UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMTICA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMTICA INFORME FINAL DE PRCTICA PRE PROFESIONAL MODALIDAD DE INVESTIGACIN TTULO: EL TEOREMA DE LEVICIVITA R. N 061-2013-CD-EPM-FCNM AUTOR: JORGE LUIS VIVAS PACHAS CDIGO: 042135B TRABAJO ORIENTADO POR LIC. MARCO ANTONIO RUBIO GALLARDAY SEMESTRE ACADMICO 2013-B BELLAVISTACALLAO 2014 2 A.DATOS GENERALES A.1.DATOS DEL ESTUDIANTE APELLIDOS Y NOMBRES:Vivas Pachas, Jorge Luis CDIGO:042135B INSTITUCIN:Universidad Nacional del Callao FACULTAD:Ciencias Naturales y Matemtica ESCUELA ACADMICA PROFESIONAL:Matemtica SEMESTRE ACADMICO:2013-B TTULO:El Teorema de Levi-Civita A.2.DATOS DEL PROFESOR ASESOR APELLIDOS Y NOMBRES:Rubio Gallarday, Marco Antonio CDIGO:1311 CATEGORA Y DEDICACIN:Auxiliar. Tiempo Parcial CONDICIN:Nombrado ESPECIALIDAD:Matemtica FACULTAD:Ciencias Naturales y Matemtica A.3.DATOS DE LA INSTITUCIN INSTITUCIN:Universidad Nacional del Callao DIRECCIN:Av. Juan Pablo II N 306, Bellavista-Callao TELFONO:() 3 B.CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES REALIZADAS DURACIN: HORARIOS DE PERMANENCIA: () ACTIVIDADES REALIZADAS:Se realizaron las siguientes actividades Consulta permanente sobre el proyecto de investigacin con el asesor Lic. Marco Antonio Rubio Gallarday. Bsqueda de informacin en biblioteca e internet. Exposicin semanal de los avances del proyecto. CRONOGRAMA ANALTICO SEMANAL DESCRIPCINSEMANAS 1234567891011121314151617 RevisindeBibliografay Recoleccin de Datos X X X X DesarrollodelTrabajode Investigacin X X X X X X Anlisis de los Resultados X X RedaccinFinaly Exposicin del Informe X X X X X C.CARACTERSTICAS DEL TRABAJO A continuacin mostraremos el trabajo de investigacin. 4 ndice I.Resumen5 II.Introduccin6 III. Marco Terico8 Captulo I: Preliminares8 1.1. Repaso de topologa.8 1.2. Variedades diferenciables............13 1.3. Vectores tangentes...........17 1.4. Mtrica y distancia riemanniana......27 Captulo II: Desarrollo del Trabajo de Investigacin32 2.1. Conexin afn...32 2.2. Conexin riemanniana.37 IV. Resultados44 V.Discusin y Conclusin45 VI. Referencias Bibliogrficas46 5 I. Resumen En este trabajo deinvestigacinmostramos deformamuydetallada una prueba alternativadelteoremadeLevi-Civita,elcualgarantizaqueenunavariedad riemanniana existe una nica conexin afn que satisface: (i)simetra, y (ii) compatibilidad con la mtrica riemanniana. Asimismo,proporcionaremosuncontrasteconlapruebaestndardeeste teorema, debida a do Carmo (cf. [1], Teorema 3.6). Esta prueba se realiza en elmismo contexto que la prueba presentada en este trabajo. 6 II.Introduccin Unresultadofundamentalenlageometradiferenciales:paraunamtrica riemannianaenunavariedad,existeunanicaconexinafnsimtricacompatiblecon ella.EstaconexinafnesllamadalaconexinLevi-Civitaoconexinriemanniana. (Paralelismoeslapalabraoriginalutilizadaparaloquehoysedenominaconexin afn, cf. [3]. Seguiremos el uso moderno, a pesar de que la palabra paralelismo tiene connotacionesmsgeomtricas.)Laversinquepresentamosaqu,sepuedeencontrar en ONeill (cf. [5], Teorema 3.11), con el siguiente enunciado: Teorema.Enunavariedadriemanniana existeunanicaconexinafn que satisface (i)

[ ] (simetra), y (ii)

