Řešení soustav lineárních rovnic - vŠpj/matematika 1 - marie...vážení studenti, dostávají...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA 1
pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch
Marie Hojdarová
Jana Krejčová
Martina Zámková
© RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D.
Vážení studenti,
dostávají se vám do rukou skripta k Matematice 1 pro obor Finance a řízení a
obor Cestovní ruch. Vzhledem k tomu, že vaším hlavním studiem není
matematika, je matematická teorie funkcí jedné proměnné vysvětlována bez
důkazů a pokud možno co nejsrozumitelněji. Srozumitelnost je dále podpořena
větším množstvím řešených příkladů. Také lineární algebra je podána
zjednodušenou formou bez důkazů.
Na konci každé kapitoly naleznete základní příklady k procvičení spolu s jejich
výsledky. Doporučujeme si nejprve prostudovat a poté samostatně vypočítat
řešené příklady, a teprve pak se obrátit k příkladům neřešeným.
Přejeme vám úspěšné studium s našimi skripty, a předem děkujeme za jakékoli
připomínky k jejich zlepšení.
M.Hojdarová, J.Krejčová, M.Zámková
V Jihlavě, červen 2014
Přehled základních pojmů a označení
𝑁 množina všech přirozených čísel
𝑍 množina všech celých čísel
𝑄 množina všech racionálních čísel
𝑅 množina všech reálných čísel
𝑅∗ množina všech reálných čísel rozšířená o nevlastní body −∞ a +∞,
𝑅∗ = 𝑅 ∪ {−∞;+∞}
𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 nenulové reálné číslo
(𝑎; 𝑏) otevřený interval, (𝑎; 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}, graficky vyjadřujeme pomocí
prázdných kroužků u krajních bodů 𝑎, 𝑏
⟨𝑎; 𝑏⟩ uzavřený interval, ⟨𝑎; 𝑏⟩ = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}, graficky vyjadřujeme pomocí
vyplněných kroužků u krajních bodů 𝑎, 𝑏
⟨𝑎;𝑏) polouzavřený (polootevřený) interval, ⟨𝑎;𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}, grafické znázornění
(𝑎; 𝑏⟩ polouzavřený (polootevřený) interval, (𝑎; 𝑏⟩ = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}, grafické
znázornění
(−∞; 𝑏) otevřený interval, (−∞; 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 < 𝑏}
(𝑎;∞) otevřený interval, (𝑎;∞) = {𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 𝑎}
(−∞; 𝑏⟩ polouzavřený interval, (−∞; 𝑏⟩ = {𝑥 ≤ 𝑏}
⟨𝑎;∞) polouzavřený interval, ⟨𝑎;∞) = {𝑥 ≥ 𝑎}
OBSAH
1. FUNKCE (Krejčová) ......................................................................................................................................... 1
1.1. Reálná funkce reálné proměnné ........................................................................................................... 1
1.2. Vlastnosti funkcí .................................................................................................................................... 5
1.3. Inverzní funkce .................................................................................................................................... 11
1.4. Přehled elementárních funkcí jedné proměnné .................................................................................. 11
1.4.1. Lineární funkce............................................................................................................................ 11
1.4.2. Lineární funkce s absolutní hodnotou ........................................................................................ 13
1.4.3. Kvadratické funkce ...................................................................................................................... 15
1.4.4. Mocninné funkce ........................................................................................................................ 18
1.4.5. Lineární lomené funkce .............................................................................................................. 18
1.4.6. Exponenciální funkce .................................................................................................................. 22
1.4.7. Logaritmické funkce .................................................................................................................... 22
1.4.8. Goniometrické funkce................................................................................................................. 24
1.4.9. Cyklometrické funkce.................................................................................................................. 25
1.5. Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru .................................................................................. 28
1.6. Definiční obor ...................................................................................................................................... 31
1.7. Cvičení ................................................................................................................................................. 33
2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE (Krejčová) ...................................................................................................... 37
2.1. Limita funkce ....................................................................................................................................... 37
2.2. Spojitost funkce ................................................................................................................................... 40
2.2.1. Spojitost funkce v bodě .............................................................................................................. 40
2.2.2. Spojitost funkce na intervalu ...................................................................................................... 41
2.3. Výpočet limit ........................................................................................................................................ 45
2.3.1. Limity polynomů v nevlastním bodě ........................................................................................... 47
2.3.2. Limity podílu polynomů v nevlastním bodě ................................................................................ 48
2.3.3. Limity podílu polynomů ve vlastním bodě .................................................................................. 49
2.3.4. Limity výrazů s odmocninami v nevlastním bodě ....................................................................... 51
2.3.5. Limity výrazů s odmocninami ve vlastním bodě ......................................................................... 52
2.3.6. Limity exponenciálních funkcí v nevlastním bodě ...................................................................... 53
2.4. Cvičení ................................................................................................................................................. 54
3. DERIVACE FUNKCÍ (Zámková) ....................................................................................................................... 56
3.1. Definice a geometrický význam derivace ............................................................................................ 56
3.2. Pravidla pro derivování základních elementárních funkcí ................................................................... 58
3.3. Derivace složených funkcí.................................................................................................................... 68
3.4. Derivace vyšších řádů .......................................................................................................................... 71
3.5. Cvičení ................................................................................................................................................. 73
4. UŽITÍ DERIVACÍ (Zámková) ........................................................................................................................... 76
4.1. Věty o střední hodnotě ........................................................................................................................ 76
4.2. L’Hospitalovo pravidlo ......................................................................................................................... 77
4.2.1. Neurčitý výraz typu 0 ∙ ∞ .......................................................................................................... 81
4.2.1. Neurčitý výraz typu ∞ − ∞ ....................................................................................................... 83
4.2.2. Neurčité výrazy typu 00 , ∞0 , 1∞ ........................................................................................... 83
4.3. Asymptoty grafu funkce ...................................................................................................................... 85
4.4. Cvičení ................................................................................................................................................. 91
5. VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE (Krejčová) ....................................................... 93
5.1. Význam první derivace pro vyšetření monotonie funkce .................................................................... 93
5.2. Význam druhé derivace pro vyšetření zakřivenosti grafu funkce ........................................................ 97
5.3. Cvičení ............................................................................................................................................... 104
6. EXTRéMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE (Krejčová) ............................................................ 106
6.1. Lokální extrémy ................................................................................................................................. 106
6.2. Globální extrémy ............................................................................................................................... 112
6.3. Vyšetření průběhu funkce ................................................................................................................. 115
6.4. Cvičení ............................................................................................................................................... 122
7. APROXIMACE FUNKCE (Hojdarová) ............................................................................................................ 125
7.1. Co je aproximace? ............................................................................................................................. 125
7.2. Aproximace pomocí diferenciálu ....................................................................................................... 125
7.3. Taylorův a Maclaurinův polynom ...................................................................................................... 127
7.4. Chyba aproximace, zbytek Taylorova polynomu ............................................................................... 130
7.5. Důležité Maclaurinovy polynomy ...................................................................................................... 131
7.6. Aproximace mnohočlenu vyššího stupně Taylorovým polynomem, Hornerovo schéma ................. 131
7.7. Aproximace funkce v intervalu .......................................................................................................... 134
7.8. Cvičení ............................................................................................................................................... 135
8. ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR (Hojdarová) ........................... 138
8.1. Motivační příklad, vektorový prostor ................................................................................................ 138
8.2. Cvičení ............................................................................................................................................... 141
9. MATICE A MATICOVÉ ROVNICE (Hojdarová) .............................................................................................. 144
9.1. Typy matic ......................................................................................................................................... 144
9.2. Operace s maticemi ........................................................................................................................... 146
9.3. Hodnost matice ................................................................................................................................. 149
9.4. Inverzní matice .................................................................................................................................. 151
9.5. Maticové rovnice ............................................................................................................................... 153
9.6. Cvičení ............................................................................................................................................... 156
10. DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI (Hojdarová) .............................................................................. 160
10.1. Pojem determinantu ......................................................................................................................... 160
10.2. Základní vlastnosti determinantu ...................................................................................................... 162
10.3. Subdeterminant, algebraický doplněk determinantu ....................................................................... 163
10.4. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů ................................................................................ 165
10.5. Cvičení ............................................................................................................................................... 166
11. ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC (Hojdarová) ............................................................................. 169
11.1. Gaussova eliminační metoda, Frobeniova věta ................................................................................. 169
11.2. Řešení soustavy s regulární maticí Cramerovým pravidlem ............................................................. 173
11.3. Řešení soustav lineárních rovnic s regulární maticí soustavy pomocí inverzní matice ..................... 175
11.4. Jordanova metoda úplné eliminace ............................................................................................... 176
11.5. Cvičení ............................................................................................................................................... 177
12. SEZNAM LITERATURY ............................................................................................................................. 183
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
1
1. FUNKCE
V této kapitole zavedeme a popíšeme nejdůležitější vlastnosti elementárních funkcí jedné proměnné.
1.1. REÁLNÁ FUNKCE REÁLNÉ PROMĚNNÉ
DEFINICE: FUNKCE
Buďte 𝐴, 𝐵 neprázdné podmnožiny reálných čísel. Za reálnou funkci 𝑓 jedné reálné proměnné považujeme
neprázdnou množinu uspořádaných dvojic [𝑥, 𝑦], kde 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵, splňující podmínku: ke každému 𝑥 existuje
nejvýše jedno 𝑦 tak, že [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑓.
Zapisujeme 𝑓: 𝐴 → 𝐵 . Skutečnost [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑓 zapisujeme 𝑦 = 𝑓(𝑥). Množina všech přípustných 𝑥 se nazývá
definiční obor funkce 𝑓 a značíme ji 𝐷(𝑓). Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce 𝑓
množinu všech 𝑥, pro která má pravá strana rovnice 𝑦 = 𝑓(𝑥) smysl. Množina příslušných 𝑦 se nazývá obor
hodnot funkce 𝑓 a značíme ji 𝐻(𝑓).
Funkce je tedy pravidlo, které danému číslu 𝑥 přiřadí jediné, přesně definované, číslo 𝑦.
PŘÍKLAD:
Uvažujme následující funkci 𝑓, zadanou tabulkou:
x -1 0 1 2
y -4 -1 2 5
Definiční obor této funkce je 𝐷(𝑓) = {−1; 0; 1; 2} a obor hodnot je 𝐻(𝑓) = {−4;−1; 2; 5}. Naopak následující
tabulkou není zadána funkce, protože není splněna podmínka z definice. Tzn. pro hodnotu 𝑥 = 1 existují dvě
různé hodnoty 𝑦.
DEFINICE: GRAF FUNKCE
Grafem funkce 𝑓 je množina všech uspořádaných dvojic bodů {[𝑥, 𝑓(𝑥)]}: 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) zobrazených v rovině 𝑅2 =
𝑅 × 𝑅 s kartézskou soustavou souřadnic.
Kartézská soustava souřadnic je soustava souřadnic v rovině 𝑅2 s osami souřadnic na sebe kolmými a se
stejnými jednotkami na obou osách.
x -1 0 1 1
y -4 -1 2 5
2
PŘÍKLAD:
Určeme, jestli je následujícími grafy znázorněna funkce. Pokud ano, určeme definiční obor a obor hodnot
znázorněné funkce.
a)
b)
c)
Obrázek 1
Na obrázku 1 je znázorněn graf funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. Definiční obor i obor hodnot této funkce jsou všechna reálná čísla, tj. 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓) = 𝑅.
Na obrázku 2 je znázorněn graf funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1,
jejíž definiční obor je omezen na interval 2;3 .
Tedy grafem funkce již není přímka, ale pouze úsečka pro hodnoty 𝑥 z daného intervalu. Obor hodnot neboli množina hodnot 𝑦 , pro které daný graf
existuje, je zúžen také na interval 𝐻(𝑓) = 3;2 .
Obrázek 2
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
3
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Řešení:
a) Na obrázku je funkce, protože pro každou hodnotu 𝑥 existuje nejvýše jedna hodnota 𝑦 neboli jeden bod v grafu, viz obrázek.
Definiční obor funkce je množina čísel na ose 𝑥, pro která existuje 𝑦, že bod [𝑥, 𝑦] leží na grafu dané funkce. Tedy 𝐷(𝑓) = 𝑅\{0}.
Obor hodnot funkce je množina hodnot 𝑦, pro které existuje 𝑥, že bod [𝑥, 𝑦] leží na grafu dané funkce. Tedy 𝐻(𝑓) = 𝑅\{0}.
4
b) Na tomto obrázku je opět graf funkce.
Definiční obor funkce je polouzavřený interval. To znamená, že obsahuje pouze jeden svůj krajní bod a druhý krajní bod neobsahuje.
Hodnota 𝑥 = −2 do definičního oboru patří a hodnota 𝑥 = 2 do definičního oboru nepatří.
Tedy 𝐷(𝑓) = 2;2 .
Obor hodnot (čteme na ose y) je uzavřený interval. Tedy patří do něj oba krajní body.
𝐻(𝑓) = 3;1 .
c) 𝐷(𝑓) = 3;2 , 𝐻(𝑓) = 4;4 .
d) 𝐷(𝑓) = 2;3 . Obor hodnot funkce tvoří pouze hodnota 2, tedy 𝐻(𝑓) = {2}.
e) 𝐷(𝑓) = 4;4 , 𝐻(𝑓) = 2;3 .
f) Na tomto obrázku není graf funkce.
Je patrné, že např. pro hodnotu 𝑥 = 2 lze nalézt dvě různé hodnoty 𝑦, 𝑦 = 2, 𝑦 = −2.
Tedy pro jednu hodnotu 𝑥 existují dvě hodnoty y, což je v rozporu s definicí funkce.
g) Jedná se o graf funkce, která má 𝐷(𝑓) = 𝑅. Obor hodnot je ale pouze interval 𝐻(𝑓) = ;1 . Pro
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
5
hodnoty na ose 𝑦 menší nebo rovno −1 odpovídající bod na grafu funkce neexistuje.
h) Toto není graf funkce.
Pro hodnotu 𝑥 = 1 existují dvě hodnoty 𝑦, 𝑦 = 2 a 𝑦 = −1, což je v rozporu s definicí funkce.
i) Obrázek je podobný předchozímu případu, ale rozdíl je v tom, že nyní pro 𝑥 = 1 existuje již pouze jedna hodnota 𝑦, a to 𝑦 = −1. Nyní se tedy jedná o graf funkce.
Definiční obor je 𝐷(𝑓) = 3;3 .
Obor hodnot tvoří pouze dvě hodnoty, tedy 𝐻(𝑓) = {-1;2}.
1.2. VLASTNOSTI FUNKCÍ
DEFINICE: MONOTONIE FUNKCE
Nechť 𝑓 je funkce a interval 𝐼 je podmnožinou 𝐷(𝑓).
Řekneme, že funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 rostoucí, jestliže pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼 taková, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).
Řekneme, že funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 klesající, jestliže pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼, taková, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí
𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).
Poznámka:
Řekneme, že funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 nerostoucí, jestliže pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼 taková, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2).
Řekneme, že funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 neklesající, jestliže pro každé 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐼, taková, že 𝑥1 < 𝑥2 , platí 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2).
Řekneme, že funkce 𝑓 je na intervalu 𝐼 monotónní, je-li buď nerostoucí, nebo neklesající na 𝐼. Řekneme, že funkce f je na intervalu I ryze monotónní, je-li buď rostoucí, nebo klesající na I. Dále se budeme zabývat pouze
6
ryzí monotonnií, proto v následujícím textu pod pojmem monotónní budeme uvažovat výhradně ryze monotónní funkce.
Funkce na obrázku 3 je klesající na intervalu (−∞; 0⟩ a rostoucí na intervalu ⟨0;∞).
Tato funkce tedy není monotónní na definičním oboru.
Funkce na obrázku 4 je neklesající.
Je tedy monotónní na celém definičním oboru.
Funkce na obrázku 5 je klesající na intervalu (−∞; 0) a také na intervalu (0;∞).
Nemůžeme ale říci, že je klesající na celém definičním oboru. Např. pro 𝑥1 = −1 je 𝑓(𝑥1) = −1 a pro 𝑥2 =1 je 𝑓(𝑥2) = 1. Tedy neplatí 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).
Obrázek 3
Obrázek 4
Obrázek 5
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
7
DEFINICE: PERIODIČNOST FUNKCE
Řekneme, že funkce 𝑓 je periodická, existuje-li kladné číslo 𝑝 takové, že platí, je-li 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓), je i 𝑥 ± 𝑝 ∈ 𝐷(𝑓) a
platí 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥 − 𝑝). Nejmenší číslo 𝑝 s touto vlastností nazýváme primitivní periodou funkce.
Má-li funkce periodu 𝑝, pak také čísla 2𝑝, 3𝑝, atd. jsou periody. Typickým příkladem periodických funkcí jsou
funkce goniometrické.
Na obrázku 6 je znázorněna goniometrická funkce 𝑓(𝑥) = sin x. Tato funkce má primitivní periodu 2𝜋. Základní část funkce, která se stále opakuje, je znázorněna červeně.
Na obrázku 7 je funkce 𝑓(𝑥) = 2.
Tato funkce je rovněž periodická a má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Tato funkce nemá primitivní periodu.
VĚTA
Každá nekonstantní funkce má primitivní periodu.
DEFINICE: PARITA FUNKCE
Řekneme, že funkce 𝑓 je sudá, jestliže pro každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) platí (−𝑥) ∈ 𝐷(𝑓) a platí
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥).
Řekneme, že funkce 𝑓 je lichá, pokud pro každé 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) platí (−𝑥) ∈ 𝐷(𝑓) a platí
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥).
Obrázek 6
Obrázek 7
8
Z definice vyplývá, že funkce, které jsou sudé či liché, musí mít definiční obor symetrický dle počátku, tj. bodu 0.
Dále, graf funkce sudé je symetrický podle osy 𝑦 a graf liché funkce je středově souměrný podle bodu [0,0].
Paritu funkce můžeme tedy poznat z grafu funkce nebo pomocí výpočtu. Funkce na obrázku 3 a 7 jsou sudé,
jejich grafy jsou symetrické podle osy y. Naopak funkce na obrázku 4, 5 a 6 jsou liché, jejich graf je souměrný
podle počátku.
lichá funkce
sudá funkce
Funkce na obrázku 8 ale není sudá, protože nemá symetrický definiční obor, 𝐷(𝑓) = (−2;+∞).
Pokud bychom definiční obor zúžili na interval (−2; 2), pak by takto definovaná funkce sudá byla.
Pokud neumíme nakreslit graf funkce, lze paritu určit pomocí výpočtu hodnoty 𝑓(−𝑥).
PŘÍKLAD:
Určeme paritu následujících funkcí:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2 + 1 na 𝐷(𝑓) = (−3; 4)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥2 + 1 na 𝐷(𝑓) = ⟨−3; 3⟩
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 na 𝐷(𝑓) = (−∞;−4) ∪ (4;∞)
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑥2−4 na 𝐷(𝑓) = (−1; 1)
Řešení:
a) Definiční obor není symetrický podle 0, proto funkce nemůže být ani sudá, ani lichá.
Obrázek 8
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
9
b) Definiční obor této funkce je symetrický podle 0, funkce tedy může být sudá, či lichá. Toto ověříme
výpočtem. Vyjádříme hodnotu 𝑓(−𝑥). To znamená, že do zadání funkce dosadíme místo 𝑥 hodnotu
– 𝑥. Tedy:
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)4 − (−𝑥)2 + 1 = 𝑥4 − 𝑥2 + 1.
Tedy platí 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), což znamená, že je funkce podle definice sudá.
c) Definiční obor této funkce je opět symetrický podle 0, tedy provedeme výpočet
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 − (−𝑥) + 1 = 𝑥2 + 𝑥 + 1.
Nyní neplatí, že 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ani 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). Tedy funkce není ani sudá, ani lichá.
d) Definiční obor je opět symetrický podle 0 a
𝑓(−𝑥) =3(−𝑥)
(−𝑥)2−4=
−3𝑥
𝑥2−4= −
3𝑥
𝑥2−4.
Tedy 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), z čehož plyne, že funkce je lichá.
DEFINICE: OMEZENOST FUNKCE
Nechť 𝑓 je funkce a množina 𝑀 je podmnožinou definičního oboru funkce 𝑓. Řekneme, že funkce 𝑓 je na
množině 𝑀 zdola omezená, existuje-li reálné číslo 𝑟 takové, že platí 𝑟 ≤ 𝑓(𝑥) pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀. Řekneme, že
funkce 𝑓 je na množině 𝑀 shora omezená, existuje-li reálné číslo 𝑅 takové, že platí 𝑅 ≥ 𝑓(𝑥) pro všechna 𝑥 ∈
𝑀. Pokud je funkce na množině 𝑀 omezená zdola i shora, potom je funkce na množině 𝑀 omezená.
Poznámka:
Místo termínu omezená se také používá pojem ohraničená.
Graf funkce omezené shora (resp. zdola) si můžeme představit tak, že existuje rovnoběžná přímka s osou 𝑥,
která leží celá nad grafem funkce (resp. pod grafem funkce).
Funkce omezená zdola hodnotou -1. Funkce omezená hodnotou 1 shora.
10
Tato funkce je omezená shora hodnotou 1 a zdola hodnotou -1. Tedy jedná se o funkci omezenou.
Tato funkce není omezená.
DEFINICE: PROSTOST FUNKCE
Řekneme, že funkce 𝑓 je prostá, právě když pro všechna 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷(𝑓) platí: Je-li 𝑥1 ≠ 𝑥2 , pak 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2).
Pro funkci prostou tedy platí, že nám pro různé hodnoty 𝑥 nevyjde stejná hodnota 𝑦. Například funkce 𝑦 = 𝑥2
(obrázek 10) není prostá, protože pro hodnoty 𝑥 = 2 a 𝑥 = −2 vyjde stejná funkční hodnota 𝑦 = 4. Naopak
funkce 𝑦 = 𝑥3 (obrázek 9) je prostá, protože pro každou hodnotu 𝑥 vyjde jiná hodnota 𝑦.
V grafu tuto vlastnost poznáme tak, že pro každou hodnotu 𝑦 nalezneme na grafu funkce pouze jeden
odpovídající bod 𝑥.
VĚTA:
Je-li funkce 𝑓 na intervalu 𝐼 monotónní, je na tomto intervalu také prostá.
Obrázek 9 Obrázek 10
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
11
Poznámka:
Připomeňme si, že pojmem monotónní myslíme ryze monotónní funkci.
1.3. INVERZNÍ FUNKCE
DEFINICE: INVERZNÍ FUNKCE
Nechť funkce 𝑓: 𝐴 → 𝐵 je prostá. Pravidlo, které každému 𝑦 z množiny 𝐵 přiřadí jediné 𝑥 z množiny 𝐴, pro které
platí 𝑓(𝑥) = 𝑦, se po přeznačení proměnných nazývá inverzní funkce k funkci 𝑓. Označujeme ji 𝑓−1.
Graf funkce 𝑓 a graf funkce k ní inverzní jsou souměrné podle přímky 𝑦 = 𝑥, tj. podle osy prvního a třetího
kvadrantu. Z definice vyplývá, že pro funkci 𝑓 a funkci k ní inverzní platí:
𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1),
𝐻(𝑓) = 𝐷(𝑓−1).
Inverzní funkci k funkci 𝑦 = 𝑓(𝑥) určíme takto. Zaměníme formálně v zadání funkce proměnné 𝑥 a 𝑦, máme
tedy 𝑥 = 𝑓(𝑦). Z této rovnice vyjádříme proměnnou 𝑦. Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo,
že inverzní funkce neexistuje, protože funkce 𝑓 není prostá) a definuje explicitně inverzní funkci 𝑓−1.
Některé ze základních elementárních funkcí jsou definovány jako inverzní funkce k jiným. Například inverzní
funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně. Protože vlastnost „být inverzní funkcí” je
vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální. Názorný výpočet inverzní
funkce si ukážeme v následující kapitole.
VĚTA:
Je-li funkce 𝑓 rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní 𝑓−1.
Poznámka:
Uvedená věta se nevztahuje na funkce sudé, protože z definice sudé funkce vyplývá, že sudá funkce není
prostá. Nemůže k ní tedy existovat inverzní funkce.
1.4. PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ
Nyní si připomeneme vlastnosti a grafy elementárních funkcí.
1.4.1. LINEÁRNÍ FUNKCE
Lineární funkce je funkce, která je dána ve tvaru 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, kde 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Grafem této funkce je přímka.
Pokud není zadáno jinak, definiční obor jsou všechna reálná čísla. V případě kdy 𝑎 ≠ 0 tvoří obor hodnot
všechna reálná čísla. Pokud 𝑎 = 0 obor hodnot je pouze jedna hotnota, tj. 𝐻(𝑓) = {𝑏}.
12
Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je 𝑎 = 0, tj. funkce 𝑦 = 𝑏, které nazýváme konstantní funkce. Grafem těchto funkcí jsou přímky rovnoběžné s osou 𝑥.
Na obrázku 11 je graf konstantní funkce
𝑦 = 1.
Obrázek 11
PŘÍKLAD:
Nakresleme graf funkce 𝑦 = 2𝑥 − 1.
Protože grafem lineární funkce je přímka, stačí zjistit dva body grafu této funkce a spojit je. Správný graf má mít
vyznačené průsečíky se souřadnicovými osami, proto určíme rovnou tyto průsečíky. Průsečík s osou 𝑥 zjistíme
tak, že dosadíme do rovnice za 𝑦 nulu.
0 = 2𝑥 − 1
𝑥 =1
2
Tedy 𝑃𝑥 [1
2; 0]. Průsečík s osou 𝑦 vypočítáme tak, že
do rovnice dosadíme za 𝑥 nulu.
𝑦 = 2 ∙ 0 − 1
Tedy 𝑃𝑦[0; −1]. Nyní nakreslíme oba body a spojíme
je přímkou.
Tato funkce je rostoucí, není omezená, není sudá ani lichá, je prostá.
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 = 3𝑥 + 2, jejíž 𝐷(𝑓) = (−2; 1⟩.
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
13
Opět určíme průsečíky s osami 𝑃𝑥 [−2
3; 0], 𝑃𝑦[0; 2].
Protože má funkce omezený definiční obor, grafem bude úsečka. Spočteme tedy také souřadnice koncových bodů: [−2;−4], [1; 5].
Tato funkce je omezená zdola i shora, je rostoucí a prostá. Není sudá ani lichá. 𝐻(𝑓) = (−4; 5⟩.
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 = 2𝑥 − 4.
Budeme postupovat podle návodu, který jsme uvedli v předchozí kapitole. Vyměníme v zadání funkce 𝑥 za 𝑦, a
naopak. Poté z rovnice vyjádříme 𝑦.
𝑥 = 2𝑦 − 4
1
2𝑥 + 2 = 𝑦
Vidíme, že inverzní funkcí k lineární funkci je opět lineární funkce.
𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓) = 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓−1) = 𝑅
Pokud načrtneme grafy obou funkcí, je patrné, že jsou symetrické dle přímky 𝑦 = 𝑥.
1.4.2. LINEÁRNÍ FUNKCE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
Připomeňme si nejprve pojem absolutní hodnota. Absolutní hodnota reálného čísla 𝑎 je číslo |𝑎|, pro které
platí:
je-li 𝑎 ≥ 0, je |𝑎| = 𝑎,
je-li 𝑎 < 0, je |𝑎| = −𝑎.
Další možnost, jak lze definovat absolutní hodnotu, je pomocí druhé odmocniny
|𝑥| = √𝑥2.
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 = |𝑥 − 1| − 2.
14
Pro všechna 𝑥 ∈ 𝑅, pro která je 𝑥 − 1 ≥ 0, tj. 𝑥 ≥ 1, je |𝑥 − 1| = 𝑥 − 1. Naopak pro 𝑥 ∈ 𝑅, pro která je 𝑥 −
1 < 0, tj. 𝑥 < 1, je |𝑥 − 1| = −𝑥 + 1. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí:
𝑦 = 𝑥 − 1 − 2 = 𝑥 − 3 pro 𝑥 ∈ ⟨1;∞)
𝑦 = −𝑥 + 1 − 2 = −𝑥 − 1 pro 𝑥 ∈ (−∞; 1)
Dopočítáme průsečíky s osami. Když za 𝑥 dosadíme 0, získáme průsečík s osou 𝑦,
𝑦 = |0 − 1| − 2 = −1.
Pokud do rovnice dosadíme 0 za 𝑦 , získáme dva průsečíky s osou 𝑥.
0 = |𝑥 − 1| − 2
2 = |𝑥 − 1|
𝑥 = 3 nebo 𝑥 = −1.
Tato funkce není ani sudá, ani lichá, není prostá. Omezená je pouze zdola hodnotou 2. 𝐷(𝑓) = 𝑅 a 𝐻(𝑓) = ⟨−2;∞).
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 = 1 − |𝑥 + 3|.
Pro všechna 𝑥 ∈ 𝑅, pro která je 𝑥 + 3 ≥ 0, tj. 𝑥 ≥ −3, je |𝑥 + 3| = 𝑥 + 3. Naopak, pro 𝑥 ∈ 𝑅, pro která je 𝑥 +
3 < 0, tj. 𝑥 < −3, je |𝑥 + 3| = −𝑥 − 3. Graf funkce se tedy skládá z grafů dvou funkcí:
𝑦 = 1 − (𝑥 + 3) = −𝑥 − 2 pro 𝑥 ∈ ⟨−3;∞)
𝑦 = 1 − (−𝑥 − 3) = 𝑥 + 4 pro 𝑥 ∈ (−∞;−3)
Dopočítáme průsečíky s osami. Když za 𝑥 dosadíme 0, získáme průsečík s osou 𝑦,
𝑦 = 1 − |0 + 3| = −2.
Pokud do rovnice dosadíme 0 za 𝑦, získáme dva průsečíky s osou 𝑥.
0 = 1 − |𝑥 + 3|
|𝑥 + 3| = 1
𝑥 = −4 nebo 𝑥 = −2.
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
15
1.4.3. KVADRATICKÉ FUNKCE
Kvadratická funkce je funkce definovaná předpisem 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , kde 𝑎 ∈ 𝑅\{0} , 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 . Grafem
kvadratické funkce je parabola s vrcholem 𝑉[𝑥0; 𝑦0]. Pokud je 𝑎 > 0, je parabola „rozevřená nahoru“, pokud je
𝑎 < 0, je parabola „rozevřená dolů“.
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot je v případě 𝑎 > 0 interval ⟨𝑦0; ∞), v případě
𝑎 < 0 interval (−∞; 𝑦0⟩.
Kvadratická funkce může být zadaná ve tvaru, z kterého jsou přímo vidět souřadnice vrcholu 𝑉[𝑥0; 𝑦0]:
𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥0)2 + 𝑦0
Nebo ve tvaru 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, z něhož po převedení na předchozí rovnici získáme vzorce pro výpočet
souřadnic vrcholu. Odvoďme si tyto vzorce.
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥) + 𝑐
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑏2
4𝑎2−
𝑏2
4𝑎2) + 𝑐
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑏2
4𝑎2) −
𝑏2
4𝑎+ 𝑐
𝑦 = 𝑎 (𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
+ 𝑐 −𝑏2
4𝑎
Z tohoto tvaru je již patrné, že vzorce pro souřadnice vrcholu paraboly jsou
𝑥0 = −𝑏
2𝑎
𝑦0 = 𝑐 −𝑏2
4𝑎
16
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 = −(𝑥 − 2)2 + 1.
Vrchol paraboly má tedy souřadnice 𝑉[2; 1]. Spočítáme průsečíky s osami. Průsečík s osou 𝑦:
𝑥 = 0 → 𝑦 = −(0 − 2)2 + 1 = −3 → 𝑃𝑦[0; −3]
Průsečíky s osou 𝑥:
𝑦 = 0 → 0 = −(𝑥 − 2)2 + 1
(𝑥 − 2)2 = 1
𝑥 − 2 = ±1
𝑥 = 3 nebo 𝑥 = 1 tedy 𝑃𝑥[3; 0], 𝑃𝑥′[1; 0]
Můžeme určit vlastnosti této funkce. Funkce není prostá, není sudá ani lichá. Funkce je omezená pouze shora
(např. hodnotou 1). 𝐷(𝑓) = 𝑅 a 𝐻(𝑓) = (−∞; 1⟩.
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 + 8.
Na výpočet souřadnic vrcholu jsme si uvedli vzorce, tedy 𝑥0 = −6
2∙1= −3, souřadnici 𝑦0 lze vypočítat také
pomocí uvedeného vzorce, nebo jednoduše tak, že stačí dosadit 𝑥0 do zadání funkce, tedy 𝑦0 = (−3)2 + 6 ∙
(−3) + 8 = −1. Tedy 𝑉[−3;−1]. Průsečíky s osami jsou:
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
17
𝑥 = 0 → 𝑦 = 02 + 6 ∙ 0 + 8 = 8 → 𝑃𝑦[0; 8]
𝑦 = 0 → 0 = 𝑥2 + 6𝑥 + 8
0 = (𝑥 + 4)(𝑥 + 2)
𝑃𝑥[−4; 0], 𝑃𝑥′[−2; 0]
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 = 𝑥2 pro 𝑥 ∈ ⟨0;∞).
Definiční obor funkce je zúžen pouze na nezáporné hodnoty, protože na svém maximálním definičním oboru,
tedy v 𝑅, funkce 𝑓 není prostá, a tedy k ní inverzní funkce neexistuje. Na intervalu ⟨0;∞) je ale funkce prostá,
tedy můžeme určit inverzní funkci:
𝑥 = 𝑦2
√𝑥 = 𝑦
Inverzní funkce tedy je:
𝑓−1: 𝑦 = √𝑥,
její 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓−1) = ⟨0;∞).
Grafy funkcí jsou symetrické podle osy 𝑦 = 𝑥.
Na obrázku vidíme modrý graf funkce 𝑓 a červený graf funkce 𝑓−1.
18
1.4.4. MOCNINNÉ FUNKCE
Mocninná funkce je funkce definovaná předpisem 𝑦 = 𝑥𝑛, kde 𝑛 ∈ 𝑁. Definiční obor funkce jsou všechna
reálná čísla. Obor hodnot se liší v závislosti na 𝑛. Graf funkce je také závislý na tom, jestli je 𝑛 liché, či sudé.
Pro 𝑛 liché je 𝐻(𝑓) = 𝑅 , funkce je lichá, rostoucí, prostá a není omezená.
Mezi tyto funkce patří i lineární funkce.
Na obrázku 12 jsou zobrazeny mocninné funkce pro 𝑛 = 3; 5; 7.
Obrázek 12
Pro 𝑛 sudé je 𝐻(𝑓) = ⟨0;∞), funkce je sudá, klesající na (−∞; 0⟩ , rostoucí na ⟨0;∞) , není prostá a je omezená zdola.
Mezi tyto funkce patří i kvadratická funkce.
Na obrázku 13 jsou zobrazeny mocninné funkce pro 𝑛 = 2; 4; 6.
Obrázek 13
1.4.5. LINEÁRNÍ LOMENÉ FUNKCE
Lineární lomená funkce je funkce definovaná předpisem 𝑦 =𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑, kde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅, 𝑐 ≠ 0 a navíc platí 𝑎𝑑 −
𝑏𝑐 ≠ 0, což zaručí, že nelze výraz ve funkčním předpisu zkrátit na konstantu. Tedy nenastane např. 𝑦 =2𝑥+6
𝑥+3=
2(𝑥+3)
𝑥+3= 2.
Grafem funkce je rovnoosá hyperbola se středem 𝑆[𝑥0; 𝑦0].
Definiční obor funkce je 𝑅\{𝑥0}. Obor hodnot funkce je 𝑅\{𝑦0}.
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
19
Funkce má dvě asymptoty. Tento pojem je přesně definován v odstavci 4.3. Nyní si asymptoty můžeme představit jako přímky, ke kterým se graf funkce „neomezeně přibližuje“ v krajních bodech definičního oboru. První asymptota je kolmá na osu 𝑥 a její rovnice je 𝑥 = 𝑥0, druhá asymptota je kolmá na osu 𝑦 a její rovnice je 𝑦 = 𝑦0.
Funkce může být zadána ve tvaru, ze kterého lze přímo vyčíst souřadnice středu:
𝑦 =𝑘
𝑥−𝑥0+ 𝑦0,
kde 𝑘 ∈ 𝑅. Nebo ve tvaru:
𝑦 =𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑,
který lze převést na předchozí tvar a odtud vyjádřit souřadnice středu takto:
𝑥0 = −𝑑
𝑐 , 𝑦0 =
𝑎
𝑐.
Můžeme si všimnout, že první souřadnice středu hyperboly 𝑥0 je bod, ve kterém funkce není definována, neboli
nulový bod ze jmenovatele dané funkce, tedy 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 → 𝑥0 = −𝑑
𝑐. Souřadnice středu 𝑦0 je funkční
hodnota, ke které se blíží graf svými konci v +∞ a −∞, což zapisujeme pomocí limity
𝑦0 = lim𝑥→±∞
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑=
𝑎
𝑐.
Uvedený výpočet provedeme v odstavci o limitách 2.3.2.
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 =1
𝑥−3+ 1.
Ze zadání můžeme ihned vyčíst souřadnice středu hyperboly 𝑆[3; 1]. Spočítáme průsečíky s osami
𝑥 = 0 → 𝑦 =1
0 − 3+ 1 =
2
3→ 𝑃𝑦 [0;
2
3]
𝑦 = 0 → 0 =1
𝑥 − 3+ 1
−1 =1
𝑥 − 3
𝑥 = 2 → 𝑃𝑥[2; 0]
Při kreslení grafu si nejprve nakreslíme střed a skrz něj vedeme asymptoty grafu (tj. přímky, ke kterým se bude
graf svými konci blížit). Asymptoty jsou kolmé na souřadnicové osy. Potom si vyznačíme v grafu průsečíky
20
s osami a nakonec dokreslíme graf tak, aby procházel danými průsečíky a svými konci se blížil k daným
asymptotám.
Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající
na intervalu (−∞; 3) a na intervalu (3;∞). 𝐷(𝑓) = 𝑅\{3} a 𝐻(𝑓) = 𝑅\{1}.
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 =2𝑥−1
𝑥+1.
Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme 𝑥0 = −1 a 𝑦0 = 2. Dále
spočítáme průsečíky s osami:
𝑥 = 0 → 𝑦 =2 ∙ 0 − 1
0 + 1= −1 → 𝑃𝑦[0; −1]
𝑦 = 0 → 0 =2𝑥 − 1
𝑥 + 1
0 = 2𝑥 − 1
𝑥 =1
2→ 𝑃𝑥 [
1
2; 0]
Nyní můžeme načrtnout graf funkce.
Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je rostoucí
na intervalu (−∞;−1) a na intervalu (−1;∞). 𝐷(𝑓) = 𝑅\{−1} a 𝐻(𝑓) = 𝑅\{2}.
PŘÍKLAD:
Načrtněme graf funkce 𝑦 =3𝑥+1
−2𝑥−1.
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
21
Ze vzorců, které jsme si uvedli pro výpočet souřadnic středu hyperboly, dostaneme 𝑥0 = −1
2 a 𝑦0 = −
3
2. Dále
spočítáme průsečíky s osami:
𝑥 = 0 → 𝑦 =3 ∙ 0 + 1
−2 ∙ 0 − 1= −1 → 𝑃𝑦[0; −1]
𝑦 = 0 → 0 =3𝑥 + 1
−2𝑥 − 1
0 = 3𝑥 + 1
𝑥 = −1
3→ 𝑃𝑥 [−
1
3; 0]
Nyní můžeme načrtnout graf funkce.
Určíme základní vlastnosti této funkce. Funkce je prostá, není sudá ani lichá, není omezená. Funkce je klesající
na intervalu (−∞;−1
2) a na intervalu (−
1
2; ∞). 𝐷(𝑓) = 𝑅\ {−
1
2} a 𝐻(𝑓) = 𝑅\ {−
3
2}.
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 =𝑥+3
𝑥−2.
Funkce je prostá, existuje k ní tedy inverzní funkce. V původní funkci zaměníme neznámé a vyjádříme 𝑦:
𝑥 =𝑦 + 3
𝑦 − 2
𝑥𝑦 − 2𝑥 = 𝑦 + 3
𝑥𝑦 − 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑦(𝑥 − 1) = 2𝑥 + 3
𝑓−1: 𝑦 =2𝑥 + 3
𝑥 − 1
Graf funkce 𝑓 je na obrázku znázorněn modře, graf funkce 𝑓−1 je znázorněn červeně.
𝐷(𝑓) = 𝑅\{2} = 𝐻(𝑓−1)
𝐷(𝑓−1) = 𝑅\{1} = 𝐻(𝑓)
22
1.4.6. EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE
Exponenciální funkce je funkce definovaná předpisem 𝑦 = 𝑎𝑥, kde 𝑎 je kladné číslo různé od 1.
Grafem funkce je exponenciální křivka, která je buď rostoucí (obrázek 14) pro 𝑎 > 1, nebo klesající (obrázek 15)
pro 0 < 𝑎 < 1.
Definiční obor funkce jsou všechna reálná čísla, obor hodnot je (0;∞). Funkce je prostá, není sudá ani lichá a je
omezená zdola 0. Osa 𝑥 je asymptota grafu exponenciální funkce.
Příkladem rostoucí exponenciální funkce jsou: 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥, 𝑦 = 10𝑥.
Příkladem klesající exponenciální funkce jsou: 𝑦 = 0, 2𝑥, 𝑦 = (1
3)
𝑥
, 𝑦 = 0,9𝑥.
1.4.7. LOGARITMICKÉ FUNKCE
Logaritmická funkce o základu 𝑎 je funkce definovaná předpisem 𝑦 = log𝑎 𝑥, kde 𝑎 je kladné číslo různé od 1.
Logaritmická funkce 𝑦 = log𝑎 𝑥 je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci 𝑦 = 𝑎𝑥. Proto je definičním
oborem této funkce interval (0;∞) a oborem hodnot jsou všechna reálná čísla.
Grafem funkce je logaritmická křivka, která je opět v závislosti na základu 𝑎 buď rostoucí (obrázek 16) pro 𝑎 >
1, nebo klesající (obrázek 17) pro 0 < 𝑎 < 1.
Obrázek 14 Obrázek 15
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
23
Příkladem rostoucí logaritmické funkce jsou: 𝑦 = log5 𝑥, 𝑦 = log 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥.
Příkladem klesající logaritmické funkce jsou: 𝑦 = log0,4 𝑥, 𝑦 = log0,9 𝑥, 𝑦 = log2
3
𝑥.
Logaritmická funkce není sudá ani lichá, není omezená a je prostá. Osa 𝑦 je asymptota grafu logaritmické
funkce.
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 = 10𝑥+3 − 1.
Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme 𝑥 za 𝑦 a naopak a vyjádříme 𝑦.
𝑥 = 10𝑦+3 − 1
𝑥 + 1 = 10𝑦+3
log(𝑥 + 1) = 𝑦 + 3
𝑓−1: 𝑦 = log(𝑥 + 1) − 3
Určíme ještě definiční obory a obory hodnot:
𝐷(𝑓) = 𝑅 = 𝐻(𝑓−1)
𝐷(𝑓−1) = (−1;∞) = 𝐻(𝑓).
Na obrázku je graf funkce 𝑓 vyznačen modře a graf funkce 𝑓−1 červeně.
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 = ln(𝑥 − 2) + 1.
Abychom vypočítali předpis inverzní funkce, tak opět zaměníme 𝑥 za 𝑦 a naopak a vyjádříme 𝑦.
Obrázek 17 Obrázek 16
24
𝑥 = ln(𝑦 − 2) + 1
𝑥 − 1 = ln(𝑦 − 2)
𝑒𝑥−1 = 𝑦 − 2
𝑓−1: 𝑦 = 𝑒𝑥−1 + 2
Určíme ještě definiční obory a obory hodnot: 𝐷(𝑓) =(2;∞) = 𝐻(𝑓−1)
𝐷(𝑓−1) = 𝑅 = 𝐻(𝑓).
Na obrázku je graf funkce 𝑓 vyznačen modře a graf funkce 𝑓−1 červeně.
V tomto i předchozím příkladu je z obrázků patrná symetrie grafů podle osy 𝑦 = 𝑥.
1.4.8. GONIOMETRICKÉ FUNKCE
Elementární goniometrické funkce jsou čtyři: 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = cos 𝑥, 𝑦 = tg 𝑥, 𝑦 = cotg 𝑥.
Na obrázku 18 je funkce 𝑦 = sin 𝑥.
𝐷(𝑓) = 𝑅,𝐻(𝑓) = ⟨−1; 1⟩
Funkce je lichá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou 2𝜋.
Obrázek 18
Funkce 𝑦 = cos 𝑥 je znázorněna na obrázku 19.
𝐷(𝑓) = 𝑅,𝐻(𝑓) = ⟨−1; 1⟩
Funkce je sudá, omezená shora 1, zdola -1. Funkce není prostá. Funkce je periodická, s periodou 2𝜋.
Obrázek 19
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
25
Na obrázku 20 je funkce 𝑦 = tg 𝑥.
Tato funkce je definována jako tg 𝑥 =sin 𝑥
cos 𝑥.
𝐷(𝑓) = 𝑅\ {𝜋
2+ 𝑘𝜋}, kde 𝑘 ∈ 𝑍
𝐻(𝑓) = 𝑅.
Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou 𝜋.
Obrázek 20
Funkce 𝑦 = cotg 𝑥 je znázorněna na obrázku 21.
Tato funkce je definována jako cotg 𝑥 =cos 𝑥
sin 𝑥.
𝐷(𝑓) = 𝑅\{𝑘𝜋}, kde 𝑘 ∈ 𝑍
𝐻(𝑓) = 𝑅.
Funkce je lichá, není omezená, není prostá. Funkce je periodická, s periodou 𝜋.
Obrázek 21
1.4.9. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE
Cyklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Jedná se tedy o čtyři funkce. Víme, že
inverzní funkce existují pouze k funkcím prostým, proto se při definování inverzní funkce k funkci sin 𝑥
omezíme pouze na interval ⟨−𝜋
2;𝜋
2⟩, u funkce cos 𝑥 na interval ⟨0; 𝜋⟩, u funkce tg 𝑥 na interval (−
𝜋
2;𝜋
2) a u
funkce cotg 𝑥 na interval (0; 𝜋). Tedy na intervaly, na nichž jsou původní funkce rostoucí nebo klesající a které
mají 0 jako svůj vnitřní nebo krajní bod.
