‐Line Encyclopedia of Integer Sequences （整数序列在线百科），由美国数学家斯隆（N. J. A. Sloane）于 1964 年创立，已搜集了 26 万多条整数序列，已成为实验数学家特别是组合学家必不可少的工具箱。其网址是：http://oeis.org/.39 坎普纳于 1912 年指出 G(4) ≥ 16 ，因为形如 31‧16m 的数至少需要用 16 个四次方求和表出。40川田浩一，研究华林问题的方法进展，日本数学会，《数学》，57(1), (2005年 1月 ), pp.21-49. 有英译文，Koichi Kawada,On development of techniques in research on Waring's problem. American Mathematical Society, Sugaku Expositions, 22(1), (2009), pp.57-89.



定理：对一切 k ≥ 2 有，G(k) ≥ k ＋ 1。

一个简洁巧妙的证明可见哈代与赖特《数论导引》第 21 章第 6 节定理 394。很容易看出，这个定理及其证明可以推广到任意的首项系数为正的 k ≥ 2 次整数值多项式。

我们再略提一下关于 G(3) 的已知结果。1943 年，林尼克证明了 G(3) ≤ 7 ；而最近希柯塞克（Samir Siksek）41 最近证明了，除了以下 17 个例外

15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 239, 303, 364, 420, 428, 454，

每个正整数都可写成 7 个立方数之和。这就肯定了雅可比 1851 年提出的诸多猜想之一。然而至今未确定是否有 G(3) ＝ 4。不过有人猜测，只要 n >7373170279850，n 就可以写成 4 个立方数之和。

正如我们可以对一般的整数值多项式 f 考虑华林数 Wf，也可以考虑其渐近华林数Gf ，这个问题称为渐近华林问题（Asymptotic Waring problem）。下述归功于卡姆克的定理 42 确保了渐近华林数的存在性：

定理：设 f(x) 是首项系数为正的整数值多项式，f( ) 中所有数仅有平凡的公因子，则存在正整数 m，使得一切充分大的自然数，都可以写为不超过 m 个 f( ) 中的数的和。

对给定的满足定理条件的 f，我们将使得结论成立的最小自然数 m 记为 Gf，并称为f 的渐近华林数。

根据哈代的看法，渐近华林数比华林数更根本。这是因为他与李特尔伍德重新证明希尔伯特 – 华林定理，正是基于这样的思路： G(k) 的存在性蕴含 g(k) 的存在性。哈代这样说 43 ：

我说过，对我而言， G(k) 比 g(k) 更为根本，很容易看出缘由。假定我们知道（毫无疑问这是对的 44）这一事实：只有 23 与 239 这两个数需要用 9 个立方数求和才能表出（而其余的数都可以表示为不超过 8 个立方数之和）。这是一个非常奇妙的事实，是每个真正的算学家会感兴趣的，因为对每个算学家来说都应是这样—— 正如拉曼纽扬先生曾经说过的，而且在他本人的情形则是绝对真理——“每个正整数都是他的亲密朋友。”然而，如果要

把它伪装成高等算术中的一个比较深刻的结果则是荒谬的：它只不过是一个有趣的算术巧合。真正有深刻趣味的数，是兰道的 8 而不是维费里希和坎普纳的 9。

1920-1927 年间，哈代与李特尔伍德合作发表了八篇以“Partitio Numerorum45”

41 S. Siksek, Every integer greater than 454 is the sum of at most seven positive cubes, http://arxiv.org/abs/1505.00647. 他的工作基于林尼克、华森（Watson）、麦克理（McCurley）、艾利克斯（N. D. Elkies）等许多数学家的成果。据他说，其证明中的计算机验证部分，用到 59 个处理器，分批运行了 18000 个小时（＝ 750 天）！以至于他不禁要问：计算机辅助证明得到的结果究竟能否靠得住（Can we trust the computation）？42 M. B. Nathanson, Elementary Methods in Number Theory, 370, 定理 11.9, Springer-Verlag, New York, 2000.43 G. H. Hardy, Some Famous Problems of the Theory of Numbers and in particular Waring's Problem: An Inaugural Lecture delivered before the University of Oxford, Oxford: At the Clarendon Press, 1920.44 这是雅可比 1851 年提出的诸多猜想之一，而证明则是由迪克森于 1939 年得到，而此前蓝道于 1909 年证明了，一切充分大的正整数可以写成不超过 8 个立方数的和。45 拉丁文，源自欧拉《无穷小分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum）第 16 章的标题，即“论数的分拆”。



