4 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS OE PROBABlllOAO

con

x, = n y P1 =t. i= 1 1 1

F1 nombre de distribucin multinomial se debe al hecho de que los trmi-nos de la expansin multinomial de (p1 +pi + + PY corresponde a todos los valores posibles de f (xi, x2, ... , xk; p1, p2, ... , pk, n).

Ejemplo 4.7 Si un par de dados se lanza 6 veces, lcul es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 dos veces, un par igual una vez y cualquier otra combinacin 3 veces?

Solucin Se tienen los siguientes eventos posibles:

E1: ocurre un total de 7 u 11,

Ei: ocurre un par igual,

E 3: no ocurre ni un par ni un total de 7 u 11.

Las probabilidades correspondientes para un intento dado son p 1 = 2/9, p2 = 1/6 y p3 = 11/18. Estos valores se conservan constantes para los seis intentos. Cuando se utiliza la distribucin multinomial con x 1 = 2, x 2 = I y x 3 = 3, se encuentra que. la probabilidad requerida es:

1(2 l. 3: ~ ~ !! 6) = (1. ~. 3)GYGYC!Y

Ejercicios l. Se selecciona a un empleado de un grupo de 10

para supervisar un cierto proyecto, escogiendo aleatoriamente una placa de una caja que con-tiene 10 numeradas del 1 al 10. Encuentre la frmula para la distribucin de probabjlidad de X que representa el nmero de Ja placa que se saca. Cul es la probabilidad de que el nmero que se saque sea menor a 4?

2. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores

6 ! 22 1 11 3 = 2 ! 1 ! 3 ! : 9 2 6 1 S3 = 0.1127.

de igual rea y se numeran del 1 al 25. Encuen-tre una frmula para la distribucin de pro-babilidad de X, que represente el nmero que ocurre cuando se hace girar la ruleta.

3. Encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria X del ejercicio l.

4. :Eh' una cierta rea de Ja ciudad se da como una razn del 7 5 % de los robos la necesidad

43

6.

1

8

4 3 DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y MULTINOMIAL

de dinero para comprar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 prximos asaltos reportados en esa rea a) exactamente 2 se debieran a la necesidad de

dinero para comprar drogas; b) cuando mucho 3 se debieran a la misma ra-

1n arriba indicada. u{agricultor que siembra fruta afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterrneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos a) los 4 estn contaminados por la mosca del

mediterrneo; b) cualquier cantidad entre 1 y 3 est contami-

nada.

123

camiones probados, encuentre la probabilidad de que a) de 3 a 6 tengan ponchaduras; b) menos de 4 tengan ponchaduras;

5) ms de 5 tengan ponchaduras. 1 ~De acuerdo con un repone publicado en Ja re-

vista Parade, septiembre 14 de l 9SO, una inves-tigacin a nivel nacional llevada a cabo por la Universidad de Michigan revel que casi el 70CC de los estudiantes del ltimo afio desaprueban las medidas para controlar el hbito de fumar mariguana todos los das. Si 12 de C!>tOs estu-diantes se seleccionan al azar y se les pregunta su opinin, encuentre la probabilidad de que el nmero que desaprueba dicha medida sea a) cualquier cantidad entre 7 y 9;

6. Dy-cucrdo con una investigacin llevada a ca- b) cuando mucho 5; ~ por la Administrative Management Society, e) no menos de 8. 1/3. de las compat'las en Btados Unidos le dan ~l b b.l'd d d

. ' , pro a 1 1 a e que un paciente se recupere a sus empleados cuatro semanas de vacac10nes d d 1. d d 0 9 . . e una e 1ca a operac1 n e coraz n es . . despus de 15 anos de serv1c10. Encuentre la . . . _ probabilidad de que entre las 6 compaiHas in- c:.Cul es la .rrobabilld~d de que exactamente :i

. . de los pr:umos 7 pacientes que se sometan a vcst1gadas al aLar, el numero que les dan a sus . . b . n

. esta 10tcrvenc1 n so revivan: empicados cuatro semanas de vacac10nes des-pus de 15 ai'los de servicio es a) cualquier cantidad entre 2 y 5; b) menos de 3.

.1. S1 se define la variable aleatoria X como el nmero de caras que ocurren cuando una mone-da l~gal se lanza al aire una vez, encuentre la distribucin de probabilidad de X. i"&ta distri-

locin de probabilidad es uniforme discreta, binomial o ambas?

8. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de socilogos de la Universidad de Mas-sachusctts, aproximadamente 60% de los adic-tos al Valium en el estado de Massachusetts, lo tomaron por primera vez debido a problemas sicolgicos. Encuentre la probabilidad de que de los siguientes 8 adictos entrevistados a) exactamente 3 hayan comenzado a usarlo de-

bido a problemas sicolgicos; b) al menos 5 de ellos comenzaran a tomarlo por

0 problemas que no fueron sicolgicos. Al probar una cierta clase de neumtico para camin en un terreno escabroso se encontr que 25% de los camiones terminaban la prueba con los neumticos daados. De los siguientes 15

12. tn ingeniero de control de trfico reporta que :y5"75% de los vehculo que pasan por un punto de

x i.J verificacin tienen matrculas del estado. lCul 1 'i es la probabilidad de que ms de 4 de los si-

guientes 9 vehculos no sean del estado?

13. La Universidad Gcorgc Washington y el Natio-;;?; lnsttute of Hcalth llevaron a cabo un cstu-/cii~ acerca de las actitudes respecto a los tran-quilizantes. El estudio revel que aproximada-mente 70% piensa que "los tranquilizantes real-mente no curan nada, slo encubren el problema real". De acuerdo con este estudio, lcul es la probabilidad de que al menos 3 de los siguientes 5 sujetos seleccionados aleatoriamente darn la misma opinin?

U /. . . . -14. na 10vcstigac1 n de los residentes de una ciu-dad de Estados Unidos mostr que 20% prefe-ran un telfono blanco que de cualquier otro color disponible. lCul es la prot>abilidad de ql.le ms de la mitad de los siguientes 20 tclUo-nos que se instalen en esta ciudad sean de color _ranco?

15./ Se sabe que el 40% ele los ratones inyectados con un suero quedan protegidos contra una cier-

~-

ca enfermedad. Si 5 ratones son inyectados, en-c-wentrc la probabilidad de que a) runguno contraiga la enfermedad; b) menos de 2 la contraigan; e) ms de 3 la contraigan. ~34uponga que los motores de un aeroplano ope-

ran en forma independiente y de que fallan con una probabilidad de 0.4. Suponiendo que uno de estos artefactos reallza un vuelo seguro en tanto se mantenga funcionado cuando menos la mitad de uno de los motores, determine qu aeroplano, uno de 4 motores o uno de 2, tiene mayor proba-bilidad de terminar su vuelo exitosamente.

17. Repita el ejercico 16 cuando la probabilidad de falla es de 0.2.

18. Encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria binomial del ejercicio 11.

19. Encuentre la media y la variancia de la variable aleatoria binomial del ejercicio 14.

20. a) Fncucntre la media y la variancia de la va-riable aleatoria binomial del ejercicio 10.

b) De acuerdo al teorema de Chebyshev, ldu-rante cunto tiempo el nmero de estudiantes que desaprueba la medida tomada, entre gru-pos de 12, ser cualquier cantidad entre 6 y 11?

21. S1 X representa el nmero de personas en el ejercicio 13 que creen que los tranquilizantes no curan sino que slo cubren el problema real, encuentre la media y la variancia de X cuando 5 personas se seleccionan aleatoriamente y des-pus utilice el teorema'de Chebyshev para inter-pretar el intervalo :t: 2a.

22. a) Fn el ejercicio 9, icuntos de los 15 camio-nes pueden sufrir ponchaduras?

b) lDe acuerdo con el teorema de Chebyshev, caer en qu intervalo el nmero de camio-nes con ponchadura si hay una probabilidad de 3/4 de que la tengan de entre los prximos 15?

4 ALGUNAS OISTRIBUCIO"IES DISCRETAS OE PROBABIL10AO

23. a) lCuntas caras se pueden esperar si una mo-neda se lanza 64 veces?

b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, lcul es la probabilidad de que el nmero de caras caiga entre 20 y 44 si se repite este experimento una y otra vez?

24. Se saca una carta de un paquete de 52 previa-mente barajado, se registra el resultado y la carta se reempla1a. Si el experimento se repite 5 veces, lcul es la probabilidad de obtener 2 cartas de espadas y 1 de corazones?