(compatibilidad con la mtrica riemanniana), para todo campo vectorialen . Esta conexin afn , llamada la conexin Levi-Civita o conexin riemanniana de , es caracterizada por la frmula de Koszul

[ ] [ ] [ ] Lapruebaestndar(actual),debidaadoCarmo(cf.[1],Teorema3.6),esuna elegantemanipulacinalgebraicapormediodecamposvectoriales,corchetesdeLie, productosinternosyconexionesafines.Estapruebaespuramenteintuitivayla consistencia de la misma no es muy explcita. Por ende, daremos una prueba alternativa que es ms prolija (ambas pruebas se realizan en el mismo contexto). Resaltamos que la demostracinhechaenestetrabajodeinvestigacinesbasadaenlautilizacindel siguiente lema: 7 Lema.Sea unavariedadriemannianaconmtricariemanniana .Sea una transformacinlineal de campos vectoriales suaves sobreen funciones suavessobre . Supongamos que ( )()() ()() para todas lasfunciones suavesy todos los campos vectorialesyen . Entonces existe un nico campo vectorial suaveencon la propiedad de que () para todo campo vectorial suaveen . Estelemagarantizalaexistenciayunicidaddeuncampovectorial,elcual posteriormenteseridentificadocomolaconexinafndeuncampovectorialcon respecto a otro. Este trabajo deinvestigacinest dividido dela siguientemanera: Enel primer captulo presentamos algunos conceptos bsicos de topologa, variedades diferenciables, vectores tangentes y mtrica riemanniana, procurando fijar las notaciones. Asimismo, algunos resultados preliminares son demostrados, como por ejemplo laproposicin(cf.[5],Proposicin5.18)enlacualseestablecequeladistancia riemanniana define una mtrica. Finalmente,enelsegundocaptulodeestetrabajodeinvestigacin, demostramoselTeoremadeLevi-Civita.Sinembargo,enprimerlugartambin demostramos algunos resultados con elfin de presentar el teoremafinal con unabuena objetividad. Entre dichos resultados, mostramos el lema anteriormente enunciado. 8 III. Marco terico Captulo I: Preliminares 1.1. REPASO DE TOPOLOGA Elobjetivodeestaseccinesrecordaralgunasnocioneselementalesdetopologa (abierto, entorno, comparacin de topologas, metrizabilidad, etc.). Definicin 1.1. Seaun conjunto no vaco. Una topologa sobrees un subconjuntode () (conjunto de partes de ) tal que i) y , ii)toda reunin de elementos dees un elemento de , iii) toda interseccin finita de elementos dees un elemento de . El par ( ) se denomina espacio topolgico y lo denotaremos simplemente por cuando no haya riesgo de confusin. Loselementosdesellamanabiertosdeyelcomplementario(en )deun abierto se denomina cerrado. Definirunatopologaen esdarunanocindeproximidadyportantode entorno:diremosqueesunentornoabiertodesicontieneunabiertoquea su vez contiene a . Evidentemente toda parte deque contiene un entorno abierto dees ella misma un entorno abierto de . 9 Definicin1.2.Sean ( ) e ( ) espaciostopolgicos.Diremosqueunaaplicacin es continua en el puntosi para todo entorno abiertode () en existe un entorno abiertodeental que (). Diremosqueescontinuaensiescontinuaentodopuntode .Essencillo verificar quees continua si y solo si la imagen recproca porde cualquier abierto de respecto aes un abierto derespecto a . Diremos que la aplicacines abierta cuando la imagen directa de todo abierto deesunabiertode.Si esbiyectiva,continuayabiertadiremosque esun homeomorfismo deen . Definicin1.3.Seaun conjunto dotado de dos topologas

y

. Diremos que

es ms fina que

si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes i)

, ii)toda parte decerrada respecto a

es cerrada respecto a

, iii) la aplicacin

(

) (

) es continua. Ejemplos 1.1. i)Pongamos

{ },estafamiliadepartesde constituyeunatopologa sobre . Es la menos fina que se puede definir. Aqu la nocin de proximidad no tiene sentido: un punto cualquiera detiene un nico entorno. Esta topologa se denomina grosera y raras veces se utiliza. ii)Sialcontrarioqueenelejemploprecedenteponemos

