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02/12/2011
1
Estimación puntual y por intervalos
Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria
Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria
Universidad de Córdoba
Córdoba, 30 de Noviembre de 2011
Estimación puntual y por intervalos
Estimación puntual
Estimación por intervalos
Características de los estimadores
I.C. media
I.C. varianza
I.C. proporciones
I.C. diferencia de medias
I.C. diferencia de proporciones
Tamaño muestral
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Estimación puntual y por intervalos
N = ???? = millones de votantes
calculamosestadísticos,como la edadmedia de losvotantes de la
muestra
n = 10.000votantes
los estadísticosse utilizan comoestimadores
de los
parámetros dela población,como la edadmedia de losvotantes de la
población
Inferencias.Generalizaciones apartir de la muestra ala población.
Estimación puntual y por intervalos
N = ???? = millones de votantes
n = 10.000votantes
Si se calcula un único valorcomo estimador, se trata deestimación puntual
Si se calcula un intervalo en el que se tieneelevada seguridad de que contiene alverdadero parámetro, se trata deestimación por intervalos
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Estimación puntual
La presión arterial de un caballo fue medida 10 veces en unaclínica determinada:
10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4
Hallar estimaciones puntuales para la media, varianza, desviacióntípica, y la proporción para los que la presión fue mayor que 8,5.
1 808
10i x x
n= = =∑
22 2 21 782 10·8
15,781 9
x i s x nx
n
− = − = = −
∑
2 15,78 3,97 x x s s= = = 4ˆ 0,4
10 x
x p
n= = =
Estimación puntual
Población Estimador Estimación
Media
Varianza
Desv. típica
Proporción
X
2
X σ
X σ
p
2
X S
X S
ˆ X
p
x
2
x s
x s
ˆ x
p
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Estimación puntual
Un estimador es insesgado si la mediade la distribución muestral es el parámetrodesconocido en la población.
( )ˆ E θ θ =
Estimador
f ( e s t i m
a d o r )
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4Parámetro
Estimación puntual
Un estimador es insesgado si la mediade la distribución muestral es el parámetrodesconocido en la población.
( )ˆ E θ θ =
Estimador
f ( e s t i m a d o r )
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Parámetro
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Estimación puntual
Un estimador es insesgado si la mediade la distribución muestral es el parámetrodesconocido en la población.
( )ˆ E θ θ =
( )
( )( )
2 2
ˆ
X
X X
X
E X
E S
E p p
µ
σ
=
=
=
La desviación típica no esun estimador insesgado
Estimación puntual
Un estimador es más eficiente que otrosi su varianza es menor.
Eficiencia relativa
( ) ( )
( )( )
1 2
2
1
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
Var Var
Var
Var
θ θ
θ
θ
<
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Estimación por intervalos
Para determinar la proporciónde botellas de lechedefectuosas, el Dpto. deControl de Calidad de unaempresa toma una muestra.
n = 10010 botellas defectuosas
ˆ 0,1 x p =
n = 1.000100 botellas defectuosas
ˆ 0,1 x p =
Estimación por intervalos
Para determinar la proporciónde botellas de lechedefectuosas, el Dpto. deControl de Calidad de unaempresa toma una muestra.
n = 10010 botellas defectuosas
n = 1.000100 botellas defectuosas
…pero…si n es 100 veces superior, ¿no habrámás confianza?...
ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =
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Estimación por intervalos
Para determinar la proporciónde botellas de lechedefectuosas, el Dpto. deControl de Calidad de unaempresa toma una muestra.
n = 10010 botellas defectuosas
n = 1.000100 botellas defectuosas
La estimaciónpuntual,
posiblemente,coincide con la
proporciónpoblacional
La estimación puntual, másposiblemente, coincide
con la proporciónpoblacional
ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =
Estimación por intervalos
Para determinar la proporciónde botellas de lechedefectuosas, el Dpto. deControl de Calidad de unaempresa toma una muestra.
n = 10010 botellas defectuosas
n = 1.000100 botellas defectuosas
…pero…si n es 100 veces superior, ¿no habrámás confianza?...
