Ejemplo de aplicacin del mtodo hngaro

Usted trabaja como gerente de ventas de un juguete fabricante, y actualmente tiene tres vendedores de los compradores de reuniones de carretera. Sus vendedores son en Austin, TX; Boston, MA, y Chicago, IL. Usted quiere que volar a tres otras ciudades: Denver, CO; Edmonton, Alberta, y Fargo, Key. La siguiente tabla muestra el costo de los boletos de avin en dlares entre estas ciudades

From \ To Denver Edmonton Fargo Austin 250 400 350 Boston 400 600 350 Chicago 200 400 250

Dnde debe enviar a cada uno de sus vendedores con el fin de minimizar el pasaje areo?

Podemos representar la tabla anterior como una matriz de costos

Echemos un vistazo a una posible asignacin.

El costo total de esta asignacin es $250 + $600 + $250 = $1100.

Aqu hay otra posible asignacin.

En este caso el costo total es de : $250 + $350 + $400 = $1000.

Despus de comprobar los seis posibles asignaciones se puede determinar que el ptimo es el siguiente:

$400 + $350 + $200 = $950.

As, los vendedores deben viajar desde Austin a Edmonton, Boston a Fargo, y Chicago a Denver.

Ensayo y error funciona bastante bien para este problema, pero supongamos que usted tiene diez vendedores que vuelan a diez ciudades? cmo muchas pruebas que esta toma? Hay n! formas de asignacin de recursos a las tareas n n. Eso significa que a medida que n se hace grande, tenemos demasiados juicios tener en cuenta.

Teorema: Si un nmero se suma o se resta de todas las de las entradas de cualquier fila o una columna de una matriz de costos, a continuacin, en la asignacin ptima para la matriz de coste resultante Es tambin una asignacin ptima para la matriz de costo original.

El mtodo hngaro: El siguiente algoritmo se aplica lo anterior teorema para un n dado n matriz de costos para encontrar una asignacin ptima. Paso 1. Reste el ms pequeo de la entrada en cada fila de todas las entradas de su fila. Paso 2. Restar el ms pequeo de entrada en cada columna de todas las entradas de su columna. Paso 3. Dibujar lneas a travs de filas y columnas apropiadas de modo que todo el

cero entradas de la matriz de costos estn cubiertos y el nmero mnimo de tales lneas se utiliza. Paso 4. Prueba de optimalidad: (i) Si el nmero mnimo de lneas que cubren n es, una asignacin ptima de ceros es posible y estamos acabados. (ii) Si el nmero mnimo de lneas que cubren es menor que n, un ptimo asignacin de ceros no es posible an. En ese caso, vaya al paso 5. Paso 5. Determinar la menor entrada no cubiertos por ninguna lnea. sustraer esta entrada de cada fila cubierto y, a continuacin se aade a cada cubierto columna. Vuelva al Paso 3. Volvamos al ejemplo Ejemplo 1: Usted trabaja como gerente de ventas de un juguete fabricante, y actualmente tiene tres vendedores de los compradores de reuniones de carretera. Sus vendedores son en Austin, TX; Boston, MA, y Chicago, IL. Usted quiere que volar a tres otras ciudades: Denver, CO; Edmonton, Alberta, y Fargo, Key. La siguiente tabla muestra el costo de los boletos de avin en dlares entre estas ciudades.

Dnde debe enviar a cada uno de sus vendedores con el fin de minimizar el pasaje areo?

Paso 1. Resta 250 de la fila 1, 350 de la fila 2, y 200 de la fila 3.

Paso 2. Reste 0 de la columna 1, 150 de la Columna 2, y 0 de la columna 3

Paso 3. Cubra todos los ceros de la matriz con el menor nmero de lneas horizontales o verticales.

Paso 4. Puesto que el nmero mnimo de lneas es 3, un asignacin ptima de ceros es posible y estamos terminado. Dado que el coste total de esta asignacin es 0, debe ser una asignacin ptima.

ubicamos esas posiciones en la matriz original y tenemos que .

Y podemos ver que el costo es de $400 + $350 + $200 = $950.

Conclusin

El problema de asignacin: Supongamos que tenemos n recursos a los que queremos asignar a las tareas n en un uno-a-uno. Supongamos tambin que sabemos que el costo de la asignacin de un determinado recurso a una tarea dada. Deseamos encontrar un equilibrio ptimo de asignacin-uno que minimiza el total de costo.

El modelo matemtico: Vamos a Ci, j es el costo de asignar el recurso i-simo a la tarea j. Definimos el matriz de costo de ser la matriz n n

Una cesin es un conjunto de posiciones de entrada n en el costo matriz, no hay dos de los cuales se encuentran en la misma fila o columna. La suma de las n entradas de una asignacin es su coste. un asignacin con el costo ms pequeo posible se llama un asignacin ptima.

El mtodo hngaro: El mtodo hngaro (ver supra) es un algoritmo que encuentra una asignacin ptima para una matriz de costo determinado.

Meyodo hngaro

Mtodo HngaroPasos para el mtodo hngaro Paso 1: Encontrar primero el elemento ms pequeo en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mnimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mnimo en cada columna. A continuacin se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mnimo de su columna. Paso 2: Consiste en trazar el nmero mnimo de lneas (horizontales o verticales o ambas nicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m lneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solucin ptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m lneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El nmero de lneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar (En algunos textos este paso se atribuye a Flood). Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no est cubierto por las lneas dibujadas en el paso 2; a continuacin se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos lneas (intersecciones). Por ltimo se debe regresar al paso 2. (scrib2) Paso 4: En caso de no encontrar una solucin factible con los pasos anteriores aplicar entonces este: 1) Trace el nmero mnimo de lineas hotizontales y verticales en la ltima matriz reducida que cubrir TODAS las entradas cero. 2) Selecciones el elemento no cubierto ms pequeo y rstelo de todos los elementos no cubiertos; despus, smelos a todos los elementos en la interseccin de dos lneas. 3) Si no es posible encontrar una asignacin factible entre las entradas cero resultantes, repita es paso. De lo contrario regres al paso 3 para determinar la asignacin ptima.

