elasticité plane_rdm.pdf

7/28/2019 Elasticit Plane_RDM.pdf

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de Yves DEBARD (IUT Le Mans)

Module

Elasticit Plane


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Sommaire1. Rappel d'lasticit...................................................................................................................... 5

1.1 Contraintes ................................................................................................................. 5

1.1.1 Etat des contraintes en un point .................................................................... 5

1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n

.................................... 5

1.1.3 Contrainte normale et tangentielle ................................................................. 61.1.4 Contraintes principales et directions principales ............................................ 6

1.1.5 Etats de contraintes particuliers .................................................................... 8

1.1.6 Cercles de Mohr........................................................................................... 10

1.1.6.1 Cercles de Mohr des contraintes .................................................... 10

1.1.6.2 Cercles de Mohr en contraintes planes ........................................... 11

1.1.6.3 Construction de Mohr ................................................................... 13

1.1.7 Etat des contraintes autour d'un point sur la surface d'un solide ..................... 13

1.2 Dplacements - Dformations ...................................................................................... 15

1.2.1 Champ des dplacements .............................................................................. 15

1.2.2 Etat des dformations au voisinage d'un point ............................................... 15

1.2.3 Allongement unitaire en A et pour une direction

r

q ........................................ 151.2.4 Glissement. Distorsion ................................................................................. 16

1.2.5 Dformations principales et directions principales ......................................... 17

1.2.6 Etat de dformations planes .......................................................................... 17

1.3 Loi de comportement ................................................................................................... 18

1.4 Critres de limite lastique........................................................................................... 19

1.4.1 Critre de Tresca ou du cisaillement maximal ............................................... 19

1.4.2 Critre du plus grand travail de distorsion. Critre de Von Mises .................. 23

1.4.3 Critres exprims dans le cas de contraintes planes ....................................... 23

1.4.3.1 Critre de Tresca .......................................................................... 23

1.4.3.2 Critre de Von Mises .................................................................... 24

1.5 Types particuliers de problme dlasticit................................................................... 251.5.1 Contraintes planes du plan (x1,x2) .............................................................. 25

1.5.2 Dformations planes .................................................................................... 25

1.5.3 Problmes axisymtriques mridiens ............................................................. 26

2. Fondement mcanique de la mthode des lments finis .............................................................. 27

2.1 Notations .................................................................................................................... 27

2.2 Problme d'lasticit. Equations d'quilibre .................................................................. 28

2.3 Loi de comportement ................................................................................................... 29

2.4 Energie de dformation lastique ................................................................................. 29

2.5 Thorme d'unicit ...................................................................................................... 30

2.6 Champ de dplacement virtuel admissible .................................................................... 30

2.6.1 Dfinition .................................................................................................... 30

2.6.2 Consquence ................................................................................................ 30

2.7 Energie potentielle d'un systme lastique .................................................................... 30

2.7.1 Systme un degr de libert ....................................................................... 31

2.7.2 Systme plusieurs degrs de libert ............................................................ 32

2.7.3 Systme continu ........................................................................................... 32

2.8 Approximation par lments finis ................................................................................ 33

2.8.1 Dfinitions ................................................................................................... 34

2.9 Mthode des lments finis en lasticit, conduite partir des dplacements ................. 34

2.10 Application l'lment triangulaire trois noeuds ...................................................... 36

2.10.1 Construction de la loi d'interpolation........................................................... 36

2.10.2 Tenseur des dformations approches ......................................................... 39

2.10.3 Loi de comportement .................................................................................. 39


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2.10.4 Matrice de rigidit de l'lment ................................................................... 40

2.10.5 Vecteur d'effort .......................................................................................... 40

2.11 Application une poutre en flexion simple ................................................................. 40

2.11.1 Dcomposition en lments finis ................................................................. 41

2.11.2 Calcul de la matrice rigidit de chaque lment ........................................... 41

2.11.3 Assemblage de la matrice ........................................................................... 44

2.11.4 Introduction des conditions aux limites ....................................................... 472.11.5 Rsolution du systme linaire .................................................................... 47

2.11.6 Calcul des dformations et des contraintes .................................................. 48

2.11.6.1 Vecteur dplacement en un point quelconque ............................... 48

2.11.6.2 Tenseur des dformation en un point quelconque ......................... 48

2.11.6.3 Tenseur des contraintes en un point quelconque ........................... 48

2.11.7 Organigramme du processus de rsolution .................................................. 49

2.12 Types d'lments plus performants............................................................................. 49

3. Type d'lments finis et indicateurs de choix .............................................................................. 51

3.1 Problmes pratiques poss l'utilisateur de la mthode des lments finis ..................... 51

3.1.1 Choix des lments....................................................................................... 51

3.1.2 Influence du maillage. Etude sur un cas test .................................................. 524. Description des possibilits du logiciel ....................................................................................... 55

4.1 Modlisation ............................................................................................................... 58

4.1.1 Modlisation de la gomtrie ........................................................................ 58

4.1.2 Modlisation du maillage ............................................................................ 63

4.1.2.1 Dfinition des paramtres de maillage ........................................... 63

4.1.2.2 Choix de llment ........................................................................ 65

4.1.2.3 Vrification de la qualit du maillage............................................ 70

4.1.2.4 Sauvegarde du maillage ............................................................... 73

4.1.2.5 Maillage par blocs ........................................................................ 75

4.2 Sauvegardes des tudes. .............................................................................................. 78

4.2.1 Modlisation mcanique ............................................................................... 79

4.2.1.1 Dfinition des paisseurs ............................................................... 79

4.2.1.2 Dfinition des matriaux ............................................................... 81

4.2.1.3 Dfinition des liaisons ................................................................... 83

4.2.1.4 Dfinition des cas de charges ........................................................ 84

4.2.1.5 Dfinition du modle dtude dynamique ....................................... 87

4.3 Calculs ....................................................................................................................... 89

4.3.1 Calcul statique ............................................................................................. 89

4.3.2 Calcul dynamique ........................................................................................ 90

4.4 Exploitation des rsultats............................................................................................. 92

4.4.1 Rsultats du calcul thorique ........................................................................ 92

4.4.2 Rsultats donns par le logiciel ..................................................................... 93

5. Exemples de modlisation .......................................................................................................... 1135.1 Couronne de pont 17x56 ............................................................................................. 113

5.1.1 Problme pos.............................................................................................. 113

5.1.2 Donnes techniques ...................................................................................... 113

5.1.3 Traitement dun modle OSSATURE ........................................................... 113

5.1.3.1 Modlisation ................................................................................. 113

5.1.4 Traitement dun modle en lasticit plane (contraintes planes) avec le

module M. E. F. ................................................................................................... 114

5.1.4.1 Modlisation ................................................................................. 114

5.1.4.2 Rsultats de ltude en lasticit plane ........................................... 115

5.1.5 Conclusion................................................................................................... 118

5.2 Capteur d'effort "PRECIA-precia" ............................................................................... 1205.2.1 Prsentation ................................................................................................. 120


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5.2.2 Ralisation ................................................................................................... 121

5.2.2.1 Forme du corps d'preuve ............................................................. 121

5.2.2.2 Jauges de contraintes .................................................................... 121

5.2.3 Corps d'preuve tudi ................................................................................. 122

5.2.3.1 Epaisseur...................................................................................... 122

5.2.3.2 Matriau....................................................................................... 122

5.2.4 Maillage ...................................................................................................... 1225.2.5 Montage du corps d'preuve ......................................................................... 123

5.2.6 Liaisons ....................................................................................................... 123

5.2.7 Chargement ................................................................................................. 123

5.2.8 Rsultats ...................................................................................................... 123

5.3 Pice support d'ATR 42 .............................................................................................. 126

5.3.1 L'avion ATR 42 .......................................................................................... 126

5.3.2 Conditionnement d'air .................................................................................. 126

5.3.3 Donnes ....................................................................................................... 128

5.3.3.1 Caractristiques techniques .......................................................... 128

5.3.3.2 Appuis : ....................................................................................... 129

5.3.3.3 Charges extrieures....................................................................... 1295.3.4 Travail demand ........................................................................................ 129

5.3.4.1 En thorie des poutres ................................................................... 129

5.3.4.2 En lasticit plane ......................................................................... 129

5.3.5 Rsultats ...................................................................................................... 130

5.3.5.1 Appuis de type pivots en C et D ( hyperstatique) ........................... 130

5.3.5.1.1 Maillage ........................................................................ 130

5.3.5.1.2 Appuis et dplacements en A et B .................................. 131

5.3.5.1.3 Contraintes quivalente de Von Mises ............................ 132

5.3.5.2 Avec appui ponctuel en D (isostatique).......................................... 133

5.3.5.2.1 Dforme ...................................................................... 133

5.3.5.2.2 Contraintes quivalente de Von Mises ............................ 133

5.4 Support de galet freineur ............................................................................................. 134

5.4.1 Objectif de ce problme ................................................................................ 134

5.4.2 Prsentation du systme mcanique .............................................................. 134

5.4.2.1 Description du galet freineur ......................................................... 134

5.4.3 Etude statique .............................................................................................. 137

5.4.3.1 Etude statique du galet .................................................................. 137

5.4.3.2 Etude statique du support (15) ...................................................... 138

5.4.4 Etude en lasticit plane ............................................................................... 142

5.4.4.1 Description des liaisons................................................................. 143

5.4.4.2 Description des charges ................................................................ 143

5.4.4.3 Conditions de l'tude ..................................................................... 144

5.4.5 Modle dfinitif............................................................................................ 1456. Annexe...................................................................................................................................... 151

