Compendio de teoría

José L. FernándezMariano J. Pérez-Amor

Guía para la resolución de problemas de

ELECTROMAGNETISMO

Guía para la resolución de problemas de

ELECTROMAGNETISMO

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

José Luis Fernández Fernández Universidad de Vigo, España

Mariano Jesús Pérez-Amor Universidad de Vigo, España

Compendio de teoría

© José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor

Esta edición:

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# 1374

© Editorial Reverté, S. A., 2012

Edición en papel

ISBN: 978-84-291-3061-4

Edición e-book (PDF)

ISBN: 978-84-291-9341-1

© Editorial Reverté, S. A., 2012

© Editorial Reverté, S. A., 2013

Índice de contenidos

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Capítulo 1. Ecuaciones generales del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.1. Definición de los campos eléctrico y magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.2. Fuentes del campo: cargas y corrientes eléctricas macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.3. Relaciones entre los campos E y B y sus fuentes: ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 3

11.4. Carga libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

11.4. 1.4.1. Distribuciones de carga libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

11.4. 1.4.2. Relaciones entre la carga libre y otras magnitudes del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

11.5. Carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.4. 1.5.1. Distribuciones de carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.4. 1.5.2. Relaciones entre el vector polarización y el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.6. Corriente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.4. 1.6.1. Tipos de corriente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

11.4. 1.6.2. Distribuciones de corriente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.4. 1.6.3. Relaciones entre la carga libre, la corriente libre y los campos de fuerza . . . . . . . . 11

11.7. Corriente de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.8. Corriente de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.4. 1.8.1. Distribuciones de corriente de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.4. 1.8.2. Relaciones entre la magnetización y el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

11.9. Ecuaciones de Maxwell para los campos E, D, B y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10. Condiciones de frontera del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11. Potenciales electrodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.4. 1.11.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.12. Energía del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Capítulo 2. Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

11.4. 2.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.4. 2.1.2. Densidades de carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

11.4. 2.1.3. Ecuación de Poisson del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

11.4. 2.1.4. Expresiones explícitas del campo y del potencial. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . 27

12.2. Ecuaciones que incluyen las características del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

12.3. Conductores en equilibrio y condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

12.4. Energía electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.4. 2.4.1. Energía electrostática en función de las cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.4. 2.4.2. Densidad de energía electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.4. 2.4.3. Energía de distribuciones que contienen cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.4. 2.4.4. Fuerzas electrostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.5. Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11.4. 2.5.1. Dipolo situado en un campo electrostático externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vi ÍNDICE DE CONTENIDOS

Capítulo 3. Corrientes eléctricas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. 3.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Ecuaciones que incluyen las características del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Resistencia eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4. Ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. 3.4.1. Ley de Joule en función de la resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. 3.4.2. Ley de Joule en función de la densidad de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5. Fuerzas electromotrices y generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6. Distribución del potencial en un resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1. 3.6.1. Dentro del resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1. 3.6.2. Fuera del resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Capítulo 4. Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. 4.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1. 4.1.2. Corrientes de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1. 4.1.3. Potencial magnético vector y ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. 4.1.4. Expresiones explícitas del potencial vector y del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. 4.1.5. Potencial escalar magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Ecuaciones que incluyen las características del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. Fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1. 4.3.1. Fuerza magnética sobre un elemento de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1. 4.3.2. Fuerza magnética sobre un circuito filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1. 4.3.3. Par magnético sobre un circuito filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1. 4.3.4. Fuerza magnética entre dos circuitos filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4. Circuito magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5. Dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Capítulo 5. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1. Electromagnetismo en medios móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1. 5.1.1. Sistema de ecuaciones en el referencial medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1. 5.1.2. Sistema mixto de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Transformación galileana de los campos eléctrico y magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3. Fuerza electromotriz sobre un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1. 5.3.1. Expresión de la fuerza electromotriz en función de los campos medidos en un

3.1. 5.3.1. referencial dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4. Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1. 5.4.1. Ley de inducción de Faraday para un circuito estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1. 5.4.2. Ley de inducción de Faraday para un circuito en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1. 5.4.3. Expresión diferencial de la ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Capítulo 6. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1. Ecuaciones de onda para los campos E y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1. 6.1.1. Dependencia temporal arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1. 6.1.2. Ondas monocromáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2. Ondas E.M. monocromáticas planas en medios sin pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1. 6.2.1. Onda plana homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ÍNDICE DE CONTENIDOS vii

