ekonometria przestrzenna - web.sgh.waw.pl -...

Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej Podstawowe panelowe modele przestrzenne Rozbudowa specy�kacji

Ekonometria PrzestrzennaWykªad 9: Przestrzenne modele panelowe

Andrzej Torój

Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej

(9) Ekonometria Przestrzenna 1 / 37

Plan wykªadu

1 Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowejModele panelowe bez zale»no±ci przestrzennychElementy diagnostyki modeli panelowych

2 Podstawowe panelowe modele przestrzenneModel panelowy SARAREstymacja ML

3 Rozbudowa specy�kacji panelowych modeli przestrzennychModele statyczneRó»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki

Plan prezentacji

1 Podstawowe poj¦cia ekonometrii panelowej

2 Podstawowe panelowe modele przestrzenne

3 Rozbudowa specy�kacji panelowych modeli przestrzennych

Modele panelowe bez zale»no±ci przestrzennych

Dane panelowe

yt,i : dane indeksowane w dwóch wymiarach � czas iobserwowane jednostki

t: �przestrze«� jednowymiarowa o zde�niowanym zwrocie(przeszªo±¢ → przyszªo±¢)i : jednostki � w panelach aprzestrzennych niezale»ne od siebienawzajem

Map¦ powi¡za« mi¦dzy jednostkami W mo»emy potencjalnieodnie±¢ do wymiaru przestrzennego panelu, i .

Wyró»niamy panele:

zbilansowane: dost¦pne T × N obserwacji dla wszystkichzmiennychniezbilansowane: braki w danych (konsekwencje w ekonometriiprzestrzennej powa»niejsze)

Dane panelowe

Panele niezbilansowane (1)

obs = 7 · 5− 2

obs = 7 · 5− 3

obs = 7 · 5− 4− 3

obs = 7 · 5− 4− 3; ρ1?, ρ2 ↓, a w konsekwencji β2 ↑

obs = 7 · 5− 2 · 5

Model pooled (klasyczna regresja liniowa)

Model pooled:

yt,i = c + xt,iβ + εi ,t

εi ,t ∼ N(0, σ2

)i .i .d .

Notacja macierzowa:

yNT×1

= 1NT×1

· c1×1

+ XNT×K

βK×1

+ εNT×1

ε ∼ MVN

(0, σ2 I

NT×NT

Model pooled (klasyczna regresja liniowa)

Model pooled:

yt,i = c + xt,iβ + εi ,t

εi ,t ∼ N(0, σ2

)i .i .d .

Notacja macierzowa:

yNT×1

= 1NT×1

· c1×1

+ XNT×K

βK×1

+ εNT×1

ε ∼ MVN

(0, σ2 I

NT×NT

Model z efektami ustalonymi (FE, �xed e�ects)

Model FE:

yt,i = αi + xt,iβ + εi ,t

εi ,t ∼ N(0, σ2

)i .i .d .

Notacja macierzowa:

yNT×1

(1T×1 ⊗ IN

N×1+ X

NT×Kβ

K×1+ ε

ε ∼ MVN

(0, σ2 I

NT×NT

Model z efektami ustalonymi (FE, �xed e�ects)

Model FE:

yt,i = αi + xt,iβ + εi ,t

εi ,t ∼ N(0, σ2

)i .i .d .

Notacja macierzowa:

yNT×1

(1T×1 ⊗ IN

N×1+ X

NT×Kβ

K×1+ ε

ε ∼ MVN

(0, σ2 I

NT×NT

Iloczyn Kroneckera

12×1⊗ α

1·α1

1·α2

1·α3

1·α1

1·α2

1·α3

Model z efektami losowymi (RE, random e�ects)

Model RE:

yt,i = α + xt,iβ + ui , ui = αi + εi ,t ,

αi ∼ N(0, σ2α

)i .i .d ., ui ,t ∼ N

(0, σ2u

)i .i .d .

Notacja macierzowa:

yNT×1

= 1NT×1

· c1×1

+ XNT×K

βK×1

(1T×1 ⊗ IN

N×1+ u

µ ∼ MVN

(0, σ2µ I

), u ∼ MVN

(0, σ2u I

NT×NT

Model z efektami losowymi (RE, random e�ects)

Model RE:

yt,i = α + xt,iβ + ui , ui = αi + εi ,t ,

αi ∼ N(0, σ2α

)i .i .d ., ui ,t ∼ N

(0, σ2u

)i .i .d .