6.1 Limites actuelles du logiciel M.E.F. ............................................................................. 152

6.1.1 Limites de calcul .......................................................................................... 152

6.1.2 Sauvegarde des tudes .................................................................................. 152

6.2 Modlisation dune articulation ................................................................................... 153

6.3 Courbes CETIM ......................................................................................................... 155

7. Bibliographie............................................................................................................................. 157


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1. Rappel d'lasticit

1.1 Contraintes

1.1.1 Etat des contraintes en un point

On dmontre dans le cours d'lasticit que, compte tenu des hypothses physiques, l'tat de

contrainte en un point A (figure 1. 1) est caractris par le tenseur des contraintes. C'est un

tenseur du second ordre symtrique. Dans une base orthonorme il est reprsent par la matrice

des contraintes qui s'crit :

ss s s

s ss

NMMM

(A) =

Sym

11 12 13

23

33

22

s11s12

s13A

s31

s21

s23

s32

s22

s33

X1

X2

X3

Figure 1. 1 : Contraintes autour du point A

Dans cette notation du tenseur des contraintes, le premier indice indique la direction de la normale

la facette, le deuxime : la direction de la contrainte

1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n

Soit un point A d'un solide, et une direction repre par un vecteur n

(normale extrieure lamatire) .

Soit une facette infiniment petite d'aire dS de normale n

. Le vecteur contrainte au point A pour

la direction n

s'crit :

T (A, n) = (A) n

s


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Soit :

T

T

T

=

n

n

n

=

n n n

n n n

n n n

1

2

3

11 12 13

12 23

13 23 33

1

2

3

11 1 + 12 2 + 13 3

12 1 + 22 2 + 23 3

13 1 + 23 2 + 33 3NMMMQPPPNMMM Q

PPPNMMMQPPPNMMM

s s ss s ss s s

s s ss s ss s s

22

1.1.3 Contrainte normale et tangentielle

Le vecteur contrainte en un point A et pour la directionr

n (figure 1. 2) peut tre projet :

- sur la normale, on obtient la contrainte normale :

s s= T (A ,n) . n = n (A) nt

r r r r

s = n n nn + n + n

n + n + n

n + n + n

n n + n + n )

n n + n + n )

n n + n + n )

1 2 3

11 1 12 2 13 3

12 1 22 2 23 3

13 1 23 2 33 3

11 1 12 2 13 3

12 1 22 2 23 3

13 1 23 2 33 3

s s ss s ss s s

s s ss s ss s sNMMM QPPP

=NMMM

1

2

3

(

(

(

- sur le plan tangent, on obtient la contrainte tangentielle t telle que:

t s = T(A ,n) -

s

t

A

T(A,n)

n

Figure 1. 2 : Contrainte normale s et tangentielle t en un point A

1.1.4 Contraintes principales et directions principales

Mathmatiquement on dmontre : le tenseur des contraintes tant rel symtrique, il est

diagonalisable, c'est dire qu'il existe un rel si et une direction Xi

telle que:

(A) X = Xi i is

- les trois valeurs propres si sont relles (distinctes ou confondues) ;

- si les trois valeurs propres sont distinctes, les vecteurs propres correspondants Xi

sont orthogonaux.


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s1

A s2

s3

X1

X2

X3

Figure 1. 3: Contraintes principales autour du point A

Traduction mcanique : si les trois contraintes principaless1, s2 et s3 sont distinctes, il existe

trois directions principales orthogonales correspondantes X

1, X

2et X

3.

Ainsi pour une telle direction Xi le vecteur contrainte :

T ( A , X ) = Xi i i

s est colinaire la direction X

i

En d'autres termes, la contrainte tangentielle pour cette direction est nulle. Dans cette direction on

a donc affaire, soit une sollicitation de traction (si> 0) , soit une sollicitation decompression (si< 0).

Dans le repre principal la matrice des contraintes s'crit alors :

s

s

s

s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

1

3 X1 X2 X3)

2

(r r r

Dtermination des contraintes principales et des directions principales (figure 1. 3)

- Les contraintes principales sont dtermines en crivant que le dterminant suivant

est nul :

-

-

-

= 0

11 12 13

12 23

13 23 33

s s s ss s s ss s s s

22

On aboutit l'quation caractristique : -s3 + I1s - I2s + I3 = 0

Dans cette quation I1, I2 et I3 sont les trois invariants du tenseur des contraintes (

quantits indpendantes de la base dans laquelle est exprim le tenseur). Dans une base

quelconque ils ont pour expression :

I1 = s11 + s22 + s33 = trace de s(A)


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I2 = (s11s22 - s12) + ( s22s33 - s23) + ( s11s33 - s13)

I3 = dt [s (A)]

et, dans la base principale :

I1 = s1 + s2 + s3 = trace de s(A)I2 = s1s2 + s2s3 + s3s1

I3 = dt [s (A)]

La direction principale X

correspondant la contrainte principale s est dtermine en crivant :

s s s ss s s ss s s s

11 12 13

12 23

13 23 33

1

2

3

-

-

-

X

X

X

=

0

0

022

NMMM Q

PPPNMMMQPPPN

Le dterminant de la matrice s (A) - sdij tant nul, on ne dispose plus que de deux quationsindpendantes (par exemple les deux premires). On ne peut donc dterminer qu'une direction et

non un vecteur (l'une des composantes est arbitraire), c'est pourquoi l'on parle de direction

principale.

1.1.5 Etats de contraintes particuliers

a) Etat de contrainte uniaxial

Dans le repre principal, le tenseur des contraintes se rduit :

ss

NMMM Q

PPP

(A) =

1

(X1,X2,X3)

0 0

0 0 0

0 0 0 r r r

Traction simple si s1 > 0, compression simple si s1 < 0

b) Etat de cisaillement simple

Soit un repre orthonorm ( A ;r r r

X1, X2, X3 ), l'tat de contraintes en A est un tat de cisaillement

simple par rapport aux directionsr

x1 etr

x2 si le tenseur des contraintes se rduit :

s

t

t

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

3

0 0

0 0

0 0 01 2( , , )

r r r

x x x

Les contraintes principales sont gales :

s1 = t , s2 = -t , s3 = 0


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Dans le repre principal, le tenseur des contraintes admet la forme suivante :

s

t

t -

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

(A) =

(X1, X2, X3)

0 0

0 0

0 0 0r r r

c) Etat de contraintes planes

On a affaire un tat plan de contraintes paralllement au plan (r

x1,r

x 2) si :

s13 = s23 = s33 = 0s11 = s11 (x1,x2) , s22 = s22 (x1,x2) et s12 = s12 (x1,x2)

C'est le cas des plaques planes charges dans leur plan.

Le tenseur des contraintes s'crit alors dans une base quelconque :

s

s s

s s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

11 12

12 22

1 2 3

0

0

0 0 0( )

r r r

x x x

L'axer

x3 est donc direction principale et la contrainte principale correspondante est nulle.

Dans la base principale :

s

s

s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

X1, X2, X3

1

2

0 0

0 0

0 0 0( )

r r r

d) Etat de contrainte dans une section droite de poutre

En tout point A d'une section droite, l'tat de contrainte peut se reprsenter dans la base localeclassique de la thorie des poutres (

r

x 1,r

x 2,r

x 3) :

-r

x 1 tangent la ligne moyenne ;

-r

x 2 etr

x 3 dans le plan de section droite et axes principaux de la section.

s

s s s

s

s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

( , , )

11 12 13

12

131 2 3

0 0

0 0 r r rx x x


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Traction (compression) simple :

s

s

L

N

M

MM

O

Q

P

PP(A) =

, , )

0 0

0 0 0

0 0 01 2 3(

r r r

x x x

Flexion pure :

s

s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

0 0

0 0 0

0 0 01 2 3

( )r r r

x x x

Flexion simple :

s

s s s

s

s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

( , ,

12 13

12

131 2 3

0 0

0 0 r r rx x x )

Torsion avec sections circulaires :

s

s s

s

s

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

0

0 0

0 0

12 13

12

131 2 3( )

r r r

x x x

1.1.6 Cercles de Mohr

1.1.6.1 Cercles de Mohr des contraintes

Supposons connues les trois contraintes principales s1, s2 et s3 au point M. On peut montrer

que, dans le plan (s,t) (appel plan de Mohr), l'extrmit des vecteurs contraintes T

(M,r

n )admissibles,

r

n tournant autour du point M , est la surface ombre de la figure 1. 4.


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t

t

t

sss3 1ss2

Max

T(A,n)

Figure 1. 4a : Tricercle de Mohr

Cas particulier important : Dans le cas o le vecteurr

n dcrit un plan principal, par exemple

( X

1, X

2 ), l'extrmit du vecteur T

(M,r

n ) dcrit, dans le plan ( s, t ) , un cercle centr surl'axe Os et ayant pour diamtre le segment s1, s2 . C'est notamment le cas en contraintesplanes.

1.1.6.2 Cercles de Mohr en contraintes planes

En contraintes plane s3 = 0 ainsi la figure ci-dessus devient :

t

tt

sss3 1ss2

Max

T(A,n)

= 0

Figure 1. 4b : Tricercle de Mohr en contraintes planes


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Plaons nous dans le plan principal (A ; X

1, X

2)

Considrons une facette dont la normaler

n fait un angle de q par rapport l'axe principal X

1.