6.3. Ondas E.M. monocromáticas planas en medios con pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1. 6.3.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1. 6.3.2. Onda homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4. Incidencia de una onda plana sobre una frontera entre dos medios dieléctricos

6.4. perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1. 6.4.1. Onda incidente polarizada con su vector eléctrico normal al plano de incidencia 973.1. 6.4.2. Onda incidente polarizada con su vector eléctrico paralelo al plano de incidencia 993.1. 6.4.3. Coeficientes de reflexión y transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.1. 6.4.4. Reflexión interna total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.5. Incidencia de una onda plana sobre una frontera entre un dieléctrico perfecto

6.4. y un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1. 6.5.1. Incidencia normal sobre un conductor genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1. 6.5.2. Incidencia oblicua sobre un buen conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Capítulo 7. Campos cuasiestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1. 7.1.1. Campos cuasielectrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.1. 7.1.2. Campos cuasimagnetostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2. Coeficientes de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1. 7.2.1. Coeficiente de autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1. 7.2.2. Coeficientes de inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3. Energía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1. 7.3.1. Energía magnética de un circuito filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1. 7.3.2. Energía magnética de un conjunto de circuitos filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1. 7.3.3. Densidad de energía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.1. 7.3.4. Pérdidas por histéresis magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.1. 7.3.5. Fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4. Modelos teóricos de propagación para conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1. 7.4.1. Conductor que ocupa un semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1. 7.4.2. Conductor prismático de dimensiones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.1. 7.4.3. Potencia disipada por efecto Joule en un conductor que ocupa un semiespacio o

3.1. 7.4.3. en un conductor prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.1. 7.4.4. Distribución del campo magnético variable con el tiempo en un núcleo laminado 1383.1. 7.4.5. Conductor cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.5. Obtención de las leyes de Kirchhoff a partir de los campos electromagnéticos . . . . . . . . . . 146

3.1. 7.5.1. Primera ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1. 7.5.2. Segunda ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.1. 7.5.3. Consideraciones energéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.6. Validez de las leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1. 7.6.1. Validez de la hipótesis H7.5−15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1. 7.6.2. Validez de la hipótesis H7.5−16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.1. 7.6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Apéndice 1. Cómo abordar la resolución de un problema de electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 189Apéndice 2. Notación y símbolos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Apéndice 3. Símbolos, unidades y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Apéndice 4. Operadores diferenciales en diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 199Apéndice 5. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Índice alfabético de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Prólogo

La presente obra es fruto de una experiencia de más de 30 años en la docencia delelectromagnetismo en diversas titulaciones de ciencias e ingeniería.

Teniendo en cuenta la gran cantidad de libros de electromagnetismo dispo-nibles, cabe preguntarse si es todavía posible aportar algo a la literatura en estecampo. Por este motivo, en lo que sigue argumentaremos las razones que nos mo-vieron a escribirla.

Un análisis somero de la bibliografía en el área nos ha conducido a clasificarlos libros existentes, atendiendo a su nivel de exposición y contenidos, en cuatrocategorías:

a ) los que, sin abordar propiamente los fundamentos del electromagnetismo,tratan leyes eléctricas y magnéticas limitadas a modelos de circuitos, lo quelos hace adecuados a un curso introductorio de física en grados en cienciase ingeniería,

b ) los que tratan los campos electromagnéticos y sus leyes fundamentales (lasecuaciones de Maxwell) con el formalismo del análisis vectorial, pero conun alcance limitado a los casos más básicos en cuanto a regímenes tempo-rales (estático y estacionario sinusoidal) y medios materiales (lineales e isó-tropos), resultando apropiados para cursos intermedios de las mencionadastitulaciones,

c ) los que utilizan modelos de campos electromagnéticos a nivel de posgra-duado (típicamente dan soporte a estudios de master y doctorado) profun-dizando en las relaciones de los campos con las cargas y corrientes, en laradiación y otros aspectos, utilizando herramientas matemáticas a un nivelsuperior (cuadrivectores, variable compleja, transformadas integrales, etc.)y, finalmente,

d ) libros especializados que tratan campos específicos (v.g. radar, antenas, fi-bras ópticas, etc.) y que asumen que el lector dispone ya de una base en lateoría del electromagnetismo.