Caso especial al aplicar el Mtodo Hngaro cuando se trata de MaximizarCuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar de operar con el mayor de toda la matriz podemos ir tomando el mayor de cada fila o columna e ir restndole todos los

elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremos de camino obtener por lo menos un cero como mnimo en cada fila o columna. Si en alguna columna no hubiera ceros le quitamos el mayor a la columna

http://sites.google.com/site/ricrod23/extras/metodo-hungaro

mtodo de transporte 1era y 2da fase

UNIDAD 4 TRANSPORTE Y ASIGNACION 4.1DEFINICION PROBLEMA DE TRANSPORTE. La estructura especial del modelo de transporte permite asegurar que haya una solucin bsica artificial de inicio, obtenida con uno de los tres mtodos siguientes: * . Mtodo de la esquina noroeste (superior, izquierda) * . Mtodo del costo mnimo * . Mtodo de aproximacin de Vogel MTODO DE LA ESQUINA NOROESTE 1. Asignar todo lo ms que se pueda a la celda seleccionada y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda restando la cantidad asignada. 2. Salir del rengln o la columna cuando se alcance oferta o demanda cero, y tacharlo, para indicar que no se pueden hacer ms asignaciones a ese rengln o columna. Si un rengln y una columna dan cero al mismo tiempo tachar solo uno (el rengln o la columna) y dejar una oferta (demanda) cero en el rengln (columna) que no se tach. 3. Si queda exactamente un rengln o columna sin tachar, detenerse. En caso contrario avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la de abajo si se tach un rengln. Seguir el paso 1. MTODO DEL COSTO MNIMO Este mtodo determina una mejor solucin de inicio, porque se concentra en las rutas menos costosas. Ejemplo: La compaa SunRay Transport transporta grano desde tres silos hasta tres molinos. La oferta (en caminadas) se resume en el modelo de transporte de la tabla siguiente junto con los costos unitarios de transporte por camionada en las distintas rutas. Los costos unitarios de transporte, Cij (10, 2, 20,11.) estn en cientos de $. Paso 1. La celda (1,2) tiene el costo unitario mnimo de toda la tabla (=$2). Lo ms que se puede transportar por (1,2) es x12 =15 camionadas, y en este caso se satisfacen al mismo tiempoel

rengln 1 y la columna 2. Se tacha en forma arbitraria la columna 2 y se ajusta la oferta del rengln 1 a 0. Paso 2. La celda (3,1) tiene el mnimo costo sin tachar (=$4). Se asigna x31=5, se tacha la columna 1 porque qued satisfecha y se ajusta la demanda del rengln 3 a 10-5=5 camionadas. Paso 3. Al continuar de este modo, se asignan en forma sucesiva 15 camionadas a la celda (2,3), 0 camionadas a la celda (1,5), 5 a la celda (3,4) y 10 a la (2,4). MTODO DE VOGEL Paso 1. Determinar para cada rengln (columna) una medida de penalizacin restando el elemento de costo unitario mnimo en el rengln (columna) del elemento con costo unitario siguiente al mnimo del mismo rengln (columna). Paso 2. Identificar el rengln o columna con la mayor penalizacin. Romper los empates en forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mnimo costo unitario del rengln o columna seleccionado. Ajustar la oferta y la demanda y tachar el rengln o la columna ya satisfechos. Si se satisfacen un rengln y una columna en forma simultnea, slo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna la oferta o demanda cero. a) Si queda sin tachar exactamente un rengln o columna con cero oferta o demanda. Detenerse. b) Si queda sin tachar un rengln (columna) con oferta (demanda) positiva, determinar las variables bsicas en el rengln (columna) con el mtodo e costo mnimo. Detenerse. c) Si todos los renglones y columnas que no se tacharon tienen un cero oferta y demanda (Restante), determinar las variables bsicas cero por el mtodo del costo mnimo. Detenerse. d) En cualquier otro paso, seguir el paso 1. MODELO DE ASIGNACIN Paso 1. En la matriz de costo, identificar el mnimo de cada rengln y restarlo de todos los elementos del rengln Paso 2. En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mnimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 3. Identificar la solucin ptima como la asignacin factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2. CASO ESPECIAL, CUANDO NO HAY ASIGNACIN FACTIBLE Paso 2.

a) Trazar la cantidad mnima de lneas horizontales y verticales en la ltima matriz reducida que cubran todos los elementos cero. b) Seleccionar el elemento mnimo no cubierto, resaltarlo de todo elemento no cubierto y a continuacin sumarlo a todo elemento en la interseccin de dos lneas c) Si no puede encontrar una asignacin factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2. En caso contrario, seguir el paso 3 para determinar la asignacin ptima. 4.2 METODO APROXIMACION VOGEL Mtodo de aproximacin de Vogel. Mtodo de Aproximacin de Vogel: para cada rengln y columna que queda bajo consideracin, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmtica entre el costo unitario ms pequeo (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese rengln o columna. (Si se tiene un empate para el costo ms pequeo de los restantes de un rengln o columna, entonces la diferencia es 0). En el rengln o columna que tiene la mayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria). Para hacer ms concreta esta descripcin, se ilustrar el procedimiento general, utilizando el mtodo de aproximacin de Vogel para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina noroeste: Iniciamos el mtodo calculando las primeras diferencias para cada rengln y columna. De las diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (Por qu?), que resulta ser para la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y en esa celda realizamos la primera asignacin:

| 3 6 4 7 | 2

|

|

|

| Recursos

| DIF. |

|

|

|

|5

|1

|

4 3 2 3 | 5 4 8 | Demanda DIF. |1 | |3 |1 | |4 | | |2 0 3 1 |3 |1 |2 |1 | | | 10 10 | | | | | | 2 | |2 0 |0 |

Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrndola en un crculo y escribindole como superndice el nmero que le corresponda en la secuencia de seleccin.

