eksponencijalna funkcija

7/23/2019 Eksponencijalna funkcija

http://slidepdf.com/reader/full/eksponencijalna-funkcija 1/40

Експоненцијална функци

ја, график и особине



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА

а се по!се"и#о$%&"а је "о функција'%С(ако пра(ило, пропис или !ого(ор по ко#е се

с(ако# еле#ен"у пр(ог скупа при!ру)ује "а*но је!ан еле#ен" !ругог скупа на+и(а#о функција

$ f X Y →

, - . / x X y Y f x y∀ ∈ ∃ ∈ ∴ =

$ f x y→




% Скуп 0 на+и(а#о облас" !ефинисанос"ифункције, "ј!о#ен функције 1 f 2 3% Скуп 4 на+и(а#о облас" (ре!нос"и функције или ко!о#ен% x на+и(а#о не+а(исно про#ен5и(а, .или

оригинал/, а% y на+и(а#о +а(исно про#ен5и(а .или слика/, и +а(иси о! пра(ила f и оригинала




% а се по!се"и#о$% &"а је график функције'% Скуп с(и6 уре7ени6 паро(а

% 8 f 2 . x,9 / : y 2 f . x /, x 0који цр"а#о у коор!ина"но# сис"е#у




% Коју би функцију на+(али експоненцијално# функцијо#'% Функцију облика y = а x , тј. функцију

код које се независно променљива

налази у експоненту називамо

експоненцијалном функцијом.

;, <a a≠ >




% П=И>Е=И ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА

% При#ери $

% али и$

? , x y = @ ,

x y = ?. / ,@

x y =

;. / ,?

x y =;

. / ,@

x y =?

. /@

x y =

? ;, x y = − @ , x y = − ;@

. / ,?

x y +=

;. / ;,?

x y = +

;? . / ,

@

x y = ×;?

. /@

x y −=




% Како Aе#о нацр"а"и график и испи"а"и с(ојс"(а експоненцијалне функције'% Напра(иAе#о "аблицу, и+ра*уна"и

(ре!нос"и y 2 а x, нацр"а"и коор!ина"ни сис"е# и уцр"а"и !обијене "а*ке и на осно(у Bи6 нацр"аAе#о график,

% А након "ога са графика уо*а(аAе#оособине експоненцијални6 функција




% При#ери% Напра(и "аблицу (ре!нос"и +афункцију y 2а x, и+ра*унај (ре!нос"и

с"епена, нацр"ај коор!ина"ни сис"е#,уцр"ај !обијене "а*ке и нацр"ај график"ра)ене функције

х -3 -2 -1 1 2 3

у=a!




% При#ер ; y 22 x

% При#ер ? y 23 x % При#ер @ y =(3/2) x

% При#ер C y=(1/2) x

% При#ер D y=(1/3) x

% При#ер E y=(2/3) x




% При#ер ;FреGеBех -3 -2 -1 1 2 3

у=2! 1"# 1"$ 1"2 1 2 $ #

y

x

y=2 x




% При#ер ?FреGеBех -3 -2 -1 1 2 3

у=3! 1"2% 1"& 1"3 1 3 & 2%

y

x

y=3 x




% При#ер @FреGеBех -3 -2 -1 1 2 3

у='3"2(! #"2% $"& 2"3 1 3"2 &"$ 2%"#

y

x

y=(3/2) x




% При#ер CFреGеBех -3 -2 -1 1 2 3

у='1"2(! # $ 2 1 1"2 1"$ 1"#

y

x

y=(1/2) x




% При#ер DFреGеBех -3 -2 -1 1 2 3

у='1"3(! 2% & 3 1 1"3 1"& 1"2%

y

x

y=(1/3) x




% При#ер EFреGеBех -3 -2 -1 1 2 3

у='2"3(! 2%"# &"$ 3"2 1 2"3 $"& #"2%

y

x

y=(2/3) x



ОСОHИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ФУНКЦИЈА

&IА УОJАKА>О'

&IА ЈЕ СЛИJНО'