Especialmente en los pertenecientes a las categorías a ) y b ) es usual encontrarnumerosos ejemplos y problemas propuestos, siendo la tónica dominante que deun pequeño porcentaje de los mismos se incluya una resolución más o menos ex-tensa, mientras que de una considerable fracción solo se incluya la solución final.

x PRÓLOGO

En estas categorías de libros encontramos también textos específicos de proble-mas resueltos en los que la parte teórica se reduce al mínimo necesario para esta-blecer la notación e incluir las leyes más importantes; siendo de empleo habitualpara el trabajo autónomo de los estudiantes como complemento a los libros detexto, es indudable su capacidad formativa ya que no se conoce bien una teoríamientras no se aplica a la resolución de problemas concretos.

La presente obra tiene ese carácter de “libro de problemas” y está dirigida aquienes han de trabajar el electromagnetismo al nivel b ) mencionado.

A pesar de su vocación marcadamente formativa, es muy habitual que en loslibros de problemas no se dé la debida importancia ni se expliquen con suficientedetalle los primeros pasos del proceso de resolución, es decir, lo que podríamosdenominar el planteamiento y que incluye la elección del modelo y la propuestade hipótesis simplificadoras. Así, frecuentemente se adoptan, sin mayores expli-caciones, proposiciones esenciales para la resolución y que no son evidentes. Estetipo de planteamientos suele ser fuente de frustración para los estudiantes puestoque les transmite la sensación de que se está resolviendo el problema medianteuna idea feliz o apartada de una lógica de procedimiento. También pueden indu-cir a la creencia errónea de que el esfuerzo debe concentrarse principalmente enlas destrezas matemáticas y en la obtención de la solución de ecuaciones y no fo-menta la práctica de detenerse a pensar críticamente en los aspectos físicos de losproblemas.

En la fase de planteamiento se pasa de una situación más o menos real a unmodelo físico-matemático. Esta es, en nuestra opinión, una de las etapas más de-licadas de la resolución, que no es fácilmente reducible a una mera sucesión depasos programables debido, entre otras cosas, a la diversidad de situaciones conque nos podemos encontrar y a la complejidad de los problemas reales. Ello ha-ce que esta fase sea resuelta de una manera artesanal en la que la intervenciónhumana es imprescindible.

Entendemos que es posible desarrollar aptitudes para el planteamiento de pro-blemas mediante ejemplos seleccionados que aporten al lector unos caminos derazonamiento sistemático y que salven la brecha entre los fundamentos teóricosy la aplicación concreta ya que, como no podría ser de otra manera, es en el en-tendimiento de la teoría en lo que se basa el desarrollo de capacidades para suaplicación. Ésta ha sido la motivación fundamental que nos ha animado a escribirla presente obra. En lo que sigue se explican su estructura y aspectos más destaca-bles.

La obra se ha estructurado en dos partes. La primera parte incluye un compen-dio de la teoría electromagnética en el que se catalogan los diferentes conceptosy proposiciones dentro de alguna de las siguientes clases:

PRÓLOGO xi

i ) definiciones,ii ) leyes físicas o matemáticas que relacionan entre sí los conceptos definidos

en i ) y, finalmente,iii ) hipótesis, tanto en la forma de condiciones previas como de proposiciones

cuyo cumplimiento no está demostrado, que delimitan las condiciones devalidez de las definiciones y leyes referidas en i ) y en ii ).

En nuestro campo de aplicación del conocimiento formal consideramos que,a la hora de postular un modelo, es de suma importancia hacer explícitas todas lashipótesis adoptadas con objeto de, por una parte, verificar la adecuación del mo-delo a la situación real y, por otra, tener constancia de sus límites de aplicabilidad.Por ello, hemos puesto un gran cuidado en acompañar las definiciones y leyes delas correspondientes hipótesis bajo las cuales son válidas. Cabe objetar que, en lamayoría de las ocasiones, este trabajo es poco ventajoso, bien porque las condicio-nes de validez son obvias o bien porque ello hace más farragosas las exposiciones,pero nuestra experiencia nos ha animado a hacerlo de esta manera en la creenciade que el sistematismo seguido en la parte teórica dará pautas al lector a la horade enfrentarse a la resolución de los problemas.

Aunque el carácter de esta parte teórica es el propio de un manual, con pocosejemplos ilustrativos y dando prioridad al sistematismo y a la concisión, hemosdado al tema 7 un tratamiento más extenso, incluyendo la descripción de algunoscasos teóricos de interés (v.g., la definición y tipos de campos cuasiestacionarioso el establecimiento, a partir de las leyes de Maxwell bajo la aproximación cua-siestacionaria, de los modelos de circuitos), pues hemos detectado que son temasraramente detallados en la literatura existente y no es fácil encontrar explicitadaslas hipótesis de validez de los mismos.