Observemos en la figura anterior que nicamente eliminamos el segundo rengln ya que la tercera columna nos servir despus para hacer la asignacin de una variable bsica degenerada. Continuando con la aplicacin del mtodo, tenemos que calcular nuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un rengln y sto puede ocasionar que las diferencias aritmticas entre el costo unitario ms pequeo y el que le sigue ya no sean las mismas:

| 3 6 4 7 |

|

|

|

| Recursos

| DIF. |

|

|

|

|5

|1

|

2 4 3 2 3 | 5 4 8 | Demanda DIF. |1 |1 | |3 |1 | 3 |4 1 | 4 2 | |2 0 3 1 | | |1 |2 2|1 |3 0 | | | |1 10 10 | | | | | | | | | 2 | |2 0 |0 |

Como siguiente paso deberamos calcular las nuevas diferencias de columnas, pero ya que solamente queda un rengln dentro de las posibilidades (sto no significa que solamente un rengln quede bajo consideracin ya que podemos observar que ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todava bajo consideracin), no es posible encontrar la diferencia aritmtica entre el costo menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.

| 3 6 4 7 |

|

|

|

| Recursos

| DIF. |

3

|

1

|

0

|

1

|5 2 1 0

|1

|

2 4 3 2 3 | 5 4 8 | Demanda DIF. |1 |1 | |3 0 |1 | 3 | | |1 0 |2 2|1 |3 0 | | | |1 10 10 | | | | | | | | | 2 | |2 0 |0 |

| 4 1 0| 2 0 | 4 2 3 1 |

La solucin inicial bsica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable bsica degenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera Poltica de Transporte factible es de:

| x11 | x23 Costo = (4) |+

| c11 | c23 |3 |2

| | | (3) | (3)

| x12 | x32 |+ |+

| c12 | c32 |1 |3

| | | (7) | (3)

| x13 |

| c13

|

| x14

| c14

|

|+ |0 | (6) | = 35 unidades |

|+

|1

|

Es necesario aclarar que sta puede o no ser la solucin final del problema, es necesario aplicar a esta primera solucin factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor poltica de transporte que minimice todava ms el costo total.

Investigado en http://www.investigacion-operaciones.com/modelo_de_transporte.htm

MODELO DE TRANSPORTE

DEFINICIN Y APLICACIN DEL MODELO DE TRANSPORTE

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercanca de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:

1.

Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2. El costo de transporte unitario de la mercanca a cada destino.

Como solo hay una mercanca un destino puede recibir su demanda de una o ms fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviar de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.

La suposicin bsica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definicin de unidad de transporte variar dependiendo de la mercanca que se transporte.

El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercanca. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:

Minimiza Z=

i=1

m

j=1

n

C

ij

X

ij

Sujeta a:

j=1

n

X X

ij

= bj ,

i=1,2,, m j=1,2,, n

i=1

m

Ij

X i j >=0

para todas las i y j

El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma anloga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulacin resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir: Xij

= ai,

i=1,2,..., m j=1,2,..., n

X i j = bj,

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, adems de su utilidad en la representacin a travs de modelos de ciertas situaciones prcticas, es importante para el desarrollo del mtodo de solucin que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y tambin sus implicaciones prcticas.

Ejemplo 1 (Modelo de transporte estndar)

MG Auto Company tiene plantas en Los ngeles, Detroit y Nueva Orlens. Sus centros de distribucin principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas durante el trimestre prximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribucin son

de 2 300 y 1 400 vehculos. El costo del transporte de un automvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribucin son:

Los ngeles

DetroitNueva Orleans

Denver 1 000 1 250 1 275

Miami 1 690 1 350 850

Esto produce en costo por automvil a razn de 8 centavos por milla recorrida. Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del modelo original:

Los ngeles

DetroitNueva Orleans

Denver 80 100 102

Miami 215 108 68

Mediante el uso de cdigos numricos que representan las plantas y centros de distribucin, hacemos que X i j represente el nmero de automviles transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.

Minimizar Z = 80X 11 + 215X

12

+ 100X 21 + 108X

22

+ 102X 31 + 68X

32

Sujeto a:

X 11

X

12

X 21 X 11 X X12

X

22

X 21 X22

X 31 X 31

X X

32

32

= = = = =

1 1 1 2 1

000 500 200 300 400

ij

para todas las i y j

Un mtodo mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:

Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)

En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300 automviles (en vez de 1 500). Se dice que la situacin esta desequilibrada debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de distribucin.

Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, enve su produccin a todos los centros de distribucin. Fsicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representar la cantidad faltante en ese destino.

La nica informacin que falta para completar el modelo son los costos de transporte unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habr ningn envo fsico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situacin desde otro ngulo diciendo que se incurre en un costo de penalizacin por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribucin. En este caso los costos de transporte unitarios sern iguales a los costos de penalizacin unitarios en los diversos destinos.