А &IА =АLЛИJИIО'




y 2 ? x,

y 2 @ x,

y 2 .@M?/ x

y=2 x

y=3 x y=(3/2) x

x

y

•

)',1(

*.+. =




y 2 .;M?/ x,

y 2 .;M@/ x,

y 2 .?M@/ x

y=(1/2) x

y=(2/3) x

y=(1/3) x

x

y

•

)',1(

*.+. =




x

y y=2 x y=(1/2) x

y=3 x y=(1/3) x

y=(3/2) x

y=(2/3) x

рас"уAе опа!ајуAе

;




; Облас" !ефинисанос"и и облас"(ре!нос"и експоненцијалне функције

Облас" !ефинисанос"и 1 f 202N, Облас" (ре!нос"и 42 N O




?Нуле експоненцијалне функције%Експоненцијалне функција не#а нула,"ј +а

било коју (ре!нос" x, yP<%Qрафик експоненцијалне функције ниг!е не пресеца RFосу

@Пресек графика са 9Fосо#%Qрафик експоненцијалне функције пресеца9Fосу у "а*ки .<,;/ у с(и# слу*аје(и#а




CLнак експоненцијалне функције

%Експоненцијална функција јепо+и"и(на на цело# !о#ену,Qрафик је у(ек и+на! x-осе

, < x R y∀ ∈ >




D Аси#п"о"е експоненцијалне функције%Аси#п"о"а је пра(а којој се графикфункције с"ално прибли)а(а али је ника!а

не !о!ирне

%Експоненцијална функција и#а 6ори+он"алну аси#п"о"у, "о је x-оса, "јпра(а y2<




E>оно"онос" функције, "ј раGAеBе иопа!аBе функције

%Уо*а(а#о !(а слу*аја$; Lа a>;, експоненцијална функција је рас"уAа,"ј ако је x;S x?, он!а је

? Lа <<аS;, експоненцијална функција јеопа!ајуAа, "ј ако је x;S x?, он!а је

; ? x xa a<

; ? x xa a>




TЕкс"ре#не (ре!нос"и%Експоненцијална функција не#а

екс"ре#ни6 (ре!нос"и, "ј не#а #ини#у# и #акси#у#




&"а је "о број e?

Како би и+гле!ао график и које биособине и#але функције облика$

;?

, x

y e= ;. / , x ye

=

Microsoft Oce

erPoint 97-2003



КО>ПОLИЦИЈА ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНИ0 ИЛИНЕА=НИ0 ФУНКЦИЈА, Q=АФИК И ОСОHИНЕ

а се по!се"и#о$%Ко#по+иција функција је (f ◦g)(x)=f(g(x))

Ко#по+ицијо# (f ◦g)(x) или (g ◦ f )(x)

при *е#у је$ g(x)=a x и f(x)=kx +n,

#о)е#о !оби"и неке о! сле!еAи6 функција$, ? ;, x y = − @ , x y = −;.@ M ?/ , x y +

=

.;M ?/ ;, x y = + ? .;M @/ , x y = ×;.?M@/ x y −

=



Q=АФИК И ОСОHИНЕ КО>ПОLИЦИЈЕЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ И ЛИНЕА=НЕ ФУНКЦИЈЕ

Како Aе#о нацр"а"и график и испи"а"ис(ојс"(а о(и6 функција'%Напра(иAе#о "аблицу, и+ра*уна"и

(ре!нос"и функције, уцр"а"и !обијене"а*ке у коор!ина"ни сис"е# и нацр"а"и

график

%Са графика уо*а(аAе#о особине о(и6функција и у"ицај пара#е"ара




% При#ери% Напра(и "аблицу (ре!нос"и +афункцију y = f(x), и+ра*унај (ре!нос"и

функције, нацр"ај коор!ина"ни сис"е#,уцр"ај !обијене "а*ке и нацр"ај график"ра)ене функције

х -3 -2 -1 1 2 3у= f(x)




