PROBLEMAS DIVERSOS

Crepier tiene como productos principales la fabricacin de bolsos y mochilas para escolares,cuyos precios de venta por unidad son de $ 40 y $ 25 respectivamente. El proceso defabricacin consta de dos etapas: corte y costura.

En la etapa de corte, se pueden cortar 10 bolsos/hora o 20 mochilas/hora y se disponediariamente de 8 horas. En la etapa de costura, un bolso requiere 4 horas mquina, unamochila requiere 3 horas mquina y se dispone diariamente de 420 horas mquina.

Se estima que diariamente se debe fabricar por lo menos 50 unidades en total (bolsos msmochilas). Finalmente la fabricacin de bolsos al da debe ser menor o igual a la fabricacin demochilas al da, debido a que los escolares les gustan ms las mochilas.

PRODUCTO CANTIDADTIEMPO(horas)

P. VENTACORTE COSTURA

Bolso X1 1/10 4 40Mochila X2 1/20 3 25

Disponible 8 420

Max. Z=40X1+25X2S.A.X1/10+X2/20

Max. Z=40X1+25X2S.A.X1/10+X2/20=0

FORMA EXTENDIDA FORMA COMPACTA

a) INDICESi:Tipo de articulo (1;2)j:Tipo de proceso(1;2)

b) Variables de decisinX(i):Nmero de artculos tipo i a producir por periodo.

c) DatosPrecio(i)={40;25}Tiempo(i,j)={0.10;0.05

4 ;3}Disponible(j)={80;420}

d) El Modelo de Programacin Lineal

= =1

2

Pr( (

=1

2

( 50

(1 (2 0

= 1; 2 ( 0 = 1; 2

=1

2

;

!Conjuntos;

Sets:

Articulos/1..2/:x, precio;

Proceso/1..2/: Capacidad;

AxP(Articulos,Proceso):Tiempo;

End Sets

!Datos de cada conjuntos;

Data:

Precio=40 25;

Capacidad=8 420;

Tiempo=0.10 4

0.05 3;

End data

!Funcin Objetivo;

Max=@sum(Articulos(i):precio(i)*x(i));

!Restricciones de horas disponibles;

@for(proceso(j):@sum(articulos(i):tiempo(i,j)*x(i))=50;

x(1)-x(2)

CASO 02

Una fbrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de telaque contenga al menos 45 kg de lana, 25 kg de nylon y 30 kg dealgodn. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dosmateriales textiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $ 2 ycada kilogramo de material B cuesta $ 3. Se dispone de $ 600 para lacompra de los materiales.La proporcin de lana, nylon y algodn que dichos materialescontienen es la siguiente:

Material Lana (%) Nylon (%) Algodn (%)A 60 10 30B 30 50 20

MaterialCantidad

(kg)Lana(kg)

Nylon(kg)

Algodn(kg)

Costo($/Kg.)

A X1 0.60 0.10 0.30 2B X2 0.30 0.50 0.20 3

Disponible/Requerimiento

45 25 30 600

Min Z=2x1+3x2S.A.0.6x1+0.3x2>=450.1X1+05X2>=250.3X1+0.2X2>=302X1+3X2=0X2>=0

!Conjuntos;

Sets:

material/1..2/:x, costo;

composicion/1..3/: requerimiento;

MxM(material,composicion):mezcla;

End Sets

!Datos de cada conjuntos;

Data:

costo=2 3;

requerimiento=45 25 30;

mezcla=0.60 0.10 0.30

0.30 0.50 0.20;

End data

!Funcin Objetivo;

Min=@sum(material(i):costo(i)*x(i));

!Restricciones de requerimiento;

@for(composicion(j):@sum(material(i):mezcla(i,j)*x(i))>=requeri

miento(j));

!Restricciones dinero disponible para la compra de matriales;

@sum(material(i):costo(i)*x(i))

MODEL:

[_1] MIN= 2 * X_1 + 3 * X_2;

[_2] 0.6 * X_1 + 0.3 * X_2 >= 45;

[_3] 0.1 * X_1 + 0.5 * X_2 >= 25;

[_4] 0.3 * X_1 + 0.2 * X_2 >= 30;

[_5] 2 * X_1 + 3 * X_2

Una empresa, especializada en la fabricacin de mobiliario para casas

de muecas, produce cierto tipo de minimesas y minisillas que vende

a 2000 unidades monetarias (u. m.) y 3000 u. m. por cada artculo,

respectivamente. Desea saber cuntas unidades de cada artculo debe

fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos,

teniendo las siguientes restricciones:

El nmero total de unidades de los dos tipos no podr exceder de

cuatro por da y operario.