26
Inverzní funkce k funkci sin 𝑥 se značí:
𝑦 = arcsin 𝑥
(čteme: [arkussinus])
𝐷(𝑓) = ⟨−1; 1⟩
𝐻(𝑓) = ⟨−𝜋
2;𝜋
2⟩
Funkce je rostoucí, prostá, omezená, lichá (obrázek 22).
Inverzní funkce k funkci cos 𝑥 se nazývá:
𝑦 = arccos 𝑥
(čteme: [arkuskosinus])
𝐷(𝑓) = ⟨−1; 1⟩
𝐻(𝑓) = ⟨0; 𝜋⟩
Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 23).
Inverzní funkce k funkci tg 𝑥 se nazývá:
𝑦 = arctg 𝑥
(čteme: [arkustangens])
𝐷(𝑓) = 𝑅
𝐻(𝑓) = (−𝜋
2;𝜋
2)
Funkce je rostoucí, prostá, omezená a lichá (obrázek 24).
Obrázek 22
Obrázek 24
Obrázek 23
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
27
Inverzní funkce k funkci cotg 𝑥 se nazývá:
𝑦 = arccotg 𝑥
(čteme: [arkuskotangens])
𝐷(𝑓) = 𝑅
𝐻(𝑓) = (0; 𝜋)
Funkce je klesající, prostá, omezená, není sudá ani lichá (obrázek 25).
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 = arcsin(𝑥 − 1) + 𝜋.
Vyjádříme nejdříve předpis inverzní funkce:
𝑥 = arcsin(𝑦 − 1) + 𝜋
𝑥 − 𝜋 = arcsin(𝑦 − 1)
sin(𝑥 − 𝜋) = 𝑦 − 1
𝑓−1: 𝑦 = sin(𝑥 − 𝜋) + 1
Argument funkce arcsin(𝑥 − 1) musí být z intervalu ⟨−1; 1⟩, tedy:
−1 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 1
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
Proto 𝐷(𝑓) = ⟨0; 2⟩ = 𝐻(𝑓−1).
Argument funkce sin(𝑥 − 𝜋) musí být z intervalu
⟨−𝜋
2;𝜋
2⟩, tedy:
−𝜋
2≤ 𝑥 − 𝜋 ≤
𝜋
2
𝜋
2≤ 𝑥 ≤
3𝜋
2
Proto 𝐷(𝑓−1) = ⟨𝜋
2;3𝜋
2⟩ = 𝐻(𝑓).
Na obrázku vidíme modrý graf funkce 𝑓 a červený graf funkce 𝑓−1 a je patrná jejich symetrie podle osy 𝒚 = 𝒙.
Obrázek 25
28
PŘÍKLAD:
Určeme inverzní funkci k funkci 𝑓: 𝑦 = tg (𝑥 −𝜋
2) + 2.
Vyjádříme nejdřív předpis inverzní funkce:
𝑥 = tg (𝑦 −𝜋
2) + 2
𝑥 − 2 = tg (𝑦 −𝜋
2)
arctg (𝑥 − 2) = 𝑦 −𝜋
2
𝑓−1: 𝑦 = arctg(𝑥 − 2) +𝜋
2
Argument funkce tg (𝑥 −𝜋
2) musí být z intervalu
(−𝜋
2;𝜋
2), tedy:
−𝜋
2< 𝑥 −
𝜋
2<
𝜋
2
0 < 𝑥 < 𝜋
Proto 𝐷(𝑓) = (0; 𝜋) = 𝐻(𝑓−1).
Argument funkce arctg(𝑥 − 2) může být jakékoliv reálné číslo, tedy 𝐷(𝑓−1) = 𝑅 = 𝐻(𝑓).
Na obrázku vidíme modrý graf funkce 𝑓 a červený graf funkce 𝑓−1.
1.5. GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V POSUNUTÉM TVARU
Grafy elementárních funkcí, které jsme si popsali v předchozích kapitolách, lze také posunovat či překlápět.
Ukážeme si tyto operace na různých funkcích. Tyto operace platí pro všechny výše uvedené funkce, nejen pro
ty, na kterých to zde názorně aplikujeme.
POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY 𝒙: 𝒚 = 𝒇(𝒙 + 𝒂)
Pokud argument funkce bude místo 𝑥 hodnota 𝑥 + 𝑎, posunujeme graf funkce 𝑓(𝑥) ve směru osy 𝑥 o hodnotu
– 𝑎.
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
29
Graf funkce 𝑦 = arccos (𝑥 − 1), získáme tedy tak, že graf funkce arccos 𝑥 posuneme o jedničku doprava.
Graf funkce 𝑦 = ln (𝑥 + 1), získáme tak, že graf funkce ln 𝑥 posuneme o jedničku doleva.
POSUNUTÍ VE SMĚRU OSY 𝒚: 𝒚 = 𝒇(𝒙) + 𝒂
Pokud k funkci přičteme (resp. odečteme) nějakou konstantu, posouvá to graf funkce 𝑓(𝑥) ve směru osy 𝑦
o hodnotu 𝑎.
Graf funkce 𝑦 = arctg 𝑥 − 𝜋
2 získáme posunutím
grafu funkce 𝑦 = arctg 𝑥 o hodnotu 𝜋
2 dolu.
Graf funkce 𝑦 = 𝑒𝑥 + 1 získáme posunutím grafu funkce 𝑦 = 𝑒𝑥 o jedna nahoru.
OTOČENÍ KOLEM OSY 𝒙: 𝒚 = −𝒇(𝒙)
Pokud je funkce vynásobená konstantou −1, pak se otáčí graf funkce 𝑓(𝑥) kolem osy 𝑥. Neboli část grafu
funkce 𝑓(𝑥), která je pod osou 𝑥, se otočí kolem osy 𝑥 nahoru a ta část grafu, která je nad osou 𝑥, se otočí
kolem osy 𝑥 dolů.
30
Graf funkce 𝑦 = −𝑒𝑥 tedy dostaneme tak, že otočíme graf funkce 𝑒𝑥 kolem osy 𝑥.
Graf funkce 𝑦 = −arccotg 𝑥 vznikne otočením grafu funkce arccotg 𝑥 kolem osy 𝑥.
OTOČENÍ KOLEM OSY 𝒚: 𝒚 = 𝒇(−𝒙)
Pokud je argument funkce vynásobený hodnotou −1, pak se otáčí graf funkce 𝑓(𝑥) kolem osy 𝑦.
Graf funkce 𝑦 = ln (−𝑥) tedy vznikne otočením grafu funkce ln 𝑥 kolem osy 𝑦.
Graf funkce 𝑦 = 2−𝑥 vznikne otočením grafu funkce 2𝑥 kolem osy 𝑦.
ABSOLUTNÍ HODNOTA FUNKCE 𝒚 = |𝒇(𝒙)|
Pokud je funkce v absolutní hodnotě, znamená to, že všechny její záporné hodnoty se násobí číslem −1 neboli
všechny body funkce pod osou 𝑥 se otáčí kolem této osy nahoru. Ta část grafu funkce 𝑓(𝑥), která je nad osou
𝑥, se neotáčí nikam.
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
31
Graf funkce 𝑦 = |arctg 𝑥| získáme otočením záporné části grafu funkce arctg 𝑥 (tj. části která je pod osou 𝑥) kolem osy 𝑥 nahoru.
Graf funkce 𝑦 = |ln 𝑥| získáme otočením záporné části grafu funkce ln 𝑥 nad osu 𝑥.
1.6. DEFINIČNÍ OBOR
Při určování definičního oboru elementární funkce, hledáme množinu všech hodnot 𝑥, které lze dosazovat do
funkčního předpisu 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Na základě znalostí definičních oborů základních elementárních funkcí tedy stanovujeme podmínky, které musí
být splněny, aby daná funkce byla definována. Za základní elementární funkce označujeme všechny funkce
zavedené v předchozích kapitolách. Každá reálná funkce jedné reálné proměnné, která z těchto základních
funkcí vznikne konečným počtem algebraických operací a konečným počtem operací skládání, je elementární.
Nyní ještě zavedeme pojem složená funkce.
DEFINICE: SLOŽENÁ FUNKCE
Nechť 𝑔: 𝐴 → 𝐵 a 𝑓: 𝐵 → 𝐶 jsou funkce. Pak funkce ℎ: 𝐴 → 𝐶 daná předpisem 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) se nazývá složená
funkce. Funkce 𝑔 se nazývá vnitřní složkou, funkce 𝑓 vnější složkou složené funkce ℎ.
Připomeneme si definiční obory některých elementárních funkcí, tedy podmínky, za nichž mají smysl
vyšetřované složené funkce.
1
𝑔(𝑥)→ 𝑔(𝑥) ≠ 0
√𝑔(𝑥) → 𝑔(𝑥) ≥ 0
ln 𝑔(𝑥) → 𝑔(𝑥) > 0
log𝑧 𝑔(𝑥) → 𝑔(𝑥) > 0
arcsin 𝑔(𝑥) → −1 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1
arccos 𝑔(𝑥) → −1 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1
tg 𝑔(𝑥) → 𝑔(𝑥) ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
cotg 𝑔(𝑥) → 𝑔(𝑥) ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
32
PŘÍKLAD:
Určeme definiční obor 𝑓: 𝑦 = ln(𝑥2 − 𝑥 − 6) + arcsin𝑥−2
3.
Definiční obor funkce je množina všech reálných 𝑥, pro něž dané funkce existují. Logaritmus existuje pouze pro
kladná reálná čísla, proto musí platit 𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0, arkussinus je definován na množině ⟨−1; 1⟩, proto musí
platit −1 ≤𝑥−2
3≤ 1. Nyní vyřešíme tyto nerovnice a definiční obor bude průnik řešení těchto nerovnic.
𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) > 0
(−∞;−2) (−2; 3) (3;∞)
+ − +
𝑥 ∈ (−∞;−2) ∪ (3;∞)
−1 ≤𝑥 − 2
3≤ 1
−3 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 3
−1 ≤ 𝑥 ≤ 5
𝑥 ∈ ⟨−1; 5⟩
Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor zadané funkce, tedy 𝐷(𝑓) = (3; 5⟩.
PŘÍKLAD:
Určeme definiční obor funkce 𝑓: 𝑦 = √𝑥+2
𝑥−1+ arccos
𝑥
3.
Ze zadání funkce plynou tyto podmínky: 𝑥+2
𝑥−1≥ 0, 𝑥 − 1 ≠ 0, −1 ≤
𝑥
3≤ 1.
𝑥 + 2
𝑥 − 1≥ 0
(−∞;−2) (−2; 1) (1;∞)
+ − +
𝑥 ∈ (−∞;−2⟩ ∪ (1;∞)
𝑥 − 1 ≠ 0
𝑥 ≠ 1
−1 ≤𝑥
3≤ 1
−3 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑥 ∈ ⟨−3; 3⟩
Průnik řešení jednotlivých nerovností je definiční obor funkce, tedy 𝐷(𝑓) = ⟨−3;−2⟩ ∪ (1; 3⟩.
PŘÍKLAD:
Určeme definiční obor funkce 𝑓: 𝑦 =ln(−𝑥2+3𝑥+4)
√4−𝑥2.
Stanovíme podmínky: −𝑥2 + 3𝑥 + 4 > 0, 4 − 𝑥2 > 0.
−𝑥2 + 3𝑥 + 4 > 0
𝑥2 − 3𝑥 − 4 < 0
4 − 𝑥2 > 0
(2 − 𝑥)(2 + 𝑥) > 0
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
33
(𝑥 − 4)(𝑥 + 1) < 0
(−∞;−1) (−1; 4) (4;∞)
− + −
𝑥 ∈ (−1; 4)
(−∞;−2) (−2; 2) (2;∞)
− + −
𝑥 ∈ (−2; 2)
Tedy 𝐷(𝑓) = (−1; 2).
PŘÍKLAD:
Určeme definiční obor funkce 𝑓: 𝑦 = arccos𝑥+3
2−𝑥−
arctg 𝑥
ln(𝑥+2)
Stanovíme podmínky: −1 ≤𝑥+3
2−𝑥≤ 1, 2 − 𝑥 ≠ 0, 𝑥 + 2 > 0, ln(𝑥 + 2) ≠ 0.
−1 ≤𝑥 + 3
2 − 𝑥≤ 1
−1 ≤𝑥 + 3
2 − 𝑥
0 ≤𝑥 + 3
2 − 𝑥+ 1
0 ≤𝑥 + 3 + 2 − 𝑥
2 − 𝑥
0 ≤5
2 − 𝑥
(−∞; 2) (2;∞)
+ −
𝑥 ∈ (−∞;2)
𝑥 + 3
2 − 𝑥≤ 1
𝑥 + 3
2 − 𝑥− 1 ≤ 0
𝑥 + 3 − 2 + 𝑥
2 − 𝑥≤ 0
2𝑥 + 1
2 − 𝑥≤ 0
(−∞;−0,5) (−0,5; 2) (2;∞)
− + −
𝑥 ∈ (−∞;−0,5⟩ ∪ (2;∞)
První nerovnici splňují hodnoty 𝑥 ∈ (−∞;−0,5⟩.
2 − 𝑥 ≠ 0
𝑥 ≠ 2
𝑥 + 2 > 0
𝑥 > −2
𝑥 ∈ (−2;∞)
ln(𝑥 + 2) ≠ 0
𝑥 + 2 ≠ 𝑒0
𝑥 + 2 ≠ 1
𝑥 ≠ −1
Definiční obor zadané funkce je pak průnik množin, v nichž jsou splněny jednotlivé podmínky, tedy
𝐷(𝑓) = (−2;−1) ∪ (−1;−0,5⟩.
1.7. CVIČENÍ
1) Určete definiční obor funkce:
a) 𝑦 = √2−3𝑥
𝑥−1− log(5𝑥 − 𝑥2)
b) 𝑦 = arcsin𝑥−4
3−𝑥− arccos
𝑥
4
34
c) 𝑦 = ln(−𝑥2 + 𝑥 + 6) + √2𝑥+3
4𝑥−1
d) 𝑦 =arctg 𝑥
log(𝑥+2)− arcsin
𝑥−1
2
e) 𝑦 =ln(𝑥−3)
√𝑥2−25
[a) ⟨2
3; 1), b) ⟨
7
2; 4⟩, c) (−2;−
3
2⟩ ∪ (
1
4; 3), d) (−1; 3⟩, e) (5;∞)]
2) Určete inverzní funkce k daným funkcím a určete definiční obor a obor hodnot obou funkcí:
a) 𝑦 =2𝑥−1
3𝑥+5
b) 𝑦 = 5𝑥−3 + 2
c) 𝑦 = 1 + sin(𝑥 +𝜋
2)
d) 𝑦 = log (𝑥 − 1) + 2
e) 𝑦 = arccotg (𝑥 + 3) − 𝜋
[a) 𝑦 =1+5𝑥
2−3𝑥, 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1) = 𝑅 − {−
5
3} , 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓) = 𝑅 − {
2
3},
b) 𝑦 = log5(𝑥 − 2) + 3, 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1) = 𝑅, 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓) = (2;∞),
c) 𝑦 = arcsin(𝑥 − 1) −𝜋
2, 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1) = ⟨−𝜋; 0⟩, 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓) = ⟨0; 2⟩,
d) 𝑦 = 10x−2 + 1, 𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1) = (1;∞), 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓) = 𝑅,
e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑥 + 𝜋) − 3,𝐷(𝑓) = 𝐻(𝑓−1) = 𝑅, 𝐷(𝑓−1) = 𝐻(𝑓) = (−𝜋; 0)]
3) Určete, jestli jsou tyto funkce prosté, sudé, nebo liché a ohraničené.
a) 𝑦 = −𝑥2 + 2
b) 𝑦 = |arcsin 𝑥|
c) 𝑦 =1
𝑥
d) 𝑦 = −arccotg 𝑥
e) 𝑦 = arccos 𝑥 − 𝜋
2
[a) není prostá, je sudá, omezená shora 2, b) není prostá, sudá, omezená shora 𝜋
2 a zdola 0, c) prostá, lichá,
neomezená, d) prostá, ani sudá, ani lichá, omezená zdola –𝜋 a shora 0, e) prostá, lichá, omezená shora 𝜋
2 a
zdola −𝜋
2 ]
4) Načrtněte grafy těchto funkcí:
a) 𝑦 = |𝑥 − 4| − 1
b) 𝑦 = 𝑒−𝑥 − 1
c) 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥
d) 𝑦 = sin (x −π
2) − 1
e) 𝑦 =𝜋
2− arctg 𝑥
f) 𝑦 = −ln (𝑥 − 1)
g) 𝑦 =𝑥−1
2𝑥+3
h) 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 1
i) 𝑦 = arccos (𝑥 + 1) −𝜋
2
j) 𝑦 = −cotg 𝑥 − 1
Kap
ito
la: F
UN
KC
E
35
Výsledné grafy funkcí:
a) b)
c) d)
e) f)
36
g) h)
i) j)
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
37
2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
2.1. LIMITA FUNKCE
Definice limity funkce je založena na pojmu okolí bodu. Začněme tedy touto definicí.
DEFINICE: OKOLÍ BODU
Nechť 𝛿 > 0.
𝑈𝛿(𝑥0) ≔ (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿) je 𝛿-okolí bodu 𝑥0.
𝑃𝛿(𝑥0) ≔ (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0) ∪ (𝑥0; 𝑥0 + 𝛿) je prstencové 𝛿-okolí bodu 𝑥0.
Pokud 𝑥0 ∈ {+∞;−∞}, pak definujeme:
𝑈𝛿(+∞) = 𝑃𝛿(+∞) ≔ (1
𝛿;∞),
𝑈𝛿(−∞) = 𝑃𝛿(−∞) ≔ (−∞;−1
𝛿).
Poznámka:
Rozdíl mezi okolím bodu a prstencovém okolí bodu je tedy v tom, že do prstencového okolí bodu 𝑥0 nepatří
bod 𝑥0.
DEFINICE: LIMITA FUNKCE
Nechť 𝑥0, 𝐴 ∈ 𝑅 ∪ {−∞;+∞}. Funkce 𝑓 má v bodě 𝑥0 limitu 𝐴, píšeme:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐴,
jestliže ke každému okolí 𝑈 (𝐴) existuje okolí 𝑃𝛿(𝑥0) ∈ 𝐷(𝑓), pak pro každé 𝑥 ∈ 𝑃𝛿(𝑥0) platí 𝑓(𝑥) ∈ 𝑈 (𝐴).
Poznámka:
Pokud pro 𝑥0 ∈ 𝑅 nahradíme 𝑃𝛿(𝑥0) levým okolím 𝑃𝛿−(𝑥0) ≔ (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0), jedná se o limitu zleva a píšeme
lim𝑥→𝑥0
−𝑓(𝑥) = 𝐴.
Pokud pro 𝑥0 ∈ 𝑅 nahradíme 𝑃𝛿(𝑥0) pravým okolím 𝑃𝛿+(𝑥0) ≔ (𝑥0; 𝑥0 + 𝛿), jedná se o limitu zprava a píšeme
lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) = 𝐴.
V případě ±∞ se jedná pouze o jednostranná okolí (pro +∞ o levé a pro −∞ o pravé).
Definice tedy říká, že funkce 𝑓 má v bodě 𝑥0 limitu 𝐴, jestliže pro hodnoty 𝑥 blízké hodnotě 𝑥0, ale různé od 𝑥0,
jsou funkční hodnoty 𝑓(𝑥) blízké číslu 𝐴.
Na hodnotě funkce v bodě 𝑥0 nezáleží, dokonce v něm funkce 𝑓 nemusí být ani definována.
38
Na obrázku 26 je okolí 𝑈 (𝐴) zobrazeno zeleně a prstencové okolí 𝑃𝛿(𝑥0) červeně.
Pokud 𝑥0 je reálné číslo, mluvíme o limitě ve vlastním bodě, pokud 𝑥0 je ∞ nebo −∞, mluvíme o limitě
v nevlastním bodě. Podobně pokud 𝐴 je reálné číslo, říkáme, že funkce má vlastní limitu, pokud 𝐴 je ∞ nebo
−∞, říkáme, že funkce má nevlastní limitu. Limita v bodě 𝑥0 také nemusí existovat.
Jinak řečeno, limita tedy vyjadřuje hodnotu, ke které se blíží funkční hodnoty 𝑓 a mohou této hodnoty
I dosáhnout (čteme na ose 𝑦), když se po ose 𝑥 přibližujeme k hodnotě 𝑥0 (ale tuto hodnotu nedosáhneme).
PŘÍKLAD:
Určeme následující limity funkce, která je znázorněna na obrázku 27.
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) =0
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = − 1
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = + ∞
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = + ∞
lim𝑥→0−
𝑓(𝑥) = − ∞
lim𝑥→0+
𝑓(𝑥) =1
2
lim𝑥→−1
𝑓(𝑥) = − 2
Obrázek 27
Obrázek 26
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
39
VĚTA:
Funkce 𝑓 má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
VĚTA:
Funkce 𝑓 má v bodě 𝑥0 ∈ 𝑅 limitu rovnou číslu 𝐴 právě tehdy, existují-li
lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥), lim
𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)
a platí-li
lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = 𝐴.
Podle obrázku 27 tedy můžeme říci, že lim𝑥→2
𝑓(𝑥) existuje a rovná se +∞, protože tuto hodnotu nabývají i obě
jednostranné limity, naproti tomu lim𝑥→0
𝑓(𝑥) neexistuje, protože hodnoty jednostranných limit jsou různé.
PŘÍKLAD:
Určeme následující limity funkce 𝑓, která je znázorněna na obrázku 28.
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) =0
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) =1
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = +∞
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = −∞
lim𝑥→2
𝑓(𝑥) 𝑛𝑒𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑢𝑗𝑒
lim𝑥→3
𝑓(𝑥) = −1
lim𝑥→0
𝑓(𝑥) =1
lim𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = + ∞
lim𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = + ∞
lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) = + ∞
Obrázek 28
40
2.2. SPOJITOST FUNKCE
Zavedeme nejprve spojitost funkce v bodě (tzv. lokální spojitost) a poté spojitost funkce na intervalu (tzv.
globální spojitost).
2.2.1. SPOJITOST FUNKCE V BODĚ
Spojitost funkce v bodě je definována pomocí limity.
DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE V BODĚ
Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R, jestliže existuje vlastní limita lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) a platí:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0).
Poznámka:
Nahradíme-li v definici oboustrannou limitu limitou zleva, případně limitou zprava, jedná se o spojitost zleva,
případně zprava. Tedy funkce f je spojitá zprava v bodě x0 ∈ R, jestliže existuje vlastní limita 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) a platí:
lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0).
Bod spojitosti 𝑥0 musí být vnitřním bodem definičního oboru funkce, tedy nějaké jeho okolí 𝑈𝛿(𝑥0) musí celé
náležet do definičního oboru funkce.
Pro funkci 𝑓 na obrázku 29 platí:
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2
𝑓(1) = 2
Tyto hodnoty se sobě rovnají, funkce je tedy v bodě 𝑥0 = 1 spojitá.
Obrázek 29
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
41
Naopak, na obrázku 30 platí:
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2
𝑓(1) = 3
Protože jsou tyto hodnoty různé, funkce není spojitá v bodě 𝑥0 = 1.
VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ V BODĚ
Nechť 𝑓 je elementární funkce s definičním oborem 𝐷(𝑓) a nechť 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓).
Je-li 𝑥0 vnitřním bodem 𝐷(𝑓), je funkce 𝑓 spojitá v 𝑥0.
Je-li 𝑈𝛿−(𝑥0) ⊂ 𝐷(𝑓) pro nějaké 𝛿 > 0, je 𝑓 spojitá v 𝑥0 zleva.
Je-li 𝑈𝛿+(𝑥0) ⊂ 𝐷(𝑓) pro nějaké 𝛿 > 0, je 𝑓 spojitá v 𝑥0 zprava.
2.2.2. SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU
DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE NA INTERVALU
Nechť 𝐼 ⊂ 𝐷(𝑓) je interval libovolného typu.
Je-li 𝐼 otevřený interval, je funkce 𝑓 spojitá na 𝐼, jestliže je spojitá v každém jeho bodě.
Je-li 𝐼 je polouzavřený nebo uzavřený interval, je funkce 𝑓 spojitá na 𝐼, je-li spojitá v každém jeho
vnitřním bodě a jednostranně spojitá v krajních bodech.
Poznámka:
Tedy pokud se jedná o uzavřený interval 𝐼, pak je funkce 𝑓 spojitá na 𝐼, je-li spojitá v každém jeho vnitřním
bodě, v levém krajním bodě je spojitá zprava a v pravém krajním bodě je spojitá zleva.
VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ NA INTERVALU
Nechť 𝑓 je elementární funkce a nechť 𝐼 je interval libovolného typu, který je podmnožinou definičního oboru
funkce 𝑓. Potom 𝑓 je spojitá na 𝐼.
Tato věta se využívá při výpočtu limit a to tak, že pokud počítáme limitu elementární funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 ∈ 𝑅 a
zároveň 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓), pak je tato limita rovna její funkční hodnotě v tomto bodě.
Obrázek 30
42
PŘÍKLAD:
Vypočítejme limitu: lim𝑥→1
𝑥+1
𝑥2+2.
Tato funkce je elementární, můžeme tedy vypočítat limitu přímo dosazením hodnoty 1 do výrazu.
lim𝑥→1
𝑥 + 1
𝑥2 + 2=
1 + 1
12 + 2=
2
3
Limity elementárních funkcí ve vlastních bodech tedy můžeme získat přímo dosazením, limity elementárních
funkcí v nevlastních bodech lze někdy vyčíst z grafu funkce.
PŘÍKLAD:
V následujících příkladech určíme limity základních elementárních funkcí pomocí grafů.
Limity lineární lomené funkce:
lim𝑥→∞
1
𝑥= 0
lim𝑥→−∞
1
𝑥= 0
lim𝑥→0+
1
𝑥= +∞
lim𝑥→0−
1
𝑥= −∞
lim𝑥→0
1
𝑥 neexistuje
Limity exponenciálních funkcí:
limx→∞
ex = ∞
limx→−∞
ex = 0
limx→0
ex = 1
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
43
limx→∞
(1
2)
x
= 0
limx→−∞
(1
2)
x
= ∞
limx→0
(1
2)
x
= 1
Limity logaritmické funkce:
limx→∞
ln x = ∞
limx→0+
ln x = −∞
limx→1
ln x = 0
Limity goniometrických funkcí:
limx→∞
sin x neexistuje
limx→−∞
cos x neexistuje
44
limx→
π
2
+tg x = −∞
limx→
π
2
− tg x = ∞
limx→0
tg x = 0
limx→−
π
2
− tg x = ∞
limx→0+
cotg x = ∞
limx→0−
cotg x = −∞
limx→
π
2
cotg x = 0
Limity cyklometrických funkcí:
limx→∞
arctg x =π
2
limx→−∞
arctg x = −π
2
limx→0
arctg x = 0
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
45
limx→∞
arccotg x = 0
limx→−∞
arccotg x = π
limx→0
arccotg x =π
2
2.3. VÝPOČET LIMIT
Pro výpočet limit platí následující pravidla pro početní operace.
VĚTA:
Jsou-li 𝑓 a 𝑔 funkce, 𝑥0 ∈ 𝑅∗, pak platí:
lim𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥),
lim𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥),
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) ,
lim𝑥→𝑥0
|𝑓(𝑥)| = | lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)|,
pokud existují limity na pravých stranách a algebraické operace na pravých stranách jsou definovány.
Při výpočtu můžeme narazit na situace, kdy není hned jasné, jestli limita vůbec existuje nebo jaká je její
hodnota. Mluvíme o tzv. neurčitých výrazech. Jedná se o výrazy následujících typů, k jejichž zápisu budeme
používat tyto závorky ‖… ‖.
‖0 ∙ ∞‖, ‖∞ − ∞‖, ‖∞
∞‖ , ‖
0
0‖ , ‖∞0‖, ‖00‖, ‖1∞‖
V těchto případech lze využít různé algebraické úpravy, které nám pomohou získat výraz, jehož hodnotu lze již
vypočítat, nebo lze využít l’Hospitalovo pravidlo, které bude uvedeno v odstavci 4.2.
Pro výpočet limity složené funkce jsou užitečné následující dvě věty.
VĚTA:
Předpokládejme, že 𝑥0, 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑅∗,
lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝐴, lim𝑦→𝐴
𝑓(𝑦) = 𝐵,
a existuje okolí 𝑃𝛿(𝑥0) tak, že pro všechna 𝑥 ∈ 𝑃𝛿(𝑥0) platí 𝑔(𝑥) ≠ 𝐴. Potom
46
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝐵.
Poznámka:
Tato věta platí i pro jednostranné limity.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limitu:
lim𝑥→∞
3𝑥2+1
Jedná se o limitu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve limitu vnitřní funkce.
lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = lim𝑥→∞
𝑥2 + 1 = ∞
Nyní vypočítáme limitu vnější funkce.
lim𝑦→𝐴
𝑓(𝑦) = lim𝑦→∞
3𝑦 = ∞
Tedy
lim𝑥→∞
3𝑥2+1 = ∞.
VĚTA:
Předpokládejme, že 𝑥0 ∈ 𝑅∗, 𝐴 ∈ 𝑅. Nechť lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝐴 a funkce f je spojitá v bodě A. Potom
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐴).
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limitu:
lim𝑥→∞
arccotg1
𝑥
Jedná se o limitu složené funkce. Vypočtěme tedy nejprve limitu vnitřní funkce.
lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = lim𝑥→∞
1
𝑥= 0
Limitou vnitřní funkce je konečné reálné číslo, v jehož okolí je vnější funkce arccotg 𝑔(𝑥) definovaná a spojitá.
Tedy platí:
lim𝑥→∞
arccotg1
𝑥= arccotg 0 =
𝜋
2
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
47
VĚTA: O LIMITĚ SEVŘENÉ FUNKCE
Nechť 𝑥0 ∈ 𝑅∗ a nechť pro funkce 𝑓, 𝑔 a ℎ platí 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) v nějakém okolí 𝑃𝛿(𝑥0) bodu 𝑥0. Nechť
platí:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥0
ℎ(𝑥) = 𝐴,
kde 𝐴 ∈ 𝑅∗. Potom lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝐴.
Poznámka:
Tato věta platí i pro jednostranné limity.
Využití této věty ilustruje následující příklad.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limitu:
lim𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥
Po dosazení nelze určit limitu lim𝑥→∞
sin 𝑥, a tedy nelze ihned určit hodnotu dané limity.
Protože 𝑥 → +∞, tedy 𝑥 > 0, je zřejmé, že platí:
−1
𝑥≤
sin 𝑥
𝑥≤
1
𝑥
lim𝑥→∞
−1
𝑥= lim
𝑥→∞
1
𝑥= 0
Dle předchozí věty tedy:
lim𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥= 0
Nyní si ukážeme, jak se postupuje při výpočtu různých druhů limit.
2.3.1. LIMITY POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ
Některé limity jdou vypočítat přímo dosazením.
lim𝑥→∞
𝑥2 + 𝑥 = ‖∞ + ∞‖ = ∞
Pokud nám ale po dosazení vyjde neurčitý výraz, musíme použít nějakou úpravu daného výrazu, aby výpočet
vedl k výrazu, jehož hodnotu určit lze. Při výpočtu limit polynomů používáme vytýkání nejvyšší mocniny
v daném výrazu. Pomocí vytýkání získáme výrazy ve tvaru ‖𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
±∞‖, o kterých víme, že jsou rovny nule.
Uvažujme předchozí příklad, ale pro 𝑥 → −∞:
lim𝑥→−∞
𝑥2 + 𝑥 = ‖∞ − ∞‖ = lim𝑥→−∞
𝑥2 (1 +1
𝑥) = ‖∞ ∙ (1 + 0)‖ = ∞
48
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥5 = ‖∞ − ∞‖ = lim𝑥→∞
𝑥5 (3
𝑥3− 1) = ‖∞ ∙ (0 − 1)‖ = −∞
lim𝑥→−∞
2 − 𝑥2 − 𝑥3 = ‖2 − ∞ + ∞‖ = lim𝑥→−∞
𝑥3 (2
𝑥3−
1
𝑥− 1) = ‖−∞ ∙ (0 − 0 − 1)‖ = ∞
2.3.2. LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ V NEVLASTNÍM BODĚ
V těchto případech po dosazení opět vycházejí neurčité výrazy, proto zde postupujeme podobně jako
v předchozích příkladech, tj. vytýkáme nejvyšší mocninu v čitateli a nejvyšší mocninu ve jmenovateli zlomku.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→∞
𝑥2 + 3𝑥 + 1
2𝑥2 + 𝑥 + 5= lim
𝑥→∞
𝑥2 (1 +3
𝑥+
1
𝑥2)
𝑥2 (2 +1
𝑥+
5
𝑥2)= lim
𝑥→∞
1 +3
𝑥+
1
𝑥2
2 +1
𝑥+
5
𝑥2
= ‖1 + 0 + 0
2 + 0 + 0‖ =
1
2
lim𝑥→∞
𝑥3 + 𝑥 + 1
2𝑥2 + 2𝑥 + 5= lim
𝑥→∞
𝑥3 (1 +1
𝑥2 +1
𝑥3)
𝑥2 (2 +2
𝑥+
5
𝑥2)= lim
𝑥→∞
𝑥 (1 +1
𝑥2 +1
𝑥3)
2 +2
𝑥+
5
𝑥2
= ‖∞(1 + 0 + 0)
2 + 0 + 0‖ = ∞
lim𝑥→∞
𝑥2 + 1
𝑥4 + 𝑥 + 3= lim
𝑥→∞
𝑥2 (1 +1
𝑥2)
𝑥4 (1 +1
𝑥3 +3
𝑥4)= lim
𝑥→∞
1 +1
𝑥2
𝑥2 (1 +1
𝑥3 +3
𝑥4)= ‖
1 + 0
∞(1 + 0 + 0)‖ = 0
lim𝑥→−∞
−5𝑥3 + 3𝑥
4𝑥3 + 𝑥 + 3= lim
𝑥→−∞
𝑥3 (−5 +3
𝑥2)
𝑥3 (4 +1
𝑥2 +3
𝑥3)= lim
𝑥→−∞
−5 +3
𝑥2
4 +1
𝑥2 +3
𝑥3
= ‖−5 + 0
4 + 0 + 0‖ = −
5
4
lim𝑥→−∞
−𝑥4 + 2𝑥 + 1
2𝑥2 − 1= lim
𝑥→−∞
𝑥4 (−1 +2
𝑥3 +1
𝑥4)
𝑥2 (2 −1
𝑥2)= lim
𝑥→−∞
𝑥2 (−1 +2
𝑥3 +1
𝑥4)
2 −1
𝑥2
= ‖(−∞)2(−1)
2‖ = −∞
lim𝑥→−∞
3𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥3 + 𝑥2 + 3= lim
𝑥→−∞
𝑥2 (3 −2
𝑥+
1
𝑥2)
𝑥3 (1 +1
𝑥+
3
𝑥3)= lim
𝑥→−∞
3 −2
𝑥+
1
𝑥2
𝑥 (1 +1
𝑥+
3
𝑥3)= ‖
3
−∞ ∙ 1‖ = 0
lim𝑥→−∞
2𝑥 + 1
2 − 3𝑥= lim
𝑥→−∞
𝑥 (2 +1
𝑥)
𝑥 (2
𝑥− 3)
= lim𝑥→−∞
2 +1
𝑥2
𝑥− 3
= ‖2 + 0
0 − 3‖ = −
2
3
V odstavci 1.4.5. Lineární lomené funkce jsme si uvedli, že souřadnici 𝑦0 středu hyperboly lze spočítat také
pomocí limity:
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
49
𝑦0 = lim𝑥→±∞
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑=
𝑎
𝑐
Nyní si již tento výpočet můžeme dokázat:
lim𝑥→±∞
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑= lim
𝑥→±∞
𝑥 (𝑎 +𝑏
𝑥)
𝑥 (𝑐 +𝑑
𝑥)
= lim𝑥→±∞
𝑎 +𝑏
𝑥
𝑐 +𝑑
𝑥
=‖𝑎 + 0
𝑐 + 0‖ =
𝑎
𝑐
2.3.3. LIMITY PODÍLU POLYNOMŮ VE VLASTNÍM BODĚ
V tomto případě mohou nastat tři situace. Buď lze vypočítat limitu přímo dosazením:
lim𝑥→−1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥2 + 3= ‖
1 + 2 + 1
1 + 3‖ = 1
Nebo nám vyjde neurčitý výraz ‖0
0‖, který značí, že 𝑥0 je kořenem polynomu v čitateli i ve jmenovateli, lze tedy
oba výrazy rozložit na součin a zlomek zkrátit. Tímto postupem převedeme příklad na výraz, který již lze
vypočítat. Další možnost, kterou lze v tomto případě využít je L´Hospitalovo pravidlo, které si popíšeme
v odstavci 4.2.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→2
𝑥2 − 4𝑥 + 4
𝑥2 − 4= ‖
0
0‖ = lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)= lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥 + 2= ‖
0
4‖ = 0
lim𝑥→3
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥2 − 5𝑥 + 6= ‖
0
0‖ = lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)= lim
𝑥→3
𝑥 + 1
𝑥 − 2= ‖
4
1‖ = 4
lim𝑥→−1
𝑥3 − 𝑥
𝑥2 − 4𝑥 − 5= ‖
0
0‖ = lim
𝑥→−1
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)= lim
𝑥→−1
𝑥(𝑥 − 1)
𝑥 − 5= ‖
2
−6‖ = −
1
3
Třetí situace je případ, kdy nám po dosazení vyjde nula pouze ve jmenovateli zlomku a v čitateli bude nenulová
konstanta.
‖𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎
0‖
V tomto případě spočítáme jednostranné limity. Protože pro výrazy následujícího typu již lze určit jejich
hodnotu, použijeme tento symbolický zápis a předpokládáme, že konstanta 𝑐 > 0:
‖𝑐
0+‖ = +∞
‖𝑐
0−‖ = −∞
Pro 𝑐 < 0 budou výsledky s opačným znaménkem. Ukažme si tento postup na příkladech.
50
PŘÍKLAD:
Vypočítejme limitu:
lim𝑥→3
2𝑥
𝑥 − 3
Po dosazení dostaneme výraz ‖6
0‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
lim𝑥→3+
2𝑥
𝑥 − 3= ‖
6
0+‖ = +∞
lim𝑥→3−
2𝑥
𝑥 − 3= ‖
6
0−‖ = −∞
Protože jsou jednostranné limity různé, pak daná limita lim𝑥→3
2𝑥
𝑥−3 neexistuje.
PŘÍKLAD:
Vypočítejme limitu:
lim𝑥→1
2 + 𝑥
(𝑥 − 1)2
Po dosazení dostaneme výraz ‖3
0‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
lim𝑥→1+
2 + 𝑥
(𝑥 − 1)2= ‖
3
0+‖ = +∞
lim𝑥→1−
2 + 𝑥
(𝑥 − 1)2= ‖
3
0+‖ = +∞
Protože jsou jednostranné limity stejné, pak i původní limita lim𝑥→1
2+𝑥
(𝑥−1)2= +∞ .
PŘÍKLAD:
Vypočítejme limitu:
lim𝑥→−1
2𝑥 − 1
𝑥2 − 1
Po dosazení dostaneme výraz ‖−3
0‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
lim𝑥→−1+
2𝑥 − 1
𝑥2 − 1= lim
𝑥→−1+
2𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= ‖
−3
−2 ∙ 0+‖ = +∞
lim𝑥→−1−
2𝑥 − 1
𝑥2 − 1= lim
𝑥→−1−
2𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= ‖
−3
−2 ∙ 0−‖ = −∞
Protože jsou jednostranné limity různé, pak daná limita lim𝑥→−1
2𝑥−1
𝑥2−1 neexistuje.
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
51
PŘÍKLAD:
Vypočítejme limitu:
lim𝑥→−2
𝑥 − 2
𝑥2 + 4𝑥 + 4
Po dosazení dostaneme výraz ‖−4
0‖. Vypočítejme tedy jednostranné limity:
lim𝑥→−2+
𝑥 − 2
(𝑥 + 2)2= ‖
−4
0+‖ = −∞
lim𝑥→−2−
𝑥 − 2
(𝑥 + 2)2= ‖
−4
0+‖ = −∞
Protože jsou jednostranné limity stejné, pak i původní limita lim𝑥→−2
𝑥−2
𝑥2+4𝑥+4= −∞ .
2.3.4. LIMITY VÝRAZŮ S ODMOCNINAMI V NEVLASTNÍM BODĚ
Pokud nelze určit hodnotu limity přímo dosazením, použijeme opět vytýkání nejvyšší mocniny.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→∞
√𝑥2 − 2 + 2𝑥 = ‖∞ + ∞‖ = ∞
lim𝑥→∞
√𝑥2 − 2 − 2𝑥 = ‖∞ − ∞‖ = lim𝑥→∞
√𝑥2 (1 −2
𝑥2) − 2𝑥 = lim
𝑥→∞𝑥√1 −
2
𝑥2− 2𝑥 = lim
𝑥→∞𝑥 (√1 −
2
𝑥2− 2)
= ‖∞ ∙ (1 − 2)‖ = −∞
lim𝑥→∞
𝑥 − √𝑥 + 1 = ‖∞ − ∞‖ = lim𝑥→∞
𝑥 − √𝑥2 (1
𝑥+
1
𝑥2) = lim
𝑥→∞𝑥 (1 − √
1
𝑥+
1
𝑥2) = ‖∞ ∙ (1 − 0)‖ = ∞
Může ale nastat situace, kdy nám po vytýkání opět vyjde neurčitý výraz (0 ∙ ∞).
lim𝑥→∞
√𝑥2 + 1 − 𝑥 = ‖∞ − ∞‖ = lim𝑥→∞
√𝑥2 (1 +1
𝑥2) − 𝑥 = lim
𝑥→∞𝑥√1 +
1
𝑥2− 𝑥 = lim
𝑥→∞𝑥 (√1 +
1
𝑥2− 1)
= ‖∞ ∙ (1 − 1)‖
V tomto případě použijeme jinou metodu, a to vhodné rozšíření výrazu tak, aby mohl být využit vzorec
(𝑎 − 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2, který umožní zbavit se odmocniny, jak je zřejmé na příkladu.
lim𝑥→∞
√𝑥2 + 1 − 𝑥 = lim𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥) ∙√𝑥2 + 1 + 𝑥
√𝑥2 + 1 + 𝑥= lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥)(√𝑥2 + 1 + 𝑥)
√𝑥2 + 1 + 𝑥
= lim𝑥→∞
𝑥2 + 1 − 𝑥2
√𝑥2 + 1 + 𝑥= lim
𝑥→∞
1
√𝑥2 + 1 + 𝑥= ‖
1
∞‖ = 0
52
Tedy rozšířili jsme výraz zlomkem, který má v čitateli a ve jmenovateli stejný výraz, tedy tento zlomek má
hodnotu 1 a nezmění původní zadání příkladu. Výraz ve zlomku má opačné znaménko než zadaný výraz, což
nám umožní využít výše uvedený vzorec a zbavit se odmocniny v čitateli zlomku.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limitu:
lim𝑥→∞
√𝑥 − 2 − √𝑥 = lim𝑥→∞
(√𝑥 − 2 − √𝑥) ∙√𝑥 − 2 + √𝑥
√𝑥 − 2 + √𝑥= lim
𝑥→∞
𝑥 − 2 − 𝑥
√𝑥 − 2 + √𝑥= lim
𝑥→∞
−2
√𝑥 − 2 + √𝑥= ‖
−2
∞‖ = 0
V některých případech je třeba využít obě metody, tzn. rozšíření i vytýkání. Tuto situaci si ukážeme na
následujícím příkladu.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limitu:
lim𝑥→∞
√𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 = lim𝑥→∞
(√𝑥2 − 𝑥 − 𝑥) ∙√𝑥2 − 𝑥 + 𝑥
√𝑥2 − 𝑥 + 𝑥= lim
𝑥→∞
𝑥2 − 𝑥 − 𝑥2
√𝑥2 − 𝑥 + 𝑥= lim
𝑥→∞
−𝑥
√𝑥2 − 𝑥 + 𝑥
= lim𝑥→∞
−𝑥
𝑥 (√1 −1
𝑥+ 1)
= lim𝑥→∞
−1
√1 −1
𝑥+ 1
=‖−1
2‖ = −
1
2
2.3.5. LIMITY VÝRAZŮ S ODMOCNINAMI VE VLASTNÍM BODĚ
V těchto případech využíváme opět rozšiřování daných výrazů.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→4
𝑥 − 4
√𝑥 − 2= ‖
0
0‖ = lim
𝑥→4
𝑥 − 4
√𝑥 − 2∙√𝑥 + 2
√𝑥 + 2= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(√𝑥 + 2)
𝑥 − 4= lim
𝑥→4√𝑥 + 2 = 4
lim𝑥→0
𝑥
√𝑥 + 9 − 3= ‖
0
0‖ = lim
𝑥→0
𝑥
√𝑥 + 9 − 3∙√𝑥 + 9 + 3
√𝑥 + 9 + 3= lim
𝑥→0
𝑥(√𝑥 + 9 + 3)
𝑥 + 9 − 9= lim
𝑥→0
𝑥(√𝑥 + 9 + 3)
𝑥
= lim𝑥→0
√𝑥 + 9 + 3 = 6
lim𝑥→−2
2 − √6 + 𝑥
𝑥 + 2= ‖
0
0‖
= lim𝑥→−2
2 − √6 + 𝑥
𝑥 + 2∙2 + √6 + 𝑥
2 + √6 + 𝑥
= lim𝑥→−2
4 − (6 + 𝑥)
(𝑥 + 2)(2 + √6 + 𝑥)= lim
𝑥→−2
−(2 + 𝑥)
(𝑥 + 2)(2 + √6 + 𝑥)= lim
𝑥→−2
−1
2 + √6 + 𝑥= −
1
4
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
53
Někdy je potřeba provést rozšíření zlomku jak výrazem ve jmenovateli, tak výrazem v čitateli.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limitu:
lim𝑥→1
2 − √𝑥 + 3
√𝑥 − 1= ‖
0
0‖
= lim𝑥→1
2 − √𝑥 + 3
√𝑥 − 1∙√𝑥 + 1
√𝑥 + 1
= lim𝑥→1
(2 − √𝑥 + 3)(√𝑥 + 1)
𝑥 − 1∙2 + √𝑥 + 3
2 + √𝑥 + 3= lim
𝑥→1
(4 − 𝑥 − 3)(√𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(2 + √𝑥 + 3)= lim
𝑥→1
−1(√𝑥 + 1)
(2 + √𝑥 + 3)
= −1
2
2.3.6. LIMITY EXPONENCIÁLNÍCH FUNKCÍ V NEVLASTNÍM BODĚ
Při výpočtu limit exponenciálních funkcí vycházíme ze dvou základních limit:
lim𝑥→∞
𝑎𝑥 =0 pro hodnoty |𝑎| < 1
lim𝑥→∞
𝑎𝑥 =∞ pro hodnoty 𝑎 > 1
Pokud nelze limitu spočítat hned po dosazení, tak se snažíme v zadaném výrazu opět pomocí vytýkání získat
exponenciální funkce se základem 𝑎 z intervalu (−1; 1).
