electrotehnicĂusers.utcluj.ro/~cteodor/an2electro2/20200429...2020/04/29 · și infraroșii,...
TRANSCRIPT
1
ELECTROTEHNICĂ
Teoria circuitelor electrice
2
Capitolul 1.
1.1.Încadrarea teoriei circuitelor în electromagnetism
Numim circuit o mulțime de componente electrice și electronice interconectate în scopul realizării
unui anumit mod de prelucrare sau transmitere a unor semnale.
Numim sistem o mulțime de circuite, interconectate astfel încât se pot identifica perechi de borne
numite porți de intrare (intrări) și perechi de borne numite porți de ieșire (ieșiri).
În vorbirea comună a transmite sau a recepționa un semnal este sinonim cu un stimul sau o
informație la care se reacționează într-un anume fel (printr-o acțiune sau o nonacțiune). Același lucru
se întâmplă și în cazul circuitelor electrice, doar că aici semnalele sunt de natură electromagnetică.
Se poate vorbi despre prelucrări simple, ca redresarea sau filtrarea ajungându-se până la prelucrări
complexe de tipul codării sau compresiei semnalelor, după cum se poate vorbi și despre transmisii
simple începând cu transferul semnalului de la sursă către sarcină pe distanțe scurte și terminând cu
comunicațiile celulare sau transmisiile prin satelit.
De reținnut că aceste semnale pot fi constante în timp (de exemplu semnalele de curent continuu)
sau variabile în timp (periodice sau nu, deterministe sau aleatoare).
Din matematică se cunoaște că orice funcție de timp periodică care satisface condițiile lui Dirichlet
(este netedă pe porțiuni, adică mărginită cu un număr finit de discontinuități și un număr finit de
subintervale de monotonie), se poate descompune într-o serie Fourier care conține componente de
anumite frecvențe. Aceste frecvențe generează așa numitul spectru al funcției date, care în cazul unei
funcții periodice reprezintă un spectru discret. Prin analiză armonică se poate obține spectrul de
frecvență, care permite aprecierea ponderii energetice a fiecărei componente armonice a unui semnal
dat, precum și spectrul de fază ale semnalului.
Dacă semnalul nu este periodic seria Fourier se înlocuiește cu transformata Fourier, care furnizează
informații despre semnal sub forma unor spectre continue și anume funcția de densitate spectrală a
modulului, care de această dată permite aprecierea ponderii energetice a fiecărei frecvențe dintr-un
domeniu (bandă) continuu de frecvențe respectiv funcția de densitate spectrală a fazei unui semnal
la fiecare frecvență.
De aceea frecvența, respectiv spectrul discret sau continuu de frecvențe ale unui semnal reprezintă
o informație deosebit de utilă în alegerea metodelor de tratare ale circuitelor pe care sunt traficate
semnalele.
Teoria circuitelor dezvoltă două direcții de aplicații și anume:
- tehnica curenților tari (circuite și echipamente de forță), care fac obiectul preponderent al
prezentului demers
- tehnica curenților slabi (transmisia de informații, comunicații, sisteme automate)
Teoria circuitelor are la bază cunoștințe de electromagnetism și cunoștințe specifice de
matematică.
Este interesant de observat faptul că teoria electromagnetismului reușește să adune împreună
fenomene foarte diverse din electrotehnică, iluminat sau instalații electrice, electronică, unde radio
etc. Multiplele fațete ale electromagnetismului se datorează tocmai comportării diferite a undelor în
funcție de frecvență și a reacției materialelor la acestea.
Pentru ingineri în general noțiunea de electromagnetism gravitează în jurul liniilor de transmisie a
energiei electromagnetice, a antenelor și a undelor radio.
Totuși, această lume electromagnetică descrie și o altă clasă largă de fenomene, de la razele X, la
optică și radiațiile termice, toate la un loc baleind spectrul electromagnetic. În cadrul cursurilor de
fizică se precizează că toate aceste fenomene au ceva în comun și anume undele electromagnetice.
Chiar și profanii din punct de vedere tehnic sunt familiarizați cu acest concept și cu spectrul
electromagnetic care se întinde de la circuitele electrice și electronice spre circuitele de radiofrecvență
și infraroșii, lumina vizibilă terminând cu ultravioletele și razele X. În general se spune că toate aceste
unde diferă doar prin frecvența lor. Totuși chiar și pentru mulți dintre ingineri, devine complicat să
3
vadă prea multe elemente comune de-a lungul spectrului electromagnetic exceptând faptul că este
guvernat de aceleași ecuații matematice și anume ecuațiile lui Maxwell.
Totuși de ce ar fi lumina vizibilă atât de diferită de undele radio? Poate pentru că nimeni nu a auzit
de antene pentru lumina vizibilă, sau poate pentru că nimeni nu a ajuns să fabrice lentile în banda
radio FM sau TV.
Din nou răspunsul simplu ar fi acela că au frecvențe diferite, dar prin el însuși acest răspuns este
lipsit de utilitate, deoarece frecvența nu este singura caracteristică.
O undă electromagnetică se caracterizează printr-o frecvență f dată (adică numărul de oscilații
dintr-o secundă), o perioadă f
T1
= , o lungime de undă f
c= dată (c=3∙108 m/s, viteza luminii în
vid) dată și o cuantă de energie (foton) fhE = dată (E reprezintă valoarea minimă de energie care
poate fi transferată la frecvența f, iar h reprezintă constanta lui Planck). În funcție de aplicație, una
dintre aceste patru valori interdependente devine mult mai utilă decât celelalte în caracterizarea
undelor electromagnetice.
Pentru analiza liniilor de transmisie digitale, este utilă compararea timpului de creștere a
semnalului cu cel de scădere a acestuia. Pentru antene este de regulă mult mai intuitivă compararea
lungimii de undă a semnalului cu lungimea antenei. Dacă se examinează rezonanța și relaxarea
dielectricilor este mai utilă compararea frecvenței undelor cu frecvența de rezonanță a dipolilor
microscopici. Când însă interesează interacțiunea cu materia a razelor infraroșii vizibile, a
ultravioletelor sau razelor X, este cel mai adesea necesară referirea la energia fiecărui foton raportată
la energia electronilor orbitali din atomi.
Un concept important care ajută la înțelegerea electromagnetismului este acela de lungime
electrică, mărime adimensională care se referă la lungimea unui conductor sau dispozitiv la o anumită
frecvență dată. Ea mai este definită ca raportul dintre lungimea fizică a dispozitivului și lungimea de
undă corespunzătoare frecvenței semnalului: lungimea electrică = L/λ.
Se consideră spre exemplu o antenă de 1 m lungime. La 1 kHz această antenă are o lungime
electrică de aproximativ 3x10-6 m. Altfel spus, în unități de lungime de undă, 1 metru de antenă
măsoară 3x10-6 m la 1 kHz. Deci la 1 kHz antena este electric scurtă.
Totuși la 100 MHz, frecvență radio, antena are o lungime electrică de 0,3 m, deci este considerată
electric lungă. În general, orice dispozitiv al cărui lungime electrică este mai mică de l/20 poate fi
considerat electric scurt.
La frecvențe audio și sub acestea, < 20 kHz, undele electromagnetice au lungimi de undă foarte
mari. Lungimea de undă este în mod uzual mult mai mare decât lungimea oricăruia dintre
conductoarele utilizate în circuit. (O excepție ar putea-o constitui doar liniile telefonice lungi).
Atunci când lungimea de undă este mult mai mare decât lungimea conductoarelor, se pot aplica
legile de bază ale teoriei circuitelor nefiind necesară introducerea teoriei electromagnetismului.
Peste această lungime circuitele devin structuri radiante, radiind energie electromagnetică ce se
desprinde efectiv de structura generatoare și se propagă în spațiu sub forma unor unde
electromagnetice.
Un alt mod de a privi circuitele la joasă frecvență este acela că perioada (inversul frecvenței)
undelor este mult mai mare decât întârzierea prin conductoare. Ce ar putea însemna întârzierea în
conductoare? Când se lucrează în joasă frecvență se uită foarte ușor că de fapt semnalele electrice
sunt transportate prin unde și că acestea se deplasează cu viteza luminii, care chiar dacă este foarte
mare, nu este infinită. Astfel, chiar și atunci când se „aprinde lumina”, apare o întârziere înainte ca
becul să primească tensiune. Aceeași întârziere apare și atunci când se ascultă muzică în difuzoare.
Această întârziere este însă prea mică pentru percepția umană fiind ignorată de fiecare dată când
aproximăm un conductor cu un circuit electric scurt. Întârzierea în raport cu viteza luminii apare de
asemenea pe liniile telefonice, în care de această dată se pot percepe ecouri notabile (> 50 ms) în
cazul în care conexiunea este de lungime mare sau dacă se utilizează un satelit de transmisie.
4
Purtătoarele de mare distanță utilizează circuite electronice pentru suprimarea ecoului pentru
convorbirile internaționale.
Întârzierea vitezei luminii devine foarte importantă când se proiectează circuite RF sau de mare
viteză. De exemplu, la proiectarea unui sistem digital cu impulsuri cu timpi de creștere de 2 ns, un
cablu de 2 m introduce deja o întârziere semnificativă.
Electrotehnica și electronica reprezintă până la urmă științele proiectării sistemelor și
echipamentelor care utilizează circulația electronilor.
Electronii, de dimensiuni mici, încărcați cu sarcină negativă sunt liberi să se deplaseze în interiorul
conductoarelor. Datorită acestui fapt se poate deseori aproxima circulația electronilor cu curgerea
unui lichid. Este foarte comună utilizarea analogiei cu curgerea laminară a apei printr-o conductă.
Presiunea este analogă tensiunii electrice, iar curgerea apei analogă curentului electric. Pierderile prin
frecare în conductă sunt analoge rezistenței electrice. Căderea de presiune în conductă este
proporțională cu viteza de curgere multiplicată cu constanta de frecare a conductei. În termeni de
electricitate rezultă legea lui Ohm, deci căderea de tensiune de-a lungul unui element este egală cu
curentul care trece prin elementul de circuit respectiv, înmulțit cu rezistența elementului, Riu = .
Fie o pompă care preia apă, o transportă printr-o conductă și apoi eventual o recirculă înapoi în
rezervor. Apa din rezervor este considerată a fi la potențial zero, analog cu o referință sau o masă
electrică. Pompa este conectată la rezervorul de apă, producând presiunea necesară curgerii apei.
Pompa este analogă unei surse de tensiune electromotoare. Apa curge prin conducte unde apar frecări
care determină pierderi de presiune, după care revine în rezervor.
Din perspectivă energetică pompa reprezintă sursa de energie pentru apă, iar conductele pierderile
de energie prin frecare, pierderi care se transformă în căldură. Această analogie este evident una
aproximativă chiar și în curent continuu. Totuși teoria de bază a circuitelor poate fi gândită de aceeași
manieră.
Curentul circulă pe o buclă și este guvernat de teorema a II-a a lui Kirchhoff care spune că suma
tensiunilor în orice buclă este zero. Cu alte cuvinte pentru fiecare cădere de tensiune trebuie să existe
o sursă de tensiune corespunzătoare. Curentul circulă pe un traseu închis, iar totalul surselor de
tensiune pe traseul închis respectiv este întotdeauna egal cu tensiunea totală la bornele consumatorilor
(rezistoare, condensatoare, motoare, etc.). Teorema a II-a a lui Kirchhoff este de fapt o consecință a
conservării energiei.
Teorema I a lui Kirchhoff spune că atunci când două sau mai multe laturi de circuit converg,
curentul total este egal cu zero. Aceasta este chiar conservarea curentului, sau precis conservarea
sarcinii. În analogia hidraulică aceasta s-ar traduce prin aceea că apa nu poate părăsi sistemul, deci
cantitatea totală de apă din sistem rămâne constantă.
O altă regulă a bazei teoriei circuitelor este aceea că elementele de circuit sunt conectate prin
conductoare ideale. Conductoarele sunt considerate perfecte și de-a lungul lor nu apare cădere de
tensiune. De aceea conductoarele care leagă două elemente de circuit sunt considerate a fi la același
potențial electric.
Atunci când însă se operează cu circuite de radiofrecvență sau de frecvență ridicată este foarte
importantă însă o bună înțelegere a electromagnetismului. La aceste frecvențe, trebuie înțeles că
analogia electronilor care se comportă ca apa care curge printr-o conductă nu mai este de mult o
realitate. Circuitele sunt caracterizate de conductoare metalice care servesc doar ca ghid pentru
energia electromagnetică. Energia circuitelor (deci a semnalelor) este purtată între fire şi nu în
interiorul acestora.
Ca un exemplu se consideră liniile de alimentare de joasă tensiune care alimentează consumul
casnic la 50 Hz. Energia este transportată în câmpul electromagnetic dintre fire, lucru uneori confuz
și greu de acceptat pentru proiectanții de circuite. Mai mult, electronii din conductoare nu sunt mișcați
în adevăratul sens al cuvântului ci sunt doar deplasați înainte și înapoi cu viteze mici de ordinul a
câțiva mm/secundă și prin această deplasare ei propagă energia câmpului de-a lungul firelor
conductoare.
5
O analogie bună poate fi aceea a unor voluntari care utilizează găleți pentru stingerea unui
incendiu. Un șir indian, analog electronilor interpus între sursa de apă (sursa de semnal) și foc
(sarcină, consumator), dau gălețile din mână în mână de-a lungul liniei din om în om. Apa va stinge
focul. Oamenii sunt acolo doar pentru a da găleata de-a lungul șirului. Similar, electronii servesc doar
pentru a trece semnalul electromagnetic de la sursă către sarcină. Acest lucru este adevărat pentru
toate frecvențele, de la curent continuu, la joasa frecvență până la înalta frecvență.
Mai mult, la frecvențe de microunde, în domeniul GHz, teoria circuitelor nu mai este absolut deloc
folositoare. În loc a privi circuitele ca niște electroni curgând prin conductoare este mult mai util să
ne gândim la circuite ca la structuri care ghidează și cuplează undele electromagnetice. La aceste
frecvențe elementele de circuit concentrate, ca rezistoarele, condensatoarele și inductivitățile sunt cel
mai adesea neviabile.
Ca un exemplu, lungimea de undă în spațiu liber pentru un semnal de 30 GHz este de 1 cm. De
aceea componentele însele au dimensiuni mult mai mari sau comparabile cu lungimea de undă, deci
sunt electric lungi și nu se comportă cum ar fi dorit. Noțiunile de tensiune electrică și curent electric
nu se mai utilizează. Această situație începe să se apropie de optică, începând să se vorbească despre
putere transmisă și reflectată în loc de tensiune și curent.