Notacja macierzowa:

yNT×1

= 1NT×1

· c1×1

+ XNT×K

βK×1

(1T×1 ⊗ IN

N×1+ u

µ ∼ MVN

(0, σ2µ I

), u ∼ MVN

(0, σ2u I

NT×NT

Elementy diagnostyki modeli panelowych

Wybrane post¦powania testowe

Testy efektów indywidualnych:

poolability FE (Walda)wariancji RE (Breuscha-Pagana)

Test Hausmana:

H0: estymator RE zgodny (i wówczas preferowany jakoefektywniejszy)H1: estymator RE niezgodny (i wówczas preferowany FE mimoni»szej efektywno±ci)

Testy efektów przestrzennych w modelach aprzestrzennych.

Elementy diagnostyki modeli panelowych

Modele specjalne

Modele dynamiczne: Arellano-Bonda, Blundella-Bonda, itd.

Modele ograniczonej zmiennej zale»nej

Modele z kointegracj¡

Dynamiczny rozwój literatury w ostatnich 10 latachNie s¡ przedmiotem tego wykªadu, ale: Elhorst P., 2014,Spatial Econometrics: From Cross-Sectional Data toSpatial Panels (ch. 4)Oprogramowanie: wi¦cej w Stata (np. modeleniezbilansowane)

Plan prezentacji

Model panelowy SARAR

Model SARAR z efektami indywidualnymi

yNT×1

T×T⊗ W

NT×1+ X

NT×Kβ

K×1+ (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε︸︷︷︸

ε ∼ MVN(0, σ2εI

)Opcja spatial.error w komendzie R spml:

�none�: λ = 0 (SAR)�b�: λ 6= 0�kkp�: autokorelacja przestrzenna obejmuje równie» efektyindywidualne (Kapoor i in., 2007 � nie omawiamy tego przypadkuponi»ej, pozostawiam jako ¢wiczenie)

[INT − λ (IT ⊗W)]−1 [(1T×1 ⊗ IN)µ+ ε]

Powy»szy przypadek ªatwo uszczegóªowi¢ do modelu SEM (ρ = 0, lag =

FALSE).Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej

yNT×1

T×T⊗ W

NT×1+ X

NT×Kβ

K×1+ (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε︸︷︷︸

[INT − λ (IT ⊗W)]−1 [(1T×1 ⊗ IN)µ+ ε]

yNT×1

T×T⊗ W

NT×1+ X

NT×Kβ

K×1+ (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε︸︷︷︸

[INT − λ (IT ⊗W)]−1 [(1T×1 ⊗ IN)µ+ ε]

Macierz wag przestrzennych

Macierz mno»ników przestrzennych (IT ⊗W) ma teraz ukªadblokowo-diagonalny:

W. . .

W −macierz powiazan w 1 okresieW −macierz powiazan w 2 okresieW −macierz powiazan w 3 okresie

...W −macierz powiazan w T okresie

Wa»ne! Zakªadamy, »e kolejno±¢ obserwacji w macierzach y i X wgschematu:

region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2okres 2...W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane(szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwetylko w takim przypadku.

Macierz wag przestrzennych

Macierz mno»ników przestrzennych (IT ⊗W) ma teraz ukªadblokowo-diagonalny:

W. . .

W −macierz powiazan w 1 okresieW −macierz powiazan w 2 okresieW −macierz powiazan w 3 okresie

...W −macierz powiazan w T okresie

Wa»ne! Zakªadamy, »e kolejno±¢ obserwacji w macierzach y i X wgschematu:

region 1 okres 1, region 2 okres 1, region 1 okres 2, region 2okres 2...W spml w R prawie bez znaczenia jak zaimportujemy dane(szczegóªy w kodzie), ale poni»sze wyprowadzenia prawdziwetylko w takim przypadku.

Rodzaje efektów indywidualnych

Efekty indywidualne mog¡ równie» dotyczy¢ okresów, a nietylko regionów (effect: �individual�, �time�,�twoways�).