Hemos puesto también un gran cuidado en que la notación fuese sistemáticae inequívoca. Por ejemplo, las fuentes de los campos electromagnéticos (cargas ycorrientes) se designan genéricamente con una misma letra (ρ para las cargas y Jpara las corrientes) y es en los subíndices en donde se matiza su grado de concen-tración espacial (volumétrica, superficial, lineal) y su naturaleza (libre, de polari-zación, de magnetización, etc.). Por otra parte, siempre indicamos con el símbolodel acento circunflejo las magnitudes complejas empleadas, tanto vectoriales co-mo escalares.

La segunda parte de esta obra es una colección de problemas resueltos. Enella se focaliza la atención del lector en dos aspectos esenciales del proceso deresolución de problemas de electromagnetismo: la utilización de una metodolo-gía de resolución sistemática y el establecimiento de una clara conexión con losfundamentos teóricos. Incluye 73 problemas clasificados en cinco grupos según

xii PRÓLOGO

su modelo electromagnético, recorriendo los tipos más representativos de los pro-blemas clásicos de la disciplina. En cada problema se explica con sumo detalle lospasos importantes del planteamiento, qué hipótesis relevantes son de aplicacióny se justifica el modelo electromagnético escogido. También en cada problema seidentifican claramente las expresiones teóricas a aplicar utilizando la misma nu-meración que tienen en el compendio de teoría.

La estructura de cada problema es como sigue:

El tratamiento de cada problema comienza con la fase de planteamiento, quehemos desglosado en dos apartados.

En el primer apartado, “Elección del modelo”, dedicamos un espacio a hacerinventario de las posibles fuentes de los campos y, en función de su dependenciatemporal, establecer a qué modelo electromagnético se ajusta el problema con-creto. Hacemos un análisis teniendo en cuenta qué datos se dan en el enunciadoy cuáles son las magnitudes incógnita y qué ley o conjunto de leyes (que, lógica-mente, pertenecerán al antedicho modelo electromagnético) permiten la resolu-ción del problema.

El segundo apartado, “Búsqueda de posibles simplificaciones”, incluye la re-ducción del número de variables espaciales aplicando razonamientos basados enlas simetrías y en los tamaños relativos (órdenes de magnitud) de las magnitudesque intervienen. También se incluyen en este apartado otros razonamientos quepuedan permitir una simplificación del problema o facilitar su resolución, talescomo la aplicación del principio de superposición.

A continuación de la fase de planteamiento viene la que denominamos “Reso-lución”. Se incluye aquí la escritura de las ecuaciones de los campos, eventualmen-te la de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y la reducción y obtención dela solución del sistema de ecuaciones resultantes. En esta etapa intentamos es-tablecer claramente cuáles son las ecuaciones de partida, pero no insistimos de-masiado en el detalle de los desarrollos matemáticos, dando algunos resultadosintermedios donde pensamos que ello puede facilitar al lector el seguimiento delos cálculos. Además, el empleo exhaustivo de numeración de las expresiones y dela indicación de cuáles se están utilizando en cada paso hace diáfano el proceso.Cuando existen varios caminos posibles de resolución de un problema los indi-camos e, incluso, resolvemos detalladamente algunos problemas por cada uno deesos caminos, lo cual creemos enriquecedor ya que permite al lector su compara-ción.

En una última fase se incluye una “Discusión del resultado” cuando estimamosque aporta ideas o contribuye a desarrollar en el lector herramientas de análisis yhábitos de crítica. Por ejemplo, ocasionalmente se analiza la coherencia dimensio-

PRÓLOGO xiii

nal y se verifica si la solución obtenida converge, dando valores extremos a algunosde los parámetros de la solución, a la de casos más simples conocidos.

Como requisitos previos para abordar esta obra con pleno aprovechamiento,es aconsejable que el lector disponga ya de los conocimientos de física del nivela ) mencionado, así como de las herramientas matemáticas propias de un cursobásico de análisis vectorial y de ecuaciones diferenciales.

Quedan fuera del alcance de esta obra los temas que habitualmente se inclu-yen tras el estudio de las ondas en medios semiinfinitos: líneas de transmisión,guías de onda y antenas, así como temas más propios de cursos de física teóricacomo la teoría de la relatividad, el estado sólido, radiación, etc.