Con una “confianza” del95%: 0,035 < p < 0,254
Con una “confianza” del95%: 0,086 < p < 0,123
ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =
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Estimación por intervalos
n = 10010 botellas defectuosas
n = 1.000100 botellas defectuosas
Con una “confianza” del95%: 0,035 < p < 0,254
Con una “confianza” del95%: 0,086 < p < 0,123
ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =
Un estimador por intervalos de unparámetro poblacional es un intervalo en elque hay una probabilidad determinada deencontrar dicho parámetro.
Estimación por intervalos
n = 10010 botellas defectuosas
n = 1.000100 botellas defectuosas
Con una “confianza” del95%: 0,035 < p < 0,254
Con una “confianza” del95%: 0,086 < p < 0,123
ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =
Un estimador por intervalos de unparámetro poblacional es un intervalo en elque hay una probabilidad determinada deencontrar dicho parámetro.
nivel de confianza del intervalo
( ) 1 P A Bθ α < < = −
1 α −
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Estimación puntual y por intervalos
Estimación puntual
Estimación por intervalos
Características de los estimadores
I.C. media
I.C. varianza
I.C. proporcionesI.C. diferencia de medias
I.C. diferencia de proporciones
Tamaño muestral
I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional conocida
Z
f Z ( z )
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
/
X Z
n
µ
σ
−= 1 IC α = −
1 α − 2
α
2
α
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I.C. para la media: población normal y
varianza poblacional conocida
Z
f Z
( z )
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
/
X Z
n
µ
σ
−= 1 IC α = −
1 0,9
0,1
α
α
− =
=
5% 5%90%
I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional conocida
1 0,9
0,1
α
α
− =
=
µ
El 90% de los intervalos de confianza contendrán la mediapoblacional
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I.C. para la media: población normal y
varianza poblacional conocida
Z
f Z
( z )
-5 -3 -1 1 3 5
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1 0,9
0,1
α
α
− =
=/
X Z
n
µ
σ
−=
0,05 z 0,05 z −
( )/2 0,05
1,645 (1,645) 0,95 z
z z
P Z F
α =
< = =
( 1,645) 0,05 P Z > =( 1, 645) 0, 05 P Z < − =
( 1, 645 1, 645) 1 ( 1, 645) ( 1, 645) 1 0, 05 0, 05 P Z P Z P Z − < < = − > − < − = − −
I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional conocida
( 1, 645 1, 645) 1 ( 1, 645) ( 1, 645) 1 0, 05 0, 05 P Z P Z P Z − < < = − > − < − = − −
0,90 ( 1,645 1,645) 1,645 1,645/
1,645 1,645
1,645 1,645
X P Z P
n
P X n n
P X X n n
µ
σ
σ σ µ
σ σ µ
−= − < < = − < < =
− − = < − < =
− − = − < < +
Intervalo de confianza del/ 2 / 2
/2( )
2
z z x x
n n
P Z z
α α
α
σ σ µ
α
− < < +
> =100(1 )%α −
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I.C. para la media: población normal y
varianza poblacional conocida
Una fábrica produce latas de sardinas. El peso de las latas sigueuna distribución normal, con desviación típica de 15 gr. Elcontenido de una muestra de 25 latas pesa 100 gr de media.Calcular un intervalo de confianza del 95% para elverdadero peso medio de las latas de sardinas.