Pod wzgl¦dem statystycznym, model przestrzenny równie»mo»emy traktowa¢ na dwa sposoby, tak jak aprzestrzenny:

FE: L(y|X,β, ρ, λ, σ2ε ,µ

)RE: L

(y|X,β, ρ, λ, σ2ε , σ2µ

), gdzie µ ∼ MVN

(0;σ2µI

Estymacja ML

Konstrukcja skªadnika losowego

Odnotujmy relacj¦ mi¦dzy postaci¡ strukturaln¡ a zredukowan¡:

y = [INT − ρ (IT ⊗W)]−1Xβ + [INT − ρ (IT ⊗W)]−1 ν

ν = ε (FE, SAR) � µ traktujemy wtedy jako cz¦±¢ X

ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ ε (RE, SAR)

ν = [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε (FE, SARAR) � µ traktujemywtedy jako cz¦±¢ X

ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε (RE, SARAR)

Niezale»nie od powy»szego wariantu:

∂ν∂y = [INT − ρ (IT ⊗W)] = IT ⊗ (IN − ρW) ≡ IT ⊗Mρ

Estymacja ML

Funkcja wiarygodno±ci

W przestrzennych modelach panelowych zawsze b¦dziemy korzystali z ogólnejpostaci funkcji wiarygodno±ci obserwacji, której logarytm wyra»a si¦ wzorem:

ln L(y|X,β, ρ, λ, σ2ε , ...

−N·T2

ln (2π)+ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν |− 1

2ν (y|X,β, ρ,W, ...)′Σν

−1ν (y|X,β, ρ,W, ...)

N � wymiar przestrzenny

T � wymiar czasowy

y, X � dane

W � znana macierz wspóªzale»no±ci przestrzennych

ν � wektor skªadników losowych

Σν � macierz wariancji-kowariancji ν∂ν∂y

� Jakobian relacji mi¦dzy postaci¡ strukturaln¡ a zredukowan¡(pochodna wektora ν po wektorze zmiennej obja±nianej)

Uwaga! Przede�niowanie ν wymusza przede�niowanie Σν i ∂ν∂y

Estymacja ML

Estymacja ML modelu FE-SARAR (1)

Skªadnik losowy:ν = [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε = IT⊗(IN − λW)−1ε ≡ IT⊗Mλε

Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz¦±ciprezentacji: T � liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, ′

� transpozycja):

Συ = (IT ⊗Mλ)σ2ε I (IT ⊗Mλ)′

= σ2ε (IT ⊗Mλ)(I′T ⊗Mλ

= σ2ε

(IT I′T

)⊗(MλMλ

= σ2ε IT ⊗(MλMλ

Συ−1 = 1

σ2εIT ⊗

(MλMλ

′)−1

ln |Συ| = NT · lnσ2ε + T · ln∣∣∣MλMλ

′∣∣∣

Estymacja ML

Skªadnik losowy:ν = [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε = IT⊗(IN − λW)−1ε ≡ IT⊗Mλε

Jego macierz wariancji-kowariancji (w dalszej cz¦±ciprezentacji: T � liczba okresów jako liczba lub indeks dolny, ′

� transpozycja):

Συ = (IT ⊗Mλ)σ2ε I (IT ⊗Mλ)′

= σ2ε (IT ⊗Mλ)(I′T ⊗Mλ

= σ2ε

(IT I′T

)⊗(MλMλ

= σ2ε IT ⊗(MλMλ

Συ−1 = 1

σ2εIT ⊗

(MλMλ

′)−1

ln |Συ| = NT · lnσ2ε + T · ln∣∣∣MλMλ

′∣∣∣

Estymacja ML

Wstawiaj¡c odpowiednie elementy do funkcji wiarygodno±ci:

ln LFE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν | − 1

2υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− T

∣∣∣MλMλ′∣∣∣+

− 12σ2ευ′[IT ⊗

(MλMλ

′)−1]

υ = [INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ − (1T×1 ⊗ IN)µ

Sposób maksymalizacji:

1 Transformacja within: odejmujemy od ka»dego yi,t warto±¢yi = 1

t=1yi,t (i podobnie dla X).2 Maksymalizacja ln LFE ze wzgl¦du na ρ, λ, β, σ2ε z pomini¦ciem

skªadników (1T×1 ⊗ IN)µ.3 Wyznaczenie µ jako vi = 1

t=1vi,t po takiej estymacji.