为主题的系列论文，得到了许多深刻的结果。例如，他们于 1922 年发表的第四篇论文中对 G(k) 给出了第一个上界估计：当 k ≥ 3 时，有 G(k) ≤ (k － 2)2k － 1 ＋ 5。1934 年起，维诺格拉多夫发表多篇论文，改进了哈代与李特尔伍德的上界估计，但其估计（形如G(k) < 6k logk ＋ (4 ＋ log216)k）不够简洁优美。直到 1938 年，华罗庚 46 才得到比哈代与李特尔伍德估计更优美而有效的估计：当 k ≥ 2 时，有 G(k) ≤ 2k ＋ 1。王元在为华罗庚所写的传记中描述了这一工作引起的反响 47 ：

1938 年初，华罗庚向他在英国的青年伙伴宣传他已将哈代与李特尔伍德的结果改进了。这样一来，当 k 较小时，华林问题的最好结果就是华罗庚的了；而当 k 较大时，则是维诺格拉多夫的结果最好。华罗庚的文章只有四页，大家疑心重重：哈代与李特尔伍德的工作，又是经过蓝道特别是维诺格拉多夫这些高手简化过的，难道就这样被华罗庚轻而易

举地改进了？埃斯特曼（T. Estermann）表示不相信，他仔细地阅读了华罗庚的手稿。是对的！埃斯特曼很高兴，还帮助华罗庚对文章做了一点小修改。……

华罗庚的证明基于后人所谓的“华氏不等式”，它已成为一个基本的数学工具，这只是它的诸多应用之一。……林尼克证明了华氏不等式的一个变体，并结合施尼勒尔曼的密

度方法，给出了希尔伯特 – 华林定理的一个初等证明。这个证明作为“珍珠”之一被辛钦（A. Y. Khinchin）写进《数论的三颗明珠》（Three Pearls of Number Theory）一书。……达文波特与沃恩（R. C. Vaughan）各自的专著，均以华氏不等式及其应用作为开篇。

对于一般的整数值多项式 f，目前我们对渐近华林数 Gf （以及华林数 Wf）的了解极有限，对此作出了早期贡献的主要有迪克森学派和华罗庚。迪克森学派侧重于低次多项式的华林

问题，前面已有涉及。这里着重介绍华罗庚的贡献，这是他最有名的数学成就之一。

华罗庚

46 L. K. Hua, On Waring's problem. Quart. J. Math. Oxford Ser. 9(1938), 199-202. 有中译文，关于华林问题，收入《华罗庚文集：数论卷 ~III》，王元、潘承彪、贾朝华编译，科学出版社，2010 年。47 王元，《华罗庚》（修订版），江西教育出版社，1999 年。

杨武之



据统计，从 1934 年到 1940 年，华罗庚七年间一共发表关于华林问题的论文 20 多篇。经粗略分析，华罗庚的相关工作大致分为两个方面：一是将前人（哈代 – 李特尔伍德、维诺格拉多夫）关于经典华林问题（仅考虑多项式 xk）的结果推广到一般的整数值多项式，华罗庚的贡献主要在渐近华林问题；二是将华林问题与哥德巴赫猜想相结合，开创了所谓的“堆垒素数论” （其成果总结在《堆垒素数论》中，正是这本书后来启发了陈景润钻研数论）。这里我们仅关注第一方面，一个重要成果是华罗庚在 1940 年的两篇论文 48 中得到的，他对任意的 k ≥ 3 次整数值多项式的渐近华林数，给出了一个类似的上界估计：

定理：设 f(x) 是一个首项系数为正的 k ≥ 3 次整数值多项式，具有形式

f (x) =α k

xk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟++α1

x1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

其中整系数 αk, …, α1 的最大公因子为 1，则：

(i) 当 k ≥ 4 时 f 的渐近华林数满足 Gf ≤ (k － 1)2k+1 ；

(ii) 当 k ＝ 3 时，Gf ≤ 8。特别值得一提的是，华罗庚还得到了下述漂亮的结果：

定理（华罗庚多项式的渐近华林数）：设 k 为正整数，多项式

Hk (x) = (−1)

k−i

i=1

k

∑ 2i−1 xi⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2k−1 x

k⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 2k−2 x

k −1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟++ (−1)k−1 x

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

的渐近华林数记为 Gk，则当 k ≥ 4 时，有

Gk =⎧⎨⎩

2k −1 k ≡ 1 (mod 2)2k k ≡ 1 (mod 2)