Actualmente domeniul infraroșu al spectrului este acela în care are loc tranziția dintre electronică
și optică. Porțiunea inferioară a domeniului, numită „infraroșu îndepărtat” (far infrared) reprezintă o
extensie a domeniului microundelor. La origine, extremitatea superioară a domeniului microundelor,
300 MHz, a fost considerată cea mai ridicată frecvență viabilă pentru electronică. Odată cu progresul
tehnologic însă limitele electronicii s-au extins și în infraroșu. Lungimile de undă din infraroșu sunt
de sub 1 mm, implicând faptul că până și un fir de 1 mm este electric lung și radiază energie de la
curenții electrici care îl parcurg. Din acest motiv miniaturizarea nu mai reprezintă un „moft”, fiind
absolut obligatorie.
La momentul actual s-a ajuns la experimentarea unor circuite integrate de câțiva terasezi (1012 Hz)
iar circuitele digitale de ordinul zecilor de GHz au ajuns deja să se comercializeze pentru aplicații în
comunicații. Dispozitivele de terasezi au fost create cu câțiva zeci de ani în urmă prin utilizarea
tehnicii vidului în tuburi, dar evident că acestea nu erau viabile pentru componente de tehnică de
calcul. A face dispozitivele digitale să treacă pragul vitezei teraherzilor va reprezenta fără îndoială o
mare provocare.
Doar timpul va hotărî care va fi limita ultimă de viteză pentru electronică. Ceea ce este însă aproape
sigur este aceea că limitele electronicii vor fi atinse undeva în domeniul infraroşu.
Efectele cuantice, cum ar fi efectul tunel cauzează de asemenea probleme în infraroșu. Proprietățile
celor mai multe materiale încep să se modifice în infraroșu. Conductoarele își schimbă proprietățile,
dielectricii au pierderi mari. Chiar și dielectricii transparenți în domeniul vizibil al spectrului, cum
sunt sticla, devin opaci în infraroșu. Fotonii din infraroșu devin comparabili cu fotonii la frecvențe
radio și chiar mai jos de acestea, putând excita frecvențe de rezonanță în materiale. O altă
caracteristică a infraroșului este aceea că maximul radiației de căldură apare în infraroșu pentru
materiale între temperatura camerei 20˚ C și câteva mii de grade Celsius. Aceste caracteristici fac ca
materialele să absoarbă și să emită radiații în infraroșu. Acesta este și motivul pentru care omul poate
simți radiația în infraroșu. Căldura simțită de la lămpile cu incandescență este în cea mai mare parte
radiație în infraroșu, fiind absorbită foarte ușor de corpul uman.
La frecvențele luminii vizibile, cresc pierderile pentru mai mulți dielectrici. Sticla spre exemplu
este potențial fără pierderi în raport cu lumina vizibilă fapt pentru care este transparentă. Deoarece
ochiul uman este în cea mai mare parte apă, iar apa este transparentă în spectrul vizibil, permite
vederea. În caz contrar ochiul uman ar fi opac și nu ar mai fi folositor. Coeficientul de absorbție al
apei creste însă cu mai mult de șapte ordine de mărime spre fiecare extremitate a benzii vizibile a
spectrului. Deci ar fi imposibil să se creeze ochi pe bază de apă pentru oricare altă parte a spectrului.
Toate creaturile dotate cu vedere exploatează această regiune îngustă a spectrului!
La frecvențe vizibile, se poate utiliza aproximațiile opticii geometrice. Aceste aproximații devin
valide atunci când obiectele utilizate devin mai mari decât o lungime de undă. Această frecvență
6
extremă este opusul aproximației teoriei circuitelor. Aproximația este uzual numită rază deoarece
lumina poate fi aproximată cu raze sau flux de particule. Newton care a dezvoltat optica geometrică
a argumentat cu tărie că lumina constă din particule şi nu este o undă. Huygens a dezvoltat teoria
ondulatorie a luminii și experimentele au susținut-o.
Cele mai multe fenomene din vizibil, inclusiv vederea umană pot fi studiate cu ajutorul opticii
geometrice. Teoria ondulatorie a luminii este uzual necesară pentru a studia difracția și lumina
coerentă (baza laserilor). Teoria ondulatorie este necesară de asemenea pentru a explica limitele de
rezoluție a sistemelor optice. Un microscop care utilizează lumina vizibilă va putea avea rezoluție
pentru obiecte până la o anumită lungime de undă și sub aceasta.
În domeniul ultraviolet de frecvențe și peste (raze X, etc.) fiecare foton devine atât de energetic
încât poate scoate electronul de pe orbita sa. Electronul devine liber și atomul ionizat. Moleculele
care absorb aceste energii mari ale fotonilor pot pierde electronii ceea ce face ca ele să se lege între
ele. Se produc ionii și moleculele înalt reactive numite radicali liberi. Aceștia determină modificări
celulare putând conduce la cancer și la distrugerea țesuturilor biologice. Fotonii din vizibil și
infraroșu pe de altă parte sunt mult mai puțin energetici cauzând numai încălzirea moleculelor. Se
simte încălzirea de la radiația infraroșie a soarelui. Se vede lumina radiației vizibile a soarelui. Pielea
este arsă de radiațiile ultraviolete ale soarelui.
Fotonii razelor X, fiind puternic energetici sunt chiar mai dăunători. Cele mai multe materiale sunt
în asemenea măsură transparente la razele X, încât permit fotografierea cu raze X dând posibilitatea
omului de a vedea prin obiecte. Dar atunci când razele X sunt absorbite, ele determină distrugerea
celulelor, motiv pentru care nu se recomandă decât expunerea limitată la razele X. Lungimea mică de
undă a razelor X este utilă pentru studiul cristalelor, utilizându-se efectele de difracție (ocolire a
obstacolelor). Deasupra razelor X din punctul de vedere a energiei, se situează radiațiile gama și
radiațiile cosmice. Aceste radiații de energie extrem de mare apar numai în fenomene de înaltă energie
cum ar fi coliziuni de particule în centrale nucleare, bombe atomice sau stele.
Circuitele pot fi create pentru a transmite, amplifica și filtra semnalele, digitale sau analogice, cum
ar fi spre exemplu cele de voce sau date. Dorința de a împinge circuitele spre frecvențe tot mai înalte
este determinată de două aplicații: calculatoarele și liniile de comunicații.
Pentru calculatoare frecvențe mai ridicate înseamnă operare mai rapidă și putere de calcul mai
mare într-un timp rezonabil. Pentru comunicații, frecvențe mai ridicate înseamnă însă lățime de bandă
mai mare.
Mitingul acestora este dat de oscilatoare. Computerele sunt în general sincrone și necesită un
semnal de ceas. Liniile de comunicații necesită o purtătoare pentru modularea informației transmise.
De aceea, o nevoie esențială pentru progresul electronicii este aceea de a crea oscilatoare, care servesc
ambelor categorii de aplicații.
În ultimii zeci de ani, fotonica a început să devină o alternativă la electronică, mai ales în
sistemele de comunicații. Laserii și fibra optică sunt utilizate pentru a crea și transmite impulsuri de
o lungime de undă dată a luminii. În termeni de optică o sursă de frecvență unică este cunoscută sub
numele de sursă coerentă. Laserii produc fotoni sincronizați sau coerenți. Lumina întâlnită în viața
de zi cu zi, de la soare sau becuri nu este una coerentă. Dacă ar putea fi privită la un osciloscop aceasta
ar arăta mai mult ca un zgomot. De fapt lumina vizibilă utilizată pentru a vedea este un zgomot- și
anume zgomotul termic al obiectelor calde, cum ar fi soarele sau filamentul becurilor. Termenul de
„zgomot alb” provine de la faptul că zgomotul optic conține toate frecvențele (culorile) vizibile
rezultatul fiind culoarea albă. Același tip de zgomot alb apare și în rezistoare și toate elementele de
circuit.
Cele mai multe dispozitive de captarea imaginii, cum ar fi camerele de luat vederi sau ochiul uman
utilizează media pătratică a amplitudinii luminii recepționate. (Examinarea la nivel cuantic arată că
dispozitivele de captare a imaginii nu sunt altceva decât detectoare/numărătoare de fotoni.) Medierea
permite utilizarea de semnale zgomotoase pentru a vedea, dar din cauza medierii se pierd toate
informațiile legate de fază. Pentru crearea de dispozitive sofisticate de comunicații, o astfel de lumină
7
nu este potrivită. În locul acesteia se utilizează lumina coerentă de frecvență unică furnizată de laseri,
aceștia făcând posibilă comunicația prin fibra optică.
Până recent, limitarea majoră a fotonicii era aceea că semnalele de impuls ale laserilor trebuiau
convertite în semnale electronice pentru orice fel de procesare. De exemplu, în echipamentele de
comunicații de date, funcțiile majore sunt comutarea, multiplexarea și rutarea datelor între cabluri,
funcții care în trecut puteau fi realizate numai de semnalele electronice. Aceste cerințe limitau lățimea
de bandă a cablului de fibră optică la lățimea de bandă electronică maxim disponibilă. În ultima
vreme, odată cu progresele înregistrate în multiplexarea și comutarea optică o serie de sarcini pot fi
realizate prin intermediul fotonicii.
Creșterea exponențială a vitezelor de transmisie a fost determinată de tehnologia fibrelor optice.
Ultima realizare a fost determinată de crearea de echipamente care să poată ruta protocolul de Internet
utilizând numai fotonica. Aceasta va conduce probabil spre computerul optic, care va determina
progrese fantastice în viteză comparativ cu calculatoarele electronice de astăzi.
În concluzie se poate spune că pentru diferitele porțiuni ale spectrului electromagnetic se folosesc
diferite tehnici și diferite aproximații, iar teoria circuitelor reprezintă o aproximație pentru circuitele
de joasă frecvență care funcționează când circuitele sunt electric scurte.
Deci, pentru diferitele porțiuni ale spectrului electromagnetic se folosesc diferite tehnici şi diferite
aproximații. Criteriul care separă metodele de studiu îl reprezintă lungime electrică.
Teoria circuitelor reprezintă o aproximație pentru electrotehnica și electronica de joasă frecvență,
care funcționează când circuitele sunt electric scurte, adică dimensiunile lor fizice sunt mult mai mici
decât lungimea de undă a semnalelor care le parcurg. Atunci când lungimea de undă este mult mai
mare decât lungimea conductoarelor, se pot aplica legile de bază ale teoriei circuitelor nefiind
necesară introducerea electromagnetismului.
Peste aceste frecvențe, când conductoarele devin electric lungi, teoria radiofrecvenței (RF) preia
teoria circuitelor și îi adaugă câteva concepte de electromagnetism. Teoria RF se ocupă de calculul
efectelor în liniile de transmisie și de radiația antenelor. La frecvențe de microunde proiectarea
circuitelor cu elemente concentrate cum ar fi R, L, C, este imposibilă deoarece lungimile de undă sunt
mult prea mici. Se utilizează tehnicile distribuite pentru a ghida și procesa undele. În infraroșu deja
nu mai putem proiecta circuite. Lungimile de undă sunt excesiv de mici ceea ce face imposibilă
utilizarea elementelor active cum sunt tranzistoarele iar cele mai multe materiale încep să aibă
pierderi, absorbind sau radiind energie electromagnetică.
La frecvențele luminii vizibile, lungimile de undă sunt mult mai mici decât obiectele obișnuite pe
care le poate observa ochiul uman. În acest domeniu se utilizează aproximația opticii geometrice.
Optica geometrică reprezintă limita teoriei electromagnetismului pentru care lungimea de undă
devine infinit mai mică decât dispozitivele utilizate.
La frecvențe peste cele luminoase, fotonii devin înalt energetici, capabili să rupă legăturile
moleculare și să determine leziuni ale țesuturilor umane.
1.1.1.Regimurile de funcționare și aproximațiile circuitelor electrice
Din punct de vedere macroscopic, sunt puse în evidență următoarele regimuri de funcționare a
circuitelor electrice:
- Regimul static, în care nu se produc transformări energetice iar mărimile sunt constante în
timp; fenomenele electrice și cele magnetice nu sunt interdependente, analiza acestora putând
fi abordată separat.
- Regimul staționar, în care mărimile electrice nu variază în timp, dar au loc transformări
energetice în sistem, determinate de deplasarea ordonată a sarcinilor electrice.
Curentul continuu reprezintă exemplul cel mai relevant pentru regimul staționar, acesta
existând doar sub forma curentului de conducție sau de convecție.
- Regimul nestaționar (variabil), reprezintă cazul cel mai general de variație a mărimilor
electrice.
8
În regimul nestaționar pe lângă curentul de conducție și convecție poate exista și curentul de
deplasare, care circulă prin dielectrici.
- Regimul cvasistaționar, în care variația în timp a mărimilor electrice este suficient de lentă,
astfel încât radiația câmpului electromagnetic poate fi neglijată.
Studiul circuitelor electrice prin metode simple, se poate face dacă sunt îndeplinite următoarele
condiții:
- regimul cvasistaționar de funcționare al circuitului,
În regim cvasistaționar mărimile de stare electrică și magnetică asociate elementelor
(componentelor) de circuit variază lent în timp (cu frecvență scăzută) cu o viteză mult mai mică decât
viteza lor de propagare, determinată după cum s-a văzut în paragraful anterior de lungimea electrică
a circuitelor.
În regim cvasistaționar curenții electrici de deplasare se neglijează peste tot cu excepția
dielectricului condensatoarelor. Condiția pentru a putea considera acest regim depinde numai de
frecvența semnalelor din circuit.
- caracterul filiform al unui circuit,
Acesta presupune a considera intensitatea curentului repartizată uniform pe secțiunea
conductorului. Această condiție depinde de asemenea de frecvență fiind mai restrictivă chiar decât
prima, deoarece atunci când ea nu este îndeplinită se modifică parametrii care caracterizează circuitul,
valorile acestora fiind dependente de frecvență.
Circuitul se poate considera filiform dacă este îndeplinită condiția:
al
=
(1.1.)
în care a reprezintă raza conductorului, σ - conductivitatea conductorului, μ - permeabilitatea
magnetică a conductorului, ω=2πf - pulsația (f - frecvența), iar δ poartă numele de adâncime de
pătrundere a câmpului electromagnetic în conductor.
Denumirea de adâncime de pătrundere reflectă așa numitul efect pelicular, care se traduce prin
faptul că un câmp electromagnetic, respectiv curentul care îl generează nu se repartizează uniform pe
secțiunea conductorului, acesta din urmă circulând într-o primă aproximație doar pe o coroană
circulară de adâncime δ.