Estymacja ML

ln LFE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν | − 1

2υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− T

∣∣∣MλMλ′∣∣∣+

− 12σ2ευ′[IT ⊗

(MλMλ

′)−1]

Estymacja ML

ln LFE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν | − 1

2υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− T

∣∣∣MλMλ′∣∣∣+

− 12σ2ευ′[IT ⊗

(MλMλ

′)−1]

Estymacja ML

ln LFE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν | − 1

2υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− T

∣∣∣MλMλ′∣∣∣+

− 12σ2ευ′[IT ⊗

(MλMλ

′)−1]

Estymacja ML

Estymacja ML modelu RE-SARAR (1)

Zªo»ony skªadnik losowy:ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε =

(1T×1 ⊗ IN)µ+ IT ⊗ (IN − λW)−1 ε ≡ (1T×1 ⊗ IN)µ+ (IT ⊗Mλ) ε

Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε):Συ = Var [(1T×1 ⊗ IN)µ] + Var [(IT ⊗Mλ) ε] =

= σ2µ

(1T×11

′T×1

)⊗(IN I

)+ σ2ε

)⊗(MλMλ

= σ2ε

σ2ε︸︷︷︸φ

(1T×T ⊗ IN) + IT ⊗(MλMλ

︸︷︷︸Συ

Συ−1 = 1

σ2εΣυ−1

ln |Συ | = NT · lnσ2ε + ln∣∣∣Συ

∣∣∣Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Estymacja ML

Zªo»ony skªadnik losowy:ν = (1T×1 ⊗ IN)µ+ [INT − λ (IT ⊗W)]−1 ε =

(1T×1 ⊗ IN)µ+ IT ⊗ (IN − λW)−1 ε ≡ (1T×1 ⊗ IN)µ+ (IT ⊗Mλ) ε

Jego macierz wariancji-kowariancji (przy zaªo»eniu niezale»no±ci µ i ε):Συ = Var [(1T×1 ⊗ IN)µ] + Var [(IT ⊗Mλ) ε] =

= σ2µ

(1T×11

′T×1

)⊗(IN I

)+ σ2ε

)⊗(MλMλ

= σ2ε

σ2ε︸︷︷︸φ

(1T×T ⊗ IN) + IT ⊗(MλMλ

︸︷︷︸Συ

Συ−1 = 1

σ2εΣυ−1

ln |Συ | = NT · lnσ2ε + ln∣∣∣Συ

∣∣∣Andrzej Torój Instytut Ekonometrii � Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Estymacja ML

ln LRE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν |+

− 12υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− 1

2ln∣∣∣Συ (λ, φ)

∣∣∣+− 1

2σ2ευ′Συ (λ, φ)−1 υ

υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}

1 Startujemy od pewnych warto±ci startowych λ(0), ρ(0), φ(0).2 Na podstawie warunków pierwszego rz¦du dla ln L oraz ustalonych w

poprzednim kroku parametrów wyznaczamy β i σ2v .3 Przy ustalonych (w poprzednim kroku) β i σ2v wyznaczamy nowe warto±ci

λ, ρ, φ maksymalizuj¡c ln LRE .4 Powtarzamy kroki (2)-(3) do uzyskania zbie»no±ci.

Estymacja ML

ln LRE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν |+

− 12υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− 1

∣∣∣+− 1

υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}

Estymacja ML

ln LRE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν |+

− 12υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− 1

∣∣∣+− 1

υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}

Estymacja ML

ln LRE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν |+

− 12υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− 1

∣∣∣+− 1

υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}

Estymacja ML

ln LRE = −N·T2

ln (2π) + ln∣∣∣ ∂ν∂y ∣∣∣− 1

2ln |Σν |+

− 12υ′Σν

−1υ =

= −N·T2

ln (2π)− T · ln |Mρ| − N·T2

ln(σ2ε)− 1

∣∣∣+− 1

υ = {[INT − ρ (IT ⊗W)] y − Xβ}

Plan prezentacji

Modele statyczne

Panelowe wersje przestrzennych modeli przekrojowych

SAR, SEM, SARAR: estymacja jak wy»ej metod¡ najwi¦kszejwiarygodno±ci

SLX: estymacja jak w przypadku aprzestrzennych modeliFE/RE

SDM, SDEM: rozbudowa SAR albo SEM o dodatkowyregresor (IT ⊗W)X

Estymacja

model <- spml(formula = ..., model = ..., effect = ,

lag = ..., spatial.error = ...)

Modele statyczne

Testy specy�kacji w panelowych modelach przestrzennych(1)

Baltagi i in., 2003:

Test H0 dodatkowe zaªo»enia bsktest(test = ...)