25. En un tablero para dardos circular se tiene un pequetlo crculo que se llama centro y 20 reas numeradas del 1 al 20. Cada una de estas reas se divide a su vez en tres partes, de tal forma que una persona que lanza un dardo y que acier-ta en un nmero determinado, obtiene un mar-cador sencillo, doble o triple del nmero, de-pendiendo de en cul de las tres partes acert. Si una persona atina en el centro con una proba-bilidad de 0.01, de que sea doble con una pro-babilidad de 0.10, triple con 0.05 y de que no atine al tablero con 0.02, lcul es la probabi-lidad de que de 7 lanzamientos no atine ninguno al centro, no haga triples, haga un doble dos ve~y una de que no atine al tablero? 2~ acuerdo con la teora de la gentica, un

cierto cruce de conejillos de indias resultar en una descendencia roja, negra y blanca en la relacin 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que de 8 descendientes 5 sean rojos, 2 negros y 1 blanco. (ry Las probabilidades son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convencin, llegue en autobs, en automvil o en tren. lCul es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleato-riamente en esta convencin, 3 hayan llegado por aire, 3 en autobs, 1 en automvil y 2 en tren?

4.4 Distribucin hipergeomtrica La forma ms simple de percatarse de la diferencia entre la distribucin binomial de la seccin 4.3 y la distribucin hipergeomtrica, es conociendo la manera como se lleva a cabo el muestreo. Los tipos de aplicaciones de la distribucin hipergeomtrica son muy similares a aquellos de la binomial. El

132

Ejercicios l. Si se reparten 7 cartas de un paquete comn de

52 cartas, i.cul es la probabilidad de que

a) e~actamentc 2 de ellas sean mayores, es de-cir, de alguna figura o as?

..... ~) (' menos l de ellas sea una reina?

4 AlGUNAS DISTRIBUCIONES O: En el ejercicio 4, lcuntos proyectiles defectuo-~ sos podran incluirse entre los 4 que se selec-

cionan? Utilice el teorema de Chebyshev para describir la variabilidad del nmero de proyec-tiles defectuosos que se incluyen cuando se se-leccionan 4 al azar de varios Jotes, cada uno con

AO proyectiles y que en 101al contienen 3 dcfec-

osos.

a una persona se le reparten varias veces 13 rtas de un p;iquete comn de 52, cuntas

crtas de corazones por mano podra esperar es a persona? i.Lntrc cules dos valores podra esperarse que cayera el nmero de canas de

/orazones al menos durante e: 75% del tiempo?

12. Se estima q e 4000 de los 10 1)00 residentes que votan en un pueblo estn en contra del nuevo impuesto sobre las ventas. S se seleccionan aleatoriamente 15 votantes y se les pregunta su

inin, i.cul es la probabilidad de que al me-s 7 estn a favor del nuevo impuesto?

1 na ciudad vecina est considerando Ja peticin de anexin de 1200 residencias contra una sub-divisin del condado. Si los ocupantes de Ja

/

:S ~TRIBUCIONES BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMTRICA

mitad de las residencias objetan ser anexados, icul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10, al menos 3 estn a favor de la anexin?

133

nan al azar y se les pregunta su opinin, icul es la probabilidad de que ms de 9 pero menos de 14 desaprueben esas medidas?

.iLEncuentre la probabilidad de que al repartir una mano de 13 cartas en el bridge, se tengan 5 carta

4 ALGUNAS OISTAIBUCIONES OISCAETAS OE PAOBABILJOAO

lm (1 - ~)-" = 1, "-' n

y de la definicin del nlJlero e,

, ( )" , {[ 1 ] - "'"} - " hm 1 - - = hm 1 +--:::---- =e-". -"' n -oc ( n),

X= 0, 1, 2, . .. .

Ejemplo 4.18 En un proceso de manufactura en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o ms burbujas. lCul es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 7 de ellas tengan burbujas?

Solucin ste es, esencialmente, un experimento binomial con n = 8000 y p = 0.001. Dado que p se acerca a O y n es bastante grande, se hace la aproximacin con la distribucin de Poisson utilizando = (8000)(0.001) = 8. De aqu que, si X representa el nmero de burbujas, se tiene,

6 P(X < 7) = L b(x; 8000. 0.001)

"

= 0.3134.

Ejercicios ,,

( La probabilidad de que una persona que vive en

una cierta ciudad posea un perro se estima en 0.3. Fncuentre la probabilidad de que la dcima

/.

persona entrevistada aleatoriamente en esta ciu-dad sea la quinta persona que posee un perro.