En los apéndices se han incluido tablas sobre notaciones, unidades y operado-res matemáticos de uso frecuente. También se incluye una recopilación de todaslas hipótesis empleadas a lo largo de la obra, cada una identificada con una nu-meración que indica la sección de la parte teórica en que fue utilizada por primeravez, seguida del número de orden de aparición dentro de la sección.

Los autores expresan su agradecimiento a los compañeros del Departamentode Física Aplicada de la Universidad de Vigo con los que compartieron la docen-cia del electromagnetismo por sus contribuciones y apoyo para la consecución dela presente obra, especialmente a los profesores José Carlos López Vázquez y Án-gel Manuel Fernández Doval. También agradecen al profesor Virgilio Rodríguez deMiguel sus útiles comentarios sobre la convergencia de las series del Problema 2.8,a D. Jesús del Val García la ejecución de las figuras del Apéndice 4 y a Dña. María J.Villar Alonso la asistencia técnica en la edición del texto. Hacen constar igualmen-te su gratitud al equipo de producción de la Editorial Reverté, S.A. y en particular aD. Julio Bueno y a Mercè Aicart por su exquisito y minucioso trabajo de revisión ymaquetación. Finalmente y de forma especial, agradecen a todos los que han sidosus alumnos a lo largo de estas tres décadas el proporcionarles la razón de ser desu actividad docente así como la oportunidad de realimentarla y el estímulo paramejorarla.

Capítulo 1Ecuaciones generales del electromagnetismo

1.1. Definición de los campos eléctrico y magnético

La existencia de cargas eléctricas en movimiento relativo con respecto a un obser-vador que mide los efectos por ellas producidos altera todo el espacio de maneraque, en ese espacio, aparece un campo de fuerzas que viene dado por la ley expe-rimental, denominada fuerza de Lorentz:

F (r, t ) =q [E (r, t )+v (r, t )∧B (r, t )] [1-1]

donde:

q es una carga de prueba de valor suficientemente pequeño como para noalterar la distribución del sistema de cargas.

r es el vector de posición de la carga q .

t es el tiempo en el cual el observador realiza la medición.

v (r, t ) es la velocidad con respecto al observador de la carga de prueba q enel punto r y en el instante t .

E (r, t ) es un campo vectorial denominado campo eléctrico, cuya fuerza aso-ciada se denomina fuerza eléctrica, y

B (r, t ) es un campo vectorial denominado campo magnético o campo deinducción magnética, cuya fuerza asociada se denomina fuerza magnética.

1.2. Fuentes del campo: cargas y corrientes eléctricasmacroscópicas

Los campos E (r, t ) y B (r, t ) son originados, en general, por las cargas y corrienteseléctricas totales existentes en todo el espacio. A lo largo de toda la presente obra sesobreentenderá, salvo indicación expresa, que se verifican las hipótesis siguientes:

H1.2−1: punto de vista macroscópico,

H1.2−2: medio en reposo con respecto al observador,

2 1.2. FUENTES DEL CAMPO: CARGAS Y CORRIENTES ELÉCTRICAS

en cuyo caso las cargas y corrientes totales vienen dadas por:

ρt v (r, t ) =ρ f v (r, t )+ρp v (r, t ) [1-2]

Jt v (r, t ) = J f v (r, t )+ Jp v (r, t )+ Jm v (r, t ) [1-3]

donde:

ρt v (r, t ) representa la densidad volumétrica de carga total existente en elinstante t en el punto r, independientemente de que las cargas estén inte-gradas en alguna estructura (atómica, molecular, cristalina, etc.) o estén enforma de partículas aisladas. Cuando la materia está estructurada en molé-culas, es conveniente desglosar la carga total en carga libre y ligada.

ρ f v (r, t ) representa la densidad volumétrica de carga libre y tiene su origenen las acumulaciones macroscópicas de las cargas libres, entendiéndose porcarga libre toda aquella que no es ligada.

ρp v (r, t ) representa la densidad volumétrica de carga ligada o de polariza-ción. Consiste en acumulaciones macroscópicas de cargas que están presen-tes, a partes iguales, tanto en los núcleos como en las cortezas electrónicascircundantes de modo que se mantienen agrupadas (aunque puede cambiarsu posición relativa) cuando están sometidas a acciones externas.

Jt v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente total en la materia.

J f v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente libre, corriente quees debida al cambio en la posición absoluta de los baricentros de los porta-dores de carga libre que puedan existir tanto en el espacio vacío como en elseno de la materia. Esta corriente se denomina:corriente de conducción cuando es debida al movimiento de portadores decarga libre (electrones, iones, huecos, etc.) respecto al medio en el que estáninmersos, medio que, habitualmente, se mantiene eléctricamente neutro, ycorriente de convección cuando se trata del movimiento de un medio ma-terial que tiene una densidad de carga libre.

