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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

INGENIERÍA MECÁNICA

MECÁNICA DE MATERIALES 1

EJERCICIO COMPUTACIONAL

1. OBJETIVO

Desarrollar la capacidad de programación en el estudiante, para resolver ejercicios de mecánica de materiales,

mediante la aplicación de métodos numéricos utilizando MATLAB.

2. ENUNCIADO

A solid steel rod consisting of n cylindrical elements welded together is subjected to the loading shown. The diameter

of element i is denoted by di and the load applied to its lower end by Pi, with the magnitude Pi of this load being assumed

positive if Pi is directed downward as shown and negative otherwise.

(a) Write a computer program to determine the average stress in each element of the rod.

(b) Use this program to solve Probs. 1.2 and 1.4

RESOLUCIÓN

Se presenta el código utilizado en la resolución del ejercicio, y la interfaz que muestra al cumplirse las líneas de

programación. El texto en color verde se refiere a los comentarios relacionados con cada línea de programación.

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clear %elimina todas las variables para que no interfiera con las nuevas variables a introducir clc %borra todo en la pantalla Command Window n=input('Ingrese el número de barras soldadas: '); %se despliega un mensaje para introducir el número de elementos presentes en el conjunto desde 1 hasta n i=1;%valor inicial de elementos for i=1:n % para valores de i de 1 hasta n elementos fprintf('ingrese el numero de fuerzas aplicadas en la barra %d: ',i)% se despliega un mensaje para introducir el número de fuerzas que actúa en cada barra desde 1 a n

k=input('');%para el valor introducido del número de fuerzas se despliega la condición de que valor asume cada fuerza en [N]

for k=1:k fprintf('Ingrese la fuerza %d aplicada en la barra %d en [N]: ',k,i);%S se despliega un mensaje para introduce el valor de cada fuerza aplicada en cada barra T(k,i)=input(''); %para cada valor de fuerza introducido en cada barra, se registra un valor if k>1 F=sum(T);% se declara una función F que es la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas en cada barra G=cumsum(F); %se declara una función G que es la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas en el conjunto else F=cumsum(T); G=F; end end

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fprintf('Ingrese el diámetro de la bara %d en [m]:',i); %se despliega un mensaje para introducir el diámetro de cada barra d(i)=input('');% para el valor introducido de cada diámetro, se registra un valor A(i)=(0.25*pi*(d(i)^2));% con cada diámetro de barra, se calcula el área dónde cada fuerza aplicada genera un esfuerzo e(i)=G(i)/A(i);% calcula el esfuerzo generado en cada barra como función de la fuerza aplicada su área. end for j=1:i fprintf('El valor del esfuerzo de la barra %d en [Pa] es: %0.2d \n',j,e(j))%entrega el valor del esfuerzo calculado en [Pa] end

La comprobación de la funcionalidad del programa se la realiza primero resolviendo analíticamente los ejercicios 1.2 y

1.4 y comparando con los valores calculados por el programa “ejercicio1c1”.

3. EJERCICIO 1.2.

Two solid cylindrical rods AB and BC are welded together at B and loaded as shown. Knowing that d2=50 [mm] and

d1=30 [mm], find the average normal stress at the midsection of:

a) Rod AB.

b) Rod BC.

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3.1. Resolución Analítica Del Ejercicio

Se realiza un corte transversal en cada barra y se realiza el diagrama de cuerpo libre de cada una de ellas.

Para el elemento BC se tiene:

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝑅1 − 30000 = 0

𝑅1 = 30000 [𝑁]

Para el elemento AB se tiene:

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝑅2 − 30000 − 40000 = 0

𝑅2 = 70000 [𝑁]

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El esfuerzo en la barra BC es:

𝜎𝐵𝐶 =𝑅1

𝐴𝐵𝐶=

𝑅1

𝜋 ×𝑑1

2

4

𝜎𝐵𝐶 =30000

𝜋 ∗0.0032

4

𝝈𝑩𝑪 = 𝟒𝟐. 𝟒𝟒[𝑴𝑷𝒂]

El esfuerzo en la barra AB es:

𝜎𝐴𝐵 =𝑅2

𝐴𝐴𝐵=

𝑅2

𝜋 ×𝑑2

2

4

𝜎𝐴𝐵 =30000

𝜋 ∗0.052

4

𝝈𝑨𝑩 = 𝟑𝟓. 𝟕𝟓[𝑴𝑷𝒂]

3.2. Resolución del Ejercicio en Matlab

El programa despliega la interfaz donde se introduce los valores correspondientes al problema. El primer dato a

introducir es el número de barras que tiene el ejercicio, que para este caso en particular, el número de barras es 2,

considerando que la numeración de cada barra se toma desde el extremo inferior del conjunto, por lo que la barra 1

es BC y la barra 2 es AB.

Posterior a esto se introduce el número de fuerzas aplicadas en la barra número 1, considerando que el sentido positivo

es cuando la barra está sometida a tracción y negativo cuando está sometida a compresión, las unidades de la fuerza

aplicada deben darse en [N]. Para el ejercicio 1.2, la fuerza 1 está sometiendo a la barra a tensión, por lo que en el

programa la fuerza se introduce con un signo positivo. Para finalizar los datos de la barra 1 se introduce el valor del

diámetro de la barra 1 en [m].