Los ngeles Detroit Nueva Orlens Planta ficticia

Denver 80 100 102 0

Miami 215 108 68 0

1 000 1 300 1 200 200

De manera anloga, si la oferta en mayor que la demanda podemos aadir un destino ficticio que absolver la diferencia. Por ejemplo, suponga que la

demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automvil enviado de una planta a un centro de distribucin ficticio representa un excedente en la planta.

Denver

Miami

Destino Ficticio 0 0 0

Los ngeles Detroit Nueva Orleans

80 100 102

215 108 68

1 000 1 500 1 200

La aplicacin del modelo de transporte no se limita al problema de transporte.

El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.

Ejemplo 3 (Modelo de inventario de produccin)

Una compaa construye una planta maestra para la produccin de un articulo en un periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300 unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a travs de:

1. Produccin excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo posterior. 2. Produccin en el mes actual. 3. Produccin excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses anteriores.

El costo de produccin variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. una unidad producida para consumo posterior incurrir en un costo de almacenamiento razn de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artculos ordenados en meses anteriores incurren en un costo de penalizacin de $2.00 por unidad por mes. La capacidad de produccin para elaborar el producto vara cada mes. Los clculos de los cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.

El objetivo es el de formular el plan de inventario de produccin a costo mnimo. Este problema se puede formular como un modelo de transporte. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de produccin y transporte se establece de la manera siguiente:

Sistema de Transporte

Sistema de Produccin

1. Fuente i 1. Periodo de produccin i 2. Destino j 2. Periodo de demanda j 3. Oferta en la fuente i 3. Capacidad de produccin del periodo i 4. Demanda en el destino j 4. Demanda del periodo j 5. Costo de transporte de la fuente i 5. Costo de producto e inventario del al destino j periodo i al j

En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:

Demanda

1 2 3 4

Periodo 1 4 6 8 10

2 4.5 4 6 8

3 5 4.5 4 6

4 5.5 5 4.5 4

Capacidad 50 180 280 270

Demanda: 100

200

180

300

El costo de transporte unitario del periodo i al j es:

Costo de produccin en i,

i=j

Cij =

Costo de produccin en i / costo de almacenamiento en i a j

ij

La definicin de C i j indica que la produccin en el periodo i para el mismo periodo (i = j) slo iguala el costo unitario de produccin. Si el periodo i se produce para periodos futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma manera, la produccin en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre en un costo de penalizacin adicional.

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEALEs un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin.El mtodo del simplex fue creado en 1947 por el matemtico George Dantzig .

Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice El mtodo del simplex se cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente utiliza, sobre todo, para resolver problemas de otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace programacin lineal en los siempre a travs de los lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el que intervienen tres o ms variables. nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin. El lgebra matricial y el El mtodo del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.proceso de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del mtodo simplex.

Con miras a conocer la metodologa que se aplica en el Mtodo SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema:Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y 2x + 3y 3x + y x 0,y 18 42 24 0

Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42

3x +y + d = 24

2. Igualar la funcin objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo:Tabla I . Iteracin n 1 Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin x h s d Z 2 2 3 -3 y 1 3 1 -2 h 1 0 0 0 s 0 1 0 0 d 0 0 1 0 18 42 24 0

4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la baseA. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir. El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado). Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.

C. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z. Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla

II):Vieja fila de s 2 3 - Coeficiente 2 2 x x 0 1 0 - - 2 2 2 x x x 42 2 x 8 =

Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 = = Nueva fila de s = = =

0 7/3 0 1 -2/3 26

Tabla II . Iteracin n 2 Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin x h s x Z 0 0 1 0 y 1/3 7/3 1/3 -1 h 1 0 0 0 s 0 1 0 0 d -2/3 -2/3 1/3 1 2 26 8 24

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote: 2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8]

y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla:Tabla III . Iteracin n 3 Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin x y s x Z 0 0 1 0 y 1 0 0 0 h 3 -7 -1 3 s 0 0 0 0 d -2 4 1 -1 6 12 6 30

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:Tabla IV . Final del proceso Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin x y d 0 0 y 1 0 h -1/2 -7/4 s 0 0 d 0 1 12 3

x Z

1 0

0 0

-3/4 5/4

0 0

0 0

3 33

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a la solucin ptima. Los solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base: D(3,12)* Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicndolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma ax - by - c y estamos en el caso anterior

* Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la funcin objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos

Interpretacin geomtrica del mtodo del simplex

Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice A(0,0), siendo este 0. A continuacin se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la Tabla II. En esta segunda iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice B(8,0): Z=f(8,0) = 24 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III.

En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice C(6,6) : Z=f(6,6)=30. Continua haciendo clculos a travs de la arista CD, hasta llegar al vrtice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solucin no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor mximo de la funcin objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vrtice D). Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice E(0,14), su valor no supera el valor 33.http://www.investigacion-operaciones.com/SIMPLEX_analitico.htm