Cada minimesa requiere dos horas para su fabricacin; cada

minisilla, tres horas. La jornada laboral mxima es de diez horas.

El material utilizado en cada minimesa cuesta 400 u.m. El utilizado

en cada minisilla cuesta 200 u.m. Cada operario dispone de 1200 u.m.

diarias para material.

Problema 01

INFORMACIN

Precio de venta de minimesas 2000 u.m.

Precio de venta de minisillas 3000 u.m.

Tiempo de fabricacin de una minimesa 2 horas

Tiempo de fabricacin de una minisilla 3 horas

Jornada laboral mxima 10 horas

Costo de material de una minimesa 400 u.m.

Costo de material de una minisilla 200 u.m.

Total minisillas y minimesas no deben exceder cuatro unidades por da y operario

PLANTEAMIENTO

X1: Nmero de minimesas a producir diariamente por operario

X2: Nmero de minisillas a producir diariamente por operario

MAX. Z=2000X1+3000X2

SUJETO A:

X1+X2

Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de pltanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas

pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero slo venden la fruta en

contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de

pltanos y 2 de manzanas.

El mayorista B enva en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de pltanos y 7 de

manzanas.

Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km,

calcular cuntos contenedores habr de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar

tiempo y dinero, reduciendo al mnimo la distancia de lo solicitado.

Problema 02

APLICACIN DE MANUFACTURA

Aplicaciones de marketing

El club Win Big Gambling promueve el juego en giras de una ciudad

grande el medio oeste de Estados Unidos a los casinos en las

Bahamas. El club tiene un presupuesto de hasta $8,000 semanales

para anuncios locales. El dinero se asignar entre cuatro medios de

comunicacin: spots en televisin, anuncios en peridicos y dos tipos

de comerciales en radio. La meta de Win Big es llegar a la audiencia

de mayor potencial ms grande posible, usando los diferentes medios

de comunicacin.

La siguiente tabla presenta el nmero de jugadores potenciales

expuestos mediante un anuncio en cada uno de los cuatro medios.

Tambin proporciona el costo por anuncio colocado y el mximo

nmero de ellos que se puede comprar por semana.

Seleccin de medios de comunicacin

Las condiciones contractuales de Win Big requieren que se coloquen

al menos cinco spots de radio cada semana. Para asegurar una

campaa promocional de amplio espectro, la gerencia tambin insiste

en que no se gasten ms de $1,800 por semana en los comerciales de

radio.

X1 nmero de spots de TV de 1 minuto en cada semana

X2 nmero de anuncios de 1 plana en el peridico en cada semana

X3 nmero de spots de radio de 30 segundos en cada semana

X4 nmero de spots de radio de 1 minuto por la tarde en cada semana

Investigacin de mercados

(Falta Implementar)

Aplicaciones de manufactura

Mezcla de productos

Fifth Avenue Industries, un conocido fabricante local de ropa paracaballero, produce cuatro variedades de corbatas. Una es una costosade seda pura, otra est hecha de polister, otra ms es una mezcla depolister y algodn, y la cuarta es una mezcla de seda y algodn. Lasiguiente tabla ilustra el costo y la disponibilidad (por periodo deplaneacin de la produccin mensual) de los tres materialesutilizados en el proceso de produccin:

La empresa tiene contratos fijos con varias de las cadenas de tiendas

por departamentos para comercializar sus corbatas. Los contratos

requieren que Fifth Avenue Industries surta una cantidad mnima

de cada corbata, pero permitirn una demanda mayor si la empresa

elige cumplir esa demanda. (Dicho sea de paso, la mayora de las

corbatas no llevan etiqueta de Fifth Avenue, sino etiquetas propias de

las tiendas). La tabla siguiente resume la demanda del contrato para

cada uno de los cuatro estilos de corbata, el precio de venta por corbata

y los requerimientos de tela para cada variedad. La meta de Fifth

Avenue es maximizar su ganancia mensual. Debe decidir la poltica

para la mezcla de productos.

