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ENSENtildeANZA DE LAS CIENCIAS 361 (2018) 99-115 Investigaciones didaacutecticas

httpsdoiorg105565revensciencias2277 ISSN (impreso) 0212-4521 ISSN (digital) 2174-6486

Huincahue Arcos J Borromeo-Ferri R amp Mena-Lorca J (2018) El conocimiento de la modelacioacuten matemaacutetica desde la reflexioacuten en la formacioacuten inicial de profesores de matemaacutetica Ensentildeanza de las ciencias 36(1) 99-115

El conocimiento de la modelacioacuten mate-maacutetica desde la reflexioacuten en la formacioacuten inicial de profesores de matemaacuteticaMath modeling knowledge from reflection in math teachers initial trainingJaime Huincahue1

Vicerrectoriacutea de Investigacioacuten y Postgrado Universidad Catoacutelica del Maule Talca Chilejhuincahueucmcl

Rita Borromeo-FerriInstituto de Matemaacutetica Universidad de Kassel Kassel Alemaniaborromeomathematikuni-kasselde

Jaime Mena-Lorca2

Instituto de Matemaacuteticas Pontificia Universidad Catoacutelica de Valparaiacuteso Valparaiacuteso Chilejaimemenapucvcl

RESUMEN bull La introduccioacuten de la modelacioacuten matemaacutetica en el curriacuteculo de ensentildeanza media chi-leno hace ya una decena de antildeos ha relevado la necesidad de estudios relativos a las praacutecticas de su ensentildeanza en la formacioacuten inicial de profesores en el paiacutes Este trabajo presenta los resultados de una investigacioacuten que utiliza el marco conocimiento especializado del profesor de matemaacuteticas (MTSK por sus siglas en ingleacutes) para analizar los conocimientos y la reflexioacuten sobre modelacioacuten puestos en jue-go por estudiantes en formacioacuten inicial durante un ciclo de 14 sesiones de 90 minutos cada una Los resultados muestran un progreso en el conocimiento matemaacutetico y en el conocimiento pedagoacutegico del contenido El trabajo discute posibles maneras de establecer modelos de ensentildeanza de la modelacioacuten y un momento propicio para hacer uso de una propuesta sobre la materia

PALABRAS CLAVE modelacioacuten matemaacutetica formacioacuten inicial de profesores de matemaacutetica modelo de ensentildeanza de la modelacioacuten reflexioacuten conocimiento del profesor de matemaacuteticas en formacioacuten

ABSTRACT bull The introduction of mathematical modelling in the Chilean secondary education curri-culum some ten years ago has highlighted the need for studies concerning the teaching practices on modelling in the initial training of teachers in the country This paper presents the results of a research that uses the theoretical frame for the understanding of the Mathematics Teacher Specialized Knowled-ge MTSK to analyze the knowledge and reflection about modelling put into play by trainee teachers during a cycle of 14 sessions of 90 minutes each The results show a progress in the mathematical knowledge and in the pedagogical content knowledge The paper discusses possible ways to establish models for the teaching of modelling and anappropriate moment to use a proposal on the subject

KEYWORDS Mathematical modelling mathematics initial teacher training teaching of modeling model reflection trainee teachers mathematics knowledge

Recepcioacuten enero 2017 bull Aceptacioacuten enero 2018 bull Publicacioacuten marzo 2018

1 Estudios doctorales financiados por CONICYT-PCHADoctorado Nacional2015-211511692 Este trabajo ha sido financiado parcialmente por el Fondo Nacional Desarrollo Cientiacutefico y Tecnoloacutegico FONDECYT 1151093

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Jaime Huincahue Rita Borromeo-Ferri Jaime Mena-Lorca

ENSENtildeANZA DE LAS CIENCIAS NUacuteM 361 (2018) 99-115

INTRODUCCIOacuteN Y ANTECEDENTES

La modelacioacuten matemaacutetica y su aprendizaje y ensentildeanza en todos los niveles escolares ha ido adqui-riendo cada vez mayor relevancia en los sistemas educativos a nivel internacional

En el aula la modelacioacuten matemaacutetica ha sido considerada de diversas maneras desde una herra-mienta didaacutectica centrada en un objeto matemaacutetico hasta el motor de una construccioacuten social de conocimiento matemaacutetico pero sin duda es utilizada para que el aprendizaje se realice a partir de la realidad del estudiante y sea dirigido hacia el conocimiento matemaacutetico

Grupos de investigacioacuten que adquieren visibilidad en RELME ICMI o ICTMA son ejemplos de la comunidad cientiacutefica que existe en torno a la modelacioacuten yo modelacioacuten matemaacutetica la cual ha propuesto concepciones de modelacioacuten desde saberes sociales culturales cognitivos matemaacuteticos y di-daacutecticos siendo posicionada como un elemento en uso en las praacutecticas docentes en todos los niveles es-colares Tal situacioacuten genera un trabajo sisteacutemico sobre los estados del saber de modelacioacuten matemaacutetica

En el caso del curriacuteculo chileno la modelacioacuten ha sido considerada principalmente una habilidad que permite la comprensioacuten del conocimiento y diversas situaciones a las que los estudiantes se ven expuestos (Mineduc 2016) ligada maacutes bien al laquosaber hacerraquo para la integracioacuten del conocimiento en situaciones conocidas por el estudiante en su realidad El Ministerio de Educacioacuten de Chile (Mine-duc) recomienda que las estrategias de ensentildeanza esteacuten centradas en el aprendizaje para el desarrollo de habilidades lo que releva tal habilidad para el uso de la matemaacutetica en un contexto cercano al estudiante Por tal motivo la inclusioacuten de la modelacioacuten matemaacutetica en el curriacuteculo tiene un caraacutecter transversal e integrador del conocimiento en todos los niveles escolares mostrando aplicando o cons-truyendo conceptos matemaacuteticos esto pone de relieve a su vez la necesidad de incluir esa modelacioacuten en la formacioacuten inicial docente en matemaacuteticas (FIPM) en Chile

El curriacuteculo en el nivel donde ejerceraacuten los titulados de la FIPM (joacutevenes entre 12 y 18 antildeos) es guiado por los estaacutendares pedagoacutegicos y disciplinares El Mineduc define los estaacutendares pedagoacutegicos como laquolos conocimientos habilidades y actitudes profesionales necesarias para el desarrollo del pro-ceso de ensentildeanza que debe poseer un egresado de pedagogiacutearaquo (2012a 31) Es decir son estaacutendares que deben ser alcanzados por todas las escuelas de FIPM del paiacutes sin diferencia disciplinar generando un trenzado con los estaacutendares disciplinares tal paradigma produce tensioacuten ya que a pesar de la relevancia de la aportacioacuten pedagoacutegica parte importante de la problemaacutetica acadeacutemica del profesor de matemaacutetica es de una naturaleza maacutes bien epistemoloacutegica relativa al conocimiento matemaacutetico Ahora bien los estaacutendares disciplinares asumen dos dimensiones en su caracterizacioacuten una centrada en los contenidos matemaacuteticos y otra en el fortalecimiento de las actitudes y habilidades que es posible desarrollar en tales contenidos ndashargumentar y comunicar modelar representar y resolver problemasndash Esto indica que en todos los temas matemaacuteticos y niveles es posible modelar actividad que el Mineduc entiende como laquouna habilidad que permite resolver problemas reales mediante la construccioacuten de mo-delos que pueden ser fiacutesicos computacionales o simboacutelicos y que sirven para poner a prueba el objeto real y ver coacutemo responde frente a diferentes factores o variantesraquo (Mineduc 2016 41)

