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Proporcionalidad – Semejanza y Relaciones Métricas Pág. 01

PROPORCIONALIDAD

1. En la figura mostrada se tiene que: a//n//m . Hallar DF – BD, si FB = 22.

2. En la figura mostrada. Si 4L//3L//2L//1L . AB = 3, BC = 4, MN = 2X – 2, NP = 2X + 2, PQ = 3X – 1, CD = Y. Hallar X + Y.

3. Se tiene un triángulo ABC, se traza la ceviana

BQ , por “Q” se traza una paralela a BC que

interseca a AB en M y por M se traza una

paralela a BQ que intercepta a AQ en “N”. Hallar QC, si AN = 4m y NC = 5m

4. Los lados de un triángulo miden AB = 3, BC = 5 y AC = 6. calcular la longitud del lado del rombo

BMNQ. (M AB , N AC y Q BC ).

5. Se tiene el rectángulo ABCD, en el cual AB = 3 y BC = 4. usando como centro A y como radio

AB se traza un arco que interseca en F a AC

y en G a AD . Usando como diámetro AG , se traza una semicircunferencia la cual interseca

en M a AC . Hallar la longitud de FM .

6. En un triángulo ABC, sea O su circuncentro y M

el punto medio de AB . La perpendicular

trazada por M a AO interseca a AC en N. Hallar AB, si AN = 4 y NC = 5.

7. En un triángulo ABC, si m<ABC = 120°, AB = 18 y BC = 36. hallar la longitud de la bisectriz

interior BF

8. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 135°, se

traza la mediana BF tal que m<BAC = m<FBC. Hallar m<FBC.

9. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B,

se trazan la altura BH , la mediana BM, la mediatriz de dicha mediana que interseca a los

catetos AB y BC en P y Q respectivamente, si AC = 24m y BH = 8m. Hallar PQ.

TEMA:

PROPORCIONALIDAD - SEMEJANZA Y

RELACIONES MÉTRICAS

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10. En los lados ACyBC,AB de un triángulo

ABC, se ubican los puntos “M”, “N” y “L”

respectivamente, tal que: AB//NLyBC//ML .

Además ACyMN se intersecan en F, si CF =

5 y AF = 5 5 . Hallar LF.

11. En un triángulo ABC, si 4AB = 3BC, se traza la

bisectriz interior BD y la mediana AM intersecándose en F, si BF = 7m, hallar FD. A) 2m B) 2,5m C) 3m

D) 4m E) 4,5m

12. En la figura: NCPN,AB//MN , QM = 8, BM

= 6 y MC = 9. calcular PM.

13. Según el gráfico, 3CF,NL//AB,BC//ML

y 33AF . Calcular LF

14. En la figura, BM = MC, AB = 12, PQ = 4 y AC =

18.hallar PR.

15. En un triángulo ABF, se traza la mediana BE,

por un punto D del lado AF , se traza una paralela a la mediana, dicha paralela interseca

al lado BF en P y a la prolongación del lado

AB en C, si AB = 11, BC = 7 y BP = 14. hallar PF.

16. Si L1, L2, L3 y L4 son paralelas. (BC)(CD) = 16 y (QR)(RS) = 12. calcular la relación de AB Y PQ.

SEMEJANZA

1. En la figura mostrada, calcular la altura relativa

al lado AC del triángulo ABC.

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2. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices

CF F AB , luego por F una paralela a AC

de modo que interseca a BC en Q. Hallar BQ, si BC = 5 y AC = 6

3. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interna BP. Luego se traza la bisectriz externa

BQ, Q pertenece a la prolongación de AC , luego se toma el punto F en AB tal que

BQ//FC . RFCBP . Hallar (AP)(BR), si:

AQ=x: PR=y

4. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia y la mediatriz de AC interseca a esta circunferencia en el punto P, si la prolongación de PB interseca a la prolongación de CA en “Q”. Calcular: AQ, sabiendo que AB = 5, BC = 9 y AC = 8

5. Por un punto “A” de una circunferencia se trazan la cuerda AC y el diámetro AB, por un punto de AB se traza una perpendicular a dicho diámetro que interseca a AC en “E” y al arco AC en “F”, hallar AF, si AE = 2 y EC = 6.

6. En la figura mostrada, AB = 4 y ON = 3. hallar BC.

7. En el

triángulo ABC, AB < BC y 3

2

BC

AB . Si: AM es

mediana y BD es bisectriz interior y

QBDAM . Calcular: QD

BQ.

8. En un triángulo ABC, por el incentro se traza una

paralela al lado AB , intersecando en F al lado

BC . Calcular CF. Si AB = 13, BC = 14 y AC = 15.

9. En un triángulo ABC se traza AB//MN (

BCNyACM ) y BC//EF (

ACFyABE ), luego se traza BT que

pasa por el punto de intersección de MN y EF

( ACT ). Si AM=5, MT=3 y AC=18. calcular

FT. 10. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices

interiores AD, CE y BF que concurren en el

punto “i”. Hallar:

BF

BI

CE

CI

AD

AI

11. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC) en

la prolongación de AC se ubica el punto D, tal que: CD = AC, en AB se ubican L y E, de tal

manera que: 2

ABBEy

3

ABBL , se unen

L y E con D que intersecan a BC en Q y P respectivamente. Si AB = 12. calcular: PQ.

12. ABCD es un cuadrilátero: m B m D 90

E BC AE AD , AE BD H , L es

una recta paralela a AC, H L ,

L AB M , L BC N , mBNM =

mAHM , si NC = 2 y BN = 6. calcular EN.

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13. Se tienen dos circunferencias secantes en A y B en una se de ellas se ubican los puntos P y Q (P pertenece al arco AQ), luego PB y BQ intersecan a la otra circunferencia en “E” y “F” respectivamente. Si PE = 3, QF = 4 y AQ = 8. hallar AP.

17. En un triángulo isósceles ABC (AC = BC), se

traza la ceviana BD, tal que: m<AID = 90°, si “I” es el incentro del triángulo ABC y (BC)(CD) = 32. hallar IC.

18. Si los radios de dos circunferencias miden 2cm y 6cm, la distancia entre los centros es de 20cm, calcular la distancia entre los puntos de intersección de las tangentes comunes a las dos circunferencias.

19. En un triángulo. AB = 3BC y AC = 12, se traza

la bisectriz exterior BP. Calcular PC.

RELACIONES MÉTRICAS

1. Hallar el radio de la circunferencia inscrita en

un rombo cuyas diagonales miden 8 y 6cm

respectivamente

2. Calcular el radio del cuadrante AOB, si AM = 2

y BN = 4.

3. De la figura mostrada, hallar AB, si PQ = 3, PT

= 9 y QT//AB

4. Calcular el radio de la circunferencia menor, si

AD = 8 y BC = 2.

5. En una semicircunferencia de diámetro AB y radio “R” se ubican los puntos “P” y “Q”, luego se trazan las perpendiculares PE y QF al diámetro, tal que: AE = EF = FB, además

MPEAQ y NQFBP . Si MN ,

interseca a la semicircunferencia en “C” y “D”. Hallar CD

6. La bases de un trapecio miden 8 y 20cm, los

lados no paralelos miden 10 y 14cm. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases.

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7. En la figura se muestra un triángulo equilátero, cuyo lado mide 3cm. Hallar BD.

8. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en

“B”, se traza la altura BH, de tal manera que AH = 1 y HC = 3. calcular el perímetro de la región triangular ABC.

9. Los tres lados de un triángulo miden 9, 16 y 17 metros respectivamente. Disminuidos en “x” el triángulo sería rectángulo. Hallar “X”

10. En el triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se traza la altura CH, desde “H” se trazan las perpendiculares HM y HN a los catetos AC y BC, respectivamente (“M” en AC y “N” en BC), de tal manera que AM = X, BN = Y, AB = Z y CH = h, indicar la relación correcta.

11. En un cuadrante AOB, con centro en “O”, se ubica un punto “P” en el arco AB de tal manera que las longitudes de las cuerdas PA y PB son

8 y 3, respectivamente. Calcular la longitud

del radio del cuadrante.

12. Se tiene el rectángulo ABCD, cuyos lados AB y AD miden 4 y 6 respectivamente. en el lado BC se ubica el punto P, de tal manera que el cuadrilátero APCD es circunscriptible. Calcular la longitud del inradio del triángulo ABP.

13. En un triángulo ABC, calcular la distancia del incentro al excentro relativo al lado AB, si la suma de las longitudes entre el inradio y el exradio relativo al lado AB es igual a “m”, además AC – BC = n

14. Hallar la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si las medianas relativas a los catetos miden 6 y 8cm

15. En la figura mostrada, las circunferencias son ortogonales y sus radios miden 20 y 15cm. Calcular la distancia entre las cuerdas AB y CD.

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