() seobtienela topologa ms fina sobre , denominada topologa discreta. 10 Definicin1.4.Diremos que un espacio topolgico ( ) es separado o de Hausdorff, siparacualesquieraededistintosexistenentornosabiertosdeydetales que . Definicin 1.5. Sea ( ) un espacio topolgico. Una clasede subconjuntos abiertos de , i.e. , es una base de la topologasi y solamente si i)todo conjunto abiertoes la unin de elementos de . Equivalentemente,es una base desi y solamente si ii)paracualquierpuntoqueperteneceaunconjuntoabierto ,existeun elementotal que . Teorema 1.1. Seauna clase de subconjuntos de un conjunto no vaco . Entonces,es base de alguna topologasi y solamente si posee estas dos propiedades: i){ }. ii)Dadoscualesquiera

eslaunindeelementosde ,o, equivalentemente, si

entonces

tal que

. Definicin1.6.Sellamapseudomtricaen atodaaplicacin que satisface las propiedades siguientes i)( ) ii)( ) iii) ( )( ) iv)( )( ) ( ) El par ( ) se denomina espacio pseudomtrico. 11 Definicin 1.7. Sean ( ) un espacio pseudomtrico,

un elemento dey . El conjunto (

){ (

)} se llama la bola abierta ende centro

y radio . Diremosqueelconjuntoesunabiertodesiparatodopunto

existe un nmero realtal que (

) Teorema1.2.Sean ( ) unespaciopseudomtricoy

{(

)

} la clase de todas las bolas abiertas en . Entonces,

es una base para una topologa

en , llamada la topologa inducida por la pseudomtrica . Un espacio pseudomtrico siempre se considera dotado de la topologa inducida por su pseudomtrica. Definicin1.8.Se llamamtrica o distancia ena toda aplicacinque satisface las propiedades siguientes i)( ) (semidefinida positiva), ii)( ) (separacin), iii) ( )( ) (simetra), iv)( )( ) ( ) (desigualdad triangular). El par ( ) se denomina espacio mtrico. 12 Ejemplos 1.2. i)Dados (

) e (

) de

consideramos ( )

|

| Severificafcilmentequelaaplicacinasobtenidaconstituyeunadistancia en

. ii)Seaun conjunto, si definimospor ( ){

obtenemosunadistanciaen,quesedenominamtricadiscretade.La topologa obtenida es la del ejemplo 1.1 ii). Corolario 1.1. Sies de Hausdorff, la pseudomtricaes una mtrica. Prueba. Solo resta probar que ( )lo cual es igual a probar que ( ) Enefecto,sean() .Puestoque esdeHausdorff,existenentornos abiertosdeydetales que . Asimismo, el conjunto {} es un entorno abierto del punto , pues {}. Puesto que la pseudomtricadefine la topologa dada de , existetal que ( ){} Esto implica que el puntono est en ( ). Entonces, tenemos ( ) 13 1.2. VARIEDADES DIFERENCIABLES Definicin1.9.Seaunespaciotopolgico.Unsistemadecoordenadaslocaleso cartalocalen esunhomeomorfismo()deunsubconjuntoabierto sobreunabierto ()

,denotadopor ( ).Cuandonohayariesgode confusin, simplemente escribimospor ( ). Diremos quees la dimensin de (). Para cadase tiene ()(

()

()). Los nmeros

(), , son llamados las coordenadas del puntoen el sistema . Ejemplos 1.3. i)Sean

unabiertoy

laaplicacindeinclusin () .Lascoordenadasintroducidasenporelsistemason denominadas coordenadas cartesianas. 14 ii)Sea unaparametrizacindelconjuntoabierto,contenidoenla superficie

.Elhomeomorfismoinverso

esun sistema de coordenadas locales en . Definicin1.10.Dados los sistemas de coordenadaslocales

y

enelespaciotopolgico,talesque ,cadapuntotiene coordenadas

() enelsistema ycoordenadas

() relativamenteal sistema . 15 La correspondencia (

()

()) (

()

()) establece un homeomorfismo

() () que es llamado cambio de coordenadas. Definicin1.11.Un (

) atlasdedimensinsobreunespaciotopolgicoen

es una coleccinde cartas (

) del conjuntotal que 1.