La FIPM en Chile dura 9 o 10 semestres dependiendo de la escuela de formacioacuten e incluye praacutec-ticas en colegios en distintos momentos una vez finalizada el egresado adquiere un tiacutetulo que certifica la posibilidad del ejercicio de su profesioacuten con estudiantes de seacuteptimo baacutesico a cuarto medio Actual-mente existe una prueba que se realiza dos semestres antes de la graduacioacuten en la Universidad con propoacutesito de diagnoacutestico con la intencioacuten ndasha medio plazondash de que sea una prueba vinculante para el ejercicio profesional del profesor de matemaacuteticas en colegios financiados por el Estado

Tapia (2016) muestra un estado de la modelacioacuten en las estructuras curriculares de la FIPM en dos universidades chilenas y describe que las concepciones de los formadores de profesores variacutean entre un uso de la modelacioacuten en un estatus de aplicacioacuten de alguacuten concepto matemaacutetico construccioacuten

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El conocimiento de la modelacioacuten matemaacutetica desde la reflexioacuten en la formacioacuten inicial


matemaacutetica como lo es en la praacutectica del matemaacutetico y una ejemplificacioacuten de alguacuten contenido en ambientes extramatemaacuteticos Esto no significa que los profesores universitarios no modelen ya que en las entrevistas explicitan que realizan actividades de modelacioacuten matemaacutetica pero no existe dentro de la estructura curricular la preocupacioacuten por coacutemo guiar ciertas praacutecticas de ensentildeanza viacutea modelacioacuten Una pregunta natural entonces es si acaso tales praacutecticas seraacuten suficientes en la FIPM para que los estudiantes de esos acadeacutemicos sean capaces de liderar procesos de modelacioacuten en sus futuros alumnos

Existen ejemplos de la incorporacioacuten expliacutecita de la ensentildeanza de la modelacioacuten en la FIPM siendo referentes entre estas investigaciones aquellas que provienen de escuelas alemanas

Alemania obtuvo malos resultados en la prueba PISA de 2003 especialmente en la escala final de logro por lo que el Ministerio de Educacioacuten de ese paiacutes decidioacute establecer estaacutendares educacionales en matemaacuteticas en funcioacuten de la investigacioacuten (Haines Galbraith Blum y Khan 2007) y posteriormente implementados al final de la escuela primaria (cuarto grado) final del laquoHauptschuleraquo (lsquonoveno gradorsquo) final de la escuela secundaria normal (deacutecimo grado) y final del High School (laquoGymnasiumraquo)

El disentildeo de los estaacutendares de educacioacuten en matemaacuteticas en Alemania es un modelo pragmaacutetico tridimensional que consiste en seis competencias matemaacuteticas generales cinco ideas directrices (com-petencias referidas seguacuten un ordenamiento del contenido matemaacutetico) y tres aacutembitos de exigencia (planteamiento de requerimientos cognitivos) (Blum Druumlke-Noe Hartung y Koumlller 2015 23)Una de estas competencias matemaacuteticas generales es modelar matemaacuteticamente siendo una parte obliga-toria en los estaacutendares para todos los profesores de matemaacuteticas en Alemania como tambieacuten para el resto del curriacuteculo de formacioacuten Asiacute los profesores de matemaacuteticas tienen que ensentildear modelacioacuten matemaacutetica en la escuela aunque esto no forma parte obligatoria de su formacioacuten en las universidades germanas pero en su mayoriacutea lo han incorporado en la primera fase de la educacioacuten del profesor (uni-versidad) la segunda fase (laquoRefendariatraquo) yo en la formacioacuten del profesor en servicio

En el curriacuteculo alemaacuten existe un examen para graduarse en la Universidad en la formacioacuten de profesores Sin embargo ese examen no es vinculante para el ejercicio profesional del profesor de matemaacuteticas Para ello es necesario realizar praacutecticas de ensentildeanza en la escuela durante dos antildeos en combinacioacuten con cursos y seminarios seguacuten el modelo universitario como parte de la FIPM ya sea en el nivel primario o secundario Al final de este periodo es necesario aprobar un segundo examen para ser profesor certificado de matemaacuteticas De esta forma en comparacioacuten con el sistema chileno el sistema alemaacuten muestra un tipo de inclusioacuten en el campo laboral ya que en las primeras experiencias es cuando surgen inquietudes y cuestionamientos para los cuales maacutes que ser abordarlos previamente es requerida la reflexioacuten y conduccioacuten en conjunto de pares y expertos para finalizar una primera etapa de formacioacuten la inicial

Una ruta clara y directa para abordar la problemaacutetica de la modelacioacuten en la FIPM para Chile es mediante la introduccioacuten expliacutecita de la modelacioacuten En esta situacioacuten los profesores de matemaacutetica chilenos deben ser capaces de generar praacutecticas de modelacioacuten manteniendo claridad por ejemplo acerca de queacute es modelacioacuten matemaacutetica coacutemo abordar situaciones de modelacioacuten (resolucioacuten y reco-nocimiento de complejidades al modelar) y coacutemo se promueve la modelacioacuten en un ambiente escolar (crear actividades conocer queacute competencias desarrolla y coacutemo se evaluacutean) Para el anaacutelisis de tales capacidades esperadas estudiamos los conocimientos que surgen en una propuesta de curso de mode-lacioacuten experimentado en dos entornos y momentos distintos de la FIPM para asiacute caracterizar la pla-nificacioacuten del curso en cuanto a los conocimientos y el uso de instrumentos hechos para la experiencia (descritos en la seccioacuten 3) Para ello las preguntas que guiaron nuestra investigacioacuten fueron iquestCoacutemo evoluciona el conocimiento de la ensentildeanza de la modelacioacuten desde la reflexioacuten de un participante a lo largo de un curso de FIPM iquestcoacutemo afecta el momento en que se propone el curso de modelacioacuten en la FIPM De este modo el objetivo de la investigacioacuten es identificar debilidades y fortalezas del curso propuesto seguacuten los objetivos descritos maacutes adelante

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MARCO DE REFERENCIA

Los constructos teoacutericos utilizados aquiacute son principalmente tresEl primero es el conocimiento disciplinar de la modelacioacuten matemaacutetica que ha sido usado para la

planificacioacuten en un curso de FIPM cimentado en una concepcioacuten de modelacioacuten matemaacutetica en el sentido de Blum (Blum 2002 Blum y Niss 1991) profundizacioacuten del ciclo de Blum desde una visioacuten cognitiva (Borromeo Ferri 2010) tipificacioacuten de tareas desde perspectivas de modelacioacuten (Kaiser y Sri-raman 2006) y elementos evaluativos a partir de competencias de modelacioacuten (Maaszlig 2006) De esta manera el participante del curso tiene una visioacuten sobre el significado de modelar descripcioacuten cognitiva de las tareas de modelacioacuten desde el estudiante y herramientas sobre coacutemo crear y evaluar las tareas de modelacioacuten El disentildeo de los elementos teoacutericos de la experimentacioacuten del marco es el modelo de com-petencias requeridas para la ensentildeanza de la modelacioacuten (Borromeo Ferri 2014a) aunque con variacio-nes en la experimentacioacuten documentada por Borromeo Ferri y Blum (2010) bajo el contexto chileno