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→∞
5𝑥 + 𝑒𝑥 − 0,2𝑥 + (−1
2)
𝑥
= ‖∞ + ∞ − 0 + 0‖ = ∞
lim𝑥→∞
2𝑥 + 3𝑥 = ‖∞ + ∞‖ = ∞
lim𝑥→∞
2𝑥 − 3𝑥 = ‖∞ − ∞‖ = lim𝑥→∞
3𝑥 (2𝑥
3𝑥− 1) = lim
𝑥→∞3𝑥 ((
2
3)
𝑥
− 1) = ‖∞ ∙ (0 − 1)‖ = −∞
lim𝑥→∞
5𝑥 − 3𝑥 + 1 = ‖∞ − ∞ + 1‖ = lim𝑥→∞
5𝑥 (1 − (3
5)
𝑥
+ (1
5)
𝑥
) = ‖∞ ∙ (1 − 0 + 0)‖ = ∞
Stejný postup používáme i v případě, kdy počítáme limitu z podílu exponenciálních funkcí.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→∞
3𝑥 − 2𝑥
4𝑥 + 1= lim
𝑥→∞
3𝑥 (1 − (2
3)
𝑥
)
4𝑥 (1 + (1
4)
𝑥
)= lim
𝑥→∞(3
4)
𝑥 (1 − (2
3)
𝑥
)
(1 + (1
4)
𝑥
)=‖0 ∙
1 − 0
1 + 0‖ = 0
54
lim𝑥→∞
2 ∙ 3𝑥 − 5𝑥
3 ∙ 5𝑥 + 1= lim
𝑥→∞
5𝑥 (2 (3
5)
𝑥
− 1)
5𝑥 (3 + (1
5)
𝑥
)= lim
𝑥→∞
(2 (3
5)
𝑥
− 1)
(3 + (1
5)
𝑥
)= ‖
0 − 1
3 + 0‖ = −
1
3
Při výpočtu lze také využít základních vlastností (𝑎, 𝑥, 𝑘 ∈ 𝑅):
𝑎𝑘𝑥 = (𝑎𝑘)𝑥
𝑎𝑥+𝑘 = 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑘
𝑎𝑥−𝑘 =𝑎𝑥
𝑎𝑘
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity:
lim𝑥→∞
22𝑥 − 23𝑥
2𝑥+1 + 3𝑥= lim
𝑥→∞
(22)𝑥 − (23)𝑥
2𝑥 ∙ 21 + 3𝑥= lim
𝑥→∞
4𝑥 − 8𝑥
2 ∙ 2𝑥 + 3𝑥= lim
𝑥→∞
8𝑥 ((4
8)
𝑥
− 1)
3𝑥 (2 (2
3)
𝑥
+ 1)
= lim𝑥→∞
(8
3)
𝑥 ((1
2)
𝑥
− 1)
(2 (2
3)
𝑥
+ 1)=‖∞ ∙
0 − 1
0 + 1‖ = −∞
Dále se budeme limitám ještě věnovat v odstavci L’Hospitalovo pravidlo.
2.4. CVIČENÍ
1) Určete limity elementárních funkcí:
a) lim𝑥→−∞
arccotg (−𝑥) =
b) lim𝑥→∞
(− arctg 𝑥) =
c) lim𝑥→−∞
3𝑥 =
d) lim𝑥→∞
log0,2 𝑥 =
e) lim𝑥→𝜋−
cotg 𝑥 =
[a) 0, b) −𝜋
2, c) 0, d) −∞, e) −∞]
2) Vypočtěte limity:
a) lim𝑥→∞
−𝑥2+3𝑥−2
3𝑥2−5
b) lim𝑥→∞
32𝑥−1
5𝑥−2𝑥
c) lim𝑥→3
𝑥2−9
𝑥2−3𝑥
d) lim𝑥→∞
√2𝑥2 + 3 − 𝑥
e) lim𝑥→−∞
−2𝑥5+3𝑥−2
3𝑥4−5𝑥
f) lim𝑥→3
9−𝑥2
√3𝑥−3
Kap
ito
la: L
IMIT
A A
SP
OJI
TOST
FU
NK
CE
55
g) lim𝑥→∞
4𝑥+2+1
22𝑥−1
h) lim𝑥→−2
𝑥2−𝑥−6
𝑥2+𝑥−2
i) lim𝑥→∞
√𝑥2 − 4 − 𝑥
j) lim𝑥→∞
3𝑥−5𝑥+1
5𝑥
k) lim𝑥→∞
(−1)𝑥
𝑥2
l) lim𝑥→∞
2𝑥 − 5𝑥
m) lim𝑥→3
√𝑥+13−2√𝑥+1
𝑥2−9
n) lim𝑥→∞
𝑥+1
3𝑥2+4
o) lim𝑥→∞
3𝑥−2∙22𝑥+1
32𝑥−2∙5𝑥
p) lim𝑥→∞
√𝑥 + 5 − √𝑥 − 3
q) lim𝑥→3
𝑥+3
𝑥2−9
r) lim𝑥→4
√1+2𝑥−3
√𝑥−2
s) lim𝑥→−4
𝑥+2
(𝑥+4)2
t) lim𝑥→∞
3𝑥−4𝑥+1
5𝑥−2
[a) −1
3, b) ∞, c) 2, d) ∞, e) ∞, f) -12, g) 16, h)
5
3, i) 0, j) -1, k) 0, l) −∞,
m) −1
16, n) 0, o) 0, p) 0, q) neexistuje, r)
4
3, s) −∞, t) 0]
56
3. DERIVACE FUNKCÍ
3.1. DEFINICE A GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE
Připomeňme, že směrnice 𝑘 přímky 𝑝 je definována jako tangens úhlu 𝜑, který přímka 𝑝 svírá s osou 𝑥. Tedy
přímka 𝑝 určená bodem 𝐴[𝑥0, 𝑦0] a směrnicí 𝑘 má rovnici:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0),
poznamenejme, že 𝑝 není svislá.
Na grafu funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) zvolme dva různé body 𝐴[𝑥0, 𝑓(𝑥0)], 𝐵[𝑥0 + ℎ, 𝑓(𝑥0 + ℎ)] ℎ ∈ 𝑅 (obr. 31). Sečna 𝐴𝐵
má směrnici:
𝑘𝐴𝐵 = tg 𝜑 = 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ.
Budeme-li přibližovat bod 𝐵 k bodu 𝐴, 𝐵 → 𝐴, tj. hodnota ℎ se bude blížit k nule, bude sečna 𝐴𝐵 se směrnicí
𝑘𝐴𝐵 postupně přecházet v tečnu 𝑡𝐴 v bodě 𝐴 se směrnicí 𝑘𝑡. Matematický zápis tohoto procesu je:
limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ= 𝑘𝑡 .
Obrázek 31: Geometrický význam derivace
DEFINICE: DERIVACE FUNKCE V BODĚ
Existuje-li limita limℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ, nazýváme ji derivací funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 a značíme ji 𝑓′(𝑥0).
Derivaci v bodě též značíme 𝑦′(𝑥0) nebo 𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑥0), popř.
𝑑𝑓
𝑑𝑥(𝑥0).
Poznámka:
Limita v předchozí definici může být reálné číslo (pak hovoříme o vlastní derivaci funkce 𝑓 v bodě 𝑥0) nebo ±∞
(nevlastní derivace 𝑓 v bodě 𝑥0). Derivace také nemusí vůbec existovat. V tomto textu pod pojmem derivace
budeme chápat vlastní derivaci.
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
57
Poznámka:
Z obr. 31 je patrné, že limℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ= lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0. Toto ekvivalentní vyjádření bývá pro definici
derivace též často používáno.
Poznámka:
Nahradíme-li oboustrannou limitu v definici derivace limitou zprava, resp. zleva, hovoříme o derivaci zprava,
resp. zleva.
VĚTA: ROVNICE TEČNY A NORMÁLY
Tečna 𝑡 v bodě 𝐴[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] má rovnici:
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0).
Normála 𝑛 (přímka kolmá k tečně) v bodě 𝐴[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] má rovnici:
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0), je-li 𝑓′(𝑥0) ≠ 0.
Obrázek 32: Tečna a normála ke grafu funkce
Pokud 𝑓′(𝑥0) = 0 je tečna vodorovná přímka, jejíž rovnice v bodě 𝐴[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] je 𝑦 = 𝑓(𝑥0). Normála je pak
svislá přímka, jejíž rovnice je 𝑥 = 𝑥0.
DEFINICE: DERIVACE FUNKCE NA OTEVŘENÉM INTERVALU
Má-li funkce v bodě 𝑥0 derivaci pro každé 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) ⊆ 𝐷𝑓, říkáme, že má derivaci na otevřeném intervalu
(𝑎, 𝑏).
VĚTA:
Má-li funkce v bodě 𝑥0 (na otevřeném intervalu) derivaci, pak je v bodě 𝑥0 (na otevřeném intervalu) spojitá.
Obrácená věta neplatí, tj. funkce spojitá v bodě 𝑥0 nemusí mít v tomto bodě derivaci. Například funkce 𝑓 daná
předpisem 𝑓(𝑥) = |𝑥| je v bodě 𝑥0 = 0 spojitá, ale derivace 𝑓′(0) neexistuje, což lze dokázat z definice
derivace – nerovnají se derivace zprava a zleva.
58
Poznámka: Fyzikální význam derivace.
Předpokládejme, že v časovém intervalu [𝑡1, 𝑡2] se po přímce pohybuje zleva doprava hmotný bod, jehož
poloha v čase 𝑡 je určena souřadnicí 𝑥(𝑡) bodu dané přímky. Průměrná rychlost v daném časovém intervalu je:
𝑣𝑝 =𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1.
Okamžitou rychlost 𝑣𝑜 v nějakém čase 𝑡0 zjistíme tak, že budeme „zmenšovat“ velikost časového intervalu, tj.
budeme se „blížit k bodu 𝑡0“. Matematicky vyjádřeno pomocí limity:
lim𝑡→𝑡0
𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡0)
𝑡 − 𝑡0= 𝑥′(𝑡0).
Vidíme, že fyzikální význam derivace je v tomto případě okamžitá rychlost hmotného bodu. Podobně obecněji,
jestliže 𝑓(𝑡) je fyzikální veličina závisející na čase, charakterizuje 𝑓′(𝑡) okamžitou velikost její změny v čase 𝑡.
3.2. PRAVIDLA PRO DERIVOVÁNÍ ZÁKLADNÍCH ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ
Při praktickém počítání většinou neurčujeme derivace funkcí užitím definice, tj. jako limitu, ale pomocí pravidel
a vzorců, které jsou z definice derivace odvozeny.
VĚTA:
Mají-li funkce 𝑦 = 𝑢(𝑥) a 𝑦 = 𝑣(𝑥) derivace, platí pravidla:
(derivace součinu konstanty a funkce) je-li 𝑘 ∈ 𝑅, (𝑘 ∙ 𝑢)′ = 𝑘 ∙ 𝑢′,
(derivace součtu nebo rozdílu funkcí) (𝑢 ± 𝑣)′ = 𝑢′ ± 𝑣′,
(derivace součinu funkcí) (𝑢 ∙ 𝑣)′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ,
(derivace podílu funkcí) je-li 𝑣(𝑥) ≠ 0, (𝑢
𝑣)
′
=𝑢′∙𝑣 − 𝑢∙ 𝑣′
𝑣2 .
VĚTA:
Pro derivace základních elementárních funkcí platí vzorce:
𝑘′ = 0, 𝑘 ∈ 𝑅 , kde 𝑘 je konstanta,
(𝑥𝑛)′ = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 , speciálně (√𝑥)′=
1
2√𝑥 ,
(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥,
(𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 ∙ ln 𝑎 ,
(ln 𝑥)′ = 1
𝑥 ,
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
59
(log𝑎 𝑥)′ = 1
𝑥 ln 𝑎 ,
(sin 𝑥)′ = cos 𝑥 ,
(cos 𝑥)′ = − sin 𝑥,
(tg 𝑥)′ =1
cos2 𝑥 ,
(cotg 𝑥)′ = −1
sin2 𝑥 ,
(arcsin 𝑥)′ =1
√1−𝑥2 ,
(arccos 𝑥)′ = −1
√1−𝑥2 ,
(arctg 𝑥)′ =1
1+𝑥2 ,
(arccotg 𝑥)′ = −1
1+𝑥2 .
Uvedené vzorce platí pro ty hodnoty 𝑥, které jsou vnitřními body definičního oboru dané funkce.
Použití vzorců a pravidel si nyní ukážeme na příkladech. Budeme přitom předpokládat, že prováděné operace
se uskutečňují na vnitřních bodech definičního oboru uvažovaných funkcí.
PŘÍKLAD:
Z definice derivace odvoďme derivaci funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
Dle definice je:
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ= lim
ℎ→0
𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ=
= limℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ= lim
ℎ→0(2𝑥 + ℎ) = 2𝑥,
pro každé 𝑥 ∈ 𝑅.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 7𝑥4 + cos 𝑥.
K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování:
𝑦′ = (7𝑥4)′ + (cos 𝑥)′ = 7 ∙ (𝑥4)′ + (cos 𝑥)′ = 7 ∙ 4𝑥3 + (− sin 𝑥) = 28𝑥3 − sin 𝑥.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 5𝑥 + 4𝑥 − √𝑥 + √𝑥3
+ 3 ln 𝑥 +1
𝑥− 12.
K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování:
60
𝑦′ = (5𝑥)′ + (4𝑥)′ − (√𝑥)′+ (√𝑥
3)′+ (3 ln 𝑥)′ + (
1
𝑥)
′
− (12)′ =
= 5 ∙ (𝑥)′ + ( 4𝑥)′ − (√𝑥)′+ (𝑥
1
3)′
+ 3 ∙ (ln 𝑥)′ + (𝑥−1)′ − (12)′ =
= 5 ∙ 1 + 4𝑥 ln 4 − 1
2√𝑥 +
1
3𝑥−
2
3 + 3 ∙1
𝑥 + (−1) ∙ 𝑥−2 − 0 =
= 5 + 4𝑥 ln 4 − 1
2√𝑥 +
1
3√𝑥23 + 3
𝑥 −
1
𝑥2 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑒𝑥 + log3 𝑥 − 5tg 𝑥 +1
𝑥2.
K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování:
𝑦′ = (𝑒𝑥)′ + (log3 𝑥)′ − 5 ∙ (tg 𝑥)′ + (𝑥−2)′ =
= 𝑒𝑥 +1
𝑥 ln 3− 5 ∙
1
cos2 𝑥+ (−2) ∙ 𝑥−3 =
= 𝑒𝑥 +1
𝑥 ln 3−
5
cos2 𝑥−
2
𝑥3 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = arcsin 𝑥 + arccos 𝑥 − 2 cotg 𝑥.
K řešení využijeme pravidla a vzorce pro derivování:
𝑦′ = (arcsin 𝑥)′ + (arccos 𝑥)′ − 2 ∙ (cotg 𝑥)′ =
=1
√1 − 𝑥2+ (−
1
√1 − 𝑥2 ) − 2 ∙ (−
1
sin2 𝑥 ) =
=2
sin2 𝑥 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑒𝑥(𝑥2 − 3𝑥 + 2).
K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování:
𝑦′ = (𝑒𝑥)′ ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 2) + (𝑒𝑥) ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 2)′ =
= 𝑒𝑥 ∙ (𝑥2 − 3𝑥 + 2) + 𝑒𝑥 ∙ (2𝑥 − 3) =
= 𝑒𝑥 ∙ (𝑥2 − 𝑥 − 1).
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
61
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑥3 ∙ ln 𝑥.
K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování:
𝑦′ = (𝑥3)′ ∙ (ln 𝑥) + (𝑥3) ∙ (ln 𝑥)′ =
= 3𝑥2 ∙ ln 𝑥 + 𝑥3 ∙1
𝑥=
= 3𝑥2 ∙ ln 𝑥 + 𝑥2 =
= 𝑥2 ∙ (3 ln 𝑥 + 1)
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 3𝑥2 ∙ arctg 𝑥.
K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování:
𝑦′ = (3𝑥2)′ ∙ (arctg 𝑥) + (3𝑥2) ∙ (arctg 𝑥)′ =
= 3 ∙ 2𝑥 ∙ arctg 𝑥 + 3𝑥2 ∙1
1 + 𝑥2=
= 6𝑥 ∙ arctg 𝑥 +3𝑥2
1 + 𝑥2 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 =𝑥2
𝑥+3.
K řešení využijeme pravidlo pro podíl funkcí a vzorce pro derivování:
𝑦′ =(𝑥2)′ ∙ (𝑥 + 3) − (𝑥2) ∙ (𝑥 + 3)′
(𝑥 + 3)2=
=2𝑥 ∙ (𝑥 + 3) − 𝑥2 ∙ (1 + 0)
(𝑥 + 3)2=
=2𝑥2 + 6𝑥 − 𝑥2
(𝑥 + 3)2=
=𝑥2 + 6𝑥
(𝑥 + 3)2 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 =cos 𝑥
1−sin 𝑥 .
K řešení využijeme pravidlo pro podíl funkcí a vzorce pro derivování:
62
𝑦′ =(cos 𝑥)′ ∙ (1 − sin 𝑥) − (cos 𝑥) ∙ (1 − sin 𝑥)′
(1 − sin 𝑥)2=
=(− sin 𝑥) ∙ (1 − sin 𝑥) − cos 𝑥 ∙ (0 − cos 𝑥)
(1 − sin 𝑥)2=
=− sin 𝑥 + sin2 𝑥 + cos2 𝑥
(1 − sin 𝑥)2=
=− sin 𝑥 + 1
(1 − sin 𝑥)2=
=1
1 − sin 𝑥 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 =5𝑥+2
√3.
K řešení využijeme vzorce pro derivování:
𝑦 =1
√3∙ (5𝑥 + 2)
𝑦′ =1
√3∙ (5𝑥 + 2)′=
=1
√3∙ (5) =
5
√3 .
Lze využít i pravidlo pro podíl, potom:
𝑦′ =(5𝑥 + 2)′ ∙ (√3) − (5𝑥 + 2) ∙ (√3)
′
(√3)2 =
=5 ∙ (√3) − (5𝑥 + 2) ∙ 0
(√3)2 =
=5 ∙ √3
(√3)2 =
5
√3 .
PŘÍKLAD:
Vypočtěme hodnotu derivace funkce 𝑦 = cos 𝑥 v bodě 𝑥0 =𝜋
2.
K řešení využijeme vzorce pro derivování a hodnotu 𝑥0 pak přímo dosadíme do 𝑦′:
𝑦′ = (cos 𝑥)′ = − sin 𝑥
𝑦′(𝑥0) = 𝑦′ (𝜋
2) = − sin
𝜋
2= −1.
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
63
PŘÍKLAD:
Vypočtěme hodnotu derivace funkce 𝑦 = 𝑥2sin 𝑥 v bodě 𝑥0 = 𝜋.
K řešení využijeme pravidlo pro součin funkcí a vzorce pro derivování, zpravidla funkci dále neupravujeme a
hodnotu 𝑥0 přímo dosadíme do 𝑦′:
𝑦′ = (𝑥2)′ ∙ (sin 𝑥) + (𝑥2) ∙ (sin 𝑥)′ =
= 2𝑥 ∙ sin 𝑥 + 𝑥2 ∙ cos 𝑥
𝑦′(𝑥0) = 𝑦′(𝜋) = 2 ∙ 𝜋 ∙ sin 𝜋 + 𝜋2 ∙ cos 𝜋 =
= 2 ∙ 𝜋 ∙ 0 + 𝜋2 ∙ (−1) = − 𝜋2.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme hodnotu derivace funkce 𝑦 =𝑥2−1
𝑥2+1 v bodě 𝑥0 = 1.
K řešení využijeme pravidlo pro podíl funkcí a vzorce pro derivování, zpravidla funkci dále neupravujeme a
hodnotu 𝑥0 přímo dosadíme do 𝑦′:
𝑦′ =(𝑥2 − 1)′ ∙ (𝑥2 + 1) − (𝑥2 − 1) ∙ (𝑥2 + 1)′
(𝑥2 + 1)2=
=2𝑥 ∙ (𝑥2 + 1) − (𝑥2 − 1) ∙ 2𝑥
(𝑥2 + 1)2
𝑦′(𝑥0) = 𝑦′(1) =2 ∙ 1 ∙ (12 + 1) − (12 − 1) ∙ 2 ∙ 1
(12 + 1)2=
=4 − 0
4= 1.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky 𝑦 = 𝑥3 + 1 v bodě 𝑥0 = −1.
K řešení využijeme rovnice tečny a normály:
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0)
a vzorce pro derivování.
Nejprve určíme bod dotyku tečny: 𝑇[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] = 𝑇[−1, 0], protože po dosazení −1 do zadání obdržíme
druhou souřadnici bodu nulovou: 𝑓(𝑥0) = 𝑦(𝑥0) = (−1)3 + 1 = 0.
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože 𝑦′ = (𝑥3 + 1)′ = 3𝑥2, je směrnice tečny
rovna 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′(−1) = 3 ∙ (−1)2 = 3.
Tečna křivky 𝑦 = 𝑥3 + 1 v bodě 𝑇[−1, 0] má pak rovnici:
64
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑡: 𝑦 − 0 = 3 ∙ (𝑥 − (−1))
𝑡: 𝑦 = 3 ∙ (𝑥 + 1)
𝑡: 𝑦 = 3𝑥 + 3
Normála křivky 𝑦 = 𝑥3 + 1 v bodě 𝑇[−1, 0] má pak rovnici:
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑛: 𝑦 − 0 = −1
3∙ (𝑥 − (−1))
𝑛: 𝑦 = −1
3∙ (𝑥 + 1)
𝑛: 𝑦 = −1
3𝑥 −
1
3
PŘÍKLAD:
Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky 𝑦 = cos 𝑥 v bodě 𝑥0 =𝜋
2.
Nejprve určíme bod dotyku tečny: 𝑇[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] = 𝑇 [𝜋
2, 0], protože po dosazení
𝜋
2 do zadání obdržíme druhou
souřadnici bodu nulovou: 𝑓(𝑥0) = 𝑦(𝑥0) = cos𝜋
2= 0.
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože 𝑦′ = ( cos 𝑥)′ = − sin 𝑥, je směrnice
tečny rovna 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′ (𝜋
2) = − sin
𝜋
2= −1.
Tečna křivky 𝑦 = cos 𝑥 v bodě 𝑇 [𝜋
2, 0] má pak rovnici:
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑡: 𝑦 − 0 = (−1) ∙ (𝑥 −𝜋
2)
𝑡: 𝑦 = −𝑥 +𝜋
2
Normála křivky 𝑦 = cos 𝑥 v bodě 𝑇 [𝜋
2, 0] má pak rovnici:
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑛: 𝑦 − 0 = −1
(−1)∙ (𝑥 −
𝜋
2)
𝑛: 𝑦 = 𝑥 −𝜋
2
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
65
PŘÍKLAD:
Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky 𝑦 =1
𝑥2+1 v bodě 𝑥0 = 1.
Nejprve určíme bod dotyku tečny: 𝑇[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] = 𝑇 [1,1
2], protože po dosazení 1 do zadání obdržíme druhou
souřadnici bodu rovnu jedné polovině: 𝑓(𝑥0) = 𝑦(𝑥0) =1
12+1=
1
2.
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože 𝑦′ = (1
𝑥2+1)
′
=0∙(𝑥2+1)−1∙2𝑥
(𝑥2+1)2=
−2𝑥
(𝑥2+1)2, je
směrnice tečny rovna 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′(1) =−2∙1
(12+1)2=
−2
4= −
1
2.
Tečna křivky 𝑦 =1
𝑥2+1 v bodě 𝑇 [1,
1
2] má pak rovnici:
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑡: 𝑦 −1
2= −
1
2∙ (𝑥 − 1)
𝑡: 𝑦 = −1
2𝑥 + 1
Normála křivky 𝑦 =1
𝑥2+1 v bodě 𝑇 [1,
1
2] má pak rovnici:
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑛: 𝑦 −1
2= −
1
(−1
2)
∙ (𝑥 − 1)
𝑛: 𝑦 = 2𝑥 −3
2
PŘÍKLAD:
Vypočtěme rovnici tečny a rovnici normály křivky 𝑦 =1
𝑥2+1 v bodě 𝑥0 = 0.
Nejprve určíme bod dotyku tečny: 𝑇[𝑥0, 𝑓(𝑥0)] = 𝑇[0, 1], protože po dosazení 0 do zadání obdržíme druhou
souřadnici bodu rovnu jedné: 𝑓(𝑥0) = 𝑦(𝑥0) =1
02+1= 1.
Směrnice tečny je rovna derivaci dané funkce v tomto bodě. Protože 𝑦′ =−2𝑥
(𝑥2+1)2, je směrnice tečny rovna
𝑦′(𝑥0) = 𝑦′(0) =−2∙0
(02+1)2= 0.
Tečna křivky 𝑦 =1
𝑥2+1 v bodě 𝑇[0, 1] má pak rovnici:
𝑡: 𝑦 = 𝑓(𝑥0)
𝑡: 𝑦 = 1 (v grafu červená)
Normála křivky 𝑦 =1
𝑥2+1 v bodě 𝑇[0, 1] má pak rovnici:
𝑛: 𝑥 = 𝑥0
66
𝑛: 𝑥 = 0 (v grafu růžová)
PŘÍKLAD:
Vypočtěme hodnotu čísla 𝑞, aby přímka 4𝑥 − 4𝑦 + 𝑞 = 0 byla tečnou grafu 𝑦 = −𝑥2 − 3𝑥 + 6.
K řešení využijeme rovnici tečny a vzorce pro derivování.
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑡: 𝑦 = 𝑓′(𝑥0) ∙ 𝑥 − 𝑓′(𝑥0) ∙ 𝑥0 + 𝑓(𝑥0) (1)
Převedeme zadanou přímku do tvaru (1), neboli vyjádříme 𝑦:
4𝑥 − 4𝑦 + 𝑞 = 0
4𝑦 = 4𝑥 + 𝑞
𝑡: 𝑦 = 𝑥 +𝑞
4 .
Dle (1) je zřejmé, že 𝑓′(𝑥0) = 1.
Nyní derivujeme zadaný funkční předpis paraboly a položíme jej roven právě jedné:
𝑓′(𝑥0) = −2𝑥 − 3 = 1
−2𝑥 = 4
𝑥0 = −2.
Dále dosadíme nalezený bod 𝑥0 = −2 do rovnice zadané paraboly:
𝑓(𝑥0) = 𝑓(−2) = −(−2)2 − 3(−2) + 6
𝑓(𝑥0) = 8.
A pak již můžeme ze získaných hodnot zkonstruovat rovnici tečny dle (1):
𝑡: 𝑦 = 1 ∙ 𝑥 − 1 ∙ (−2) + 8
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
67
𝑡: 𝑦 = 𝑥 + 10
Při porovnání obou výše uvedených rovnic tečny je patrné, že:
𝑞
4= 10
𝑞 = 40.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme hodnotu čísla 𝑞, aby přímka −𝑥 − 2𝑦 + 𝑞 = 0 byla normálou grafu 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 7.
K řešení využijeme rovnici normály a vzorce pro derivování:
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑛: 𝑦 = −1
𝑓′(𝑥0)∙ 𝑥 +
𝑥0
𝑓′(𝑥0)+ 𝑓(𝑥0) (2)
Převedeme zadanou přímku do tvaru (2):
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑞 = 0
−2𝑦 = 𝑥 − 𝑞
𝑛: 𝑦 = −𝑥
2+
𝑞
2 .
Dle (2) je zřejmé, že 𝑓′(𝑥0) = 2. Nyní derivujeme zadanou parabolu a derivaci položíme rovnu právě dvěma:
𝑓′(𝑥0) = 2𝑥 − 4 = 2
2𝑥 = 2 + 4
𝑥0 = 3.
Pak dosadíme nalezený bod 𝑥0 = 3 do rovnice zadané paraboly:
𝑓(𝑥0) = 𝑓(3) = (3)2 − 4 ∙ 3 + 7
𝑓(𝑥0) = 4.
A pak již můžeme zkonstruovat rovnici normály dle (2):
𝑛: 𝑦 = −1
2∙ 𝑥 +
3
2+ 4
𝑛: 𝑦 = −𝑥
2+
11
2
Při porovnání obou výše uvedených rovnic normály je patrné, že:
𝑞 = 11.
68
PŘÍKLAD:
Určete rovnici tečny a rovnici normály ke grafu funkce 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 1, která je rovnoběžná s přímkou
𝑝: 𝑦 = 4𝑥 + 3.
Hledáme bod 𝑥0 tak, že 𝑦′(𝑥0) = 𝑦𝑝′ :
2𝑥 + 4 = 4
𝑥0 = 0
Bodem dotyku je tedy bod 𝑇[0, 1], protože 𝑓(𝑥0) = 02 + 4 ∙ 0 + 1 = 1. Potom
𝑓′(𝑥0) = 2𝑥 + 4
𝑓′(0) = 4
Rovnice tečny je proto
𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑡: 𝑦 − 1 = 4 ∙ (𝑥 − 0)
𝑡: 𝑦 = 4𝑥 + 1.
Rovnice normály je pak
𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = −1
𝑓′(𝑥0)∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑛: 𝑦 − 1 = −1
4∙ (𝑥 − 0)
𝑛: 𝑦 = −1
4𝑥 + 1
3.3. DERIVACE SLOŽENÝCH FUNKCÍ
VĚTA: DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE
Má-li funkce 𝑔 derivaci v bodě 𝑥0 a funkce 𝑓 derivaci v bodě 𝑢0 = 𝑔(𝑥0), je derivace složené funkce 𝑓(𝑔(𝑥0))
rovna součinu derivací jejích jednotlivých funkcí (vnitřní a vnější), tj. (𝑓(𝑔(𝑥0)))′
= 𝑓′(𝑔(𝑥0)) ∙ 𝑔′(𝑥0).
Má-li složená funkce 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) derivaci v každém bodě intervalu (𝑎, 𝑏), pak pro její derivaci na tomto
intervalu platí 𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥).
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
69
PŘÍKLAD:
Derivujme funkce:
a) 𝑦 = sin 2𝑥, b) 𝑦 = sin2 𝑥, c) 𝑦 = sin 𝑥2
K řešení využijeme větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování.
a) Funkce 𝑦 = sin 2𝑥 má vnější funkci 𝑦 = sin(𝑢) a vnitřní funkci 𝑢 = 2𝑥. Proto
𝑦′ = sin′(𝑢) ∙ (𝑢)′ = cos(2𝑥) ∙ 2 = 2 cos 2𝑥.
b) Funkce 𝑦 = sin2 𝑥 = (sin 𝑥)2 má vnější funkci 𝑦 = (𝑢)2 a vnitřní funkci 𝑢 = sin 𝑥. Proto
𝑦′ = 2(𝑢)1 ∙ (𝑢)′ =2(sin 𝑥) ∙ cos 𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥.
c) Funkce 𝑦 = sin 𝑥2 má vnější funkci 𝑦 = sin(𝑢) a vnitřní funkci 𝑢 = 𝑥2. Proto
𝑦′ = sin′(𝑢) ∙ (𝑢)′ = cos(𝑥2) ∙ 2𝑥 = 2 𝑥 ∙ cos 𝑥2.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = √8𝑥 − 𝑥2.
K řešení využijeme větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování.
Funkce 𝑦 = √8𝑥 − 𝑥2 má vnější funkci 𝑦 = √𝑢 a vnitřní funkci 𝑢 = 8𝑥 − 𝑥2. Proto
𝑦′ =1
2√8𝑥 − 𝑥2∙ (8𝑥 − 𝑥2)′ =
1
2√8𝑥 − 𝑥2∙ (8 − 2𝑥) =
2 ∙ (4 − 𝑥)
2√8𝑥 − 𝑥2=
(4 − 𝑥)
√8𝑥 − 𝑥2 .
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑒𝑥2−2𝑥+1.
K řešení využijeme větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování.
Funkce 𝑦 = 𝑒𝑥2−2𝑥+1 má vnější funkci 𝑦 = 𝑒𝑢 a vnitřní funkci 𝑢 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. Proto
𝑦′ = 𝑒𝑥2−2𝑥+1 ∙ (𝑥2 − 2𝑥 + 1)′ = 𝑒𝑥2−2𝑥+1 ∙ (2𝑥 − 2).
Poznámka:
Při derivování vícenásobně složené funkce uplatníme pravidlo opakování. Derivace vícenásobně složené funkce
𝑦 = 𝑓 (𝑔(ℎ(𝑥))), je pak rovna součinu derivací jednotlivých funkcí:
𝑦′(𝑥) = 𝑓′ (𝑔(ℎ(𝑥))) ∙ 𝑔′(ℎ(𝑥)) ∙ ℎ′(𝑥).
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = ln3(𝑥2 − 1).
70
K řešení využijeme předchozí poznámku a vzorce pro derivování.
Funkce 𝑦 = (ln(𝑥2 − 1))3 je složena ze tří funkcí 𝑦 = (𝑢(𝑣))3
, 𝑢 = ln(𝑣), 𝑣 = 𝑥2 − 1. Pak tedy
𝑦′ = 3(ln(𝑥2 − 1))2 ∙1
𝑥2 − 1∙ 2𝑥 =
6𝑥 ∙ ln2(𝑥2 − 1)
𝑥2 − 1.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = √sin(4𝑥).
Funkce 𝑦 = √sin(4𝑥) je složena ze tří funkcí 𝑦 = √𝑢(𝑣), 𝑢 = sin(𝑣), 𝑣 = 4𝑥. Pak tedy
𝑦′ =1
2√sin 4𝑥∙ cos 4𝑥 ∙ 4 =
2 ∙ cos 4𝑥
√sin 4𝑥.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑒arctg 𝑥2.
Funkce 𝑦 = 𝑒arctg 𝑥2 je složena ze tří funkcí 𝑦 = 𝑒𝑢(𝑣), 𝑢 = arctg(𝑣), 𝑣 = 𝑥2. Pak tedy
𝑦′ = 𝑒arctg 𝑥2∙
1
1 + (𝑥2)2∙ 2𝑥 = 𝑒arctg 𝑥2
∙2𝑥
1 + 𝑥4.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑥 ∙ ln2 𝑥.
𝑦′ = (𝑥)′ ∙ ln2 𝑥 + 𝑥 ∙ (ln2 𝑥)′ = 1 ∙ ln2 𝑥 + 𝑥 ∙ 2 ∙ ln 𝑥 ∙ (ln 𝑥)′ =
= ln2 𝑥 + 𝑥 ∙ 2 ∙ ln 𝑥 ∙1
𝑥= (2 + ln 𝑥) ∙ ln 𝑥.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = (𝑥−1
𝑥+1)
2
.
𝑦′ = 2 ∙𝑥 − 1
𝑥 + 1∙ (
𝑥 − 1
𝑥 + 1)
′
= 2 ∙𝑥 − 1
𝑥 + 1∙(𝑥 − 1)′ ∙ (𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1)′
(𝑥 + 1)2=
= 2 ∙𝑥 − 1
𝑥 + 1∙1 ∙ (𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) ∙ 1
(𝑥 + 1)2=
= 2 ∙𝑥 − 1
𝑥 + 1∙
2
(𝑥 + 1)2=
= 4 ∙𝑥 − 1
(𝑥 + 1)3 .
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
71
Poznámka:
Při výpočtu derivace obecné exponenciální funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), kde 𝑓(𝑥) > 0, využijeme vyjádření pomocí
exponenciální a logaritmické funkce ve tvaru:
𝑦 = 𝑒𝑔(𝑥) ∙ ln 𝑓(𝑥).
Tuto funkci pak můžeme derivovat jako složenou funkci.
PŘÍKLAD:
Derivujme funkci 𝑦 = 𝑥sin 𝑥 pro 𝑥 > 0.
K řešení využijeme předchozí poznámku, větu o derivaci složené funkce a vzorce pro derivování.
Přepíšeme si funkci pomocí exponenciální a logaritmické funkce:
𝑦 = 𝑥sin 𝑥 = 𝑒sin𝑥 ∙ ln 𝑥 .
Nyní funkci můžeme derivovat jako složenou funkci.
𝑦′ = 𝑒sin 𝑥 ∙ ln 𝑥 ∙ (cos 𝑥 ∙ ln 𝑥 + sin 𝑥 ∙1
𝑥)
𝑦′ = 𝑥sin 𝑥 ∙ (cos 𝑥 ∙ ln 𝑥 + sin 𝑥 ∙1
𝑥).
3.4. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ
Derivaci 𝑓′ funkce 𝑓 nazýváme derivací 1. řádu neboli první derivací funkce 𝑓.
DEFINICE: DERIVACE DRUHÉHO ŘÁDU
Nechť 𝑓 je funkce a bod 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓). Existuje-li limita limℎ→0
𝑓′(𝑥0+ℎ)−𝑓′(𝑥0)
ℎ, nazýváme ji druhou derivací funkce 𝑓
v bodě 𝑥0 a značíme ji 𝑓′′(𝑥0).
Podobně lze definovat derivaci n-tého řádu: 𝑓(𝑛)(𝑥0) = (𝑓(𝑛−1)(𝑥0))′
.
Poznámka:
Derivaci 2. řádu neboli druhou derivaci funkce 𝑓 prakticky počítáme jako (𝑓′)′, tj. derivaci první derivace funkce
𝑓 a značíme ji 𝑓′′(𝑥). Podobně počítáme derivaci 3. řádu 𝑓′′′(𝑥) = (𝑓′′(𝑥))′.
První, druhou a třetí derivaci označujeme čárkami. Čtvrtou a vyšší derivaci pak značíme arabskou číslicí
v závorce.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme derivaci druhého řádu funkce 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 17.
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci: 𝑦′ = 3𝑥2 + 4𝑥 − 1.
72
Potom 𝑦′′ = (3𝑥2 + 4𝑥 − 1)′ = 6𝑥 + 4.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme derivaci druhého řádu funkce 𝑦 = 𝑥 ∙ ln 𝑥.
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci: 𝑦′ = 1 ∙ ln 𝑥 + 𝑥 ∙1
𝑥= ln 𝑥 + 1.
Potom 𝑦′′ = (ln 𝑥 + 1)′ =1
𝑥.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme derivaci druhého řádu funkce 𝑦 =𝑥2
1−𝑥 .
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci: 𝑦′ =2𝑥∙(1−𝑥)−𝑥2∙(−1)
(1−𝑥)2=
2𝑥−𝑥2
(1−𝑥)2 .
Potom
𝑦′′ = (2𝑥 − 𝑥2
(1 − 𝑥)2)
′
=(2 − 2𝑥) ∙ (1 − 𝑥)2 − (2𝑥 − 𝑥2) ∙ 2 ∙ (1 − 𝑥) ∙ (−1)
(1 − 𝑥)4=
=(1 − 𝑥) ∙ ((2 − 2𝑥) ∙ (1 − 𝑥) − (−2) ∙ (2𝑥 − 𝑥2))
(1 − 𝑥)4
Po úpravě 𝑦′′ =2
(1−𝑥)3 .
PŘÍKLAD:
Vypočtěme derivaci třetího řádu funkce 𝑦 = arctg 𝑥 v bodě 𝑥0 = 0.
Nejprve vypočteme a upravíme první derivaci:
𝑦′ =1
1 + 𝑥2= (1 + 𝑥2)−1.
Potom druhou:
𝑦′′ = ((1 + 𝑥2)−1)′ = (−1) ∙ (1 + 𝑥2)−2 ∙ 2𝑥 =−2𝑥
(1 + 𝑥2)2 .
Třetí derivace je pak
𝑦 ′′′ =(−2) ∙ (1 + 𝑥2)2 − (−2𝑥) ∙ 2 ∙ (1 + 𝑥2) ∙ 2𝑥
(1 + 𝑥2)4 .
V bodě 𝑥0 = 0 je třetí derivace rovna
𝑦 ′′′(0) =(−2) ∙ (1 + 0)2 − (−2 ∙ 0) ∙ 2 ∙ (1 + 0) ∙ 2 ∙ 0
(1 + 0)4= −2 .
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
73
Poznámka: Ekonomické aplikace derivace
MIKROEKONOMIE - Kardinalistické pojetí optima spotřebitele - Přebytek spotřebitele
PŘÍKLAD:
Celkový užitek statku 𝑥 je dán rovnicí 𝑇𝑈 =𝑥3
3− 8𝑥2 + 60𝑥. Cena statku 𝑥 je 21 Kč. Spočítejte optimum
spotřebitele.
𝑇𝑈 =𝑥3
3− 8𝑥2 + 60𝑥
𝑃𝑥 = 21 Kč
Teorie: Bod optima spotřebitele je dán průsečíkem 𝑀𝑈 a přímky
dané konstantní cenou, neboť spotřebitel je ochoten zaplatit za
statek maximálně tolik jednotek Kč, kolik mu daný statek přináší
užitku.
Řešení (Bod optima):
𝑇𝑈′ = 𝑀𝑈 = 𝑥2 − 16𝑥 + 60
Podmínka optima:
𝑃𝑥 = 𝑀𝑈 →
→ 21 = 𝑥2 − 16𝑥 + 60 → 𝑥1,2= {13, 3}
Protože 𝑀𝑈 (mezní užitek) je klesající, bereme v potaz jen kořen v klesající části paraboly, tj. 𝑥2 = 3.
Optimum spotřebitele jsou tedy 3 jednotky statku 𝑥 v celkové výši 63 Kč.
3.5. CVIČENÍ
1) Derivujte:
a) 𝑦 = 3𝑥 ∙ ln 𝑥 ;
b) 𝑦 = 𝑥2 ∙ √𝑥 + 10;
c) 𝑦 = ln 2 + 𝑥3 ∙ sin 𝑥 ;
d) 𝑦 = 𝑥2 ∙ 𝑒𝑥 − 4 ∙ arctg 𝑥.
[a) 𝑦′ = 3 ∙ (ln 𝑥 + 1);
b) 𝑦′ =5
2𝑥√𝑥 ;
c) 𝑦′ = 3𝑥2 ∙ sin 𝑥 + 𝑥3 ∙ cos 𝑥 ;
Q
P, U
P*
Q*
E
MU
74
d) 𝑦′ = 𝑒𝑥(𝑥2 + 2𝑥) −4
1+𝑥2 . ]
2) Derivujte:
a) 𝑦 =𝑥+sin𝑥
𝜋;
b) 𝑦 =𝑥
𝑥2+1;
c) 𝑦 =sin 𝑥−1
cos 𝑥−1;
d) 𝑦 =2−√𝑥
𝑥 .
[a) 𝑦′ =1+cos 𝑥
𝜋; b) 𝑦′ =
1−𝑥2
(1+𝑥2)2;
c) 𝑦′ =1−sin 𝑥−cos 𝑥
(cos 𝑥−1)2; d) 𝑦′ =
√𝑥−4
2𝑥2 .]
3) Vypočtěte hodnotu první derivace dané funkce v bodě 𝑥0:
a) 𝑦 =1−2𝑥
𝑥3 , v bodě 𝑥0 = −1;
b) 𝑦 =sin 𝑥
𝑥2 , v bodě 𝑥0 = 𝜋;
c) 𝑦 = 𝑥 ∙ ln 𝑥, v bodě 𝑥0 = 𝑒;
d) 𝑦 =√𝑥+1
√𝑥−1, v bodě 𝑥0 = 4.
[a) 𝑦′ = −7; b) 𝑦′ = −1
𝜋2 ; c) 𝑦′ = 2; d) 𝑦′ = −1
2 .]
4) Vypočtěte rovnici tečny a normály dané křivky v bodě 𝑥0:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥, v bodě 𝑥0 = −1;
b) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥, v bodě 𝑥0 = 𝑒;
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 5) ∙ 𝑒2𝑥−10, v bodě 𝑥0 = 5;
d) 𝑓(𝑥) =2𝑥2−𝑥
𝑥+3, v bodě 𝑥0 = 0.
[a) 𝑡: 𝑦 = −𝑒 ∙ 𝑥, 𝑛: 𝑦 =1
𝑒∙ 𝑥 +
1+𝑒2
𝑒;
b) 𝑡: 𝑦 = −𝑥
𝑒+ 2, 𝑛: 𝑦 = 𝑒 ∙ 𝑥 − 𝑒2 + 1;
c) 𝑡: 𝑦 = 21𝑥 − 95, 𝑛: 𝑦 = −1
21𝑥 +
215
21;
d) 𝑡: 𝑦 = −1
3𝑥, 𝑛: 𝑦 = 3𝑥.]
5) Derivujte složenou funkci:
a) 𝑦 = cos(3𝑥2 + 1) ;
b) 𝑦 = 2 ∙ arctg(𝑥3 − 2);
c) 𝑦 = 𝑒arcsin 𝑥;
d) 𝑦 = 𝑥 ∙ ln(𝑥2 − 1) ;
Kap
ito
la: D
ERIV
AC
E FU
NK
CÍ
75
e) 𝑦 = arctg (𝑥+1
𝑥−1) ;
f) 𝑦 = √cos 𝑥2 − 13
.
[a) 𝑦′ = −sin(3𝑥2 + 1) ∙ 6𝑥 ;
b) 𝑦′ =6𝑥2
1+(𝑥3−2)2;
c) 𝑦′ = 𝑒arcsin 𝑥 ∙1
√1−𝑥2;
d) 𝑦′ = ln(𝑥2 − 1) +2𝑥2
𝑥2−1;
e) 𝑦′ = −1
𝑥2+1;
f) 𝑦′ =−2𝑥 sin 𝑥2
3∙ √(cos 𝑥2−1)23 .]