- caracterul perfect izolant al dielectricului (izolației) din jurul circuitului,
Acesta presupune că nu există scurgeri de curent de conducție între două componente, oricât de
apropiate ar fi acestea în spațiu.
1.2. Semnale electrice
Literatura de specialitate abundă în definiții ale semnalului, de regulă subsumate scopului principal
urmărit în studiu.
Semnalul, în cea mai largă accepțiune a noțiunii, este o manifestare fizică (undă
electromagnetică, undă sonoră, etc.) capabilă a se propaga printr-un mediu dat. În sens restrâns
semnalul exclude acele manifestări care dăunează mediului de transmisie, adică perturbațiile care
reprezintă semnale care modifică semnalul aleator util, micșorând cantitatea de informație transmisă.
Prin restrângerea și mai mult a domeniului numai la semnalele deterministe, caracterizate de
funcții matematice certe, de variabilă timp, definite printr-un număr finit de parametri și pentru care
interesează mai puțin conținutul în informație a semnalului, prin semnal se va înțelege o mărime
electrică sau electromagnetică măsurabilă care se modifică în timp.
Din punctul de vedere a teoriei circuitelor, semnalul electric reprezintă o mărime fizică (de tip
tensiune sau intensitate de curent) cu ajutorul căreia se transmit informații, comenzi, energie
electromagnetică etc., fiind o funcție de timp din punct de vedere matematic.
Studiul proprietăților semnalelor electrice vizează următoarele aspecte:
- determinarea spectrului unui semnal și a mărimilor sale caracteristice
- determinarea puterii și energiei transmise printr-un semnal
9
- determinarea răspunsului unui circuit la un semnal dat
Evident, cel mai simplu semnal este semnalul continuu, constant în timp, formă particulară de
semnal variabil.
Există trei structuri de bază pentru transmiterea unui semnal electric între două puncte:
- linii de transmisie conductoare
- ghiduri de undă
- antene
1.2.1.Semnale periodice
Semnalele periodice reprezintă semnale variabile în timp care se repetă identic cu ele însele la
intervale egale de timp și pot fi descrise de o funcție periodică:
( ) ( ) )( nTtiTtiti +=+= (1.2.)
în care T [sec.] reprezintă perioada semnalului fiind intervalul de timp după care semnalul se repetă.
(Fig. 1.1)
Fig. 1.1
Numărul de perioade cuprinse în unitatea de timp se numește frecvență T
f1
= și se măsoară în Hz
(secunde-1).
Pulsația sau frecvența unghiulară a semnalului periodic este: T
f
2
2 == și se măsoară în
rad/sec sau sec-1.
Legătura 2=T arată că pe timpul unei perioade T faza semnalului se modifică cu 2π.
1.2.2. Semnale alternative
Semnalele alternative reprezintă un caz particular de semnale periodice
Semnalele alternative sunt semnale periodice a căror valoare medie pe o perioadă este nulă.
Mărimile caracteristice ale unui semnal alternativ sunt:
- valoarea instantanee i=i(t) reprezintă valoarea pe care o ia semnalul i(t) la un moment
oarecare t în evoluția semnalului, fiind dată analitic prin expresia i(t) sau prin graficul ei
- valoarea de vârf i reprezintă cea mai mare valoare instantanee atinsă într-o perioadă (această
mărime este importantă pentru semnalele de tip tensiune deoarece o supratensiune instantanee
poate fi periculoasă pentru elementele de circuit, ea solicitând de regulă izolația
echipamentelor caracterizată de tensiunea de străpungere)
- valoarea medie Imed reprezintă media aritmetică a valorilor instantanee pe intervalul de
mediere. Pentru intervalul de timp (t1,t2) media este:
( )dttitt
I
t
t
med −=
2
112
1 (1.3.)
10
- valoarea medie redresată reprezintă valoarea medie a semnalului ( )ti , în care datorită
funcției modul alternanțele negative au fost rabătute simetric față axa timpului, operație care
în electrotehnică (electronică) poartă numele de redresare, iar semnalul ( )ti se numește
semnal redresat
( )dttitt
I
t
t
medr −=
2
112
1 (1.4.)
Obs.: Conform definiției valoarea medie a unui semnal alternativ pe o perioadă trebuie să fie zero,
ceea ce revine la egalitatea ariilor alternanței pozitive și negative, închise de graficul semnalului și
axa timpului. Semnalul redresat reprezintă un semnal pulsatoriu situat în permanență de-asupra axei
timpului, deci de valoare medie nenulă.
- valoarea efectivă (eficace) a unui semnal alternativ este din punct de vedere matematic
valoarea medie pătratică a valorilor instantanee pe timp de o perioadă:
( )==
T
ef dttiT
II0
21 (1.5.)
Din punct de vedere fizic valoarea efectivă a unui curent variabil (nu neapărat periodic sau
alternativ) este numeric egală cu intensitatea unui curent continuu care străbătând aceeași rezistență
cu cea a curentului variabil produce aceeași cantitate de căldură (prin efect Joule) în același interval
de timp.
Obs.: Datorită inerției mecanice a echipajului mobil a instrumentelor de măsură cu ac, respectiv
a inerției ochiului și a timpilor de răspuns a afișajelor instrumentelor de măsură digitale, acestea nu
pot urmări variațiile instantanee ale mărimilor variabile măsurate, motiv pentru care acestea indică în
marea lor majoritate valoarea efectivă.
1.3.Semnale sinusoidale
1.3.1. Mărimi caracteristice
Semnalul sinusoidal reprezintă un semnal de tip alternativ de forma:
( )im tIi += sin (1.6)
reprezentat grafic în Fig. 1.2., pentru care:
Fig. 1.2
Im - reprezintă amplitudinea semnalului (valoarea de vârf)
( )it + - reprezintă faza semnalului
i - reprezintă faza inițială (adică distanța de la originea arbitrar aleasă până la cea mai
apropiată trecere prin zero în sens crescător
Valoarea efectivă a semnalului sinusoidal este:
11
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
0 0 0
1 1sin 1 cos 2
2 2
T T T
m m mi i
I I II i t dt t dt t dt
T T T = = + = − + =
respectiv : 2
mef
III == sau II m 2= (1.7.)
ceea ce permite scrierea unui semnal sinusoidal sub așa numita formă normală electrotehnică (forma
uzuală în electrotehnică):
( )itIi += sin2 (1.8.)
Defazajul dintre două mărimi sinusoidale reprezintă diferența dintre fazele a două semnale
sinusoidale de aceeași pulsație:
( )111 sin2 += tIi și ( )222 sin2 += tIi , reprezentați grafic în Fig. 1.3.
Fig. 1.3
Defazajul dintre i1 și i2 (de o aceeași frecvență) este:
( ) ( ) 212112 −=+−+= tt (1.9)
cu alte cuvinte este egal cu diferența dintre fazele inițiale ale celor două semnale sinusoidale.
Într-o reprezentare grafică carteziană defazajul 12 semnifică „distanța minimă” între două treceri
prin zero în sens crescător ale celor două semnale ( ) 12
Valoarea lui 12 dă o indicație asupra poziționării semnalelor pe axa timpului (Fig. 1.4, a – e):
012 , semnalul i1 este defazat înaintea lui i2 (i1 trece prin zero în sens crescător înaintea lui i2,
deci într-un moment anterior)
Fig. 1.4.a
012 , semnalul i1 este defazat în urma lui i2 (i1 trece prin zero în sens crescător în urma lui i2,
deci într-un moment posterior)
Fig. 1.4.b
12
012 = , semnalele i1 și i2 sunt în fază
Fig. 1.4.c
212
= , semnalele i1 și i2 sunt în cuadratură
Fig. 1.4.d
=12 , semnalele i1 și i2 sunt în opoziție de fază
Fig. 1.4.e
1.3.2.Metode de reprezentare simbolică a semnalelor sinusoidale
Unui semnal sinusoidal de forma ( )itIi += sin2 i se pot atașa mai multe reprezentări, pe de
o parte cu scopul de a face mai intuitivă perceperea acestor mărimi, iar pe de altă parte pentru a crea
posibilitatea simplificării calculelor. Astfel, nu se va opera cu mărimile original ci cu așa numitele
mărimi imagine.
Se poate ușor observa că un semnal sinusoidal este complet determinat dacă i se cunoaște
amplitudinea II m 2= (sau valoarea efectivă I) și faza ( )it + (sau faza inițială i ).
Obs.: În cele mai multe situații este suficient să se cunoască numai faza inițială i deoarece
pulsația în circuitele pe care se vor studia este una singură și de regulă cunoscută, corespunzătoare
frecvenței de 50 Hz de producere a energiei electrice în Uniunea Europeană. Corespunzător acestei
frecvențe, pulsația este: =314 rad/sec.
Metodele de reprezentare simbolică se clasifică în:
- reprezentări geometrice
- reprezentări analitice
13
1.3.2.1. Reprezentări geometrice
Analog unui semnal sinusoidal și un vector liber în plan este caracterizat tot prin două mărimi
independente și anume prin modulul și prin argumentul său (prin argument înțelegând-se unghiul
făcut de acesta cu o axă de referință), de unde ideea de a pune în corespondență biunivocă cele două
mărimi: originalul i(t) și imaginea sa vectorul liber V(i).
Aceasta dă naștere la două reprezentări geometrice:
a. reprezentarea cinematică (prin vectori rotitori)
b. reprezentarea fazorială (prin vectori ficși, sau vectori polari)
În reprezentarea cinematică semnalului sinusoidal „i” îi asociem un vector rotitor OA de modul
egal cu amplitudinea semnalului ( )IOA 2= care face cu axa de referință Ox0 un unghi egal cu
faza ( )it + . Axa Ox numită axă origine de fază se rotește odată cu vectorul OA , cu viteza
unghiulară . Cu alte cuvinte axa origine de fază Ox, va păstra tot timpul unghiul i cu vectorul
rotitor OA .
Deci asocierea biunivocă este:
( )itIi += sin2 OA= V(i), în care
+=
=
itAOx
IOA
0 (1.10)
Fig. 1.5
Revenirea la originalul i(t) se face prin proiecția vectorului OA pe axa Oy0, ca în Fig. 1.5.
Obs.: Dacă se reprezintă pe aceeași diagramă mai multe mărimi de aceeași frecvență, vectorii
asociați vor face cu axa Ox care se rotește, unghiuri egale cu fazele lor inițiale și se vor roti împreună
cu același în sens trigonometric. Defazajul dintre două mărimi apare ca defazajul dintre vectorii
rotitori asociați. Dacă 012 defazajul apare în sens trigonometric. Deoarece ( ) 12, acesta este
univoc determinat într-o anumită reprezentare.
În reprezentarea fazorială, care este de fapt o simplificare a reprezentării cinematice, modulul este
egal cu valoarea efectivă I și argumentul față de axa Ox este egal cu faza inițială i . (Fig. 1.6.)
Fazorii, vectori ficși nu se mai rotesc în sens direct cu viteza unghiulară , ci sistemul de referință
este cel care se rotește în sens invers cu (acest sistem de axe nu se mai reprezintă, dar mintal trebuie
să îl avem în considerare), obținând-se o așa numită epură statică relativă. Corespondența biunivocă
prin fazori este:
=
=
iAOx
IOA
2 (1.11.)
Obs.: Dacă se reprezentă mai multe mărimi (de aceeași pulsație ) pe aceeași diagramă (numită
în mod curent diagramă fazorială), se poate renunța la axa Ox, putându-se alege una dintre mărimi
drept origine de fază, mărime la care să se raporteze toate fazele inițiale ale celorlalte mărimi.
14
Fig. 1.6
1.3.2.2. Reprezentări analitice (în complex)
Unui număr complex îi corespunde un punct din planul complex (planul lui Gauss 10j) numit
afixul său, caracterizat de vectorul de poziție al acelui punct (Fig. 1.7). Se știe că un număr complex,
întocmai ca un vector liber în plan sau ca un fazor este caracterizat tot de un modul și un argument,
de unde ideea asocierii biunivoce dintr-un număr complex și un semnal sinusoidal.
În locul planului abstract din reprezentările geometrice putem considera planul complex.
Obs.: Deoarece în electrotehnică simbolul „i” este rezervat semnalelor de curent, pentru evitarea
confuziilor s-a consacrat notația j= 1− , respectiv j2=1, iar mărimile electrice imagine complexe se
notează cu bară la partea inferioară.
Fig. 1.7
Un număr complex
în scriere algebrică va fi: jbaz +=
în scriere exponențială va fi: jezz =
în scriere trigonometrică va fi: ( ) sincos += jzz
în care za Re= reprezintă partea reală a numărului complex, zb Im= partea imaginară a
numărului complex, 22 baz += modulul numărului complex, iar a
barctg= , faza numărului
complex.
Obs. Deseori pentru scrierea exponențială se utilizează o formă simplificată:jz ze z = = .
La fel ca în cazul reprezentărilor geometrice și în această situație se disting două reprezentări
analitice:
a. reprezentarea complex nesimplificată
b. reprezentarea complex simplificată
15
În reprezentarea complex nesimplificată, semnalului sinusoidal ( )itIi += sin2 i se atașează
o funcție complexă de timp al cărei modul este amplitudinea mărimii sinusoidale I2 iar a cărei fază
este fază mărimii sinusoidale ( )it + , sub forma:
( )itIi += sin2 ( )itjIei
+= 2 =C(i) (1.12)
C(i) poartă numele de valoare instantanee complexă.
Dar în conformitate cu formula lui Euler: ( ) ( )ii
tjtIjtIIei i +++==
+sin2)cos(22 (1.13)
În expresia 1.13. partea imaginară a numărului complex reprezintă chiar revenirea la original,
adică la domeniul timp.
Dacă într-un circuit toate semnalele au aceeași frecvență, termenul t poate fi omis și de
asemenea se omite și factorul 2 , fără a afecta calculele. În această situație se vorbește despre
reprezentarea în complex simplificată.
Corespondența biunivocă în această situație devine:
( )itIi += sin2 ijIeI
= =C(i) (1.14)
Această imagine în complex poartă numele de valoare efectivă complexă a semnalului și are
modulul egal cu valoarea efectivă și faza egală cu faza inițială.
Revenirea din „complex” în „timp” se realizează similar cu situația precedentă, plus reconsiderarea
termenului și factorului omis, la partea imaginară a numărului complex.
Reprezentarea complex nesimplificată se asociază cu reprezentarea prin vectori rotitori, iar cea
complex simplificată cu reprezentarea fazorială, rezultând reprezentarea fazorială complexă, cel mai
mult utilizată în practică.