http://www.investigacion-operaciones.com/Metodo_Minimizacion.htm

Mtodo de la M o de Penalizacin.Hasta este momento se han presentado los detalles del mtodo smplex con la suposicin de que el problema se encuentra en nuestra forma estndar (maximizar Z sujeta a las restricciones funcionales de la forma y restricciones de no negatividad sobre todas las variables) con bi 0 para toda i = 1, 2, ..., m. En esta seccin se establecer cmo hacer los ajustes requeridos a otras formas legtimas de modelos de Programacin Lineal. Se ver que todos estos ajustes se pueden hacer en el paso inicial, de manera que el resto del mtodo smplex se aplica justo como se aprendi. El nico problema serio que introducen las otras formas de restricciones funcionales (= ) es identificar una solucin inicial bsica factible. Antes, esta solucin inicial se encontraba en forma muy conveniente al hacer que las variables de holgura fueran las variables bsicas iniciales, donde cada una era igual a la constante no negativa del lado derecho de la ecuacin correspondiente. Ahora debe hacerse algo ms. El enfoque estndar que se utiliza es estos casos es la tcnica de variables artificiales. sta construye un problema artificial ms conveniente introduciendo una variable ficticia (llamada variable artificial) en cada restriccin que lo requiera. Esta nueva variable se introduce slo con el fin de que sea la variable bsica inicial para esa ecuacin. Las restricciones usuales de no negatividad tambin se aplican sobre estas variables y la funcin objetivo se modifica para que imponga una penalizacin exorbitante en el caso de que adquieran valores mayores que cero. Las iteraciones del mtodo smplex automticamente fuerzan a las variables artificiales a desaparecer (a volverse cero) una a una, hasta que todas quedan fuera de la solucin; despus de esto se resuelve el problema real. Para ilustrar la tcnica de las variables artificiales, primero se considerar el caso en que la nica forma no estndar en el problema es la presencia de una o ms restricciones en forma de igualdad. Restricciones en forma de igualdad.

En realidad, cualquier restriccin en forma de igualdad: ai1x1 +ai2x2 + . . . + ainxn = bi es equivalente a dos restricciones de desigualdad: ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn bi, ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn bi Sin embargo, en lugar de hacer esta sustitucin e incrementar con ello el nmero de restricciones, es ms conveniente usar la tcnica de la variable artificial. Suponga que se modifica el problema de ejemplo presentado y resuelto en la seccin anterior. El nico cambio que sufre el modelo de programacin lineal es que la tercera restriccin, 3x1 + 2x2 18, se convierte en una restriccin de igualdad: 3x1 + 2x2 = 18 Aplicando la tcnica de las variables artificiales se introduce una variable artificial no negativa (denotada por x5) en la ltima ecuacin, como si fuera una variable de holgura: 3x1 + 2x2 + x5 =18 En resumen si tenemos una restriccin funcional en forma de igualdad y deseamos pasarla a su forma de igualdad, nicamente debemos sumar una variable artificial.Restricciones funcionales de la forma

Para ilustrar la manera en que la tcnica de las variables artificiales maneja las restricciones de la forma usaremos el siguiente ejemplo: Minimizar sujeta a Z = 0.4x1 0.3x1 0.5x1 0.6x1 x1 0, + + + + 0.5x2 0.1x2 0.5x2 0.4x2 x2 0

=

2.7 6 6

Notemos que la tercera restriccin es del tipo , por lo que para cambiarla a su forma de igualdad tendramos que restar una variable de supervit (o de excedente), quedando de la siguiente manera: 0.6x1 + 0.4x2 x5 = 6 Se ha restado la variable de excedente x5 (se utiliz x5 porque en la primera restriccin agregamos una variable de holgura que sera x3 y en la segunda restriccin agregamos tambin una variable artificial que sera x4; todo esto con el fin de convertir las desigualdades a su forma de igualdades) para que consuma el exceso de 0.6x1 + 0.4x2, o sea, lo que se pasa de 6. No obstante en este caso debe agregarse otra variable. Esta variable extra, llamada variable artificial se aumenta como sigue: 0.6x1 + 0.4x2 x5 + x6 = 6 La razn de esto es que, si no se agrega la variable artificial, no se estaran cumpliendo las restricciones de no negatividad. Para comprenderlo, se dejar sin aumentar. El mtodo smplex comienza por hacer todas las variables reales (originales) iguales a cero. Entonces: 0.6x1 + 0.4x2 x5 = 6 Sea x1 = 0 y x2 = 0, entonces: x5 = 6 negatividad) La variable artificial opera para mantener todas las variables no negativas cuando 0.6x1 + 0.4x2 es menor que 6. Si x1 = 0 y x2 = 0, entonces x5 = 0 y 0.6x1 + 0.4x2 x5 + x6 = 6 x6 = 6 x5 = 6 (que no cumple la restriccin de no

En resumen, una restriccin de la forma se convierte a su forma de igualdad restando una variable de excedente y sumando una variable artificial.

Consideremos el siguiente problema: Maximizar sujeta a Z = 3x1 x1 + 5x2 2x2 2x2 x2 0 = 4 12 18

3x1 + x1 0,

Como explicamos anteriormente, para resolver este problema, debemos construir un problema artificial que tiene la misma solucin ptima que el problema real, haciendo dos modificaciones a este problema real. 1. Se aplica la tcnica de las variables artificiales introduciendo una variable artificial no negativa (denotada por x5) en la ltima ecuacin, como si fuera una variable de holgura: 3x1 + 2x2 + x5 =18 2. Se asigna una penalizacin enorme al hecho de tener x5 0, cambiando la funcin objetivo Z = 3x1 + 5x2 a: Z = 3x1 + 5x2 Mx5, donde M simblicamente representa un nmero positivo muy grande. Este mtodo que fuerza a x5 hasta el nivel de x5 = 0 en la solucin ptima se llama mtodo de la M. Nota: Para el caso de minimizacin, penalizamos a la variable artificial, hacindola aparecer en la funcin objetivo con un coeficiente de +M. Ahora se encuentra la solucin ptima para el problema real aplicando el mtodo smplex al problema artificial. Como x5 juega el papel de la variable de holgura en la tercera restriccin del problema artificial, esta restriccin es equivalente a 3x1 + 2x2 18.