6) Vypočtěte hodnotu první derivace dané složené funkce v bodě 𝑥0:
a) 𝑦 = (cos 2𝑥 + 1)2, v bodě 𝑥0 =𝜋
4;
b) 𝑦 = 𝑒𝑥2
2𝑥+1, v bodě 𝑥0 = −1;
c) 𝑦 = ln√𝑥−2
𝑥+2, v bodě 𝑥0 = 0.
[a) 𝑦′ = −4; b) 𝑦′ = 0; c) 𝑦′ = −1
2 .]
7) Vypočtěte derivaci druhého řádu dané funkce:
a) 𝑦 = cos2 𝑥 ;
b) 𝑦 =3−𝑥
𝑥2 ;
c) 𝑦 =ln 𝑥
𝑥 .
[a) 𝑦′′ = −2 cos 2𝑥 ;
b) 𝑦′′ = 𝑒𝑥 ∙ (𝑥2 + 4𝑥 + 2);
c) 𝑦′′ =2 ln 𝑥−3
𝑥3 .]
8) Vypočtěte derivaci vyšších řádů dané funkce:
a) 𝑦 = sin2 𝑥 , 𝑦′′′ = ? ;
b) 𝑦 =𝑥
𝑥2−1, 𝑦′′′ = ?
[a) 𝑦′′′ = −4 sin 2𝑥 ;
b) 𝑦′′′ =−6𝑥4−36𝑥2−6
(𝑥2−1)4 .]
76
4. UŽITÍ DERIVACÍ
4.1. VĚTY O STŘEDNÍ HODNOTĚ
VĚTA: ROLLEOVA VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ
Nechť je funkce 𝑓 spojitá na uzavřeném intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ ⊂ 𝐷𝑓, nechť má vlastní derivaci 𝑓′(𝑥) v každém bodě 𝑥
otevřeného intervalu (𝑎, 𝑏) a platí 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Pak existuje bod 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tak, že 𝑓′(𝑐) = 0.
Obrázek 33: Rolleova věta
VĚTA: LAGRANGEOVA VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ
Nechť je funkce 𝑓 spojitá na uzavřeném intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ ⊂ 𝐷𝑓 , má vlastní derivaci 𝑓′(𝑥) v každém bodě 𝑥
otevřeného intervalu (𝑎, 𝑏). Pak existuje bod 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tak, že platí:
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐) ∙ (𝑏 − 𝑎), tj. 𝑓′(𝑐) =𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎= 𝑘𝑡 .
Obrázek 34: Lagrangeova věta
VĚTA: CAUCHYOVA VĚTA O STŘEDNÍ HODNOTĚ
Nechť funkce 𝑓, 𝑔 jsou spojité na uzavřeném intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩ ⊂ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 , které mají vlastní derivace 𝑓′(𝑥), 𝑔′(𝑥)
v každém bodě 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Pak existuje bod 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tak, že platí:
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
77
𝑔′(𝑐) ∙ (𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)) = 𝑓′(𝑐) ∙ (𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)).
Jedná se o zobecnění Lagrangeovy věty.
Geometrický význam. Označme body roviny 𝐴[𝑎, 𝑓(𝑎)], 𝐵[𝑏, 𝑓(𝑏)]. Je-li 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), Rolleova věta zaručuje
(za dalších předpokladů), že existuje alespoň jeden vnitřní bod 𝑐, v němž je derivace nulová, tj. tečna ke grafu
funkce 𝑓 v bodě [𝑐, 𝑓(𝑐)] je rovnoběžná s osou 𝑥. Na obr. 33 jsou takové body dva: 𝑐1 a 𝑐2. Pokud je funkce
konstatní jsou takovými body 𝑐 všechny body otevřeného intervalu (𝑎, 𝑏).
Lagrangeova věta, která ji zobecňuje, pak říká, že existuje alespoň jeden vnitřní bod 𝑐 takový, že tečna v bodě
[𝑐, 𝑓(𝑐)] je rovnoběžná s úsečkou 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , viz obr. 34.
I Cauchyovu větu lze znázornit obdobně na křivce dané parametricky.
Výše uvedené věty lze použít např. při důkazu l’Hospitalova pravidla nebo u Lagrangeova tvaru zbytku
Taylorova polynomu, viz odstavec 7.4.
4.2. L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
L’Hospitalovo pravidlo je velmi silným prostředkem k výpočtu limit.
DEFINICE: NEURČITÉ VÝRAZY TYPU ‖ 0
0 ‖ , ‖
∞
∞ ‖
Říkáme, že podíl 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) je pro 𝑥 → 𝑥0 neurčitý výraz typu ‖
0
0 ‖, jestliže je:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 0.
Říkáme, že podíl 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) je pro 𝑥 → 𝑥0 neurčitý výraz typu ‖
∞
∞ ‖, jestliže je:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) =±∞, lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = ±∞.
V definici je kromě limitního přechodu 𝑥 → 𝑥0 možné uvažovat kterýkoli z dříve popsaných limitních přechodů
𝑥 → 𝑥0+, 𝑥 → 𝑥0
−, 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞.
Obdobně se definují další neurčité výrazy typů ‖ ∞ − ∞ ‖, ‖ 0 ∙ ∞ ‖, ‖ 00 ‖, ‖ ∞0 ‖, ‖ 1∞ ‖. Např. neurčitým
výrazem typu ‖ 00 ‖ rozumíme lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), kde:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 0.
Výpočet limit těchto neurčitých výrazů můžeme provádět pomocí tzv. l’Hospitalova pravidla (čteme
[lopitalova]).
78
VĚTA: L’HOSPITALOVO PRAVIDLO
Je-li 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) neurčitým výrazem typu ‖
0
0 ‖ nebo neurčitým výrazem typu ‖
∞
∞ ‖ a existuje-li lim
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥), pak existuje
také lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) a platí:
lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥) .
Poznámka:
L’Hospitalovo pravidlo pak můžeme využít i pro případ limity ‖ konstanta
∞ ‖.
L’Hospitalovo pravidlo je tedy velmi silným prostředkem k výpočtu limit, nikoliv však univerzálním – lim𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
nemusí existovat, což však neznamená, že neexistuje lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥). Např.
lim𝑥→∞
𝑥 + sin 𝑥
𝑥 + cos 𝑥= ‖
∞
∞ ‖
L’Hospitalovo pravidlo zde ale použít nelze, protože lim𝑥→∞
1+cos 𝑥
1−sin 𝑥 neexistuje. Proto počítejme danou limitu jiným
způsobem:
lim𝑥→∞
𝑥 (1 +sin 𝑥
𝑥)
𝑥 (1 +cos 𝑥
𝑥)
= 1 ,
neboť lim𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥= lim
𝑥→∞
cos 𝑥
𝑥= 0.
Předpoklady l’Hospitalova pravidla jsou tedy velmi důležité.
Uvědomme si dále, že l’Hospitalovo pravidlo též nelze použít pro případ limity ‖ konstanta
0 ‖. Je totiž podstatné,
aby limita čitatele i jmenovatele byla 0 . Např. lim𝑥→−1
arctg 𝑥
𝑥+1=
−𝜋
4
0= ‖
konstanta
0 ‖ nelze řešit s využitím
l’Hospitalova pravidla. Tento typ limit se řeší pomocí jednostranných limit, což jsme si ukázali v odstavci 2.3.3.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→1
𝑥3−2𝑥2−𝑥+2
𝑥3−7𝑥+6.
Protože po dosazení 1 obdržíme lim𝑥→1
(𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2) = 0 a lim𝑥→1
(𝑥3 − 7𝑥 + 6) = 0, jedná se o typ ‖ 0
0 ‖.
Použitím l’Hospitalova pravidla pak dostaneme:
lim𝑥→1
𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2
𝑥3 − 7𝑥 + 6= ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→1
(𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2)′
(𝑥3 − 7𝑥 + 6)′=
= lim𝑥→1
3𝑥2 − 4𝑥 − 1
3𝑥2 − 7= ‖
3 − 4 − 1
3 − 7‖ = ‖
−2
−4‖ =
1
2.
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
79
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→0
sin𝑥
3𝑥.
Po dosazení 0 do čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ 0
0 ‖. Použitím l’Hospitalova pravidla pak dostaneme:
lim𝑥→0
sin 𝑥
3𝑥= ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→0
(sin 𝑥)′
(3𝑥)′= lim
𝑥→0
cos 𝑥
3=
1
3 .
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
ln 𝑥
5𝑥.
Po výpočtu limit pro 𝑥 → ∞ čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ∞
∞ ‖. Použitím l’Hospitalova pravidla pak
dostaneme:
lim𝑥→∞
ln 𝑥
5𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→∞
(ln 𝑥)′
(5𝑥)′= lim
𝑥→∞
1
𝑥
5= lim
𝑥→∞
1
5𝑥= ‖
1
∞ ‖ = 0.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2.
Po výpočtu limit pro 𝑥 → ∞ čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ∞
∞ ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova
pravidla dostaneme:
lim𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2= ‖
∞
∞ ‖= lim
𝑥→∞
(𝑒𝑥)′
(𝑥2)′= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2= ‖
∞
2 ‖ = ∞.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
𝑥 ∙ ln 𝑥
𝑥2+𝑥+1.
Po výpočtu limit pro 𝑥 → ∞ čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ∞
∞ ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova
pravidla dostaneme:
lim𝑥→∞
𝑥 ∙ ln 𝑥
𝑥2 + 𝑥 + 1= ‖
∞
∞ ‖= lim
𝑥→∞
(𝑥 ∙ ln 𝑥)′
(𝑥2 + 𝑥 + 1)′= lim
𝑥→∞
ln 𝑥 + 1
2𝑥 + 1= ‖
∞
∞ ‖ =
= lim𝑥→∞
1
𝑥
2= lim
𝑥→∞
1
2𝑥= ‖
1
∞ ‖ = 0 .
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→0
sin𝑥−𝑥
𝑥 ∙ sin 𝑥.
80
Po dosazení 0 do čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ 0
0 ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova pravidla
dostaneme:
lim𝑥→0
sin 𝑥 − 𝑥
𝑥 ∙ sin 𝑥= ‖
0
0 ‖= lim
𝑥→0
(sin 𝑥 − 𝑥)′
(𝑥 ∙ sin 𝑥)′= lim
𝑥→0
cos 𝑥 −1
sin 𝑥 + 𝑥 ∙ cos 𝑥= ‖
0
0 ‖ =
= lim𝑥→0
− sin 𝑥
cos 𝑥 + cos 𝑥 − 𝑥 ∙ sin 𝑥= ‖
0
2 ‖ = 0.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
3𝑥4−2𝑥3−𝑥2−5𝑥+15
𝑒𝑥 .
Po výpočtu limit pro 𝑥 → ∞ čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ ∞
∞ ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova
pravidla dostaneme:
lim𝑥→∞
3𝑥4 − 2𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 + 15
𝑒𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→∞
12𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 − 5
𝑒𝑥= ‖
∞
∞ ‖ =
= lim𝑥→∞
36𝑥2 − 12𝑥 − 2
𝑒𝑥= ‖
∞
∞ ‖= lim
𝑥→∞
72𝑥 − 12
𝑒𝑥= lim
𝑥→∞
72
𝑒𝑥= ‖
72
∞ ‖ = 0.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→0
𝑥−sin 𝑥
sin3 𝑥.
Po dosazení 0 do čitatele i jmenovatele obdržíme typ ‖ 0
0 ‖. Opětovným použitím l’Hospitalova pravidla
dostaneme:
lim 𝑥→0
𝑥 − sin 𝑥
sin3 𝑥= ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
3 ∙ sin2 𝑥 ∙ cos 𝑥= ‖
0
0 ‖ =
= lim𝑥→0
sin 𝑥
6 sin 𝑥 cos2 𝑥 − 3 sin3 𝑥=‖
0
0 ‖ =
= lim𝑥→0
cos 𝑥
6 cos3 𝑥 − 6 ∙ 2 ∙ sin2 𝑥 ∙ cos 𝑥 − 9 sin2 𝑥 ∙ cos 𝑥=
1
6 .
Poznámka:
U některých příkladů se doporučuje využívat krácení. Např. pokud jsou v zadání goniometrické funkce apod.
Všimněme si, jak se výpočet u předchozího příkladu zjednoduší:
lim𝑥→0
𝑥 − sin 𝑥
sin3 𝑥= ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
3 ∙ sin2 𝑥 ∙ cos 𝑥= ‖
0
0 ‖ =
= lim𝑥→0
sin 𝑥
6 sin 𝑥 cos2 𝑥 − 3 sin3 𝑥= lim
𝑥→0
sin 𝑥
sin 𝑥 ∙ (6 cos2 𝑥 − 3 sin2 𝑥)=
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
81
= lim𝑥→0
1
6 cos2 𝑥 − 3 sin2 𝑥=
1
6 .
PŘÍKLAD:
Vypočtěme limity v krajních bodech 𝐷(𝑓) a bodech nespojitosti funkce 𝑓(𝑥) =2𝑥2−10𝑥+12
𝑥2−2𝑥 .
K řešení využijeme dosavadní znalosti o limitách.
Definiční obor funkce je 𝐷(𝑓) = 𝑅 − {0; 2}.
Limity v krajních bodech 𝐷(𝑓):
lim𝑥→±∞
2𝑥2 − 10𝑥 + 12
𝑥2 − 2𝑥= lim
𝑥→±∞
𝑥2 (2 − 10
𝑥 +
12
𝑥2)
𝑥2 (1 − 2
𝑥)
= lim𝑥→±∞
2 − 10
𝑥 +
12
𝑥2
1 − 2
𝑥
= ‖ 2 − 0 + 0
1 − 0 ‖ =2
nebo využijeme l’Hospitalova pravidla:
lim𝑥→±∞
2𝑥2 − 10𝑥 + 12
𝑥2 − 2𝑥=‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→±∞
4𝑥 − 10
2𝑥 − 2= ‖
∞
∞ ‖ =
4
2= 2.
Body nespojitosti jsou dva: 𝑥 = 0, 𝑥 = 2. Vypočítáme limity v těchto bodech nespojistosti funkce:
lim𝑥→0
2𝑥2 − 10𝑥 + 12
𝑥2 − 2𝑥= lim
𝑥→0
2(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 − 2)= lim
𝑥→0
2(𝑥 − 3)
𝑥=‖
−6
0 ‖
Je tedy nutné vypočítat jednostranné limity:
lim𝑥→0+
2𝑥2 − 10𝑥 + 12
𝑥2 − 2𝑥=‖
12
0− ‖ = −∞
lim𝑥→0−
2𝑥2 − 10𝑥 + 12
𝑥2 − 2𝑥=‖
12
0+ ‖ = +∞
Tedy lim𝑥→0
2𝑥2−10𝑥+12
𝑥2−2𝑥 neexistuje.
lim𝑥→2
2𝑥2 − 10𝑥 + 12
𝑥2 − 2𝑥= lim
𝑥→2
2(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 − 2)= lim
𝑥→2
2(𝑥 − 3)
𝑥= ‖
2(2 − 3)
2 ‖ = −1.
Dále se budeme zabývat neurčitými výrazy typu ‖ ∞ − ∞ ‖, ‖ 0 ∙ ∞ ‖, ‖ 00 ‖, ‖ ∞0 ‖, ‖ 1∞ ‖.
Ukážeme, jak lze tyto neurčité výrazy upravit na tvar typu ‖ 0
0 ‖ nebo ‖
∞
∞ ‖, které nám umožní dokončit
výpočet pomocí l’Hospitalova pravidla.
4.2.1. NEURČITÝ VÝRAZ TYPU ‖ 0 ∙ ∞ ‖
Neurčitý výraz typu ‖ 0 ∙ ∞ ‖ převedeme na neurčitý výraz typu ‖ 0
0 ‖ nebo ‖
∞
∞ ‖ podle schématu:
82
𝐴 ∙ 𝐵 =𝐴1
𝐵
nebo 𝐴 ∙ 𝐵 =𝐵1
𝐴
.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
𝑥 ∙ sin1
𝑥.
K řešení využijeme předchozí schéma, l’Hospitalovo pravidlo a vzorce pro derivování.
Po dosazení ∞ do zadání obdržíme typ ‖ ∞ ∙ 0 ‖. Použitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→∞
𝑥 ∙ sin1
𝑥= ‖ ∞ ∙ 0 ‖ = lim
𝑥→∞
sin1
𝑥1
𝑥
= ‖ 0
0 ‖ =
= lim𝑥→∞
cos1
𝑥(−
1
𝑥2)
−1
𝑥2
= lim𝑥→∞
cos1
𝑥=‖ cos 0‖ = 1.
Snadno se přesvědčíme, že převedení na tvar lim𝑥→∞
𝑥1
sin1𝑥
= ‖ ∞
∞ ‖ není výhodné.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
𝑥 ∙ arccotg 𝑥.
Po dosazení ∞ do zadání obdržíme typ ‖ ∞ ∙ 0 ‖. Použitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→∞
𝑥 ∙ arccotg 𝑥 = ‖ ∞ ∙ 0 ‖ = lim𝑥→∞
arccotg 𝑥1
𝑥
= ‖ 0
0 ‖ =
= lim𝑥→∞
−1
1+𝑥2
−1
𝑥2
= lim𝑥→∞
𝑥2
1 + 𝑥2= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→∞
2𝑥
2𝑥= lim
𝑥→∞1 = 1.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
𝑥 ∙ 𝑒−𝑥.
Po dosazení ∞ do zadání obdržíme typ ‖ ∞ ∙ 0 ‖. Použitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→∞
𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 = ‖ ∞ ∙ 0 ‖ = lim𝑥→∞
𝑥
𝑒𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→∞
1
𝑒𝑥= ‖
1
∞ ‖ = 0.
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
83
4.2.1. NEURČITÝ VÝRAZ TYPU ‖ ∞ − ∞ ‖
U neurčitého výrazu typu ‖ ∞ − ∞ ‖ se zpravidla jedná o rozdíl lomených funkcí. Převedením na společného
jmenovatele obdržíme neurčitý výraz typu ‖ 0
0 ‖ nebo ‖
∞
∞ ‖.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→1
(2
𝑥2−1−
1
𝑥−1).
K řešení využijeme l’Hospitalovo pravidlo a vzorce pro derivování.
Po dosazení 1 do zadání obdržíme typ ‖ ∞ − ∞ ‖ . Převedením na společného jmenovatele a využitím
l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→1
(2
𝑥2 − 1−
1
𝑥 − 1) = ‖ ∞ − ∞ ‖ = lim
𝑥→1(2 − (𝑥 + 1)
𝑥2 − 1) =
lim𝑥→1
(−𝑥 + 1
𝑥2 − 1) = ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→1(−1
2𝑥) = −
1
2 .
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→0
(1
sin𝑥−
1
tg𝑥).
Po dosazení 0 do zadání obdržíme typ ‖ ∞ − ∞ ‖ . Převedením na společného jmenovatele a využitím
l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→0
(1
sin 𝑥−
1
tg 𝑥) = ‖ ∞ − ∞ ‖ = lim
𝑥→0(
1
sin 𝑥−
cos 𝑥
sin 𝑥) =
lim𝑥→0
(1 − cos 𝑥
sin 𝑥) = ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→0(sin 𝑥
cos 𝑥) = 0.
4.2.2. NEURČITÉ VÝRAZY TYPU ‖ 00 ‖, ‖ ∞0 ‖, ‖ 1∞ ‖
Neurčité výrazy typu ‖ 00 ‖, ‖ ∞0 ‖, ‖ 1∞ ‖ řešíme užitím schématu:
lim𝑥→𝑥0
𝐴𝐵 = lim𝑥→𝑥0
𝑒𝐵∙ln 𝐴 = 𝑒lim
𝑥→𝑥0(𝐵∙ln 𝐴)
, pro 𝐴 kladné,
jehož pomocí výpočet převedeme na typ ‖ 0 ∙ ∞ ‖.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→∞
𝑥 1
𝑥.
K řešení využijeme předchozí schéma, l’Hospitalovo pravidlo a vzorce pro derivování.
Po dosazení ∞ do zadání obdržíme typ ‖ ∞0 ‖. Využitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
84
lim𝑥→∞
𝑥1
𝑥 = ‖ ∞0 ‖ = lim𝑥→∞
𝑒 1
𝑥 ∙ln 𝑥 =𝑒
lim 𝑥→∞
1
𝑥 ∙ln 𝑥
= 𝑒𝐿 ,
kde
𝐿 = lim 𝑥→∞
1
𝑥∙ ln 𝑥 = lim
𝑥→∞
ln 𝑥
𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→∞
1
𝑥
1= ‖
1
∞ ‖ = 0,
potom
lim𝑥→∞
𝑥1
𝑥 = 𝑒𝐿 = 𝑒0 = 1.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→0+
𝑥 3
4+ln𝑥.
Po dosazení 0+ do zadání obdržíme typ ‖ 00 ‖. Využitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→0+
𝑥 3
4+ln𝑥 = ‖ 00‖ = lim𝑥→0+
𝑒 3
4+ln𝑥 ∙ln 𝑥 = 𝑒
lim 𝑥→0+
3
4+ln𝑥 ∙ln 𝑥
= 𝑒𝐿 ,
kde
𝐿 = lim 𝑥→0+
3
4 + ln 𝑥∙ ln 𝑥 = lim
𝑥→0+
3 ∙ ln 𝑥
4 + ln 𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→0+
3 ∙1
𝑥1
𝑥
= 3,
potom
lim𝑥→0+
𝑥 3
4+ln𝑥 = 𝑒𝐿 = 𝑒3.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme lim𝑥→0+
(𝑒𝑥 + 𝑥) 1
𝑥.
Po dosazení 0+ do zadání obdržíme typ ‖ 1∞ ‖. Využitím schématu a l’Hospitalova pravidla dostaneme:
lim𝑥→0+
(𝑒𝑥 + 𝑥) 1
𝑥 = ‖ 1∞‖ = lim𝑥→0+
𝑒 1
𝑥 ∙ln(𝑒𝑥+𝑥) =𝑒
lim 𝑥→0+
1
𝑥 ∙ln(𝑒𝑥+𝑥)
= 𝑒𝐿 ,
kde
𝐿 = lim 𝑥→0+
1
𝑥 ∙ ln(𝑒𝑥 +𝑥) = lim
𝑥→0+
ln (𝑒𝑥 +𝑥)
𝑥= ‖
0
0 ‖ = lim
𝑥→0+
1
𝑒𝑥+𝑥∙ (𝑒𝑥 + 1)
1=
= lim 𝑥→0+
𝑒𝑥 + 1
𝑒𝑥 + 𝑥= ‖
2
1 ‖ = 2.
potom
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
85
lim𝑥→0+
(𝑒𝑥 + 𝑥) 1
𝑥 = 𝑒𝐿 = 𝑒2.
4.3. ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE
Při určování rovnice tečny ke grafu funkce 𝑓(𝑥) v bodě [𝑥0, 𝑓(𝑥0)] jsme předpokládali, že funkce 𝑓 je v bodě 𝑥0
definovaná. Nyní se budeme zabývat případy:
funkce 𝑓 není v bodě 𝑥0 definovaná,
bod 𝑥0 je nevlastním bodem,
funkce 𝑓 je definovaná v bodě 𝑥0, ale není zde spojitá.
„Tečny“ grafu funkce v těchto bodech se nazývají asymptoty grafu funkce.
Asymptotu grafu funkce tedy chápeme jako přímku, ke které se graf funkce „neomezeně přibližuje“, když se
vzdaluje od počátku.
Funkce nemusí mít žádnou asymptotu, nebo jich může mít několik. Žádnou asymptotu nemají například
elementární funkce 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = arcsin 𝑥 a funkce, které vzniknou jejich sčítáním,
odečítáním, násobením, apod. Naproti tomu exponenciální, logaritmické a racionální lomené funkce obvykle
alespoň jednu asymptotu mají.
DEFINICE: ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE
Říkáme, že přímka 𝑥 = 𝑥0 je asymptotou bez směrnice (svislou asymptotou) grafu funkce 𝑓(𝑥), jestliže v bodě
𝑥0 , ve kterém 𝑓 není definována nebo je nespojitá, nastane některý z těchto čtyř případů:
lim𝑥→𝑥0
+𝑓(𝑥) = ∞, lim
𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥) = −∞, lim
𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = ∞, lim
𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥) = −∞.
PŘÍKLAD:
Přímka 𝑥 = 2 je asymptotou bez směrnice (svislou asymptotou) grafu funkce 𝑓(𝑥) =1
x−2 , neboť
lim𝑥→2+
1
𝑥 − 2= ∞, lim
𝑥→2−
1
𝑥 − 2= −∞ .
Označujeme: − |
+
Symbol − |
+ označuje skutečnost, že se funkce k svislé asymptote blíží zprava k +∞ a zleva k −∞.
86
Obrázek 35: Graf funkce 𝒚 =𝟏
𝒙−𝟐
DEFINICE: ASYMPTOTA SE SMĚRNICÍ
Říkáme, že přímka 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞 je asymptotou se směrnicí (šikmou asymptotou) grafu funkce 𝑓(𝑥), jestliže platí:
v + ∞: 𝑘+ = lim𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥∈ 𝑅 , 𝑞+ = lim
𝑥→+∞(𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) ∈ 𝑅,
v − ∞: 𝑘− = lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥∈ 𝑅 , 𝑞− = lim
𝑥→−∞(𝑓(𝑥) − 𝑘𝑥) ∈ 𝑅 .
Hodnoty 𝑘+, 𝑘− se pro 𝑥 → ∞ a 𝑥 → −∞ nemusí, ale mohou sobě rovnat. Jestliže 𝑘+, 𝑘− nebo 𝑞+, 𝑞− je
nevlastní (tj. rovno ±∞), asymptota se směrnicí neexistuje. Pokud je 𝑘+ = 0 nebo 𝑘− = 0, jedná se o zvláštní
případ šikmé asymptoty, a to vodorovnou asymptotu 𝑦 = konstanta.
PŘÍKLAD:
Určeme asymptoty grafu funkce 𝑦 =𝑥2+1
𝑥+3 .
K řešení využijeme definice asymptot.
𝐷(𝑓) = 𝑅 − {−3}, tedy funkce není definovaná pro 𝑥 = −3 a v tomto bodě by proto mohla být asymptota bez
směrnice. Vypočtěme jednostranné limity:
lim𝑥→−3+
𝑥2 + 1
𝑥 + 3= ‖
10
0+ ‖ = +∞, lim
𝑥→−3−
𝑥2 + 1
𝑥 + 3 = ‖
10
0− ‖ = −∞
Limita je nevlastní jak zprava, tak zleva, proto přímka 𝑥 = −3 je asymptotou bez směrnice. Přičemž stačí
vypočítat pouze jednu z těchto jednostranných limit, abychom mohli rozhodnout o existenci asymptoty bez
směrnice. Pokud chceme načrtnout graf funkce je ale vhodné vypočítat obě tyto limity. Označujeme − |
+ .
Hledejme nyní asymptoty se směrnicí 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Podle definice vypočtěme:
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
87
𝑘+ = lim𝑥→+∞
𝑥2+1
𝑥+3
𝑥= lim
𝑥→+∞
𝑥2 + 1
𝑥 + 3∙1
𝑥= lim
𝑥→+∞ 𝑥2 + 1
𝑥2 + 3𝑥= 1
𝑞+ = lim𝑥→+∞
(𝑥2 + 1
𝑥 + 3− 1 ∙ 𝑥) = lim
𝑥→+∞(𝑥2 + 1 − 𝑥(𝑥 + 3)
𝑥 + 3) = lim
𝑥→+∞(−3𝑥 + 1
𝑥 + 3) = −3
Výpočet je pro 𝑥 → −∞ stejný.
Tedy asymptotou se směrnicí je pro 𝑥 → ±∞ přímka 𝑦 = 𝑥 − 3. Na obrázku 36 je znázorněna zadaná funkce a
obě asymptoty.
Obrázek 36
PŘÍKLAD:
Určeme asymptoty grafu funkce 𝑦 =2𝑥3
𝑥2−1.
K řešení využijeme definice asymptot.
𝐷(𝑓) = 𝑅 − {±1}, tedy funkce není definovaná pro 𝑥 = 1 a 𝑥 = −1, v těchto bodech by proto mohly být
asymptoty bez směrnice. Vypočtěme jednostranné limity:
lim𝑥→−1+
2𝑥3
𝑥2 − 1= ‖
−
0− ‖ = +∞, lim
𝑥→−1−
2𝑥3
𝑥2 − 1 = ‖
−2
0+ ‖ = −∞
lim𝑥→1+
2𝑥3
𝑥2 − 1= ‖
+
0+ ‖ = +∞, lim
𝑥→1−
2𝑥3
𝑥2 − 1 = ‖
+2
0− ‖ = −∞
Limity jsou nevlastní jak zprava, tak zleva, proto přímky 𝑥 = −1 i 𝑥 = 1 jsou asymptotami bez směrnice.
Označení u obou těchto asymptot bude − |
+ . Hledejme nyní asymptoty se směrnicí 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Podle definice
vypočtěme:
𝑘+ = lim𝑥→+∞
2𝑥3
𝑥2−1
𝑥= lim
𝑥→+∞
2𝑥3
𝑥2 − 1∙1
𝑥= lim
𝑥→+∞
2𝑥3
𝑥3 − 𝑥= 2
88
𝑞+ = lim𝑥→+∞
(2𝑥3
𝑥2 − 1− 2 ∙ 𝑥) = lim
𝑥→+∞(2𝑥3 − 2𝑥(𝑥2 − 1)
𝑥2 − 1) = lim
𝑥→+∞(
2𝑥
𝑥2 − 1) = 0
Výpočet je pro 𝑥 → −∞ stejný.
Tedy asymptotou se směrnicí je pro 𝑥 → ±∞ přímka 𝑦 = 2𝑥.
PŘÍKLAD:
Určeme asymptoty grafu funkce 𝑦 =𝑒𝑥
𝑥+1.
K řešení využijeme opět definice asymptot.
𝐷(𝑓) = 𝑅 − {−1}, tedy funkce není definovaná pro 𝑥 = −1 a v tomto bodě by proto mohla být asymptota bez
směrnice. Vypočtěme jednostranné limity:
lim𝑥→−1+
𝑒𝑥
𝑥 + 1= ‖
+
0+ ‖ = +∞, lim
𝑥→−1−
𝑒𝑥
𝑥 + 1 = ‖
1
𝑒
0− ‖ = −∞
Limita je nevlastní jak zprava, tak zleva, proto přímka 𝑥 = −1 je asymptotou bez směrnice. Označujeme − |
+ .
Hledejme nyní asymptoty se směrnicí 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Podle definice vypočtěme:
𝑘+ = lim𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥+1
𝑥= lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥 + 1∙1
𝑥= lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
𝑥2 + 𝑥=‖
∞
∞ ‖ =
= lim𝑥→+∞
𝑒𝑥
2𝑥 + 1= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→+∞
𝑒𝑥
2=‖
∞
2 ‖ = ∞
Asymptota se směrnicí pro 𝑥 → ∞ neexistuje. Ověřme nyní výpočet pro 𝑥 → −∞:
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
89
𝑘− = lim𝑥→−∞
𝑒𝑥
𝑥+1
𝑥= lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥
𝑥 + 1∙1
𝑥= lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥
𝑥2 + 𝑥= ‖
0
∞ ‖ =0
𝑞− = lim𝑥→−∞
(𝑒𝑥
𝑥 + 1− 0 ∙ 𝑥) = lim
𝑥→−∞(
𝑒𝑥
𝑥 + 1) = ‖
0
−∞ ‖ = 0
Tedy asymptotou se směrnicí je pro 𝑥 → −∞ přímka 𝑦 = 0, tzv. vodorovná asymptota, tedy osa 𝑥.
PŘÍKLAD:
Určeme asymptoty grafu funkce 𝑦 = 𝑥 − 2 arctg 𝑥.
K řešení využijeme definice asymptot.
Platí 𝐷(𝑓) = 𝑅 a daná funkce je na celém 𝐷(𝑓) spojitá, proto graf funkce nemá asymptoty bez směrnice.
Hledejme nyní asymptoty se směrnicí 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Podle definice vypočtěme:
𝑘+ = lim𝑥→+∞
𝑥 − 2 arctg 𝑥
𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→+∞
1 −2
1+𝑥2
1= 1
Protože pro x → −∞ výpočet proběne stejně, tedy 𝑘+ = 𝑘− = lim𝑥→±∞
𝑥−2arctg 𝑥
𝑥= 1.
𝑞+ = lim𝑥→+∞
(𝑥 − 2 arctg 𝑥 − 1 ∙ 𝑥) = lim𝑥→+∞
(−2 arctg 𝑥) = ‖ −2 ∙𝜋
2 ‖ = −𝜋
Pro 𝑥 → −∞ však dostaneme jiný výsledek:
𝑞− = lim𝑥→−∞
(𝑥 − 2 arctg 𝑥 − 1 ∙ 𝑥) = lim𝑥→−∞
(−2 arctg 𝑥) = ‖ −2 ∙ (−𝜋
2) ‖ = 𝜋.
Tedy pro 𝑥 → +∞ má asymptota se směrnicí rovnici 𝑦 = 𝑥 − 𝜋 a pro 𝑥 → −∞ má rovnici 𝑦 = 𝑥 + 𝜋.
90
PŘÍKLAD:
Určeme asymptoty grafu funkce 𝑦 = ln(𝑥2 + 1).
K řešení využijeme opět definice asymptot.
Platí 𝐷(𝑓) = 𝑅, protože 𝑥2 + 1 > 0, tedy 𝑥2 > −1, což platí pro všechna 𝑥 ∈ 𝑅. Daná funkce je na celém 𝐷(𝑓)
spojitá, proto graf funkce nemá asymptoty bez směrnice.
Hledejme nyní asymptoty se směrnicí 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Podle definice vypočtěme:
𝑘+ = lim𝑥→+∞
ln(𝑥2 + 1)
𝑥= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→+∞
1
𝑥2+1∙ 2𝑥
1= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥2 + 1= 0.
𝑞+ = lim𝑥→+∞
(ln(𝑥2 + 1) − 0 ∙ 𝑥) = ∞
Výpočet je pro 𝑥 → −∞ stejný.
Tedy neexistuje ani asymptota se směrnicí.
Kap
ito
la: U
ŽITÍ
DER
IVA
CÍ
91
PŘÍKLAD:
Určeme asymptoty grafu funkce 𝑦 =ln 𝑥
𝑥2 .
Definičním oborem funkce je 𝐷(𝑓) = (0,∞). Hledejme nejprve asymptoty bez směrnice (svislé asymptoty, tj.
rovnoběžné s osou 𝑦):
lim𝑥→0+
ln 𝑥
𝑥2= lim
𝑥→0+(ln 𝑥 ∙
1
𝑥2) = −∞ ∙ ∞ = −∞
Jelikož je tato limita nevlastní, má graf funkce asymptotu o rovnici 𝑥 = 0.
Dále hledejme asymptoty se směrnicí ve tvaru 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞. Podle definice vypočtěme:
𝑘+ = lim𝑥→+∞
ln 𝑥
𝑥2
𝑥= lim
𝑥→+∞
ln 𝑥
𝑥3= ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→+∞
1
𝑥
3𝑥2= lim
𝑥→+∞
1
3𝑥3= 0.
𝑞+ = lim𝑥→+∞
(ln 𝑥
𝑥2− 0 ∙ 𝑥) = ‖
∞
∞ ‖ = lim
𝑥→+∞
1
𝑥
2𝑥= lim
𝑥→+∞
1
2𝑥2= 0.
Graf funkce má tedy ještě asymptotu o rovnici 𝑦 = 0.
4.4. CVIČENÍ
1) Vypočtěte limity:
a) lim𝑥→∞
ln 𝑥
√𝑥;
b) lim𝑥→2
ln(𝑥−1)
𝑥−2;
c) lim𝑥→0
arcsin 𝑥
1−𝑒𝑥 ;
d) lim𝑥→0
𝑒𝑥−1
sin 2𝑥;
e) lim𝑥→0
sin(2𝑥4)
−6𝑥4 ;
f) lim𝑥→0
𝑒3𝑥−𝑒𝑥
4𝑥 .
[a) 0; b) 1; c) −1; d) 1
2; e) −
1
3; f)
1
2. ]
92
2) Vypočtěte limity:
a) lim𝑥→∞
2𝑥3+13
𝑥3+5𝑥2−1;
b) lim𝑥→
𝜋
2
1−sin 𝑥
1+cos 2𝑥;
c) lim𝑥→0
𝑥∙cos 𝑥−sin 𝑥
𝑥3 ;
d) lim𝑥→0
𝑥∙𝑒𝑥−𝑥
sin2 𝑥;
e) lim𝑥→−∞
4𝑥+1
𝑥3+𝑥−2;
f) lim𝑥→−∞
𝑥4−5𝑥−1
𝑥3+2𝑥+7 .
[a) 2; b) 0; c) −1
3; d) 1; e) 0; f) −∞. ]
3) Vypočtěte limity:
a) lim𝑥→0+
𝑥 ∙ ln 𝑥 ;
b) lim𝑥→1
(1
ln𝑥−
1
𝑥−1) ;
c) lim𝑥→0+
𝑥sin 𝑥 .
[a) 0; b) 1
2; c) 1. ]
4) Vypočtěte asymptoty grafu funkce:
a) 𝑦 =𝑥
𝑥2−1;
b) 𝑦 =(𝑥−1)3
(𝑥+1)2;
c) 𝑦 = √6𝑥 − 𝑥2;
d) 𝑦 =ln 𝑥2
𝑥;
e) 𝑦 =𝑥3
2(𝑥+1)2;
f) 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥2;
g) 𝑦 = 𝑥 + 2 arccotg 𝑥 ;
h) 𝑦 = 3𝑥 +3
𝑥−2;
i) 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥;
j) 𝑦 =𝑥2−1
2𝑥+4 .
[a) 𝑥 = 1, 𝑥 = −1; 𝑦 = 0 pro 𝑥 → ±∞;
b) 𝑥 = −1; 𝑦 = 𝑥 − 5 pro 𝑥 → ±∞;
c) nemá asymptoty;
d) 𝑥 = 0; 𝑦 = 0 pro 𝑥 → ±∞;
e) 𝑥 = −1; 𝑦 =𝑥
2− 1 pro 𝑥 → ±∞;
f) asymptoty bez směrnice nemá; 𝑦 = 0 pro 𝑥 → ±∞;
g) asymptoty bez směrnice nemá; 𝑦 = 𝑥 pro 𝑥 → +∞; 𝑦 = 𝑥 + 2𝜋 pro 𝑥 → −∞;
h) 𝑥 = 2; 𝑦 = 3𝑥 pro 𝑥 → ±∞;
i) asymptoty bez směrnice nemá; asymptota pro 𝑥 → +∞ neexistuje, 𝑦 = 0 pro 𝑥 → −∞;
j) 𝑥 = −2; 𝑦 =𝑥
2− 1 pro 𝑥 → ±∞.]
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DER
IVA
CE
PR
O P
RŮ
BĚH
FU
NK
CE
93
5. VÝZNAM PRVNÍ A DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
5.1. VÝZNAM PRVNÍ DERIVACE PRO VYŠETŘENÍ MONOTONIE FUNKCE
Pomocí první derivace lze vyšetřovat monotonii funkce, tj. intervaly, kde funkce roste, či klesá.
VĚTA: VÝZNAM PRVNÍ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
Nechť funkce 𝑓 má vlastní první derivaci ve všech bodech otevřeného intevalu 𝐼 ⊂ 𝐷(𝑓). Potom platí
je-li 𝑓´(𝑥) > 0 pro každé 𝑥 ∈ 𝐼, pak je 𝑓 rostoucí na 𝐼;
je-li 𝑓´(𝑥) < 0 pro každé 𝑥 ∈ 𝐼, pak je 𝑓 klesající na 𝐼;
je-li 𝑓´(𝑥) = 0 pro každé 𝑥 ∈ 𝐼, pak je 𝑓 konstantní na 𝐼.
Pokud na intervalu 𝐼 existuje bod 𝑥0, pro který platí, že 𝑓´(𝑥0) = 0, nazýváme tento bod stacionární.
V případě, že je funkce navíc (jednostranně) spojitá v některém z krajních bodů intervalu 𝐼, platí příslušná
vlastnost na intervalu obsahujícím tento krajní bod (tyto krajní body). Tedy funkce může být rostoucí, resp.
klesající, i na uzavřeném či polouzavřeném intervalu.
Postup při vyšetřování monotonie funkce můžeme shrnout do následujících kroků:
1) Určíme definiční obor funkce.
2) Vypočítáme první derivaci zadané funkce.
3) Určíme stacionární body dané funkce, tzn. vypočítáme, ve kterých bodech je první derivace rovna
nule. Určíme také body, ve kterých derivace neexistuje.
4) V intervalech, které jsou tvořeny definičním oborem rozděleným pomocí bodů nalezených
v předchozím kroku, určíme znaménka derivace. V intervalech, kde je derivace kladná, je funkce
rostoucí, v intervalech, kde je derivace záporná, je funkce klesající. Pokud je funkce navíc
(jednostranně) spojitá v krajních bodech, přidáme do těchto intervalů i tyto body.
Postup si ukážeme na následujícím příkladu.
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme monotonii funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅
2) 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12
3) Položíme první derivaci rovnu nule. Tedy řešíme rovnici:
3𝑥2 − 12 = 0
3(𝑥2 − 4) = 0
3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
Stacionární body jsou dva: 𝑥 = −2, 𝑥 = 2. Body, ve kterých derivace neexistuje, žádné nemáme.
Definiční obor je rozdělen stacionárními body na tři intervaly: (−∞;−2), (−2; 2), (2;∞).
4) Určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech. Toto lze provést dosazením libovolného čísla
z každého intervalu do derivace a určením znaménka této hodnoty.
94
(−∞;−2) (−2; 2) (2;∞)
Vybereme např. hodnotu 𝑥 = −3 a dosadíme do derivace:
𝑓´(−3) = 3 ∙ (−3)2 − 12 = 15
Vybereme např. hodnotu 𝑥 = 0 a dosadíme do derivace:
𝑓´(0) = 3 ∙ 02 − 12 = −12
Vybereme např. hodnotu 𝑥 = 3 a dosadíme do derivace:
𝑓´(3) = 3 ∙ 32 − 12 = 15
+ − +
Daná funkce je rostoucí na intervalu (−∞;−2⟩ a na intervalu ⟨2;∞) a klesající je na intervalu ⟨−2; 2⟩.
Krajní body těchto intervalů patří do definičního oboru funkce a daná funkce je v těchto bodech spojitá,
proto jsme je přidali do nalezených intervalů.
Poznámka:
Nelze říci, že je daná funkce rostoucí na sjednocení nalezených intervalů. Tedy pokud je funkce rostoucí na
(−∞;−2⟩, ⟨2;∞) nemůžeme napsat, že je rostoucí na (−∞;−2⟩ ∪ ⟨2;∞)! Dle definice rostoucí funkce na
intervalu pro libovolná čísla z tohoto intervalu taková, že 𝑥1 < 𝑥2, má platit 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2). Ale pokud zvolíme
např. 𝑥1 = −3 a 𝑥2 = 3, potom 𝑓(𝑥1) = 9 a 𝑓(𝑥2) = −9. Tudíž funkce není rostoucí na sjednocení těchto dvou
intervalů.
PŘÍKLAD:
Určeme maximální intervaly monotonie funkce 𝑓(𝑥) =𝑥2+1
𝑥2−1.
1) Víme, že ve jmenovateli zlomku nesmí být 0. Proto:
𝑥2 − 1 ≠ 0
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) ≠ 0
Definiční obor je 𝐷(𝑓) = 𝑅\{−1,1}.
2) 𝑓´(𝑥) =−4𝑥
(𝑥2−1)2
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
−4𝑥
(𝑥2 − 1)2= 0
−4𝑥 = 0
Stacionární bod je pouze 𝑥 = 0. Body, ve kterých derivace neexistuje, jsou shodné s body, ve kterých
funkce není definována, tj. −1, 1.
4) Nyní máme čtyři intervaly, ve kterých určíme znaménko derivace:
(−∞;−1) (−1; 0) (0; 1) (1;∞)
𝑓´(−2) =−4 ∙ (−2)
((−2)2 − 1)2
=8
9
𝑓´(−0,5)
=−4 ∙ (−0,5)
((−0.5)2 − 1)2=
32
9
𝑓´(0,5) =−4 ∙ 0,5
(0,52 − 1)2
= −32
9
𝑓´(2) =−4 ∙ 2
(22 − 1)2
= −8
9
+ + − −
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DER
IVA
CE
PR
O P
RŮ
BĚH
FU
NK
CE
95
Funkce je rostoucí na intervalech (−∞;−1), (−1;0⟩ a klesající na intervalech ⟨0; 1), (1;∞).
PŘÍKLAD:
Určeme maximální intervaly monotonie funkce 𝑓(𝑥) =2𝑥
𝑥2+1.
1) Víme, že ve jmenovateli zlomku nesmí být 0. Proto:
𝑥2 + 1 ≠ 0
𝑥2 ≠ −1
Tato podmínka je splněna vždy, tedy definiční obor je 𝐷(𝑓) = 𝑅.
2) 𝑓´(𝑥) =2(1−𝑥2)
(𝑥2+1)2
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
2(1 − 𝑥2)
(𝑥2 + 1)2= 0
2(1 − 𝑥2) = 0
2(1 − 𝑥)(1 + 𝑥) = 0
Stacionární body jsou dva 𝑥 = −1, 𝑥 = 1. Body, ve kterých derivace neexistuje, žádné nejsou. Získali
jsme tři intervaly: (−∞;−1), (−1; 1), (1;∞).
4) Určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech.
(−∞;−1) (−1; 1) (1;∞)
𝑓´(−2) =2(1 − (−2)2)
((−2)2 + 1)2= −
6
25
𝑓´(0) =2(1 − 02)
(02 + 1)2= 2 𝑓´(2) =
2(1 − 22)
(22 + 1)2= −
6
25
− + −
Tedy daná funkce je klesající na intervalech (−∞;−1⟩, ⟨1;∞) a rostoucí na intervalu ⟨−1; 1⟩.
PŘÍKLAD:
Určeme maximální intervaly monotonie funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ ln 𝑥.