Soit un vecteur unitairer

t tangent la facette, obtenu par rotation de -p/2 der

n .

r

r v

r r r

n = cos X + sin X

t = sin X - cos X

1 2

1 2

q q

q q

X2

X1

n

q

t

facette

B C As

s1

2q q2s

t

MT(M,n)

Figure 1. 5 : Construction de Mohr

Le vecteur contrainte admet pour expression :

T ( A, n ) =0

0

NM QPNMs

s

q

q

1

2

cos

sin= s q s q1 21 2cos X + sin X

la contrainte normale est : s = T ( A, n ) . n

r r

= s1 cosq + s2 sinq

et la contrainte tangentielle dfinie ici par :

t = T ( A, n ) . t

rr

= s1 cosq sinq - s2 sinq cosq

en passant en arc double, il vient :

=2

+ cos (2 )

= sin (2 )

1 + 2 1 - 2

1 - 2

ss s s s

q

ts s

q

2

2

S||

T||


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Lorsque la facette oriente par la normale extrieurer

n tourne, l'angle q varie. Il lui correspondle point figuratif M (figure 1. 5)

Dans le plan de Mohr, le lieu de M lorsqueq varie est un cercle de centre :

C

= 2

1 + 2

ss s

t = 0et de rayon

s s1 2-2

1.1.6.3 Construction de Mohr

Convenons de classer les contraintes principales dans l'ordre suivant :

s1 > s2

Dans le plan de Mohr (Figure 1. 5) l'axe horizontal est gradu en contrainte normale s et l'axevertical en contrainte tangentielle t.

Le point A q

s st

===

0

0

1 et le point B / 2q p

s st

===

2

0

Le point M est le point courant. Il correspond une facette qui a tourn deq par rapport l'axe

X

1. L'angle au centre ( CA ,CM

) est alors de 2q.

Remarque : Ne pas oublier que s3 = 0. Il y a donc trois cercles de Mohr.

1.1.7 Etat des contraintes autour d'un point sur la surface d'un

solide

Considrons un point A sur la surface d'un solide. Soit un repre (A;r

x 1,r

x 2,r

x 3) tel que :

-r

x 1 etr

x 2 soient situs dans le plan tangent ;

-r

x 3 est dirig suivant la normale

A

x

x

x

q

1

3n ,

t

2

Figure 1. 6 : Point A sur la surface d'un solide


14/159

RDM 5.xx Page 14

Supposons qu'en A il n'y a pas de chargement. C'est donc que le vecteur chargement extrieur est

nul : Q(A) = 0

r

Les conditions aux limites sur le chargement imposent : T (A,x ) = Q (A)3

r

alors : T (A,x = 03 )

r

r

(1)

Projetons la relation (1) sur la tangenter

t dfinie par q et sur la normale.

T ( A , x ) . t = 03

rr

(2)

T ( A , x ). x = 03 3

r r

(3)

Signification de la relation (2) :

r

r

T A x( , )3 22= NMMM Q

PPPNMMMQPPPNMMM

0

01

=

11 12 13

12 23

13 23 33

13

23

33

s s s

s s ss s s

s

ss

rr r

t = cos x + sin x1 2q q

alors T (A, x ) . t = cos + sin = 03 13 23

r

r s q s q et ceci quel que soit q , c'est donc que: s13= 0 et s23= 0

Ainsi le tenseur des contraintes s'crit en A: ss ss s

s

=

N

MMM

( )A

0

0

11 12

12

33

220

0

Ainsi, lorsqu'il n'y a pas de chargement tangentiel la surface au point A, la normale la surface

est une direction principale car: s s

(A) n = n33r r

Le plan (r

x 1,r

x 2) est alors plan principal.

Signification de la relation (3) :

T (A ,x ) . x = 0 = 03 3 33

r r s

En dfinitive, le tenseur des contraintes s'crit en A: ss ss s

=

NMMM

( )A

0

0 0

11 12

12 220

0

Conclusion : Lorsque en un point A de la surface d'un solide il n'y a pas de charge extrieure,

l'tat de contrainte est un tat de contrainte plane dans le plan tangent la surface.

Cette proprit est mise en oeuvre en extensomtrie.


15/159

RDM 5.xx Page 15

1.2 Dplacements - Dformations

1.2.1 Champ des dplacements

Sous l'effet des efforts, la structure se dforme. Un point M de coordonnes (x1, x2, x3)

appartenant la structure se dplace sous le chargement. Son dplacement est caractris par levecteur dplacement :

U

(M) = u1 (x1,x2,x3)r

x 1 + u2 (x1,x2,x3)r

x 2 + u3 (x1,x2,x3)r

x3

Comme on est en thorie des petites perturbations, les composantes u1, u2 et u3 sont "petites" .

1.2.2 Etat des dformations au voisinage d'un point

On se place ici dans le cas des petites dformations.On dmontre que l'tat de dformation au voisinage d'un point A est caractris par le tenseur

des dformations.

C'est un tenseur du second ordre symtrique qui se dduit du champ des dplacements par la

relation :

eij =1

2(

u

x

i

j

+

u

x

j

i

)

Dans une base orthonorme il s'crit en A :

e e e ee ee

NMMM

(A) =

Sym

11 12 13

23

33

22

1.2.3 Allongement unitaire en A et pour une directionr

q

Aprs dformation, la longueur ds1 du vecteur AA1

de direction

r

q 1 est devenue ds'1. On peut

alors dfinir l'allongement relatif en A et pour la directionr

q 1 (Figure 1. 7) :

C'est la quantit : e (A, q ) =ds' - ds

ds1

1 1

1

r

ds'1 et ds1 sont des longueurs infiniment petites.

On peut montrer que cette quantit s'exprime partir du tenseur des dformations par :

e ( A , q ) = q (A) q1t

1 1

r r re


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RDM 5.xx Page 16

Exemple: Calculons l'allongement unitaire dans la directionr

x1(1,0,0)

e (A, x ) = 1 0 01

11 12 13

12 23

13 23 33

r

e e ee e e

e e e

22

1

0

0N

MMM

Q

PPPN

= e11

On interprte ainsi les termes diagonaux du tenseur des dformations qui reprsentent les

allongements unitaires dans les trois directions orthonormes.

x

x

AA

A

1

2

1

2

Aprs dformation

ds

ds

1

2

q

q

1

2

x

x

1

2

AA'

A'2

1

q'1

q'2

ds'

ds'2

1

q

Figure 1. 7 : Dformation au voisinage d'un point A

1.2.4 Glissement. Distorsion

Aprs dformation, l'angle droit A1AA2 est devenu A'1A'A'2. Cette variation d'angle droit

s'appelle le glissement ou la distorsion. On peut montrer que le glissement g (A, q q )1, 2r r

se

calcule par :

g (A,q q ) = - 2 q q1 , 2t

1 2

r r r re

Exemple : Calculons la distorsion de l'angle droit (r

x 1,r

x 3)

g (A , x , x ) = - 2 1 0 0 - 21 3

11 12 13

12 23

13 23 33

13

r r

e e ee e ee e e

e22

0

0

1NMMM Q

PPPNMMMQPPP

=

On interprte ainsi les termes non diagonaux du tenseur des dformations qui reprsentent un

facteur prs les distorsions des trois angles droits d'un tridre.


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RDM 5.xx Page 17

1.2.5 Dformations principales et directions principales

De mme que pour le tenseur des contraintes, le tenseur des dformations tant rel symtrique, il

est diagonalisable, c'est dire qu'il existe un rel ei et une direction X i

telle que :

(A) X = Xi i ie e

Ainsi dans une telle direction X

i il n'y a pas de glissement mais seulement un allongement.

Dans le repre principal en A, la matrice des dformations s'crit alors :

ee

e

e

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

1

3 X1

X2

X3

)

2

(r r r

1.2.6 Etat de dformations planes

On a affaire un tat plan de dformations paralllement au plan (r

x 1,r

x 2) si le champ des

dplacements U

(M) de tout point M peut se mettre sous la forme :

U

(M) = u1

(x1

, x2

)r

x1

+ u2

(x1

, x2

)r

x2

+ C x3

r

x3

Les composantes u1 et u2 ne sont fonctions que des deux seules variables x1 et x2 , C est une

constante : la composante suivantr

x 3 est une fonction affine en x3

Cette hypothse est gnralement admise lorsque l'on tudie des pices cylindriques de gnratrice

parallle l'axer

x 3 , suffisamment longues pour que l'on puisse ngliger les effets aux extrmits,

et charges dans le plan (r

x 1,r

x 2).

C'est le cas des canalisations de transport de fluide par exemple.

Dans ces conditions, le tenseur des dformations s'crit :

eij =1

2(

u

x

i

j

+

u

x

j

i

)

Comme u1 et u2 ne dpendent pas de x3 , e13 = e23 = 0

et e33 = C

e11 =

u

x

1

1

, e22 =

u

x2

2

et e12 =1

2(

u

x

1

2

+

u

x

2

1

)

Dans la suite on supposera C = 0.


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Le tenseur des dformations s'crit alors dans une base quelconque :

ee e

e e

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) = 0

11 12

12

, ,

0

0 0 022

1 2 3( )r r r

x x x

L'axer

x 3 est donc direction principale et l'allongement unitaire correspondant est nul.