LM1 σ2µ = 0 ρ = 0 �LM1�

LM2 ρ = 0 σ2µ = 0 �LM2�

LMH ρ = σ2µ = 0 � �LMJOINT�

LMλ ρ = 0 σ2µ ≥ 0 �CLMlambda�

LMµ σ2µ = 0 ρ ∈ (−1; 1) �CLMmu�

Modele statyczne

Przestrzenna wersja testu Hausmana (Mutl, Pfa�ermayr, 2011): sphtest

Niezale»nie od wyniku testu, stosowanie modelu RE do danychprzestrzennych ma zarówno zwolenników, jak i przeciwników (Elhorst vsLeSage).

Argumenty zwolenników:

efektywno±¢ RE i problematyczne asymptotyczne wnioskowania o µ zewzgl¦du na Nzgodno±¢ (o ile wyka»e j¡ test Hausmana);

Argumenty przeciwników:

dane przestrzenne obejmuj¡ zwykle kompletn¡ populacj¦ jednostek, a niepróbk¦ losowan¡ z jakej± szerszej populacji / procesu o wariancji σ2µnie okre±lamy schematu potencjalnego losowania z takiej populacji, alewiemy, »e wpªywaªby on na sie¢ powi¡za« Wnie musimy wnioskowa¢ o µ, a problem z asymptotyk¡ N nie wpªywa naβ � Lancaster, 2000

Modele statyczne

Ró»ne sposoby uwzgl¦dniania dynamiki

Dynamika w panelowych modelach przestrzennych

Uwzgl¦dnienie wymiaru czasowego zwielokrotniªo liczb¦ potencjalnychspecy�kacji modelu.Mo»liwo±¢ wyst¡pienia opó¹nie« czasowych komplikuje spraw¦ jeszcze bardziej...(Elhorst, 2001).

Poni»szy schemat nie uwzgl¦dnia nawet »adnych opó¹nie« X.

Podstawowy problem w specy�kacji dynamicznych paneli

Nakªadanie si¦ ró»nych wymiarów oddziaªywa«:

czas: yt−1 → ytprzestrze«: Wyt → ytzmienne: xt → ytw efekcie: yt ← xt, yt−1,Wyt,Wyt−1, xt−1,Wxt,Wxt−1, ...

Wymiar czasowy i przestrzenny nie s¡ niezale»ne, przestrzennepanele nale»y rozpatrywa¢ ª¡cznie jako czasowo-przestrzennyproces (Cook i in., 2017: �Right Place, Right Time� �badanie Monte Carlo).

Konsekwencja: cz¦ste obci¡»enia szacowanych parametrówprzy zªej specy�kacji procesu (Elhorst, 2010).

Podstawowe zasady

Pomini¦cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi doprzeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lubzale»no±ci od WX) � Achen (2000).

To z kolei � do niedoszacowania β (Hays, 2003).

Nale»y zachowa¢ szczególn¡ ostro»no±¢ przy próbachwnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy¢,gdy» problem sªabej identy�kowalno±ci parametrówprzestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennejjest jeszcze silniejszy):

Minimum: oszacowa¢ przynajmniej dynamiczny modelaprzestrzenny i sprawdzi¢, czy nie zachodzi autokorelacjaprzestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011).Lepiej: rozwa»y¢ ª¡cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jednoczasowe (testy istotno±ci LR).

Podstawowe zasady

Pomini¦cie czasowej autoregresji zwykle prowadzi doprzeszacowania parametru przestrzennej autoregresji (lubzale»no±ci od WX) � Achen (2000).

To z kolei � do niedoszacowania β (Hays, 2003).

Nale»y zachowa¢ szczególn¡ ostro»no±¢ przy próbachwnioskowania od szegóªu do ogóªu (nie mo»na ich wykluczy¢,gdy» problem sªabej identy�kowalno±ci parametrówprzestrzennych przy bogatej dynamice czasowo-przestrzennejjest jeszcze silniejszy):

Minimum: oszacowa¢ przynajmniej dynamiczny modelaprzestrzenny i sprawdzi¢, czy nie zachodzi autokorelacjaprzestrzenna reszt (Beck i Katz, 2011).Lepiej: rozwa»y¢ ª¡cznie jedno opó¹nienie przestrzenne i jednoczasowe (testy istotno±ci LR).