, 2.paracualquierpar con

losconjuntos

(

)y

(

)son conjuntos abiertos en

y el cambio de coordenadas

essuave(declase

,i.e.,diferenciableparatodogradodediferenciacin)en su dominio

(

). Decimos que los elementos de un atlas se superponen suavemente.Losdominios

delossistemascoordenados

son llamados los entornos coordenados de . Un espacio topolgicoen el cual existe un atlas de dimensinse llama una variedadtopolgicadedimensin .Enotraspalabras,esunavariedadtopolgica de dimensinsi, y solamente si, cada punto detiene un entorno homeomorfo a un abierto de

. Definicin1.12.Unatlassobreunespaciotopolgicosedicediferenciable,de clase

,sitodosloscambiosdecoordenadas

sonaplicacionesde clase

. Se escribe entonces

. 16 Definicin1.13.Seaunatlasdedimensinyclase

enunespaciotopolgico . Un sistema de coordenadas en

se dice admisible relativamente al atlassi, para todo sistema de coordenadas locales

pertenecientea,con,loscambiosdecoordenadas

y

sondeclase

.Enotraspalabras, {( )} estambinunatlasdeclase

en . Definicin1.14.Dadounatlas ,dedimensinyclase

,sobre .Sea

el conjunto que contiene todos los sistemas de coordenadaslocales que son admisibles en relacina .Esfcilverque

estambinatlas,llamadoelatlasmaximal(oatlas completo) generado por el atlas . Todo atlas de clase

enpuede ser ampliado, de modo nico, hasta tornarse unatlasmaximaldeclase

:bastaadicionarletodoslossistemasdecoordenadas admisibles. Unatlasmaximaldeunconjunto estambinllamadounaestructura diferenciable en . Definicin1.15.Unavariedaddiferenciable,dedimensinydeclase

esunpar ordenado (

) dondeesunespaciotopolgicodeHausdorffy

esunatlas mximal de dimensiny clase

sobre . 17 1.3. VECTORES TANGENTES Definicin 1.16. Seauna variedad. Una funcin suave () es denominada una curva en . Dada una funcin real suave () la funcin (()) es suave con una derivada clsica bien definida. Definicin1.17.Seanunpuntoen ,lacurva( )con () yel conjunto

(){

}. La funcin ()

()definida por () ((()))

|

() es llamada el vector tangente a la curvaen . 18 Ahora podemos definir formalmente la nocin de un vector tangente. Definicin 1.18. Un vector tangente

a una variedaden un puntoes una funcin

()tal que existe una curvaencon (), satisfaciendo

() ((()))

|

para todo

(). Tal curvaes llamada a realizar el vector tangente

. Elpuntoesllamadoelpiedelvectortangente

.Amenudoomitiremosel subndice que indica el pie y escribimos simplementepor

. Dadounvectortangenteaen ,existeninfinitascurvasquerealizan(i.e. ()).Ellassepuedencaracterizardelasiguientemaneraencoordenadas locales. Proposicin1.1.Doscurvas

y

atravsdeunpuntoensatisfacen

()

() si y solo si, dada una carta ( ) con , se cumple que ((

()))

|

((

()))

|

Prueba: Sea ( ) unacartaencon .Entonces,setiene ()(

()

()), donde las coordenadas del puntoen el sistemason

(), . 19 ()Porcondicindelenunciado,lascurvas

y

atravsdelpuntoensatisfacen

()

() Puesto que cada

(), tenemos

()

(

(

()))

|

()

(

(

()))

|

() Entonces, se sigue que (

(

()))

|

(

(

()))

|

() Luego ((

()))

|

(

(

())

(

())

(

()))

|

((

()))

|

( (

(

()))

|

(

(

()))

|

(

(

()))

|

) ((

()))

|

( (

(

()))

|

(

(

()))

|

(

(

()))

|

) ((

()))

|

(

(

())

(

())

(

()))

|

Por tanto, ((

()))

|

((

()))

|

20 ()Para tal propsito, debemos recurrir al siguiente teorema. Teorema1.3.(RegladelaCadena)Si

esdiferenciableen ,y

esdiferenciableen() ,entonceslafuncincompuesta

es diferenciable en , y ()

()

(())

() Dada cualquier

(), las funciones compuestas son suaves con derivada clsica bien definida. Por condicin del enunciado, las curvas

y

pasan a travs del puntoen , i.e.,

()

() Entonces, se sigue que

()