1.3 Loi de comportement

La linarit de la loi de comportement de l'lasticit se traduit par la linarit de la loi qui relie

tenseur des contraintes et tenseur des dformations.

Soit en notation indicielle :

= + 2 Gij kk ij ijs l e d e

Dans cette relation : dij est le tenseur de Kronecker

dij = 1 si i = j , dij = 0 si i j

Dans certains manuels on note G : m

l et G sont les coefficients de Lam, constants pour un matriau donn.

ekk= e11+ e22+ e33 est le premier invariant du tenseur des dformations

Inversement, on peut exprimer le tenseur des dformations partir de celui des contraintes :

=1 +

E-

Eij ij kk ije n s n s d

Dans cette relation :

E est le module de Young et n le coefficient de Poisson, constants pour un matriau

donn.

ekk= e11+ e22+ e33 est le premier invariant du tenseur des contraintes

Les relations entre les diffrents coefficients d'lasticit sont les suivantes :

ln

n n=

E

(1- 2 ) (1+ ), G

E=

+2 1( )n

G est le module de Coulomb.

Si n = 0,25 alors G = E / 2.5 , c'est le cas pour les matriaux ductiles.


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Pour l'acier "doux" ( S235 par exemple) : E 200 000 MPa et G 80 000 MPa

En dcomposant sur les axes on obtient :

es n

s s1111=

E-

E+ )22 33( , e

s ns s22

22=E

-E

)33 + 11(

es n

s s3333

22=E

-E

)+11

( , es

1212

2=

G, e

s13

13

2=

G, e s23 232= G

1.4 Critres de limite lastique

On supposera dans la suite que la limite lastique en traction simple est gale la limite lastique

en compression simple (matriaux ductiles). Soit se cette limite.

On connat bien le comportement d'un matriau dans le cas d'une sollicitation de traction simple.

Cette connaissance est lie l'essai de traction simple statique.

Soit un tat de contrainte complexe caractris en un point A par les trois contraintes principales

s1, s2 et s3.

Existe-t-il un moyen de savoir si, en ce point, la limite lastique est dpasse ?

On peut rpondre cette question par l'affirmative. On dfinit pour cela une contrainte de traction

simple sg prsentant le mme danger de dpassement de limite lastique que l'tat de contraintecomplexe ( s

1

, s2

,s3

).

sg est appele contrainte quivalente. Bien entendu, dans le cas gnral, sg est une contraintefictive que l'on ne rencontre pas dans la pice contrainte.

Il n'y a pas unicit du critre de limite lastique. Au cours de l'histoire de la mcanique des

milieux continus dformables, plusieurs critres ont t proposs. Certains sont plus ou moins

bien vrifis en fonction du type de matriau sollicit et du type de sollicitation.

A l'heure actuelle les logiciels d'lasticit prennent en compte surtout les critre de Tresca et de

Von Mises que nous allons expliciter.

1.4.1 Critre de Tresca ou du cisaillement maximal

Pour ce critre, l'tat limite est atteint lorsque la contrainte de cisaillement maximal admet la

valeur seuil te dtermine par l'essai de torsion.

A l'aide de la reprsentation de Mohr, on sait dterminer le cisaillement maximal, il suffit de

tracer le plus grand des trois cercles de Mohr.


20/159

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t

t

t

sss3 1ss2

Max

T(A,n)

Figure 1. 9 : Tricercle de Mohr et contrainte tangentielle maximale

a) Dans le cas particulier d'une sollicitation de traction simple :

s1 seul est diffrent de zro. Alors: tmax = s1/ 2

t

t

ss1

Max

O

Figure 1. 10: Traction uniaxiale

Le critre de Tresca impose : tmax = s1/2 te

Si s1 atteint sa limite se on obtient: te = se / 2

Ainsi le critre de Tresca impose cette dernire relation entre te et se

Rappel :

se est la limite lastique en traction simple.

te est la limite lastique en cisaillement simple.


21/159

RDM 5.xx Page 21

b) Dans le cas particulier d'une sollicitation en contraintes planes

Soit un tat de contraintes planes caractris par les deux contraintes principaless1 et s2(s3 = 0).On peut reprsenter cet tat de contraintes dans le plan des contraintes (s1, s2). En effet touttat de contraintes (s1, s2) on fait correspondre un point caractristique M (s1, s2). Le point Mpeut, priori, dcrire tout le plan des contraintes.

s1O

s2

M

Figure 1. 11 : Etat de contraintes planes

Distinguons plusieurs cas :

1) s1 et s2 admettent le mme signeDans ces conditions M appartient au premier ou au troisime quadrant.

a) Si s1 > s2La plus grande scission est :

tmax = 0,5 s1- s3 or s3 = 0 donc: tmax = 0,5 s1

et le critre de Tresca impose : 0,5 s1 te

Soit s1 2 te = se . Ainsi dans ces conditions: s1se

Si s1 > 0 alors s1 < seSi s1 < 0 alors s1 > - se

b ) Si s1 < s2La plus grande scission est : tmax = 0,5 s2Ainsi dans ces conditions : s2 seSi s2> 0 alors s2 seSi s2< 0 alors s2 - se


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RDM 5.xx Page 22

t

ss1s s23= 0

Figure 1. 12: s1 et s2 de mme signe

2) s1 et s2 admettent des signes oppossDans ces conditions M appartient au deuxime ou au quatrime quadrant.

tmax = 0,5 s1 - s2Si s1 > s2 alors tmax = 0,5 (s1 - s2) soit s1- s2 seSi s1 < s2 alors tmax = 0,5 (s2 - s1) soit s2- s1 se

t

ss1ss2 3 = 0

Figure 1. 13 : s1 et s2 de signes diffrents

Conclusion :

Pour appliquer le critre de Tresca, il faut bien connatre les signes de s1 et s2 :

- si s1 et s2 ont un mme signe s1 < se et s2< se ;- si s1 et s2 ont des signes diffrents: s1 - s2< se

La zone admissible pour le point M est l'intrieur du polygone de la figure 1. 14.


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Polygone de Tresca

s

s

s

s

s

s s

s s1 e

e

e

e

e

2 1se

1

s2

s2

+

Figure 1. 14 : Polygone de Tresca

1.4.2 Critre du plus grand travail de distorsion. Critre de

Von Mises

Pour ce critre, l'tat limite est atteint lorsque l'nergie de distorsion par unit de volume est gale l'nergie de distorsion unitaire limite du matriau.

L'nergie de distorsion par unit de volume s'exprime en fonction des contraintes principales par:

dW(f)

dv=

1 +

E[ ( - ) + ( - ) + ( - ) ]1 2

21 3

22 3

2n s s s s s s

Dans le cas de la traction simple, seules1 0 :

dW(f)

dv=

1 +

E2 1

2n s

Ce critre devant tre valable quel que soit l'tat de sollicitation, on doit donc avoir :[ ( - ) + ( - ) + ( - ) ] 2 1 2

21 3

22 3

2es s s s s s s

La contrainte de traction simple quivalente sg l'tat de contrainte complexe est alors enfonction des contraintes principales telle que :

s s s s s s sg 1 22

1 32

2 32 =

1

2( - ) + ( - ) + ( - )

et, en fonction des contraintes non principales :

s s s s s s s s s sg 11 222

11 332

22 332

12 23 13 =1

2( - ) + ( - ) + ( - ) + 6 ( + + )

1.4.3 Critres exprims dans le cas de contraintes planes

Seules les contraintes s11, s22 et s12 sont non nulles.

1.4.3.1 Critre de Tresca

sg = [(s11 - s22)2 + 4 s122 ]1/2

Si de plus s22= 0 (flexion-torsion) alors : sg = ( s112 + 4 s122 ) 1/2


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RDM 5.xx Page 24

1.4.3.2 Critre de Von Mises

En fonction des contraintes principales, il reste :

sg = ( s12 + s22 - s1 s2 ) 1/2

L'tat limite est atteint pour: s12 + s22 - s1s2 = se2

C'est l'quation d'une ellipse dont le grand axe est inclin de 45 dans le plan ( s1, s2 )

En fonction des contraintes non principales, il vient :

sg = ( s112 + s222 - s11s12 + 3 s122 )1/2

Si de plus s22= 0 (flexion-torsion) alors :

sg = ( s112 + 3 s122 )1/2

Ellipse de Von Mises

Polygone de Tresca

s

s

s

ss

s s

s s1 e

e

e

e

e

2 1 se

1

s2

s2 +

Figure 1. 15 : Reprsentation graphique des critres de limite lastique

se est la limite lastique du matriau considr.

Conclusion :

Il apparat clairement que les critres de Tresca et de Von Mises ne donnent pas tout fait les

mmes rsultats ( coefficients 3 ou 4 en flexion-torsion, notamment).

L'exprience montre que le critre de Von Mises est souvent plus satisfaisant que celui de Tresca.

De plus le critre de Von Mises est d'emploi plus facile que celui de Tresca car il se traduit par

une formule unique quadratique, donc sans problme de signe.


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1.5 Types particuliers de problme dlasticit

1.5.1 Contraintes planes du plan (x1,x2)

C'est le cas de certaines plaques soumises des forces parallles leur plan moyen.Les contraintes et les dformations sont indpendantes de x3.