2. Un cientffico inocula varios ratones, uno a la vez, con un gennen de una enfennedad hasta que obtiene 2 que la han contrado. Si la proba-

'bilidad de contraer la enfermedad es 1/6, lcul

/

es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea una hism'ria acerca de los aten-tados a una famosa actriz es 0.8. lCul es la pro-babilidad de que ~

a) la sexta persona que escucha tal historia sea la cuarta que la crea?

b) la tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerla?

~ Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga ) la tercera cara en el sptimo lanzamiento;

_l.b) la primera cara en el cuarto lanzamiento. S. Tres personas lanzan una moneda y la que salga

dispareja paga los cafs. Si todas las monedas caen iguales, se lanzan nuevamente. Encuentre

1 la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos.

'

(

J

!

4 e LA DISTRIBUCIN 0E POISSON Y EL PROCESO DE POISSON

6. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de socilogos de la Universidad de Mas--~ sachusetts, alrededor de las dos terceras partes

0 de Jos 20 millones de personas en Btados Uni- dos que consumen Valium son mujeres. Supo-

niendo que sta es una estimacin vlida, en-cuentre la probabilidad de que en un determina-do da Ja quinta receta mdica por valium sea

J

a) la primera prescripcin de Valium para una mujer;

b) la tercera prescripcin de Valium para una mujer.

La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licen-cia de piloto privado es 0.7. Encuentre la proba-bilidad de que una persona apruebe el examen a) en el tercer intento; b) antes del cuarto intento. En promedio, en una cierta interseccin ocurren 3 accidentes viales por mes. lCul es la proba-bilidad de que en un determinad mes en esta interseccin a) ocurran exactamente 5 accidentes?

" b) ocurran menos de 3 accidentes? 4. Una secretaria comete en promedio 2 errores por pgina. lCul es la probabilidad de que en la siguiente pgina

lo. a) cometa 4 o ms errores? b) no cometa errores? Una cierta rea del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes al alio. Encuentre la probabilicfad de que en un determi-

/nado afl.o esta rea sea afectada por a) menos de 4 huracanes; b) cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.

11. r~ un estudio de un inventario se determin que, en promedio, la demanda por un artculo en particular en una bodega era de 5 veces al da. lCul es ta probabilidad de que en un de-terminado da este artculo sea requerido

!:) ms de 5 veces? b) ni una sola vez? /1 El nmero promedio de ratas de campo por acre en un campo de trigo de 5 acres se estima que es de 12. Encuentre Ja probabilidad de que me-nos de 7 ratas de campo se encuentren

141

a) en un acre de terreno determinado; b) en 2 de los siguiente5 3 acres inspecciona-

dos. Un restaurante prepara una ell5alada que contie-ne en promedio 5 verduras diferentes. Encuen-tre la probabilidad de que la ensalada contenga ms de 5 verduras a) en un determinado da; b) en 3 de los siguientes 4 das; c) por primera vez el 5 de abril. ~ La probabilidad de que una persona muera de-. bido a cierta infeccin respiratoria es 0.002.

Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las prximas 2000 personas infectadas.

1$. hnga que en promedio 1 persona de cada ~ 1000 comete un error numrico al preparar su

declaracin de impuestos. Si se seleccionan al azar 10 000 formas y se examinan, encuentre la

obabilidad de que 6, 7 u 8 formas tengan rror.

fi_ La probabilidad de que un estudiante presente problemas de escoliosis (desviacin lateral su-frida por la columna vertebral) en una escuela de ta localidad es de 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes revisados, encuentre Ja proba-bilidad de que a) menos de 5 presenten este problema; b) 8, 9 o 10 presenten este problema.

1..,.L Encuentre la media y la variancia en et ejer-' 1 .. , cicio 14 de la variable aleatoria X que rc:pre-

senta el nmero de personas de entre 2000 que mueren de infeccin respiratoria.

b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos 3/4 de que el nmero de personas que mueren de 2000

, infectadas caiga en lcul intervalo? 18~Encuentre la media y Ja variancia en el ejer-

cicio 15 de la variable aleatoria x que repre-senta el nmero de personas de entre 10 000 que cometen un error al preparar su declara-cin de impuestos.

b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos 8/9 de que el nmero de personas que cometen errores al preparar su declaracin de impuestos de entre 10 000 estar dentro de lcul inter-val o?