De aceea când se vorbește despre diagrama fazorială se va înțelege reprezentarea fazorială
complexă a acesteia.
1.3.2.3. Corespondența operațiilor
S-a văzut în secțiunea precedentă cum unui semnal sinusoidal i se pot asocia reprezentări
geometrice și în complex sub forma:
( )itIi += sin2 V(i) C(i) (1.15)
În cele ce urmează se va arăta corespondența dintre operațiile cu mărimile imagine în raport cu
mărimile original (sinusoidale):
a. adunarea și scăderea
21 ii 21 ii 21 II (1.16)
V ( )21 ii =V(i1) V(i2)
C ( )21 ii =C(i1) C(i2) (1.17)
Relațiile care dau valoarea efectivă și faza inițială pentru suma, respectiv diferența a două semnale
sinusoidale coincid cu relațiile corespunzătoare de la adunarea, respectiv scăderea a doi vectori cu
regula paralelogramului (Fig. 1.8) și cu regula de adunare respectiv scădere a două numere complexe.
Fig. 1.8
16
Pentru mai mulți termeni se apelează la regula poligonului pentru compunerea vectorială, sau a
compunerii după două axe ortogonale.
b. derivarea
( )
++=+=
2sin2cos2
ii tItI
dt
di
( )ijIe
dt
d
dt
iditj
==+
}2{ (1.18)
Deoarece imaginea I nu este o funcție de timp, operația de derivare a acesteia în raport cu timpul
nu are sens, însă I se poate obține din i omițând în scriere factorul tje 2 și deci:
Ijdt
Id= (1.19)
după aceeași regulă ca și derivarea lui i .
În concluzie: prin derivare modulul crește de ω ori, iar faza crește și ea cu 2
; în complex operația
de derivare din domeniul timp revine la înmulțire cu jω; se observă că a înmulți cu j înseamnă o
rotire cu 2
în sens direct trigonometric; cu alte cuvinte putem să spunem că j reprezintă un operator
de rotație cu 2
în sens trigonometric.
c. integrarea
( )
−+=+−= 2
sin2cos2
ii tI
tI
dti
( )
j
iIedti itj
==+
}2{ (1.20)
Similar cu derivarea:
Ij
j
IdtI −== (1.21)
Integrarea în domeniul timp revine la împărțire cu jω; a împărți cu j înseamnă o rotire cu 2
în
sens invers trigonometric; cu alte cuvinte putem să spunem că -j reprezintă un operator de rotație
cu 2
în sens invers trigonometric.
În Fig. 1.9 sunt reprezentate cartezian și fazorial operațiile de derivare și integrare.
Fig. 1.9
17
Aplicații
18
Capitolul 2
Elemente componente ale circuitelor electrice
2.1.Comportarea elementelor ideale de circuit în regim permanent
Un circuit funcționează în regim permanent când s-au stabilizata formele de variație în timp ale
tuturor curenților și tensiunilor la borne, ceea ce face posibilă existența a trei regimuri permanente:
- curentul continuu, în care toți curenții sunt constanți
- regimul sinusoidal, în care toți curenți sunt sinusoidali, adică au amplitudini și faze constante
- regim permanent nesinusoidal, în care curenții sunt periodici nesinusoidali
Regimul permanent apare în circuite după ce regimul tranzitoriu se consideră încheiat. Reamintim
că prin regim tranzitoriu se înțelege acel regim care apare la trecerea unui circuit de la un regim de
funcționare permanent la altul (la conectarea și deconectarea circuitului, la introducerea sau scoaterea
unor elemente din circuit, la scurtcircuite, puneri la pământ, etc.) și se consideră încheiat după un
timp egal cu trei până la cinci constante de timp ale circuitului.
2.1.1.Rezistorul ideal
Curentul electric care trece printr-un degajă căldură prin efect Joule fără a produce în jurul său
câmp electric ( )E sau magnetic ( )H , rezistorul ideal neavând parametri C, respectiv L (Fig. 2.1).
Tensiunea la bornele sale, în conformitate cu legea conducției electrice, este:
iRu = (2.1)
Fig. 2.1
Dacă este alimentat cu o tensiune sinusoidală de forma: ( )utUu += sin2 , atunci curentul
absorbit va fi:
( )utR
U
R
ui +== sin2 ;
În modul rezultă: ;R
UII ef == ui = (2.2)
Deci valoarea efectivă a curentului este identică cu cea din curentul continuu, iar în mărimi
complexe: R
UI = , respectiv IRU =
În Fig. 2.2. sunt reprezentate cartezian u și i respectiv fazorial U și I .
Deci rezistorul nu introduce nici un defazaj între tensiune și curent.
19
Fig. 2.2
Dacă tensiunea la bornele rezistorului ideal este periodic nesinusoidală, reprezentată printr-o serie
Fourier de tipul:
( )=
+=n
K
uK KtkUu
1
sin2
atunci curentul prin rezistor va fi de forma:
( )=
+==n
K
uK
Ktk
R
U
R
ui
1
sin2 (2.3)
Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului este R
UI K
K = , iar faza armonicii KK ui =
fiecare armonică de curent fiind sinfazică cu armonica de tensiune care a produs-o.
Cu alte cuvinte forma curentului i(t) este aceeași cu forma tensiunii u(t), rezistorul opunând aceeași
rezistență R față de trecerea tuturor armonicilor de curent, deci nu este un element de circuit selectiv.
Puterea absorbită pe la borne este:
( ) 02 === iRiiRiup (2.4)
deci toată puterea primită pe la borne se disipă (se consumă) sub formă de căldură prin efect Joule.
2.1.2.Bobina ideală (inductorul ideal)
Curentul electric i care trece printr-o bobină ideală va produce un câmp magnetic al cărui flux
magnetic prin spirele bobinei este: iL = (Fig.2.3).
Fig. 2.3
Conform legii inducției electromagnetice, tensiunea la bornele bobinei este tensiunea contra-
electromotoare indusă:
( )L
d d diu e L i L
dt dt dt
= − = = = (2.5)
Se poate observa că pentru bobină legea lui Ohm diferă ca formă de cea de la rezistor, tensiunea
la bornele acesteia fiind proporțională cu derivata curentului în raport cu timpul dt
di, deci cu viteza
de variație în timp a curentului.
Dacă dt
diLu = , atunci soluția de regim permanent va fi: = dtu
Li
1
20
Dacă tensiunea aplicată la bornele bobinei este sinusoidală, intensitatea curentului va fi tot
sinusoidală:
( )2 sin uu U t = + →1
2 sin2
u
Ui u dt t
L L
= = + −
(2.6)
Prin identificare, modulul valorii efective și faza semnalului sunt:
;L
UII ef
== 2
−= ui
(2.7)
În mărimi complexe curentul I este de forma:
dt
diLu = → IjXILjU L == →
LX
Uj
L
Uj
Lj
UI −=−==
(2.8)
Fig. 2.4
Se poate observa atât din reprezentarea carteziană cât și din cea fazorială din Fig. 2.4, faptul că
intensitatea curentului este defazată în urma tensiunii cu 2
.
Mărimea notată cu LX L = se numește reactanța inductivă a bobinei.
În cazul particular al curentului continuu ( )0= → 0=LX , motiv pentru care o bobină ideală în
curent continuu nu se opune trecerii curentului electric, tensiunea la bornele sale fiind zero, din acest
punct de vedere ea reprezentând un scurtcircuit. În curent continuu se utilizează doar pentru a genera
și înmagazina energia de câmp magnetic.
Reactanța inductivă crește liniar cu frecvența, deci bobina este un element de circuit selectiv, care
blochează trecerea curenților de frecvență înaltă și permite trecerea curenților de frecvență joasă.
Dacă la bornele bobinei se aplică o tensiune periodică nesinusoidală descompusă în armonicele
componente sub forma:
( )=
+=n
K
uK KtkUu
1
sin2 (2.9)
atunci curentul absorbit va avea expresia:
( )=
+==n
K
uK KtkU
Ldtu
Li
1
sin211
=
−+=
n
K
uK
Ktk
Lk
Ui
1 2sin2
(2.10)
Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului va fi Lk
UI k
K
= , iar valoarea fazei
2
−=
KK ui.
21
Reactanța bobinei în raport cu armonica de ordinul k este ( ) LL kXLkkX == , armonicele de
ordin scăzut trec ușor prin bobina ideală, iar cele de ordin ridicat trec greu, deci bobina ideală este un
element de netezire a formei curentului, în raport cu forma tensiunii.
Deoarece u și i nu au aceeași formă de variație în timp, în cazul unei bobine se spune că bobina
ideală este un element deformant de speța a doua, adică alimentată cu o tensiune sinusoidală absoarbe
tot un curent sinusoidal, dar alimentată cu o tensiune periodică nesinusoidală absoarbe un curent
nesinusoidal (deformat). Aceasta spre deosebire de elementele neliniare de circuit, care sunt elemente
deformante de speța întâi, deoarece acestea, alimentate cu o tensiune sinusoidală absorb un curent
nesiunusoidal, adică deformat.
Puterea absorbită pe la borne de bobina ideală este de forma:
dt
dWiL
dt
di
dt
diLiup m=
=
== 2
2
1 (2.11)
fiind egală cu viteza de variație în timp a energiei magnetice înmagazinată în câmpul magnetic
creat în jurul său. Valoarea acesteia, spre deosebire de rezistor, poate fi atât pozitivă cât și negativă
în timp.
În intervalele de timp cât absoarbe energie pe la borne 00 → absm p
dt
dW, iar în intervalele în
care bobina cedează o parte din energia magnetică acumulată 00 → cedm p
dt
dW.
2.1.3. Condensatorul ideal
Alimentat la borne cu tensiunea u, condensatorul ideal se va încărca cu sarcina q (Fig. 2.5):
Fig. 2.5
== dtiCC
qu
1 (2.12)
Se poate observa că nici la condensator nu este valabilă forma legii lui Ohm cu cea de la rezistor,
în această situație tensiunea la bornele condensatorului fiind proporțională cu integrala curentului i.
Dacă tensiunea aplicată la borne este sinusoidală, intensitatea curentului absorbit de condensator
este tot sinusoidală, de forma:
( )utUu += sin2 → 2 sin2
u
dui C CU t
dt
= = + +
(2.13)
Prin identificare rezultă valoarea efectivă și faza:
;1
C
efX
U
C
UUCII ====
2
+= ui
(2.14)
iar în complex curentul I este de forma:
22
= dtiC
u1
→ IjXIC
jICj
U C −=−==
11→
CX
Uj
C
UjUCjI ===
1
(2.15)
Fig. 2.6
Forma de undă a curentului este defazată înaintea celei de tensiune cu 2
, după cum se arată și în
Fig. 2.6., atât în domeniul timp cât și fazorial.
Mărimea 1
CXC
= se numește reactanță capacitivă a condensatorului.
În cazul particular al curentului continuu ( )0= → →CX , motiv pentru care un condensator
ideal în curent continuu se opune în totalitate trecerii curentului electric, curentul electric prin el fiind
zero, din acest punct de vedere reprezentând o întrerupere a circuitului. În curent continuu se
utilizează doar pentru a genera și înmagazina energia de câmp electric.
Reactanța capacitivă scade cu frecvența, după o hiperbolă echilateră, deci condensatorul este un
element de circuit selectiv, care permite trecerea curenților de frecvență înaltă și blochează trecerea
curenților de frecvență joasă.
Dacă la bornele condensatorului se aplică o tensiune periodică nesinusoidală descompusă în
armonicele componente sub forma:
( )=
+=n
K
uK KtkUu
1
sin2 (2.16)
atunci curentul absorbit va avea expresia:
( )=
+==n
K
uK KtkU
dt
dC
dt
duCi
1
sin2
( )1
2 sin2K
n
k u
K
i k C U k t
=
= + +
(2.17)
Valoarea efectivă a armonicii de ordinul k a curentului va fi kK UCkI = , iar valoarea fazei
2
+=
KK ui. (2.18)
Reactanța condensatorului în raport cu armonica de ordinul k este: ( )k
X
CkkX C
C ==
1
,
armonicele de ordin scăzut trec greu prin condensatorul ideal, iar cele de ordin ridicat trec ușor, deci
condensatorul ideal este un element de accentuare a deformației curentului, în raport cu forma
tensiunii la bornele sale.
Deoarece u și i nu au aceeași formă de variație în timp ca și în cazul unei bobine, se spune că un
condensator ideal este la rândul său tot un element deformant de speța a doua.
Puterea absorbită pe la borne de condensatorul ideal este de forma:
23
dt
dWuC
dt
d
dt
duCuiup e=
=
== 2
2
1 (2.19)
fiind egală cu viteza de variație în timp a energiei electrice înmagazinată în câmpul electric creat între
armăturile sale. Valoarea acesteia, spre deosebire de rezistor, poate fi atât pozitivă cât și negativă în
timp.
În intervalele de timp cât absoarbe energie pe la borne 00 → abse p
dt
dW, iar în intervalele în
care condensatorul cedează o parte din energia magnetică acumulată 00 → cede p
dt
dW.
2.2. Caracterizarea circuitelor liniare de tip „dipol” în regim permanent sinusoidal
Se consideră un dipol liniar pasiv, adică un circuit cu două borne de acces cu exteriorul la care
toate elementele din schema electrică sunt liniare și care nu conține surse de tensiune sau curent în
interior (Fig. 2.7).
Fig. 2.7
Acesta este alimentat cu tensiunea sinusoidală ( )utUu += sin2 și în regim permanent
curentul absorbit va fi tot sinusoidal, de forma ( )itIi += sin2 , având ca necunoscute valoarea
efectivă I și faza i , deci două necunoscute.
Concluzia care se poate trage de aici este aceea că în general în regim sinusoidal de o frecvență
dată ω și dipolul trebuie să fie caracterizat tot prin doi parametri (excepție face dipolul rezistiv pur
pentru care ui = sau dipolii în curent continuu, caracterizați de un singur parametru).
Problema care se pune constă în alegerea celor doi parametri caracteristici ai unui dipol, care să îl
determine complet și univoc. Soluția alegerii acestora nu este unică și se disting patru modalități de
caracterizare a dipolilor, care vor fi tratate în continuare:
2.2.1.Impedanţa și defazajul (Z și φ)
Impedanța unui dipol se definește ca:
( ) 0_,1 == icircuituluparametriifI
UZ (2.20)
Defazajul unui dipol se definește ca diferența între faza inițială a tensiunii și a curentului, indicând
gradul de defazaj pe care îl introduce dipolul între u și i:
( )icircuituluparametriifiu _,2 =−= (2.21)
Când 0 curentul este defazat în urma tensiunii cu φ, deci dipolul are caracter inductiv, iar când
0 curentul este defazat înaintea tensiunii cu φ, deci dipolul are caracter capacitiv.