Le tenseur des contraintes admet la forme :

s

s s

s s L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

11 12

12 22

1 2 3

0

0

0 0 0( )

r r r

x x x

Le tenseur des dformations admet la forme :

ee e

e e

e

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

11 12

12 22

331 2 3

0

0

0 0( )

r r r

x x x

enn

e e33 11 22=-

1 -( + )

Avec :

e s n s11 11 22=1

E( - )

e s n s22 22 11=1

E( - )

en

s12 12=1 +

E

1.5.2 Dformations planes

C'est le cas de certains solides cylindriques d'axer

x 3, longs et soumis des forces de surface et

de volume perpendiculaire r

x 3. Ces forces sont indpendantes de la coordonner

x 3


ee e

e e

L

N

MM

M

O

Q

PP

P

(A) =

, ,

11 12

12 22

1 2 3

0

0

0 0 0 ( )r r rx x x


26/159

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s

s s

s ss

L

N

M

MM

O

Q

P

PP(A) =

, ,

11 12

12 22

331 2 3

0

0

0 0( )

r r r

x x x

s33 = n ( s11+ s22)

Avec :

e n n s n s11 11 22=1 +

E-( )1-

e

n

n s n s22 22 11=1 +

E -( )1-

en

s12 12=1 +

E

1.5.3 Problmes axisymtriques mridiens

Par dfinition, la structure, le chargement et les forces de liaisons admettent un axe de

rvolution Or

x 3.

De plus toutes les forces sont situs dans des plans mridiens (pas de forces circonfrentielles).

Tous les paramtres sont indpendants de la coordonnes circonfrentielle q. On traite ce typede problme en coordonnes cylindriques.


ee e

e

e e

q

q

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

, ,

r rz

rz z r z

0

0 0

0( )


ss s

s

s s

q

q

L

N

MMM

O

Q

PPP

(A) =

r rz

rz z r z

0

0 0

0( , , )


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RDM 5.xx Page 27

2. Fondement mcanique de la mthode des

lments finis

Ce bref expos a pour but de prsenter brivement des utilisateurs mcaniciens potentiels lesides essentielles de la mthode des lments finis, applique l'lasticit linaire. Il ne faut pas

chercher dans ces quelques lignes une rigueur ni mcanique, ni mathmatique (un ouvrage entier

serait alors ncessaire). On rappelle les points essentiels de la mthode, tant mathmatiques que

mcaniques. C'est un premier "point d'entre" relativement cette mthode. Les esprits curieux

pourront se rfrer la bibliographie fournie.

Afin de simplifier les notations, on se limite un expos en lasticit plane.

2.1 Notations

La structure occupe le domaine plan (D), dlimite par la surface (S ).

s (M) : tenseur des contraintes ;e (M) : tenseur des dformations ;

Notations vectorielles :

U

(M) : champ des dplacements rels ;

U

*(M) : champ de dplacements virtuels ;

f

(M) : champ des efforts volumiques ;

T

(M,n) = s (M) n : vecteur contrainte en M pour la direction n ;Q

(P): champ des efforts surfaciques sur (S), P(S) ;

Notations matricielles des vecteurs et des matrices :

{u} : vecteur dplacement associ un point courant M ;

{d} : vecteur dplacement associ aux noeuds d'un lment ;

{D} : vecteur dplacement des noeuds de la structure entire ;[E] : matrice relative la loi de comportement ;

[B] : matrice associe la relation {e} = [B] {d} ;[N] : matrice d'interpolation associe la relation {u} = [N] {d} ;

[k] : matrice de rigidit associe un lment ;

[K] : matrice de rigidit de la structure ;

{r} : vecteur d'effort appliqu aux noeuds d'un lment ;

{R} : vecteur d'effort appliqu aux noeuds de la structure ;

W : nergie de dformation de la structure ;

pP : nergie potentielle de la structure ;

m : nombre d'lments de la structure discrtise ;


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RDM 5.xx Page 28

2.2 Problme d'lasticit. Equations d'quilibre

Dans tout ce qui suit, on considre que la structure est en quilibre (Figure 2. 1).

Les conditions aux frontires sont gnralement de deux types :

- des forces surfaciques Q

(P) sont imposes sur une partie SF de (S) ;

- des dplacements U

O(P) sont imposs (appuis) sur une partie SU de (S) ;

On suppose que : S = SUSF et SUSF = F

Les conditions aux limites vrifier surS sont alors :

T(P,r

n ) = Q(P) pour tout point P de SF ; (1)

U

(P) = U

O(P) pour tout point P de SU ;

s (M) tant le tenseur des contraintes en M et f

(M) le champ des efforts volumiques, les

quations d'quilibre s'crivent :

sij,j + fi = 0 i et j [1,3] (2)

Dans (2) on emploie la convention de l'indice muet.

La relation (2) conduit trois quations aux drives partielles :

s

x

11

1 +

s

x

12

2 +

s

x

13

3 + f1 = 0

s

x

21

1

+ s

x

22

2

+ s

x

23

3

+ f2 = 0

s

x

31

1

+ s

x

32

2

+ s

x

33

3

+ f3 = 0


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RDM 5.xx Page 29

x

y

AM

si,j + f = 0i

(D)

S

SF

U

n

Q(A)

Figure 2. 1 : Problme d'lasticit

2.3 Loi de comportement

En lasticit, en petites dformations et pour les matriaux isotropes linaires elle s'crit :

s (M) = [E] e (M) (3)

En dformation plane :

sss

nn

nn

nn

eee

11

12

22

11

12

22

=

11-

1-1

2(1-

RS|

T|

UV|

W| -N

MMMMMM Q

PPPPPP

RS|

T|

0

0

0 01 2 2

)

et en contraintes planes :

sss n n

nn

n

eee

11

12

22

11

12

22

=(1+ (1-

1

1

2

R

S|T|

U

V|W| -N

MMMM Q

PPPP

R

S|T|E) )

0

0

0 01

2

2.4 Energie de dformation lastique

En lasticit, en petites dformations et pour les matriaux isotropes linaires, on appelle

nergie de dformation lastique par unit de volume en M, la fonction w(M) telle que :

w(M) = 12 s

ij(M) eij(M) (4)


30/159

RDM 5.xx Page 30

Pour toute la structure, occupant un domaine D on obtient :

W = w(M)

D

dVz (5)

2.5 Thorme d'unicit

La thorie de l'lasticit permet de dmontrer que la solution (s (M), U

(M)) vrifiant les

conditions aux limites dfinies par (1) est unique si l'nergie de dformation lastique (5) est

positive.

2.6 Champ de dplacement virtuel admissible

2.6.1 Dfinition

Un champ de dplacement U

*(M) dfini sur D est dit cinmatiquement admissible, s'il est

continment drivable dans D et s'il vrifie les conditions de dplacement surSU :

U

*(P) = U

O(P) quel que soit P appartenant SU

2.6.2 Consquence

U*(M) tant continment drivable, on peut partir de ce champ calculer le tenseur des

dformations e *(M) et par les lois de comportement, le tenseur des contraintes s *(M). Mais cetenseur des contraintes ne vrifie pas les quations d'quilibre et s *(M). n ne vrifie pas lacondition aux frontire surSF, sinon U

*(M) serait le champ des dplacements rels en vertu du

thorme d'unicit.

2.7 Energie potentielle d'un systme lastique

On appelle nergie de potentielle de la structure occupant un domaine D, l'nergie dfinie par

:

pP (U) = W(U) - f (M) . U(M) dVD

- T(P,n) . U(P) dSS


31/159

RDM 5.xx Page 31


npP (U) est l'nergie potentielle de la structure associe au champ de dplacementU(M)

;

nW(U) est l'nergie de dformation lastique de la structure associe au champ de dplacement

U(M)

;

n la premire intgrale reprsente le travail dvelopp par les efforts volumiques f

(M), et

moins cette intgrale reprsente l'nergie potentielle associ ces efforts ;

n la deuxime intgrale reprsente le travail dvelopp par les efforts surfaciques T

(P,n)

, et

moins cette intgrale reprsente l'nergie potentielle associ ces efforts ;

Considrons un solide dformable plus les charges supportes par celui-ci. Le principe des

travaux virtuels permet d'affirmer que :

Parmi tous les champs de dplacement virtuels admissibles, ceux qui satisfont les quations

d'quilibre rendent l'nergie potentielle extrmale.

Si cet extremum est un minimum, alors l'quilibre est stable.

2.7.1 Systme un degr de libert

Exemple : Ressort de raideur k soumis une charge P.

Le dplacement sous la charge P est x (un degr de libert).

Dans ce cas l'nergie potentielle du systme est :

pP =1

2k x - P x

Le dplacement virtuel dx qui conduit l'quilibre statique est tel que :

dpP = 0

Soit : k x - P = 0

La position d'quilibre est alors : xq=P

k


32/159

RDM 5.xx Page 32

x

W

x

P

1/2 k x2

1/2 k x

2

- Px

- P x

x q

Figure 2. 2 : Energie potentielle d'un ressort

2.7.2 Systme plusieurs degrs de libert

Si la configuration d'un systme dpend de Nd degrs de libert, l'nergie potentielle dpend de

ces Nd degrs de libert et :

pP = pP (D1, D2,......, Dn)

alors : d pp = p

D

P

1

dD1 + p

D

P

2

dD2 + ................+ p

D

P

n

dDn

soit, en notation matricielle : d pp = p

D

tP

1

ST dD

Si l'on cherche un extremum de pP, on doit avoirdpP = 0, quel que soit le champ dedplacements infinitsimal {dD}, soit:

p

D

P

1

= 0 pour i [ 1, Nd ] , soit p

D= 0PST VW l

On obtient ainsi un systme algbrique de Nd quations avec Nd inconnues.