El segundo es el marco teoacuterico para realizar el anaacutelisis de la experimentacioacuten el que tiene lugar en la comprensioacuten del conocimiento especializado del profesor en formacioacuten mediante el modelo MTSK (Carrillo Contreras Climent Escudero-Aacutevila Flores-Medrano y Montes 2016 Aguilar et al 2013) describiendo el conocimiento matemaacutetico y pedagoacutegico reflejado en los datos

Finalmente el tercero es la reflexioacuten la cual metodoloacutegicamente adquiere relevancia para su identi-ficacioacuten en la recopilacioacuten de datos los trabajos de Schoumln (1987) y Mcduffie (2004) ofrecen una base respecto al significado de una reflexioacuten

Conocimiento disciplinar de la modelacioacuten matemaacutetica

Un modelo para la funcionalidad de la propuesta

Los conocimientos anteriormente descritos son enmarcados en el modelo para la ensentildeanza de la modelacioacuten de Borromeo Ferri y Blum (2010) y Borromeo Ferri (2014a) (figura 1) Tal propuesta teoacuterica considera las competencias requeridas por un profesor de matemaacuteticas (Borromeo Ferri 2010) Se espera del modelo que evidencie una adecuada o efectiva ensentildeanza de la modelacioacuten en la FIPM

El modelo se muestra en la figura 1 y cada dimensioacuten es descrita en Borromeo Ferri (2014b) Sin embargo consideramos que es necesaria la contextualizacioacuten del modelo seguacuten donde sea aplicado En este sentido habriacutea que atender una demanda del sistema educacional chileno resultando una propues-ta desde tal contextualizacioacuten que incorpora ciertos conocimientos que son descritos a continuacioacuten

Fig 1 Modelo para la ensentildeanza de la modelacioacuten matemaacutetica (Borromeo Ferri 2014b)

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Modelacioacuten matemaacutetica

La modelacioacuten matemaacutetica se entenderaacute simplificadamente como un proceso de traduccioacuten entre el mundo real y las matemaacuteticas en ambas direcciones (Borromeo Ferri 2010 Blum 2015) siendo puesta en uso para la praacutectica del investigador y profesor como una herramienta didaacutectica metodoloacutegica o como una fuente de construccioacuten de conocimiento matemaacutetico En este sentido la modelacioacuten matemaacutetica es vista como un proceso que epistemoloacutegicamente conecta elementos de naturaleza laquono matemaacuteticaraquo (en el sentido de Pollak 1979) con el conocimiento matemaacutetico siendo descrito desde lo cognitivo (Borromeo Ferri 2010) durante el transcurso del ciclo de modelacioacuten como aparece en la figura 2

Fig 2 Ciclo de modelacioacuten (Borromeo Ferri 2010)

El ciclo se inicia con una situacioacuten real la cual puede ser representada por una imagen un texto o ambos luego la persona entiende la tarea para crear una representacioacuten mental de la situacioacuten para focalizar y filtrar la informacioacuten de la situacioacuten real de manera consciente o no y acorde con sus preferencias de pensamiento Posteriormente se produce una transicioacuten que simplifica e idealiza el problema para llegar a un modelo real un proceso maacutes consciente e interno por parte de la persona y dependiendo del problema es incluido el conocimiento extramatemaacutetico A continuacioacuten existe un proceso de matematizacioacuten muy influenciado por el conocimiento extramatemaacutetico para la obtencioacuten de un modelo matemaacutetico momento en el que las afirmaciones yo argumentos provienen sobre todo de una conceptuacioacuten matemaacutetica Finalmente se obtienen resultados matemaacuteticos e interpretacioacuten en la situacioacuten de la tarea y obtencioacuten de resultados reales siendo validados en la representacioacuten mental de la situacioacuten o en el modelo real

Perspectivas de modelacioacuten

Al considerar que la modelacioacuten matemaacutetica es una actividad de la persona cuando resuelve problemas de la realidad utilizando matemaacutetica se vislumbra una extensioacuten en los objetivos de intereacutes y carac-teriacutesticas para el investigador Kaiser (2005) y Kaiser y Sriraman (2006) han reconocido y clasificado tareas que pueden ser de naturaleza educacional cognitiva social o epistemoloacutegica y han establecido diferencias entre la naturaleza de los objetivos yo tipos de tareas Tal clasificacioacuten puede ser realista contextual educacional sociocriacutetica epistemoloacutegica o cognitiva Cabe sentildealar que no es clara la cate-gorizacioacuten de una tarea de modelacioacuten en una uacutenica perspectiva pero siacute es posible reconocer mayor protagonismo de alguna perspectiva (Kaiser y Sriraman 2006)

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Competencias de modelacioacuten

Una de las caracterizaciones de competencias matemaacuteticas y que asumiremos emana de PISA que declara que la competencia matemaacutetica es laquo la capacidad de un individuo para identificar y entender el papel que las matemaacuteticas tienen en el mundo hacer juicios fundados y usar e implicarse con las ma-temaacuteticas en aquellos momentos que presenten necesidades para su vida individual como ciudadanoraquo (Rico 2006) Tal caracterizacioacuten requiere la praacutectica matemaacutetica del estudiante y es concordante con la visioacuten de modelacioacuten matemaacutetica de Blum y Leiszlig (2006) y Borromeo Ferri (2010) Al especificar las competencias de modelacioacuten Maaszlig (2006) describe las siguientes 1) competencias relacionadas con comprender el problema real y la creacioacuten de un modelo basado en la realidad 2) competencia para construir un modelo matemaacutetico desde el modelo real 3) competencia para resolver preguntas matemaacuteticas con este modelo matemaacutetico 4) competencia para interpretar el resultado matemaacutetico en una situacioacuten real y 5) competencia para validar la solucioacuten

Los modelos asociados a la evaluacioacuten de competencias de modelacioacuten considerados provienen de estudios anglosajones (Kaiser Blum Borromeo Ferri y Stillman 2011) los cuales ofrecen alternativas para la creacioacuten de mediciones de evaluacioacuten para las tareas de modelacioacuten

El modelo MTSK

El modelo MTSK representa un segundo aspecto en nuestro estudio focalizado en el conocimiento especializado del profesor de matemaacuteticas Este modelo es necesario para analizar el progreso de los estudiantes en FIPM en sus competencias de ensentildeanza y aprendizaje de la modelacioacuten matemaacutetica

En el modelo MTSK el conocimiento se divide en dos dominios de conocimiento que a su vez constan de tres subdominios (figura 3)

El dominio llamado conocimiento matemaacutetico (MK por sus siglas en ingleacutes) es el conocimiento que tiene el profesor de las matemaacuteticas como disciplina cientiacutefica en un contexto escolar y tiene tres subdominios El conocimiento de los temas matemaacuteticos (KoT) incluye aspectos fenomenoloacutegicos significados definiciones y ejemplos que caracterizan aspectos del tema matemaacutetico abordado se re-fiere al contenido disciplinar de las matemaacuteticas que figura en manuales y textos matemaacuteticos Otro es el conocimiento de la estructura matemaacutetica (KSM) el conocimiento de las relaciones que el profesor realiza entre distintos contenidos ya sea del curso que estaacute impartiendo o con contenidos de otros cursos o niveles educativos siendo especiacuteficamente conexiones entre temas matemaacuteticos Finalmente se define el conocimiento de la praacutectica matemaacutetica como un conocimiento sobre las formas de pro-ceder a los resultados matemaacuteticos asociado al modo en que se explora y genera conocimiento por las matemaacuteticas y al modo en que se establecen relaciones desde lo argumentativo el razonamiento o la generalizacioacuten En este subdominio se deduce que existe un reconocimiento del modelar ya que la naturaleza de la actividad de modelacioacuten es tambieacuten observada en la praacutectica del matemaacutetico