100(1-α)=95, por lo que α=0,05
/2 0,025
0,025( ) 1,96 z
z z
F z
α =
=
/2 /2
1, 96·1, 2 1, 96·1, 2100 100
25 25
94,12 105, 88
z z x x
n n
α α σ σ
µ
µ
µ
− < < +
− < < + =
= < <
I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional conocida
La longitud del intervalo de confianza depende de:
1. El número de observaciones de la muestra lo disminuye
2. La varianza lo incrementa
3. La confianza del intervalo lo incrementa
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I.C. para la media: población normal y
varianza poblacional conocida
Si el tamaño muestral es grande,
- Se puede utilizar la varianza muestral como varianzapoblacional- La población puede desviarse de la distribución normal
Intervalo de confianza del
/2 /2
/2( )
2
x x s s z z x xn n
P Z z
α α
α
µ
α
− < < +
> =
100(1 )%α −
I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional conocida
Se preguntó a 172 ganaderos sobre sus condiciones de trabajo enuna escala de 1 (muy malas) a 5 (muy buenas). La calificaciónmedia fue de 3,28, con desviación típica de 0,70. Calcular unintervalo de confianza del 99% para la media poblacional.
100(1-α)=99, por lo que α=0,01
/ 2 0,005
0,005( ) 2,575 z
z z
F z
α =
=
/2 /2
2, 575·0, 70 2, 575·0, 704,38 4,38
172 172
4, 24 4,52
z z x x
n n
α α σ σ
µ
µ
µ
− < < +
− < < + =
= < <
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I.C. para la media: población normal y
varianza poblacional desconocida
Si el tamaño muestral es pequeño, se puede utilizar ladesviación típica muestral como desviación típicapoblacional.
Intervalo de confianza del
1, /2 1, /2
1 1, /2( )2
n x n x
n n
t s t s x xn n
P t t
α α
α
µ
α
− −
− −
− < < +
> =
100(1 )%α −
I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional desconocida
Se estudió el porcentaje de incremento de censo ganadero (enUGM) en 17 municipios andaluces, desde el año 2.000 a laactualidad. La media muestral fue de 0,105 y la d.t. de 0,440.Calcule un intervalo para la media del 95%, asumiendo ladistribución normal de la población.
100(1-α)=95, por lo que α=0,05n – 1 = 16
1, / 2 16 ,0 ,02 5 2,120nt t α − = =
1, /2 1, /2
2,120·0, 440 2,120·0, 4400,105 0,105
17 17
0,121 0, 331
n x n xt s t s
x xn n
α α µ
µ
µ
− −− < < +
− < < + =
= − < <
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I.C. para proporciones de la población
(muestras grandes)
ˆ
(1 ) /
x p p Z
p n
−=
−
Intervalo de confianza del
( ) ( )/2 /2
/2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
( )2
x x x x
x x p p p p p z p p z
n n
P Z z
α α
α
α
− −− < < +
> =
100(1 )%α −
Bastante fiable con n ≥ 40
I.C. para proporciones de la población(muestras grandes)
A una muestra aleatoria de 142 clientes de una clínica veterinariase les preguntó por la calidad del servicio. 87 contestaron que “bueno” o “muy bueno”. Calcule un intervalo de confianza del95% para todos los clientes.
100(1-α)=95, por lo que α=0,05
/2 0,025 1,96 z z
α = = ( ) ( )/2 /2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
0,613·0,387 0,613·0,3870,613 1,96 0,613 1,96
142 142
0, 53 0, 693
x x x x
x x
p p p p p z p p z
n n
p
p
α α
− −− < < +
− < < +
< <
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chi-cuadrado
f ( c h i - c
u a d r a d o )
0 10 20 30 40
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
I.C. para la varianza de una población
normal
22
1 2
( 1) xn
n s χ
σ −
−=
1 α − 2α
2
α
2
,1 / 2v α χ −2
, /2v α χ
Si la población no sigue una distribución normal, este
procedimiento es muy poco fiable
I.C. para la varianza de una poblaciónnormal
22
1 2
( 1) xn
n s χ
σ −
−=
Intervalo de confianza del
( ) ( )
2 22
2 2
1, /2 1,1 /2
2 2 2 2
1 1, /2 1 1,1 /2
( 1) ( 1)
2 2
x x
n n
n n n n
n s n s
P P
α α
α α
σ χ χ
α α χ χ χ χ
− − −
− − − − −
− −< <
> = < =
100(1 )%α −
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I.C. para la varianza de una población
normal
Una muestra aleatoria de 15 pastillas para el dolor tiene unadesviación típica de 0,8% en la concentración del fármaco. Hallarun I.C. del 90% para la varianza poblacional.