24
Caracterul pur inductiv se obține pentru 2
= , iar cel pur capacitiv pentru
2
−= , de unde se
poate trage concluzia că pentru orice circuit:
−
2,
2
. Deci 0cos în tot acest interval în
timp ce sin poate fi atât pozitiv cât și negativ.
Dacă pentru un dipol se cunosc Z și φ se poate determina expresia curentului absorbit „i” atunci
când la borne se aplică tensiunea ( )2 sin uu U t = + :
( ) −+= utZ
Ui sin2 ;
Z
UI = ; −= ui ; (2.22)
2.2.2. Rezistența și reactanța (R și X)
Fie un dipol caracterizat de diagrama fazorială din Fig. 2.8, care reliefează un defazaj de o anumită
valoare arbitrară între tensiune și curent (în acest caz inductiv).
Fig. 2.8
Dacă se descompune fazorul U după două direcții ortogonale, dintre care una este cea a curentului
I , se va obține:
cos=UU a pe care o numim componenta activă a tensiunii
sin=UU r pe care o numim componenta reactivă a tensiunii
Rezistența dipolului în regim sinusoidal este dată de relația:
0coscos
=
==
ZI
U
I
UR a (2.23)
și este o mărime pozitivă deoarece Z>0, conform relației (2.20) iar
−
2,
2
asigură cos 0 .
Reactanța dipolului în regim sinusoidal este dată de relația:
sinsin
=
== ZI
U
I
UX r (2.24)
Pentru dipoli cu caracter inductiv 0 → 0sin 0→ indX (2.25)
iar pentru dipoli cu caracter capacitiv 0 → 0sin 0→ capX (2.26)
Din relațiile 2.23 și 2.24 rezultă că 2 2 2R X Z+ = , ceea ce înseamnă că cu ajutorul acestor
parametri se poate construi un triunghi, numit triunghi al impedanțelor (Fig. 2.9).
Atenție: Laturile triunghiului impedanțelor nu reprezintă fazori; acestea sunt segmente de dreaptă
de lungimi egale cu modulele mărimilor pe care le reprezintă.
25
Fig. 2.9
Din triunghiul impedanțelor rezultă evident legătura dintre cele două perechi de parametri definiți
până acum (Z, φ) și (R, X):
=
=
sin
cos
ZX
ZR
=
+=
R
Xarctg
XRZ
22
(2.27)
Dacă se cunoaște tensiunea de alimentare ( )utUu += sin2 și parametrii (R, X), expresia
curentului este univoc determinată prin:
−+
+=
R
Xarctgt
XR
Ui usin2
22 (2.28)
2.2.3. Admitanța și defazajul (Y și φ)
Admitanța unui dipol reprezintă valoarea inversă a impedanței Z:
01
==U
I
ZY 1− (2.29)
Defazajul φ are aceeași semnificație ca în secțiunea 2.2.1. și anume pozitiv pentru circuite
inductive și negativ pentru circuite capacitive.
011
22
+==
XRZY 1−
0cos
cos ==Y
ZR
(2.30)
YZX
sinsin ==
Dacă se cunoaște tensiunea de alimentare ( )utUu += sin2 și parametrii (Y, φ), expresia
curentului este univoc determinată prin:
( ) −+= utUYi sin2 ; UYI = ; −= ui ; (2.31)
2.2.4. Conductanța și susceptanța (G și B)
Dacă spre deosebire de secțiunea 2.2.2., în diagrama fazorială a dipolului, se descompune curentul
și nu tensiunea după două direcții ortogonale rezultă (Fig. 2.10):
Fig. 2.10
cos= IIa pe care o numim componenta activă a curentului
26
sin= II r pe care o numim componenta reactivă a curentului
Conductanța dipolului este:
0coscos
===
YU
I
U
IG a 1− (2.32)
Susceptanța dipolului se definește prin:
sinsin
−=−
=−
= YU
I
U
IB r 1− (2.33)
Dipolii inductivi au 0 0→ indB , iar dipolii capacitivi au 0 0→ capB .
Similar, relațiile dintre ultimele două categorii de parametri sunt:
−=
=
sin
cos
YB
YG
−=
+=
G
Barctg
BGY
22
(2.34)
parametri care definesc un triunghi al admitanțelor, ca în Fig. 2.21.
Fig. 2.11
Dacă se cunoaște tensiunea de alimentare ( )utUu += sin2 și parametrii (G,B), expresia
curentului este univoc determinată prin:
+++=
G
BarctgtUBGi usin2 22
; (2.35)
Obs.: În curent continuu X = 0 și B = 0, ceea ce face ca rezistența ohmică să fie inversul
conductanței, dar în regim sinusoidal G și R nu sunt una inversa celeilalte.
2.2.5. Clasificarea circuitelor electrice în regim variabil
Parametrii Z, Y, R, X, G, B, φ ai circuitelor depind în general, pe lângă structura și valorile
elementelor componente, de modul lor de conectare în schema internă a dipolului și de frecvența
tensiunii de alimentare.
La o frecvență dată a tensiunii de alimentare, un circuit poate fi:
- circuit pur rezistiv: φ=0, X=0,B=0, Z=R,Y=G
- circuit reactiv (inductiv sau capacitiv) : 0,0,0 BX
- circuit pur reactiv (inductiv sau capacitiv): BYXZGR ===== ,,0,0,2
27
- circuit inductiv: 0,0,0 BX
- circuit pur inductiv: BYXZGR ===== ,,0,0,2
- circuit capacitiv: 0,0,0 BX
- circuit pur capacitiv: 0,0,2
==−= GR
2.3. Caracterizarea circuitelor electrice liniare de tip dipol în regim sinusoidal prin
mărimi complexe
Dacă la bornele unui dipol liniar pasiv se aplică o tensiune ( )utUu += sin2 dipolul va absorbi
în regim permanent sinusoidal un curent sinusoidal de aceeași frecvență cu u și va avea expresia
( )itIi += sin2 .
Transpuse în complex cele două mărimi vor fi de forma: uj
U Ue
= și ijI Ie
= , defazajul introdus de dipol între U și I fiind:
u i = −
Fig. 2.12
Un astfel de dipol poate fi caracterizat de doi parametri complecși, care vor fi prezentați în
următoarele două paragrafe.
2.3.1.Impedanţa complexă ( )Z
Fig. 2.12
Conform Fig. 2.12 se definește impedanța complexă Z:
( )jXRjZZZee
I
U
Ie
Ue
I
UZ jj
j
j
iu
i
u
+=+=====−
sincos (2.36)
28
Impedanța complexă Z este un parametru complex al cărui modul este impedanța dipolului Z, iar
faza sa u i = − este defazajul introdus de dipol între U și I , partea sa reală este rezistența
dipolului R iar partea sa imaginară este reactanța dipolului X.
Cunoscând tensiunea de alimentare U și Z se poate determina curentul:
( ) iu jjIee
Z
U
Z
UI
===
− (2.37)
În valori instantanee: ( ) −+= utZ
Ui sin2 (2.38)
Relația IZU = , analogă formal cu legea lui Ohm din curent continuu mai este denumită legea
lui Ohm sub formă complexă.
Impedanțele complexe Z se pot reprezenta într-un semiplan complex (semiplanul Z , Fig. 2.13),
fiecărei impedanțe corespunzându-i un punct din acest plan a cărui semiaxă reală este axa
rezistențelor (R) iar axa imaginară este axa reactanțelor (jX). Semiplanul Z reprezintă semiplanul
drept deoarece întotdeauna 0R .
Fig. 2.13
Semnificațiile reprezentărilor din Fig. 2.13 sunt:
Z1 circuit pur inductiv Z1 = jX1
Z2 circuit inductiv Z2 =R2 + jX2
Z3 circuit pur rezistiv Z3 =R3
Z4 circuit capacitiv Z4 =R4 – jX4
Z5 circuit pur capacitiv Z5 = – jX5
2.3.2. Admitanța complexă
Conform aceleași Fig. 2.12 se definește și admitanța complexă Y:
( )jBGjYYYee
U
I
Ue
Ie
U
IY jj
j
j
ui
u
i
+=−===== −−
sincos (2.39)
Admitanța complexă Y reprezintă un parametru complex al cărui modul este egal cu admitanța
dipolului Y, iar faza sa ( )i u u i − = − = − − este defazajul introdus de dipol între U și I luat cu
semn schimbat, partea sa reală este conductanța dipolului G iar partea sa imaginară este susceptanța
dipolului B.
Cunoscând tensiunea de alimentare U și Y se poate determina curentul: ( ) iu jj
IeYeUYUI
===−
(2.40)
În valori instantanee: ( ) −+= utYUi sin2 (2.41)
29
Admitanțele complexe se pot reprezenta la rândul lor într-un semiplan drept complex ( )0G ,
planul Y , având pe G pe axa reală și pe jB pe axa imaginară. Oricărui dipol îi corespunde un punct
din cele două cadrane (Fig. 2.14).
Fig. 2.14
Aplicații
30
Capitolul 3
Puteri electrice în regim permanent
Reamintim că sensul de referință al tensiunii la bornele unui dipol se poate asocia cu sensul de
referință a curentului după două convenții:
Convenția de la receptoare, când u și i au aceeași orientare în raport cu bornele (polii) circuitului
( 11 − ) și în acest caz (Fig. 3.1.a) iup = este putere absorbită când 0p și putere cedată când
0p .
Convenția de la generatoare, când u și i au orientări diferite în raport cu bornele (polii) circuitului
( 11 − ) și în acest caz (Fig. 3.1.b) iup = este putere cedată când 0p , adică putere generată de
dipol, deci putere care iese pe la bornele dipolului generator și putere absorbită când 0p .
a. b.
Fig. 3.1
Obs.: Convenția de la receptoare se aplică de regulă pentru dipoli activi, care pot genera putere.
Totuși există și situații în care dipoli pasivi pot genera putere. Este cazul descărcării condensatoarelor
și bobinelor care generează putere cedând din energia înmagazinată de către acestea, după cum se va
vedea în cele ce urmează.
3.1. Puteri electrice în regim permanent sinusoidal
Spre deosebire de circuitele de curent continuu unde s-a definit o putere absorbită (sau cedată), în
regim sinusoidal se definesc mai multe puteri.
3.1.1. Puterea instantanee
Fie un dipol liniar pasiv alimentat cu o tensiune sinusoidală, funcționând în regim permanent;
evident acesta absoarbe tot un curent sinusoidal, datorită liniarității sale.
Fig. 3.2
( )utUu += sin2
( )itIi += sin2 (3.1.)
31
Dipolul din Fig. 3.2. are impedanța Z și defazajul iu −= .
Puterea instantanee definită ca p u i= reprezintă legea de variație în timp a puterii primite
(cedate) de un dipol la bornele sale, după cum u şi i se asociază după convenția de la receptoare,
respectiv generatoare.
Ținând seama de relația (3.1) rezultă: ( ) ( )2 sin sinu ip u i UI t t = = + +
Transformând produsul de sinusuri în diferență de cosinusuri, rezultă:
( )cos cos 2 u ip UI UI t = − + + (3.2)
Se poate observa că puterea instantanee este o mărime periodică având o componentă constantă
cosUIP = și o componentă de frecvență dublă ( )2 , ( )iuf tUIp ++= 2cos numită putere
fluctuantă. Cu alte cuvinte p variază cu frecvență dublă în jurul valorii medii cosUIP = , ca în Fig.
3.3.
Fig. 3.3
În intervalele de timp
=t , în care 0p , dipolul absoarbe o putere negativă, adică cedează
putere spre exterior pe la borne. În aceste intervale de timp, o parte din energia înmagazinată în
câmpul magnetic al bobinelor și respectiv în câmpul electric al condensatoarelor este restituită
surselor de alimentare. Cu cât defazajul φ dintre u și i este mai mare, aceste intervale cresc.
La 2
= , adică atunci când dipolul este pur reactiv, deci nu conține rezistențe, valoarea medie
a lui p, adică cosUIP = =0, deci apare numai puterea fluctuantă sinusoidală. În această situație
puterea primită în intervalul
2, este restituită în intervalul
2 imediat următor, ariile închise de
puterea instantanee deasupra și sub axa timpului fiind egale și de semne opuse (Fig. 3.4).
Fig. 3.4
32
Dacă defazajul este 0= , deci dipolul în ansamblul să are caracter pur rezistiv, valoarea medie a
lui p este maximă, UIP = deoarece 1cos = , iar aria închisă sub axa timpului de puterea instantanee
este nulă (Fig. 3.5).
Fig. 3.5
Deci, în regim sinusoidal transmiterea de energie la 0 nu are loc numai înspre dipol ci și
dinspre acesta, motiv pentru care din expresia puterii instantanee nu se poate afirma că un dipol este
generator sau receptor de putere, decât dacă în medie pe o perioadă primește mai mult decât cedează,
adică aria închisă de p deasupra axei timpului o depășește pe cea închisă sub axă.
3.1.2. Puterea activă
Prin definiție puterea activă reprezintă valoarea medie pe o perioadă a puterii instantanee:
===
TT
UIdtiuT
dtpT
P00
cos11
0 W (3.3)
întrucât valoarea medie pe o perioadă a puterii fluctuante este nulă.
În literatura anglo-saxonă termenul de putere activă nu este utilizat. În schimb puterea activă poate
fi întâlnită ca putere medie (average power), putere reală (real power) sau putere adevărată (true
power).
Puterea activă, ca și puterea instantanee se măsoară în watt și este măsurabilă cu ajutorul
wattmetrelor. Puterea instantanee se măsoară în W, dar nu este măsurabilă cu aparate de măsură fiind
o funcție de timp. Ea poate fi eventual vizualizată ca formă de undă.
Pentru un dipol pasiv puterea activă absorbită se poate scrie în funcție de parametrii dipolului:
cosUIP = =
=
=
22
22
cos
cos
UGUU
I
IRII
U
(3.4)
Un dipol absoarbe putere activă pe la borne numai dacă conține în interiorul său elemente capabile
să convertească energia electrică absorbită pe la borne în forme active de energie: căldură (plită,
radiator), lucru mecanic (motoare electrice), lumină (tuburi luminescente), energie chimică (băi de
electroliză, acumulatori în procesul de încărcare).
Pentru o rezistență R parcursă de curentul i, puterea instantanee este 2iRp j = iar puterea activă
absorbită este:
22
0
2
0
11RIRIdti
TRdtp
TP ef
TT
jj ==== (3.5)
deci puterea activă este proporțională cu pătratul valorii efective a curentului.