X1 nmero de corbatas de seda producidas por mes

X2 nmero de corbatas de polister

X3 nmero de corbatas de la mezcla 1, polister y algodn

X4 nmero de corbatas de la mezcla 2, algodn y seda

Al usar Excel y su complemento Solver, la solucin generada por

computadora es producir,112 corbatas de seda pura cada mes; 14,000

corbatas de polister; 16,000 de la mezcla 1 de polister y algodn; y

8,500 de la mezcla 2 de seda y algodn. Esto genera una ganancia de

$412,028 por periodo de produccin. Vase los detalles en el programa

8.3.

Programacin de la produccin

Greenberg Motors, Inc. fabrica dos motores elctricos distintos para

venta regulada por un contrato con Drexel Corp., un fabricante

conocido de electrodomsticos pequeos para cocina. Su modelo

GM3A se encuentra en muchos procesadores de alimentos Drexel y su

modelo GM3B se usa en el ensamble de licuadoras.

Tres veces al ao, el funcionario de compras de Drexel contrata a Irwin

Greenberg, el fundador de Greenberg Motors, y coloca una orden

mensual para los siguientes cuatro meses. La demanda de Drexel de

motores vara cada mes segn sus propios pronsticos de ventas,

capacidad de produccin y posicin financiera.

Greenberg acaba de recibir la orden para enero-abril, y debe iniciar su

propio plan de produccin de cuatro meses. La demanda de motores se

presenta en la tabla siguiente:

La planeacin de la produccin en Greenberg Motors tiene que

considerar varios factores:

1. La compaa debe cumplir la demanda de cada uno de los dos

productos cada mes (vase la tabla). Adems, la compaa desea tener

450 unidades del GM3A y 300 unidades del GM3B en inventario al

final de abril, pues se espera que la demanda de mayo sea algo ms

alta que la de los meses anteriores.

2. Hay costos por almacenar o mantener para cualquier inventario que

quede al final del mes. De manera que producir demasiadas unidades

adicionales de cualquier producto quiz no sea deseable.

Programa de cuatro meses de rdenes para motores elctricos

El costo mensual por almacenar asignado al GM3A es de $0.36 por

unidad, mientras que el costo mensual por almacenar para el GM3B es

de $0.26 por unidad.

3. La compaa ha podido mantener la poltica de que no haya

despidos y quiere continuar as.

Esto es ms fcil si las horas de mano de obra no fluctan demasiado

de un mes a otro. Se recomienda mantener un programa de produccin

que requiera entre 2,240 y 2,560 horas de mano de obra al mes. El

GM3A requiere 1.3 horas de mano de obra por unidad, en tanto que el

GM3B requiere tan solo 0.9 horas.

4. Las limitaciones de almacn no pueden excederse sin incurrir en

costos altos adicionales. Hay lugar al final del mes nada ms para

3,300 unidades de GM3A y GM3B combinados.

Los costos de produccin actualmente son de $20 por unidad para el

GM3A y $15 por unidad para el GM3B. Sin embargo, cada uno

debera aumentar 10% el 1 de marzo, cuando entre en vigencia el

nuevo contrato laboral.

Al formular este problema como un programa lineal, es importante

entender cmo se relacionan todos los factores importantes, cmo se

calculan los costos, cmo se calculan las horas mensuales de mano de

obra y cmo se satisface la demanda con la produccin y el inventario

disponibles. Para comprender mejor, intente determinar el nmero de

horas de mano de obra usadas, el nmero de unidades que quedan en

inventario al final de cada mes para cada producto y el costo total, si se

fabricaran cada mes exactamente 1,000 unidades del GM3A y justo

1,200 del GM3B.