El segundo dominio de conocimiento es el conocimiento pedagoacutegico del contenido (PCK por sus siglas en ingleacutes) Un dominio caracteriacutestico del desarrollo profesional del profesor de matemaacuteticas fecundado por la necesidad de las praacutecticas de ensentildeanza que posee naturalmente la profesioacuten y su relacioacuten con la disciplina (Carrillo et al 2016) Estaacute dividido en tres subdominios de conocimiento el conocimiento de las caracteriacutesticas del aprendizaje (KFLM) que es el conocimiento basado en las caracteriacutesticas del aprendizaje inherentes al conocimiento matemaacutetico En este caso no son conside-radas las caracteriacutesticas del estudiante en siacute mismo sino las caracteriacutesticas del aprendizaje derivadas de su interaccioacuten con el conocimiento matemaacutetico Otro subdominio es el conocimiento de la ensentildeanza de la matemaacutetica (KMT) el conocimiento que condiciona el aprendizaje donde se incluyen recursos materiales modos de representar el contenido o ejemplos adecuados seguacuten el propoacutesito que se persiga

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finalmente se define el conocimiento de los estaacutendares de aprendizaje de las matemaacuteticas (KMLS) que no es tan solo el conocimiento de los materiales y programas que son una herramienta para la labor docente del profesor de matemaacuteticas sino que incluye niveles de capacidad de estudiantes para enten-der construir y saber matemaacuteticas en un determinado momento escolar lo que puede ser informacioacuten extraiacuteda de fuentes de estudio o no

Fig 3 El Modelo MTSK (Carrillo et al 2016)

El modelo no considera una visioacuten del conocimiento como una particioacuten de este en el profesor sino que desde una posicioacuten analiacutetica se pretende realizar una comprensioacuten del conocimiento

La reflexioacuten

Se consideraraacute que existe una reflexioacuten cuando se cumplan ciertas fases de un ciclo reflexivo (Schoumln 1987 Mcduffie 2004) El inicio es cuando la persona pretende abordar un evento problemaacutetico luego la problematizacioacuten analiza y enfoca las opciones de resolver el problema pudiendo ocurrir en el momento de la accioacuten educativa o posteriormente a esta A continuacioacuten la persona considera una postura para resolver la problemaacutetica desde su enfoque y anaacutelisis para que finalmente la postura sea validada mediante una o varias fuentes como por ejemplo la praacutectica los conocimientos teoacutericos e incluso las creencias de la persona Esta uacuteltima parte es diferenciada de la postura de Mcduffie (2004) ya que situacutea la fase de validacioacuten del ciclo reflexivo mediante la praacutectica No obstante las posibilidades de construir conocimiento en el curso propuesto no radican solo en la praacutectica sino que se ampliacutea hacia el conocimiento teoacuterico y creencias

ASPECTOS METODOLOacuteGICOS Y EL CURSO DE MODELACIOacuteN

Esta investigacioacuten propone para el estudio del conocimiento el anaacutelisis cualitativo del contenido (Var-guillas 2006) para establecer una descripcioacuten objetiva del conocimiento de la modelacioacuten y de su ensentildeanza para el caso elegido en el transcurso de la experimentacioacuten

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El curso se dirige a estudiantes de la carrera de Pedagogiacutea en Matemaacuteticas para analizar las reflexio-nes de sus estudiantes y concepciones en cuanto a la praacutectica ensentildeanza y aprendizaje de la modelacioacuten matemaacutetica La propuesta tuvo un pilotaje con estudiantes del tercer semestre en la carrera de Pedago-giacutea en Matemaacuteticas de otra universidad chilena que realizan paralelamente una praacutectica de observa-cioacuten (visitas semanales al aula para observar y analizar globalmente la clase) Se mantuvo la diferencia de una semana entre el pilotaje y la experimentacioacuten logrando ajustar tiempos y formulaciones me-nores en la planificacioacuten Ademaacutes la diferencia de niveles permitiraacute reconocer posibles variaciones que sucedan en la experimentacioacuten e inferencias respecto a su implementacioacuten

El acceso a la informacioacuten es de naturaleza audiovisual y documental Se toman datos de campo en cada sesioacuten con el fin de comprender coacutemo el conocimiento teoacuterico y el praacutectico actuacutean reciacuteproca-mente en favor del aprendizaje del estudiante Tal informacioacuten es recopilada con cuatro instrumentos que son detallados a continuacioacuten

1 Diario de reflexioacuten (DR) Instrumento virtual con el que el estudiante debe evidenciar su cono-cimiento de los temas tratados en clase Tanto el estudiante como el profesor pueden visualizar y editar las reflexiones donde la funcioacuten del profesor es incitar a que el estudiante forme el ciclo reflexivo (Mcduffie 2004) en funcioacuten de preguntas al estudiante o puntos de discusioacuten de la reflexioacuten En este no se espera que el estudiante escriba un resumen del conocimiento desarro-llado en las actividades presenciales sino que las reflexiones del estudiante tengan su geacutenesis en las problemaacuteticas o en las ideas desarrolladas en el curso El rol del profesor en tal instrumento no es hacer un juicio de valor sobre las reflexiones sino generar lineamientos hacia queacute tipo de preguntas o problemaacuteticas el estudiante puede abordar en sus proacuteximas reflexiones mediante la devolucioacuten de preguntas yo sugerencias Es un documento que se solicita al estudiante para que desarrolle al menos una vez entre sesiones

2 Reporte de investigacioacuten (RI) Se trata de un instrumento mediante el cual el estudiante cons-truye y perfecciona una propuesta didaacutectica preliminar que articule los conocimientos de la modelacioacuten matemaacutetica tratados en el curso experimente en el aula y analice esta como tal Se solicita realizar el reporte en instancias finales seguacuten planificacioacuten El reporte se centra en un objeto matemaacutetico tratado en el curriacuteculo escolar chileno abordado mediante un proceso de modelacioacuten matemaacutetica y en esta propuesta se deben identificar las competencias de modela-cioacuten en la experimentacioacuten de este en un ambiente real

3 Portafolio (PO) Instrumento donde el estudiante documenta y reflexiona sobre las actividades realizadas en el curso considerando ademaacutes la resolucioacuten y creacioacuten de tareas de modelacioacuten matemaacutetica realizadas en todas las sesiones

4 Entrevista individual (EI) En el caso elegido Diego fue entrevistado cuando el curso ya habiacutea terminado Mediante una entrevista semiestructurada se plantean preguntas sobre la relevancia de la modelacioacuten para un profesor de matemaacuteticas el uso que hariacutea de ella y los conocimientos que pone en juego un profesor en el aula cuando se ponen en praacutectica tareas de modelacioacuten La EI fue transcrita y utilizada como documento para analizar