Model STADL

Uogólnienie: model STADL(p, q, r ,P,Q,R) �Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag:

Fyt = X′tG + Hεt

I−︸︷︷︸(φ1L + . . .+ φpLp)︸︷︷︸

−ρ1W − . . .− ρPWP︸︷︷︸FS

G =(β0 + L′β1 + . . .+ (Lq)′ βq −W′θ1 − . . .−

)′θQ

(I− δ1L− . . .− δrLr − λ1W − . . .− λRWR

)−1Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa procesu: uogólnieniepoj¦¢ typowych dla ekonometrii szeregów czasowych iprzestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego Fpowinny by¢ poza koªem jednostkowym.

Model STADL

Uogólnienie: model STADL(p, q, r ,P,Q,R) �Spatio-Temporal Autoregressive Distributed Lag:

Fyt = X′tG + Hεt

I−︸︷︷︸(φ1L + . . .+ φpLp)︸︷︷︸

−ρ1W − . . .− ρPWP︸︷︷︸FS

G =(β0 + L′β1 + . . .+ (Lq)′ βq −W′θ1 − . . .−

)′θQ

(I− δ1L− . . .− δrLr − λ1W − . . .− λRWR

)−1Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa procesu: uogólnieniepoj¦¢ typowych dla ekonometrii szeregów czasowych iprzestrzennej. Pierwiastki wielomianu charakterystycznego Fpowinny by¢ poza koªem jednostkowym.

Stacjonarno±¢ przestrzenno-czasowa

Rozwa»my przykªadowo STADL(1, 0, 0, 1, 0, 0):

(I− φ1L− ρ1W) yt = Xt′β0 + εt

Stacjonarno±¢ czasowa (dla ρ1 = 0): |φ1| < 1

Stacjonarno±¢ przestrzenna (dla φ1 = 0): λMIN < ρ1 < λMAX ,gdzie λMAX , λMIN � warto±ci wªasne W o najwy»szym inajni»szym module

W najcz¦stszych przypadkach: normalizacji W wierszami orazρ1 > 0 warunek upraszcza si¦ do: ρ1 < 1.

Stacjonarno±¢ czasowo-przestrzenna (Franzese, Hays, 2008):∣∣∣FT (FS)−1∣∣∣ < 0

W ww. najprostszym przypadku, i dodatkowo przy φ1 > 0,warunek sprowadza si¦ do: φ1 + ρ1 < 1.

Mno»niki przestrzenno-czasowe

Mno»niki aprzestrzenne:

krótkookresowy: ∂yi∂xi′

dªugookresowy: ∂yi∂xi′

1−φ1

Mno»niki przestrzenne:

statyczny (φ1 = 0) / krótkookresowy:∂y∂xk′

= (I− ρ1W)−1β0,k

dªugookresowy: ∂y∂xk′

= (I− φ1L− ρ1W)−1β0,k

1−φ1

= (I− ρ1W)−1β0,k

= (I− φ1L− ρ1W)−1β0,k

1−φ1

= (I− ρ1W)−1β0,k

= (I− φ1L− ρ1W)−1β0,k

A je»eli to W si¦ zmienia?

To bardzo prawdopodobne, je»eli posªugujemy si¦abstrakcyjnym, niegeogra�cznym kryterium odlegªo±ci.

W zasadzie nie stanowi to problemu, bo zamiast (IT ⊗W)mo»na zde�niowa¢:

Problem pojawia si¦ wówczas, gdy zmiany W maj¡ charakterendogeniczny!

Modele ko-ewolucji sieci

Rozwi¡zanie: modele ko-ewolucji sieci � Franzese, Hays,Kachi, 2011.

1 Rozwa»amy palenie (y) w±ród N = 500 pracownikówkorporacji w ci¡gu T = 24 miesi¦cy.

2 Fakt jego podj¦cia od szeregu indywidualnych charakterystyk(X), jak równie» od tego, czy sie¢ naszych najbli»szychznajomych pali (Wy).

3 Sie¢ naszych znajomych ewoluuje. Nasze kontakty z jednymisªabn¡, z innymi si¦ wzmacniaj¡ (Wt).

4 Niewykluczone, »e pracownicy zawieraj¡ bli»sze znajomo±ci ztymi, których spotykaj¡ w palarni (Wt = f (yt−1)).

ekonometria przestrzenna - web.sgh.waw.pl -...

Documents