1) Definičním oborem logaritmické funkce jsou pouze kladná čísla, 𝐷(𝑓) = (0;∞).
2) 𝑓´(𝑥) = ln 𝑥 + 1
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
ln 𝑥 + 1 = 0
ln 𝑥 = −1
𝑥 = 𝑒−1
Tedy stacionární bod je 𝑥 = 𝑒−1. Derivace existuje ve všech bodech definičního oboru. Definiční obor
rozdělíme pouze na dva intervaly.
4) Určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech.
(0; 𝑒−1) (𝑒−1; ∞)
𝑓´(𝑒−2) = ln 𝑒−2 + 1 = −2 + 1= −1
𝑓´(𝑒) = ln 𝑒 + 1 = 1 + 1 = 2
− +
96
Daná funkce je klesající na intervalu (0;𝑒−1⟩ a rostoucí na intervalu ⟨𝑒−1;∞).
PŘÍKLAD:
Určeme maximální intervaly monotonie funkc e 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∙ 𝑒1
𝑥.
1) Protože 𝑥 ≠ 0, tak 𝐷(𝑓) = 𝑅\{0}.
2) 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑒1
𝑥 − 𝑒1
𝑥.
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
2𝑥 ∙ 𝑒1
𝑥 − 𝑒1
𝑥 = 0
(2𝑥 − 1) ∙ 𝑒1
𝑥 = 0
𝑒1
𝑥 ≠ 0 proto řešíme pouze 2𝑥 − 1 = 0
Stacionární bod je 𝑥 =1
2. Bod, ve kterém derivace neexistuje, je shodný s bodem, který nepatří
do definičního oboru funkce.
4) Definiční obor rozdělíme na intervaly a určíme znaménko derivace v jednotlivých intervalech.
(−∞; 0) (0; 0,5) (0,5;∞)
𝑓´(−1) = (−2 − 1) ∙ 𝑒−1 = −3
𝑒
𝑓´ (1
4) = (0,5 − 1) ∙ 𝑒4 = −
𝑒4
2
𝑓´(1) = (2 − 1) ∙ 𝑒 = 𝑒
− − +
Funkce je klesající na intervalech (−∞; 0), (0;0,5⟩ a rostoucí na intervalu ⟨0,5;∞).
PŘÍKLAD:
Určeme maximální intervaly monotonie funkc e 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥+1.
1) Protože 𝑥 + 1 ≠ 0, 𝐷(𝑓) = 𝑅\{−1}.
2) 𝑓´(𝑥) =1
(𝑥+1)2
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
1
(𝑥 + 1)2= 0
1 = 0
Tato funkce nemá žádné stacionární body. Bod, ve kterém neexistuje derivace, je shodný s bodem, ve
kterém není funkce definována.
4) Intervaly jsou dány pouze definičním oborem.
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DE
RIV
AC
E P
RO
PR
ŮB
ĚH F
UN
KC
E
97
(−∞;−1) (−1;∞)
𝑓´(−2) =1
(−2 + 1)2= 1
𝑓´(0) =1
(0 + 1)2= 1
+ +
Daná funkce je pouze rostoucí na intervalech (−∞;−1), (−1;∞).
PŘÍKLAD:
Určeme maximální intervaly monotonie funkc e 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥3+𝑥.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅.
2) 𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥3+𝑥(3𝑥2 + 1)
3) Položíme první derivaci rovnu nule.
𝑒𝑥3+𝑥(3𝑥2 + 1) = 0
𝑒𝑥3+𝑥 ≠ 0 tedy řešíme pouze
3𝑥2 + 1 = 0
𝑥2 = −1
3
Tato funkce nemá žádné stacionární body. Derivace existuje pro všechna reálná čísla.
4) Definiční obor není žádnou hodnotou rozdělen. Interval je tedy pouze jeden.
(−∞;∞)
𝑓´(0) = 𝑒0(3 ∙ 0 + 1) = 1
+
Daná funkce je pouze rostoucí na 𝑅.
5.2. VÝZNAM DRUHÉ DERIVACE PRO VYŠETŘENÍ ZAKŘIVENOSTI GRAFU FUNKCE
Pomocí druhé derivace lze vyšetřovat „zakřivenost“ funkce, čímž máme na mysli konvexnost nebo konkávnost
funkce. Tyto pojmy můžeme zavést pomocí následující definice, v níž předpokládáme, že má funkce 𝑓 derivaci
na intervalu 𝐼.
DEFINICE: KONVEXNOST A KONKÁVNOST
Řekneme, že je funkce 𝑓 konvexní na intervalu 𝐼, jestliže pro všechna 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑎 < 𝑏, leží graf funkce mezi body
[𝑎, 𝑓(𝑎)] a [𝑏, 𝑓(𝑏)] pod tětivou určenou těmito body, neboli pro všechna 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) platí nerovnost:
𝑓(𝑥) <𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).
Řekneme, že funkce 𝑓 je konkávní na intervalu 𝐼, jestliže pro všechna 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑎 < 𝑏, leží graf funkce mezi
body [𝑎, 𝑓(𝑎)] a [𝑏, 𝑓(𝑏)] nad tětivou určenou těmito body, neboli pro všechna 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) platí nerovnost:
98
𝑓(𝑥) >𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎).
VĚTA:
Nechť funkce 𝑓 je konvexní (resp. konkávní) na otevřeném intervalu (𝑎; 𝑏). Nechť je spojitá zprava v bodě 𝑎 a
zleva v bodě 𝑏. Potom je 𝑓 konvexní (resp. konkávní) na uzavřeném intervalu ⟨𝑎; 𝑏⟩.
Typickým příkladem konvexní funkce je funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (obr. 37). Vidíme, že graf funkce mezi krajními body
tětivy (červené úsečky) je pod tětivou. Příkladem konkávní funkce je funkce 𝑓(𝑥) = −𝑥2 (obr. 38). Z náčrtku je
patrné, že graf funkce mezi krajními body tětivy je nad tětivou.
Při vyšetřování zakřivenosti funkce používáme následující větu.
VĚTA: VÝZNAM DRUHÉ DERIVACE PRO PRŮBĚH FUNKCE
Nechť 𝑓 je funkce spojitá na otevřeném intervalu 𝐼 a má na tomto intervalu vlastní druhou derivaci.
Je-li 𝑓´´(𝑥) > 0 pro každé 𝑥 ∈ 𝐼, pak je 𝑓 konvexní na 𝐼.
Je-li 𝑓´´(𝑥) < 0 pro každé 𝑥 ∈ 𝐼, pak je 𝑓 konkávní na 𝐼.
Funkce, která je konvexní, resp. konkávní, na sousedních intervalech, nemusí být konvexní, resp. konkávní, na
jejich sjednocení, i když je spojitá ve společném bodě těchto dvou intervalů.
VĚTA:
Nechť 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, 𝑓´´(𝑐) = 0. Pak
pokud je 𝑓´´ > 0 na intervalech (𝑎, 𝑐) a (𝑐, 𝑏), je 𝑓 konvexní na intervalu (𝑎, 𝑏);
pokud je 𝑓´´ < 0 na intervalech (𝑎, 𝑐) a (𝑐, 𝑏), je 𝑓 konkávní na intervalu (𝑎, 𝑏).
Obrázek 37 Obrázek 38
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DER
IVA
CE
PR
O P
RŮ
BĚH
FU
NK
CE
99
DEFINICE: INFLEXNÍ BOD
Řekneme, že 𝑥0 je inflexním bodem funkce 𝑓, jestliže 𝑥0 je vnitřním bodem definičního oboru funkce 𝑓, ve
kterém existuje vlastní první derivace a navíc funkce je vlevo od bodu 𝑥0 konvexní a vpravo od tohoto bodu
konkávní, anebo naopak.
Místo pojmu inflexní bod, lze také říci, že má funkce v bodě 𝑥0 inflexi. Z předchozí definice a věty vyplývá, že
pokud má funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 tečnu a v intervalech nalevo a napravo od tohoto bodu mění druhá derivace
znaménko, pak je 𝑥0 inflexní bod. Pokud druhá derivace nalevo a napravo od tohoto bodu nemění své
znaménko, pak funkce 𝑓 nemá v bodě 𝑥0 inflexi. Tyto situace ilustrují následující obrázky.
Na obrázku 39 má funkce v bodě [1; −1] inflexní bod. Nalevo od tohoto bodu je funkce konkávní, napravo konvexní.
Na obrázku 40 je funkce nalevo od bodu [1; 3] konvexní a napravo také. V tomto bodě tedy nemá tato funkce inflexi.
Na obrázku 41 je funkce nalevo od bodu [1; 1] konkávní a napravo konvexní. Ale v bodě [1; 1] funkce nemá tečnu, tedy v tomto bodě funkce nemá inflexi.
Postup při vyšetřování zakřivenosti je pro elementární funkce podobný jako při vyšetřování monotonie funkce,
můžeme jej opět shrnout do následujících kroků:
1) Určíme definiční obor funkce.
2) Vypočítáme druhou derivaci zadané funkce.
Obrázek 39 Obrázek 40
Obrázek 41
100
3) Určíme body, ve kterých je druhá derivace rovna nule. Určíme také body, ve kterých druhá derivace
neexistuje.
4) V intervalech, které jsou tvořeny definičním oborem rozděleným pomocí bodů nalezených
v předchozím kroku, určíme znaménka druhé derivace. V intervalech, kde je druhá derivace kladná, je
funkce konvexní, v intervalech, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávní. Body, které patří do
definičního oboru funkce, existuje v nich tečna k dané funkci a navíc v nich druhá derivace mění
znaménko, nazveme inflexními body.
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) =𝑥4
6− 9𝑥2 + 2𝑥 − 1.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅
2) 𝑓´(𝑥) =2
3𝑥3 − 18𝑥 + 2, 𝑓´´(𝑥) = 2𝑥2 − 18
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
2𝑥2 − 18 = 0
2(𝑥2 − 9) = 0
2(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0
Body, ve kterých je druhá derivace rovna nule, jsou dva, a to 𝑥 = −3 a 𝑥 = 3. Jedná se o body, ve
kterých funkce může mít, ale také nemusí inflexi. Derivace existuje pro všechna reálná čísla.
4) Definiční obor rozdělíme na tři intervaly a určíme znaménko druhé derivace v jednotlivých intervalech.
(−∞;−3) (−3; 3) (3;∞)
𝑓´´(−4) = 2(−4)2 − 18 = 14 𝑓´´(0) = 2 ∙ 02 − 18 = −18 𝑓´´(4) = 2 ∙ 42 − 18 = 14
+ − +
Funkce je konvexní na intervalech (−∞;−3⟩, ⟨3;∞) a konkávní na intervalu ⟨−3; 3⟩. Funkční hodnoty
v bodech 𝑥 = −3, 𝑥 = 3 jsou 𝑓(−3) = −149
2, 𝑓(3) = −
125
2. Inflexní body tedy jsou: [−3;−
149
2], [3; −
125
2].
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅
2) 𝑓´(𝑥) = 𝑒−𝑥(1 − 𝑥), 𝑓´´(𝑥) = 𝑒−𝑥(𝑥 − 2)
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
𝑒−𝑥(𝑥 − 2) = 0
𝑒−𝑥 ≠ 0 tedy (𝑥 − 2) = 0
Našli jsme jeden bod podezřelý z inflexe, 𝑥 = 2. Derivace existuje pro všechna reálná čísla.
4) Definiční obor rozdělíme na dva intervaly a určíme znaménko druhé derivace v jednotlivých
intervalech.
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DER
IVA
CE
PR
O P
RŮ
BĚH
FU
NK
CE
101
(−∞; 2) (2;∞)
𝑓´´(0) = 𝑒0(0 − 2) = −2 𝑓´´(4) = 𝑒−4(4 − 2) =
2
𝑒4
− +
Funkce je konkávní na intervalu (−∞; 2⟩ a konvexní na intervalu ⟨2;∞). Inflexní bod je [2; 2𝑒−2].
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) =1+ln 𝑥
𝑥.
1) Protože funkce obsahuje logaritmickou funkci, definiční obor jsou pouze kladná čísla, 𝐷(𝑓) = (0;∞).
2) 𝑓´(𝑥) =− ln 𝑥
𝑥2 , 𝑓´´(𝑥) =2𝑥 ln 𝑥−𝑥
𝑥4 =2 ln𝑥−1
𝑥3
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
2 ln 𝑥 − 1
𝑥3= 0
2 ln 𝑥 − 1 = 0
ln 𝑥 =1
2
𝑥 = 𝑒1
2 = √𝑒
Získali jsme jeden podezřelý bod z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce.
4) Definiční obor rozdělíme na dva intervaly a určíme znaménko druhé derivace v jednotlivých
intervalech.
(0; √𝑒) (√𝑒;∞)
𝑓´´(1) =2 ln 1 − 1
1= −1 𝑓´´(𝑒) =
2 ln 𝑒 − 1
𝑒3=
1
𝑒3
− +
Funkce je konkávní na intervalu (0; √𝑒⟩ a konvexní na intervalu ⟨√𝑒;∞). Inflexní bod je [√𝑒;3
2√𝑒].
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1
𝑥2.
1) Protože ve funkci je zlomek, nesmí se jmenovatel rovnat nule, 𝐷(𝑓) = 𝑅\{0}.
2) 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 −2
𝑥3, 𝑓´´(𝑥) = 2 +6
𝑥4 =2𝑥4+6
𝑥4
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
2𝑥4 + 6
𝑥4= 0
2𝑥4 + 6 = 0
𝑥4 = −3
Tato situace nemůže nastat, tedy nemáme žádný bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na
celém definičním oboru funkce.
102
4) Definiční obor je rozdělen na dva intervaly, ve kterých nyní určíme znaménko druhé derivace.
(−∞; 0) (0;∞)
𝑓´´(−1) =2(−1)4 + 6
(−1)4= 8 𝑓´´(1) =
2 + 6
1= 8
+ +
Funkce je konvexní na intervalech (−∞; 0), (0;∞). Inflexní bod nemá.
PŘÍKLAD
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) =8
4−𝑥2.
1) Jmenovatel zlomku se nesmí rovnat nule:
4 − 𝑥2 ≠ 0
(2 − 𝑥)(2 + 𝑥) ≠ 0
a 𝐷(𝑓) = 𝑅\{−2; 2}.
2) 𝑓´(𝑥) =16𝑥
(4−𝑥2)2 , 𝑓´´(𝑥) =
16(3𝑥2+4)
(4−𝑥2)3
3) Položíme druhou derivaci rovno nule.
16(3𝑥2 + 4)
(4 − 𝑥2)3= 0
3𝑥2 + 4 = 0
𝑥2 = −4
3
Tato situace nemůže nastat, tudíž nemáme žádný bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na
celém definičním oboru funkce.
4) Definiční obor je rozdělen na tři intervaly, ve kterých nyní určíme znaménko druhé derivace.
(−∞;−2) (−2; 2) (2;∞)
𝑓´´(−3) =16(27 + 4)
(4 − 9)3= −
496
125 𝑓´´(0) =
16(0 + 4)
(4 − 0)3= 1 𝑓´´(3) =
16(27 + 4)
(4 − 9)3= −
496
125
− + −
Funkce je konkávní na intervalech (−∞;−2), (2;∞) a konvexní na intervalu (−2; 2). Inflexní bod
nemá.
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + ln 𝑥.
1) Definiční obor logaritmické funkce jsou pouze kladná čísla, 𝐷(𝑓) = (0;∞).
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DER
IVA
CE
PR
O P
RŮ
BĚH
FU
NK
CE
103
2) 𝑓´(𝑥) = 4𝑥 +1
𝑥 , 𝑓´´(𝑥) = 4 −
1
𝑥2 =4𝑥2−1
𝑥2
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
4𝑥2 − 1
𝑥2= 0
4𝑥2 − 1 = 0
(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) = 0
Řešením rovnice jsou dva body: 𝑥 = −1
2 a 𝑥 =
1
2. Bod 𝑥 = −
1
2, ale nepatří do definičního oboru funkce.
Máme pouze jeden bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na celém definičním oboru funkce.
4) Definiční obor je rozdělen na dva intervaly, ve kterých nyní určíme znaménko druhé derivace.
(0; 0,5) (0,5;∞)
𝑓´´(0,1) =0,04 − 1
0,01= −96 𝑓´´(1) =
4 − 1
1= 3
− +
Funkce je konkávní na intervalu (0; 0,5⟩ a konvexní na intervalu ⟨0,5;∞). Inflexní bod je [1
2;1
2+ ln
1
2].
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme zakřivenost funkce 𝑓(𝑥) = ln(1 − 𝑥2).
1) Logaritmická funkce má definiční obor pouze kladná čísla, proto:
1 − 𝑥2 > 0
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥) > 0
Z čehož získáme 𝐷(𝑓) = (−1; 1).
2) 𝑓´(𝑥) =−2𝑥
1−𝑥2, 𝑓´´(𝑥) =−2−2𝑥2
(1−𝑥2)2=
−2(1+𝑥2)
(1−𝑥2)2
3) Položíme druhou derivaci rovnu nule.
−2(1 + 𝑥2)
(1 − 𝑥2)2= 0
−2(1 + 𝑥2) = 0
𝑥2 = −1
Tato situace nemůže nastat, tedy nemáme žádný bod podezřelý z inflexe. Derivace je definována na celém
definičním oboru funkce.
4) Definiční obor tvoří pouze jeden interval, není žádným bodem rozdělen.
(−1; 1)
𝑓´´(0) =−2(1 + 0)
(1 − 0)2= −2
−
Funkce je na celém definičním oboru konkávní a nemá žádný inflexní bod.
104
5.3. CVIČENÍ
1) Určete intervaly, na kterých jsou funkce rostoucí, resp. klesající.
a) 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 5
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +𝑥
𝑥2−1
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∙ 𝑒−𝑥2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 ln 𝑥
f) 𝑓(𝑥) =𝑥
3−𝑥
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − arctg(2𝑥)
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ ln2𝑥
i) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2
j) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2
k) 𝑓(𝑥) =1
𝑥∙ ln
1
𝑥
l) 𝑓(𝑥) =(𝑥+3)2
𝑒𝑥
[a) rostoucí (−∞;−2⟩, ⟨4;∞), klesající ⟨−2; 4⟩,
b) klesající (−∞;−2⟩, ⟨0; 2⟩, rostoucí ⟨−2; 0⟩, ⟨2;∞),
c) rostoucí (−∞;−√3⟩, ⟨√3;∞), klesající ⟨−√3;−1), (−1; 0⟩, ⟨0; 1), (1; √3⟩,
d) rostoucí (−∞;−1⟩, ⟨0; 1⟩, klesající ⟨−1; 0⟩, ⟨1;∞),
e) klesající (0; 1⟩, rostoucí ⟨1;∞),
f) rostoucí (−∞; 3), (3;∞),
g) rostoucí (−∞;−0,5⟩, ⟨0,5;∞), klesající ⟨−0,5; 0,5⟩,
h) rostoucí (0; 𝑒−2⟩, ⟨1;∞), klesající ⟨𝑒−2; 1⟩,
i) rostoucí (−∞;−1⟩, ⟨1
3; ∞), klesající ⟨−1;
1
3⟩,
j) rostoucí ⟨−2; 0⟩, klesající ⟨0; 2⟩,
k) klesající (0; 𝑒⟩, rostoucí ⟨𝑒;∞),
l) klesající (−∞;−3⟩, ⟨−1;∞), rostoucí ⟨−3;−1⟩]
2) Určete intervaly, na kterých jsou funkce konvexní, resp. konkávní, a určete inflexní body.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 − 7𝑥 − 3
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 8𝑥3 + 6𝑥2
c) 𝑓(𝑥) =1
6𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 2
d) 𝑓(𝑥) = 1 − ln (𝑥2 − 9)
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +2𝑥
1−𝑥2
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1
𝑥
g) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 4𝑥 + 5) ∙ 𝑒𝑥
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − arctg(2𝑥)
i) 𝑓(𝑥) = −𝑥2
𝑥+1
j) 𝑓(𝑥) =ln 𝑥
𝑥
k) 𝑓(𝑥) =𝑥
ln 𝑥
l) 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)2
m) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2
[a) konvexní (−∞;−1⟩, ⟨2;∞), konkávní ⟨−1; 2⟩, inflexní body [−1;−5], [2; −65],
b) konvexní (−∞;1
3⟩ , ⟨1;∞), konkávní ⟨
1
3; 1⟩, inflexní body [1; 1], [
1
3;11
27],
c) konvexní (−∞; 0⟩, ⟨3;∞), konkávní ⟨0; 3⟩, inflexní body [0; −2], [3; −25
2],
d) konvexní (−∞;−3), (3;∞), žádný inflexní bod,
e) konvexní (−∞;−1), ⟨0; 1), konkávní (−1; 0⟩, (1;∞), inflexní bod [0; 0],
f) konkávní (−∞; 0), konvexní (0;∞), žádný inflexní bod,
Kap
ito
la: V
ÝZN
AM
PR
VN
Í A D
RU
HÉ
DER
IVA
CE
PR
O P
RŮ
BĚH
FU
NK
CE
105
g) konvexní (−∞;−1⟩, ⟨1;∞), konkávní ⟨−1; 1⟩, inflexní body [−1; 10𝑒−1], [1; 2𝑒],
h) konkávní (−∞; 0⟩, konvexní ⟨0;∞), inflexní bod [0; 0],
i) konvexní (−∞; −1), konkávní (−1; ∞), žádný inflexní bod,
j) konkávní (0; e3
2⟩, konvexní ⟨e3
2; ∞), inflexní bod [e3
2;3
2e−
3
2],
k) konkávní (0; 1), ⟨e2; ∞), konvexní (1; e2⟩, inflexní bod [e2;e2
2],
l) konkávní (−∞;2
3⟩, konvexní ⟨
2
3; ∞), inflexní bod [
2
3;
2
27],
m) konvexní (−∞;∞), žádný inflexní bod]
106
6. EXTRÉMY FUNKCE A VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE
6.1. LOKÁLNÍ EXTRÉMY
DEFINICE: LOKÁLNÍ EXTRÉMY
Řekneme, že funkce 𝑓 má v 𝑥0 ⊂ 𝐷(𝑓) lokální maximum, resp. lokální minimum, existuje-li 𝛿 > 0, 𝛿 ∈ 𝑅 tak, že
pro všechna 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) platí:
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0), resp. 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0).
Existuje-li 𝛿 > 0, 𝛿 ∈ 𝑅 tak, že pro všechna 𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) platí:
𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0), resp. 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0),
pak řekneme, že funkce 𝑓 má v bodě 𝑥0 ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum.
Lokální maximum, lokální minimum, ostré lokální maximum a ostré lokální minimum nazýváme souhrnně
lokální extrémy.
Poznámka:
Lokální extrémy mohou být pouze ve vnitřních bodech definičního oboru, nikoliv v krajních bodech, protože je
nutné aby (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) ⊂ D(f).
VĚTA: NUTNÁ PODMÍNKA PRO LOKÁLNÍ EXTRÉM
Má-li funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓) lokální extrém, pak derivace 𝑓′(𝑥0) buďto neexistuje, nebo je rovna nule.
Nutná podmínka nám říká, jak lze nalézt body „podezřelé“ z lokálního extrému. Jsou to tedy buďto stacionární
body, nebo body, ve kterých derivace není definována. Abychom dále určili, které z podezřelých bodů jsou
opravdu lokálními extrémy, k tomu nám slouží postačující podmínka. Následující dvě věty udávají postačující
podmínky pro existenci lokálního extrému.
VĚTA: PRVNÍ POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA PRO LOKÁLNÍ EXTRÉM
Předpokládejme, že funkce 𝑓 je spojitá v bodě 𝑥0 a že existuje okolí (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) bodu 𝑥0 tak, že platí:
Je-li 𝑓′(𝑥) > 0 na intervalu (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0) a 𝑓′(𝑥) < 0 na intervalu (𝑥0, 𝑥0 + 𝛿), má funkce 𝑓 v bodě 𝑥0
ostré lokální maximum.
Je-li 𝑓′(𝑥) < 0 na intervalu (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0) a 𝑓′(𝑥) > 0 na intervalu (𝑥0, 𝑥0 + 𝛿), má funkce 𝑓 v bodě 𝑥0
ostré lokální minimum.
Pokud derivace na intervalech (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0) a (𝑥0, 𝑥0 + 𝛿) nemění znaménko, pak nemá funkce 𝑓
v bodě 𝑥0 lokální extrém.
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
107
VĚTA: DRUHÁ POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA PRO LOKÁLNÍ EXTRÉM
Nechť 𝑓′(𝑥0) = 0.
Je-li 𝑓′′(𝑥0) > 0, pak má funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 ostré lokální minimum.
Je-li 𝑓′′(𝑥0) < 0, pak má funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 ostré lokální maximum.
Poznámka:
Nevýhodou je, že věta neřeší situaci, kdy 𝑓′(𝑥0) = 0 a 𝑓′′(𝑥0) = 0.
První postačující podmínka je založena na monotonii funkce. Tedy pokud 𝑥0 je stacionární bod a na intervalu vlevo od tohoto bodu je funkce rostoucí a na intervalu vpravo od tohoto bodu je funkce klesající, potom je v tomto bodě ostré lokální maximum. Viz obrázek 42 bod [2; 3].
Naopak bod [0; −1] je ostré lokální minimum, protože nalevo od tohoto bodu je funkce klesající a napravo od tohoto bodu je funkce rostoucí.
Obrázek 42
Druhá postačující podmínka je založena na zakřivenosti funkce.
Pokud je ve stacionárním bodě druhá derivace kladná, lze si funkci představit v okolí tohoto bodu jako konvexní, proto je v tomto bodě lokální minimum, obrázek 43, bod [0; −1].
Pokud je ve stacionárním bodě druhá derivace záporná, lze si funkci představit v okolí tohoto bodu jako konkávní, jedná se tedy o lokální maximum, bod [2; 3].
Při vyšetřování nezáleží na tom, jestli použijeme první, či druhou postačující podmínku. Většinou se
rozhodneme podle toho, jak náročné je vypočítat druhou derivaci funkce. V následujících příkladech si ukážeme
obě možnosti.
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 27𝑥 + 1.
Obrázek 43
108
Definiční obor této funkce jsou všechna reálná čísla. Dále najdeme podle nutné podmínky body podezřelé
z extrému. K tomu potřebujeme první derivaci funkce.
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 27
Body, ve kterých derivace neexistuje, žádné nejsou. Spočítáme stacionární body funkce:
3𝑥2 − 27 = 0
3(𝑥2 − 9) = 0
Tedy stacionární body jsou dva: 𝑥 = −3 a 𝑥 = 3. Nyní pomocí postačující podmínky určíme, jestli má funkce
v těchto bodech lokální extrémy. Ukážeme si použití první postačující podmínky. Stačí určit znaménka první
derivace na intervalech (−∞;−3), (−3; 3), (3;∞). Postupujeme stejně jako při vyšetřování monotonie funkce.
(−∞;−3) (−3; 3) (3;∞)
𝑓′(4) = 3 ∙ (−4)2 − 27 = 21 𝑓′(0) = 3 ∙ 02 − 27 = −27 𝑓′(4) = 3 ∙ 42 − 27 = 21
+ - +
Na prvním intervalu je funkce rostoucí, potom klesající, a nakonec opět rostoucí. Z tohoto nákresu (z první
postačující podmínky) je zřejmé, že v bodě 𝑥 = −3 je ostré lokální maximum funkce a v bodě 𝑥 = 3 má funkce
ostré lokální minimum. Nakonec uvedeme funkční hodnoty v těchto bodech. Tedy dosadíme dané body do
zadání funkce 𝑓. Hodnota lokálního maxima je 𝑓(−3) = (−3)3 − 27 ∙ (−3) + 1 = 55 a hodnota lokálního
minima je 𝑓(3) = 33 − 27 ∙ 3 + 1 = −53.
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2.
Určíme 𝐷(𝑓) = 𝑅 a 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 4𝑥. Derivace existuje pro všechna reálná čísla. Najdeme stacionární body:
4𝑥3 − 4𝑥 = 0
4𝑥(𝑥2 − 1) = 0
Stacionární body jsou tři: 𝑥 = 0, 𝑥 = −1 a 𝑥 = 1. Nyní pomocí postačující podmínky určíme, jestli má funkce
v těchto bodech lokální extrémy. Ukážeme si použití druhé postačující podmínky. Stačí určit znaménka druhé
derivace ve stacionárních bodech.
𝑓′′(𝑥) = 12𝑥2 − 4
𝑓′′(−1) = 12 ∙ (−1)2 − 4 = 8
𝑓′′(0) = 12 ∙ 02 − 4 = −4
𝑓′′(1) = 12 ∙ 12 − 4 = 8
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
109
Z druhé postačující podmínky plyne, že funkce má ostré lokální maximum v bodě 𝑥 = 0 a ostré lokální minima
v bodech 𝑥 = −1 a 𝑥 = 1. Funkční hodnoty v těchto bodech jsou: 𝑓(−1) = 1, 𝑓(0) = 2 a 𝑓(1) = 1. Body
můžeme opět zapsat pomocí souřadnic: [−1; 1], [0; 2], [1; 1].
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) =𝑥
1−𝑥2.
Protože funkce obsahuje zlomek, 𝐷(𝑓) = 𝑅\{−1,1}. Určíme první derivaci:
𝑓′(𝑥) =𝑥2+1
(1−𝑥2)2.
Derivace existuje na celém definičním oboru funkce. Najdeme stacionární body:
𝑥2 + 1
(1 − 𝑥2)2= 0
𝑥2 + 1 = 0
𝑥2 = −1
Tato funkce nemá žádné stacionární body. Nemáme žádné body podezřelé z lokálních extrémů, funkce tedy
žádné lokální extrémy nemá.
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = ln 𝑥+1
𝑥
Protože funkce obsahuje logaritmickou funkci, 𝐷(𝑓) = (0;∞). Spočtěme první derivaci:
𝑓′(𝑥) =− ln 𝑥
𝑥2 .
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
− ln 𝑥
𝑥2= 0
ln 𝑥 = 0
Stacionární bod je pouze jeden 𝑥 = 1. Nyní pomocí první postačující podmínky určíme, jestli má funkce v tomto
bodě lokální extrém.
(0; 1) (1;∞)
𝑓′(𝑒−1) =− ln 𝑒−1
(𝑒−1)2=
1
𝑒−2= 𝑒2 𝑓′(𝑒) =
− ln 𝑒
𝑒2=
−1
𝑒2
+ −
110
V bodě 𝑥 = 1 má funkce ostré lokální maximum. Funkční hodnota je 𝑓(1) =ln 1+1
1= 1.
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒− 𝑥2
2 .
Určíme 𝐷(𝑓) = 𝑅 a první derivaci:
𝑓′(𝑥) = (1 − 𝑥2) ∙ 𝑒− 𝑥2
2 .
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
(1 − 𝑥2) ∙ 𝑒− 𝑥2
2 = 0
1 − 𝑥2 = 0
Stacionární body jsou 𝑥 = −1 a 𝑥 = 1. Nyní pomocí první postačující podmínky určíme, jestli má funkce
v tomto bodě lokální extrém.
(−∞;−1) (−1; 1) (1;∞)
𝑓′(−2) = (1 − 4) ∙ 𝑒−4
2 = −3𝑒−2 𝑓′(0) = (1 − 0) ∙ 𝑒−0
2 = 1 𝑓′(2) = (1 − 4) ∙ 𝑒−4
2 = −3𝑒−2
− + −
Funkce má ostré lokální minimum v bodě 𝑥 = −1 a ostré lokální maximum v bodě 𝑥 = 1. Funkční hodnoty jsou
𝑓(−1) = −𝑒−0,5 a 𝑓(1) = 𝑒−0,5.
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) =4
𝑥+
1
1−𝑥.
Protože ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, je 𝐷(𝑓) = 𝑅\{0; 1}. Určíme první derivaci funkce:
𝑓′(𝑥) = (4−3𝑥
𝑥−𝑥2)′
=−3𝑥2+8𝑥−4
(𝑥−𝑥2)2.
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
−3𝑥2 + 8𝑥 − 4
(𝑥 − 𝑥2)2= 0
−3𝑥2 + 8𝑥 − 4 = 0
Stacionární body jsou dva: 𝑥 =2
3 a 𝑥 = 2. Nyní bude výhodné použít první postačující podmínku. Protože
spočítat druhou derivaci by bylo náročnější. Určíme znaménka první derivace v následujících intervalech:
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
111
(0;2
3) (
2
3; 1)
(1; 2) (2;∞)
𝑓′(0,5)
=−3 ∙ 0,52 + 8 ∙ 0,5 − 4
(0,5 − 0,52)2
= −12
𝑓′ (3
4) =
80
9 𝑓′ (
3
2) =
20
9
𝑓′(5)
=−3 ∙ 52 + 8 ∙ 5 − 4
(5 − 52)2
= −39
400
− + + −
Funkce má ostré lokální minimum v bodě 𝑥 =2
3 a ostré lokální maximum v bodě 𝑥 = 2. Funkční hodnoty
v těchto bodech jsou: 𝑓 (2
3) = 9 a 𝑓(2) = 1.
PŘÍKLAD:
Najděme lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ ln2 𝑥.
Protože funkce obsahuje logaritmickou funkci, tak 𝐷(𝑓) = (0,∞). Derivace je rovna:
𝑓′(𝑥) = ln2𝑥 + 2 ln 𝑥.
Derivace existuje na celém definičním oboru. Najdeme stacionární body:
ln2𝑥 + 2 ln 𝑥 = 0
ln 𝑥 (ln 𝑥 + 2) = 0
ln 𝑥 = 0 nebo ln 𝑥 + 2 = 0
Stacionární body jsou dva: 𝑥 = 𝑒−2, 𝑥 = 1. Použijeme nyní druhou postačující podmínku. Musíme tedy
vypočítat druhou derivaci funkce:
𝑓′′(𝑥) =2 ln 𝑥 + 2
𝑥
𝑓′′(𝑒−2) =2 ln 𝑒−2 + 2
𝑒−2= −2𝑒2
𝑓′′(1) =2 ln 1 + 2
1= 2
Funkce má ostré lokální maximum v bodě 𝑥 = 𝑒−2 a ostré lokální minimum v bodě 𝑥 = 1. Funkční hodnoty
v těchto bodech jsou: 𝑓(𝑒−2) = 4𝑒−2 a 𝑓(1) = 0.
112
6.2. GLOBÁLNÍ EXTRÉMY
DEFINICE: GLOBÁLNÍ EXTRÉMY
Buď funkce 𝑓 definovaná na množině 𝑀.
Jestliže 𝑥0 ∈ 𝑀 a platí 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0) pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀 , říkáme, že funkce 𝑓 má na 𝑀 globální
maximum v bodě 𝑥0.
Jestliže 𝑥0 ∈ 𝑀 a platí 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0) pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀 , říkáme, že funkce 𝑓 má na 𝑀 globální
minimum v bodě 𝑥0.
Ostré globální extrémy jsou takové extrémy, které se vyskytnou právě jednou. Lze je definovat tedy takto:
Jestliže 𝑥0 ∈ 𝑀 a platí 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀, říkáme, že funkce 𝑓 má na 𝑀 ostré globální maximum
v bodě 𝑥0.
Jestliže 𝑥0 ∈ 𝑀 a platí 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) pro všechna 𝑥 ∈ 𝑀, říkáme, že funkce 𝑓 má na 𝑀 ostré globální minimum
v bodě 𝑥0.
Poznámka:
Někdy se místo pojmu globální extrémy používá také absolutní extrémy.
Postačující podmínku pro existenci globálních extrémů udává následující věta.
VĚTA: WEIERSTRASSOVA VĚTA
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu ⟨𝑎; 𝑏⟩ má na tomto intervalu globální maximum i globální minimum.
Z předchozí věty plyne, že k nalezení extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu stačí najít podezřelé body
a spočítat v nich jejich funkční hodnotu. Bod s nejvyšší hodnotou bude globální maximum a bod s nejnižší
funkční hodnotou je globální minimum funkce. Podezřelé body získáme stejně jako podezřelé body u lokálních
extrémů (tj. jsou to stacionární body či body, ve kterých funkce nemá derivaci) a navíc mezi podezřelé body
zařadíme i krajní body daného intervalu.
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
113
Na obrázku 44 máme znázorněnou funkci 𝑓 , jejíž lokální extrémy jsou označeny modře (Lmin, Lmax). Pokud budeme počítat globální extrémy této funkce na intervalu ⟨−1; 2⟩, znamená to, že hledáme bod s nejvyšší (resp. nejnižší) funkční hodnotou na tomto intervalu, tzn. na červené části grafu funkce 𝑓.
Globální extrémy mohou nastat buď v lokálních extrémech, nebo v krajních bodech intervalu.
Na obrázku 44 vidíme, že funkce má na intervalu ⟨−1; 2⟩ globální maximum v bodě Lmax a globální minimum v krajním bodě intervalu 𝑥 = 2 . Oba extrémy jsou ostré.
PŘÍKLAD:
Najděme globální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ ln2𝑥 na intervalu ⟨𝑒−3; 𝑒⟩.
Funkce je spojitá na celém definičním oboru a zadaný interval je podmnožinou definičního oboru, můžeme
využít Weierstrassovu větu. Lokální extrémy této funkce jsme počítali v předchozí kapitole, známe tedy již
stacionární body: 𝑥 = 𝑒−2 a 𝑥 = 1. Máme celkem čtyři podezřelé body, dva stacionární body a dva krajní body
zadaného intervalu. Nyní stačí vypočítat funkční hodnoty v těchto bodech:
𝑓(𝑒−3) = 9𝑒−3
𝑓(𝑒−2) = 4𝑒−2
𝑓(1) = 0
𝑓(𝑒) = 𝑒
Globální maximum je v bodě 𝑥 = 𝑒 a globální minimum je v bodě 𝑥 = 1.
PŘÍKLAD:
Najděme globální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 1 na intervalu ⟨−1; 2⟩.
Funkce je spojitá na reálných číslech, proto můžeme využít Weierstrassovu větu. Spočítáme stacionární body.
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 18𝑥 = 6𝑥(𝑥 − 3)
Stacionární body jsou: 𝑥 = 0 a 𝑥 = 3. Nesmíme zapomenout zkontrolovat, jestli nalezené body leží v zadaném
intervalu. V tomto případě bod 𝑥 = 3 neleží v intervalu ⟨−1; 2⟩, proto tento bod nezařazujeme mezi podezřelé
body. Máme celkem tři podezřelé body. Vypočítáme funkční hodnotu v těchto bodech:
𝑓(−1) = −10
𝑓(0) = 1
𝑓(2) = −19
Obrázek 44
114
Globální maximum je v bodě 𝑥 = 0 a globální minimum je v bodě 𝑥 = 2.
PŘÍKLAD:
Najděme globální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln 𝑥 na intervalu ⟨1; 𝑒⟩.
Funkce je spojitá na 𝐷(𝑓) = (0;∞), tedy i na zadaném uzavřeném intervalu a můžeme využít Weierstrassovu
větu. Spočítáme stacionární body.
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ln 𝑥 + 𝑥 = 𝑥(2 ln 𝑥 + 1)
Bod 𝑥 = 0 nepatří do definičního oboru funkce, tedy stacionární bod je pouze 𝑥 = 𝑒−0,5. Tento bod ale nepatří
do intervalu ⟨1; 𝑒⟩, proto mezi podezřelé body patří pouze krajní body intervalu:
𝑓(1) = 0
𝑓(𝑒) = 𝑒2
Globální maximum je v bodě 𝑥 = 𝑒 a globální minimum je v bodě 𝑥 = 1.
PŘÍKLAD:
Najděme globální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥2 na intervalu ⟨−2; 3⟩.
Funkce je spojitá na 𝐷(𝑓) = ⟨−3; 3⟩, tedy i na zadaném uzavřeném intervalu a můžeme využít Weierstrassovu
větu. Spočítáme stacionární body.
𝑓′(𝑥) =−𝑥
√9 − 𝑥2
Derivace je definována na intervalu (−3; 3), tudíž v bodech 𝑥 = −3 a 𝑥 = 3 derivace neexistuje. Stacionární
bod je pouze 𝑥 = 0. Podezřelé body jsou tři:
𝑓(−2) = √5
𝑓(0) = 3
𝑓(3) = 0
Globální maximum je v bodě 𝑥 = 0 a globální minimum je v bodě 𝑥 = 3.
PŘÍKLAD:
Najděme globální extrémy funkce 𝑓(𝑥) =𝑥
2−𝑥 na intervalu ⟨0; 1⟩.
Definiční obor funkce je (−∞; 2) ∪ (2;∞). Na intervalu ⟨0; 1⟩ je tedy funkce spojitá. Použijeme Weierstrassovu
větu. Nejprve zjistíme stacionární body:
𝑓′(𝑥) =2
(2 − 𝑥)2
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
115
Derivace je definována na celém definičním oboru. Stacionární bod neexistuje. Podezřelé body jsou pouze
krajní body intervalu:
𝑓(0) = 0
𝑓(1) = 1
Globální maximum je v bodě 𝑥 = 1 a globální minimum je v bodě 𝑥 = 0.
PŘÍKLAD:
Najděme globální extrémy funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 5 na intervalu ⟨−1; 2⟩.
Funkce je spojitá na množině všech reálných čísel, tedy i na zadaném uzavřeném intervalu a můžeme využít
Weierstrassovu větu. Spočítáme stacionární body.
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 12 = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Stacionární body jsou: 𝑥 = −2 a 𝑥 = 2. V daném intervalu ale leží pouze bod 𝑥 = 2, který je zároveň krajním
bodem intervalu. Podezřelé body jsou pouze dva:
𝑓(−1) = 16
𝑓(2) = −11
Globální maximum je v bodě 𝑥 = −1 a globální minimum je v bodě 𝑥 = 2.
6.3. VYŠETŘENÍ PRŮBĚHU FUNKCE
Důležitým nástrojem při vyšetřování průběhu funkce je derivace. Chování funkce lze popsat pomocí dříve
zavedených vlastností funkce, které dokážeme zjistit právě pomocí derivace.
Při vyšetřování průběhu funkce 𝑓 postupujeme takto:
1) Určíme definiční obor funkce.
2) Vyšetříme, zda uvedená funkce je sudá, resp. lichá, resp. periodická.
3) Stanovíme průsečíky funkce s osou 𝑥 a určíme intervaly, kde je funkce kladná, resp. záporná.
4) Vypočítáme limity v krajních bodech definičního oboru.
5) Určíme asymptoty funkce.
6) Pomocí první derivace určíme intervaly, v nichž je funkce rostoucí, resp. klesající. A stanovíme lokální
extrémy.
7) Pomocí druhé derivace určíme intervaly, v nichž je funkce konvexní, resp. konkávní. A stanovíme
inflexní body.
8) Načrtneme graf funkce.
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme průběh funkce 𝑓(𝑥) =8
4−𝑥2.
Při vyšetřování budeme postupovat podle návodu.
116
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅\{−2,2}.
2) Zjistíme hodnotu 𝑓(−𝑥).
𝑓(−𝑥) =8
4−(−𝑥)2=
8
4−𝑥2
Protože 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), funkce je sudá. Tzn. graf funkce bude osově souměrný podle osy y.
3) Průsečíky funkce s osou 𝑥 jsou body, které mají funkční hodnotu rovnu nule. Tedy:
0=8
4−𝑥2
0 = 8
Tato rovnice nemá řešení, tzn. graf funkce 𝑓 nemá žádné průsečíky s osou x. Dále určíme intervaly, kde
je funkce kladná, nebo záporná. Protože funkce je spojitá na intervalech (−∞;−2), (−2; 2), (2;∞) a
nemá žádné průsečíky s osou 𝑥, musí uvnitř těchto intervalů nabývat hodnot se stejným znaménkem.
Stačí tedy dosadit z každého intervalu libovolné číslo do dané funkce a zjistit znaménko.
Graf funkce je na intervalech (−∞;−2), (2;∞) pod osou 𝑥 a na intervalu (−2; 2) nad osou 𝑥.
4) Krajní body definičního oboru jsou čtyři: −∞; −2; 2; ∞.
Ve vlastních bodech musíme spočítat jednostranné limity. Potřebujeme tedy určit celkem šest limit:
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ‖8
−∞‖ = 0
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ‖8
−∞‖ = 0
lim𝑥→−2+
𝑓(𝑥) = ‖8
0+‖ = ∞
lim𝑥→−2−
𝑓(𝑥) = ‖8
0−‖ = −∞
lim𝑥→2+
𝑓(𝑥) = ‖8
0−‖ = −∞
lim𝑥→2−
𝑓(𝑥) = ‖8
0+‖ = ∞
5) Nejprve určíme asymptoty bez směrnice. Tyto asymptoty mohou být pouze v bodech, kde není funkce
definována, tj. 𝑥 = ±2. Vzhledem k tomu, že jednostranné limity, které jsme již počítali v bodě 4, jsou
nevlastní, funkce v těchto bodech má dvě svislé asymptoty: 𝑥 = −2 a 𝑥 = 2.
Nyní určíme asymptoty se směrnicí. Tato asymptota má rovnici 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑞, musíme vypočítat 𝑘 a 𝑞:
𝑘 = lim𝑥→±∞
8
4−𝑥2
𝑥= lim
𝑥→±∞
8
𝑥(4 − 𝑥2)= ‖
8
∓∞‖ = 0
𝑞 = lim𝑥→±∞
(8
4 − 𝑥2− 0𝑥) = lim
𝑥→±∞
8
4 − 𝑥2= ‖
8
−∞‖ = 0
Asymptota se směrnicí pro 𝑥 → ±∞ má rovnici 𝑦 = 0.
6) Spočítáme první derivaci:
𝑓′(𝑥) =16𝑥
(4 − 𝑥2)2
Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme jeden stacionární bod 𝑥 = 0. Určíme znaménka první
derivace na jednotlivých intervalech:
(−∞;−2) (−2; 2) (2;∞)
𝑓(−3) = −8
5 𝑓(0) = 2 𝑓(3) = −
8
5
− + −
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
117
(−∞;−2) (−2; 0) (0; 2) (2;∞)
𝑓′(−3) = −48
25 𝑓′(−1) = −
16
9 𝑓′(1) =
16
9 𝑓′(3) =
48
25
− − + +
Funkce je klesající na intervalech (−∞;−2), (−2; 0⟩ a rostoucí na intervalech ⟨0;2), (2;∞). Funkce má
pouze lokální minimum v bodě 𝑥 = 0. Hodnota lokálního minima je 𝑓(0) = 2.