Ai nmero de unidades GM3A producidas el mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)

Bi nmero de unidades GM3B producidas el mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)

IAi unidades de GM3A en inventario al final del mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)

IBi unidades de GM3B en inventario al final del mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)

La solucin, aunque algunas variables no son enteras, esto no es un

problema ya que el trabajo en proceso podra aplazarse de un mes al

siguiente. La tabla resume la solucin con los valores redondeados. El

costo total es aproximadamente de $169,295. Greenberg puede usar este

modelo para desarrollar los programas de produccin de nuevo en el

futuro, estableciendo los subndices sobre las variables como nuevos

meses, y haciendo cambios menores al problema. Lo nico en el modelo

que tendra que cambiar seran los valores del lado derecho (RHS) de las

restricciones de demanda (y del inventario deseado al final de mes

cuatro), as como los coeficientes (costos) de la funcin objetivo si tienen

cambios.

Aplicaciones de programacin de mano de obra

Planeacin de mano de obra

El Hong Kong Bank of Commerce and Industry es un banco con

mucho movimiento que tiene requerimientos de 10 a 18 cajeros,

dependiendo de la hora del da. La hora de la comida, de 12 P.M. a 2

P.M. suele ser la ms pesada. La tabla indica los trabajadores

necesarios en las diferentes horas en que el banco est abierto.

Actualmente el banco emplea a 12 cajeros de tiempo completo,

aunque tiene a muchas personas en su lista de empleados de tiempo

parcial. Un empleado de tiempo parcial debe trabajar justo cuatro

horas diarias, puede comenzar en cualquier momento entre las 9 A.M.

y la 1 P.M. y constituyen un grupo de trabajadores poco costoso, ya

que no tienen prestaciones como jubilacin o comidas pagadas.

Por otro lado, los empleados de tiempo completo trabajan de 9 A.M. a

5 P.M., pero tienen una hora para comer. (La mitad de ellos come a las

11 A.M. y la otra mitad a las 12 P.M.) De esta manera, los

trabajadores de tiempo completo proporcionan 35 horas semanales de

trabajo productivo.

Por polticas corporativas, el banco limita las horas de tiempo parcial a

un mximo de 50% del requerimiento diario total. El empleado de

tiempo parcial gana en promedio $8 por hora ($32 por da), y el de

tiempo completo gana en promedio $100 por da en salario y

prestaciones. El banco desea establecer un programa que minimice sus

costos totales de personal. Despedir a uno o ms de sus trabajadores

de tiempo completo, si ello es redituable.

Tipo de

personal9A.M. 10A. M. 11A.M. 12M.D. 1P.M. 2P.M. 3P. M. 4P.M. 5P.M.

F

P1

P2

P3

P4

P5

9A.M. 10A. M. 11A.M. 12M.D. 1P.M. 2P.M. 3P. M. 4P.M. 5P.M.

El programa 8.5 da la solucin encontrada con Solver de Excel 2010. Existen varios

programas ptimos diferentes que puede seguir el Hong Kong Bank. El primero es

emplear tan solo a 10 cajeros de tiempo completo (F 10) y comenzar con 7 tiempos

parciales a las 10 A.M. (P2 7), 2 tiempos parciales a las 11 A.M. (P3 2) y 5

tiempos parciales a las 12 P.M. (P4 5). Ningn tiempo parcial comenzara a las 9

A.M. o a la 1 P.M.

La segunda solucin tambin emplea a 10 cajeros de tiempo completo, pero

comienza 6 tiempos parciales a las 9 A.M. (P1 6), 1 tiempo parcial a las 10 A.M.

(P2 1), 2 tiempos parciales a las 11 A.M. y 5 a las 12 P.M. (P3 2 y P4 5) y 0

tiempos parciales a la 1 P.M. (P5 0). El costo de cualquiera de estas dos polticas es

de $1,448 por da.