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Introducidos todos los valores de la primera barra, se ingresa los datos correspondientes a la barra 2 que son: el

número de fuerzas aplicadas en la barra número 2, considerando que el sentido positivo es cuando la barra está

sometida a tracción y negativo cuando está sometida a compresión, las unidades de la fuerza aplicada deben darse

en [N]. Para el ejercicio 1.4, la fuerza 2 está sometiendo a la barra a tensión, por lo que en el programa se introduce la

fuerza con signo positivo. Para finalizar los datos de la barra 2 se introduce el valor del diámetro de la barra 2 en [m].

Introducidos todos los datos correspondientes al problema se da un enter, y el programa entrega el resultado del

esfuerzo en [Pa] al que está sometida cada barra, considerando que la numeración de las barras se da desde abajo

hacia arriba.

4. EJERCICIO 1.4

Two solid cylindrical rods AB and BC are welded together at B and loaded as shown. Knowing that P=40 [kips], d1=2

[pulg] and d2=3 [pulg], determine the average normal stress at the midsection of:

a) Rod AB.

b) Rod BC.

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4.1. Resolución Analítica del Ejercicio Se realiza un corte transversal en cada barra y se realiza el diagrama de cuerpo libre de cada una de ellas.

Para el elemento AB se tiene:

∑ 𝐹𝑥 = 0

−𝑅1 + 𝑃 = 0

𝑅1 = 40000[𝑙𝑏𝑠]

𝑅1 = 40000[𝑙𝑏𝑠] × 4.45

𝑅1 = 177928.8[𝑁]

Para el elemento BC se tiene:

∑ 𝐹𝑥 = 0

−𝑅2 − 30000 − 30000 = 𝑃

𝑅2 = 40000 − 30000 − 30000[𝑙𝑏𝑠]

𝑅2 = −20000[𝑙𝑏𝑠]

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𝑅2 = −20000[𝑙𝑏𝑠] × 4.45

𝑅2 = −88964.4[𝑁]

El esfuerzo en la barra AB es:

𝜎𝐴𝐵 =𝑅1

𝐴𝐴𝐵=

𝑅1

𝜋 ×𝑑1

2

4

𝜎𝐴𝐵 =40000

𝜋 ∗22

4

𝝈𝑨𝑩 = 𝟏𝟐𝟕𝟑𝟐. 𝟑𝟗[𝒑𝒔𝒊]

𝜎𝐴𝐵 = 12732.39[𝑝𝑠𝑖] ∗ 0.0069

𝝈𝑨𝑩 = 𝟖𝟕. 𝟕𝟗[𝑴𝑷𝒂]

El esfuerzo en la barra BC es:

𝜎𝐵𝐶 =𝑅2

𝐴𝐵𝐶=

𝑅2

𝜋 ×𝑑1

2

4

𝜎𝐴𝐵 =−20000

𝜋 ∗32

4

𝝈𝑨𝑩 = −𝟐𝟖𝟐𝟗. 𝟒𝟐[𝒑𝒔𝒊]

𝜎𝐴𝐵 = −2829.42[𝑝𝑠𝑖] ∗ 0.0069

𝝈𝑨𝑩 = −𝟏𝟗. 𝟓𝟏[𝑴𝑷𝒂]

4.2. Resolución del Ejercicio En Matlab Se considera las siguientes transformaciones para el programa computacional:

P=40 [kips] =177928.8 [N]

P=30 [kips] =133446.6 [N]

d1=2 [pulg] = 0.0508 [m]

d2=3 [pulg] = 0.0762 [m]

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El programa despliega la interfaz donde se introduce los valores correspondientes al problema. El primer dato a

ingresar es el número de barras que tiene el ejercicio, que para este caso en particular, el número de barras es 2,

considerando que la numeración de cada barra se toma desde el extremo izquierdo del conjunto hacia la derecha, por

lo que la barra 1 es AB y la barra 2 es BC.

Posterior a esto se introduce el número de fuerzas aplicadas en la barra número 1, considerando que el sentido positivo

es cuando la barra está sometida a tracción y negativo cuando está sometida a compresión, las unidades de la fuerza

aplicada deben darse en [N]. Para el ejercicio 1.4, la fuerza 1 está sometiendo a la barra a tensión, por lo que en el

programa la fuerza se introduce con un signo positivo. Para finalizar los datos de la barra 1 se introduce el valor del

diámetro de la barra 1 en [m].

Introducidos todos los valores de la primera barra, se introduce los datos correspondientes a la barra 2 que son: el

número de fuerzas aplicadas en la barra número 2, considerando que el sentido positivo es cuando la barra está

sometida a tracción y negativo cuando está sometida a compresión, las unidades de la fuerza aplicada deben darse

en [N]. Para el ejercicio 1.4, hay 2 fuerzas aplicadas en esta sección de la barra sometiéndola a compresión, por lo

que en el programa se introduce las fuerzas con signo negativo. Para finalizar los datos de la barra 2 se introduce el

valor del diámetro de la barra 2 en [m].

Introducidos todos los datos correspondientes al problema se da un enter, y el programa nos entrega el resultado del

esfuerzo en [Pa] al que está sometida cada barra, considerando que la numeración de las barras se da de izquierda a

derecha.

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