() Aplicando , se tiene (

())(

()) 21 Asimismo, se cumple ((

()))

|

((

()))

|

Luego

() ((

()))

|

((

) ((

())))

|

Aplicando la Regla de la Cadena

()(

)

(

()) ((

()))

|

()(

)

(

()) ((

()))

|

Aplicando nuevamente la Regla de la Cadena

() ((

) ((

())))

|

((

()))

|

()

() para toda

(). Por tanto,

()

() 22 Definicin1.19.Elespaciotangenteaen ,denotadopor

,eselconjuntode todos los vectores tangentes aen . Corolario 1.2. El espacio tangente admite una estructura de espacio vectorial. Prueba. Sean las curvas

(

)

() y

(

)

() Entonces, se sigue que

()

() Aplicando , se tiene (

())()(

()) Dados

()

() en

y en , definamos (

()

())(

()) (

()) para toda

(). 23 Parademostrarque(

()

())esunvectortangentebiendefinido, necesitamos mostrar que existe una curvatal que ()

()

() Consideremosunacarta( )con.Labuenadefinicindelasfunciones compuestas y garantiza la buena definicin de

( )

{

} Definamos la curva ( ) () mediante ()

(

)() Dada cualquier

() () ((()))

|

((

) ((())))

|

24 Aplicando la Regla de la Cadena ()(

)

(()) ((()))

|

()(

)

(()) ((

(

)()))

|

()(

)

(()) [ ((

()))

|

((

()))

|

] ()(

)

(()) ((

()))

|

(

)

(()) ((

()))

|

Aplicando nuevamente la Regla de la Cadena () ((

) ((

())))

|

((

) ((

())))

|

()

()

() para toda

(). Por lo tanto, ()

()

() 25 Usando una carta local, es posible mostrar que la dimensin del espacio vectorial

es igual a , la dimensin de la variedad : dada una carta ( ) en , una base de

es dada por {

()

()} donde

()

(()

), con

denotando el -simo vector cannico de

. Uno tiene, para cualquier vector tangente (), la descomposicin ()( ()

)

()

donde

denotalai-simacomponentede .Estoproveeunaformaparadefinirlas coordenadasdelosvectorestangentesenusandolacarta( ) ,definiendoel elemento de

( ()

()

) como la representacin del vector tangente () en la carta ( ). Definicin1.20.Dadaunavariedad ,elconjuntodetodoslosvectorestangentesa :

es llamado el fibrado tangente de . Definicin 1.21. Un campo vectorialen una variedades una funcin suave

donde

. 26 Dadosuncampovectorialen yunafuncinreal(suave)() , denotemos pora la funcin real

definida por ()()

() para todoen . La suma de dos campos vectoriales y la multiplicacin de un campo vectorial por una funcin ()

()

son definidas como sigue: ( ) ( )()

( ) ( )()

()

para todo . Lasuavidadespreservadaporestasoperaciones.Sea() elconjuntode campos vectoriales suaves en(){

} dotado con estas dos operaciones. Sean ( ) unacartadeunavariedadeny {

()

()} unabasede

. El campo vectorial

() enes llamado el -simo campo vectorial coordenado de ( ). Estos campos vectorialescoordenados son suaves,y todo campo vectorialadmite la descomposicin (

)

()

en . 27 1.4. MTRICA Y DISTANCIA RIEMANNIANA Definicin1.22.Unamtricariemannianaenunavariedaddiferenciable esuna correspondenciaqueasociaacadapunto unproductointernoenelespacio tangente

. Seauna mtrica riemanniana en

indicaremos con (

) el producto interno de los vectores

. Cuando no haya riesgo de confusin usaremos la notacin

o simplemente

. Definicin1.23.Unavariedadcuyosespaciostangentessondotadosconunproducto interno variando suavemente es llamada una variedad riemanniana. Estrictamentehablando,unavariedadriemannianaes,puesunadupla ( ), dondees una variedad yes una mtrica riemanniana en . Sea ( ) una carta de unavariedad riemanniana ( ). Lascomponentes de en la carta son dadas por

(

()

()) donde

() denotala -simocampovectorialcoordenado.Enconsecuencia,paralos campos vectoriales

()

y

()

tenemos ( )

()

()

()

()