2.7.3 Systme continu

Un systme continu comporte une infinit de degrs de libert. Par exemple en lasticit, tout

point matriel M du solide on peut associer un vecteur dplacement :

U(M)

= u1r

x 1 + u2r

x 2 + u3r

x 3

soit trois degrs de libert.


33/159

RDM 5.xx Page 33

Comme le nombre de "points" est infini , le nombre de degrs de libert du systme est infini.

La rsolution des quations aux drives partielles (2) d'quilibre , soumises aux conditions

aux limites (1) n'est pas chose facile !

L'ide de la thorie des lments finis est donc de rduire le systme un nombre Nd fini de

degrs de libert, c'est dire d'effectuer le calcul en un nombre fini de points appels noeuds dusystme, on obtient ainsi une solution approche partir de la rsolution de Nd quations

algbriques. La solution est approche en ce sens que les quations d'quilibre ne seront pas

rigoureusement satisfaites en tout point M du solide, le nombre de degrs de libert tant fini.

Cette solution sera d'autant moins approche que ce nombre de degrs de libert sera important.

2.8 Approximation par lments finis

Raisonnons pour plus de facilit en dformation plane.

En lasticit, on considre gnralement que le champ des dplacements U(M)

est l'inconnuepremire du problme.

Soit : U(M)

= u1(x1,x2)r

x 1 + u2(x1,x2)r

x 2

x

x

De

O

D

l

m

n

1

2

Figure 2. 3 : Dcoupage en lments finis

Appelons u l'une des deux composantes u1 ou u2.La mthode d'approximation par lments

finis simplifie la construction de la fonction approche u et s'adapte bien au calcul sur

ordinateur. Elle consiste :

- dfinir un ensemble De de sous-domaines de D , sans recouvrements ni intersections

(l'exposant e signifie lment) (figure 2. 3) ;

- dfinir un champ de dplacements cinmatiquement admissible (fonction approche)

ue (x1, x2) diffrente sur chaque lment par la mthode d'approximation nodale.


34/159

RDM 5.xx Page 34

L'approximation nodale utilise admet de plus les particularits suivantes :

- cette approximation ue (x1,x2) ne fait intervenirque les noeuds situs sur De

et sur sa

frontire ;

- les fonctions ue (x1,x2) sont continues sur De et elles satisfont des conditions decontinuit entre les diffrents sous-domaines De.

2.8.1 Dfinitions

n Les sous domaines De sont appels des lments ;

n Les points en lesquels la fonction u (x1, x2) concide avec la fonction exacte ue (x1, x2) sont les

noeuds d'interpolation ;

n Les coordonnes (x1, x2) de ces noeuds sont les coordonnes nodales ;

n Les valeurs des dplacements (d1, d2) au noeud d'interpolation considr sont les variables

nodales.

La solution est obtenue quel que soit le point M en se servant de fonctions d'interpolation N,

soit :

{u} = [ N ] { d }


n {u} est le vecteur comportant les deux composantes du vecteur dplacement U(M)

;

n {d} est le vecteur qui comporte autant de composantes que l'lment possde de degrs de

libert nd

;

n enfin [N] est une matrice rectangulaire 2 lignes et nd colonnes appele matrice

d'interpolation. Chaque terme de cette matrice est fonction des coordonnes des noeuds de

l'lment et des coordonnes du point M.

2.9 Mthode des lments finis en lasticit, conduite partir des dplacements

A partir du champ des dplacements, on peut construire le tenseur des dformations car :

eij =i, j j,iu + u

2

On obtient sous forme condense:

{e} = [B] {d }

On obtient ainsi le potentiel d'un lment :

pPe =1

2d B E B dV d - d N f dV - d N Q dS

t

De

t t

De

t t

Se

t

l q l q l q l q l q l qz z zF

HGI

KJ


35/159

RDM 5.xx Page 35

L'nergie potentielle totale du systme est la somme des nergies potentielles des lments.

Faisons intervenir de plus le potentiel des charges P concentres, directement appliques aux

noeuds. On obtient alors pour les m lments :

pP = pPei

m

- D P=

1

l q l qt

On appelle maintenant {D} le vecteur des dplacements de la structure totale. Il comporte 2 Nd

composantes si la structures comporte Nd noeuds.

pPe=1

2D B E B dV D - D N f dV - N Q dS - D P

t

De

t

i=1

m t

De

t

Se

t

i=1

m t

l q l q l q l q l q l q l qz z zRST

UVW

F

HGI

KJ

R

S||

T||

U

V||

W||

La configuration d'quilibre est obtenue si dpP = 0, quel que soit le champ de dplacementsinfinitsimal {dD}, soit :

p

D

P

i

= 0 pour i [ 1, Nd ] , soit p

D= 0PST VW l

On obtient ainsi un systme algbrique de Nd quations avec Nd inconnues :

B E B dV D = N f dV + N Q dS PDe

t

i=1

m

De

t

Se

t

i=1

m

z z zRST

UVW

F

HGI

KJRS|

T|

UV|

W|+l q l q l q l q

Appelons : [k] = B E B dVDe

t

chacune des m matrices de rigidit lmentaire du premier membre de la relation prcdente.

De mme notons : {r} = N f dV + N Q dSDe

t

Se

t

z zl q l q

le vecteur du second membre relatif chaque lment.

On peut alors crire de faon simplifie :

k D = r Pi=1

m

i=1

m

RST

UVW

RST

UVW

+l q l q l q

Cette relation peut encore s'crire de faon plus concise :

[K] {D} = {R}

[K] s'appelle la matrice rigidit de la structure totale (connue aprs calcul) ;

{D} est le vecteur dplacement (inconnu) de la structure complte ;

{R} est le vecteur (connu) des efforts extrieurs appliqus la structure.


36/159

RDM 5.xx Page 36

On obtient donc un systme linaire de Nd quations Nd inconnues que l'on sait bien rsoudre

numriquement par des mthodes de type Gauss ou par des mthodes itratives pour les grands

systmes.

2.10 Application l'lment triangulaire trois noeuds

On suppose que les efforts f

(M) de volume sont nuls. On dtaille la mthode de calcul sur ce

type d'lment car les calculs engendrs sont simples, la mthode expose n'en reste pas moins

gnrale. Cependant, les rsultats issus d'un calcul avec ce type d'lment sont regarder de trs

prs.....

u

vk

k

um

un

vn

vm

k

m

n

x x x

y

y

yk

m

n

k n mx

y

Figure 2. 4: Elment triangulaire 3 noeuds

2.10.1 Construction de la loi d'interpolation

Comme on dispose de trois noeuds d'interpolation on peut crire :

u (x,y) = a1 + a2 x + a3 y (20)v (x,y) = a4 + a5 x + a6 y

ai sont des coefficients qu'il s'agit de dterminer en fonction des dplacements des noeuds.

Les relations ci-dessus montrent que l'approximation des dplacements est linaire sur un

lment.


37/159

RDM 5.xx Page 37

En notant [F] la matrice d'interpolation : [F] =F

1

2

(x,y)

F ( x, y)NM=

1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x yNM

et {U} le vecteur des dplacements en un point M du domaine {U} =u (x,y)

v (x,y)ST

On peut crire matriciellement :

u (x,y)

v (x,y)ST

=1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x yNM

a

a

a

a

a

a

1

2

3

4

5

6

S

|||

T

|||

Il faut crire ensuite que les dplacements en un point quelconque sont construits partir de

ceux des noeuds (interpolation) :

uk= a1 + a2 xk+ a3 ykvk= a4 + a5 xk+ a6 ykum = a1 + a2 xm + a3 ymvm = a4 + a5 xm + a6 ymun= a1 + a2 xn + a3 ynvn = a4 + a5 xn + a6 yn

Soit matriciellement :

u

v

u

v

u

v

=

1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x y

1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x y

1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x y

k

k

m

m

n

n

k k

k k

m m

m m

n n

n n

1

2

3

4

5

6

S

|||

T

|||

V

|||

W

|||

N

MMMMMMMM

Q

PPPPPPPP

S

|||

T

|||

aaaaaa

et, sous forme condense :

{d} = [A] {a} (21)

En inversant cette relation matricielle, on obtient :

{a} = [A]-1 {u} = [C] {d} ( car les dplacements des noeuds sont nots {d} (22)


38/159

RDM 5.xx Page 38

Soit : =1

2

c 0 c 0 c

c c c

c c c

c c c

c c c

c c c

u

v

u

v

u

v

1

2

3

4

5

6

e

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

k

k

m

m

n

n

aaaaaa

S

|||

T

||

|

V

|||

W

||

| N

MMMMMM

MM Q

PPPPPP

PP

S

|||

T

||

|

D

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Les ai sont maintenant dtermins en fonction des coordonnes des noeuds k, m et n et desdplacements de ceux-ci.

On note De l'aire de l'lment qui est dfinie par :

De =1

2det

1

1

1

x y

x y

x y

k k

m m

n n

De est l'aire du triangle k, m, n. Il apparat donc intressant d'avoir un triangle d'aire maximalecarDe intervient au dnominateur ( en tout tat de cause non nul ! ).

La matrice [C] contient les coordonnes des noeuds k, m et n ( dcrit dans le sens

trigonomtrique).

c11= xm yn - xn ym c12= xn yk- xkyn c13 = xkym - xm yk

c21= ym - yn c22= yn- yk c23 = yk- ym

c31= xn - xm c32= xk- xn c33 = xm - xk (23)

u (x,y)

v (x,y)ST=

1

2 eD 1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x yNM[C]

u

v

u

v

u

v

k

k

m

m

n

n

S

|||

T

|||

Ces relations dfinissent le champ de dplacement linaire sur un lment.


39/159

RDM 5.xx Page 39

2.10.2 Tenseur des dformations approches

En lasticit plane :

e11 = u1,1 e22 = u2,2 et e12 = (u1,2 + u2,1)/2 (24)

Compte tenu des relations (20), il vient :

e11 = a2 e22 = a6 et e12 = ( a3 + a5 )/2 (25)

Ainsi, l'intrieur d'un lment les dformations et donc les contraintes sont constantes.

= 12

c 0 c 0 c 0

0 c 0 c 0 c

c c c c c c

u

v

uv

u

v

11

22

12

e

21 22 23

31 32 33

31 21 32 22 33 23

k

k

mm

n

n

eee2

L

NMMM

O

QPPP

L

NMMM

O

QPPPS

||

|

T

|||

D

De est l'aire du triangle k, m, n.

Soit en remplaant les cij par leurs valeurs :

=1

2

y - y 0 y - y 0 y - y 0

0 x - x 0 x - x 0 x - x

x - x y - y x - x y - y x - x y - y

u

v

u

v

u

v

11

2212

e

m n n k k m

n m k n m k

n m m n k n n k m k k m

k

k

m

m

n

n

eee2

L

N

M

MM

O

Q

P

PP

L

N

M

MM

O

Q

P

PPS

|||

T|||

D

Le champ des dformations est donc constant l'intrieur de l'lment.

Soit : {e} = [B] {d} (27)

Notons que la matrice [B] est constante l'intrieur d'un lment.

2.10.3 Loi de comportement

Elle s'crit : s = [E] e (28)En contraintes planes :

[E] =E

1- n 1 0

1 0

0 01

2

nn

n-

N

MMM

M

(29)


40/159

RDM 5.xx Page 40

et en dformations planes :

[E] =E

( )( )1 1 2+ - n n n n

n nn

( )1 0

1 0

0 01

2

--

-

N

MMM

M

Dans les deux cas on peut crire : [E] =

E E

E E

E

11 12

12 22

33

0

0

0 0NMMM

Remarquons que l'on passe de (29) (30) en substituant :

E

1- n E etnn1- n

2.10.4 Matrice de rigidit de l'lment

La matrice de rigidit de l'lment vaut :

[k] = B E B dVDe

t

Dans ce cas, les matrices [B] et [E] tant constantes, l'intgration donne simplement :

[k] = B E B dV

t

De= [B]

t

[E][B] V V est le volume de l'lment.

2.10.5 Vecteur d'effort

Il s'crit : {r} = N Q dSSe

tl Lorsque l'on prend en compte l'ensemble des lments, ce vecteur s'annule sauf pour les

lments dont les cots sont des frontires charges par un chargement extrieur.

Remarque :

On a dj fait remarquer que les contraintes l'intrieur d'un lment sont uniformes. Ce type

d'lment est donc proscrire dans les zones fort gradient de contraintes. Par contre, en

traction, cet lment peut s'avrer intressant.

2.11 Application une poutre en flexion simple

Soit la poutre ci-dessous, en flexion simple, encastre son extrmit gauche et supportant une

charge verticale droite.

Considrons la poutre d'paisseur constante e.


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RDM 5.xx Page 41

Le processus de rsolution est le suivant :

2.11.1 Dcomposition en lments finis

On dfinit le contour de la pice et l'on dcompose l'intrieur en un certain nombre d'lments

(ici triangulaires).

(I) (II)

(III) (IV)

2

1

4

3

6

5

F

x

y

L L

H

Figure 2. 5

L'lment gnrique est dfini gomtriquement par la position de ses trois noeuds k, m et n :

u

vk

k

um

un

vn

vm

k

m

n

x x x

y

y

yk

m

n

x

y

Figure 2. 6

La poutre est ici spare en 4 lments ( I IV ) et comporte 6 noeuds.

2.11.2 Calcul de la matrice rigidit de chaque lment

Si S est l'aire d'un lment, la matrice de rigidit d'un lment est :

[k] = [B]

t

[E] [B] e S


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RDM 5.xx Page 42

Faisons une tude en lasticit plane alors la matrice d'lasticit est :

[E] =

E E

E E

E

11 12

12 22

33

0

0

0 0NMMM

La matrice [B] est issue de la relation entre le vecteur dplacement des noeuds et le vecteur des

dformations : {e} = [B] {d}

Cette relation s'explicite par :

=1

2

y - y 0 y - y 0 y - y 0

0 x - x 0 x - x 0 x - x

x - x y - y x - x y - y x - x y - y

u

v

u

v

u

v

11

22

12

e

m n n l l m

n m l n m l

n m m n l n n l m l l m

l

l

m

m

n

n

eee2

RS|

T|

UV|

W|

L

NMMM

O

QPPPS

|||

T

|||

D

De est l'aire du triangle k, m, n . Si l'on passe de k m et de m n par rotation dans le senstrigonomtrique. Elle se calcule par :

De =1

2det

1

1

1

x y

x y

x y

k k

m m

n n

Dans l'exemple, l'aire commune tous les triangles est De = H L / 2 soit 2 De = H L

Pour l'lment choisi, la matrice [k] ne comporte que les coordonnes des noeuds et les

coefficients d'lasticit.

La matrice de rigidit traduit la relation qui existe entre les efforts appliqus par les noeuds sur

les lments.

Cet effort sera not : { Fe } =

X

Y

X

Y

X

Y

k

k

m

m

n

n

S

|||

T

|||

et les dplacements associs : {d} =

u

v

u

v

u

v

k

k

m

m

n

n

S

|||

T

|||

Ainsi :

X

Y

X

Y

X

Y

k

k

m

m

n

n

S

|||

T

|||

=Ke

N

MMMMMM

M

u

v

u

v

u

v

k

k

m

m

n

n

S

|||

T

|||


43/159

RDM 5.xx Page 43

Nous allons faire tout d'abord deux remarques essentielles pour la suite.

Faisons une remarque relative la matrice lmentaire [Ke] associe l'lment ( k, m, n).

On peut dcomposer la matrice (6,6) en 9 blocs (2,2) dont la lecture est la suivante :

kmm : coefficients des forces exerces sur l'lment, au voisinage du noeud m, dues aux

dplacements du noeud de numro m

kmn : coefficients des forces exerces sur l'lment, au voisinage du noeud m, dues aux

dplacements du noeud de numro n

X

Y

X

Y

X

Y

k

k

m

m

n

n

S

|||

T|||

=

k k k

k k k

k k k

kk km kn

mk mm mn

nk nm nn

N

MMM

u

v

u

v

u

v

k

k

m

m

n

n

S

|||

T|||

Matrice de rigidit de l'lment I :

X

Y

X

Y

X

Y

k k kk k k

k k k

u

v

u

v

u

v

3

3

2

2

1

1

33, I 32, I 31, I

23, I 22, I 21, I

13, I 12 , I 11, I

3

3

2

2

1

1

S

|

||

T

|||

V

|

||

W

|||

= LNMMM

OQPPPS

|

||

T

|||

Matrice de rigidit de l'lment II :

X

Y

X

Y

X

Y

k k k

k k k

k k k

u

v

u

v

u

v

3

3

5

5

4

4

33, II 35, II 34 , II

53, II 55, II 54 , II

43, II 45, II 44 , II

3

3

5

5

4

4

S

|||

T

|||

V

|||

W

|||

=L

NMMM

O

QPPPS

|||

T

|||


44/159

RDM 5.xx Page 44

Matrice de rigidit de l'lment III :

X

Y

XY

X

Y

k k k

k k k

k k k

u

v

uv

u

v

3

3

4

4

2

2

33, III 34 , III 32 , III

43, III 44 , III 42 , III

23, III 24 , III 22 , III

3

3

4

4

2

2

S

||

|

T

|||

V

||

|

W

|||

=

L

NMMM

O

QPPPS

||

|

T

|||

Matrice de rigidit de l'lment IV :

X

Y

X

Y

X

Y

k k kk k k

k k k

u

v

u

v

u

v

5

5

6

6

4

4

55, IV 56, IV 54 , IV

65, IV 66, IV 64 , IV

45, IV 46, IV 44 , IV

5

5

6

6

4

4

S

|

||

T

|||

V

|

||

W

|||

= LNMMM

OQPPPS

|

||

T

|||

2.11.3 Assemblage de la matrice

Cet assemblage consiste traduire l'quilibre des noeuds et donc expliciter la relation

matricielle :

- k D = r Pi=1

4

i=1

4

RST

UVW

RST

UVW

+l q l q l q

Le signe moins apparat devant [k] car il s'agit maintenant des actions des lments sur le noeud

isol

Quand on isole un noeud i, il intervient les actions de tous les lments partageant ce

noeud.

Exemple : Noeud numro 3 :

I

III

II

Noeud 3

Figure 2. 7

Les lments II, III et I agissent sur le noeud numro 3 :


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RDM 5.xx Page 45

Il n'y a pas d'effort extrieur. Son quilibre se traduit par : FII3 + FIII3 + FI3 = 0

(III)

2 4

3

(I)

2

1 3

(II)

4

3 5

Figure 2. 8

FII3 provient des dplacements des noeuds 3, 4 et 5FI3 provient des dplacements des noeuds 3,2 et 1FIII3 provient des dplacements des noeuds 3, 4 et 2

Ainsi : FII3 = F33,II + F34,II + F35,II

Autrement dit, l'action de l'lment II sur le noeud 3 est due :

- aux dplacements du noeud 3 : k33,II- aux dplacements du noeud 4 : k34,II- aux dplacements du noeud 5 : k35,II

et : FI3 = F33,I + F32,I + F31,I

Autrement dit, l'action de l'lment I sur le noeud 3 est due :

- aux dplacements du noeud 3 : k33,I- aux dplacements du noeud 2 : k32,I- aux dplacements du noeud 1 : k31,I

enfin : FIII3 = F33,III + F34,III + F32,III

Autrement dit, l'action de l'lment III sur le noeud 3 est due :

- aux dplacements du noeud 3 : k33,III- aux dplacements du noeud 4 : k34,III- aux dplacements du noeud 2 : k32,III

Ces termes sont encadrs dans la matrice page suivante.

(I) (II)

(III) (IV)

2

1

4

3

6

5

F

Figure 2. 9


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RDM 5.xx Page 46

Il s'agit maintenant de constituer une matrice gnrale en "clatant" les matrices de rigidit de

chaque lment en blocs (2,2) et en les plaant convenablement dans la matrice gnrale.

On obtient ainsi la matrice associe la numrotation choisie :

dp1

u1 , v1

dp2

u2 , v2

dp3

u3 , v3

dp4

u4 , v4

dp5

u5 , v5

dp 6

u6 , v6

force1

X1 , Y1

k11,I k12,I k13,I

force2

X2 , Y2

k21,I k22,I

+

k22,III

k23,I

+

k23,III

k24,III

+

k24,III

force3

X3 , Y3

k31,I k32,I+

k32,III

k33,I

+

k33,II+

k33,III

k34,II

+

k34,III

k35,II

force4

X4 , Y4

k42,II k43,IV

+

k43,III

k44,II

+

k44,III

+

k43,IV

k45,II

+

k45,IV

k46,IV

force5

X5 , Y5

k53,II k54,II

+k54,IV

k55,II

+k55,IV

k56,IV

force 6

X6 , Y6

k64,IV k65,IV k66,IV

Dans cette matrice, chaque sous-matrice [k] doit tre prcde du signe moins car il s'agit des

actions des lments sur le noeud isol

On s'aperoit que cette matrice s'organise autour de la diagonale principale (matrice bande) .

Ceci est d la numrotation choisie pour les noeuds.

La demi-largeur de bande (1/2 LB) compte en noeuds est gale la plus grande diffrence

entre les indices des noeuds d'un mme lment augmente de un.

Le stockage de la matrice est alors celui de la bande.

On voit donc l'importance de la numrotation des noeuds. La plupart des logiciels comporte une

procdure de renumrotation des noeuds qui minimise la largeur de bande. Cette procdure est

totalement transparente pour l'utilisateur qui ne voit que sa propre numrotation ( si la

numrotation a t faite manuellement).

On aboutit un systme linaire de 12 quations 12 inconnues, dont la matrice rigidit est

[Kg].


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Kg

u

v

u

v

uv

u

v

u

v

u

v

=

0

0

0

0

00

0

0

0

-F

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6N

MMMMMMMMMMMMMMMMM Q

PPPPPPPPPPPPPPPPP

S

||||||||

T

||||||||

V

||||||||

W

||||||||

S

||||||||

T

||||||||

2.11.4 Introduction des conditions aux limites

Deux types de noeuds sont considrer :

- les noeuds 3, 4, 5 et 6 sont dplacements libres. Leurs dplacements sont inconnus,

par contre les efforts extrieurs appliqus en ces noeuds sont connus :

- nuls pour les noeuds 3, 4 et 5 ;

- (0, -F) pour le noeud 6

- les noeuds 1 et 2 sont encastrs sur le bti, ainsi leurs dplacements sont nuls. Par

contre les efforts extrieurs ne sont pas connus.

Ainsi en un noeud, on connat soit le dplacement, soit l'effort.

Le systme linaire prcdent est donc restructur pour ne garder dans ce systme que les

noeuds dont les dplacements sont inconnus.

2.11.5 Rsolution du systme linaire

Il s'effectue par la mthode de Gauss tant que les systmes ne sont pas trop important.Lorsque les systmes sont trs grands la mthode de Gauss peut conduire des erreurs

importantes. On met alors en oeuvre des mthodes indirectes (itratives).

Le rsultat de cette rsolution est l'obtention des dplacements des noeuds :

3, 4, 5 et 6

les dplacements des noeuds 1 et 2 sont nuls.

Ainsi, ce stade, on connat les dplacements de tous les noeuds du maillage.


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2.11.6 Calcul des dformations et des contraintes

2.11.6.1 Vecteur dplacement en un point quelconque

Sur l'lment gnrique (l, m, n) les relations suivantes permettent de calculer les dplacements

en un point quelconque M de l'lment :

u (x,y)

v (x,y)ST

=1

2 eD

1 x y 0 0 0

0 0 0 1 x yNM[C]

u

v

u

v

u

v

1

1

m

m

n

n

S

|||

T

|||

2.11.6.2 Tenseur des dformation en un point quelconque

Le tenseur des dformations se calcule par :

exx =

u

x, eyy =

v

yet exy =

1

2(

u

y+

v

x)

Soit par : =1

2

y - y 0 y - y 0 y - y 0

0 x - x 0 x - x 0 x - x

x - x y - y x - x y - y x - x y - y

u

v

u

vu

v

xx

yy

xye

m n n k k m

n m k n mk

n m m n k n n k m k k m

k

k

m

m

n

n

eee2

RS|

T|

UV|

W|

L

N

M

MM

O

Q

P

PPS

|||

T|||

D

Le tenseur des dformations est constant sur l'lment.

2.11.6.3 Tenseur des contraintes en un point quelconque

Le tenseur des contraintes se calcule partir du tenseur des dformations par la loi de

comportement :

s = [E] e

Le tenseur des contraintes est constant sur l'lment.

A partir de ces lments fondamentaux, on peut calculer tous les lments drivs :

- critres de limite lastique ( Tresca, Von-Mises,......) ;

- les directions et les contraintes principales ;

- ....................


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2.11.7 Organigramme du processus de rsolution

Compte tenu de ce qui vient d'tre dit, on peut rsumer le processus l'aide de l'organigramme de

principe suivant :

Entre des donnes

Calcul des matrices lmentairesdans le repre local

Assemblage de la matrice de rigidit globale

Introduction des conditions aux limites

Rsolution du systme d'quationset

dtermination des dplacements des noeuds

Calcul des effets lastiques

en fonctiondes dplacements des noeuds

Edition des rsultats

Figure 2. 10 : Algorithme de rsolution

2.12 Types d'lments plus performants

On a vu que le triangle 3 noeuds conduit une approximation linaire pour le champ des

dplacements et uniforme pour le tenseur des contraintes.

Des lments plus performants sont utiliss lorsque l'on veut une approximation plus prcise.


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Elments triangulaires

Elments quadrangulaires

Linaire : 3 noeuds Quadratique : 6 noeuds Cubique: 9 noeuds

Linaire : 4 noeuds Quadratique incomplet : 8 noeuds

Quadratique complet : 9 noeuds Cubique : 12 noeuds

Figure 2.11 : Diffrents lments utiliss en 2D

Exemple : Pour un domaine D deux dimensions

n Polynme de degr 1 : 1, x, y nd = 3

n Polynme de degr 2 : 1, x, y, x, y, xy nd = 6

En d'autres termes :

- pour approximer linairement u il faut disposer de 3 noeuds d'interpolation ;

- pour approximer quadratiquement u il faut disposer de 6 noeuds d'interpolation ;

- pour approximer cubiquement u il faut disposer de 10 noeuds d'interpolation si l'on

veut disposer d'une base complte.

Dans certaines applications on se contente debase incomplte. Par exemple :

nBase bilinaire : 1, x, y, xy nd = 4


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3. Type d'lments finis et indicateurs de choix

3.1 Problmes pratiques poss l'utilisateur de la

mthode des lments finisEn pratique diffrents problmes pratiques se posent l'utilisateur de logiciel mettant en oeuvre

la mthode des lments finis :

- choix des lments du maillage: triangle, quadrangle, nombre de noeuds de ces

lments...

- le choix des lments tant fait, quelle doit tre la densit de ce maillage ?

- validit de la solution approximative trouve, la solution thorique n'tant videmment

pas connue dans le cas gnral.

Soit un maillage M1

ralis l'aide de N lments triangulaires 6 noeuds.

Soit un autre maillage M2 ralis l'aide de 2N lments triangulaires 3 noeuds.

Bien qu'ayant le mme nombre de noeuds, ces deux maillage ne sont pas quivalents. On a vu

que l'lment 3 noeuds est la base d'une approximation linaire des dplacements, alors que

celui 6 noeuds conduit une approximation quadratique des dplacements et est donc

beaucoup plus perform

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