100(1-α)=90, por lo que α=0,102 2
1, / 2 14,0,05
2 2
1,1 / 2 14,0,95
23,68
6,57
n
n
α
α
χ χ
χ χ
−
− −
= =
= =
2 22
2 2
1, /2 1,1 /2
2 2
( 1) ( 1)
14·0,64 14·0,640,378 1,364
23,68 6,57
x x
n n
n s n s
α α
σ χ χ
σ σ
− − −
− −< <
< < = < <
I.C. media, varianza y proporciones
Si la población es normal, la varianzadesconocida y n es pequeño
I.C. media (si la población no es normal, el error asumido es pequeño)
Si la población es normal y la varianzaconocida, o si n es grande
I.C. proporciones (fiable si n>40)
I.C. varianza (si la población no esnormal, es poco fiable)
1, /2nt α −
/2 z α
/2 z α
2
1, /2
2
1,1 / 2
n
n
α
α
χ
χ
−
− −
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I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Un ganadero estáconsiderando el uso dedos vacunas alternativasy está interesado en ladiferencia de lasproducciones anualesmedias por oveja.
De la población con la vacuna A se extrae
una muestra aleatoria de ni individuos.
De la población con la vacuna B se extrae unamuestra aleatoria de nj individuos.
Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientesextraídas aleatoriamente de poblaciones normales.
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Un veterinario está considerando la efectividad de unprograma de entrenamiento equino, interesado en lavelocidad de carrera.
De la población se extrae una muestraaleatoria de n individuos.
Se estudia la diferencia de medias antes y después delprograma de entrenamiento en los mismos sujetos. Estossujetos constituyen una muestra, extraída aleatoriamentede la población normal.
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20
I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Se estudia la diferencia de medias antes ydespués del tratamiento en los mismossujetos que constituyen una muestra,extraída aleatoriamente de la poblaciónnormal.
Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídasaleatoriamente de poblaciones normales.
Diferencia de medias con datos pareados
Diferencia de medias en muestras independientes
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Se estudia la diferencia de medias antes ydespués del tratamiento en los mismos
sujetos que constituyen una muestra,extraída aleatoriamente de la poblaciónnormal.
Diferencia de medias con datos pareados
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21
I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Diferencia de medias con datos pareados
Un veterinario está considerando la efectividad de unprograma de entrenamiento equino para caballos, interesadoen la velocidad de carrera.
Se seleccionan 8 caballos para el programa deentrenamiento. Se mide la velocidad antes y después del
programa de entrenamiento, que dura 8 semanas.