28 Definicin 1.24. La longitud de una curva[ ]en una variedad riemanniana ( ) es definida por () ( () ())

Definicin 1.25. La distancia riemanniana en una variedad riemanniana ( ) es ( )()() donde ( ){

[ ]} Asumiendo (como de costumbre) quees de Hausdorff, se puede demostrar la siguiente proposicin: Proposicin 1.2. La distancia riemanniana define una mtrica; i.e., 1.( ) (semidefinida positiva); 2.( ) (separacin); 3.( )( ) (simetra); 4.( ) ( )( ) (desigualdad triangular). Prueba.Porelcorolario1.1,solorestaprobarqueladistanciariemannianadefineuna pseudomtrica, i.e., i)( ) ii)( ) iii) ( )( ) iv)( )( ) ( ) 29 En efecto, sean . i)Puesto que para todo [ ), se sigue que ( () ()) para toda curvade [ ] en . Entonces, su longitud es () ( () ())

para toda ( ). Puesto quees una cota inferior de (), tenemos

()() Por tanto, ( ) ii)Para cualquier punto , la funcin [ ]definida por () para todo [ ], es una curva suave uniendo aconsigo misma. Puesto que, su longitud es () ( () ())

para toda ( ), se sigue que

()() Por tanto, ( ) 30 iii) Para cualquier curva ( ), la funcin [ ]definida por () () para todo [ ], es una curva suave uniendo dea . Entonces, ( ) y su longitud es () (() ())

() Haciendo el cambio de variable:, se tiene . Reemplazando en (), tenemos () (() ()) ()

(() ())

() Entonces

()()()() Por tanto, ( )( ) iv)Sean ( ) y ( ). Puesto que ( )()() y ( )()() se sigue que

( )(

)( )

() y

( )(

)( )

() 31 Consideremos a las curvas

y

suaves a trozos, i.e., existen sucesiones finitas de curvas suaves (

) y (

) respectivamente, de tal modo que (

)(

)

(

)(

)

Definamos

( ) mediante

(

) como una curva suave a trozos, entonces su longitud es (

)(

)

(

)

(

)(

) Entonces

()()(

)(

) (

) Por definicin de distancia riemanniana ( )(

)(

) De () y (), se tiene ( )( )

( )

En particular, tomando

( )( ) ( )

Por tanto, ( )( )( ) Por lo tanto, la distancia riemanniana define una mtrica. 32 Captulo II: Desarrollo del trabajo de investigacin 2.1. CONEXION AFN El estudio de las conexiones afinesfacilitala nocin de otros objetos geomtricos tales comotraslacionesparalelas,geodsicasyexponenciales.Estasherramientasson fundamentales dentro de la geometra riemanniana. Recordemos que () denota el conjunto de campos vectoriales suaves en . Definicin2.1.Una conexin afn(pronunciada del o nabla)en una variedades una funcin ()() () la cual es denotada por ( )

y satisface las siguientes propiedades: i)

() linealidad en :

ii)linealidad en :

()

iii) Regla del producto (ley de Leibniz):

()()

en el cual()(), y. Paradefinirlasimetradeunaconexinafndeunamaneralibrede coordenadas, requerimos el concepto de uncorchete de Lie de dos campos vectoriales. Seanycamposvectorialesencuyosdominiosserenenenunconjuntoabierto .Recordemosque () denotaelconjuntodelasfuncionesrealesdefinidasen , i.e., (){

} 33 Definicin 2.2. Denotemos por [ ] la funcin [ ] () () definida por [ ] () () Es fcil mostrar que [ ] satisface las siguientes propiedades: i)lineal: [ ]()[ ][ ] ii)Regla del producto (ley de Leibniz): [ ]()([ ]) ([ ]) Por tanto, [ ] defineuncampovectorialtangente,llamadoelcorchetedeLie dey . Definicin2.3.Unaconexinafn enunavariedad sedicequeessimtrica cuando

[ ] para todo(). Lema2.1.Seaunavariedadriemannianaconmtricariemanniana .Seauna transformacin lineal definida en () y con valores en (). Supongamos que ( )()() ()() para todo () y(). Entonces existe un nico campo vectorial suaveencon la propiedad de que () para todo (). 34 Prueba. Sean ( ) una carta de una variedadeny {

()

()} una base de

. Las componentes deen la carta son dadas por

(

()