33
3.1.3.Puterea aparentă
Puterea aparentă absorbită de un dipol se definește ca produsul dintre valoarea efectivă a tensiunii
de alimentare U și cea a intensității curentului I.
0= IUS VA (3.6)
Unitatea de măsură VA (voltamper) nu diferă din punct de vedere dimensional de W , dar indică
faptul că este vorba despre puterea aparentă.
Este o putere calculată ca în curent continuu, dar cu valorile efective ale tensiunii și intensității.
Fără a avea o interpretare energetică, puterea aparentă arată care ar fi maximul de putere care ar putea
fi absorbită în raport cu puterea activă P, efectiv absorbită.
Raportul celor două puteri se numește factorul de putere al circuitului.
coscos
=
==
IU
IU
S
Pk (3.7)
Factorul de putere arată de câte ori este mai mică puterea activă absorbită de un echipament
(circuit) decât puterea maximă care s-ar obține pentru 0= , în aceleași condiții de solicitare a
izolației (reamintim că U reflectă solicitarea maximă a izolației) și de solicitare termină (reamintim
că I reflectă solicitarea termică și dinamică maximă).
În regim sinusoidal cos=k și crește odată cu micșorarea defazajului dintre u și i, valoarea
maximă a lui k fiind 1.
Una dintre problemele gospodăririi energiei electrice în industrie este legată de îmbunătățirea
(mărirea) factorului de putere al consumatorilor, cu alte cuvinte de micșorarea defazajului inductiv
0 .
Pierderile de putere (jp ) pe o linie bifilară având rezistența lR (Fig. 3.6) la transportul spre
consumator al unei puteri P, sub tensiune U şi curentul I sunt:
22
22
cosU
PRIRp llj == (3.8)
Se observă că aceste pierderi sunt invers proporționale cu pătratul tensiunii (motiv pentru care
transportul energiei la înaltă tensiune reduce semnificativ aceste pierderi), dar la tensiune constantă
pierderile pot fi diminuate prin creșterea factorului de putere cos=k .
În funcție de parametrii dipolului, puterea aparentă se scrie sub forma: 22 UYIZIUS === (3.9)
Fig. 3.6
3.1.4. Puterea reactivă
Puterea reactivă absorbită de un dipol alimentat sinusoidal se definește ca o putere complementară
puterii active, sub forma:
sin= IUQ VAR (3.10)
34
Unitatea de măsură VAR (voltamper reactiv) nu diferă din punct de vedere dimensional de W
sau VA , dar indică faptul că este vorba despre puterea reactivă.
- pentru circuite inductive avem: 0 0→ indQ , deci elementele inductive consumă putere
reactivă
- pentru circuite capacitive avem: 0 0→ indQ , deci elementele capacitive generează
(cedează) putere reactivă
Ținând seama de relațiile de definiție ale puterilor activă, reactivă și aparentă ( cos= IUP ,
sin= IUQ , IUS = ) se observă că cele trei puteri P, Q și S sunt pitagoreice și că ele definesc
un triunghi al puterilor, conform Fig. 3.7.
Fig. 3.7
Acestea sunt legate de relațiile:
+=
=
=
22
sin
cos
QPS
IUQ
IUP
(3.11)
Factorul de putere al circuitului scris sub forma:
2
222
1S
Q
S
QS
S
Pk −=
−== (3.12)
arată că îmbunătățirea factorului de putere la o instalație (circuit) este legată de reducerea consumului
de putere reactivă de către aceasta (pentru 10 =→= kQ ).
În funcție de elementele dipolului, puterea reactivă se poate scrie: 22sin UBIXIUQ −=== (3.13)
Puterea reactivă se poate măsura cu ajutorul varmetrelor.
Într-un circuit izolat, dacă există o latură consumatoare de putere reactivă (latură cu bobină),
aceasta va lua această putere fie de la o latură generatoare de putere reactivă, adică o latură cu
condensator, care generează putere reactivă, fie direct de la sursă, care datorită acestui fapt se va
încărca suplimentar pentru a produce și puterea reactivă necesară.
Dacă circuitul pasiv este legat la rețeaua de alimentare, o parte din puterea reactivă necesară
bobinelor o generează condensatoarele din interiorul dipolului, diferența de putere reactivă fiind
absorbită pe la borne de la rețeaua de alimentare, încărcând-o suplimentar.
Dacă însă predomină puterea reactivă generată (capacitivă), atunci excedentul de putere reactivă
este debitat spre rețeaua exterioară pe la bornele dipolului.
Cu alte cuvinte se poate spune că puterea reactivă absorbită pe la borne ( sin= IUQ ),
reprezintă o măsură a necompensării schimburilor interne de energie între câmpul magnetic al
bobinelor și câmpul electric al condensatoarelor.
Așa cum orice putere corespunde unei anumite forme de energie, puterea reactivă Q corespunde
energiilor care se înmagazinează în câmpurile magnetice, respectiv în câmpurile electrice, așa
numitele energii reci.
35
Triunghiul puterilor se obține din triunghiul impedanțelor amplificat cu I2, sau din triunghiul
admitanțelor amplificat cu U2.
3.1.5. Puterea complexă
Puterea complexă, care este de fapt puterea aparentă complexă, se definește prin:
== IUiuS
2
1 (3.14)
( ) sincos jSSeSeIUIUS jj iu +====
− (3.15)
Puterea complexă scrisă sub forma (3.15) este o mărime complexă a cărei modul este puterea
aparentă S, argumentul este defazajul circuitului , partea reală puterea activă P, iar partea imaginară
puterea reactivă Q.
Puterea complexă absorbită de un dipol se poate scrie în funcție de parametrii dipolului:
( ) 222 jXIRIIZIIZIUS +====
( ) ( )2 2 2S U I YU U Y U GU j B U
= = = = + − (3.15)
Puterea complexă S se poate reprezenta într-un plan complex (planul S ) a cărui axă reală este
axa P, iar axa imaginară este jQ, conform Fig. 3.8.
Fig. 3.8
Dacă U și I la bornele dipolului se asociază după regula de receptoare (ambele au același sens
de referință) atunci puterile P, Q, S și S pozitive reprezintă puteri absorbite de dipol, iar dacă sunt
negative sunt cedate de dipol.
În această ipoteză cadranele I și II în care 0Q se referă la dipolii cu caracter inductiv, iar
cadranele III și IV în care 0Q se referă la dipolii cu caracter capacitiv.
Totodată semiplanul drept (cadranele I și IV) se referă la dipolii pasivi, pentru care
−
2,
2
și care nu pot produce putere activă putând doar să absoarbă putere activă pe la borne.
Dipolii activi însă pot avea afixul puterii complexe S în oricare dintre cele patru cadrane ale
planului.
3.1.6 Îmbunătățirea (corecția, compensarea) factorului de putere
36
Cele mai multe sarcini din locuințe (cum ar fi mașinile de spălat, echipamentele de aer condiționat
și frigiderele) precum și sarcinile industriale (cum ar fi motoarele de inducție) reprezintă receptoare
inductive și funcționează la un factor de putere inductiv. Deși natura lor inductivă nu poate fi
modificată, factorul de putere al acestora poate fi îmbunătățit. O sarcină inductivă este modelată ca o
combinație serie a unui inductor cu un rezistor.
Procesul de îmbunătățire a factorului de putere fără însă a altera tensiunea sau curentul inițiale la
sarcină este cunoscut drept corecția factorului de putere. Deoarece cele mai multe sarcini au
caracter inductiv, după cum se arată în Fig. 3.9.a , corecția factorului de putere a unei sarcini constă
în adăugarea deliberată a unui element reactiv (uzual un condensator) în paralel cu sarcina, după cum
se arată în Fig. 3.9.b .
Fig. 3.9 Îmbunătățirea factorului de putere (a) sarcină originară inductivă
(b) sarcină inductivă cu factor de putere îmbunătățit
Efectul adăugării unui condensator poate fi ilustrată utilizând fie triunghiul puterilor sau diagrama
fazorială a curenților implicați. Fig. 3.10 prezintă diagrama fazorială a curenților, conform Fig. 3.9.a
care are un factor de putere cos φ1, în timp ce în Fig. 3.9.b factorul de putere este cos φ2.
Fig. 3.10 Diagrama fazorială care prezintă efectul adăugării unui
condensator în paralel cu o sarcină inductivă
Din Fig. 3.10 este evident că adăugarea unui condensator a determinat un defazaj al curentului în
raport cu tensiunea de la valoarea inițială φ1 la o valoare finală φ2, care determină creșterea factorului
de putere. De asemenea, se poate observa din modulul vectorilor din Fig. 3.10 că pentru aceeași
tensiune absorbită circuitul din Fig. 3.9.a absoarbe un curent IL mai mare decât curentul I absorbit de
circuitul din Fig. 3.9.b. Companiile de utilități facturează sume mai importante în situația unor curenți
reactivi mai mari. De aceea este benefic atât pentru companiile de utilități cât și pentru consumatori
să minimizeze componenta reactivă a curentului, respectiv menținerea factorului de putere cât mai
aproape de unitate. Prin alegerea unei valori potrivite pentru un condensator, curentul poate fi adus
în fază cu tensiunea, implicând un factor de putere unitar.
37
Aplicând suma fazorială, diagramei fazoriale din Fig. 3.10 rezultă: I = IL + IC, tensiunea fiind
considerată origine de fază. Evident curentul prin condensatorul din Fig. 3.9.b este defazat cu π/2
înaintea tensiunii.
Din Fig. 3.10 se poate stabili relația între valorile efective ale curenților:
IC = IL sinφ1 – I sinφ2 (3.16)
Deoarece condensatorul (fiind element reactiv) nu modifică puterea activă absorbită de la rețea,
se poate scrie relația:
P = UIL cosφ1 = UI cosφ2, de unde:
1cosL
PI
U = (3.17)
2cos
PI
U = (3.18)
Curentul prin condensator este dat de relația:
C
C
UI CU
X= = (3.19)
Înlocuind 3.17, 3.18, 3.19 în 3.16, rezultă:
1 2tan tanP P
CUU U
= − , de unde:
( )1 22tan tan
PC
U
= − (3.40)
Se poate observa că o creștere a factorului de putere de la valoarea cosφ1 la cosφ2 curentul absorbit
de la rețea scade de la valoarea I1 la I2, deci:
1
2
cos
cosLI I
= (3.41)
Din relația 3.40 se observă că cu cât tensiunea este mai mare, cu atât valoarea capacității de
compensare a factorului de putere este mai mică. De aceea, condensatoarele se conectează în general
la tensiunea de linie a unui receptor trifazat, adică la tensiunea de linie de 400 V și nu la tensiunea de
fază de 230 V, obținându-se astfel același efect dar cu o valoare a capacității de trei ori mai scăzută.
Pe de altă parte se poate privi corecția factorului de putere din altă perspectivă. Se consideră
factorul de putere conform Fig. 3.11.
Fig. 3.11 Triunghiul puterilor care ilustrează corecția factorului de putere
Se consideră triunghiul puterilor din Fig. 3.11. Dacă sarcina inductivă originară are puterea
aparentă S1, rezultă P = S1 cos φ1, Q1 = S1 sin φ1 = P tan φ1.
Dacă se dorește creșterea factorului de putere de la valoarea φ1 la valoarea φ2 fără a altera valoarea
puterii active (i.e., P = S2 cos φ2), noua puterea reactivă va fi Q2 = P tan φ2.
Reducerea puterii reactive este determinată de condensatorul șunt (paralel), deci:
QC = Q1 − Q2 = P(tan φ1 − tan φ2)
38
Dar,
22rms
C rms
C
VQ CV
X= = . Valoarea necesară a capacității șunt C este:
( )1 2
2 2
tan tanC
rms rms
PQC
V V
−= =
De reținut că puterea activă P disipată de sarcină nu este afectată de corecția factorului de putere
deoarece puterea activă determinată de condensator este nulă.
Deși cea mai comună situație practică este aceea a unor sarcini inductive, este de asemenea
posibilă existența unor sarcini capacitive, care să funcționeze la factori de putere capacitivi. Evident,
într-o astfel de situație trebuie conectat un inductor în paralel cu sarcina pentru corecția factorului de
putere. Inductanța cerută L poate fi calculată din 2 2
rms rmsL
L
V VQ
X L= =
2
rms
L
VL
Q=
în care QL = Q1 − Q2, reprezintă diferența dintre puterile reactive finală și inițială.
Exemplu: Un receptor (sarcină) alimentată la o tensiune de 120-V (rms) și frecvența de 60-Hz
absoarbe 4 kW la un factor de putere inductiv de 0,8. Să se calculeze valoarea capacității necesare
pentru a crește valoarea factorului de putere la 0,95.
Soluție: Deoarece fp = 0,8, rezultă cos φ1 = 0,8 ⇒ φ1 = 36.87° în care φ1 reprezintă defazajul dintre
tensiune și curent. Din puterea activă și factorul de putere se obține puterea aparentă ca
1
1
40005000VA
cos 0,8
PS
= = =
Puterea reactivă este Q1 = S1 sin φ = 5000 sin 36,87 = 3000 VAR
Dacă factorul de putere este crescut la 0,95, cos φ2 = 0,95 ⇒ φ2 = 18,19°.
Puterea activă P nu s-a modificat în schimb puterea aparentă s-a modificat. Noua sa valoare este:
2
2
40004210,5VA
cos 0,95
PS
= = =
Noua putere reactivă este: Q2 = S2 sin φ2 = 1314,4 VAR. Diferența între puterile reactive finală și
inițială este datorată conectării condensatorului în paralel cu sarcina. Puterea reactivă determinată de
condensator este QC = Q1 − Q2 = 3000 – 1314,4 = 1685,6 VAR, iar
2 2
1685,6310,5 F
2 60 120
C
rms
QC
V
= = =
Obs.: În acest caz valoarea de vârf a tensiunii este de aproximativ 170 V. De aceea se va utiliza un
condensator care rezistă la o tensiune de 200 V.
Aplicație: Să se calculeze condensatorul paralel necesar necesat pentru a corecta o sarcină de 140
kVAR la un factor de putere de 0,85 la un factor de putere unitar. Se presupune că sarcina este
alimentată la o tensiune de 220-V (rms), și frecvența de 60-Hz.
Răspuns: 7.673 mF
3.1.7. Puteri în regim nesinusoidal
39
Capitolul 4
Impedanțe și admitanțe echivalente
4.1. Teorema lui Joubert
Pentru un dipol pasiv în regim sinusoidal echivalentul ecuației de tensiuni din curent continuu
(legea lui Ohm pe o porțiune de circuit) U R I= , ar fi U Z I= , iar pentru un dipol activ
echivalentul ecuației de tensiuni din curent continuu IRUE = (Fig. 4.1), îl reprezintă teorema
lui Joubert.