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Diferencia de medias con datos pareados
caballo pre caballo post
i xi yi di xi2
1 19,4 19,6 -0,2 0,04
2 18,8 17,5 1,3 1,69
3 20,6 18,4 2,2 4,84
4 17,6 17,5 0,1 0,01
5 19,2 18 1,2 1,44
6 20,9 20 0,9 0,81
7 18,3 18,8 -0,5 0,25
8 20,4 19,2 1,2 1,44
diferencias
Si la distribución poblacional asumida esnormal, se plantea el cálculo de un intervalo deconfianza para la media poblacional
( ) x yµ µ −
caballo pre caballo post
i xi yi
1 19,4 19,6
2 18,8 17,5
3 20,6 18,4
4 17,6 17,5
5 19,2 18
6 20,9 20
7 18,3 18,8
8 20,4 19,2
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22
I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Diferencia de medias con datos pareados
caballo pre caballo post
i xi yi di xi2
1 19,4 19,6 -0,2 0,04
2 18,8 17,5 1,3 1,69
3 20,6 18,4 2,2 4,84
4 17,6 17,5 0,1 0,01
5 19,2 18 1,2 1,44
6 20,9 20 0,9 0,817 18,3 18,8 -0,5 0,25
8 20,4 19,2 1,2 1,44
sumas 6,2 10,52
diferencias
1
1 1·6,2 0,775
8
n
i
d d n =
= = =∑2
2 2 2 2
1
1 1· 10,52 8·(0,775) 0,816
1 7
n
d i
i
s d nd n =
= − = − = −
∑
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Diferencia de medias con datos pareados
Intervalo de confianza del
1, / 2 1, /2
1 1, /2( )
2
n d n d
x y
n n
t s t sd d
n n
P t t
α α
α
µ µ
α
− −
− −
− < − < +
> =
100(1 )%α −
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23
I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídasaleatoriamente de poblaciones normales.
varianza conocida o
tamaño muestral grande
varianzas poblacionalesson iguales
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
varianza conocida-tamaño muestral
grande
2
2
2 muestras aleatorias de 2 poblaciones independientes:
observaciones de una población con y
observaciones de una población con y
x x x
y y y
n
n
µ σ
µ σ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
e las medias muestrales
x y
X Y
E X Y E X E Y
Var X Y Var X
µ µ − = − = −
− = ( )22
y x
x y
Var Y n n
σ σ + = +
( ) ( )22
Como su distribución es normal, la variable aleatoria
tiene una distribución normal estándar
x y
y x
x y
X Y Z
n n
µ µ
σ σ
− − −=
+
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I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
varianza conocida o tamaño muestral grande
Intervalo de confianza del
( ) ( )2 22 2
/2 /2
/2( )2
y x x x y
x y x y
x y z x y z n n n n
P Z z
α α
α
σ σ σ σ µ µ
α
− − + < − < − + +
> =
100(1 )%α −
30 observaciones en cada muestrason, en general, suficientes paraconsiderar “tamaño muestral grande”
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Para una muestra aleatoria de 96 cabras no vacunadas, el númeromedio de días con mamitis fue de 2,15 y la d.t. muestral fue de2,09 días al año. Para una muestra aleatoria independiente de 206cabras vacunadas, el número de días con mamitis fue de 1,69, cond.t. 1,91. Hallar un I.C. del 99% para la diferencia de
medias.
100(1-α)=99, por lo que α=0,01 /2 0,005 2,575 z z
α = =
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
/2 / 2
2 22 21,91 1,912,09 2,092,15 1,69 2,575 2,15 1,69 2,575
96 206 96 206
0,19 1,11
y y x x x y
x y x y
x y
x y
s s s s x y z x y z
n n n nα α µ µ
µ µ
µ µ
− − + < − < − + +
− − + < − < − + + =
= − < − <
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I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídasaleatoriamente de poblaciones normales.
varianza conocida o
tamaño muestral grande
varianzas poblacionalesson iguales
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídas
aleatoriamente de poblaciones normales.