El curso de modelacioacuten

Los objetivos del curso propuesto son los siguientes

ndash Educar a los futuros profesores de matemaacuteticas sobre la ensentildeanza de la modelacioacuten matemaacuteticandash Reflexionar y crear praacutecticas didaacutecticas sobre coacutemo el uso del conocimiento matemaacutetico es

aprendido y ensentildeado viacutea modelacioacuten matemaacutetica

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La planificacioacuten posee cuatro dimensiones dos desde el conocimiento del estudiante emanadas de creencias y concepciones teoacutericas y experimentales teniendo la intencionalidad de confrontacioacuten y complementacioacuten entre las creencias y el conocimiento teoacuterico y otras dos desde las acciones del estudiante que establecen la necesidad del laquosaber hacerraquo para el fortalecimiento praacutectico de los elemen-tos didaacutecticos Las cuatro dimensiones permean cada una de las 14 sesiones de 90 minutos del curso adquiriendo distinto protagonismo en el traacutensito de las sesiones seguacuten las planificaciones clase a clase (detallada en Huincahue [2017]) y siendo retroalimentadas a traveacutes del curso Estas son

Creencias y concepciones de la modelacioacuten matemaacutetica

Considera el conocimiento que posee el estudiante relativo a la modelacioacuten matemaacutetica desde su for-macioacuten antes de la propuesta asiacute como lo que dicta el curriacuteculo nacional Principalmente formado por las creencias y concepciones de lo que es modelacioacuten matemaacutetica sus usos e implicaciones tanto en la vida cotidiana como en los procesos de ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas Tales conoci-mientos evolucionan constantemente a traveacutes de las sesiones ya sea por praacutecticas directas o indirectas del curso

Elementos de la investigacioacuten en modelacioacuten matemaacutetica

Conocimiento desde el marco teoacuterico presentado Principalmente referido al ciclo de modelacioacuten de Blum visioacuten epistemoloacutegica del ciclo de modelacioacuten (Pollak 1979) visioacuten cognitiva del ciclo de mo-delacioacuten matemaacutetica (Borromeo Ferri 2010) perspectivas de modelacioacuten (Kaiser y Sriraman 2006) competencias de modelacioacuten (Maaszlig 2006) y evaluacioacuten en modelacioacuten (Borromeo Ferri 2010)

Resolucioacuten de tareas de modelacioacuten matemaacutetica

Confrontacioacuten y anaacutelisis de tareas de modelacioacuten provenientes de diferentes investigaciones (Borro-meo Ferri 2010 y 2006 Morales Mena-Lorca Vera y Rivera 2012 Guerrero-Ortiz y Mena-Lorca 2015 Huincahue 2015 por ejemplo) entre las que el grupo MyT-PUCV es considerado para la ejecucioacuten de criterio de validacioacuten cientiacutefica de las tareas propuestas

Creacioacuten de tareas de modelacioacuten

Instancia para que los estudiantes propongan situaciones de modelacioacuten que puedan ser analizadas y puestas en praacutectica entre ellos o en la escuela desde ciertos objetivos ademaacutes es una ruta para evaluar conceptos vistos en el curso generar un enriquecimiento teoacuterico de las tareas y su perfeccionamiento frente a la interaccioacuten intra e intergrupal

El rol del estudiante del curso

Se pretende que los estudiantes desarrollen inicialmente competencias de modelacioacuten y posteriormen-te se enfrenten a reflexionar ponieacutendose en los roles de profesor y estudiante de la FIPM sobre coacutemo desarrollar en sus futuros alumnos tales competencias de modelacioacuten Cuando el estudiante asume expliacutecitamente su rol la modelacioacuten es vista como un conocimiento de la praacutectica de un matemaacutetico o un modelador matemaacutetico debiendo el estudiante resolver tareas de modelacioacuten reconocer tipos de resolucioacuten y fenoacutemenos o situaciones que realiza por ejemplo uso de estrategias heuriacutesticas ma-

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tematizacioacuten de las tareas resolucioacuten interpretacioacuten y validacioacuten desde una visioacuten individualizada del anaacutelisis El estudiante en su rol de profesor concibe a la modelacioacuten como una praacutectica dada en la vida como una manera de reconocer el conocimiento matemaacutetico desde la realidad del alumno siendo vaacutelido entender la modelacioacuten como una fuente de estudio en su formacioacuten En este sentido ambos roles se traslapan propiciando un aprendizaje integrador en el estudiante

Experimentacioacuten

La experimentacioacuten es realizada en una carrera de Pedagogiacutea en Matemaacutetica y Computacioacuten en una universidad puacuteblica chilena entre marzo y julio del antildeo 2015 Participaron trece estudiantes en el seacutep-timo semestre de una extensioacuten de nueve en donde han aprobado cursos de conocimiento matemaacutetico y didaacutectico Paralelamente los estudiantes realizaban su praacutectica profesional en distintos colegios del sistema educativo con la misma duracioacuten de la experimentacioacuten un ambiente utilizado como labora-torio para las experimentaciones creadas seguacuten las praacutecticas y conocimientos desarrollados en el curso

ANAacuteLISIS Y RESULTADOS

Ahora veremos cuaacuteles son los alcances de los instrumentos utilizados en la experimentacioacuten para pro-piciar praacutecticas de ensentildeanza de modelacioacuten matemaacutetica mediante un anaacutelisis para observar coacutemo evoluciona el conocimiento de la ensentildeanza de la modelacioacuten desde ciclos reflexivos a lo largo de un curso de FIPM

El proceso es combinado con el software ATLASti para favorecer la praacutectica analiacutetica del proceso Se ha codificado el DR PO y RI logrando la identificacioacuten de los ciclos reflexivos para a continuacioacuten realizar una codificacioacuten especiacutefica con un dinamismo recursivo en todos los datos respecto a los do-minios y subdominios del modelo MTSK siendo este utilizado como modelo conceptual del anaacutelisis (Noguero 2002) Esto permite trazar para cada uno los datos de Diego queacute dominios o subdominios fueron reconocidos y coacutemo fue la evolucioacuten del conocimiento de la ensentildeanza de la modelacioacuten en el DR seguacuten lo ofrecido por la experiencia lo que Noguero denomina un laquoanaacutelisis externoraquo (2002 172) es decir el anaacutelisis de los documentos en un contexto especiacutefico (en este caso el curso propuesto) que permita su explicacioacuten En general todos los estudiantes tuvieron una evolucioacuten significativa esta se manifestoacute inicialmente en el PO y posteriormente con mayor fuerza en el RI

Diego en el RI utiliza la tarea que se ha modificado desde el Mineduc (2012b) para explicar el ciclo de modelacioacuten de Blum et al (2006) mostrando las implicaciones del ciclo de modelacioacuten para la ensentildeanza y el aprendizaje de las matemaacuteticas destacando las demandas curriculares y visiones sobre su utilizacioacuten en distintos niveles escolares del sistema educacional chileno laquo ademaacutes el problema podriacutea ser abordado en diferentes cursos modificando las preguntas y exigiendo diferentes cosas a los alumnosraquo (Diego) Lo anterior corresponde a la categoriacutea laquosecuenciacioacuten con temas anteriores y posterioresraquo del subdominio KMLS3

En el RI se reporta la siguiente tarea de modelacioacuten (cuadro 1)

3 Ninguacuten otro estudiante presentoacute una situacioacuten didaacutectica adaptable a distintos niveles En general lo trabajado fueron adaptaciones de situaciones presentadas en el curso o que se encuentran en la literatura