Fig. 4.1
Fie o latură activă de circuit cu sursa eg și cu elementele de circuit R, L și C, a cărui bobină este
cuplată magnetic cu alte bobine de pe alte laturi ale circuitului, fluxul rezultant al acestora prin
suprafața bobinei considerate fiind ext (Fig. 4.2).
Fig. 4.2
Fluxul rezultant al bobinei este reprezentat de superpoziția dintre fluxul propriu (Li) și fluxul
exterior creat de alte bobine: extLi += .
Curba închisă trece prin latura de circuit şi prin linia tensiunii la bornele laturii ub. Tensiunea
electromotoare de-a lungul curbei , e reprezintă suma dintre tensiunea electromotoare a sursei
proprii eg și tensiunea electromotoare indusă de către fluxul rezultant: dt
deind
−= .
Deci:
dt
d
dt
diLe
dt
deeee ext
ggindg
−−=
−=+=
(4.1)
Totodată:
−+=−+= bbCR uidtC
iRuuue1
(4.2)
Egalând cele două expresii ale lui e rezultă:
++=+
− dtiCdt
diLiRu
dt
de b
extg
1 (4.3)
Se notează: b
extga u
dt
deu +
−= (4.4)
numită tensiunea aplicată laturii de circuit.
40
Tensiunea aplicată unei laturi de circuit reprezintă acea tensiune care determină circulația
curentului prin acea latură. Prin latura de circuit putem avea curent dacă o alimentăm cu o tensiune
la borne ub, datorită faptului că este o latură activă, adică are în componență o sursă de t.e.m eg, și
datorită faptului că este cuplată magnetic cu alte laturi, iar fluxul magnetic de cuplaj induce o t.e.m.
−
dt
d ext .
Cu alte cuvinte tensiunea aplicată ua conține în expresia ei toate cauzele fizice care pot genera
curent prin acea latură.
La limită dacă latura este pasivă şi nu este cuplată magnetic cu alte laturi, atunci curentul circulă
doar datorită tensiunii ub cu care este alimentată latura pe la borne.
Ecuația 4.3. are și corespondentul său în complex:
IZIC
LjRUUUUjE CLRbextg =
−+=++=+−
1
(4.5)
Tensiunea aplicată este
bextga UjEU +−= (4.6)
și are aceeași interpretare fizică cu tensiunea aplicată exprimată sub formă instantanee.
Cu aceste notații: IZU a = (4.7)
Se poate deci enunța teorema lui Joubert: tensiunea aplicată unei laturi de circuit este egală cu
produsul dintre impedanța laturii și curentul din acea latură.
Evident tensiunea aplicată conține mai mulți termeni.
4.2. Impedanțe și admitanțe echivalente
Impedanța echivalentă în raport cu două borne ale unui circuit se definește ca raportul dintre U și
I la bornele respective:
eee jXRI
UZ +== (4.8)
iar admitanța echivalentă este:
eee jBGU
IY +== (4.9)
4.2.1. Circuite în serie necuplate inductiv
Considerăm un circuit format din mai mulți dipoli activi legați în serie. Ansamblul acestora poate
fi înlocuit cu un dipol echivalent, Fig. 4.3.
Tensiunea la bornele dipolului k va fi:
kkk EIZU −= (4.10)
iar la bornele ansamblului
k
n
k
k
n
k
k
n
k
EIZUU ===
−==111
, respectiv
k
n
k
k
n
k
EZIU ==
−=11
(4.11)
Tensiunea la bornele dipolului echivalent ca fi:
ee EZIU −= (4.12)
41
Fig. 4.3
Prin identificarea relațiilor (4.11) și (4.12) se obține:
=
=n
k
ke ZZ1
(4.13)
=
=n
k
ke EE1
(4.14)
Din (4.13) se deduce evident că
=
=n
k
ke RR1
şi =
=n
k
ke XX1
Expresia 4.13 pune în evidență faptul că legarea în serie a impedanțelor și obținerea impedanței
echivalente se poate obține și din compunerea geometrică a impedanțelor componente în planul Z
(Fig. 4.4).
Proiecția lui eZ pe axa reală este rezistența echivalentă 0eR iar proiecția pe axa imaginară este
eX ( 0eX , dacă circuitul este inductiv și 0eX , dacă circuitul este capacitiv).
Fig. 4.4
4.2.2. Circuite paralel, necuplate inductiv
Considerăm un circuit format din mai mulți dipoli activi legați în serie. Ansamblul acestora poate
fi înlocuit cu un dipol echivalent, Fig. 4.5.
42
Fig. 4.5
Curentul absorbit pe la borne este: =
=n
k
kII1
(4.15)
Curentul prin dipolul k va fi:
( )kkk EUYI += (4.16)
iar curentul total
kk
n
k
k
n
k
k
n
k
YEIYII ===
−==111
, respectiv
kk
n
k
k
n
k
k
n
k
YEYIII ===
−==111
(4.17)
Curentul prin dipolul echivalent ca fi:
)( ee EUYI += (4.18)
Prin identificarea relațiilor (4.11) şi (4.12) se obține:
1
n
e k
k
Y Y=
= (4.19)
1
1
n
k k
ke n
k
k
Y E
E
Y
=
=
=
(4.20)
Din (4.20) se deduce evident că
1
n
e k
k
G G=
= 1
n
e k
k
B B=
=
Expresia 4.13 pune în evidență faptul că legarea în paralel a impedanțelor cu obținerea de această
dată a admitanței echivalente se poate obține și din compunerea geometrică a admitanțelor
componente în planul Y (Fig. 4.6)
Fig. 4.6
43
Aplicații: Divizorul de tensiune și divizorul de curent
Circuitul RLC serie
Circuitul RLC paralel
Transfigurarea triunghi-stea și stea triunghi
Alte configurații de circuite pasive
44
Capitolul 5
Rezonanța electrică
5.1. Fenomenul de rezonanță electrică
Fie un dipol liniar și pasiv (Fig. 5.1) care conține elemente rezistive, inductive și capacitive într-
o conexiune oarecare și care este alimentat în regim sinusoidal cu tensiunea U .
Fig. 5.1
Acest circuit funcționează la rezonanță electrică atunci când puterea reactivă (Q) absorbită pe la
bornele de alimentare este nulă și cu toate că el conține elemente L și C , întregul dipol se comportă
în raport cu bornele de intrare ca un circuit pur rezistiv. Frecvențele pentru care Q = 0 poartă numele
de frecvențe de rezonanță.
Cu alte cuvinte:
Pentru un circuit serie: 2 0Q X I= = 0→ I și 0X = (5.1.)
Pentru un circuit paralel: 02 =−= UBQ 0→U și 0=B (5.2)
Dacă pentru un circuit cu o structură complexă este îndeplinită condiția 5.1. (X = 0), în circuit ca
apărea o rezonanță de tensiuni (rezonanță tip serie), iar dacă este îndeplinită condiția 5.2. (B = 0), în
circuit va apărea o rezonanță de curenți (rezonanță tip paralel).
Aducerea unui circuit la rezonanță se poate realiza prin fie variația frecvenței sursei de alimentare
a circuitului, fie prin variația parametrilor circuitului. De aceea pe lângă frecvență de rezonanță pentru
un circuit putem vorbi și de parametri de rezonanță.
Fenomenul de rezonanță stă la baza funcționării multor echipamente din tehnica comunicațiilor.
În tehnica curenților tari și în instalațiile electrice, în situația în care fenomenul de rezonanță apare în
mod neprevăzut, el poate avea efecte catastrofale datorită apariției unor supratensiuni sau supracurenți
greu controlabili.
5.2. Rezonanță de tensiuni (tip serie)
Circuitul cel mai simplu în care poate apărea rezonanța de tensiuni este circuitul RLC serie, Fig.
5.2, de unde și numele de rezonanță de tip serie.
Fig. 5.2
Presupunem circuitul alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsație . Impedanța complexă a
circuitului este :
45
−+=
CLjRZ
1 (5.3)
Valoarea efectivă a curentului I și defazajul său față de tensiunea U sunt:
2
2 1
−+
==
CLR
U
Z
UI
(5.4)
R
CL
arctgR
Xarctg
1−
== (5.5)
Condiția de rezonanță a circuitului, Q = 0X = 0, devine pentru acest caz:
01
=−=C
LX
→C
L
1
= 12 =→ LC (5.6)
relație numită condiția de rezonanță pentru circuitul serie.
Circuitul poate fi adus la rezonanță prin modificarea:
- pulsației (frecvenței) sursei de alimentare
- inductivității bobinei
- capacității condensatorului
Pulsația și frecvența de rezonanță se scriu:
LC
10 = ;
LCf
2
1
2
0
0 == ; (5.7)
În Fig. 5.3 este reprezentată caracteristica de frecvență a reactanței ( )C
LX
1
−= .
La rezonanță reactanța X(ω) = 0, deci circuitul se comportă pur rezistiv.
Pentru ω < ω0→X < 0, deci circuitul se comportă capacitiv, în timp ce pentru ω > ω0→X > 0,
deci circuitul se comportă inductiv.
Cu alte cuvinte la trecerea prin punctul de rezonanță un circuit serie își schimbă caracterul din
capacitiv în inductiv sau invers, în funcție de sensul de variație a frecvenței.
La rezonanța de tip serie impedanța circuitului la frecvența de rezonanță este minimă și reală:
RZZZ === min00 (5.8)
iar curentul va fi maxim la rezonanță:
max
min
0 IR
U
Z
UII rez ==== (5.9)
Fig. 5.3
46
Acest maxim poate fi pronunțat în situația în care valoarea rezistenței R este mică, motiv pentru
care la trecerea sa prin bobină și condensator poate determina apariția la bornele acestora a unor
supratensiuni care pot depăși cu mult tensiunea de alimentare, devenind periculoase pentru izolațiile
bobinei și condensatorului, de unde și denumirea de rezonanță de tensiuni. Tensiunile la bornele
bobinei și condensatorului sunt egale și în opoziție de fază după cum se poate vedea și din diagrama
fazorială din Fig. 5.4.
Fig. 5.4
La rezonanță reactanța inductivă LX L 00= și cea capacitivă
CX C
0
10 = sunt egale, această
valoare comună fiind numită impedanța caracteristică a circuitului:
C
L
CLZC ===
0
0
1
(5.10)
iar tensiunile la bornele bobinei și condensatorului au valorile:
000IZUU CCL == (5.11)
Raportul: R
C
L
IR
IZ
U
U
U
Uq CCL
=
===
0
000 (5.12)
se numește factor de calitate a circuitului, o valoare ridicată a lui q semnificând supratensiuni
importante pe bobină și condensator, respectiv R<<ZC.
Se poate observa că rezistența joacă rolul unui element de amortizare și că împiedică apariția
supratensiunilor de rezonanță.
Inversul factorului de calitate
00
1
CLC U
U
U
U
Z
R
qd ==== poartă numele de factor de amortizare a
circuitului şi pune în evidență rolul rezistenței R în amortizarea oscilațiilor.
Evident puterea absorbită de circuit la rezonanță va fi eminamente putere activă (condiția de
rezonanță era Q = 0) și va avea expresia:
max
2
0cos PIRIUIUP o ==== (5.13)
Energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului și în câmpul magnetic al bobinei
oscilează între cele două elemente de circuit fără a afecta schimbul de energie pe la bornele întregului
circuit.
5.3. Rezonanță de curenți (de tip paralel)
Cel mai simplu circuit în care poate să apară o rezonanță de curenți este circuitul RLC paralel,
Fig. 5.5, de unde și denumirea de rezonanță de curenți.
47
Fig. 5.5
Se consideră circuitul alimentat cu o tensiune sinusoidală de pulsație . Admitanța complexă a
circuitului este :
+
−+= C
Lj
RY
11 (5.14)
Condiția de rezonanță în această situație va avea forma:
B=0→ 01
=−C
L
→C
L
1
= 12 =→ LC (5.15)
condiție formal identică cu cea de la circuitul serie, deși manifestarea fizică a celor două fenomene
este total diferită.
În Fig. 5.6 este reprezentată caracteristica de frecvență a susceptanței ( )L
CB
1
−= .
La rezonanță susceptanța B(ω) = 0, deci circuitul se comportă pur rezistiv.
Pentru ω < ω0→B < 0, deci circuitul se comportă inductiv, în timp ce pentru ω > ω0→B > 0,
deci circuitul se comportă capacitiv.
În cazul circuitului paralel, la fel ca în cazul circuitului serie, la trecerea prin punctul de rezonanță
circuitul își schimbă caracterul din inductiv în capacitiv sau invers, în funcție de sensul de variație a
frecvenței.
La rezonanța de tip paralel, admitanța circuitului la frecvența de rezonanță este minimă și reală:
GYYY === min00 (5.16)
iar curentul va fi minim la rezonanță:
min
max
min0 IR
UYUII rez ==== (5.17)
Dacă latura cu rezistență lipsește, cu alte cuvinte →R , apare un circuit paralel oscilant LC,
prin care curentul este zero. Deci, un circuit oscilant LC acordat pe o anumită frecvență de rezonanță
f0 va bloca trecerea prin el a curentului de respectiva frecvență.
Fig. 5.6
48
Curenții prin bobină și condensator sunt egali și în opoziție de fază după cum se poate vedea și
din diagrama fazorială din Fig. 5.7.
Fig. 5.7
Aceasta face ca la rezonanța paralel, curentul 0 0RI I= , iar dacă rezistența lipsește ( )R → ,
0 0I = (Fig. 5.8)
Fig. 5.8
Și la rezonanța paralel reactanța inductivă LX L 00= și cea capacitivă
CX C
0
10 = sunt egale,
această valoare comună fiind numită impedanța caracteristică a circuitului:
C
L
CLZC ===
0
0
1
(5.18)
iar curenții prin bobină și condensator au valorile:
c
CLZ
UII ==
00
(5.19)
La rezonanța paralel curentul absorbit pe la borne este minim, dar curenții prin bobină și
condensator pot lua valori periculos de mari, de unde și denumirea de rezonanță de curenți.
Raportul:
C
L
R
Z
R
I
I
I
Iq
C
CL====
00
00
(5.20)
se numește factor de calitate a circuitului, o valoare ridicată a lui q semnificând supracurenți
importanți prin bobină și condensator, respectiv R>>ZC. La limită, când →R și →q
Inversul factorului de calitate
00
001
CL
C
I
I
I
I
R
Z
qd ==== poartă numele de factor de amortizare a
circuitului și pune în evidență rolul inversului rezistenței R în amortizarea oscilațiilor.