Jp v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente de polarización,corriente que es debida al cambio de posición relativa (macroscópica) entrelos portadores de carga ligada existentes en el seno de la materia.

Jm v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente de magnetización(conocida también como corriente equivalente o corriente de Ampère). Es-ta corriente está asociada al movimiento orbital de los electrones y al spin delas partículas constituyentes de los átomos, tanto libres como ligadas.

CAPÍTULO 1. ECUACIONES GENERALES DEL ELECTROMAGNETISMO 3

1.3. Relaciones entre los campos E y B y sus fuentes:ecuaciones de Maxwell

La dependencia de los campos E (r, t ) y B (r, t ) con las densidades de carga y de co-rriente está establecida mediante el sistema de ecuaciones diferenciales parciales,denominadas ecuaciones de Maxwell:

εo∇E (r, t ) =ρt v (r, t ) [1-4]

∇B (r, t ) = 0 [1-5]

∇∧E (r, t )+∂ B (r, t )∂ t

= 0 [1-6]

1

μo∇∧B (r, t )−εo

∂ E (r, t )∂ t

= Jt v (r, t ) [1-7]

donde:

εo es la constante denominada permitividad eléctrica del vacío cuyo valores:

εo =1

c 2μo≈ 8, 8542×10−12 C2

N ·m2[1-8]

siendo c la velocidad de la luz en el vacío y

μo es la constante denominada permeabilidad magnética del vacío cuyo va-lor es:

μo = 4π×10−7 N

A2 [1-9]

Estas ecuaciones diferenciales lineales nos indican, por una parte, que las den-sidades de carga y de corriente juegan el papel de fuentes de los campos E y B yaque contribuyen a la divergencia (fuentes de flujo) de E y al rotacional (fuentes devórtice) de B y, por otra, que es aplicable el principio de superposición a cada unode esos campos, es decir, el campo producido por una cierta distribución de cargasy corrientes es la suma de los que produciría cada carga y corriente por separado.

No obstante, las densidades de carga y de corriente dependen, a su vez, de lospropios campos, por lo que no son habitualmente conocidas. Para deshacer la in-determinación, es necesario establecer ciertas relaciones, denominadas constitu-tivas, entre la excitación electromagnética y la respuesta de los medios materialesa ella (que se reduce, en último término, a densidades de carga y de corriente).

4 1.4. CARGA LIBRE

Ello conducirá a la definición de cuatro vectores de campo, P (r, t ), D (r, t ), M (r, t )y H (r, t ), así como de tres magnitudes características del medio, ε, μ yσ, según sedetalla en las próximas secciones.

1.4. Carga libre

1.4.1. Distribuciones de carga libre

La densidad volumétrica de carga libre se define como:

ρ f v = lımΔv→0

ΔQ f

Δv=

dQ f

d v(límite macroscópico) [1-10]

donde ΔQ f es la cantidad de carga libre existente en Δv . La carga libre Q f en undominio V se podrá calcular, entonces, como:

Q f =

∫V

ρ f v d v [1-11]

Cuando:

H1.4−1: el espesor del volumen cargado es despreciable frente al resto de lasdistancias de interés,

la distribución de carga libre puede describirse mediante una densidad superficialde carga libre:

ρ f s = lımΔs→0

ΔQ f

Δs=

dQ f

d s(límite macroscópico) [1-12]

dondeΔs es el área de una porción de la superficie S sobre la que está concentradala carga. En este caso, la carga total sobre S será:

Q f =

∫S

ρ f s d s [1-13]

Si:

H1.4−2: el volumen es filiforme,

puede aplicarse una descripción en términos de una densidad lineal de carga li-bre:

CAPÍTULO 1. ECUACIONES GENERALES DEL ELECTROMAGNETISMO 5

ρ f l = lımΔl→0

ΔQ f

Δl=

dQ f

d l(límite macroscópico) [1-14]

siendo Δl la longitud de una porción de la línea L sobre la que está concentradala carga. En este caso, la carga total sobre L vendrá dada por:

Q f =

∫L

ρ f l d l [1-15]

Si:

H1.4−3: cualquier dimensión del volumen cargado es despreciable,

es aplicable el concepto de carga puntual q f , que puede describirse como unadensidad volumétrica, utilizando la distribución delta de Dirac tridimensionalδ (r),como

ρ f v =q f δ�

r− rq

�[1-16]

siendo rq la posición de la carga puntual.