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Cuadro 1 La tarea de modelacioacuten propuesta en el RI

Es una tarea modificada de otra que propone el curriacuteculo nacional (Mineduc 2012b)

Una constructora tiene un disentildeo para un tipo de edificio en el cual cada piso al mirarlo desde arriba tiene forma cuadrada y en cada pared hay un gran ventanal para que los trabajadores cuenten con la iluminacioacuten natural apropiada Ademaacutes en el disentildeo se incluye que en el uacuteltimo piso al mismo tiempo que los cuatro ventanales se coloque un tragaluz para dar una sensacioacuten de amplitud a quienes alliacute trabajen Dado que la constructora tiene diferentes demandas debe tener una forma raacutepida de calcular cuaacutentos ventanales debe mandar fabricar seguacuten la cantidad de pisos que sus clientes le exijan

1 iquestQueacute estrategia podriacutea usar la empresa para determinar la cantidad de ventanales que utilizar en diferentes casos (un piso dos pisos tres pisos)

2 iquestPuedes proponer una forma general de calcular una cantidad cualquiera de ventanas dados los pisos que un cliente requiera

3 Si se dispone de una cierta cantidad de ventanas en stock iquestse puede anticipar para cuaacutentos pisos alcanzaraacute4 iquestQueacute pasaraacute si quiero hacer un edificio de 1000 pisos (Analizar en un contexto real)5 iquestCuaacuteles son las variables que intervienen en la expresioacuten que modela la situacioacuten6 iquestCuaacutel seraacute la variable dependiente y la variable independiente en la situacioacuten de los edificios y las ventanas iquestse

pueden invertir

La propuesta de Diego es una planificacioacuten didaacutectica que transita por los subdominios KMT KFLM y MKLS Las preguntas 1 2 y 3 del cuadro exigen al estudiante generar praacutecticas de modelacioacuten las que corresponden al subdominio KPM del dominio MK Las preguntas 4 5 y 6 adquieren de forma general un foco en el contenido matemaacutetico Sin embargo las cuatro primeras preguntas hacen movilizar al es-tudiante a la realidad como ndashal menosndash una fuente de validacioacuten de sus avances por lo que el centro no es el objeto matemaacutetico en siacute sino la modelacioacuten matemaacutetica Esto permite reconocer una bivalencia del conocimiento especializado en el sentido del traacutensito entre los dominios del MTSK

Diego afirma en su implementacioacuten (rol de profesor) que laquoun elemento clave para fomentar el acercamiento entre el mundo matemaacutetico y el mundo real fueron los cubos de madera utilizadosraquo Es decir los cubos de madera se transforman en recursos materiales que como registro de representacioacuten son utilizados simboacutelicamente para la praacutectica matemaacutetica fomentando la construccioacuten del modelo perseguido seguacuten los objetivos de aprendizaje reconocido en los subdominios KMT KoT y KPM respectivamente

Por otra parte Diego reconoce ademaacutes un elemento que no fue considerado en su anaacutelisis a priori laquo como por ejemplo determinar la funcioacuten inversa de la expresioacuten que calcula el nuacutemero de ventana-les definieacutendola de la siguiente maneraraquo (figura 4)

Fig 4 Resolucioacuten hecha por un alumno de Diego en su praacutectica en aula Dice ((Cantidad de ventanales) ndash 1 (traga luz)) 4 = Nordm de pisos

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Diego entiende esta informacioacuten como un objeto matemaacutetico (la funcioacuten inversa ya que Diego esperaba como respuesta 4n +1= v ) pero por otro lado lo valida como un modelo de la situacioacuten Esto evidencia en el conocimiento de Diego las dificultades y fortalezas que aborda un estudiante al modelar y los tipos de modelos reconociendo que en su futuro quehacer debe reconocer los modelos en las muacuteltiples formas que construye el estudiante Esto es identificado en el subdominio KFLM

En el DR Diego establece constantemente comparaciones respecto al conocimiento generado en el curso y a las praacutecticas profesionales en las que participa describiendo grandes diferencias con el tratamiento pedagoacutegico de las clases de matemaacutetica y generando reflexiones que emergen a partir de la inclusioacuten de praacutecticas de modelacioacuten matemaacutetica en el aula cuando el estudiante es un profesor en formacioacuten

los chicos eran desordenados y no haciacutean caso que no participaban en las clases y se distraiacutean con mucha facilidad que no teniacutean la capacidad de trabajar en algo en conjunto [] iquestQue vi hoy [diacutea de la experi-mentacioacuten] Un grupo de nintildeos enfocados en una tarea motivados inmersos en ese mundo matemaacutetico

En este contexto Diego inicia una reflexioacuten sobre queacute conocimientos permiten al profesor de ma-temaacuteticas tener una mayor facilidad al construir el conocimiento matemaacutetico

Pienso que conocer la historia de un concepto puede servir de varias maneras a la ejecucioacuten de una clase que se puede mezclar la historia con las matemaacuteticas para ver coacutemo un concepto matemaacutetico ha llegado a ser lo que es actualmente ejemplificar el uso histoacuterico de dicho concepto como la utilizacioacuten elemental de las fracciones por parte de los egipcios y babiloacutenicos ver con queacute herramientas contaban en la antiguumledad para resolver sus problemas cotidianos etc

Impulsando a Diego en la EI a que se refiera a las virtudes de la modelacioacuten matemaacutetica (para esclarecer su comentario anterior) enuncia algo que llama laquola-matemaacutetica-realraquo resaltando la funcio-nalidad del conocimiento matemaacutetico su protagonismo en el desarrollo del conocimiento de la gente y coacutemo estos pueden impactar en la ejecucioacuten de una clase En el DR se aprecia lo siguiente laquome he preguntado iquestcuaacutel es el objetivo de la matemaacutetica en el nivel escolar Simplemente entregar una maleta con herramientas y que el alumno diga iquestcuaacutel me sirve o iquestpara queacute sirven esas herramientas [] la-matemaacutetica-realraquo refirieacutendose a una construccioacuten epistemoloacutegica de la matemaacutetica centrada en el uso asignando un sentido al conocimiento matemaacutetico para que sea aprendido Diego sintetiza su reflexioacuten desde la EI como una ruptura de la separacioacuten entre la realidad y las matemaacuteticas laquoen el ciclo de mo-delacioacuten [de Blum et al (2006)] estaacute diferenciado [realidad y matemaacuteticas] pero yo no seacute no seacute si la matemaacutetica es un mundo aparte ajeno al mundo realraquo Diego se posiciona desde un conocimiento sobre la praacutectica docente que repercute en ambas dimensiones del MTSK No obstante en la uacuteltima cita hace alusioacuten a la modelacioacuten como contenido matemaacutetico en particular en la categoriacutea de laquodefi-nicioacuten propiedades y fundamentosraquo del subdominio KoT

En el PO se reconocen muacuteltiples subdominios y relaciones entre ellos Este instrumento a la vez brinda informacioacuten sobre la evolucioacuten del conocimiento de la ensentildeanza de la modelacioacuten En la re-solucioacuten de tareas de modelacioacuten propuestas en el curso Diego desarrolla de distintas maneras cada una de ellas surgiendo en las uacuteltimas tareas propuestas en el curso el uso de objetos matemaacuteticos un ordenamiento del planteamiento matemaacutetico de los problemas y una praacutectica matemaacutetica que suele poner en evidencia el uso de estrategias heuriacutesticas o validaciones de resultados viacutea demostraciones ma-temaacuteticas Tales caracteriacutesticas no eran vislumbrables al inicio ya que en la resolucioacuten de las primeras tareas Diego se remite a una descripcioacuten de esta y las variables que influyen sin generar un desarrollo