En particular, el sistema de ecuaciones despus de aumentar el problema artificial (en otras palabras, pasarlo a su forma de igualdades) es: Maximizar Z, sujeta a Z 3x1 x1 3x1 5x2 + + 2x2 2x2 xj 0 x3 + Mx5 = = + x4 = + x5 = Para j = 1, 2, , 5 0 4 12 18

En este momento estamos preparados para pasar los coeficientes a la tabla smplex:

Variable Bsica Z x3 x4 x5 Z 1 0 0 0 x1 3 1 0 3 x2 5 0 2 2 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 x5 M 0 0 1

Lado derecho 0 4 12 18 Cociente Es ptima?

Esta tabla todava no est en la forma apropiada porque el coeficiente de x5 es diferente de cero en la ecuacin de Z (es M). Por lo tanto, antes de que el mtodo smplex pueda aplicar la prueba de optimalidad y encontrar la variable bsica entrante, debe pasarse esta tabla a la forma apropiada para que cumpla la condicin smplex. Esta condicin que debe cumplir toda tabla del mtodo smplex para que pueda reportarnos la siguiente solucin bsica factible dice que: Toda variable bsica debe tener un 1 en la interseccin de su rengln y columna correspondiente y cero en los dems renglones incluido el rengln de Z, en otras palabras, que toda variable que sea bsica solamente debe aparecer en el rengln de la restriccin que representa. Para hacer cero el coeficiente M, utilizamos el rengln de x5 como rengln pivote multiplicndolo por M y sumando el resultado al rengln de Z. Realizando el procedimiento anterior, la tabla smplex queda de la siguiente manera:

Variable Bsica Z x3 x4 x5 Z 1 0 0 0 x1 -3M3 1 0 3 x2 -2M5 0 2 2 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 x5 0 0 0 1

Lado derecho 18M 4 12 18 Cociente Es ptima?

Mx5 + Z(0, 0, 4, 12, 18) Z = 18M

Podemos observar que la tabla anterior ya se encuentra en la forma apropiada y podemos leer la solucin bsica factible actual, que es (0, 0, 4, 12, 18), la cual aplicando la prueba de optimalidad vemos que no es ptima ya que todava tenemos coeficientes negativos en el rengln de Z (los correspondientes a x1 y x2). Aplicando el mtodo smplex a la tabla anterior tenemos: el coeficiente negativo con el mayor valor absoluto corresponde a x1 (3M3), recordemos que M es un nmero muy grande positivo, por lo tanto, x1 se convierte en la variable bsica entrante, realizando los cocientes correspondientes, vemos que x3 se convierte en la variable bsica saliente. El procedimiento completo para resolver este ejemplo se muestra en el siguiente conjunto de tablas:

Variable Z x1 x2 x3 x4 x5

La

der

Bsica Z

1

-

-

0

0

0

1

x3 x4 x5 Z

3M- 2M3 5 0 1 0 0 0 1 0 3 0 2 2

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1

1

x1 x4 x5 Z x1 x4 x2 Z x1 x3 x2 MINIMIZACIN con el mtodo smplex.

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

- 3M+3 2M5 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 9/2 1 3

6M

0 1 0 0 0 1

0 0 1M+5/2

1

2

0 1

0 1/2 3/2 M+1 0 3/2 0 1/3 1/3 1 0 1/3 1/2 1/3 0

3

Una manera directa de minimizar Z con el mtodo smplex es cambiar los roles de los coeficientes negativos y positivos en el rengln de la funcin objetivo, tanto para la prueba de optimalidad como para la parte 1 de una iteracin. Se determina la variable bsica entrante mediante la eleccin de la variable con el coeficiente positivo menor en la ecuacin de Z. La solucin bsica factible actual es ptima si y slo si todos los coeficientes de la ecuacin de la funcin objetivo (rengln de Z) son no positivos ( 0 ). Si es as, el proceso termina; de otra manera, se lleva a cabo otra iteracin para obtener la nueva solucin bsica factible, lo que significa el cambio de una variable no bsica por una bsica (parte 1) y viceversa (parte 2), y despus despejar las variables de la nueva solucin (parte 3). Notemos que no se ha dicho nada con respecto a la forma de obtener la variable bsica saliente en una iteracin, ya que este paso se

realiza de la misma manera que cuando se est maximizando, es decir, se escoge aquella variable bsica con el menor cociente. Ilustremos la forma de utilizar el mtodo smplex para el caso de minimizacin. Consideremos el siguiente ejemplo: Minimizar sujeta a Z = 3x1 + x1 + x1 + x1 0, 8x2 4x2 2x2 x2 0

4 2

Pasando este problema a su forma de igualdades aadiendo las variables necesarias, obtenemos lo siguiente: Minimizar Z, sujeta a Z 3x1 x1 x1 + + 8x2 4x2 + x3 2x2 xj 0 Mx5 = = x4 + x5 = para j = 1, 2, , 5 0 4 2

Utilizando el mtodo de la M para obtener una solucin ptima por el mtodo smplex, obtenemos el siguiente conjunto de tablas: Variable Z x1 x2 x x43

Lado x5 dere Cocie cho nte Es pti ma?

Bsica Z x3 x5 Z

1 3 0 1 0 1

8 0 0 M 4 1 0 0 2 0 1 1 1 M 2M 0 0 M 3 8

0 4 2 2M (0, 0, 4, 0,

x3 x5 Z

0 1 0 1 1 0

4 2

1 0

0

4 2 6

0 1 1 2 0 M 3 +3 2 2 1 1 0 1 1 1

4/1 = 4 2/1 = 2

2) Z= 2M

x3 x1

0 0 0 1

2 2

(2, 0, 2, 0, 0) Z=6 pti ma

Notemos que la primera tabla no se encontraba en la forma apropiada para el mtodo smplex, ya que el coeficiente de la variable bsica x5 era de M en el rengln de Z, lo cual hacia que no se cumpliera la condicin smplex.