7) Spočítáme druhou derivaci:
𝑓′′(𝑥) =48𝑥2 + 64
(4 − 𝑥2)3
Položíme-li druhou derivaci rovnu nule, dostaneme 𝑥2 = −4
3, z čehož plyne, že druhá derivace nemá
žádný nulový bod. Funkce tedy nemá žádné inflexní body. Určíme znaménka druhé derivace na
intervalech:
(−∞;−2) (−2; 2) (2;∞)
𝑓′′(−3) = −496
125
𝑓′′(0) = 1 𝑓′′(3) = −
496
125
− + −
∩ ∪ ∩
Funkce je konkávní na intervalech (−∞;−2), (2;∞) a konvexní na intervalu (−2; 2).
8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce 𝑓.
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme průběh funkce 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑒−𝑥2.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅
2) Zjistíme hodnotu 𝑓(−𝑥).
𝑓(−𝑥) = 1 − 𝑒−(−𝑥)2 = 1 − 𝑒−𝑥2
118
Platí 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), proto je funkce sudá.
3) Vypočítáme průsečíky s osou 𝑥:
0 = 1 − 𝑒−𝑥2
𝑒−𝑥2= 1
−𝑥2 = 0
Průsečík je jeden, a to bod [0; 0]. Dále určíme intervaly, kde je funkce kladná nebo záporná. Protože
funkce je spojitá na intervalech (−∞; 0) a (0;∞), musí uvnitř těchto intervalů nabývat hodnot se
stejným znaménkem. Stačí dosadit z každého intervalu libovolné číslo do dané funkce a zjistit
znaménko.
(−∞; 0) (0;∞)
𝑓(−1) = 1 −1
𝑒 𝑓(1) = 1 −
1
𝑒
+ +
Funkce na svém definičním oboru nabývá pouze kladných hodnot, kromě bodu [0; 0]. Graf funkce tedy
bude ležet nad osou 𝑥.
4) Krajní body definičního oboru jsou dva: −∞; ∞.
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ‖1 − 0‖ = 1
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ‖1 − 0‖ = 1
5) Protože definiční obor jsou všechna reálná čísla, tak funkce 𝑓 nemá žádné asymptoty bez směrnice.
Vypočítáme, jestli funkce má asymptoty se směrnicí:
𝑘 = lim𝑥→±∞
1 − 𝑒−𝑥2
𝑥= ‖
1 − 0
±∞‖ = 0
𝑞 = lim𝑥→±∞
(1 − 𝑒−𝑥2− 0𝑥) = ‖1 − 0‖ = 1
Asymptota se směrnicí pro 𝑥 → ±∞ má rovnici 𝑦 = 1.
6) Spočítáme první derivaci:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑒−𝑥2
Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme jeden stacionární bod 𝑥 = 0. Určíme znaménka první
derivace na jednotlivých intervalech:
(−∞; 0) (0;∞)
𝑓′(−1) = −2
𝑒 𝑓′(1) =
2
𝑒
− +
Funkce je klesající na intervalu (−∞;0⟩ a rostoucí na intervalu ⟨0;∞). Funkce má pouze lokální
minimum v bodě 𝑥 = 0. Hodnota lokálního minima je 𝑓(0) = 0.
7) Spočítáme druhou derivaci:
𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(2 − 4𝑥2)
Položíme-li druhou derivaci rovnu nule, dostaneme:
𝑥2 =1
2
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
119
𝑥 = ±1
√2
Po usměrnění zlomku dostaneme 𝑥 = ±√2
2. Určíme znaménka druhé derivace na intervalech:
(−∞;−√2
2) (−
√2
2;√2
2) (
√2
2;∞)
𝑓′′(−1) = −2
𝑒 𝑓′′(0) = 2 𝑓′′(1) = −
2
𝑒
− + −
∩ ∪ ∩
Funkce je konkávní na intervalech (−∞;−√2
2⟩, ⟨
√2
2; ∞) a konvexní na intervalu ⟨−
√2
2;√2
2⟩. Funkční
hodnoty v bodech 𝑥 = −√2
2 a 𝑥 =
√2
2 jsou 𝑓 (−
√2
2) = 𝑓 (
√2
2) = 1 − 𝑒−0,5. Inflexní body tedy máme
dva [−√2
2; 1 − 𝑒−0,5] a [
√2
2; 1 − 𝑒−0,5].
8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce 𝑓.
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme průběh funkce 𝑓(𝑥) =𝑥2+3
1−𝑥.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅\{1}
2) Zde není třeba zjišťovat hodnotu 𝑓(−𝑥). Definiční obor není symetrický interval, proto funkce nemůže
být sudá ani lichá.
3) Vypočítáme průsečíky s osou 𝑥:
𝑥2 + 3
1 − 𝑥= 0
𝑥2 = −3
Průsečík s osou 𝑥 neexistuje. Dále určíme intervaly, na kterých je funkce kladná, nebo záporná.
(−∞; 1) (1;∞)
𝑓(0) = 3 𝑓(2) = −7
+ −
120
Graf funkce je na intervalu (−∞; 1) nad osou 𝑥 a na intervalu (1;∞) pod osou 𝑥.
4) Krajní body definičního oboru jsou tři: −∞; 1; ∞.
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = ∞
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = −∞
lim𝑥→1+
𝑓(𝑥) =‖4
0−‖ = −∞
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥) =‖4
0+‖ = ∞
5) Asymptota bez směrnice je 𝑥 = 1, jednosměrné limity jsme již počítali v předchozím bodě. Nyní
budeme počítat asymptoty se směrnicí:
𝑘 = lim𝑥→±∞
𝑥2 + 3
𝑥 − 𝑥2= lim
𝑥→±∞
𝑥2 (1 +3
𝑥2)
𝑥2 (1
𝑥− 1)
= ‖1
−1‖ = −1
𝑞 = lim𝑥→±∞
(𝑥2 + 3
1 − 𝑥+ 𝑥) = lim
𝑥→±∞
3 + 𝑥
1 − 𝑥= lim
𝑥→±∞
𝑥 (3
𝑥+ 1)
𝑥 (1
𝑥− 1)
= −1
Asymptota se směrnicí pro 𝑥 → ±∞ má rovnici 𝑦 = −𝑥 − 1.
6) Spočítáme první derivaci:
𝑓′(𝑥) =−𝑥2 + 2𝑥 + 3
(1 − 𝑥)2
Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme dva stacionární body 𝑥 = −1, 𝑥 = 3. Určíme znaménka první
derivace na jednotlivých intervalech:
Funkce je klesající na intervalech (−∞;−1⟩, ⟨3;∞) a rostoucí na intervalech ⟨−1;1), (1; 3⟩. Funkce má
lokální minimum [−1; 2] a lokální maximum [3; −6].
7) Spočítáme druhou derivaci:
𝑓′′(𝑥) =8
(1 − 𝑥)3
Druhá derivace se nikdy nerovná nule, funkce tedy nemá inflexní body.
(−∞; 1) (1;∞)
+ −
∪ ∩
Funkce je konkávní na intervalu (1;∞) a konvexní na intervalu (−∞; 1).
8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce 𝑓.
(−∞;−1) (−1; 1) (1; 3) (3;∞)
− + + −
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
121
PŘÍKLAD:
Vyšetřeme průběh funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 − arctg𝑥.
1) 𝐷(𝑓) = 𝑅
2) Zjistíme hodnotu 𝑓(−𝑥).
𝑓(−𝑥) = −𝑥 − arctg (−𝑥) = −𝑥 + arctg 𝑥
Platí 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), proto je funkce lichá.
3) Vypočítáme průsečíky s osou 𝑥:
𝑥 − arctg 𝑥 = 0
Vyřešit tuto rovnici není snadné. Jeden kořen ale vidíme hned, a to je 𝑥 = 0. Pokud nelze rovnici řešit
základními elementárními úpravami, tak rovnici dále neřešíme a znaménka funkce na intervalech
vyšetřovat nebudeme.
4) Krajní body definičního oboru jsou dva: −∞; ∞.
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥) = ∞
5) Definiční obor jsou všechna reálná čísla, funkce 𝑓 tedy nemá žádné asymptoty bez směrnice.
Vyšetříme, jestli funkce má asymptoty se směrnicí:
𝑘 = lim𝑥→±∞
𝑥 − arctg 𝑥
𝑥= lim
𝑥→±∞1 −
arctg 𝑥
𝑥= ‖1 −
±𝜋
2
±∞‖ = 1
𝑞 = lim𝑥→±∞
(𝑥 − arctg 𝑥 − 𝑥) = lim𝑥→±∞
(−arctg 𝑥) = ∓𝜋
2
Asymptota se směrnicí pro 𝑥 → +∞ má rovnici 𝑦 = 𝑥 −𝜋
2 a asymptota pro 𝑥 → −∞ má rovnici 𝑦 =
𝑥 +𝜋
2.
6) Spočítáme první derivaci:
𝑓′(𝑥) = 1 −1
1 + 𝑥2=
𝑥2
1 + 𝑥2
Položíme-li derivaci rovnu nule, najdeme jeden stacionární bod 𝑥 = 0. Určíme znaménka první
derivace na jednotlivých intervalech:
(−∞; 0) (0;∞)
122
+ +
Funkce je na obou intervalech rostoucí a nemá tedy ve stacionárním bodě 𝑥 = 0 lokální extrém. Navíc
je rostoucí na svém celém definičním oboru, tedy 𝑅.
7) Spočítáme druhou derivaci:
𝑓′′(𝑥) =2𝑥
(1 + 𝑥2)2
Položíme-li druhou derivaci rovnu nule, získáme bod 𝑥 = 0. Určíme znaménka druhé derivace na
intervalech:
(−∞; 0) (0;∞)
− +
∩ ∪
Funkce je konkávní na intervalu (−∞; 0⟩ a konvexní na intervalu ⟨0;∞). Inflexní bod je [0; 0].
8) Nyní můžeme podle získaných údajů nakreslit graf funkce 𝑓.
6.4. CVIČENÍ
1) Určete lokální extrémy daných funkcí:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 36𝑥
b) 𝑓(𝑥) =ln 𝑥
𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 1
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 + 2
e) 𝑓(𝑥) = −𝑥2
𝑥+1
f) 𝑓(𝑥) =1
1−𝑒𝑥
g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 +1
𝑥2
h) 𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 2 − 𝑥3
Kap
ito
la: E
XTR
éM
Y FU
NK
CE
A V
YŠET
ŘO
VÁ
NÍ P
RŮ
BĚH
U F
UN
KC
E
123
i) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +4
𝑥 j) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2+4𝑥−1
[a) lokální maximum [−2; 44], lokální minimum [3; −81],
b) lokální minimum nemá, lokální maximum [𝑒; 𝑒−1],
c) lokální maximum [0; 1], lokální minimum [4; −31],
d) lokální maximum [0; 2], lokální minima [−1; 1], [1; 1],
e) lokální maximum [0; 0], lokální minimum [−2; 4],
f) nemá žádné lokální extrémy,
g) lokální maximum nemá, lokální minima [−1; 2], [1; 2],
h) lokální maximum [2; 14], lokální minimum [−2;−18],
i) lokální maximum [−2;−4], lokální minimum [2; 4],
j) lokální maximum nemá, lokální minimum [−2; 𝑒−5]]
2) Určete globální extrémy daných funkcí na daném intervalu:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2, ⟨−2; 2⟩
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∙ 𝑒−𝑥, ⟨−1; 3⟩
c) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥4, ⟨0; 2⟩
d) 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥
1+𝑥, ⟨0; 1⟩
e) 𝑓(𝑥) =𝑥
(𝑥+1)2, ⟨0; 2⟩
f) 𝑓(𝑥) =𝑥2
2𝑥, ⟨−1; 1⟩
g) 𝑓(𝑥) =𝑥
1+𝑥2, ⟨−2; 0⟩
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + sin 𝑥, ⟨0; 2𝜋⟩
i) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 2, ⟨−2; 0⟩
j) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1
𝑥−1, ⟨−1; 0⟩
[a) globální maxima [−1; 4], [2; 4], globální minima [−2; 0], [1; 0],
b) globální maximum [−1; 𝑒], globální minimum [0; 0],
c) globální maximum [1; 1], globální minimum [2; −16],
d) globální maximum [1;𝑒
2], globální minimum [0; 1],
e) globální maximum [1;1
4], globální minimum [0; 0],
f) globální maximum [−1; 2], globální minimum [0; 0],
g) globální maximum [0; 0], globální minimum [−1;−1
2],
h) globální maximum [2𝜋; 2𝜋], globální minimum [0; 0],
i) globální maximum [−1; 9], globální minimum [−2;−2],
j) globální maximum [0; −1], globální minimum [−1;−3
2]]
3) Vyšetřete průběh následujících funkcí a načrtněte jejich graf:
a) 𝑓(𝑥) =𝑥3
𝑥2−1
b) 𝑓(𝑥) =1
𝑥+ ln 𝑥
c) 𝑓(𝑥) =1−2𝑥
3𝑥2
d) 𝑓(𝑥) =𝑥
3−𝑥2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2
Řešení:
124
a) b)
c) d)
e)
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
125
7. APROXIMACE FUNKCE
7.1. CO JE APROXIMACE?
Představme si, že máme počítat hodnoty funkcí v různých bodech jejich definičního oboru. Samozřejmě umíme
sčítat, odčítat, násobit a dělit a jistě i umocňovat přirozeným exponentem, (což je opakované násobení). Ale
odmocninu již patrně těžko zvládneme bez kalkulačky, o goniometrických funkcích není sporu – žádné
„sinování“ a „kosinování“ lidé běžně nezvládají. Jak je tedy možné, že existují již odedávna matematické tabulky
sinu a kosinu nebo tabulky logaritmické, jakým způsobem tyto hodnoty vypočítává kalkulačka?
Takové hodnoty se počítají pomocí tak zvané aproximace funkce – tj. nahrazení funkce, jejíž hodnoty neumíme
počítat, vhodnou funkcí, jejíž hodnoty počítat umíme. Šikovnou funkcí pro aproximaci je například mnohočlen,
který obsahuje sčítání, odčítání, násobení a umocňování přirozeným číslem. Samozřejmě požadujeme, aby se
takový mnohočlen příliš nelišil od naší funkce – tedy musíme zajistit stejný typ monotonie a stejný typ
zakřivenosti. Uvedené vlastnosti závisí na první a druhé derivaci. Ukazuje se, že čím více derivací funkce a
mnohočlenu je shodných, tím lépe mnohočlen aproximuje naši funkci.
Aproximaci konkrétní funkce lze provádět buď v bodě a jeho okolí, nebo v celém intervalu, v němž je funkce
spojitá. Podíváme se nejdříve na aproximaci funkce v okolí daného bodu.
7.2. APROXIMACE POMOCÍ DIFERENCIÁLU
Podívejme se na následující obrázek, podobný tomu, který ilustroval zavedení derivace funkce v bodě 𝑎. Úsečka
vyznačená na obrázku jako 𝑑𝑓(𝑎)(ℎ) je velikost takzvaného diferenciálu funkce, který vypočítáme jako:
df(a)(h) = 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎) ∙ ℎ neboli 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎). (3)
Diferenciál je vlastně přírůstek funkce na tečně a liší se od skutečného přírůstku funkce
∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥),
který udává přesně změnu funkce, změní-li se hodnota argumentu o číslo ℎ.
Číslo ℎ je přírůstkem nezávisle proměnné neboli ∆𝑥. Často ho v souvislosti s diferenciálem značíme 𝑑𝑥 a vzorec
pro diferenciál má pak tvar:
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑎)𝑑𝑥
Blíží-li se ℎ k nule, tedy jsme-li dostatečně blízko bodu 𝑎, liší se diferenciál 𝑑𝑦(𝑎) od přírůstku funkce Δf(a) jen
nepatrně, to znamená, že ho můžeme použít k přibližnému výpočtu hodnoty 𝑓(𝑎 + ℎ).
Přesně se hodnota 𝑓(𝑎 + ℎ) vypočte:
𝑓(𝑎 + ℎ) = 𝑓(𝑎) + ∆𝑓(𝑎),
přibližně se vypočte 𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑑𝑦(𝑎) neboli:
𝑓(𝑎 + ℎ) ≅ 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎) ∙ ℎ
126
Tomuto
výpočtu říkáme aproximace hodnoty funkce diferenciálem. Výpočet je velmi přesný pro malá
h (|ℎ| << 1).
Ukažme si přesnost takového postupu na příkladě.
PŘÍKLAD:
Vypočtěme (1,03)5
Násobení by bylo velice pracné. Výsledek by měl 10 desetinných míst, a tolik jich obvykle nepotřebujeme.
Počítejme tedy přibližně – pomocí diferenciálu:
Použijeme funkci 𝑦 = 𝑥5,
𝑑𝑦 = 𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 , tedy pro nás 𝑑𝑦 = 5𝑥4 𝑑𝑥 .
Hodnota 1,03 je blízko hodnoty 1. Spočítáme tedy 𝑓(1) = 1 a opravíme tuto hodnotu tak, že k ní přičteme
hodnotu diferenciálu pro 𝑥 = 1 a 𝑑𝑥 = 0, 03, neboť je 1, 03 – 1 = 0,03.
Je tedy (1,03)5 ≅ 15 + 5 ∙ 14 ∙ 0,03 = 1,15 . (znaménko ≅ čteme: rovná se přibližně)
Porovnáme-li získaný výsledek s přesně realizovaným výpočtem na deset desetinných míst, zjistíme, že získaná
desetinná místa jsou stejná.
Přesný výsledek uvedený na 6 desetinných míst je 1,159274, a odtud vidíme, že jsme udělali chybu menší než
jednu setinu při velice snadném a rychlém výpočtu.
PŘÍKLAD:
Pomocí diferenciálu vypočtěme přibližně arctg 0, 04.
Obrázek 45 - Ilustrace diferenciálu
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
127
Tuto hodnotu neumíme spočítat ručně. Víme, že arctg 0 = 0. Opravíme ji diferenciálem takto:
𝑦′ =1
1+𝑥2 𝑑𝑦 =1
1+𝑥2 𝑑𝑥
arctg 0,04 ≅ arctg 0 + 1
1 + 02 0,04 = 0,04
Přesnost je opět velká, tabulkový výsledek na šest desetinných míst je roven číslu 0,039979, chyba našeho
výpočtu je tedy 21. 10-6.
Poznámka:
Je-li 𝑑𝑥 = 1, je 𝑓(𝑎 + 1) – 𝑓(𝑎) ≅ 𝑓´(𝑎) . 1
neboli 𝑓(𝑎 + 1) – 𝑓(𝑎) ≅ 𝑓´(𝑎).
Hodnota derivace v bodě 𝑎 tedy přibližně vyjadřuje přírůstek funkce při změně argumentu o 1. Tohoto faktu se
v ekonomických aplikacích často užívá.
7.3. TAYLORŮV A MACLAURINŮV POLYNOM
Pokud nám nestačí počet správně nalezených desetinných míst, které dostaneme při výpočtu pomocí
aproximace diferenciálem, a žádáme-li přesnější výsledek, použijeme aproximaci nějakou jinou funkcí. Častá
aproximace je aproximace polynomem (mnohočlenem).
Víme, že pro každých 𝑛 bodů v rovině existuje polynom stupně 𝑛 − 1 nebo stupně nižšího, který těmito body
prochází.
Konkrétně pro každý bod existuje vodorovná přímka, která jím prochází, pro každé dva body existuje přímka,
která jimi prochází, pro každé tři body existuje parabola, která jimi prochází, anebo pokud body leží v jedné
přímce, existuje přímka, která jimi prochází, atd.
Aproximace Taylorovým polynomem je založena na jednoduchém principu, a to, že dvě funkce jsou si v okolí
bodu 𝑎 tím podobnější, čím více se shodují jejich derivace všech řádů v bodě 𝑎. Hledáme tedy polynom 𝑇(𝑥),
pro který platí, že jeho derivace v bodě 𝑎 jsou stejné jako derivace funkce 𝑓(𝑥) v bodě 𝑎.
DEFINICE: TAYLORŮV POLYNOM
Nechť funkce 𝑓(𝑥) má všechny derivace až do řádu 𝑛 v bodě 𝑎. Pak definujeme Taylorův polynom 𝑇𝑛(𝑥) stupně
𝑛 se středem v bodě 𝑎 následovně:
Tn(x) = f(a) + f´(a)
1! (x − a) +
f´´(a)
2! (x − a)2 +
f´´´(a)
3! (x − a)3 + … +
f(n)(a)
n! (x − a)n,
což lze krátce zapsat:
𝑇𝑛(𝑥) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)
𝑘!
𝑛
𝑘=0
(𝑥 − 𝑎)𝑘 .
Ukažme si nyní, jaký význam má číslo 𝑛 neboli počet členů zkonstruovaného Taylorova polynomu.
128
Představme si, že chceme vypočítat sin 1 (jednoho radiánu). Za střed 𝑎 Taylorova polynomu vezmeme bod 0,
v němž hodnotu funkce sinus známe a víme, že je rovna nule, přičemž číslo 1 je poblíž čísla 0. Provádíme-li
výpočet pomocí prvních dvou členů Taylorova polynomu, aproximujeme vlastně diferenciálem – viz vztah (3) v
odstavci 7.2. Dostáváme
sin 𝑥 = sin 0 + cos 0. (𝑥 − 0),
to znamená, že sin 𝑥 ≅ 𝑥. Funkci 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 tedy nahrazujeme v okolí bodu 𝑎 = 0 funkcí 𝑇1(𝑥) = 𝑥.
Ilustrace této situace je na obrázku 46. Taylorův polynom 𝑇1(𝑥) je zde vyznačen červeně.
Pro 𝑥 = 1 dostáváme pak hodnotu sin 1 = 1.
Druhá derivace funkce 𝑦 = sin 𝑥 je v bodě 0 rovna nule, to znamená, že je 𝑇2(𝑥) = 𝑇1(𝑥).
Přidejme třetí derivaci, ta je (− co𝑠 𝑥). Potom:
sin 𝑥 ≅ sin 0 + cos 0
1! 𝑥 −
sin 0
2! 𝑥2 −
cos 0
3! 𝑥3,
neboli funkci 𝑦 = sin 𝑥 aproximujeme funkcí 𝑇3(𝑥) = 𝑥 − 1
6 𝑥3. Dosadíme-li do 𝑇3(𝑥) číslo 1, dostaneme
𝑇3(1) = 1 −1
6=
5
6 . Kontrolou na kalkulačce zjistíme, že
5
6 = 0,83333, a přesněji zjištěná tabulková hodnota sin 1
= 0,841471, viz obr. 47.
Obrázek 46
Obrázek 47
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
129
Zde je dobře patrné, že by bylo zbytečné pokračovat ve zvyšování stupně Taylorova polynomu. Výsledek by sice
byl přesnější, ale je otázkou, jestli nám získaný počet desetinných míst již nestačí. Proto se v praxi používá
většinou Taylorův polynom stupně dva nebo tři, který je pro běžné účely dostatečně přesnou aproximací funkce
𝑓(𝑥) v okolí středu 𝑎, v daném příkladu 𝑎 = 0.
Přesnost aproximace samozřejmě není pro všechny funkce stejná, závisí na vlastnostech konkrétní funkce 𝑓(𝑥)
v okolí středu, např. na strmosti funkce a tvaru jejího oblouku.
Taylorův polynom, který má střed 𝑎 = 0, se nazývá Maclaurinův polynom. Našli jsme tedy Maclaurinovy
polynomy stupně jedna a tři pro funkci 𝑠𝑖𝑛 𝑥.
Další vlastnosti Taylorova polynomu:
Je-li funkce 𝑓(𝑥) sudá, pak se koeficienty 𝑓𝑘(𝑎)
𝑘! Maclaurinova polynomu rovnají nule pro všechna lichá
𝑘, je-li funkce 𝑓(𝑥) lichá, pak se tyto koeficienty rovnají nule pro sudá 𝑘.
Pro 𝑛 → ∞, dostaneme z Taylorova polynomu nekonečnou řadu zvanou Taylorova řada nebo též
Taylorův rozvoj funkce.
PŘÍKLAD:
Najděme Taylorův polynom stupně 2, který aproximuje funkci 𝑦 = √𝑥 v okolí bodu 𝑎 = 4, a odhadněme
pomocí něho √5 .
Vypočtěme první a druhou derivaci funkce 𝑦 = √𝑥 .
𝑦´ = 1
2√𝑥 𝑦´´ = −
1
4√𝑥3
Dosaďme do funkce a jejích derivací střed 𝑎 = 4. Je 𝑦(4) = 2, 𝑦´(4) = 1
4, 𝑦´´(4) = −
1
32.
Napišme 𝑇2(𝑥) dosazením do vzorce:
𝑇2(𝑥) = 2 + 1
4 (𝑥 − 4) −
1
64 (𝑥 – 4)2.
Všimněme si, že se Taylorův polynom dále neroznásobuje, aby bylo hned patrné, jaký je střed tohoto
polynomu. Vše se vztahuje ke středu 𝑎 a pro přesnost aproximace je důležité, jak daleko je 𝑥 od středu.
Dále je:
√5 ≅ 2 + 1
4 (5 – 4) −
1
64 (5 – 4)2 = 2 +
1
4 −
1
64 = 2 +
15
64 = 2,234375
Příklad:
Najděme 𝑇2(𝑥) pro funkci 𝑦 = 𝑥 + 𝑥e𝑥 v bodě 𝑎 = 0. Jedná se o Maclaurinův polynom.
Je 𝑓´(𝑥) = 1 + e𝑥 + 𝑥e𝑥 a 𝑓´´(𝑥) = 2e𝑥 + 𝑥𝑒𝑥. Do funkce a jejích derivací dosadíme střed:
𝑓(0) = 0, 𝑓´(0) = 2 , 𝑓´´(0) = 2.
Tedy je 𝑇2(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥2.
130
7.4. CHYBA APROXIMACE, ZBYTEK TAYLOROVA POLYNOMU
Položme si otázku, jaká chyba vzniká při nahrazení funkce 𝑓(𝑥) Taylorovým polynomem.
DEFINICE: ZBYTEK TAYLOROVA POLYNOMU
Předpokládejme, že funkce 𝑓(𝑥) má všechny derivace až do řádu (𝑛 + 1) včetně, a uvažujme Taylorův polynom
𝑇𝑛(𝑥) stupně 𝑛 se středem v bodě 𝑎.
Potom definujeme zbytek 𝑅𝑛(𝑥) Taylorova polynomu takto:
𝑅𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥)– 𝑇𝑛(𝑥).
Tento zbytek v absolutní hodnotě udává chybu, které se dopustíme, nahradíme-li funkci 𝑓(𝑥) Taylorovým
polynomem 𝑛-tého stupně. Existuje více tvarů takových zbytků, my si zde uvedeme jeden z nich, takzvaný
Lagrangeův tvar zbytku.
Za předchozích předpokladů existuje číslo 𝑐 mezi čísly 𝑎 a 𝑥 tak, že platí:
𝑅𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑛+1)(𝑐)
(𝑛 + 1)! (𝑥 – 𝑎)𝑛+1,
kde 𝑓(𝑛+1)( 𝑐) značí derivaci (𝑛 + 1)-ho řádu v bodě 𝑐.
Problém je, že neznáme přesně tento bod 𝑐, víme jen, že je mezi body 𝑎 a 𝑥. Není však nutné znát přesnou
velikost chyby, stačí zjistit její horní odhad, abychom chybu spíše přecenili nežli nedocenili. K tomu stačí
odhadnout shora absolutní hodnotu (n+1)-ní derivace funkce f na intervalech ⟨𝑎, 𝑥⟩ nebo ⟨𝑥, 𝑎⟩.
Ukažme si to na příkladu.
PŘÍKLAD:
Odhadněme chybu výpočtu √5 při přibližném výpočtu √5 Taylorovým polynomem 2. stupně (provedeném
v odstavci 7.3.).
Byl zvolen střed a = 4, to znamená, že číslo 𝑐 bude v intervalu (4,5).
Vypočteme třetí derivaci funkce y=√𝑥 a hledáme její maximum na intervalu <4,5>.
y´´´= 3
8√𝑥5 , což je funkce klesající. Nabývá tedy svého maxima v bodě a = 4 a je
𝑦´´´(4) = 3
8√45 =
3
256
Pro celý zbytek pak v intervalu (4,5) platí
𝑅2(𝑥) = 1
512 (𝑥 − 4)3 ,
to znamená, že chyba je na intervalu (4,5) menší nebo rovna absolutní hodnotě tohoto zbytku.
Pro 𝑥 = 5, dostáváme
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
131
| 𝑅2(5) | ≤1
512 ≅ 0,002.
Výsledek 2,2344, který jsme pro odmocninu z pěti získali v odstavci 7.3. je tedy přesný na tři desetinná místa a
můžeme psát √5 = 2,234 ± 0,002. (Přesnější výsledek získaný na kalkulačce je 2,236068).
7.5. DŮLEŽITÉ MACLAURINOVY POLYNOMY
Nyní uveďme několik důležitých Taylorových polynomů základních elementárních funkcí v bodě 𝑥 = 0 neboli
Maclaurinových polynomů těchto funkcí, spolu s Lagrangeovým tvarem zbytku. Bod 𝑐 leží mezi body 0 a 𝑥.
e𝑥 = 1 + 𝑥
1!+
𝑥2
2!+ ⋯+
𝑥𝑛
𝑛!+ 𝑅𝑛(𝑥),
𝑅𝑛(𝑥) = e𝑐
(𝑛 + 1)! 𝑥𝑛+1
sin 𝑥 = 𝑥 – 𝑥3
3! +
𝑥5
5! − … + (−1)n−1
𝑥2𝑛−1
(2𝑛−1)! + 𝑅2𝑛−1(𝑥),
𝑅2𝑛−1(𝑥) = (−1)n cos 𝑐
(2𝑛 + 1)! 𝑥2𝑛+1
cos 𝑥 = 1 − 𝒙𝟐
𝟐! +
𝒙𝟒
𝟒! − … + (−1)n
𝒙𝟐𝒏
(𝟐𝒏)! + 𝑅2𝑛
𝑅2𝑛(𝑥) = (−1)𝑛+1 cos 𝑐
(2𝑛 + 2)! 𝑥2𝑛+2
ln (1 + 𝑥) = 𝑥 −𝑥2
2+
𝑥3
3−
𝑥4
4+ ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑥𝑛
𝑛+ 𝑅𝑛
𝑅𝑛 = (−1)𝑛 𝑥𝑛+1
(1+𝑐)𝑛+1(𝑛+1)
Pokuste se odvodit některý z těchto uvedených Maclaurinových polynomů sami.
7.6. APROXIMACE MNOHOČLENU VYŠŠÍHO STUPNĚ TAYLOROVÝM
POLYNOMEM, HORNEROVO SCHÉMA
Poznámka: Jak již bylo uvedeno, je polynom pouze cizí slovo pro mnohočlen, jsou tedy obě slova zaměnitelná.
V této části je použito názvu mnohočlen pro danou funkci a slovo polynom pro aproximační funkci – Taylorúv
polynom; důvod je pouze ten, abychom I názvem odlišili, že se jedná o dvě různé funkce.
Někdy je vhodné nahradit i samotný mnohočlen Taylorovým polynomem, neboli nahrazujeme vlastně jeden
mnohočlen mnohočlenem jiným. Sice hodnoty mnohočlenu počítat umíme, ale výpočet hodnoty původního
mnohočlenu může být velmi zdlouhavý, pokud se jedná o mnohočlen vyššího stupně, a je-li navíc argument
neceločíselný. Při přesném výpočtu hodnot funkce nám vzniká velký počet desetinných míst, která nás obvykle
nezajímají, a výsledek pak zaokrouhlujeme, tedy je přesný výpočet prováděn vlastně zbytečně.
132
(Např. u mnohočlenu 10. stupně bychom při přesném výpočtu hodnoty v bodě 𝑥 = 1,03 dostali přesný
výsledek s dvaceti desetinnými místy).
Proto vytvoříme Taylorův polynom a počítáme rovnou přibližně, s tím, že docílíme přesnosti na prvních několika
desetinných místech. (Např. v uvedeném případě by nám Taylorův polynom 3. stupně poskytl přesnost na 4–6
desetinných míst). Pokud vyžadujeme větší přesnost, zvětšíme stupeň stávajícího Taylorova polynomu, čili
přidáme jeho další členy.
Poznámka:
Taylorův polynom mnohočlenu je konečný, jelikož mnohočlen stupně 𝑛 má pouze 𝑛 nenulových derivací. My ho
ale nepotřebujeme celý, takže opět vznikne zbytek, se kterým se bude pracovat stejně jako doposud.
Nejdříve se naučíme rychle počítat hodnotu mnohočlenu v daném bodě. Mějme mnohočlen:
Chceme určit jeho hodnotu v bodě 𝑥 = 𝑐 , tedy 𝑃( 𝑐). Výpočet provedeme takto: nejprve upravíme
mnohočlen uzávorkováním na tvar 𝑃(𝑥) = (… ((( 𝑎0𝑥 + 𝑎1 )𝑥 + 𝑎2 )𝑥 + … + 𝑎𝑛 ) a do tohoto tvaru
dosadíme číslo 𝑐.
Vypočteme-li postupně čísla:
𝑏0 = 𝑎0
𝑏1 = 𝑎1 + 𝑏0𝑐
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑏1𝑐
𝑏3 = 𝑎3 + 𝑏2𝑐
….
𝑏𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑐,
pak je 𝑏𝑛 = 𝑃(𝑐).
Popsaný výpočet lze zapsat pomocí schématu, které se nazývá Hornerovo schéma, a má tvar:
a0 a1 a2 … an
c__ b0c b1c … bn-1c
b0 b1 b2 bn = P( c)
Schéma sestrojíme tak, že do prvního řádku napíšeme koeficienty daného mnohočlenu 𝑃(𝑥); pokud některá
z mocnin chybí, píšeme jako koeficient nulu. Na začátek druhého řádku napíšeme číslo 𝑐 a do třetího řádku číslo 𝑏0 = 𝑎0.
Nyní začneme počítat a druhý řádek se třetím doplňujeme současně. Do druhého řádku píšeme postupně 𝑐-
násobky čísel 𝑏0, 𝑏1, … a třetí řádek dostáváme sečtením prvních dvou řádků ve sloupcích.
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
133
PŘÍKLAD:
Vypočtěme hodnotu mnohočlenu
𝑃(𝑥) = 𝑥4 – 2𝑥3 + 3𝑥2 – 2𝑥 – 5
v bodě 𝑐 = 3.
Napoprvé se rozepíšeme trochu podrobněji:
1 -2 3 -2 -5
3 3.1 3.1 3.6 3.16
1 -2+3=1 3+3=6 -2+18=16 -5+48=43 A je tedy 𝑃(3) = 43.
Poznámka:
Hornerovo schéma nám tak umožňuje počítat hodnotu mnohočlenu pouze pomocí násobení a sčítání, není
třeba umocňovat.
PŘÍKLAD:
Určeme hodnotu polynomu
𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 – 1
v bodě 𝑐 = 2.
Hornerovo schéma:
1 0 2 -3 1 -1
2 2 4 12 18 38
1 2 6 9 19 37, a tedy je P(2) = 37.
Hornerovo schéma má dále následující vlastnost: provádíme-li výpočet opakovaně na 3. řádku předchozího
schématu, kde vynecháme poslední vypočtenou hodnotu, dostáváme jako výslednou poslední hodnotu přímo
koeficient Taylorova rozvoje 𝑓(𝑘)(𝑐)
𝑘!, tedy při prvním opakování dostáváme první derivaci v bodě 𝑐, při dalším
opakování ostaneme 𝑓´´(𝑐)
2! atd.
PŘÍKLAD:
Najděme 𝑇3(𝑥) pro mnohočlen
𝑃(𝑥) = 3𝑥6 − 2𝑥5 + 6𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1
v bodě 𝑥 = 1. Dále vypočtěme přibližně 𝑃(1,01).
Opakované Hornerovo schéma dává:
134
3 -2 0 6 -2 1 1
1 3 1 1 7 5 6
3 1 1 7 5 6 7 = P(1)
1 3 4 5 12 17
3 4 5 12 17 23 = 𝑃´(1)
1!
1 3 7 12
3 7 12 24 = 𝑃´´(1)
2!
1 3 10
3 10 22 = 𝑃´´´(1)
3!
a Taylorův rozvoj má tedy tvar:
𝑇3(𝑥) = 7 + 23(𝑥 − 1) + 24(𝑥 − 1)2 + 22(𝑥 − 1)3.
Budeme-li nyní počítat hodnotu mnohočlenu 𝑃(𝑥) pro 𝑥 = 1,01 , lze ji rychle spočítat s přesností na
6 desetinných mist, (přesná hodnota by měla 12 desetinných míst).
𝑇3(1,01) = 7 + 23.0,01 + 24.0,0001 + 22.0,000001 = 7,232422.
7.7. APROXIMACE FUNKCE V INTERVALU
Je-li dána funkce na nějakém interval tabulkově, neboli pomocí jejích hodnot v konkrétních bodech z tohoto
intervalu, je možné za předpokladu spojitosti funkce na tomto intervalu použít tak zvanou intervalovou
aproximaci funkce. Existuje více způsobů intervalové aproximace, podle toho, jaké požadavky jsou kladeny na
aproximační funkci. Velmi používaná je takzvaná metoda nejmenších čtverců, s níž se setkáte ve statistice. My
si všimneme pouze jednoho způsobů aproximace polynomem, jímž je Lagrangeův interpolační polynom.
Pro tabulku funkce o 𝑛 bodech (𝑥-ové souřadnice těchto bodů nazýváme uzly)
𝑥0 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
𝑦0 𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛
lze odvodit Lagrangeův polynom ve tvaru
𝐿𝑛(𝑥) = ∑ 𝑦𝑖
(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑖−1)(𝑥 − 𝑥𝑖+1) … (𝑥 − 𝑥𝑛)
(𝑥𝑖 − 𝑥0)(𝑥𝑖 − 𝑥1) … (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1)… (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛)
pro 𝑖 = 0, 1, 2, … , 𝑛. Zřejmě platí Ln (xi) = yi , tedy Ln(x) nabývá v uzlových bodech stejných hodnot jako
aproximovaná funkce.
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
135
Je-li 𝑛 = 2, dostaneme rovnici paraboly procházející třemi danými body – jedná se o kvadratickou interpolaci.
Poznámka:
Jsou-li body v tabulce od sebe stejně vzdáleny – takzvané ekvidistantní body – a dva po sobě jdoucí mají
vzdálenost ℎ – takzvaný krok – lze zavést do Lagrangeova polynomu substituci 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡ℎ a Lagrangeův
polynom lze pak převést na tvar, jehož koeficienty jsou tabelovány ve speciálních tabulkách.
PŘÍKLAD:
Sestrojme Lagrangeův interpolační polynom 𝐿2(𝑥) pro funkci 𝑓(𝑥) danou tabulkou:
X 0 1/6 ½
y 0 1/2 1
𝐿2(𝑥) = (𝑥 −
1
6) (𝑥 −
1
2)
(−1
6) (−
1
2)
. 0 + 𝑥 (𝑥 −
1
2)
1
6 (
1
6−
1
2)
. 1
2 +
𝑥 (𝑥 −1
6)
1
2 (
1
2−
1
6)
. 1 =
=
1
2𝑥2 −
1
4𝑥
−2
36
+ 𝑥2 −
1
6𝑥
2
12
= −9𝑥2 + 4,5𝑥 + 6𝑥2 – 𝑥 = −3𝑥2 + 3,5𝑥
Je tedy 𝐿2(𝑥) = −3𝑥2 + 3,5𝑥.
Odtud můžeme například spočítat neznámou hodnotu tabulkové funkce v bodě 𝑥 = 0,1.
𝐿2(0,1) = −3 (0,1)2 + 3,5 . 0,1 = 0,32.
Přibližná hodnota funkce 𝑓(0,1) je tedy rovna 0,32.
(Všimněte si, že daná tabulka může být např. tabulkou funkce 𝑦 = sin 𝜋𝑥 v intervalu ⟨0,𝜋
2⟩. Pro srovnání:
hodnota funkce 𝑦 = sin 𝜋𝑥 přesná na 4 desetinná místa je 0,3090).
7.8. CVIČENÍ
1) Pro funkci 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥 najděte hodnotu přírůstku i diferenciálu při změně argumentu z hodnoty 2 na
hodnotu 2,1.
[∆𝑦 = 1,461; 𝑑𝑦 = 1,4]
2) Jak se přibližně změní hodnota funkce 𝑦 =1+𝑐os 𝑥
1− 𝑐os 𝑥 při změně 𝑥 z hodnoty
𝜋
3 na hodnotu
𝜋
3 + 0,01.
[∆𝑦 ≅ 𝑑𝑦 = −0,0693]
3) Užitím diferenciálu vypočtěte přibližnou hodnotu
a) arctg 0,97
b) arcsin 0 , 4983
136
c) sin 29 °
d) 𝑦 = e0,1𝑥 (1−𝑥) pro 𝑥 = 1,05
e) 𝑦 = sin 61 °
[𝑎)0,770, 𝑏) 0,52164, 𝑐) 0,4849, 𝑑) 0,995, 𝑒) 0,0087]
4) Má funkce y = |𝑥| diferenciál v bodě x = 0? Své tvrzení zdůvodněte.
[nemá]
5) Najděte Maclaurinův polynom funkce 𝑦 =1
1−𝑥.
[1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑛 + R𝑛 ) ]
6) Najděte Maclaurinův polynom funkce 𝑦 = 𝑥 e𝑥.
[𝑥 +𝑥2
1!+
𝑥3
2!+
𝑥4
3!+ ⋯+
𝑥𝑛
𝑛!+ R𝑛]
7) Napište Taylorův polynom n-tého stupně pro funkci y = 1
𝑥 v okolí bodu 𝑎 = −1.
[𝑇𝑛(𝑥) = −1 − (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)2 − ⋯(𝑥 + 1)𝑛 + 𝑅𝑛]
8) Napište Taylorovu řadu funkce y = x3 ln x v bodě a = 1.
[(𝑥 − 1) +5
2(𝑥 − 1)2 +
11
6(𝑥 − 1)3 + ⋯ ]
9) Pomocí Taylorova polynomu vypočtěte funkční hodnotu arctg 0,88 s přesností na tři desetinná místa . Kolik
členů musíte uvažovat?
[0,719; 4 členy]
10) Ukažte, že při výpočtu hodnot funkce y = ex v intervalu (0;1
2⟩ pomocí Maclaurinova polynomu 3. stupně je
chyba menší než 0,01. Vypočtěte √𝑒.
[1,65]
11) Napište Taylorův polynom pro mnohočlen P(x) = x4 – 5x3+11x – 8 v bodě 𝑎 = −2. Použijte Hornerovo
schéma.
[ 𝑇4(𝑥) = 26 − 81(𝑥 + 2) + 54(𝑥 + 2)2 − 13(𝑥 + 2)3 + (𝑥 + 2)4 ]
12) Pomocí Hornerova schématu vypočtěte P(1), P´(1) a P´´(1) pro funkci P(x) = x4 – 5x3+ x2 – 3x + 4 a napište
Taylorův polynom 2. stupně v bodě a=1.
[𝑃(1) = −2, 𝑃´(1) = −12, 𝑃´´(1) = −16;
𝑇2(𝑥) = −2 − 12(𝑥 − 1) − 8(𝑥 − 1)2 ]
13) Taylorovým polynomem 2. stupně aproximujte mnohočlen P(x) = x10 – 3x6 + x2 + 2 a přibližně jím vypočtěte
P(1,03).
Kap
ito
la: A
PR
OX
IMA
CE
FUN
KC
E
137
[𝑇2(𝑥) = 1 − 6(𝑥 − 1) + (𝑥 − 1)2 + 𝑅; 𝑇2(1,03) = 0,82]
14) Najděte první tři členy Taylorova polynomu pro funkci P(x) = x80-x40+x20 v bodě x = 1 a přibližně jím
vypočtěte hodnotu P(x) pro x = 1,005.
[𝑇2(𝑥) = 1 + 60(𝑥 − 1) + 2570(𝑥 − 1)2 ; 𝑇2(1,005) = 1,364]
15) Sestrojte Maclaurinův polynom 2. stupně pro aproximaci funkce y = cos x v okolí bodu 0. Dále zjistěte, jaká
je přesnost aproximace pro |𝑥| ≤ 0,1.
[cos 𝑥 ≅ 1 −𝑥2
2 ; 𝑅3(𝑥) ≤ 4,2 . 10−6 < 5 . 10−6, 𝑡edy je přesných 5 desetinných míst ]
16) Najděte Maclaurinův polynom se zbytkem pro funkci y = e2x, n = 5.
[1 + 2𝑥 + 2𝑥2 +4
3𝑥3 +
2
3𝑥4 +
4
15𝑥5 +
4
45𝑒2𝑐𝑥6, kde c je mezi 𝑥 a 0]
17) Najděte Maclaurinův polynom se zbytkem pro funkci y = arcsin x, n = 2.
[arcsin 𝑥 = 𝑥 +1 + 2𝑐2
6(1 − 𝑐2)5
2
𝑥3, kde 𝑐 je mezi 0 𝑎 𝑥]
18) Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom L3(x) pro funkci f(x) danou v intervalu ⟨0,1
2⟩ tabulkově třemi body
A[0,1] , B[1
3,1
2] , C[
1
2, 0] .Navrhněte, kterou funkci bychom mohli tímto polynomem aproximovat.
[𝐿2(𝑥) = −3𝑥2 + 0,5𝑥 + 1; 𝑦 = cos πx v ⟨0,𝜋
2⟩]
19) Křivku, která prochází body A[1,4], B[3,10], C[4,19], D[6,79], aproximujte Lagrangeovým interpolačním
polynomem v intervalu ⟨1,6⟩.
[𝐿3(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 14𝑥 − 5]
20) Pomocí Lagrangeova interpolačního polynomu vypočtěte přibližně tg 35°. Použijte známé hodnoty pro 𝑥 =
0,𝜋
6 ,
𝜋
4.