1.4.2. Relaciones entre la carga libre y otras magnitudes del sistema

El valor de ρ f (r, t ) en un punto y un instante dados depende, en principio, de lasfuentes de carga, de las características del medio y de los valores de los camposeléctrico y magnético en todo el espacio y en todos los instantes anteriores.

En los materiales conductores, la carga libre puede desplazarse y ocupar cual-quier posición a lo largo del medio mientras que en los no conductores permanecefija. Puede recurrirse a [1-4] para obtener el valor local (en un punto) de ρ f (r, t ) apartir de las derivadas espaciales de E(r, t ) en ese punto, pero esa ley no es habi-tualmente aplicable directamente en la práctica puesto que E(r, t ) suele ser des-conocido. Además, las relaciones [1-4]- [1-7] nada dicen acerca del medio al quepertenece el punto r puesto que son válidas para todos los medios. Por eso, pa-ra obtener ρ f (r, t ) es necesario, en general, plantear la relación entre J f v (r, t ) yρ f v (r, t ) (ecuación de continuidad [1-35]) y la relación entre J f v (r, t ) y los cam-pos de fuerza existentes (eléctrico, magnético y otros), como se verá en el Cap. 1,Subsección 1.6.3.

Para establecer las relaciones entre las densidades superficiales de carga,ρ f s (r, t ), y los campos se utilizan las condiciones de frontera (condiciones que severán en el Cap. 1, Sección 1.10).

6 1.5. CARGA DE POLARIZACIÓN

1.5. Carga de polarización

1.5.1. Distribuciones de carga de polarización

Desde el punto de vista macroscópico, las acumulaciones de carga ligada quedantotalmente definidas por el vector polarización P(r, t ):

P(r, t ) = lımΔv→0

∑i

pi

Δv=

d p(r, t )d v

(límite macroscópico) [1-17]

donde pi es el momento dipolar eléctrico del i -ésimo átomo o molécula contenidaenΔv y el sumatorio se extiende aΔv .

A partir de este vector polarización se deduce la densidad volumétrica de car-ga de polarización:

ρp v (r, t ) =−∇P (r, t ) [1-18]

En los contornos del volumen ocupado por el material dieléctrico polarizado,la acumulación de carga ligada puede describirse mediante una densidad super-ficial de carga de polarización siendo su expresión:

ρp s (r, t ) =P (r, t ) ·an [1-19]

donde an es el versor normal a la superficie en el punto r, con sentido hacia elexterior del material.

1.5.2. Relaciones entre el vector polarización y el campo eléctrico

El campo eléctrico E (r, t ), por una parte, provoca desplazamientos relativos de losbaricentros de las cargas eléctricas positivas y negativas que conforman los áto-mos o moléculas (dando lugar a dipolos eléctricos) y, por otra, tiende a alinear esosdipolos con el campo. Todo ello influye en la polarización pero, en general, ésta de-pende no solo del campo eléctrico sino también de las propiedades del material.

Restringiendo el análisis a medios que cumplen la hipótesis:

H1.5−1: medio isótropo y lineal,

se verifica que P (ro , to), en un punto ro e instante to dados, depende de los valoresque haya tomado E (ro , t ) en ese punto en todos los instantes anteriores a to .

Si, además,

H1.5−2: el régimen temporal es sinusoidal de frecuencia angular ω,

CAPÍTULO 1. ECUACIONES GENERALES DEL ELECTROMAGNETISMO 7

es aplicable una relación entre fasores del tipo:

∧P (r,ω) = εo

∧χ e (r,ω)

∧E (r,ω) [1-20]

donde:

∧P y

∧E son las amplitudes complejas vectoriales de P y E y

∧χ e es un escalar complejo adimensional independiente del campo eléctricoaplicado denominado susceptibilidad eléctrica del material.

La expresión [1-20] indica explícitamente que∧χ e depende del punto.

Si, además de cumplirse las hipótesis H1.5−1 y H1.5−2, se puede suponer:

H1.5−3: medio homogéneo,

entonces∧χ e tendrá el mismo valor en todos sus puntos.

