Problemas resueltos sobre Aritmetica Modular -

parte I

J. Armando Velazco

30 de abril de 2013

Ejercicio Muestre que La relacion a ≡ b (modm) es una relacion de equivalen-cia en Z.

Solucion Sean, a, b, c,m 6= 0 ∈ Z solo hay que probar que tal relacion es

i) Reflexiva: a ≡ a (modm) ⇔ m | (a− a) ⇔ m | 0.

ii) Simetrica: a ≡ b (modm) ⇔ m | (a− b) ⇔ m | −(b− a) ⇔ b ≡ a (modm)

iii) Transitiva: Suponga a ≡ b (modm) y b ≡ c (modm) Entonces

a− c = (a− b) + (b− c) = k1m+ k2m = (k1 + k2)m ⇔ a ≡ c (modm)

Ası, la relacion es una relacion de equivalencia. ⋄

Ejercicio Mostrar que n3 − n es divisible por 3 para todo n ∈ N.

Solucion Notemos que: n3−n es divisible por 3 si n3 ≡ n mod 3, que es nuestradefinicion de congruencia; entonces, un posible camino a la solucion es este: Apartir del hecho n3−n = n(n2−1) solo hay que analizar el caso de no ser divisiblen por 3, pues, por el algoritmo de Euclides, se tiene que n = 3k+ r donde r = 1o r = 2 y k ∈ Z, por ejemplo, sea r = 2 entonces, tenemos que n = 3k+2 lo queimplica que n(n2 − 1) = (3k + 2)[(3k + 2)2 − 1] que es evidentemente divisiblepor 3. Cuando r = 1 el analisis es completamente analogo y podemos concluirel resultado.⋄

Ejercicio Hallar el residuo de∑

100

i=1i! cuando es dividido por 10.

Solucion Tome en cuenta que la funcion factorial es definida por

n! = n(n− 1)(n− 2)...(2)(1)

y a partir de esto, observemos tambien que a partir de n=5, 10 sera factor comunde cada sumando (pues en partıcular 5! = [(2)(5)](4)(3)(1)) en adelante, luegoentonces

1! ≡ 1!(mod 10)

2! ≡ 2!(mod 10)

3! ≡ 3!(mod 10)

4! ≡ 4!(mod 10)

5! ≡ 0(mod 10)

6! ≡ 0(mod 10)

...

100! ≡ 0(mod 10)

1

Ahora, debido a la estructura que tienen las clases de congruencias, podemossumar estas y obtener:

100∑

i=1

i! ≡ (1! + 2! + 3! + 4! +

100∑

i=5

0) (mod 10)

De donde, de la definicion de congruencia, tenemos que el residuo es entonces

r = (1! + 2! + 3! + 4!)(mod 10) = 33(mod 10) = 3

Por lo que el residuo buscado es 3. ⋄

Ejercicio ¿Cual sera el dıgito final de un entero elevado a la cuarta potenciaen base 10?

Solucion Sea k ∈ Z entonces, en base 10

k =

n∑

i=0

10iai, ai ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}

Por lo que

k4 = (

n∑

i=1

10iai + a0)4

Por lo que cuando a40 no sea divisible por 10 tendremos residuos, esto es en sı

14 ≡ 34 ≡ 74 ≡ 94 ≡ 1mod(10)

24 ≡ 44 ≡ 64 ≡ 84 ≡ 6mod(10)

Y por ultimo 54 ≡ 5mod(10) por lo que el dıgito final puede ser 0,1,5 o 6. ⋄

Ejercicio Se define un sistema completo de residuos modulo m, S.C.R(m) por

S.C.R(m) := {r1, r2, . . . , rq ∈ Z : k ∈ Z ⇒ k ≡ ri mod(m)}

Para algun i ∈ {1, 2, . . . , q}. Pruebe que si ri, rj ∈ S.C.R(m), i 6= j,⇒ ri 6≡rj mod(m).

Solucion Suponga que ri, rj ∈ S.C.R(m), ri 6= rj , ri ≡ rj mod(m) entonces,sin perdida de generalidad, tome un entero k tal que

k ≡ ri mod(m) ⇒ k ≡ rj mod(m)

Pero, por definicion de S.C.R(m) se tendrıa entonces que i = j. ⋄

Ejercicio Proporcione 2 S.C.R(13).

2

Solucion De la definicion tenemos que {0, 1, 2, . . . ,m − 1} es un S.C.R(m).Como aplicacion podemos tener un sistema completo de residuos modulo 13,S.C.R(13) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} pero tambien, el conjunto

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}

forman un S.C.R(13).⋄

Ejercicio Usando la definicion de Sistema Reducido de Residuos modulo m,S.R.R(m), muestre que

{1, 2, 4, 5, 7, 8}

Es S.R.R(9).

Solucion La definicion de un S.R.R(m) es: Un conjunto de enteros obtenidode un S.C.R(m) eliminando todos los xi que son divisores de cero en Zm y alelemento que es congruente con cero modulo m. Ası tenemos que

S.C.R(9) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Los divisores de cero aquı son 3 y 6 (pues, por ejemplo 3 · 3 = 9 ≡ 0(modm)el elemento congruente con cero es cero (o 9) por lo que al eliminarlos tenemosque

S.R.R(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}

Como se querıa. Algo importante a destacar de los S.R.R(m) es que siempre esun conjunto maximal de enteros que son primos relatimos con m. ⋄

Ejercicio ¿Cuales son los divisores de cero en el S.C.R(30) = {0, 1, 2, . . . , 29}?

Solucion Los divisores de cero son, precisamente, aquellos elementos tales que(xi,m) > 1 por lo tanto 2,3,4,5,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25,26,27,28 sondivisores de cero. ⋄

Definicion El numero de enteros positivos menor o igual a m tales que sonprimos relativos con m es denotado por φ(m), donde φ es llamada la funcionindicatriz de Euler o la φ-funcion de Euler.

Ejercicio Suponga (m,n) = 1, r ∈ Z. Entonces los n enteros

{r, r +m, r + 2m, . . . , r + (n− 1)m}

forman un S.C.R(n).

Solucion En general, un S.C.R(m) tiene m elementos, por lo que solo nece-sitamos probar entonces que dos cualesquiera elementos del conjunto dado sonincongruentes modulo n, supongamos lo contrario, es decir que existen 2 ele-mentos del conjunto que son congruentes, digamos

r + km ≡ r + lm (modn)

3

Entonces, de las propiedades de las congruencias tenemos que

m(k − l) ≡ 0 (modn) ⇔ n | (k − l) ⇒!!

Pues |k − l| < n, ası el conjunto dado es un S.C.R(n). ⋄.

Ejercicio Suponga (m,n) = 1, (M,n) = 1, r ∈ Z, u tomando valores en unS.C.R(n) y v tomando valores en un S.C.R(m). Muestre que los mn enteros dela forma

r +Mnu+ nv

forman un S.C.R(mn).

Solucion Tomando la idea del ejercicio anterior podemos, veremos que 2 ele-mentos cualesquiera del conjunto

{r +Mnu+ nv : u ∈ S.C.R(n), v ∈ S.C.R(m)}

no son congruentes, para ello suponga que si hay dos elementos congruentes,digamos

r +Mnu+ nv ≡ r +Mnu′ + nv′ (modmn)

Entonces tenemos que

Mm(u− u′) + n(v − v′) ≡ 0 (modmn) ⇔ n | (u− u′); m | (v − v′) ⇒!!

Pues tanto u como v se encuentran en sistemas de residuos de modulo n y m

respectivamente. ⋄.

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