varianzas poblacionalesson iguales
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I.C. para la diferencia de medias de dos
poblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
varianzas poblacionalesson iguales
2 muestras aleatorias de 2 poblaciones independientes:
observaciones de una población con
observaciones de una población con
común desconocida
x x
y y
n
n
µ
µ
µ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
x y
x y
x y
x y
x y
x y
Var X Y Var X Var Y n n
n n
n n
X Y Z
n n
n n
σ σ
σ
µ µ
σ
− = + = + =
+
=
− − −=
+
( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 1 1
2
x x y y
x y
x y
x y
x y
n s n s s
n n
X Y t
n n s
n n
µ µ
− + −=
+ −
− − −=
+
I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales
Diferencia de medias en muestras independientes
varianzas poblacionales son iguales
Intervalo de confianza del
( ) ( )
( ) ( )( )
2, /2 2, /2
2 2
2
2 2, /2
1 1
2
( )2
x y x y
x y x y
x y x y
n n x y n n
x y x y
x x y y
x y
n n n n
n n n n x y t s x y t sn n n n
n s n s s
n n
P t t
α α
α
µ µ
α
+ − + −
+ − + −
+ +− − < − < − +
− + −=
+ −
> =
100(1 )%α −
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I.C. para la diferencia entre dos
proporciones poblacionales(muestras grandes)
Muestras grandes significa al menos 40 observaciones
Intervalo de confianza del
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
/2 /2
/2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ
( )2
y y y y x x x x
x y x y x y
x y x y
p p p p p p p p p p z p p p p z
n n n n
P Z z
α α
α
α
− −− −− − + < − < − − +
> =
100(1 )%α −
I.C. para la diferencia entre dosproporciones poblaciones
(muestras grandes)Se extrajeron dos muestras aleatorias independientes deestudiantes de veterinaria. De 120 hombres, 107 esperabantrabajar como veterinarios en un máximo de 10 años. De 141mujeres, 73 tenían la misma esperanza. Hallar un I.C. del 95%para la diferencia de proporciones.
100(1-α)=95, por lo que α=0,05 /2 0,025 1,96 z z α = =
( ) ( )0,892·0,108 0,518·0, 482 0,892·0,108 0,518·0, 482
ˆ ˆ0,892 0,518 1,96 0,892 0,518 1,96120 141 120 141
ˆ ˆ0,275 0, 473
x y
x y
p p
p p
− − + < − < − + + =
= < − <
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
/2 /2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ
y y y y x x x x
x y x y x y
x y x y
p p p p p p p p p p z p p p p z
n n n nα α
− −− −− − + < − < − − +
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I.C. diferencia de medias o proporciones
Población normal, muestras aleatorias eindependientes, varianza conocida o n>30
I.C. diferencia de medias
Población normal, muestra aleatoria,datos pareados
I.C. diferencia de proporciones(muestras aleatorias e independientes,n>40)
/2 z α
1, /2nt α −
Población normal, muestras aleatorias e
independientes, igualdad de varianzas 2, / 2 x yn n
t α + −
/2 z α
Tamaño de la muestra
Proporción poblacional
Varianza conocida
Varianza desconocida
Proporción poblacional
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30
Tamaño de la muestra
Proporción poblacional
Intervalo de confianza del
( ) ( )
( )
/2 /2
/2
/2* /2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
ˆ ˆ1
0,50,25
x x x x
x x
x x
p p p p p z p p z
n n
p p L z n
z L z
n n
α α
α
α α
− −− < < +
−=
= =
100(1 )%α −
( )ˆ ˆ1 0,25 x x p p− ≤
Tamaño de la muestra
Proporción poblacional
Intervalo de confianza del 100(1 )%α −
2/2
2
*
0,25 z n
L
α =
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31
Tamaño de la muestra
Proporción poblacional
Varianza conocida
Varianza desconocida
Varianza conocida
Varianza conocida
Tamaño de la muestra
Intervalo de confianza del
/2 /2
/2
z z x x
n n
z L
n
α α
α σ
µ − < < +
=
100(1 )%α −
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Varianza conocida
Tamaño de la muestra
Intervalo de confianza del
( )
/2
2
/22
z n
L
P Z z
α
α
σ
α
=
> =
100(1 )%α −
Tamaño de la muestra
Proporción poblacional
Varianza conocida
Varianza desconocida Varianza desconocida
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Varianza desconocida
Tamaño de la muestra
Intervalo de confianza del
( )
/2
2
/22
z n
L
P Z z
α
α
σ
α
=
> =
100(1 )%α −
estimaciones de lavarianza