Si se cumple la hipótesis H1.5−1 y, además, se puede suponer que:

H1.5−4: en el rango de frecuencias de trabajo la susceptibilidad eléctrica esreal e independiente de la frecuencia,

entonces existe una relación simple entre los campos en el dominio temporal:

P (r, t ) = εoχe (r)E (r, t ) [1-21]

A partir de los campos E (r, t ) y P (r, t ) se define un nuevo campo de vectoresD (r, t ), denominado inducción eléctrica o desplazamiento eléctrico:

D (r, t ) = εo E (r, t )+P (r, t ) [1-22]

campo auxiliar que no tiene sentido físico pero que es de gran utilidad práctica.De [1-21] y [1-22] se deduce:

D (r, t ) = εo�

1+χe (r)�

E (r, t ) = εoεr (r)E (r, t ) =

= ε (r)E (r, t ) [1-23]

P (r, t ) = εo [εr (r)−1]E (r, t ) =�

1− 1

εr (r)

D (r, t ) [1-24.a ]

donde εr (r) = 1+χe (r) se denomina permitividad eléctrica relativa o constantedieléctrica del material y:

8 1.6. CORRIENTE LIBRE

ε (r) = εoεr (r) [1-24.b ]

se denomina permitividad eléctrica del mismo.

1.6. Corriente libre

1.6.1. Tipos de corriente libre

El movimiento macroscópico de cargas libres siempre puede describirse medianteel campo vectorial densidad volumétrica de corriente libre J f v (r, t )

J f v (r, t ) =∑

i

Ni (r, t )qf i vi (r, t ) [1-25]

donde:

Ni (r, t ) es el número de portadores del tipo i -ésimo por unidad de volumen.

qf i es la carga eléctrica de cada portador del tipo i -ésimo.

vi (r, t ) es la velocidad de los portadores del tipo i -ésimo respecto al referen-cial en que se mide J f v (r, t ), promediada en un entorno del punto r en elinstante t .

El sumatorio se extiende a todos los tipos (i = 1, 2, ...) de portadores de cargalibre existentes.

Se define la corriente libre (o intensidad de corriente libre) I f a través de unasuperficie S dada como la cantidad total de carga libre que atraviesa S por unidadde tiempo. Se cumple:

I f =

∫S

J f v (r, t ) ·d s [1-26]

1.6.1.1. Corriente de convección

Se denomina así a la parte de la corriente libre que es debida al movimiento de unmedio que tiene una densidad de carga libre. La densidad de corriente de convec-ción se puede expresar como:

J f v, conv (r, t ) =ρ f v u (r, t ) [1-27]

siendo u (r, t ) la velocidad del medio respecto al referencial en que se mide J f v, conv.

CAPÍTULO 1. ECUACIONES GENERALES DEL ELECTROMAGNETISMO 9

1.6.1.2. Corriente de conducción

Es la parte de la corriente libre que es debida al movimiento de portadores de cargalibre respecto al medio en que están inmersos. Los medios que soportan este tipode corriente se denominan conductores.

En procesos de conducción en metales, su volumen suele mantenerse eléc-tricamente neutro; sin embargo, la conducción en semiconductores y gases sueleestar acompañada de acumulaciones de carga libre.

La densidad de corriente de conducción tiene por expresión:

J f v, cond (r, t ) =∑

i

Ni (r, t )qf i v′i (r, t ) [1-28]

donde v′i (r, t ) está referida al medio que soporta la corriente. En el caso de que estemedio esté en movimiento con velocidad u (r, t ) respecto a un referencial dado y sise cumple:

H1.6−1: la velocidad del medio es mucho menor que la velocidad de la luz enel vacío

entonces puede sustituirse u+v′i = vi en [1-25]. En este caso, la densidad de co-rriente libre medida desde dicho referencial supone conducción y convección yviene dada por:

J f v =∑

i

Ni (r, t )qf i

�u+v′i

�=ρ f v u+

∑i

Ni qf i v′i [1-29]

Como ya se ha dicho en la Sección 1.2, daremos por supuesto en toda la obra,excepción hecha de los Capítulos 5 y 7 en los que se tratará el importante casode la inducción electromagnética en medios y circuitos móviles, que se cumple lahipótesis H1.2−2 (medio en reposo con respecto al observador), es decir, v′i = vi .

Aún en los casos en que el medio esté en movimiento, si u � c y ρ f v = 0 nohay diferencia entre las densidades de corriente libre medidas desde el referencial“medio” y el referencial fijo.

1.6.2. Distribuciones de corriente libre

Cualquier corriente libre real puede describirse macroscópicamente mediante ladensidad volumétrica de corriente libre J f v (r, t ), Figura 1.1.a ).

Sin embargo, es conveniente utilizar el concepto de densidad superficial decorriente libre J f s (r, t ) en los casos en los que: