ejemplo de aplicación del método delta
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En este trabajo se ilustra la efectividad del método delta mediante simulación.TRANSCRIPT
Ejemplo de Aplicacion del Metodo Delta
Javier Santibanez
23 de noviembre de 2012
Planteamiento
Considerar el estimador muestral x de µ para datos normales con varianza conocida σ2.Estamos interesados en 1/µ2. Un estimador de este parametro es 1/x2. Usando el metododelta, obtener una aproximacion para la varianza de 1/x2. Ademas, realizar una simulacionpara verificar el resultado. Elegir los valores de su preferencia para µ, σ2 y n.
Solucion
Considere una muestra aleatoria X1,. . ., Xn de una poblacion N(µ, σ2). Se sabe que
µ = X ∼ N(µ, σ2)
Considerando la funcion g(x) = 1/x2, se tiene que g′(x) = −2/x3. Aplicando el metodo deltaa g(X) se obtiene que
g(X) ∼ N
(g(X), [g′(X)]2σ
2
n
)Esto es,
1X2 ∼ N
(1X2 ,
4σ2
nX6
)Por lo que
V ar(1/X2
)= 4σ2
nX6 .
Para la simulacion se utilizaron los valores µ = 4, σ2 = 1 y n = 10. El codigo empleado es elsiguiente
> m<-10000 ## repeticiones
> n<-10 ## tama~no de muestra
> mu <-4
> sigma<-1
> x.sim<-matrix(0,m,n)
> for (i in 1:m)
+ {
+ x.sim[i,]<-rnorm(n,mu,sigma)
+ }
> v1<-var(1/apply(x.sim,1,mean)^2) ## distribucion de 1/x_barra^2
> v2<-(4/mean(x.sim[1,])**6)*sigma/n ## var. estimada met. delta
> v3<-(4/mu**6)*sigma/n ## var. met delta
1
Por lo tanto:
El valor muestral de de V ar(1/X2) es 0.0001077.
La estimacion de la aproximacion de V ar(1/X2) es 0.0002522.
El valor de la aproximacion de V ar(1/X2) es 9.77 × 10−5.
2