Mtodo de las dos Fases.En el ejemplo presentado en la seccin Restricciones funcionales de la forma , recordemos la funcin objetivo real: Problema real: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2

Sin embargo, el mtodo de la M utiliza la siguiente funcin objetivo a travs de todo el procedimiento: Mtodo de la M: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2 + Mx4 + Mx6

Como los dos primeros coeficientes (0.4 y 0.5) son despreciables comparados con M, el mtodo de dos fases puede eliminar la M usando las siguientes dos funciones objetivo que definen Z de manera completamente diferente: Mtodo de las dos fases: Fase 1: Fase 2: Minimizar Minimizar Z = x4 + x 6 (hasta que x4 = 0 y x6 = 0). (con x4 = 0 y x6 = 0).

Z = 0.4x1 + 0.5x2

La funcin objetivo de la fase 1 se obtiene dividiendo la funcin objetivo del mtodo de la M entre M eliminando los trminos despreciables, en otras palabras, la fase 1 consiste en la minimizacin de la suma de todas las variables artificiales que se introduzcan en el problema. Como la fase 1 concluye al obtener una solucin bsica factible para el problema real (aquella en la que x4 = 0 y x6 = 0), esta solucin se usa como la solucin bsica factible inicial para aplicar el mtodo smplex al problema real (con su funcin objetivo) en la fase 2. Antes de resolver el ejemplo de esta manera se har un resumen de las caractersticas generales. Resumen del mtodo de dos fases. Paso inicial: Se revisan las restricciones del problema original introduciendo variables artificiales segn se necesite para obtener una solucin bsica factible inicial obvia para el problema artificial. Fase 1: uso del mtodo smplex para resolver el problema de programacin lineal: Minimizar Z = de todas las variables artificiales, sujeta a las restricciones revisadas. La solucin ptima que se obtiene para este problema (con Z = 0) ser una solucin bsica factible para el problema real. Fase 2: se eliminan las variables artificiales (de todas formas, ahora todas valen cero). Comenzando con la solucin bsica factible que se obtuvo al final de la fase 1, se usa el mtodo smplex para resolver el problema real. Enseguida se resumen los problemas que deben resolverse por el mtodo smplex en las fases respectivas para el ejemplo. Problema para la fase 1: Minimizar sujeta a 0.3x1 + 0.1x2 + 0.5x1 + 0.5x2 0.6x1 + 0.4x2 x3 + x4 x5 + x6 = = = 2.7 6 6 W = x4 + x6,

y x10 x20 x3 x40 x50 x60

Problema para la fase 2: Minimizar Z = 0.4x1 + 0.5x2, sujeta a 0.3x1 + 0.1x2 + 0.5x1 + 0.5x2 0.6x1 + 0.4x2 y x10 x20 x3 x50 x3 x5 = = = 2.7 6 6

Las nicas diferencias entre estos dos problemas se encuentran en la funcin objetivo y en la inclusin (fase 1) o exclusin (fase 2) de las variables artificiales x 4 y x6. Sin las variables artificiales, el problema para la fase 2 no tiene una solucin bsica factible inicial obvia. El nico propsito de resolver el problema para la fase 1 es obtener una solucin bsica factible con x4 = 0 y x6 = 0 que se pueda usar como la solucin bsica factible inicial para la fase 2. Las siguientes tablas muestran el resultado de aplicar el mtodo smplex a este problema para la fase 1: Variable W x1 x2 x3 x4 x5 x6

Lad

dere

Bsica W x3 x4 x6 W x3 x4 x6 W x1 x4 x6 W x1 x4 x2 W x1 x5 x2

1 0 0 0 0.3 0.1 0 0.5 0.5 0 0.6 0.4 1 1.1 0.9 0 0.3 0.1 0 0.5 0.5 0 0.6 0.4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 3

0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 2.

6

6

1

2.

6

6

0.53 3.66 0.33 3.33 0.33 1.66 0.2 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1.64 6.63 1.64 10 0 5 5.05

2.

9

1.

0.

1.65 2.65 1.65 1.65 1.65 1.65 5 0 0 1 0 5 1 0 1 0

0.5

8.0

0.5

3

0

7.

0.99 0.60

0.

4.

Notemos que ya hemos obtenido una solucin ptima para la fase 1 que consisti en la minimizacin de la suma de todas las variables artificiales. Observemos tambin que la funcin objetivo W termin con un valor de cero en la ltima tabla, lo que indica que las dos variables artificiales (x4 y x6) valen cero tienen valores recprocos y se cancelan mutuamente para dar cero. En nuestro caso, las dos variables artificiales valen cero ya que no se encuentran en la columna de las variables bsicas en la ltima tabla de la primera fase. La segunda fase consiste en resolver el problema original utilizando como tabla inicial de esta fase la ltima tabla de la primera fase pero sin considerar la columna de las variables artificiales ya que stas tomaron el valor de cero en la primera fase. El mtodo smplex aplicado a la segunda fase se muestra en el siguiente conjunto de tablas: Variabl e Z Bsica Z x1 x5 x2 Z x1 x5 x2 Z x1 x5 x2 x1 x2 0. 5 0 0 1 0. 5 0 0 1 0 0 0 1 x3 0 5 0.99 5.0 5 2 5 0.99 5.0 5 0.5 2 5 0.99 5.0 5 x4 0 1 0.60 3 Lado x x6 derech o 5 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 7.5 0.3 4.5 3 7.5 0.3 4.5 5.25 7.5 0.3 4.5 (7.5,4.5,0,0,0.3,0 ) Z = 5.25 ptima fase 2 Cocient e Es ptima?