()) Afirmacin 2.1. La matriz (

) de funciones suaves en , es definida positiva. En efecto, sea

{}. Puesto que (

) es simtrica, se sigue que

(

)

()

()

Por tanto,

(

)

()

()

Afirmacin 2.2. La matriz (

) es inversible, en cada punto de . En efecto. Supongamos que (

) no es inversible, entonces

{}(

) Por tanto,

(

) lo cual es una contradiccin con la afirmacin 2.1. Sea (

) la matriz inversa de (

) en cada punto dey

la matriz identidad. Entonces

(

)(

)(

)(

)(

) para cada. 35 Existencia Hagamos

donde

es el delta de Kronecker, definido por

{

Definamos () mediante (

())

()

Sea (), dado por (

)

()

Luego (

())

()

(

)

()

(

())(

)

()

()

(

())(

)

(

())(

)

36 Desarrollando la sumatoria de ndice [(

())(

)

(

())(

)

(

())(

)

]

Desarrollando la suma de ndice (

())(

) (

())(

)(

())(

) (

())(

)

((

)

())

((

)

()

) Por tanto, () Unicidad Supongamos que existen

() tales que

() ()

paratodo (). Entonces

En particular, tomado

Se deduce de la definicin de mtrica riemanniana que

Por tanto,

37 2.2. CONEXIN RIEMANNIANA En una variedad (de Hausdorff) arbitraria, existen infinitas conexiones afines, y a priori, unanoesmejorquelasotras.Enunavariedadriemannianaarbitraria,existeuna conexin afn sobresaliente, llamada la conexin riemanniana o la conexin Levi-Civita. Estaconexinsatisfacedospropiedades(simetra,einvarianciadelamtrica riemanniana)quetienenunaimportanciafundamental,sobretodoenrelacinconla construccin de objetos geomtricos posteriores. Elsiguienteresultadoserefiereavecescomoelteoremafundamentaldela geometra riemanniana. Denotemos por la mtrica riemanniana. Teorema 2.1. (Levi-Civita) En una variedad riemannianaexiste una nica conexin afnque satisface (i)

[ ] (ii)

paratodocampovectorial ().Estaconexinafn ,llamadalaconexin Levi-Civita o conexin riemanniana de , es caracterizada por la frmula de Koszul

[ ] [ ] [ ] Recordemosqueparacamposvectoriales () esunafuncin eny es la funcin dada por la aplicacin del campo vectorial. Acontinuacin,presentamoselcontrasteentrelasdemostracionesplanteadas para este teorema. 38 Prueba N 1 Supongamos inicialmente la existencia del tal . Entonces

()

()

() Adicionando () y (), tenemos

(

)

Sustrayendo (), se tiene

Usando la simetra de , tenemos [ ] [ ] [ ]

Por lo tanto,

( [ ] [ ] [ ]) () Laexpresin () muestraqueesnicamentedeterminadaporlamtrica . Entonces,siestaexiste,sernica.Paraprobarlaexistencia,definamospor ().Es fcil verificar queest bien definida y que satisface las condiciones. 39 Prueba N 2 Sean() (fijos, pero arbitrarios). Definamos la transformacin ()mediante ()

( [ ] [ ] [ ]) Es fcil mostrar quees () lineal, (

)

(

(

) [

] [

]

[ ]) Reordenando adecuadamente (

)

(

[

] [

]

[ ])

(

[

] [

]

[ ]) Por tanto, (

)(

) (

) Asimismo,es () lineal, ()

( [ ] [ ] [ ]) donde: ( )() () ( )() () [ ][ ]() [ ][ ]() 40 Reemplazando y operando adecuadamente ()

( [ ] [ ] [ ]) Entonces () (

( [ ] [ ] [ ])) Por tanto, ()() Porellema2.1,existeunnicocampovectorial () talque () para todo (). Redefiniendo el dominio de la transformacin ()()()Entonces ()

( [ ] [ ] [ ]) Consideremos el operador ()() () ( )

sujeto a ()

para todo (). 41 Afirmacin 2.3. El operadores una conexin afn. En efecto, sean (). i)

()

( [ ] [ ] [ ]) donde: () () () () [ ][ ]() [ ][ ]() Reemplazando, eliminando trminos en comn y ordenando adecuadamente

( [ ] [ ] [ ])