⎧⎨⎪

⎩⎪

我们称定理中的多项式 Hk(x) 为华罗庚多项式。49 这个定理遗留下一个明显的问

题：当 k ＝ 1, 2, 3 时，华罗庚多项式 Hk(x) 的渐近华林数 Gk 是多少？容易看出，H1(x)

＝ (x)1 ＝ x，因此 G1 ＝ 1，而 H2(x) ＝ 2 (x)2 － (x)1 ＝ x2 － 2x ＝ (x － 1)2 － 1，容易看出 G2 ＝ 4。唯一非平凡的是 H3(x) ＝ 4 (x)3 － 2 (x)2 ＋ (x)1 的渐近华林数 G3，华罗庚给出了下界 G3 ≥ 7。不过，现在根据布雷迪 50 定理 2 知 H 3(x) = 4 x

3−x6 − 6 x

2−x2 + x的华林数

G3 ≤ 7，从而 G3 ＝ 7。换言之，华罗庚的上述定理其实对一切正整数 k 成立。

此外，华罗庚还略为保守地提出了下述猜想（相当于说，在使得渐近华林数存在的 k ≥ 2 次多项式中，华罗庚多项式 Hk 的渐近华林数是最大的）：

48 L. K. Hua, On a generalized Waring problem. II. J. Chinese Math. Soc. 2(1940), 175-191. 中译文，关于一个推广的华林问题 II，收入《华罗庚文集：数论卷 III》；On a Waring's problem with cubic polynomial Summands. J. Indian Math. Soc. 4.(1940), 127-135. 中译文，关于三次多项式的华林问题，收入《华罗庚文集：数论卷 III》。49 Hk(x) 是华罗庚的原始记号。可以想见，他对这个发现比较满意，因而用“Hua”的首字母“H”标记这个多项式。但他是如何想到这个多项式的，我们无从得知。50 Z. Brady, Sums of seven octahedral numbers, http://arxiv.org/pdf/1509.04316.pdf .



华罗庚猜想：设 f(x) 是一个首项系数为正的 k ≥ 2 次整数值多项式，f( ) 中所有数的最大公因子为 1，则 f 的渐近华林数 Gf 满足

Gf ≤Gk =

⎧⎨⎩

2k −1 k ≡ 1 (mod 2)2k k ≡ 1 (mod 2)

1938 年，华罗庚曾用圆法证明了对任意的k≥2次多项式 f有Gf ≤2k＋1。当 k＝2, 3时，

对应的结果此前分别为迪克森学派的珀尔和詹姆斯得到。注意到，华罗庚猜想中所给出的

上界比梅勒定理给出的上界要小得多。自华罗庚提出其猜想半个多世纪以后，1996-1998 年，余红兵在两篇短文 51 中证明了该猜想对 k ≥ 4 成立。（事实上，由余红兵的结果可知，对于 4 次以上的整数值多项式 f，若华罗庚猜想取得等号，则 f 本质上必须为华罗庚多项式。）于是华罗庚猜想只剩下 k ＝ 2 的情况悬而未决。华罗庚本人对三次多项式 f 证明了 Gf ≤ 8 。最近布雷迪 50 证明了，一大类三次多项式 f 都满足华罗庚猜想 Gf ≤ 7。

华罗庚先生考虑的是一般的 k 次多项式的渐近华林数的最优上界估计，类似的，还可以考虑最优的下界估计；此外，一些特殊的多项式（如费尔马多边形数、波洛克、

金铉广所考虑的各种垛积数）的渐近华林数同样也是值得考虑的，之前提到的关于正

四面体数猜想和正八面体数猜想的一些计算机验证工作本质上就是猜出了其渐近华林

数。如果我们信任哈代，那么这些问题都值得深入探究。

总结与评论

据韦伊 1 分析，现代数论的创始人费尔马曾一度关注两类问题：一类是丢番图问题，一类是平方和问题。前者的代表是费尔马方程 xn ＋ yn ＝ zn，并最终引出了费尔马大定理以及在其中处于核心地位的谷山 – 志村 – 韦伊猜想（Taniyama-Shimura-Weil conjecture）。对此，当代大数学家格罗莫夫（Mikhael Gromov）曾评论道 52 ：