1 0. 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Notemos que no fue necesario aplicar propiamente el mtodo smplex a la primera tabla de la segunda fase, ya que nicamente aplicando operaciones con matrices para tratar de llevar esta tabla a la forma apropiada para el mtodo smplex fue suficiente para resolver el problema planteado en la segunda fase. Es necesario aclarar que no siempre ocurrir de esta manera, es decir, si despus de dejar la tabla en la forma apropiada, es necesario aplicar el mtodo smplex, se debe aplicar como lo hemos estudiado. Nota: Independientemente de que el problema original (real) sea de maximizacin o minimizacin, la primera fase siempre consistir en la minimizacin de la suma de todas las variables artificiales.

DUALIDADEl dual es un problema de PL que se obtiene matemticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal estn relacionados a tal grado, que la solucin smplex ptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automtica a la solucin ptima del otro. El mtodo smplex adems de resolver un problema de PL llegando a una solucin ptima nos ofrece ms y mejores elementos para la toma de decisiones. La dualidad y el anlisis de sensibilidad son potencialidades de ste mtodo. En la mayora de los procedimiento de PL, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las variables y del sentido de la optimizacin. La experiencia nos indica que en ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones. Ms importante an es que el uso de esas definiciones mltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla smplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociacin y una relacin muy importante con otro problema de programacin lineal, llamado precisamente dual.

La relacin entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades:

Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresin de la PL. El anlisis de dualidad es una herramienta til en la solucin de problemas de PL, por ejemplo: ms restricciones que variables. El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que

los anlisis marginales estn siempre involucrados implcitamente al buscar la solucin ptima a un problema de PL. La forma estndar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar.

sujeto a;

Cmo convertir un problema primal a dual?

Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma: 1. Si el primal es un problema de maximizacin su dual ser un problema de minimizacin y viceversa. 2. Los coeficientes de la funcin objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la funcin objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual. 4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, ser la matriz de los coeficientes tecnolgicos en el dual. 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Cada restriccin en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendr n restricciones y m variables. As, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual.

PROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA: MAX Z= CX Sujeto a: AX b X0 Ejemplo. Si el problema primal es: MAX Z= 45X1 + 17X2 + 55X3 Sujeto a: X1 + X2 + X3 200

PROBLEMA DUAL EN FORMA CANO MIN Z= BY Sujeto a: AY C Y0

9X1 + 8X2 + 10X3 5000 10X1+ 7X2 + 21 X3 4000 Xj 0 El problema dual ser: MIN Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3 Sujeto a:

Y1 + 9Y2 + 10Y3 45 Y1 + 8Y2 + 7Y3 17 Y1 + 10Y2 + 21Y3 55 Yj 0 FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL MIN = 2X1 - 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2 12 4X1 - 2X2 3 6X1 - 1X2 = 10 X1,2 0 1. Llevar el problema a su equivalente de maximizacin, multiplicando la funcin objetivo por 1: MAX -2X1 + 3X2 2. Convertir las restricciones en una restriccin equivalente multiplicando por 1 ambos lados: -4x1 + 2x2 -3 3. Para las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de desigualdad, una de forma y la otra de forma ; despus regresar al punto anterior y cambiar la restriccin a la forma : 6X1 1X2 10 6X1 1X2 10 6X1 1X2 10 -6X1 + 1X2 -10 As el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente:

MAX Z= -2X1 + 3X2 Sujeto a: 1X1 + 2X2 12 -4X1 + 2X2 - 3 6X1 1X2 10 -6X1 + 1X2 -10 X1,2 0 4. Teniendo el problema primal convertido a la forma cannica de un problema de maximizacin, es fcil llevarlo al problema dual: MIN Sujeto a: Y14Y2 + 6Y36Y3 -2 2Y1 + 2Y2 1Y3 + 1Y3 3 Y1, 2, 3, 3 0 12Y1 3Y2 + 10Y3

Y3 y Y3 ambas se refieren a la tercera restriccin del problema primal.

Sobre la investigacin de operaciones

Actualmente la administracin est funcionando en un ambiente de negocios que est sometido a muchos ms cambios, los ciclos de vida de los productos se hacen ms cortos, adems de la nueva tecnologa y la internacionalizacin creciente. Las races de la investigacin de operaciones se remonta a cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Definicion La investigacin de operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organizacin. El origen de esta materia se remonta a la segunda guerra mundial, cuando el coronel Sanders, junto con un dedicado grupo de cientificos, se propusieron encontrar la cuadratura del circulo, para de esta forma simplificar el horario militar y que le permitiese al Teniente G. Dann ganar la guerra en un rapido ataque en contra de los aliados. La investigacin de operaciones es la aplicacin de la metodologa cientfica a travs de modelos matemticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su anlisis y solucin se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes reas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje comn. Modelos de la Investigacion de Operaciones La forma convencional en que la investigacin de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemtico que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una proximacin abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen ms manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solucin. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propsito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. io te recomendaria tambien que consultases los trabajos de H. Klum y de A. Ivanovic, quienes tienen un mas amplio conocimiento del tema La seleccin del mtodo de solucin depende de las caractersticas del modelo. Los procedimientos de solucin pueden ser clasificados en tres tipos: a) analticos, que utilizan procesos de deduccin matemtica

b) numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error c) simulacin, que utiliza mtodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

Sacado de http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionDesarrolloYModelosInvestigacionDeOperaciones