()

Entonces

En particular, tomando

Se deduce de la definicin de mtrica riemanniana que

Por tanto,

42 ii)

() ()

( [ ] [ ] [ ]) donde: ( )() () ( )() () [ ][ ]() [ ][ ]() Reemplazando, eliminando trminos en comn y ordenando adecuadamente

()

( [ ] [ ] [ ]) ()

() () ()

()

()

()

() Entonces

() (

()) En particular, tomando

()(

()) Se deduce de la definicin de una mtrica riemanniana que

()(

()) Por tanto,

()

() Por lo tanto,es una conexin afn. 43 Afirmacin 2.4. El operadores simtrico y compatible con la mtrica riemanniana. En efecto, sean (). (i)

()()

( [ ] [ ] [ ])

( [ ] [ ] [ ]) Eliminando trminos en comn y ordenando adecuadamente (

) [ ] En particular, tomando (

)[ ] (

) [ ] Se deduce de la definicin de una mtrica riemanniana que (

) [ ] Por tanto,

[ ] (ii)

()()

( [ ] [ ] [ ])

( [ ] [ ] [ ]) Eliminando trminos en comn y ordenando adecuadamente

Por lo tanto,es simtrico y compatible con la mtrica riemanniana. 44 IV. Resultados Losresultadosqueseobtuvieroneneltrabajodeinvestigacinsonlos siguientes: EnunespaciotopolgicodeHausdorff,todapseudomtricacalificacomo mtrica. Unvectortangenteenunpuntodeunavariedadpuedeserdefinidocomouna clase de equivalencia de todas las curvas que realizan la misma derivacin. El espacio tangente a una variedad admite una estructura de espacio vectorial. La distancia riemanniana define una mtrica. Enunavariedadriemanniana,existeunaconexinafnsobresaliente, denominada la conexin riemanniana, que satisface las condiciones de simetra y compatibilidad con la mtrica riemanniana. 45 V.Discusin y Conclusin Al finalizar el trabajo de investigacin, se llegaron a las siguientes conclusiones: Unavariedad -dimensionalpuedeserinformalmentedefinidacomoun conjuntocubiertoconunacoleccinadecuadadeparchescoordenados,o cartas coordenadas, que identifican ciertos subconjuntos decon subconjuntos abiertos de

. Tal coleccin de cartas coordenadas puede ser considerada como la estructura bsica necesaria para hacer el clculo diferencial en . Lapropiedadqueelespaciotangente

esunespaciovectorialesmuy importante.Delamismamaneraqueladerivadadeunafuncindevalorreal proporcionaunaaproximacinlineallocaldelafuncin,elespaciotangente

proporciona unaaproximacin espacio-vectorial local de la variedad. Las mtricas y mtricas riemannianas no se deben confundir. Una mtrica es una abstraccindelanocindedistancia,mientrasqueunamtricariemannianaes un producto interior en espacios tangentes. Sin embargo, existe un enlace ya que cualquier mtrica riemanniana induce una distancia, la distancia riemanniana. La definicin de una conexin afn en una variedad es uno de los conceptos ms fundamentalesenlageometradiferencial.Unaconexinafnesunaestructura adicionalalaestructuradiferenciable.Cualquiervariedadadmiteunainfinidad deconexionesafinesdiferentes.Sinembargo,ciertasconexionesafinespueden tenerpropiedadesparticularesquelassingularizancomolamsapropiadapara el anlisis geomtrico. 46 VI. Referencias Bibliogrficas [1] M.P.doCarmo,RiemannianGeometry.Mathematics,Theory&Applications.Birkhuser Boston Inc., Boston, 1992. [2] Sze-TsenHu,DifferentiableManifolds.Holt,RinehartandWinstonInc.,New York, 1969. [3] T. Levi-Civita, Nozione di parallelismo in una variet qualunque e conseguente specificazionegeometricadelacurvaturariemanniana.Rend.Circ.Mat.di Palermo, t. XLII (1917), pp. 173-205. [4] E.L.Lima,Variedadesdiferenciveis.RiodeJaneiro,IMPA,segundaedio, 2011. [5] BarretONeill,Semi-RiemannianGeometrywithApplicationstoRelativity. Volume 103 of Pure and Applied Mathematics. Academic Press Inc., New York, 1983.