[0,69404]
21) Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom, který je dán body v následující tabulce:
X 0 2 3 5
f(x) 1 3 2 5
[𝐿3(𝑥) =3
10𝑥3 −
13
6𝑥2 +
62
15𝑥 + 1 ]
138
8. ÚVOD DO ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC, VEKTOROVÝ PROSTOR
8.1. MOTIVAČNÍ PŘÍKLAD , VEKTOROVÝ PROSTOR
Mějme soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých.
x1 + 2x2 + x3 = 8
- x1 + x2 + 2x3 = 7
x1 + 3x2 = 7
Tato soustava by již byla poměrně obtížněji řešitelná, pokud bychom dosazovali z jedné rovnice do druhé, jak
bylo zvykem při počítání soustavy dvou rovnic o dvou neznámých na střední škole. Víme ale, že existuje druhý
způsob řešení, který spočívá v tom, že jednu rovnici vynásobíme vhodným číslem a sečteme s druhou rovnicí, a
tak docílíme toho, že jedna neznámá ze soustavy vypadne. Pak se již druhá neznámá snadno vypočítá.
Tento druhý postup budeme nyní používat a vytvoříme pro něj algoritmus. Abychom nemuseli stále opisovat
neznámé, uděláme si tabulku koeficientů stojících u těchto neznámých a budeme počítat jen s touto tabulkou.
Na pravou stranu za čáru si napíšeme pravé strany rovnic, se kterými samozřejmě děláme tytéž úpravy jako
s levými stranami. Dostaneme tabulku:
( 1 2 1−1 1 2 1 3 0
| 877) , která se nazývá rozšířená matice soustavy.
Tabulka, která neobsahuje sloupec pravých stran, pouze koeficienty u neznámých, tedy tabulka ( 1 2 1−1 1 2 1 3 0
),
se nazývá matice soustavy lineárních rovnic.
Dále budeme pracovat s rozšířenou maticí. Budeme se snažit vyloučit ze druhé a třetí rovnice neznámou 𝑥1,
neboli budeme chtít mít nuly v 1. sloupci ve druhém a třetím řádku. Nejprve sečteme druhý a první řádek a
výsledky píšeme do druhého řádku, poté vynásobíme 1. řádek číslem (-1), sečteme se třetím řádkem a výsledek
píšeme do třetího řádku. Dostáváme:
(1 2 10 3 30 1 −1
|815−1
).
Nyní můžeme vyměnit pořadí druhé a třetí rovnice, abychom získali u neznámé x2 jedničku. Dostáváme:
(1 2 10 1 −10 3 3
| 8−115
).
Dále budeme násobit druhý řádek číslem (-3) a sečteme ho s řádkem třetím, aby ve třetí rovnici vypadlo x2.
Dostaneme:
(1 2 10 1 −10 0 6
| 8−118
).
Ze třetího řádku potom dostaneme, že
Kap
ito
la: Ú
VO
D D
O Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
, VEK
TOR
OV
Ý P
RO
STO
R
139
6𝑥3 = 18,
to znamená že 𝑥3 = 3. Dosadíme za 𝑥3 do druhého řádku, a dostaneme
𝑥2 − 3 = −1
tedy 𝑥2 = 2. Dosadíme za 𝑥2 i 𝑥3 do prvního řádku a dostáváme
𝑥1 + 4 + 3 = 8,
to znamená, že 𝑥1 = 1. Výsledek zapíšeme přehledně ve tvaru aritmetického vektoru, což je uspořádaná trojice
reálných čísel, u nás trojice (1, 2, 3). Říkáme, že se jedná o vektor z vektorového prostoru 𝑉3. Zkoušku
provedeme dosazením tohoto vektoru do všech tří daných rovnic, kde se levá strana musí po dosazení rovnat
straně pravé.
Popsaná metoda se nazývá Gaussova eliminační metoda. Při řešení příkladu jsme prováděli úpravy se řádky –
násobili jsme je reálným číslem nebo sčítali. Stejné operace lze provádět s aritmetickými vektory.
DEFINICE: ARITMETICKÝ VEKTOROVÝ PROSTOR
Symbolem Vn, n ∈ N, budeme značit aritmetický vektorový prostor, který je tvořen uspořádanými n-ticemi
reálných čísel, tj.
𝑽𝒏 = {(𝑎1, … 𝑎𝑛), 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑹}.
Prvky prostoru Vn se nazývají vektory. Budeme je značit malými tučnými písmeny, např. a, b.
Součet vektoru a násobení vektoru reálným číslem r jsou pro prvky tohoto prostoru definovány
po složkách, tj. (a1, …,an) + (b1, …, bn) = (a1+b1, …, an+bn) a r(a1, …an) = (ra1, …, ran) .
Výraz r1u1+ r2u2 + … + rnun ,
kde ui∈ 𝑽𝒏 a rí∈ R pro i = 1,2, …, n se nazývá lineární kombinace vektorů u1 , ….un s koeficienty r1, …, rn.
Vektor o = (0, 0,…, 0) se nazývá nulový vektor a vektor -a = (-a1, …, -an) se nazývá opačný vektor k vektoru
a = (a1, …an).
Zavedený aritmetický vektorový prostor je zvláštním případem (říkáme realizací) algebraické struktury zvané vektorový prostor.
DEFINICE : VEKTOROVÝ PROSTOR
Neprázdná množina X s operacemi součet prvkú z X, která každým prvkům x 𝜖 X , y 𝜖 X přiřazuje
prvek x + y 𝜖 X, a násobek prvku, která každému r 𝜖 R a každému x 𝜖 X přiřazuje prvek r x 𝜖 X, je
vektorovým prostorem, jsou-li pro všechny prvky x, y, w 𝜖 X a r; s 𝜖 R splněny následující vlastnosti:
x + y = y + x
x + (y + w) = (x + y) + w;
existuje prvek o 𝜖 X tak, že x + o = x;
r(x + y) = r x + r y;
(r + s)x = r x + s x;
r(s x) = (r s)x;
1 x = x, 0 x = o.
140
Prvky z X nazveme vektory , o je nulový vektor.
Jednou z realizací může být výše uvedený aritmetický vektorový prostor, který splňuje všechny vlastnosti obecného vektorového prostoru zvané též axiomy vektorového prostoru. O další realizaci pohovoříme v následující kapitole. Jak je vidět, axiomy jsou vlastně komutativní zákon, asociativní zákon a distributivní zákony. Dále je v prostoru velmi důležitá existence nulového vektoru o. Při řešení soustavy lineárních rovnic lze řádky rozšířené matice soustavy považovat za vektory (budeme je později nazývat řádkové vektory matice). V případě naší soustavy to byly vektory z aritmetického prostoru V4 (uspořádané čtveřice). Tyto vektory jsme modifikovali pomocí tzv. elementárních úprav:
záměna pořadí vektorů;
vynásobení některého z vektorů nenulovým reálným číslem;
nahrazení některého z vektorů součtem tohoto vektoru s násobkem jiného vektoru.
V případě, že úpravy provádíme s řádkovými vektory matice, dostáváme provedením těchto úprav matici, která je s původní maticí ekvivalentní (přechod od jedné ke druhé značíme ~) a nemění řešení soustavy. Při řešení soustavy jsme pomocí ekvivalentních úprav získali „trojúhelníkovou“ matici soustavy, která je speciálním případem matice v Gaussově tvaru, o které bude řeč později. Docílili jsme toho přímým chodem Gaussovy metody. Jednotlivé neznámé pak z takto upravené soustavy vypočítáme zpětným chodem, tj. zezdola nahoru.
DEFINICE: LINEÁRNÍ ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST VEKTORŮ
Říkáme, že vektory u1, u2, …, uk jsou lineárně nezávislé jestliže platí podmínka:
kdykoliv je r1u1 + r2u2+ … + rkuk = o ; potom r1 = r2 = … = rk = 0.
(tj. nulový vektor o je lineární kombinací vektorů u1 , …uk pouze s nulovými koeficienty r1,…,rk)
Vektory, které nejsou lineárně nezávislé, se nazývají lineárně závislé.
Poznámky:
Je-li alespoň jeden z vektorů u1, …uk nulový, jsou tyto vektory lineárné závislé
Jeden vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když je nulový.
Dva vektory u, v jsou lineárně závislé, právě když je jeden z nich násobkem druhého.
Vektory u1, …uk jsou lineárně závislé právě když alespoň jeden z nich je možné vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních.
Při elementárních úpravách se může stát, že se některý řádek rozšířené matice soustavy celý vynuluje (říkáme,
že je nulový), což znamená, že vektor tohoto řádku je závislý na předchozích vektorech, tj. příslušná rovnice je
závislá na předchozích rovnicích, a je tedy nadbytečná.
Může se také stát, že se vynuluje řádek matice soustavy, ale příslušný řádek rozšířené matice soustavy nulový
není. V tom případě dostáváme rovnici typu 0 = k, kde k ≠ 0, která zjevně nemůže být splněna. To znamená, že
soustava nemá řešení. Ukážeme si to na následujícím příkladě:
Kap
ito
la: Ú
VO
D D
O Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
, VEK
TOR
OV
Ý P
RO
STO
R
141
x1 + x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2 + x3 = 6
x1 + 2x2 = 4
Napišme si rozšířenou matici a provádějme elementární úpravy s řádky, jak bylo popsáno výše. Dostaneme
postupně:
(1 1 12 3 11 2 0
| 364)~(
1 1 10 1 −10 1 −1
| 3 0 1
)~(1 1 10 1 −10 0 0
| 3 0 1
).
V posledním řádku jsme dostali 0 = 1. Soustava tedy nemá řešení.
Pokud se stane, že pro řešitelnou soustavu zbude po elementárních úpravách méně nenulových řádků
rozšířené matice, než je neznámých, má pak soustava nekonečně mnoho řešení. Tímto případem se budeme
podrobně zabývat později.
Poslední operací s vektory, kterou si zde zavedeme, je skalární součin dvou vektorů, který budeme potřebovat v
další kapitole.
DEFINICE: SKALÁRNÍ SOUČIN
Mějme dva vektory u,v ∈ Vn . Skalární součin vektorů u = (u1,…,un) a v = (v1, …, vn) je reálné číslo
u.v = u1v1 + u2v2 + …+ unvn
Např. skalární součin vektorů u = (3, 4, -1) a v = (2, 5, 3) je reálné číslo u.v = 3.2 + 4.5 + (-1).3 = 23 .
8.2. CVIČENÍ
1) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
x – y + z = 0
2x + y – z = 6
2y + z = -5
[𝑋 = (2, −1,−3)]
2) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
x – 3y + 2z = 0
2x + y – 4z = 0
3x + y + z = 0
[𝑋 = (0, 0, 0)]
142
3) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
x + 2y – z = 2
2x + 3y + z = 6
3x + 4y + 3z = 6
[nemá řešení]
4) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
3x + 4y + 6z = - 30
x + 3y + 7z = 0
4x + y = - 61
[𝑋 = (−16, 3, 1)]
5) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
x – z = 0
y – t = 0
-x + z – u = 0
-y + t – v = 0
-z + u = 0
-t + v = 0
[𝑋 = (0, 0, 0, 0, 0,0)]
6) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
x + y + z = 0
3x – 2y – 5z = 7
-2x + 3y + 15z = 2
[𝑿 = (2, −3, 1)]
7) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
-x + y + z = -4
x + 3y – 2z = 1
x + 7y – 3z = -3
[nemá řešení]
Kap
ito
la: Ú
VO
D D
O Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
, VEK
TOR
OV
Ý P
RO
STO
R
143
8) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
2x + 3y – 5z + 6t + 2u = 5
10x – y + 3z – 7t + 7u = -3
-x + 2y – 5z + 2t + u = 8
3x – y + 6z -– 3t + 2u = 5
x + y – z + t + u = 4
3y – 6z + 3t + 2u = 12
[𝑿 = (−3, 7, 2, −1, 3)]
9) Řešte soustavu Gaussovou metodou:
2x – y + z + v = 1
y + 12z = 2
x + y + 22z + v = 3
x – 2y – v = -5
[𝑿 = (17
7,26
7, −
1
7, 0)]
144
9. MATICE A MATICOVÉ ROVNICE
9.1. TYPY MATIC
DEFINICE MATICE:
Tabulka čísel o 𝑚 řádcích a 𝑛 sloupcích tvaru:
𝐀 = (
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
)
se nazývá matice typu (𝑚, 𝑛).
Čísla 𝑎𝑖𝑗 se nazývají prvky matice. Řádkový index 𝑖 označuje řádek, sloupcový index 𝑗 označuje sloupec, ve
kterém prvek leží. Pokud 𝑎𝑖𝑗 ∈ R, hovoříme o reálné matici.
Vektory 𝐮𝟏= (𝑎11 … . 𝑎1𝑛), …𝐮𝐦 = (𝑎𝑚1, … . 𝑎𝑚𝑛) se nazývají řádkové vektory matice A (stručněji řádky),
vektory 𝐯𝟏 = (𝑎11, … , 𝑎𝑚1), …, 𝐯𝐧 = (𝑎1𝑛, … . 𝑎𝑚𝑛) se nazývají sloupcové vektory matice A (stručněji sloupce).
Prvky, které mají řádkový a sloupcový index stejný, tvoří hlavní diagonálu matice a nazývají se diagonální
prvky.
Pokud 𝑚 = 𝑛, je matice čtvercová, pokud m ≠ n, je matice obdélníková. Matice obvykle značíme velkými
písmeny a jejich prvky pak malými písmeny.
Tak např.:
𝐁 = (3 −52 6
)
je čtvercová matice typu (2,2), a toto vyjadřujeme kratším způsobem – čtvercová matice je řádu 2.
𝐂 = (1 3 74 −3 5
)
je obdélníková matice typu (2,3).
Povšimněme si některých speciálních matic:
Nulová matice je matice složená ze samých nul. Např. matice
𝐎 = (0 00 00 0
)
je obdélníková nulová matice typu (3,2).
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
145
Jednotková matice je čtvercová matice, která má v hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Značí
se obvykle E nebo I. (My ji budeme značit E).
Např.
𝐄 = (1 00 1
)
je jednotková matice řádu 2,
𝐄 = (1 0 00 1 00 0 1
)
je jednotková matice řádu 3.
Opačná matice −𝐀 k původní matici 𝐀 je stejného typu a má všechny prvky s opačnými znaménky než matice
𝐀.
Tedy k matici 𝐀 = (1 0 −24 −6 7
) je opačná matice
−𝐀 = (−1 0 2−4 6 −7
) .
Transponovaná matice 𝐀𝐓 k matici 𝐀 je matice, u níž z řádkových vektorů matice A
uděláme sloupcové vektory. Je-li tedy původní matice typu (𝑚, 𝑛), je transponovaná matice typu (𝑛,𝑚).
𝐀 = (1 0 34 5 7
) je typu (2,3) ,
𝐀𝐓 = (1 40 53 7
) je typu (3,2).
Diagonální matice je matice, jejíž všechny nediagonální prvky jsou nulové a alespoň jeden diagonální prvek je
od nuly různý.
Např.
𝐀 = (1 0 0 00 3 0 00 0 5 0
) je diagonální matice typu (3,4).
Skalární matice je diagonální matice, která má v hlavní diagonále stejná reálná čísla.
Např.
𝐂 = (4 0 00 4 00 0 4
) je skalární matice řádu 3.
Symetrická matice S je taková čtvercová matice, pro kterou platí 𝑠𝑖𝑗 = 𝑠𝑗𝑖 , to znamená, že je symetrická podle
své hlavní diagonály.
Např.
𝐒 = (1 3 43 2 64 6 0
)
146
je symetrická matice řádu 3. Samozřejmě, že všechny jednotkové matice, nulové čtvercové matice a skalární
čtvercové matice jsou symetrické.
Horní a dolní trojúhelníkové matice jsou takové čtvercové matice, kde diagonální prvky jsou různé od nuly a
pro horní trojúhelníkovou matici jsou všechny prvky ležící pod hlavní diagonálou nulové, u dolní trojúhelníkové
matice jsou všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.
Tak např. matice
𝐀 = (1 3 00 6 20 0 7
)
je horní trojúhelníková matice řádu 3 a matice
𝐁 = (1 08 3
)
je dolní trojúhelníková.
9.2. OPERACE S MATICEMI
DEFINICE: ROVNOST MATIC
Dvě matice jsou si rovny, jsou-li stejného typu a mají-li na odpovídajících místech se stejnými indexy stejné
prvky.
DEFINICE: SOUČET DVOU MATIC, NÁSOBENÍ MATICE REÁLNÝM ČÍSLEM
Mějme dvě matice A, B stejného typu (m,n). Součet dvou matic je matice A+B téhož typu, která má prvky 𝑎𝑖𝑗 +
𝑏𝑖𝑗 pro i = 1, …, m; j = 1, …, n .
Mějme matici A typu (m,n). Je dáno reálné číslo r𝜖 R. r-násobek matice A je matice rA stejného typu, která má
prvky r𝑎𝑖𝑗 pro i = 1,…,m ; j = 1,…, n .
(Násobíme-li nulou, dostáváme tedy nulovou matici, která je téhož typu jako matice původní).
PŘÍKLAD:
Mějme matici 𝐀 = (1 23 4
). Matice
5. 𝑨 = (5 1015 20
).
Je-li 𝐀 = (1 6 −12 3 −3
), 𝐁 = (1 2 71 5 6
), potom je součet
𝐀 + 𝐁 = (2 8 63 8 3
).
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
147
Z uvedených definic součtu matic a násobení matice reálným číslem je zřejmé, že lze zavést vektorový prostor M𝑚𝑛 matic typu (m,n). Tento vektorový prostor má stejné vlastnosti jako aritmetický vektorový prostor Vn, liší
se pouze tvarem objektů. Nulovým vektorem v prostoru Mm;n je nulová matice O.
Podobně jako v aritmetickém vektorovém prostoru platí A + O = A pro každou matici A 𝜖 Mm;n.
Dále definujme rozdíl matic A - B jako matici A + (-1)B. V tomto vektorovém prostoru je -B = (-1)B opačným
vektorem k vektoru B.
Dále definujme součin dvou matic. Na rozdíl od součtu není tato operace definovaná na prostoru 𝐌𝑚𝑛.
Násobit lze jen takové matice, kde levá matice má stejný počet sloupců jako má pravá matice řádků. Tedy
máme-li matici 𝐀 typu (𝑚, 𝑝) a matici 𝐵 typu (𝑟, 𝑛), musí platit 𝑝 = 𝑟, aby bylo možné vypočítat 𝐀 ∙ 𝐁, a pro
realizaci součinu matic 𝐁 ∙ 𝐀 musí být n= 𝑚. Odtud již vidíme, že násobení matic není obecně komutativní,
někdy jdou matice násobit jen jedním směrem, a druhým ne, a v případě, že lze provést obojí násobení,
výsledné matice si nemusí být rovny, dokonce ani nemusí být téhož typu. Násobení se pak provádí tak, že
skalárně násobíme 𝑖-tý řádek matice stojící v součinu vlevo se všemi sloupci matice stojící vpravo, a tím
dostáváme 𝑖-tý řádek výsledné matice, (viz definice skalárního součinu v odstavci 8).
DEFINICE : SOUČIN MATIC
Mějme dvě matice, A = (𝑎𝑖𝑗) typu (m,p), B = (𝑏𝑖𝑗) typu (p,n). Součin C = (𝑐𝑖𝑗) je matice typu (m,n), kde každý
prvek 𝑐𝑖𝑗 je skalárním součinem i-tého řádku matice A s j-tým sloupcem matice B, tj.
𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘
𝑝
𝑘=1
𝑏𝑘𝑗 ,
kde 𝑖 = 1, … ,𝑚 a 𝑗 = 1, … , 𝑛. Výsledná matice C je pak typu (𝑚, 𝑛).
PŘÍKLAD:
𝐀 = (1 2 34 5 6
) , 𝐁 = (2 43 −16 0
).
Matice 𝐀 je typu (2,3) a matice 𝐁 je typu (3,2).
Součin 𝐂 = 𝐀 ∙ 𝐁 lze provést (počet sloupců matice 𝐀 je tři a počet řádků matice 𝐁 je také tři). Výsledná
matice je pak typu (2,2) , a je:
𝐂 = (1.2 + 2.3 + 3.6 1.4 + 2. (−1) + 3.0
4.2 + 5.3 + 6.6 4.4 + 5. (−1) + 6.0 ) = (
26 259 11
) .
Součin 𝐃 = 𝐁 ∙ 𝐀 lze též provést (počet sloupců levé matice a počet řádků pravé matice – takzvaný styčný
rozměr – je 2), a výsledná matice 𝐃 je typu (3,3).
𝐃 = (2 43 −16 0
) . (1 2 34 5 6
) =
148
= (2.1 + 4.4 2.2 + 4.5 2.3 + 4.63.1 − 1.4 3.2 − 1.5 3.3 − 1.66.1 + 0.4 6.2 + 0.5 6.3 + 0.6
) = (18 24 30−1 1 3 6 12 18
) .
Čtvercové matice téhož řádu lze samozřejmě násobit oběma směry, ale výsledné matice nemusí být stejné,
součinem dvou nenulových matic může být dokonce i nulová matice (tato vlastnost nikdy neplatí při násobení
reálných čísel – násobíme-li dvě nenulová čísla, nemůže být výsledkem nula).
Např. pro matice 𝐀 = (−6 −3 2 1
) a 𝐁 = ( 1 −1−2 2
) je
𝐀 ∙ 𝐁 = (0 00 0
) a 𝐁 ∙ 𝐀 = (−8 −416 8
).
Je-li jedna ze dvou matic jednotková nebo skalární, je násobení matic komutativní (přesvědčte se sami).
Pokud pro čtvercové matice platí A∙ 𝐁 = B∙ 𝐀, říkáme, že matice A a B spolu komutují.
Základní pravidla pro počítání s maticemi shrneme v následující větě:
VĚTA:
A, B, C jsou matice, E je jednotková matice, O je nulová matice, r je reálné číslo.
r(AB) = (rA)B = A(rB)
(AB)C = A(BC)
A(B+C) = AB + AC
(A+B)C = AC + BC
0A = O
EA= A , AE = A
První dvě vlastnosti jsou asociativní zákony, druhé dvě distributivní zákony. Je-li matice obdélníková, pak
jednotkové matice z poslední vlastnosti jsou v první a druhé rovnosti navzájem odlišného typu.
Mocnina matice se zavádí pouze pro přirozený exponent, a to tak, že:
𝐀𝟐 = 𝐀 ∙ 𝐀, 𝐀𝟑 = 𝐀 ∙ 𝐀 ∙ 𝐀, atd.
Dělení matic není definováno.
Poznámka:
Soustavu rovnic lze pomocí matic napsat ve tvaru Ax = b, kde A je matice koeficientů u jednotlivých
neznámých, x je vektor řešení a b je vektor pravých stran. Vektory jsou zapsány ve sloupcích, aby bylo možné
provést násobení. Tak např. naše úvodní soustava z kapitoly 8 by byla zapsána v maticovém tvaru takto:
( 1 2 1−1 1 2 1 3 0
)(
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (877) .
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
149
9.3. HODNOST MATICE
DEFINICE HODNOSTI MATICE :
Hodnost matice A je celé nezáporné číslo h(A), které je matici A přiřazeno takto: hodnost nulové matice je nula, (tj. h(O) = 0); pro nenulovou A je hodnost h(A) rovna maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků v matici A. (tj. h(A) = k, jestliže matice A obsahuje k lineárně nezávislých řádků a každá skupina jejích (k + 1) řádků je lineárně závislá).
Hodnost matice se hledá pomocí převedení matice na Gaussův tvar elementárními úpravami.
DEFINICE: ELEMENTÁRNÍ ÚPRAVY MATICE, EKVIVALENTNÍ MATICE
Elementární úpravy matice jsou tyto úpravy:
záměna pořadí řádků;
vynásobení některého řádku matice nenulovým reálným číslem;
přičtení libovolného násobku některého řádku matice k jinému řádku matice.
Provedením konečného počtu elementárních úprav na matici A dostaneme matici B, která je ekvivalentní s
původní maticí A. Přechod k ekvivalentní matici značíme A~B .
Ekvivalence matic je symetrická vlastnost. Je-li A~𝐁, je též 𝐁~𝐀. Ekvivalentní matice jsou stejného typu.
VĚTA :
Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost.
DEFINICE : GAUSSŮV TVAR MATICE
Říkáme, že matice 𝐀 je v Gaussově tvaru, jestliže platí:
a) je-li 𝑎𝑝𝑟 první nenulový prvek 𝑝-tého řádku a 𝑎𝑠𝑡 první nenulový prvek 𝑠-tého řádku a je-li 𝑝 < 𝑠, pak
je 𝑟 < 𝑡;
b) každý nenulový řádek matice 𝐀 má nižší řádkový index než kterýkoli nulový řádek této matice.
Tak např. matice
𝐁 = (1 3 −1 60 0 0 00 2 4 3
)
není v Gaussově tvaru, poněvadž není splněna podmínka b).
Matice
𝐂 = (0 2 3 12 1 2 10 0 0 0
)
150
též není v Gauussově tvaru, jelikož není splněna podmínka a). První nenulový prvek prvního řádku (𝑝 = 1) má
sloupcový index 𝑟 = 2. První nenulový prvek 2. řádku (𝑠 = 2) má sloupcový index 𝑡 = 1. Platí, že 𝑝 < 𝑠, ale
není 𝑟 < 𝑡.
Matice 𝐀𝟏, 𝐀𝟐, 𝐀𝟑 jsou v Gaussově tvaru:
𝐀𝟏 = (1 3 00 4 10 0 5
) 𝐀𝟐 = (2 3 4 5 30 0 1 2 −20 0 0 1 1
) 𝐀𝟑 = (0 1 1 10 0 0 10 0 0 0
) .
Všimněme si, že horní trojúhelníková matice definovaná v odstavci 9.1. je speciálním případem matice
v Gaussově tvaru. Gaussův tvar existuje pro každou matici, která není nulová. Ovšem k jedné matici A lze nalézt
různými elementárními úpravami různé matice v Gaussově tvaru. Všechny ale mají stejný počet nenulových
řádků.
VĚTA:
Nenulové řádkové vektory v matici v Gaussově tvaru jsou lineárně nezávislé.
Důsledek: Je-li tedy matice v Gaussově tvaru, je její hodnost rovna počtu nenulových řádků.
Poznámka: Všimněme si, že úpravy s řádky odpovídají práci s lineárními rovnicemi z odstavce 8.1. Pořadí rovnic
jsme mohli též libovolně měnit, každou rovnici bylo možné násobit číslem různým od nuly a přičíst ji k rovnici
jiné.
Poznámka: elementární transformace matic lze provádět také se sloupcovými vektory. Dostáváme tak
sloupcově ekvivalentní matice, které mají též stejnou hodnost jako matice původní. Důsledkem toho je zřejmě
následující věta.
VĚTA :
Nechť AT je transponovaná matice k matici A. Pak je h(A)= h(AT) .
Vznikne-li totiž řádkovými úpravami z matice 𝐀 matice 𝐆, která je v Gaussově tvaru, vznikne z matice 𝐀𝐓 týmiž
elementárními úpravami se sloupci matice 𝐆𝐓, která je též v Gaussově tvaru. Jelikož je ℎ(𝐆) = ℎ(𝐆𝐓), je též
ℎ(𝐀) = ℎ(G) = ℎ(𝐆𝐓) = ℎ(𝐀𝐓).
Odtud rovněž plyne další vlastnost hodnoati, a to:
VĚTA :
Mějme matici A typu (m,n). Pro její hodnost platí h(A) ≤ min (m, n) , tj. je menší nebo rovna minimu z počtu
řádků a počtu sloupců.
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
151
PŘÍKLAD:
Převeďme matici 𝐀 = (3 2 41 2 54 1 0
) na Gaussův tvar. Nejprve použijeme úpravu a) a vyměníme vzájemně řádek
druhý a první, abychom dostali jedničku do horního levého rohu. Dostáváme matici
(1 2 53 2 44 1 0
).
Nyní potřebujeme získat nuly v prvním sloupci pod jedničkou.
Použijeme úpravy b) a c). Vynásobíme nejprve 1. řádek číslem (-3), a pak ho přičteme k druhému řádku. Poté
vynásobíme opět 1. řádek číslem (-4) a přičteme ho ke třetímu řádku. Získali jsme
(1 2 53 2 44 1 0
) ~ (1 2 50 −4 −110 −7 −20
).
Nyní už nelze pracovat s prvním řádkem. Ve druhém kroku (získání nul ve druhém sloupci) použijeme druhý
řádek. Tam bohužel nemáme jedničku, ale číslo (-4). Musíme tedy pro získání nuly pod touto minus čtyřkou
provést násobení druhého řádku číslem (-7) a třetího řádku číslem 4 a pak řádky sečíst. Dostáváme
(1 2 50 −4 −110 −7 −20
) ~(1 2 50 −4 −110 0 −3
).
Tato matice již je v Gaussově tvaru.
Posloupnost elementárních úprav, které zvolíme k převedení matice do Gaussova tvaru, není určena
jednoznačně. Pokud zvolíme jiné elementární úpravy, můžeme dostat výslednou matici v Gaussově tvaru
s jinými prvky. Jak jsme již řekli, všechny takto získané matice budou mít ale jedno společné, a to počet
nenulových řádků, což je hodnost matice. Hodnost naší matice 𝐀 je rovna třem. Zapíšeme ℎ(𝐀) = 3.
9.4. INVERZNÍ MATICE
V tomto odstavci budeme hovořit pouze o čtvercových maticích.
DEFINICE REGULÁRNÍ A SINGULÁRNÍ MATICE :
Říkáme, že čtvercová matice řádu 𝑛 je regulární, jestliže ℎ(𝐀) = 𝑛, a je singulární, jestliže ℎ(𝐀) < 𝑛.
DEFINICE INVERZNÍ MATICE :
Inverzní matice 𝐀−𝟏 existuje pouze ke čtvercové regulární matici , je určena jednoznačně, a platí pro ni
𝐀 ∙ 𝐀−𝟏 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐀 = 𝐄.
152
Povšimněme si, že součin matice 𝐀 s maticí k ní inverzní 𝐀−𝟏 je komutativní. Rovněž tak čtvercová matice
komutuje s nulovou, jednotkovou a skalární maticí.
Ukažme si, že pokud ke čtvercové matici existuje inverzní matice 𝐀−𝟏, pak je určena jednoznačně.
Předpokládejme, že existují dvě různé inverzní matice 𝐀𝟏−𝟏, 𝐀𝟐
−𝟏. Potom je:
𝐀𝟏−𝟏 = 𝐀𝟏
−𝟏 ∙ 𝐄 = 𝐀𝟏−𝟏 ∙ (𝐀 ∙ 𝐀𝟐
−𝟏) = (𝐀𝟏−𝟏 ∙ 𝐀)𝐀𝟐
−𝟏 = 𝐄 ∙ 𝐀𝟐−𝟏 = 𝐀𝟐
−𝟏,
což je spor s předpokladem, že 𝐀𝟏−𝟏 ≠ 𝐀𝟐
−𝟏.
Výpočet inverzní matice přímo z definice by byl velice zdlouhavý a vedl by k řešení soustav rovnic. Existují ale
další způsoby, jak inverzní matici nalézt. Jedním z nich je výpočet inverzní matice pomocí elementárních úprav.
Nejprve je třeba si uvědomit, že každá elementární úprava čtvercové matice 𝐴 je ekvivalentní s násobením
matice 𝐀 speciální regulární maticí 𝐁 z levé strany. Matici 𝐁 získáme tak, že provedeme v jednotkové matici 𝐄
tutéž elementární úpravu, kterou chceme dosáhnout u matice 𝐀.
Chceme-li např. v matici 𝐀 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22) vynásobit 1. řádek konstantou 𝑘 a přičíst ho ke 2. řádku, lze této
úpravy dosáhnout též tak, že v jednotkové matici 𝐄 = (1 00 1
) vynásobíme 1. řádek konstantou 𝑘 a přičteme
ho ke 2. řádku. Dostáváme tak matici 𝐁 = (1 0𝑘 1
) a touto maticí 𝐵 vynásobíme zleva matici 𝐴.
𝐁. 𝐀 = (1 0𝑘 1
) . (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22) = (
𝑎11 𝑎12
𝑘. 𝑎11 + 𝑎21 𝑘. 𝑎12 + 𝑎22) ,
což je skutečně původní matice 𝐀 po žádané elementární úpravě.
Libovolnou regulární matici 𝐀 můžeme konečným počtem řádkových elementárních úprav převést na
jednotkovou matici 𝐄. To znamená, že existuje posloupnost matic, kterými násobíme postupně matici 𝐴 zleva, a
výsledkem je matice 𝐄. Označme tuto posloupnost matic (je to vlastně součin matic, které představují
jednotlivé elementární úpravy) písmenem 𝐁 . Je pak 𝐁 ∙ 𝐀 = 𝐄 . Provedeme-li tytéž úpravy na matici
jednotkovou, dostáváme matici 𝐁, jelikož je 𝐁 ∙ 𝐄 = 𝐁. Ze vztahu 𝐁 ∙ 𝐀 = 𝐄 ovšem vyplývá, že 𝐁 = 𝐀−𝟏, a 𝑩
je tedy matice inverzní k matici 𝐀.
Proto provádíme výpočet inverzní matice 𝐀−𝟏 takto:
Napíšeme si vedle sebe matici 𝐀 a jednotkovou matici 𝐄 téhož řádu. Získáme obdélníkovou matici tvaru (𝐀│𝐄).
Na tuto matici provádíme elementární úpravy tak, aby vlevo od svislé čáry vznikla jednotková matice 𝐄. Vpravo
potom dostáváme inverzní matici 𝐀−𝟏.
PŘÍKLAD:
Najděme inverzní matici k matici 𝐀 = (1 23 14
).
Použijeme matici
(1 2 3 4
| 1 00 1
)
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
153
a vlevo vytváříme postupně jednotkovou matici. Nejprve opišme 1. řádek, pak ho vynásobme číslem -3 a
přičtěme k 2. řádku. Dostáváme matici
(1 2 0 −2
| 1 0−3 1
).
Nyní upravíme druhý sloupec této matice na sloupec jednotkové matice. Druhý řádek nejprve vydělíme číslem
-2, a dostaneme matici
(1 2 0 1
| 1 0
3
2−
1
2
).
Nulu nad jedničkou získáme tak, že původní 2. řádek sečteme s 1. řádkem. Dostáváme
(1 0 0 1
|−2 1
3
2−
1
2
).
Poněvadž vlevo od svislé čáry se již nachází jednotková matice, je vpravo od svislé čáry matice inverzní
k matici 𝐀.
Proveďme zkoušku: Jestli jsme počítali správně, musí platit
(1 23 4
) . (−2 1
3
2−
1
2
) = 𝐄.
Tato rovnost skutečně platí (přesvědčte se sami).
Je tedy 𝐀−𝟏 = (−2 1
3
2 −
1
2
) , což lze čitelněji zapsat tak, že vytkneme číslo 1
2 před matici, (vytýkáme ze všech
jejích prvků), a dostaneme
𝐀−𝟏 = 1
2 (
−4 2 3 −1
).
To místo, kde má být ve vytvářené jednotkové matici jednička, nazýváme klíčové místo, prvek, který je na
tomto místě, je klíčový prvek. Je tedy nutné v každém sloupci ponechat klíčový prvek a všechny ostatní prvky
téhož sloupce anulovat. Často klíčový prvek upravíme vhodnou elementární transformací na jedničku, aby se
anulování ostatních prvků sloupce provádělo snadněji.
Pokud by matice 𝐀 nebyla regulární, vynuluje se nám při elementárních úpravách nějaký řádek a matici 𝐀−𝟏
není možno vytvořit.
9.5. MATICOVÉ ROVNICE
Maticové rovnice jsou rovnice, jejichž levé i pravé strany jsou matice nebo algebraické výrazy obsahující matice.
Řešit maticovou rovnici znamená najít buď všechny prvky neznámé matice 𝐗, nebo případně pouze některé
neznámé prvky matice 𝐗 tak, aby platila rovnost.
Máme-li například rovnici
𝐀 + 𝐗 = 𝐁,
154
kde 𝐀 = (1 13 4
), 𝐁 = (4 71 0
) a 𝐗 je neznámá matice, vypočteme si nejprve obecně, že
𝐗 = 𝐁 – 𝐀,
a potom provedeme příslušnou maticovou operaci.
Je 𝐁 – 𝐀 = ( 3 6−2 −4
), neboli matice
𝐗 = ( 3 6−2 −4
) .
Dále mějme rovnici 𝐗𝟐 = 𝐗 , kde matice 𝑿 = (𝑥 10 𝑦
). Známe tedy její dva prvky a dva jsou neznámé.
Vypočítáme si nejprve 𝐗𝟐 neboli 𝐗 ∙ 𝐗.
(𝑥 10 𝑦
) . (𝑥 10 𝑦
) = (𝑥2 𝑥 + 𝑦
0 𝑦2 ).
Rovnice má tedy tvar
(𝑥2 𝑥 + 𝑦
0 𝑦2 ) = (𝑥 10 𝑦
).
Odtud máme tři rovnice:
𝑥2 = 𝑥,
𝑦2 = 𝑦,
𝑥 + 𝑦 = 1.
Této soustavě vyhovují dvě dvojice čísel, a to buď 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, nebo 𝑥 = 1, 𝑦 = 0.
Existují tedy dvě matice 𝐗 𝟏 a 𝐗𝟐, které vyhovují dané maticové rovnici.
𝐗𝟏 = (1 10 0
) a 𝐗𝟐 = (0 10 1
).
Povšimněme si nyní rovnic, které obsahují násobení neznámé matice danou maticí.
Mějme rovnici tvaru
𝐀 ∙ 𝐗 = 𝐁.
Vzhledem k tomu, že dělení matic není definováno, musíme odstranit matici 𝐀 z levé strany jiným způsobem.
Vynásobme maticovou rovnici inverzní maticí 𝐀−𝟏 zleva. Dostaneme
𝐀−𝟏 ∙ 𝐀 ∙ 𝐗 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐁.
Víme, že 𝐀−𝟏 ∙ 𝐀 = 𝐄, tedy je 𝐄 ∙ 𝐗 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐁, neboli je 𝐗 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐁. (Násobení jednotkovou maticí ať zleva
nebo zprava totiž násobenou matici nemění, jednotková matice se chová podobně jako jednička v oboru
reálných čísel).
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
155
Kdybychom vynásobili rovnici maticí 𝐀−𝟏 zprava, nedostaly by se matice 𝐀 a 𝐀−𝟏 vedle sebe, neboť neplatí
komutativní zákon pro součin matic, a matici 𝐗 bychom nezískali. Musíme tedy rozlišovat, zda máme násobit
zprava, nebo zleva, jelikož násobení matic není komutativní.
Tak např. rovnici
𝐗 ∙ 𝐀 = 𝐁
musíme násobit maticí 𝐀−𝟏 zprava a dostáváme, že
𝐗 = 𝐁 ∙ 𝐀−𝟏.
Rovnici
𝐀 ∙ 𝐗 ∙ 𝐁 = 𝐂
musíme násobit maticí 𝐀−𝟏 zleva a maticí 𝐁−𝟏 zprava.
Dostaneme
𝐀−𝟏 ∙ 𝐀 ∙ 𝐗 ∙ 𝐁 ∙ 𝐁−𝟏 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐂 ∙ 𝐁−𝟏,
což je
𝐄 ∙ 𝐗 ∙ 𝐄 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐂 ∙ 𝐁−𝟏,
tedy je
𝐗 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐂 ∙ 𝐁−𝟏.
PŘÍKLAD:
Řešme maticovou rovnici
𝐗 ∙ (𝐀 – 𝐁) ∙ 𝐂 = 𝐃,
kde 𝐀 = (2 11 3
) , 𝐁 = (4 71 6
) , 𝐂 = (1 20 3
) , 𝐃 = (5 67 8
).
Nejprve musíme násobit maticí 𝐂−𝟏 zprava a dostaneme
𝐗 ∙ (𝐀 – 𝐁) = 𝐃 ∙ 𝐂−𝟏
a dále je třeba násobit maticí (𝐀 − 𝐁)−𝟏 opět zprava a dostáváme
𝐗 = 𝐃 ∙ 𝐂−𝟏 ∙ (𝐀 − 𝐁)−𝟏.
Toto provedeme s danými maticemi. (Vypočítejte sami.)
𝐀 – 𝐁 = (−2 −6 0 −3
)
𝐂−𝟏 = 1
3 (
3 −20 1
)
(𝐀 – 𝐁)−𝟏 = 1
6 (
−3 6 0 −2
)
156
A je tedy pak
𝐗 = 1
18 (
5 67 8
) ∙ (3 −20 1
) ∙ (−3 6 0 −2
).
Postupným násobením matic v zapsaném pořadí dostáváme
𝐗 = 1
18 (
−45 98−63 138
).
PŘÍKLAD:
Najděme matici X z maticové rovnice AX + B = D – 5X.
Nejprve si převedeme neznámou na levou stranu rovnice: Je AX – 5X = D – B . Nyní je třeba vytknout neznámou matici X. Vytkneme ji doprava, (poněvadž násobení matic není komutativní, musí X zůstat vpravo), a k reálnému číslu 5 musíme přidat matici jednotkovou, aby bylo možno rozdíl provést. Dostáváme (A – 5E)∙ X = D – B .
Dále vynásobíme rovnici zleva inverzní maticí (A – 5E)-1 a dostáváme X = (A – 5E)-1 ∙(D – B) .
9.6. CVIČENÍ
1) Vypočtěte A+B a 2A-B pro matice
A = (3 −25 −4
) , B = (1 42 0
).
[(4 27 −4
) , (5 −88 −8
)]
2) Pro matice z příkladu 1 vypočtěte AB a BA.
[(−1 12−3 20
) , (23 −186 −4
)]
3) Vypočtěte A+B a 3B-A pro matice
A = (5 1 −27 1 −33 2 0
), B =(3 1 22 2 11 3 3
).
[(8 2 09 3 −24 5 3
) , ( 4 2 8−1 5 6 0 7 9
)]
4) Pro matice z příkladu 3 vypočtěte AB a BA.
[(15 1 520 0 613 7 8
) , (28 8 −927 6 −1035 10 −11
)]
5) Vypočtěte A+B pro matice
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
157
A= (
1 0 1 22 1 0 10 2 1 11 1 2 0
), B=(
1 −1 1 −1−1 1 −1 1 1 −1 1 −1−1 1 −1 1
).
[(
2 −1 2 11 2 −1 21 1 2 00 2 1 1
)]
6) Pro matice z příkladu 5 vypočtěte AB a BA.
[(
0 0 0 0 0 0 0 0−2 2 −2 2 2 −2 2 −2
) ,(
−2 0 0 2 2 0 0 −2−2 0 0 2 2 0 0 −2
)]
7) Vypočtěte matici D = (3 −14 −3
) ∙ (2 31 4
) ∙ (2 −31 −1
).
[(15 −2010 −15
)]
8) Vypočtěte A3, pro A = (−1 2−3 5
).
[(−19 30−45 71
)]
9) Vynásobte matice A = (
5−2−6−1
) a B = (7 −2 1 32 −5 0 21 −3 5 3
).
[𝐀𝐁 neexistuje, 𝐁𝐀 = ( 30 18−22
)]
10) Určete matici B = 2A2 – 3A + 4E, kde matice
A = (4 3 −12 3 01 1 −3
).
[(34 31 1 22 25 −43 3 29
)]
11) Najděte hodnost matic A a B, a rozhodněte, zda jsou regulární, nebo singulární:
A = (3 3 11 3 32 2 2
) , B = (2 3 54 −1 020 9 20
).
[ℎ(A) = 3, 𝐀 je regulární, ℎ(B) = 2, 𝐁 je singulární]
12) Najděte inverzní matice k daným maticím pomocí eliminační metody:
a) A = ( 1 −2−1 5
)
158
b) A = (7 −32 5
)
c) A = (8 123 5
)
d) A = (2 −13 −2
) ∙ ( 1 −1−1 2
)
e) A = ( 1 2 1−2 −6 −3−2 −7 −4
)¨
f) A = (1 2 22 1 −22 −2 1
)
[ 𝑎)
1
3(5 21 1
) ,
𝑏) 1
41( 5 3−2 7
) ,
𝑐) 1
4( 5 −12−3 8
) ,
𝑑) (7 −45 −3
) ,
𝑒) ( 3 1 0−2 −2 1 2 3 −2
) ,
𝑓) 1
9(1 2 22 1 −22 −2 1
)]
13) Najděte matici X, která vyhovuje dané maticové rovnici:
a) AX = B, A = ( 5 −5−1 2
), B = (3 −22 −1
)
b) XB = C, B = (8 123 5
), C = (−3 5 2 1
)
c) AXB = C, A = ( 3 −2−5 3
), B = (3 12 2
), C = (−7 1 5 2
)
d) A3 – XB = -2E, A = (2 13 −4
), B = ( 5 −2−3 2
)
e) AX = B, A = (3 2 −50 4 12 0 3
), B = ( 2 1−1 3 0 4
)
Kap
ito
la: M
ATI
CE
A M
ATI
CO
VÉ
RO
VN
ICE
159
f) A - XA = B, A = (3 −2 12 0 −11 −3 3
), B = (5 −4 11 3 −23 5 2
)
g) BX - E = 3X – A, A = (−2 −1 1 1 0 1−1 2 1
), B = (4 −2 11 1 33 −1 5
)
h) AX – X = A2 + E, A = (2 −1 11 0 00 1 3
)
[ a) 𝐗 = 𝐀−𝟏𝐁 =
1
5(16 −913 −7
) ,
𝑏) 𝐗 = 𝐂𝐁−𝟏 = 1
4(−30 76 7 −16
) ,
𝑐) 𝐗 = 𝐀−𝟏𝐂𝐁−𝟏 = 1
4(36 −3262 −53
) ,
𝑑) 𝐗 = (𝐀𝟑 + 𝟐𝐄)𝐁−𝟏 = 1
4( 65 95−150 −310
) ,
𝑒) 𝐗 = 𝐀−𝟏𝐁 = 1
80( 30 82−15 47−20 52
) ,
𝑓) 𝐗 = (𝐀 − 𝐁)𝐀−𝟏 = ( 8 −10 −6−12 14 9−56 63 40
) ,
𝑔) 𝐗 = (𝐁 − 𝟑𝐄)−𝟏(𝐄 − 𝐀) = 1
5 (
5 −5 1−10 −5 3−10 0 0
) ,
ℎ) 𝐗 = (𝐀 − 𝐄)−𝟏(𝐀𝟐 + 𝐄) = (−1 5 3−3 5 2 2 −1 4
)]
160
10. DETERMINANTY A JEJICH VLASTNOSTI
10.1. POJEM DETERMINANTU
Ke každé reálné čtvercové matici 𝐀 je určitým předpisem přiřazeno reálné číslo, které se nazývá
determinant matice 𝐀 a značí se 𝐝𝐞𝐭 𝐀.