Por otro lado el proceso de pilotaje del curso en general tuvo regularidad en su transcurso Ambos cursos (el pilotaje y la experimentacioacuten) esperaban una clase frontal donde se presenten y expliquen resultados matemaacuteticos esperando preguntas matemaacuteticas claras y tradicionales que el contenido

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matemaacutetico sea expliacutecito Sin embargo hubo reticencia a la propuesta en el pilotaje La incomodi-dad en la experimentacioacuten se desvanece al transcurrir la experiencia ya que desde la sesioacuten cuatro o cinco existioacute un proceso de adaptacioacuten a la propuesta logrando asumir las situaciones planteadas por la planificacioacuten generada En el pilotaje la experimentacioacuten no logroacute la adaptacioacuten esperada lo que provocoacute la reduccioacuten del 20 del nuacutemero de estudiantes y tras la cuarta sesioacuten los que continuaron se adaptaron en parte al sistema Esto se debioacute a que los estudiantes estaban maacutes preocupados del co-nocimiento matemaacutetico que del didaacutectico ya que el plan de estudios de la Universidad propone que es maacutes importante ser primero matemaacutetico para despueacutes preocuparse de su formacioacuten en didaacutectica y ramos de educacioacuten En la experimentacioacuten no hubo disminucioacuten de asistencia a clase ni desercioacuten

Cerca del 50 de estudiantes evidenciaron un aumento progresivo de la valoracioacuten del DR in-cluyendo en sus reflexiones elementos que trascienden los toacutepicos abordados en la planificacioacuten de la propuesta siempre relacionados con las praacutecticas docentes y la importancia del contexto del estudian-te para la ensentildeanza y aprendizaje de las matemaacuteticas viacutea modelacioacuten matemaacutetica

CONCLUSIONES Y DISCUSIOacuteN

Si bien se documentan solo los datos de Diego podemos afirmar que los instrumentos creados para es-tudiar la evolucioacuten de la induccioacuten de la modelacioacuten matemaacutetica en el curso (DR RI PO EI) fueron apropiados para analizar las reflexiones de los estudiantes y su evolucioacuten Asimismo la metodologiacutea utilizada para comprender el conocimiento especializado del futuro profesor de matemaacuteticas mediante el modelo MTSK nos permitioacute trazar y comprender un proceso reflexivo el conocimiento de un pro-fesor en formacioacuten sobre modelacioacuten matemaacutetica

El caso de Diego

ndash Diego estaacute en permanente oscilacioacuten entre su rol de estudiante y su rol de profesor en el mo-mento de resolver tareas y construirlas y el requerimiento del conocimiento matemaacutetico y didaacutectico en ellas respectivamente

ndash El conocimiento didaacutectico ndashen el uso de la modelacioacutenndash mostrado por Diego evidencioacute un paulatino desarrollo desde los distintos tipos de tareas evolucionando desde una ejercitacioacuten algoriacutetmica hasta la preocupacioacuten por generar procesos de modelacioacuten matemaacutetica en sus pro-puestas (Huincahue y Guerra-Silva 2016)

ndash Consecuentemente la propuesta tuvo un impacto significativo en el PCK Las actividades pla-nificadas en el curso muestran relaciones de los conocimientos matemaacuteticos (especiacuteficamente KPM) con todos los subdominios del PCK estableciendo un conocimiento sobre coacutemo la actividad de crear modelos permite que el estudiante logre objetivos de aprendizaje Ademaacutes la codificacioacuten en el RI y en el DR permitioacute la visualizacioacuten de elementos que podriacutean guiar la confeccioacuten de una tarea de modelacioacuten su dependencia con los objetivos como profesor y queacute herramientas evaluativas son reconocidas y puestas en uso

La experimentacioacuten

La propuesta de formacioacuten inicial resultoacute positiva en teacuterminos praacutecticos y teoacutericos Consideramos que un factor relevante en la propuesta es el momento adecuado en la formacioacuten inicial para su im-plementacioacuten

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En el caso de utilizar el modelo MTSK consideramos de relevancia establecer cuaacutendo definir que un estudiante de Pedagogiacutea en Matemaacuteticas es un profesor en formacioacuten ya que los estudiantes del pilotaje no tuvieron la misma participacioacuten que en la experimentacioacuten Esto se puede deber a muacuteltiples factores

ndash Entendiendo que los resultados de Tapia (2016) aluden a que la modelacioacuten matemaacutetica per-manece uacutenicamente como una praacutectica del matemaacutetico y no en su dimensioacuten didaacutectica se reconoce que los estudiantes del pilotaje poseen a esa altura de su formacioacuten uacutenicamente cursos de matemaacutetica por lo que la sensibilidad del rol profesional al que aspiran no ha sido parte de su formacioacuten hasta ese momento

ndash Los estudiantes del pilotaje no son conscientes de las competencias de modelacioacuten fomentadas por el curso lo que puede deberse tambieacuten a la insuficiente preocupacioacuten del ejercicio profesio-nal del profesor de matemaacuteticas y las competencias que demanda

ndash La escuela formadora del pilotaje que es parte de un Instituto de Matemaacuteticas considera la formacioacuten del profesor como un matemaacutetico que posteriormente se hace responsable de la ensentildeanza de la matemaacutetica Visioacuten que asume impliacutecitamente el estudiante por lo tanto las competencias pedagoacutegicas planteadas por la experimentacioacuten se contraponen con las persegui-das hasta el momento en su formacioacuten Por otra parte la carrera de la experimentacioacuten plantea sus objetivos pedagoacutegicos desde el principio siendo los cursos de matemaacutetica un aporte a la formacioacuten

Una hipoacutetesis o futura liacutenea de desarrollo que propone la investigacioacuten es clarificar la ubicacioacuten de una vinculacioacuten de la modelacioacuten matemaacutetica de forma expliacutecita en la FIPM en el sistema educacio-nal chileno la cual deberiacutea ocurrir cuando el profesor en formacioacuten ya desarrolle cierta sensibilidad respecto al rol profesional y no se centre uacutenicamente en la matemaacutetica como se evidencioacute en el caso del pilotaje sino que posea experiencia en praacutecticas profesionales como una actividad en paralelo y las problemaacuteticas que surgen en cuanto a la construccioacuten del conocimiento matemaacutetico cuando estaacute pensado para el aprendizaje

Lo anterior nos permite concluir que un programa de formacioacuten inicial que considere la reflexioacuten junto con una praacutectica pedagoacutegica de mayor protagonismo potencia la formacioacuten profesional en este estudio se desprende que el concepto laquocurso de modelacioacuten matemaacuteticaraquo puede ser replicado seguacuten las demandas que surjan en la escuela formadora Finalmente la investigacioacuten nos da indicios de que una poliacutetica apropiada para el desarrollo profesional es propender que los profesores noacuteveles posean instancias centradas en la reflexioacuten que les permitiraacuten fortalecer los conocimientos especializados que el modelo MTSK define

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Math modelling knowledge from reflection in math teachers initial trainingJaime HuincahueVicerrectoriacutea de Investigacioacuten y Postgrado Universidad Catoacutelica del Maule Talca Chilejhuincahueucmcl


Jaime Mena-LorcaInstituto de Matemaacuteticas Pontificia Universidad Catoacutelica de Valparaiacuteso Valparaiacuteso Chilejaimemenapucvcl

There are several ways to consider mathematical modelling in Initial Education of Mathematics Teacher curricu-lum IEMT since there are different forms meanings and uses in the relationships that exist between reality and mathematics However the knowledge breadth required for the mathematics teacher is not only a mathematical knowledge and its applications didactic knowledge of the subject is required as well

A clear and direct route to address the problem of modelling in IEMT is through its explicit introduction In this situation it is expected that future mathematics teachers will be able to generate modelling practices main-taining clarity for example about what is mathematical modelling how to approach such situations (resolution and recognition of complexities when modelling) and how modelling can be treated in classroom (creating acti-vities knowing which competences it develops and how are they evaluated) For the strengthening of such skills and abilities a modelling course proposal is constructed which is clearly described in this paper experimented in third and seventh semesters in different Chilean universities For this the questions that guided our research were How does the knowledge of modelling teaching evolve from the reflection of a participant throughout an IEMT course How does it affect the time at which the modelling course in the IEMT is proposed

The course consisted of 15 sessions of 90 minutes each and is positioned in the conceptual framework of mathematical modelling which consists of theoretical constructs regarding the conception of mathematical mo-delling modelling cycle from an individualized approach to knowledge modelling competences and modelling levels The instruments for data collection are Reflection Diary Research Report Portfolio and an Individual Interview The Qualitative Content Analysis is used as a methodological framework considering reflexive cycles evidenced in the data and subdomains of MTSK model as analysis categories Using the ATLASti software we find results that tend towards the reflective development of students during the experience towards the knowled-ge that they have as students and as future teachers strongly evidenced by the understanding of knowledge in all subdomains of MTSK model

It is concluded that the chosen case presents a clear evolution of knowledge initially proposing didactic work as an algorithmic workout until end the experience with the creation of modelling tasks and implementation in the classroom via professional practices evidencing a didactic approach to problems of modelling according to what was proposed in the course In addition a powerful evolution of knowledge in the PCK domain is clarified through Reflection Diary and Research Report

It is concluded that the proposal had positive results although we consider that a relevant factor in the pro-posal is the appropriate moment in initial training for its implementation since there are variables such how mature the teacher is in the role of training that in the third semester of the training had not been considered not being aware of the modelling competences of the proposal Finally the conceptual framework is proposed as an instrument to be used for other experiences as well as to replicate according to the demands of the training school

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INTRODUCCIOacuteN Y ANTECEDENTES

La modelacioacuten matemaacutetica y su aprendizaje y ensentildeanza en todos los niveles escolares ha ido adqui-riendo cada vez mayor relevancia en los sistemas educativos a nivel internacional

En el aula la modelacioacuten matemaacutetica ha sido considerada de diversas maneras desde una herra-mienta didaacutectica centrada en un objeto matemaacutetico hasta el motor de una construccioacuten social de conocimiento matemaacutetico pero sin duda es utilizada para que el aprendizaje se realice a partir de la realidad del estudiante y sea dirigido hacia el conocimiento matemaacutetico

Grupos de investigacioacuten que adquieren visibilidad en RELME ICMI o ICTMA son ejemplos de la comunidad cientiacutefica que existe en torno a la modelacioacuten yo modelacioacuten matemaacutetica la cual ha propuesto concepciones de modelacioacuten desde saberes sociales culturales cognitivos matemaacuteticos y di-daacutecticos siendo posicionada como un elemento en uso en las praacutecticas docentes en todos los niveles es-colares Tal situacioacuten genera un trabajo sisteacutemico sobre los estados del saber de modelacioacuten matemaacutetica

En el caso del curriacuteculo chileno la modelacioacuten ha sido considerada principalmente una habilidad que permite la comprensioacuten del conocimiento y diversas situaciones a las que los estudiantes se ven expuestos (Mineduc 2016) ligada maacutes bien al laquosaber hacerraquo para la integracioacuten del conocimiento en situaciones conocidas por el estudiante en su realidad El Ministerio de Educacioacuten de Chile (Mine-duc) recomienda que las estrategias de ensentildeanza esteacuten centradas en el aprendizaje para el desarrollo de habilidades lo que releva tal habilidad para el uso de la matemaacutetica en un contexto cercano al estudiante Por tal motivo la inclusioacuten de la modelacioacuten matemaacutetica en el curriacuteculo tiene un caraacutecter transversal e integrador del conocimiento en todos los niveles escolares mostrando aplicando o cons-truyendo conceptos matemaacuteticos esto pone de relieve a su vez la necesidad de incluir esa modelacioacuten en la formacioacuten inicial docente en matemaacuteticas (FIPM) en Chile

El curriacuteculo en el nivel donde ejerceraacuten los titulados de la FIPM (joacutevenes entre 12 y 18 antildeos) es guiado por los estaacutendares pedagoacutegicos y disciplinares El Mineduc define los estaacutendares pedagoacutegicos como laquolos conocimientos habilidades y actitudes profesionales necesarias para el desarrollo del pro-ceso de ensentildeanza que debe poseer un egresado de pedagogiacutearaquo (2012a 31) Es decir son estaacutendares que deben ser alcanzados por todas las escuelas de FIPM del paiacutes sin diferencia disciplinar generando un trenzado con los estaacutendares disciplinares tal paradigma produce tensioacuten ya que a pesar de la relevancia de la aportacioacuten pedagoacutegica parte importante de la problemaacutetica acadeacutemica del profesor de matemaacutetica es de una naturaleza maacutes bien epistemoloacutegica relativa al conocimiento matemaacutetico Ahora bien los estaacutendares disciplinares asumen dos dimensiones en su caracterizacioacuten una centrada en los contenidos matemaacuteticos y otra en el fortalecimiento de las actitudes y habilidades que es posible desarrollar en tales contenidos ndashargumentar y comunicar modelar representar y resolver problemasndash Esto indica que en todos los temas matemaacuteticos y niveles es posible modelar actividad que el Mineduc entiende como laquouna habilidad que permite resolver problemas reales mediante la construccioacuten de mo-delos que pueden ser fiacutesicos computacionales o simboacutelicos y que sirven para poner a prueba el objeto real y ver coacutemo responde frente a diferentes factores o variantesraquo (Mineduc 2016 41)

La FIPM en Chile dura 9 o 10 semestres dependiendo de la escuela de formacioacuten e incluye praacutec-ticas en colegios en distintos momentos una vez finalizada el egresado adquiere un tiacutetulo que certifica la posibilidad del ejercicio de su profesioacuten con estudiantes de seacuteptimo baacutesico a cuarto medio Actual-mente existe una prueba que se realiza dos semestres antes de la graduacioacuten en la Universidad con propoacutesito de diagnoacutestico con la intencioacuten ndasha medio plazondash de que sea una prueba vinculante para el ejercicio profesional del profesor de matemaacuteticas en colegios financiados por el Estado

Tapia (2016) muestra un estado de la modelacioacuten en las estructuras curriculares de la FIPM en dos universidades chilenas y describe que las concepciones de los formadores de profesores variacutean entre un uso de la modelacioacuten en un estatus de aplicacioacuten de alguacuten concepto matemaacutetico construccioacuten

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El modelo MTSK





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El caso de Diego






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