我关心的不是费尔马大定理，而是这个奇妙的问题——谷山 – 志村 – 韦伊猜想，它是朗兰兹纲领（Langlands program）的一个特殊情形。这不是随随便便哪个人都能提出来的问题；这是一个基于对结构的理解的一个非常深刻的问题。而费尔马大定理，

就像 2 2 的超越性（尽管这是希尔伯特提出的问题 53），看起来就是愚蠢的问题。你应该承认这一点。

费尔马所关心的第二类问题即平方和问题，它沿着两个方向发展至今：

1. 欧拉 – 勒让德 – 高斯 – 雅可比 – 拉曼纽扬引导的方向，求将自然数 n 表达成 s 个平方数的和的所有可能方法数的表达式；这个问题在 2000 年左右取得重大进展，可以说数学家在理论上已经完全解决该问题，见曾衡发教授与 Krattenthaler 合写的精彩综述 54。

51 H. B. Yu, On Waring's problem with polynomial summands, Acta Arith.76 (1996), 131-144. On Waring's problem with polynomial summands II, Acta Arith.86 (1998), 245-254. 52 N. Alon, J. Bourgain, A. Connes, M. Gromov, V. Milman; Visions in Mathematics: GAFA 2000 Special Volume, Part II , Modern Birkhäuser Classics, 2010.53 这是希尔伯特在 1900 年数学家大会会上提出的 23 个著名问题中的第七个问题。西格尔（C. L. Siegel）首先证明了 2 2 的超越性。一般性的问题由盖尔芳德（Aleksandr Gelfond）和施耐德（Theodor Schneider）于 1934 年各自独立解决。见维基百科条目“Gelfond–Schneider 定理”。54 H. H. Chan and C. Krattenthaler, Recent progress in the study of representations of integers as sums of squares, Bull. London Math. Soc.37 (2005), 818-826.

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2. 华林 – 小欧拉 – 波洛克 – 梅勒 – 哈代、李特尔伍德 – 迪克森 – 华罗庚开启的方向，对任意的整数值多项式 f，求出其华林数 Wf 与渐近华林数 Gf ；虽然数学家在这方面取得了一定成就，但总体而言，还有很大的空白。计算机编程能够帮助我们提出猜测，但离真正的证明可能还很远。例如，我们还没有得到一个确定多项式的华林数的一般性定理。

致谢：作者在论文准备过程中，曾与下述数学家与学者通讯并获得帮助，特表感谢：新加坡国立大学数学系曾衡发教授、纽约州立大学石溪分校数学系邓越凡教授、纽约城市大学数学系纳坦松（Melvyn B. Nathanson）教授、伊利诺大学香槟分校数学系雷兹尼克（Bruce Reznick）教授、罗格斯大学数学系伊万尼克（Henryk Iwaniec）教授、加州伯克利大学数学系伍鸿熙教授、普林斯顿高等研究院社会科学历史研究图书管档案管理员 Erica Mosner、日本岩手大学数学系川田浩一（Koichi Kawada）教授、香港城市大学电子工程系陈关荣教授、台湾国立交通大学应用数学系杨一帆教授、华东师范大学数学系刘治国教授、苏州大学数学系余红兵教授、华东理工大学数学系张明尧教授、中科院数学所严加安教授和李文林教授、首都师范大学数学系李克正教授、天津大学物理系刘云朋教授、美国劳伦斯伯克利国家实验室邵美悦博士、日本京都大学数学系吴帆博士、以色列数学高等研究中心许权博士、内蒙古工业大学数学系崔继峰博士。感谢杨振宁先生

为我们提供了杨武之先生的照片。

作者简介：

林开亮，首都师范大学基础数学专业博士，现任教于西北农林科技大学理学院；

郑豪，北京交通大学理学院博士研究生，方向为组合设计理论。

从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想math.sjtu.edu.cn/conference/bannai/2016/data/... ·...

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