Vysvětlíme si, jak se zavádí.
Mějme množinu 𝑀 = {1, 2, 3, … , 𝑛 }. Prosté zobrazení množiny 𝑀 na sebe sama se nazývá permutace množiny
𝑀. Každá permutace přiřadí prvku 𝑖 prvek 𝑗𝑖, přičemž 𝑖 ∈ 𝑀 a též 𝑗𝑖 ∈ 𝑀.
Např. pro množinu 𝑀 = {1,2,3} dostáváme permutace {1,2,3}, (což je základní permutace), a dále {1,3,2},
{2,3,1}, {2,1, 3}, {3,1,2}, {3,2,1}.
Např. pro permutaci {1, 3, 2} je tedy j1 = 1, j2 = 3, j3 = 2 .
Počet permutací 𝑃(𝑛) je roven 𝑛!.
Říkáme dále, že dvojice prvků permutace 𝑗𝑖 , 𝑗𝑘 tvoří inverzi, je-li 𝑖 < 𝑘 a přitom je 𝑗𝑖 > 𝑗𝑘. Permutace je sudá,
obsahuji-li sudý počet inverzí, a je lichá, obsahuje-li lichý počet inverzí.
DEFINICE DETERMINANTU
Determinant 𝐝𝐞𝐭 𝐀 ke čtvercové matici 𝐀 řádu 𝑛 je reálné číslo, které je rovno součtu součinů typu
𝑎1𝑗1𝑎2𝑗2 … . 𝑎𝑛𝑗𝑛, kde znaménko před součinem je plus, je-li permutace sudá, a mínus, je-li permutace lichá.
Zapíšeme 𝐝𝐞𝐭 𝐀 = ∑(−1)𝐼𝑎1𝑗1 . … . 𝑎𝑛𝑗𝑛
přes všechny permutace sloupcových indexů, kde 𝐼 je počet inverzí v permutaci.
Pro 𝑛 = 1 je matice řádu jedna, tedy jedno číslo,
𝐀 = (𝑎11),
nelze permutovat a determinant 𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 𝑎11.
Pro 𝑛 = 2 je matice tvaru
𝐀 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22)
a máme jednu permutaci sudou {1, 2} a jednu permutaci lichou {2, 1}. Tedy
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21.
Tento determinant lze snadno počítat takzvaným křížovým pravidlem, které spočívá v tom, že vynásobíme
prvky v hlavní diagonále a odečteme součin prvků v takzvané vedlejší diagonále.
Kap
ito
la: D
ETER
MIN
AN
TY A
JE
JIC
H V
LAST
NO
STI
161
Determinant se na rozdíl od matice značí svislými čarami.
Tak např.:
|2 124 4
| = 2 ∙ 4 – 12 ∙ 4 = − 40.
Pro 𝑛 = 3 je matice tvaru
A = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
a permutací je 6, jak jsme zjistili již výše. Tři z nich jsou sudé a tři z nich liché.
Sudé jsou permutace {1, 2, 3}, {2, 3, 1} a {3, 1, 2}, neboť první má 0 inverzí, druhá má dvě inverze a třetí má
též dvě inverze. Liché jsou permutace {1, 3, 2}, {2, 1, 3} a {3, 2, 1}, první a druhá mají 1 inverzi a třetí má 3
inverze. Tedy
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎12𝑎23𝑎31 + 𝑎13𝑎21𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎13𝑎22𝑎31,
což lze realizovat takzvaným Sarrusovým pravidlem tak, že násobíme nejprve prvky hlavní diagonály a pak se
posouváme rovnoběžně doprava, kde si vpravo pomocně připíšeme za svislou čáru 1. a 2. sloupec. Až dojdeme
na konec, začneme násobit z pravého horního rohu podobně a opět se posouváme rovnoběžně, ale doleva.
K součinům vytvořeným zprava přidáváme znaménko mínus.
Tedy např. mějme determinant
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = |1 2 33 0 26 1 1
| .
Přidáme si k determinantu dva pomocné sloupce, první a druhý, a dostáváme
|1 2 33 0 26 1 1
|1 23 06 1
.
Nyní násobíme diagonálně z levého horního rohu a posouváme se rovnoběžně. Součiny ve směru hlavní
diagonály jsou
1 ∙ 0 ∙ 1 + 2 ∙ 2 ∙ 6 + 3 ∙ 3 ∙ 1.
Pokračujeme z pravého horního rohu diagonálně, posouváme se a členy mají znaménko minus. Součiny ve
směru vedlejší diagonály jsou
− 2 ∙ 3 ∙ 1 − 1 ∙ 2 ∙ 1 − 3 ∙ 0 ∙ 6
Nyní vše sečteme a dostáváme 0 + 24 + 9 -6 - 2– 0, což se rovná 25. Je tedy
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 25.
162
PŘÍKLAD:
Vypočítejme 𝐝𝐞𝐭 𝐁 = |1 0 21 1 13 2 0
|.
Napíšeme si
|1 0 21 1 13 2 0
|1 01 13 2
a počítáme
1 ∙ 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 ∙ 3 + 2 ∙ 1 ∙ 2 – 0 ∙ 1 ∙ 0 – 1 ∙ 1 ∙ 2 – 2 ∙ 1 ∙ 3 = 0 + 0 + 4 – 0 – 2 – 6 = −4.
Tedy 𝐝𝐞𝐭 𝐁 = −4.
10.2. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI DETERMINANTU
Všechny vlastnosti determinantu lze dokázat pomocí práce s permutacemi a jejich inverzemi. My si je zde
pouze uvedeme. Poněvadž stejné vlastnosti platí jak pro řádky, tak pro sloupce determinantu, nazveme řádek i
sloupec determinantu řadou determinantu.
VĚTA – VLASTNOSTI DETERMINANTU
Nechť A, B jsou čtverové matice stejného řádu. Porom platí:
1) 𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 𝐝𝐞𝐭 𝐀𝐓
2) Má-li matice 𝐴 jednu řadu složenou ze samých nul, pak je 𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 0.
3) Má-li matice dvě rovnoběžné řady stejné, je její determinant roven nule.
4) Je-li v matici jedna řada násobkem jiné rovnoběžné řady, je její determinant roven nule.
5) Zaměníme-li v matici spolu dvě rovnoběžné řady, změní její determinant znaménko.
6) Nahradíme-li v matici 𝐴 jednu řadu jejím 𝑐-násobkem, dostaneme matici 𝐵, pro kterou platí
𝐝𝐞𝐭 𝐁 = c ∙ 𝐝𝐞𝐭 𝐀.
Tedy při násobení determinantu reálným číslem se násobí pouze jedna řada determinantu, a ne
všechny prvky jako u matice.
7) Determinant horní nebo dolní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály
(speciálně 𝐝𝐞𝐭 𝐄 = 1).
8) Přičteme-li v matici k jedné řadě 𝑐-násobek jiné rovnoběžné řady, hodnota jejího determinantu se
nezmění.
9) Determinant regulární matice je různý od nuly, determinant singulární matice je roven nule.
10) 𝐝𝐞𝐭 (𝐀 ∙ 𝐁) = 𝐝𝐞𝐭 𝐀 ∙ 𝐝𝐞𝐭 𝐁.
Kap
ito
la: D
ETER
MIN
AN
TY A
JE
JIC
H V
LAST
NO
STI
163
PŘÍKLAD:
(k vlastnosti 6): vezměme 𝐝𝐞𝐭 𝐁, který je uveden na konci podkapitoly 8.1., a je roven minus čtyřem. Vezmeme-
li 𝐝𝐞𝐭 𝐂 takový, že 1. řádek determinantu 𝐵 násobíme pěti a ostatní ponecháme beze změny, je
𝐝𝐞𝐭 𝐂 = |5 0 101 1 13 2 0
|,
a tento determinant má po vypočtení Sarrusovým pravidlem hodnotu 𝐝𝐞𝐭 𝐂 = −20 (přesvědčte se sami). Je
tedy skutečně 𝐝𝐞𝐭 𝐂 = 5 ∙ 𝐝𝐞𝐭 𝐁.
PŘÍKLAD:
(k vlastnosti 7) : Mějme determinant det A = |
1 2 8 70 2 3 50 0 1 90 0 0 6
| . Tento determinant vypočteme snadno
pomocí vlastnosti 7. Je det A = 1∙ 2 ∙ 1 ∙ 6 = 12 .
10.3. SUBDETERMINANT, ALGEBRAICKÝ DOPLNĚK DETERMINANTU
DEFINICE SUBDETERMINANTU :
Subdeterminant determinantu 𝑛-tého řádu je determinant řádu nižšího než 𝑛, který dostaneme z původního
determinantu vynecháním stejného počtu svislých a vodorovných řad.
Např. pro
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = |1 2 34 5 67 8 9
| ,
který je 3.řádu, můžeme nalézt 9 subdeterminantů 1. řádu (což jsou jednotlivé prvky determinantu) a 9
subdeterminantů 2. řádu, z nichž pro příklad uveďme dva:
|1 37 9
|, kde jsme vynechali 2. řádek a 2. sloupec,
a |1 27 8
|, kde jsme vynechali 2. řádek a 3. sloupec.
DEFINICE ALGEBRAICKÉHO DOPLŇKU :
Algebraický doplněk Aij k prvku 𝑎𝑖𝑗 v determinantu 𝑛-tého řádu je subdeterminant (𝑛 − 1)-ho řádu získaný
vynecháním 𝑖-tého řádku a 𝑗-tého sloupce z původního determinantu a násobený číslem (−1)𝑖+𝑗.
164
Tedy např. pro prvek 𝑎11 výše uvedeného 𝐝𝐞𝐭 𝐀, tedy pro jedničku v levém horním rohu je algebraický doplněk
A11 = (−1)1+1 |5 68 9
| = |5 68 9
| = −3
a pro prvek 𝑎23 je algebraický doplněk
A23 = (−1)2+3 |1 27 8
| = 6.
VĚTA – ROZVOJ DETERMINANTU:
Pro determinant čtvercové matice řádu n platí 𝐝𝐞𝐭 𝐀 = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin,
kde 𝑖 je index libovolného zvoleného řádku, což znamená, že prvky i-tého řádku násobíme jejich algebraickými
doplňky a tyto výsledky sečteme; postup se nazývá rozvoj podle 𝒊-tého řádku. Rozvoj lze též provést pomocí
libovolného sloupce
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj, kde j je index libovolně vybraného sloupce.
Tato metoda se obzvláště hodí pro výpočet determinantů vyššího řádu než 3, protože tam již nelze použít
Sarrusovo pravidlo. Nicméně je možné ji použít i na výpočet determinantu řádu 3.
Metoda je vhodná především, obsahuje-li determinant více nul v jedné řadě. Tuto řadu si pak vybereme,
rozvádíme podle ní, a tím se sníží počet doplňků, které musíme počítat.
PŘÍKLAD:
Vypočítejme
𝐝𝐞𝐭 𝐁 = |
1 0 2 00 3 0 11 0 0 10 1 2 3
|.
V každé řadě máme nejvýše dvě nuly. Vezmeme tedy jednu řadu se dvěma nulami, vyberme např. 1. řádek a
provedeme rozvoj. Dostaneme:
(−1)1+1 |3 0 10 0 11 2 3
| + 2 ∙ (−1)1+3 |0 3 11 0 10 1 3
|
a dále lze dopočítat buď Sarrusovým pravidlem, nebo rozvádíme znovu, pro 1. determinant vybereme na rozvoj
2. sloupec a pro 2. determinant vybereme 1. sloupec.
𝐝𝐞𝐭 𝐁 =1 ∙ (−1)1+1 ∙ 2 ∙ (−1)3+2 ∙ |3 10 1
| + 2 ∙ (−1)1+3 ∙ 1 ∙ (−1)2+1 ∙ |3 11 3
| = −6 + (−16)
= −22.
Kap
ito
la: D
ETER
MIN
AN
TY A
JE
JIC
H V
LAST
NO
STI
165
Jiná možnost pro výpočet determinantu vyššího řádu je využít elementárních úprav a vlastností determinantů,
převést příslušnou matici na diagonální tvar, a pak je podle vlastnosti 7) determinant roven součinu prvků
v hlavní diagonále. V tomto případě je třeba si skutečně dobře uvědomit, které elementární úpravy nemění
determinant, a které ano.
10.4. VÝPOČET INVERZNÍ MAT ICE POMOCÍ DETERMINANTŮ
VĚTA :
Mějme čtvercovou regulární matici A. Inverzní matici 𝐀−𝟏í lze vypočítat pomocí adjungované matice 𝐆, což je
transponovaná matice algebraických doplňků. Je pak
𝐀−𝟏 = 𝟏
𝐝𝐞𝐭 𝐀 . 𝐆
PŘÍKLAD:
Najděme inverzní matici k matici 𝐀 = (1 21 3
).
Nejprve vypočítáme:
𝐝𝐞𝐭 𝐀 = 3 – 2 = 1.
Agebraické doplňky jsou:
𝐴11 = (−1)1+1 ∙ 3 = 3,
𝐴12 = (−1)1+2 ∙ 1 = −1,
𝐴21 = (−1)2+1 ∙ 2 = −2,
𝐴22 = (−1)2+2 ∙ 1 = 1.
Tyto doplňky napíšeme transponovaně a dostaneme matici 𝐺.
𝐆 = ( 3 −2−1 1
)
Tuto matici vynásobíme číslem 1
𝐝𝐞𝐭𝐀 , což je
1
1 = 1.
Inverzní matice je tedy
𝐀−𝟏 = ( 3 −2−1 1
) .
Všimněte si, že u matice řádu 2 kromě výpočtu převrácené hodnoty determinantu vlastně jen vyměníme
prvky v hlavní diagonále a u druhých dvou prvků změníme znaménko. Výpočet je tedy velmi rychlý.
Obecně tedy pro regulární matici 2.řádu je
𝐀−𝟏 =𝟏
𝐝𝐞𝐭 𝐀 (
𝑎22 −𝑎12
−𝑎21 𝑎11)
166
U matice řádu 3 je třeba vypočítat jeden determinant 3. řádu a 9 algebraických doplňků – determinantů 2.
řádu. Nicméně u celočíselné matice nepočítáme po celou dobu výpočtu s nepříjemnými zlomky, což se často
stává u výpočtu inverzní matice pomocí elementárních úprav, pokud její determinant je v absolutní hodnotě
velký.
PŘÍKLAD:
Najděme inverzní matici k matici 𝐀 = (1 0 30 4 12 3 5
) .
Nejprve si vypočítáme determinant 𝐀 – proveďte sami. Je 𝐝𝐞𝐭 𝐀 = −7.
Nyní počítáme algebraické doplňky k jednotlivým prvkům po řádcích a píšeme si je rovnou do sloupců
(transponovaně):
k a11 : A11 = |4 13 5
| = 17 , k a21 : A21 = − |0 33 5
| = 9 , k a31 : A31 = |0 34 1
| = -12
k a12 : A12 = -|0 12 5
| = 2 , k a22 : A22 = |1 32 5
| = -1 , k a32 : A32 = - |1 30 1
| = -1
k a13 : A13 = |0 42 3
| = -8 , k a23 : A23 = - |1 02 3
| = -3 , k a33 : A33 = |1 00 4
| = 4
Inverzní matice k matici 𝐀 je matice:
𝐀−𝟏 = − 1
7 (
17 9 −12 2 −1 −1−8 −3 4
) = 1
7 (
−17 −9 12−2 1 1 8 3 −4
),
neboť jsme dosazovali do vzorce z definice, který měl v našem případě podobu
A-1 = 1
𝐝𝐞𝐭𝐀 (
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
) .
10.5. CVIČENÍ
1) Určete typ následujících permutací:
a) P1 = {6, 3, 1, 2, 4, 5}
b) P2 = {4, 1, 3, 6, 2, 5}
c) P3 = {4, 2, 8 7, 5, 3, 1, 6}
[a) lichá; b) sudá; c) sudá]
Kap
ito
la: D
ETER
MIN
AN
TY A
JE
JIC
H V
LAST
NO
STI
167
2) Určete znaménka členů determinantu stupně 𝑛:
a) n = 7 ; a35 a71 a56 a17 a23 a42 a64
b) n = 8 ; a41 a87 a23 a72 a16 a58 a64 a35
c) n = 5 ; a24 a5k a35 a1m a41
[𝑎) minus; 𝑏) plus; 𝑐) plus pro 𝑘 = 2 a 𝑚 = 3, minus pro 𝑘 = 3 a 𝑚 = 2]
3) Vypočítejte následující determinanty:
D1 = | 3 2−9 −5
|
D2 = |−6 −8 9 12
|
D3 = |𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏
|
D4 = |2 −3 10 −1 56 7 −4
|
D5 = |2 1 35 −3 21 4 −3
|
D6 = | 4 −3 5 3 −2 8−1 7 5
|
D7 = |3 1 22 0 71 −4 −5
|
D8 = |1 −4 51 2 53 −4 7
|
D9 = |−2 3 4 3 −2 5 1 4 −1
|
D10 = |
4 0 1 0−1 0 2 2 7 3 1 1 2 0 −1 4
|
D11 = |
1 3 0 12 4 5 20 1 0 64 0 0 5
|
D12 = |
3 0 1 02 −1 0 21 −2 0 10 −4 0 6
|
D13 = |
4 5 1 0−1 0 3 2 1 3 2 1 2 1 −1 3
|
[𝐃𝟏 = 3; D2 = 0; 𝐃𝟑 = 2𝑏(𝑎 − 𝑏); 𝐃𝟒 = −146; 𝐃𝟓 = 88; 𝐃𝟔 = −100;
𝐃𝟕 = 85; 𝐃𝟖 = −48; 𝐃𝟗 = 116;𝐃𝟏𝟎 = −144; 𝐃𝟏𝟏 = −365; 𝐃𝟏𝟐 = 18; 𝐃𝟏𝟑 = −54]
4) Řešte rovnice:
a) |
1 − 𝑥 1 1 11 1 1 11 1 2 − 𝑥 11 1 1 3 − 𝑥
| = 0
b) |√4𝑧 − 3
1
2
𝑧 + 41
2
| = |
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
|
[𝑎) 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 2; 𝑏) 𝑧 = 7 ]
168
5) Řešte nerovnice:
a) | 7 −3 1 1 𝑥 −2−2 5 −1
| ≤ 3x + 4
b) |1 0 52 𝑧 + 2 71 3𝑧 𝑧
| ≤ |−1 2𝑧 𝑧 13
|
[𝑎) 𝑥 ∈ ⟨7,∞); 𝑏) 𝑧 = −1]
6) Pomocí determinantů vypočtěte inverzní matice k maticím 𝐀 a 𝐁, a řešte maticovou rovnici:
𝐀𝐗𝐁 = 𝐂,
A = (3 21 2
), B = (1 23 4
), C = (1 30 8
)
[ 𝐀−𝟏 =
1
4( 2 −2−1 3
) ;
𝐁−𝟏 =1
2(−4 2 3 −1
) ;
𝐗 =1
8(−38 14 67 −23
)]
7) Pomocí determinantů vypočtěte inverzní matici k matici 𝐴 a řešte maticovou rovnici:
𝐀𝐗 = 𝐁,
A = (1 2 11 0 21 0 1
), B = (1 35 41 7
)
[ 𝐀−𝟏 =
1
2(0 −2 41 0 −10 2 −2
) ;
𝐗 = (−3 10 0 −2 4 −3
)]
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
169
11. ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
11.1. GAUSSOVA ELIMINAČNÍ METODA, FROBENIOVA VĚTA
DEFINICE :
Soustavou lineárních rovnic rozumíme 𝑚 rovnic o 𝑛 neznámých, kde 𝑚 může i nemusí být rovno 𝑛:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22 x2 + … + a2nxn = b2
…….
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm .
x1 , x2 , … , xn jsou neznámé, b1 , b2 , … , bn jsou konstanty , které vytvářejí sloupec pravých stran, matice
koeficientů aij se nazývá matice soustavy, táž matice rozšířená vpravo o sloupec pravých stran rovnic, se
nazývá rozšířená matice soustavy. Řešit soustavu znamená najít všechny 𝑛-tice neznámých, které soustavě
vyhovují – to znamená po dosazení vytvářejí identitu všech levých a pravých stran.
Tuto soustavu lze zapsat v maticovém tvaru
𝐀𝐗 = 𝐁, případně Ax = b
kde 𝐀 je matice soustavy, 𝐗 je matice neznámých typu (𝑛, 1), neboli sloupcový vektor neznámých, a 𝐁 je
matice pravé strany typu (𝑚, 1), neboli sloupcový vektor pravých stran.
Gaussova metoda pro řešení soustavy lineárních rovnic spočívá v tom, že pracujeme s rozšířenou maticí
soustavy. Nejprve ji převedeme na Gaussův tvar přímým chodem Gaussovy metody. Poté vypočítáváme
neznámé postupně od konce zpětným chodem Gaussovy metody. Vše si ukážeme na příkladech.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu Gaussovou metodou (jedná se o první příklad z kapitoly 8).
x1 + 2x2 + x3 = 8
-x1 + x2 + 2x3 = 7
x1 + 3x2 = 7
Napišme si rozšířenou matici soustavy a upravme ji postupně na Gaussův tvar
( 1 2 1−1 1 2 1 3 0
| 877) ~ (
1 2 10 3 30 1 −1
| 815−1
) ~ (1 2 10 1 −10 0 6
| 8−118
).
Tím končí přímý chod metody. Nyní ze třetího řádku vypočteme x3 . Je 6x3 = 18, tedy x3 = 3. Toto x3 dosadíme
do 2. řádku a vypočteme z něho x2. Je x2 - 3 = -1 , a tedy x2 = 2. Z prvního řádku spočteme x1, poté co dosadíme
za x3 a x2. Je x1 + 2.2 + 3 = 8 , tedy je x1 = 1. Celé řešení napíšeme přehledně ve tvaru
X = ( 1, 2, 3)T
170
(písmeno T znamená transponování, jelikož ve skutečnosti nám vzhledem k maticovému zápisu soustavy rovnic
vychází sloupcový vektor, který pro větší přehlednost a úsporu místa zapisujeme jako vektor řádkový).
Zkoušku provedeme tak, že trojici čísel dosadíme do všech rovnic a kontrolujeme, zda nám vyšla identita.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu:
x1 + 2x2 - x3 = 6
x1 - x2 + x3 = 2
2x1 + x2 = 5
Opět upravujeme rozšířenou matici na Gaussův tvar.
(1 2 −11 −1 12 1 0
| 625) ~ (
1 2 −10 −3 20 −3 2
| 6−4−7
) ~ (1 2 −10 −3 20 0 0
| 6−4−3
).
Vidíme, že tato soustava nemá řešení, jelikož neplatí, že 0 = −3.
Jak tedy poznáme, že soustava nemá řešení? Při úpravě rozšířené matice vyjdou v některém řádku vlevo od
svislé čáry samé nuly a vpravo od čáry je nenulové číslo. To ovšem znamená, že hodnost matice soustavy je
menší než hodnost rozšířené matice soustavy. O tom hovoří první část důležité věty o řešitelnosti soustav
lineárních rovnic, která se nazývá Frobeniova věta. Vyslovíme si ji později.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu:
x1 + 2x2 - x3 = 6
x1 - x2 + x3 = 2
2x1 + x2 = 8
Je
(1 2 −11 −1 12 1 0
| 628) ~ (
1 2 −10 −3 20 −3 2
| 6−4−4
) ~ (1 2 −10 −3 20 0 0
| 6−4 0
).
Poslední řádek nám říká, že nula se rovná nule, což je zřejmá identita. Zbývají nám dvě rovnice, které mají ale tři
neznámé. První dvě neznámé se vyskytují v trojúhelníkové matici hodnosti 2, třetí neznámá je zde navíc.
Nazveme ji parametr, převedeme ji na druhou stranu rovnice, a obě první neznámé vyjádříme pomocí ní.
Vzhledem k tomu, že parametr může být jakékoli reálné číslo, má soustava nekonečně mnoho řešení.
Z druhého řádku je
- 3x2 = - 4 - 2x3 ,
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
171
je tedy
x2 = 4
3 +
2
3 x3,
a z prvního řádku je
x1 = 6 - 2. (4
3 +
2
3𝑥3) + x3 =
10
3 -
1
3 x3.
Řešení opět zapíšeme přehledným způsobem
X = ( 10
3 -
1
3 x3 ,
4
3 +
2
3 x3 , x3 )T , x3 ∈ R.
Řešení, které obsahuje parametry, se nazývá obecné řešení. Je v něm obsaženo nekonečně mnoho řešení pro
různé volby parametrů. Počet parametrů v řešení je roven číslu n – h(𝐀).
Povšimněme si, kdy má soustava nekonečně mnoho řešení. Hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené
matice soustavy byla stejná, ale rovnala se dvěma a neznámé přitom byly tři. Proto se z jedné neznámé stal
parametr. Zkouška se opět provádí dosazením obecného řešení do všech rovnic soustavy.
Nyní již můžeme vyslovit Frobeniovu větu.
VĚTA: FROBENIOVA VĚTA O ŘEŠITELNOSTI SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC
Soustava AX = B , kde Ar = ( A │B ) je rozšířená matice soustavy, je řešitelná právě když
ℎ(𝑨) = ℎ(𝑨𝒓).
Je-li 𝑛 počet neznámých, má soustava jediné řešení, právě když je
ℎ(𝑨) = ℎ(𝑨𝒓) = 𝑛
a má nekonečně mnoho řešení, právě když je
ℎ(𝑨) = ℎ(𝑨𝒓) < 𝑛.
DEFINICE :
Soustava, která má tvar AX = o , tj. vektor pravých stran je nulový vektor, se nazývá homogenní soustava.
Homogenní soustava má několik zvláštností. Elementárními transformacemi nemůže z nulové matice vzniknout
nic jiného než zase nulová matice, proto na pravé straně rovnic zůstávají samé nuly. Není tedy nutné pro úpravy
psát rozšířenou matici soustavy, ale jen matici soustavy. Dále je zřejmé, že nemůže vzniknout situace, kdy
soustava nemá řešení (nulový vektor je zřejmě řešením, a elementárními úpravami nemůže vzniknout rovnice
0 = k, kde k≠ 0 ). Z toho vyplývá, že homogenní soustava je vždy řešitelná. Pokud je hodnost matice soustavy
rovna počtu neznámých (jedno řešení), bude z poslední rovnice poslední neznámá rovna nule, atd., čili všechny
neznámé se budou rovnat nule. Takové řešení složené ze samých nul se nazývá triviální řešení. Teprve pokud
bude hodnost matice soustavy menší než počet neznámých (nekonečně mnoho řešení), můžeme volbou
parametrů docílit nenulového netriviálního řešení.
172
VĚTA :
Jakékoliv netriviální řešení homogenní soustavy lze vyjádřit jako lineární kombinaci počtu n – h(A) lineárně
nezávislých řešení – tak zvaných fundamentálních řešení.
VĚTA O TVARU ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ SOUSTAVY :
Je-li soustava Ax = b řešitelná, pak všechna její řešení lze vyjádřit jako x = u + v , kde u je jedno zvolené řešení
nehomogenní soustavy a v je řešení příslušné homogenní soustavy Ax = o se stejnou maticí A.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu:
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 – 3x2 + 4x3 = 0
5x1 – 7x2 + 8x3 = 0
Matici soustavy upravíme na Gaussův tvar.
(1 1 12 −3 45 −7 8
) ~ (1 1 10 − 5 20 −12 3
) ~ (1 1 10 −5 20 0 −9
)
Hodnost matice je tři, to znamená, že řešením jsou samé nuly. Je tedy jediné řešení
X = ( 0, 0, 0 )T,
Jedná se o triviální řešení.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
-x1 + 2x2 – 4x3 + x4 = 0
3x2 – 3x3 + 2x4 = 0
Matici soustavy upravíme na Gaussův tvar.
( 1 1 1 1−1 2 −4 1 0 3 −3 2
)~ ~ (1 1 1 10 3 −3 20 3 −3 2
) ~ (1 1 1 10 3 −3 20 0 0 0
)
h(A) = 2 . Počet neznámých je 4, tedy řešení bude mít dva parametry. Ze druhého řádku vyjádříme x2.
3x2 = 3x3 – 2x4 ,
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
173
tedy je x2 = x3 - 2
3 x4 . Z prvního řádku je pak x1 = -2x3 - -
1
3 x4.
Obecné řešení je tvaru
X = ( -2x3 - 1
3 x4 , x3 -
2
3 x4 , x3, x4 )T,
kde x3 , x4 ∈ 𝑅.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
2x1 – x2 + x3 – x4 = 1
x1 – x2 + x3 + x4 = 0
x1 - 2x2 - 2x4 = -3
Místo klasického řešení pomocí rozšířené matice lze použít předchozí větu o vztahu mezi řešením nehomogenní a homogenní soustavy. Nedá velkou práci uhodnout, že jedno řešení nehomogenní soustavy je vektor u = (1, 1, 1, 1). Budeme tedy řešit pouze homogenní soustavu se stejnou maticí soustavy a uhodnutý vektor k jejímu řešení přičteme.
Je (
1 1 1 12 −1 1 −11 −1 1 −11 −2 0 −2
) ~ (
1 1 1 10 −3 −1 −30 −2 0 −20 −3 −1 −3
)~ (
1 1 1 10 −3 −1 −30 0 −2 00 0 0 0
) . Hodnost matice soustavy je 3,
homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení tvaru v = ( 0, -x4, 0, x4), x4𝜖 R. K tomuto obecnému řešení přičteme vektor u, a dostaneme vektor x všech řešení nehomogenní soustavy, kterých je též nekonečně mnoho.
x = ( 1, 1-x4 , 1, 1+x4)T, x4𝜖 R .
Na závěr této podkapitoly vyslovíme důležitou větu pro soustavy s regulární maticí A, která plyne z Frobeniovy věty.
VĚTA:
Soustava rovnic s regulární maticí soustavy je vždy řešitelná a má jediné řešení.
Dále se budeme zabývat různými způsoby řešení soustav s regulární maticí. Prvním ze způsobů je již uvedená
Gaussova metoda, která je co do počtu elementárních operací metodou nejvhodnější. V následujících
podkapitolách se seznámíme s několika dalšími metodami.
11.2. ŘEŠENÍ SOUSTAVY S REGULÁRNÍ MATICÍ CRAMEROVÝM PRAVIDLEM
Cramerovo pravidlo je metoda pro řešení soustav lineárních rovnic pomocí determinantů.
174
Pro neznámou 𝑥𝑗 v soustavě lineárních rovnic platí:
𝑥𝑗 = 𝐝𝐞𝐭 𝐀𝐣
𝐝𝐞𝐭 𝐀,
kde 𝐝𝐞𝐭𝐀𝐣 dostaneme z determinantu matice soustavy 𝐀 záměnou 𝑗-tého sloupce za sloupec pravých stran.
Vzhledem k tomu, že výpočet determinantů vyšších řádů než 3 je poměrně obtížný, používá se tato metoda
většinou jen pro soustavy s regulární maticí velikosti maximálně 3× 3.
PŘÍKLAD:
Cramerovým pravidlem řešme soustavu:
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
4x1 + x2 + 4x3 = 9
3x1 + 5x2 + 2x3 = 10
Determinant příslušný k matici soustavy
𝑑𝑒𝑡 𝐴 = |1 2 34 1 43 5 2
| = 41.
Dále vypočteme
det A1 = |6 2 39 1 410 5 2
| = 41,
det A2 = |1 6 34 9 43 10 2
| = 41,
det A3 = |1 2 64 1 93 5 10
| = 41.
Je tedy x1 = x2 = x3 = 41
41 = 1.
Řešení je
X = (1, 1, 1 )T .
Zkoušku provedeme opět dosazením do všech rovnic.
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
175
11.3. ŘEŠENÍ SOUSTAV LINEÁRNÍCH ROVNIC S REGULÁRNÍ MATICÍ SOUSTAVY
POMOCÍ INVERZNÍ MATICE
Již bylo uvedeno, že soustavu lze napsat v maticovém tvaru 𝐀 ∙ 𝐗 = 𝐁, kde 𝐀 je čtvercová řádu 𝑛, 𝐗 je matice
neznámých typu (𝑛, 1) a 𝐁 je matice pravých stran typu (𝑛, 1).
Vyjádříme z maticové rovnice 𝐗. Tedy je
𝐗 = 𝐀−𝟏 ∙ 𝐁.
Tímto způsobem lze řešit též soustavu se čtvercovou regulární maticí. Vzhledem k tomu, že výpočet inverzní
matice je poměrně obtížný, dáváme většinou přednost Gaussově eliminační metodě. Jen pokud bychom měli
několik soustav se stejnou maticí soustavy a různými sloupci pravých stran, „vyplatilo“ by se nám vypočítat
inverzní matici 𝐀−𝟏, a poté ji násobit zprava maticí složenou z různých sloupců pravých stran.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu pomocí inverzní matice
x1 + 3x2 - x3 = 0
2x1 - x2 + x3 = 3
-x1 + 2x2 + 2x3 = 1
Matice soustavy 𝐀 = ( 1 3 −1 2 −1 1−1 2 2
) . K této matici vytvoříme matici inverzní buď elementárními
úpravami, nebo pomocí adjungované matice algebraických doplňků – proveďte sami.
Výsledná inverzní matice
𝐀−𝟏 = 1
22 . (
4 8 −2 5 −1 3−3 5 7
) .
Provedeme násobení
1
22 . (
4 8 −2 5 −1 3−3 5 7
) . (031) = (
101)
Řešení můžeme zapsat
X = ( 1, 0, 1)T
a zkoušku provedeme obvyklým způsobem – dosazením do všech rovnic. Pokud by bylo pravých stran více,
udělali bychom si zkoušku pro výpočet inverzní matice, aby byla zaručena její správnost, dříve než s ní začneme
násobit matici tvořenou sloupci pravých stran.
176
11.4. METODA ÚPLNÉ ELIMINACE (JORDANOVA)
Tato metoda pracuje opět s rozšířenou maticí soustavy, ale místo úpravy na Gaussův tvar upravujeme tuto
matici tak, aby matice soustavy přešla na jednotkovou matici, (podobně jako při hledání inverzní matice), která
ovšem může mít přeházené řádky, viz následující příklad. Pak máme v každém řádku jednu vypočítanou
neznámou a metoda již nemá zpětný chod. Nicméně elementárních úprav je více než u Gaussovy metody, takže
pro ruční počítání není metoda příliš vhodná. Používá se hlavně pro počítačové zpracování soustav.
PŘÍKLAD:
Řešme soustavu úplnou eliminací:
x1 - 2x2 + 4x3 = 3
2x1 - 4x2 + 3x3 = 1
3x1 - x2 + 5x3 = 2
Matice soustavy je 𝐴 = (1 −2 42 −4 33 −1 5
). Budeme vytvářet postupně zleva sloupce jednotkové matice, začneme
jako u Gaussovy metody.
(1 −2 42 −4 3 3 −1 5
| 312) ~ (
1 −2 40 0 −5 0 5 −7
| 3−5−7
)
Nyní se hodí vytvořit jedničku ve druhém sloupci a třetím řádku, tedy vydělíme třetí řádek pěti
(
1 −2 40 0 −5
0 1−7
5
|
35−7
5
)
a vynulujeme sloupec nad touto jedničkou.
(
1 0 6
5
0 0 −5
0 1 −7
5
|
1
5
−5 −7
5
)
Nyní si připravíme jedničku ve druhém řádku a třetím sloupci, tedy 2. řádek vydělíme číslem (-5).
(
1 0 6
5
0 0 1
0 1−7
5
|
1
5
1 −7
5
)
Poté vytvoříme nuly nad a pod jedničkou ve třetím sloupci. Dostáváme konečně (1 0 00 0 10 1 0
|−1 1 0
).
Řešení je tedy X = ( -1, 0, 1 )T.
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
177
11.5. CVIČENÍ
1) Homogenní soustavy rovnic řešte Gaussovou metodou:
a)
x1 - 3x2 + 2x3 = 0
x1 - x2 + x3 = 0
2x1 + x2 - 3x3 = 0
b)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 – x2 – 2x3 + x4 = 0
2x1 – x3 + 2x4 = 0
3x1 – x2 – 3x3 + 3x4 = 0
c)
2x1 – x2 + 3x3 = 0
x1 + 2x2 – 5x3 = 0
3x1 + x2 – 2x3 = 0
d)
x1 + x2 + x3 = 0
3x1 – x2 + 2x3 = 0
x1 – 3x2 = 0
e)
x1 + 2x2 + 4x3 – 3x4 = 0
3x1 + 5x2 + 6x3 – 4x4 = 0
4x1 + 5x2 – 2x3 + 3x4 = 0
3x1 + 8x2 + 24x3 – 19x4 = 0
f)
4x1 – x2 + x3 – x4 = 0
x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 = 0
2x1 – 5x2 + 5x3 – 5x4 = 0
7x1 – 4x2 + 5x3 = 0
178
[
𝑎) ( 0, 0, 0)𝑇 ,
𝑏) (𝑥3 − 2𝑥4
2,−
3𝑥3
2, 𝑥3, 𝑥4)
𝑇
,
𝑐) (–𝑥3
5 ,13𝑥3
5 , 𝑥3)
𝑇
,
𝑑) ( −3𝑥3
4, −
𝑥3
4, 𝑥3)
𝑇
,
𝑒) (8𝑥3 − 7𝑥4, −6𝑥3 + 5𝑥4, 𝑥3, 𝑥4)𝑇 ,
𝑓) ( 0, −5𝑥4, −4𝑥4, 𝑥4)𝑇 ]
2) Nehomogenní soustavy rovnic řešte Gaussovou metodou:
a)
2x1 + 2x2 – x3 + x4 = 4
4x1 + 3x2 – x3 + 2x4 = 6
8x1 + 5x2 – 3x3 + 4x4 = 12
3x1 + 3x2 – 2x3 + 2x4 = 6
b)
2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 12
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 13
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11
4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14
c)
x1 + 2x2 – x3 = 6
x1 - x2 + x3 = 2
2x1 + x2 = 8
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
179
d)
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
x1 - x2 – x3 – x4 = -2
2x1 + x4 = 3
x1 + 3x2 + 3x3 + 3x4 = 10
e)
x 1 + x2 + x3 + x4 = 4
x1 – x2 – x3 – x4 = -2
2x1 + 3x2 – 2x3 = 0
3x1 + 2x2 – 3x3 – x4 = 1
f)
x1 + 2x2 + x3 = 0
2x1 + x2 + x3 – x4 = 1
3x2 + x3 + x4 = -1
g)
2x1 + x2 – x3 + 2x4 = 5
x1 – x2 + 3x3 – x4 = 1
3x1 + 2x2 – 2x3 + 3x4 = 4
h)
2x1 – x2 + 3x3 – x4 = 1
x1 – x2 – 5x3 + 4x4 = 2
3x1 –2x2 – 2x3 + 3x4 = 3
7x1 – 5x2 – 9x3 + 10x4 = 8
i)
x1 – x2 + 3x3 – x4 + x5 = 2
2x1 + 5x2 + 3x4 – x5 = 1
2x1 – 3x2 + 7x3 + x4 – 2x5 = 3
180
j)
3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2
2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3
9x1 + x2 + 4x3 - 5x4 = 1
2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
7x1 + x2 + 6x3 – x4 = 7
[
𝑎) ( 1, 1, −1,−1)𝑇 ,
𝑏) ( 2, 1, 1, 1)𝑇 ,
𝑐) ( 14+𝑥3
3 ,
4+2𝑥3
3 , 𝑥3)
𝑇, 𝑥3 ∈ 𝑅,
𝑑) ( 1, 2 − 𝑥3, 𝑥3, 1)𝑇 , 𝑥3 ∈ 𝑅, 𝑒) 𝑛𝑒𝑚á ř𝑒š𝑒𝑛í,
𝑓) ( 2−𝑥3+2𝑥4
3 ,
−1−𝑥3−𝑥4
3 , 𝑥3 , 𝑥4 )
𝑇, 𝑥3, 𝑥4 ∈ 𝑅,
𝑔) ( 6 − 𝑥4 , −13 + 𝑥4 , −6 + 𝑥4 , 𝑥4)𝑇 , 𝑥4 ∈ 𝑅,
ℎ) ( −1 − 8𝑥3 + 5𝑥4, −3 − 13𝑥3 + 9𝑥4, 𝑥3, 𝑥4)𝑇 , 𝑥3, 𝑥4 ∈ 𝑅,
𝑖) ( 23 + 56𝑥4 − 67𝑥5, −9 − 23𝑥4 + 27𝑥5, −10 − 26𝑥4 + 31𝑥5, 𝑥4, 𝑥5)𝑇 ,
𝑥4, 𝑥5 ∈ 𝑅,
𝑗) ( −6+8𝑥4
7 ,
1−13𝑥4
7 ,
15−6𝑥4
7, 𝑥4)
𝑇, 𝑥4 ∈ 𝑅 ]
3) Soustavy lineárních rovnic řešte Cramerovým pravidlem:
a)
2x1 – 3x2 = 1
3x1 – 4x2 = 2
b)
3x1 - x3 = 1
2x1 - x2 + x3 = 5
x1 + x2 + x3 = 2
Kap
ito
la: Ř
EŠEN
Í SO
UST
AV
LIN
EÁR
NÍC
H R
OV
NIC
181
c)
6x1 – 2x2 + 6x3 = 2
x1 + x2 – x3 = 0
3x1 + x2 – 2x3 = -3
d)
x1 + x2 + 2x3 = 4
x1 – x2 + x3 = 1
2x1 – 3x2 + x3 = 0
[𝑎) ( 2, 1)𝑇 , 𝑏) (1, −1, 2)𝑇 , 𝑐) (−3,19
2,13
2 )
𝑇
, 𝑑) ( 1, 1, 1)𝑇 ]
4) Soustavy lineárních rovnic řešte Jordanovou eliminační metodou:
a)
2x1 + x2 + 3x3 = 3
4x1 + 2x2 + 5x3 = 5
3x1 + 4x2 + 7x3 = 2
b)
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
-x1 – x2 + x3 + x4 = -1
-x1 + x2 + x3 – x4 = 0
x1 – x2 + x3 – x4 = -1
x1 + x2+ 5x3 + x4 = 0
[𝑎) ( 1, −2, 1)𝑇 , 𝑏) ( 1
4,3
4, −
1
4,1
4 )𝑇]
5) Soustavy lineárních rovnic řešte pomocí inverzní matice k matici soustavy:
a)
6x1 - 3x2 = 24
4x2 - 7x3 = -13
5x1 + 6x3 = 43
182
b)
x1 + 2x2 + 3x3 = 5, . . . = 4, . . . = 5, . . . = 8
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3, . . . = 5, . . . = 8, . . . = 15
x1 + 8x3 = 17, . . . = 9, . . . = 8, . . . = 9
c)
x1 + x2 + x3 = 3, . . . = 4, . . . = 1 , . . . = 3
x1 – x2 – x3 = -3, . . . = 0, . . . = -1, . . . = -1
x1 + 2x2 – x3 = -3, . . . = 3, . . . = 2, . . . = 2
[𝑎) ( 5, 2, 3)𝑇 , 𝑏) (1, −1,2)𝑇 , (1,0,1)𝑇 , (0,1,1)𝑇 , (1,2,1)𝑇 , 𝑐) ( 0, 0, 3)𝑇 , (2, 1, 1)𝑇 , (0, 1,0)𝑇 , (1,1,1)𝑇]
Kap
ito
la: S
EZN
AM
LIT
ERA
TUR
Y
183
12. SEZNAM LITERATURY
1) Bican, L.: Lineární algebra a geometrie, Academia Praha, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9.
2) Budinský, B. – Charvát, J.: Matematika I. 1. vyd. Nakladatelství technické literatury-Alfa, Praha
1987.
3) Coufal, J. – Klůfa, J.: Učebnice matematiky I. 1.vyd. Vysoká škola ekonomická, Praha 1996.
ISBN: 978-80-86119-76-9.
4) Došlá, Z.: Matematika pro chemiky. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2010.
ISBN 978-80-210-5263-5.
5) Došlá, Z. – Kuben, J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 1. vyd. Přírodovědecká fakulta
Masarykovy univerzity, Brno 2008. ISBN 80-210-3121-2.
6) Gillman, L. – McDowell, R.: Matematická analýza. 1. vyd. Nakladatelství technické literatury,
Praha 1980.
7) Hojdarová, M.: Lineární algebra - skripta pro počítačové systémy a aplikovanou Informatiku,
VŠPJ 2012. ISBN 978-80-87035-65-8.
8) Hojdarová, M.: Matematika 3 - Numerické metody, skripta VŠZ Praha, SPN, 1976.
9) Jarník, V.: Diferenciální počet I. 6. vyd. Academia, Praha 1974.
10) Kaňka, M. – Coufal, J. – Klůfa, J.: Učebnice matematiky pro ekonomy. 1. vyd. Ekopress, Praha
2007. ISBN 978-80-86929-24-8.
11) Kaňka, M.: Matematické praktikum – sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty
vysokých škol. 1. vyd. Ekopress, Praha 2010. ISBN 978-80-86929-65-1.
12) Kaňka, M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty vysokých škol. 1. vyd. Ekopress,
Praha 2009. ISBN 978-80-86929-53-8.
13) Klůfa, J.: Matematika pro studenty VŠE. 1. vyd. Ekopress, Praha 2011. ISBN 978-80-86929-74-3.
14) Mařík, R.: Interaktivní matematika – diferenciální počet. Home Page of Robert Mařík [online].
2013, [cit. 2014-01-28]. Dostupné z:
http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=interaktivni_matematika.md
15) Moučka, J. – Rádl, P.: Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Grada Publishing, Praha 2010.
ISBN 978-80-247-3260-2.
16) Rádl, P. – Černá, B. – Stará, L.: Základy vyšší matematiky. 2. přepr. vyd. Mendelova zemědělská
a lesnická univerzita, Brno 2009. ISBN 978-80-7375-099-2.
17) Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I. 7.vyd. Prometheus, Praha 2000. ISBN 80-7196-180-9.
18) Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, první díl. 1. vyd. Matfyzpress, Praha 1997. ISBN 80-
85863-23-5.