Aplicaciones de finanzas

Seleccin de portafolios

International City Trust (ICT) invierte en crditos comerciales a corto

plazo, bonos corporativos, reservas de oro y prstamos para

construccin. Para fomentar un portafolios diversificado, el consejo

de administracin ha puesto lmites en la cantidad que se puede

comprometer a cualquier tipo de inversin. ICT dispone de $5

millones para inversin inmediata y desea hacer dos cosas: 1.

maximizar el rendimiento sobre la inversin hecha para los siguientes

seis meses y 2. satisfacer los requerimientos de diversificacin segn

los estipul el consejo de administracin.

Los detalles de las posibilidades de inversin son los siguientes:

Adems, el consejo especifica que por lo menos 55% de los fondos

deben invertirse en reservas de oro y prstamos para construccin, y

que por lo menos 15% tiene que invertirse en crditos comerciales.

Al formular esto como un programa lineal, el objetivo es maximizar

el rendimiento. Existen cuatro restricciones separadas que limitan la

cantidad mxima en cada opcin de inversin a la cantidad dada en latabla.

X1 dlares invertidos en crdito comercial

X2 dlares invertidos en bonos corporativos

X3 dlares invertidos en reservas de oro

X4 dlares invertidos en prstamos para construccin

En un da promedio, UPS entrega 13 millones de paquetes a casi 8 millones declientes en 200 pases y territorios. Las entregas se clasifican como en el mismo da

por aire, al siguiente da por aire y al segundo da por aire. Las operaciones del

siguiente da por aire promedian ms de 1.1 millones de paquetes por da y generan

ingresos anuales por ms de $5 mil millones. La compaa tiene 256 aviones y

muchos ms ordenados. Durante la poca del ao de ms actividad, entre Da de

Accin de Gracias y Ao Nuevo, la compaa renta aviones adicionales para

satisfacer la demanda. El tamao de esta flota hace que UPS sea la novena lnea

area comercial ms grande en Estados Unidos y la nmero 11 en el mundo.

En la operacin de entrega al da siguiente, la recoleccin y entrega de paquetes por

UPS implica varias etapas. Los paquetes se llevan en camin a los centros en tierra

y de ah al aeropuerto; luego, se trasladan por aire a uno de los centros de conexin

con cuando mucho una escala en otro aeropuerto para recoger ms paquetes. En el

centro de conexin, los paquetes se clasifican y cargan en aviones para volar a su

destino. Despus, los paquetes se cargan en camiones grandes y se llevan a los

centros de tierra.

Aqu se clasifican de nuevo, se asignan a camiones ms pequeos y se entregan en

su destino final antes de las 10:30 A.M. El mismo avin se usa tambin en las entregas

de segundo da, de manera que estos dos tipos de operaciones deben coordinarse.

Un equipo de UPS y del MIT (Massachusetts Institute of Technology) trabajaron

juntos para desarrollar un sistema de planeacin basado en la optimizacin, llamado

VOLCANO (Volume, Location and Aircraft Network Optimizer) que se utiliza para

planear y administrar las operaciones. Este grupo desarroll mtodos de

optimizacin para minimizar el costo general (de propiedad y operacin) a la vez que

se satisfacen las restricciones estndares de capacidad y servicio.

Los modelos matemticos sirven para determinar el conjunto de rutas de costo

mnimo, las asignaciones de la flota y los flujos de paquetes.

Las restricciones incluyen el nmero de aviones, las restricciones de aterrizaje en

aeropuertos y las caractersticas de operacin de los aviones (como velocidad,

capacidad y alcance).

El sistema VOLCANO tiene el crdito de haber ahorrado ms de $87 millones desde

finales de 2000 a finales de 2002. Se esperan ahorros de $189 millones durante la

siguiente dcada. Este optimizador tambin se utiliza para identificar la composicin

necesaria de la flota y recomendar futuras adquisiciones de aeronaves.

Fuente: Basada en Andrew P. Armacost, Cynthia Barnhart, Keith A. Ware y

Alysia M. Wilson. UPS Optimizes Its Air Network, Interfaces 34, 1 (enerofebrero

de 2004): 15-25.