% При#ер ; y=2 x

-1% При#ер ? y=-3 x

% При#ер @ y=(3/2) x+1

% При#ер C y=(1/2) x+1% При#ер D y=2(1/3) x

% При#ер E y=(2/3) x-1



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер ;FреGеBе

х -3 -2 -1 1 2 3

у=2! 1"# 1"$ 1"2 1 2 $ #

у=2!-1 -%"# -3"$ -1"2 1 3 %

y

x

y=2

x

y=2 x-1

•

•

)1',1(

)2',(

*.+. =

*.+. =-1



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер ?FреGеBе

х -3 -2 -1 1 2 3у=3! 1"2% 1"& 1"3 1 3 & 2%

у=-3! -1"2% -1"& -1"3 1 -3 -& -2%

y

x

y=3

x

y=-3 x

)1',1(

*.+. =•

•

)2',-1(*.+. =



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер @FреGеBе

х -3 -2 -1 1 2 3

у='3"2(! #"2% $"& 2"3 1 3"2 &"$ 2%"#

у='3"2(!1 $"& 2"3 1 3"2 &"$ 2%"# #1"1

y

x

y=(3/2)

x

y=(3/2) x+1

••

*.+. =

)3',3"2(

*.+. =

) 1',1(

•

)2'1,3"2(



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер CFреGеBе

х -3 -2 -1 1 2 3

у='1"2(! # $ 2 1"2 1"$ 1"#

у='1"2(!1 & / 3 1 3"2 /"$ &"#

y

x

y=(1/2) x

y=(1/2) x+1•

)2',2(

)1',1(

*.+. =1

*.+. =

•



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер DFреGеBе

х -3 -2 -1 1 2 3

у='1"3(! &"2 /"2 3"2 1"2 3"$ /"# &"1

у=2'1"3(! & / 3 1 3"2 /"$ &"#

y

x

y=(1/3) x

y=2(1/3) x)2',2(

) 1',1( •

• *.+. =

*.+. =



ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА% При#ер EFреGеBе

х -3 -2 -1 1 2 3

у='2"3(! 2%"# &"$ 3"2 1 2"3 $"& 1"2%

у='2"3(!-1 #1"1 2%"# &"$ 3"2 1 2"3 $"&

y

x

y=(2/3) x

y=(2/3) x-1

)3',3"2( )1',1(

•• *.+. =

*.+. =

•)2'-1,3"2(



Q=АФИК ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ ФУНКЦИЈЕ

Qрафик експоненцијалне функције у = а х #еBа се након

ко#по+иције са линеарно# функцијо# y=kx+n, у +а(иснос"и о!пара#е"ара на сле!еAи на*ин$%у 2 а хO U F"ранслација ко#ле"ног графика по у оси +а о!се*ак Uна(иGе, функција не#а нулу, аси#п"о"а се по#ера на(иGе, пресекграфика функције са у осо# је у I.< , ;OU/,

%у 2 а х V U F"ранслација ко#ле"ног графика по у оси +а о!се*ак Uнани)е , функција и#а нулу, аси#п"о"а се по#ера нани)е, пресекграфика функције са у осо# је у I.< , ;FU/,%у 2 а х-c график се "ранслира по 6 оси у!есно +а (ре!нос" 0 ,аси#п"о"а ос"аје ис"а, +нак функције је ис"и, функција не#а нуле,

#еBа се "а*ка пресека са у осо#,%у 2 а х+c график се "ранслира по 6 оси уле(о +а (ре!нос" 0 ,аси#п"о"а ос"аје ис"а, +нак функције је ис"и, функција не#а нуле,#еBа се "а*ка пресека са у осо#,




% у 2 W а х, график функције се "ранслира по 6Fоси и #еBа се "а*ка

пресека графика са уFосо#, аси#п"о"а функције ос"аје ис"а,функција не#а нуле, функција је у(ек по+и"и(на,% у 2 FW а х , график функције се "ранслира по 6Fоси, си#е"ри*но се

преслика(а у о!носу на 6Fосу и #еBа се "а*ка пресека графикаса уFосо# , аси#п"о"а функције ос"аје ис"а, функција не#а

нуле, фнкција је у(ек нега"и(на,матрамо да су сви параметри позитивни тј. веи од нуле.




Qрафик функције y

2 .;M?/ x-5

y=(1/2) x-5 y>0

y<0

•

а4ка пресека са x -осом




Које особине би и#але сле!еAе функције икако би и+гле!али Bи6о(и графици';

?

@

C

;, x y e= −

? X, x y = −

@

. / ,?

x

y = −

@; . / ,

?

x y = −

eksponencijalna funkcija

Documents