Evident puterea absorbită de circuit la rezonanță va fi tot eminamente putere activă (condiția de
rezonanță era Q = 0) și va avea expresia:
min
2
0cos PIRIUIUP o ==== (5.21)
49
Și în acest caz energia înmagazinată în câmpul electric al condensatorului și în câmpul magnetic
al bobinei oscilează între cele două elemente de circuit fără a afecta schimbul de energie pe la bornele
întregului circuit.
5.4. Rezonanța în circuite derivație cu pierderi
Fie un circuit oscilant paralel realizat cu elemente reale de circuit, adică bobina are rezistența de
pierderi R1 iar condensatorul rezistența de pierderi R2, Fig. 5.9, circuitul fiind alimentat de o tensiune
sinusoidală de pulsație .
Fig. 5.9
Admitanța complexă a circuitului este:
CjR
LjRZZYYY
1
1111
2121
21
−
++
=+=+= (5.22)
Raționalizând cei doi termeni ai impedanței complexe rezultă:
2
2
2
2
1
1
1
Z
CjR
Z
LjRY
+
+−
= (5.23)
Separând partea reală și partea imaginară, rezultă:
jBGZ
C
Z
Ljj
Z
R
Z
RY +=
+−
+
+=
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
(5.24)
Pătratele modulelor celor două impedanțe sunt: 2 2 2 2
1 1Z R L= + și 2 2
2 2 2 2
1Z R
C= +
Impunând condiția de rezonanță B = 0, pentru frecvența de rezonanță ω0, rezultă:
0 0
2 2 221 02 2 2
0
1
1
L C
R LR
C
=+
+
→→+=
+ 22
0
2
122
0
2
2
2
0
1LR
CRLC
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 2 1 0 0 2 0 1 0 2 12 2
LC LC L LLCR R L LCR L R LC R R
C C C C
+ = + → − = − → − = −
C
LR
C
LR
LC −
−
=2
2
2
1
0
1 (5.25)
50
Se poate observa că pentru circuitele cu pierderi pulsația de rezonanță 0 depinde și de
rezistențele de pierderi R1 și R2 spre deosebire de circuitele oscilante serie sau paralel ideale unde 0
era funcție numai de L și C.
Din analiza expresiei (5.25) se observă că:
- dacă R1 = R2 sau R1 = R2= 0, pulsația de rezonanță este aceeași ca în cazul circuitelor ideale:
LC
10 =
- dacă C
LR 1 și
C
LR 1 (sau invers), adică numărătorul și numitorul radicalului mare din
expresia 5.25. au semne opuse, pulsația 0 este imaginară, ceea ce înseamnă că circuitul nu
va intra niciodată în rezonanță
- dacă C
LRR == 21 , vom avea o neterminare de tip
0
00 = , aceasta însemnând din punct de
vedere fizic că circuitul poate rezona pentru orice pulsație, deoarece orice valoare a pulsația
satisface în acest caz relația 5.25. în acest caz vorbim despre circuitul complet aperiodic sau
total rezonant, cu numeroase aplicații tehnice.
Acest circuit se comportă la orice frecvență ca o rezistență în raport cu bornele de alimentare,
defazajul dintre curenții 1I și 2I fiind 2
la orice frecvență:
11
1
21
21 −=−
=
−
=LC
C
L
L
R
C
R
Ltgtg
1 2
2
1tg ctg
tg
→ = − = −
de unde se poate trage concluzia că cele două unghiuri sunt complementare dar de semn opus, adică:
221
=+ (5.26)
(vezi diagrama fazorială din Fig. 5.10).
Fig. 5.10
În această situație între bobină și condensator nu vor apărea oscilații de energie ca la circuitele
ideale. Energiile electrică 2
2
1Ce uCW = și magnetică 2
2
1Lm iLW = sunt absorbite de la rețea când uC
și iL cresc, iar apoi sunt disipate sub formă de căldură pe rezistențele R1 și R2. În această situație uC și
iL sunt în fază, spre deosebire de celelalte rezonanțe la care erau în cuadratură, ceea ce făcea posibil
schimbul de energie între L și C.
Curentul total 21 III += fiind însă în fază cu tensiunea U face ca celelalte calități ale rezonanței
să se păstreze.
51
Capitolul 6
Teoremele circuitelor electrice
Obs.: În esență aceste teoreme au fost studiate în cazul particular al curentului continuu, motiv
pentru care vom face apel la acestea pentru a scurta expunerea și pentru a evita redundanțele. Acolo
însă unde apar diferențe notabile între cele două situații se vor face toate precizările necesare.
6.1. Teoremele lui Kirchhoff
6.1.1. Teorema întâi a lui Kirchhoff
Este după cum s-a mai arătat o consecință directă a legii conservării sarcinii, valabilă în regim
cvasistaționar sub forma cunoscută:
=bk
ki 0pentru circuite liniare, neliniare sau parametrice.
Transpusă în complex T1K se va scrie:
=bk
kI 0 (6.1)
Relația 6.1. transpusă într-o diagramă fazorială arată că poligonul format de către curenții ce
concură într-un nod de circuit este întotdeauna un poligon închis.
Atenție! Relația nu este valabilă pentru valorile efective ale curenților, deoarece prin definiție acestea
sunt pozitive și evident o sumă de numere pozitive nu poate fi niciodată nulă.
De reținut că pentru o rețea cu n noduri T1K se scrie pentru (n-1) noduri alese arbitrar și numite
noduri fundamentale.
6.1.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff
Reprezintă o consecință a legii inducției electromagnetice Sd
edt
= − , aplicată pentru o curbă
închisă Γ, luată de-a lungul unui ochi de circuit p, astfel încât pentru fiecare latură ea să treacă prin
suprafețele tensiunilor la borne. Aceste suprafețe sunt alese de așa manieră încât ele să înconjoare
fiecare latură la distanță de aceasta și să nu fie străbătute de liniile vreunui flux magnetic. Aceste
suprafețe intersectate cu planul circuitului devin așa numitele linii ale tensiunilor la borne.
Dacă curba închisă Γ, trece doar prin liniile tensiunilor la borne în interiorul acestei curbe nu trece
nici o linie de câmp magnetic, deci 0=S
, de unde și 0=e (Fig. 6.1).
Rezultă evident:
=pk
ku 0 (6.2)
care reprezintă teorema a doua a lui Kirchhoff și se enunță: Suma algebrică a valorilor instantanee ale
tensiunilor la bornele laturilor care alcătuiesc ochiul p este nulă.
În suma algebrică se iau cu + acele tensiuni ale căror sens de referință coincide cu sensul de
parcurgere al ochiului p, respectiv cu sensul de integrare pe curba și cu minus în caz contrar.
52
Fig. 6.1
În suma din relația 6.2. intervin doar acele laturi k care compun ochiul p. Se aplică teorema lui
Joubert pentru ecuația de tensiuni a laturii k:
kCk
Rk eudt
duu
kk−+
+= (6.3)
Înlocuind în 6.2. și separând termenii se obține:
=
+
+
pk pk
kCk
k eudt
du
k (6.4)
Sub forma din relația 6.4. teorema a doua a lui Kirchhoff se enunță: Suma algebrică a valorilor
instantanee ale surselor din laturile ochiului unui ochi de circuit este egală cu suma algebrică a
valorilor instantanee ale tensiunilor pentru toate elementele de circuit din acel ochi.
Forma 6.4. este valabilă pentru circuite liniare, neliniare, sau parametrice.
În cazul particular al circuitelor liniare, tensiunile de pe elementele de circuit se pot exprima sub
forma:
=
=
+++
pk
k
pk
m
j
k
k
j
kjk
kkkk edtiCdt
diL
dt
diLiR
1
1 (6.5)
Numărul m este numărul de bobine cuplate cu bobina Lk.
În regim permanent sinusoidal expresia 6.2. a T2K se transpune în mărimi complexe sub forma:
=pk
kU 0 (6.6)
Suma fiind nulă în diagrama fazorială toate tensiunile de pe latură formează un poligon închis.
Din nou trebuie remarcat că nici relația 6.6. nu este adevărată dacă este scrisă în valori efective.
Forma 6.5. transpusă în complex ne dă:
=
=
+++
pk pk
kjkj
m
j
kkkkk EILjICj
ILjIR1
1
(6.7)
Notând:
53
=
−+=
kjkj
k
kkk
LjZ
CLjRZ
1
în care kZ este impedanța proprie a laturii k și kjZ , impedanța
mutuală dintre laturile k și j, rezultă:
=
=
+
pk
k
pk
m
j
jkjkk EIZIZ1
(6.8)
relație care reprezintă T2K sub formă explicită în valori complexe.
De remarcat că atunci când se aplică relația 6.8. pentru un circuit oarecare fiecare impedanță
mutuală kjZ dintre o latură a ochiului p şi o latură care nu aparține ochiului p, apare o singură dată, în
timp ce impedanța mutuală kjZ între două laturi aparținând ochiului p apare de două ori, odată pentru
latura j și încă odată pentru latura k ale ochiului.
6.2.Teorema superpoziției
Enunțul este identic cu cel din curent continuu: Curentul electric dintr-o latură a unui circuit liniar
în care există mai multe surse, este suma algebrică a curenților produși prin acea latură de către fiecare
sursă în parte, dacă ar acționa singură în circuit, celelalte fiind pasivizate.
Obs.: A pasiviza o sursă înseamnă a o scoate din circuit, în locul ei rămânând o impedanță egală
cu impedanța sa internă.
6.3. Teorema lui Thevenin, sau teorema generatorului echivalent de tensiune
0
0
AB
AB
ABZZ
UI
+= (6.9)
Curentul debitat de un circuit activ și liniar printr-o impedanță Z conectată la bornele sale A-B,
este egal cu raportul dintre tensiunea 0ABU la mersul în gol (cu latura Z întreruptă) și suma dintre
impedanța Z și impedanța internă a circuitului pasivizat la mersul în gol 0ABZ .
Demonstrația se bazează pe teorema superpoziției (Fig. 6.2). În latura cu impedanța complexă Z,
se introduc două surse de tensiune electromotoare egale și acționând în sens opus: 0ABE E U = =
Fig. 6.2
La rândul său circuitul se descompune conform teoremei superpoziției în două circuite prezentate
în figurile a și respectiv b.
În schema (a) curentul este nul I’= 0, sursa E’ compensând efectul tuturor surselor interioare din
rețeaua activă A, deci circuitul funcționează ca unul în gol în raport cu bornele AB. În schema (b) a
54
rămas activă numai sursa E’’ = UAB0 care produce curentul I’’ prin impedanța Z legată în serie cu
impedanța ZAB0 a rețelei pasivizate 0
0
AB
AB
UI
Z Z =
+.
Conform teoremei superpoziției 0
0
AB
AB
AB
UI I I I
Z Z = + = =
+ (6.10)
6.4. Teorema lui Norton, sau teorema generatorului echivalent de curent
ABo
ABscAB
YY
IU
+= (6.10)
Tensiunea ABU produsă la bornele unei impedanțe Z legată între bornele A și B ale unei rețele
active și liniare este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit IABsc al rețelei, dacă ar fi
scurtcircuitate bornele A și B și suma dintre admitanța externă Z
Y1
= și admitanța internă a reţelei
pasivizate
0
0
1
AB
ABZ
Y = .
6.5. Teorema transferului maxim de putere activă pe la borne
Considerăm un generator având t.e.m. E și impedanța internă Zi=Ri+jXi=Ziejφi care alimentează pe
la bornele A,B (Fig. 6. 3) un receptor având impedanța de sarcină Zs=Rs+jXs=Zsejφs.
Dorim să determinăm valoarea impedanței de sarcină Zs astfel încât ea să absoarbă maximum de
putere activă, respectiv sarcina Zs să funcționeze adaptat la sursă.
Fig. 6.3
Curentul debitat de sursă are valoarea:
si ZZ
EI
+= (6.11)
iar puterea absorbită de receptor (și consumată pe rezistența Rs) este:
( ) ( )( )ss
isis
s
si
ss XRPXXRR
RE
ZZ
ERIRP ,
22
22
2 =+++
=+
== (6.12)
Variabilele independente în raport cu care se caută maximul sunt elementele receptorului ( )ss XR ,
valorile care asigură Pmax rezultând din anularea derivatelor parțiale ale funcției P ( )ss XR , din 6.12.
La Rs= const. și Xs=variabil, maximul local al lui P se obține pentru minimul numitorului, respectiv
cum ( ) 0+ is XX , pentru anularea sa trebuie ca:
is XX −= (6.13)
Puterea transferată sarcinii pe la bornele A-B în acest caz este:
55
( )2
2
is
sXX
RR
REP
is+
=−= (6.14)
Maximul acesteia, la variația lui Rs, se obține din anularea derivatei:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
4 3
20
s i s i s i s
s s i s i
R R R R R R RPE E
R R R R R
+ − + −= = =
+ +s iR R→ = (6.15)
Deci, conform 6.13. și 6.15. puterea transferată sarcinii este maximă dacă este îndeplinită condiția:
−=
=
is
is
XX
RR
=
=
is
is ZZ
= is ZZ (6.16)
respectiv impedanța de sarcină să fie egală cu conjugata impedanței interne complexe a sursei.
Dacă este îndeplinită această condiție de adaptare a sarcinii la sursă (6.14), puterea activă
transferată receptorului pe la bornele A-B este:
iR
EP
4
2
max = (6.17)
iar puterea produsă de generator în aceste condiții de adaptare este:
( ) max
2
max 2PIRRP sig =+= (6.18)
Randamentul electric al schemei este:
5,0max
max
is
s
ggenerat
u
RR
R
P
P
P
P
+=== (6.19)
Obs.: Prin Pgmax nu trebuie să se înțeleagă faptul că sursa produce maxim de putere, ci este vorba
de puterea pe care o produce sursa când la receptor ajunge maximum de putere.
În tehnica curenților tari, unde se cer randamente cât mai mari, se lucrează cu si RR , deci
departe de condiția de adaptare. În tehnica curenților slabi însă (comunicații, transmisii de date), unde
aspectul energetic al problemei (randamentul schemei) este un aspect mai puțin important, se merge
pe ideea transferului de putere maximă către receptor, deci a adaptării receptorului la sursă.
În practică se folosesc circuite de adaptare.
6.6. Linia monofazată scurtă fără pierderi
Dacă linia electrică de transport a energiei (Fig. 6.4.a) care leagă sursa de alimentare cu receptorul
este una scurtă, ea poate fi înlocuită cu o schemă echivalentă R, X serie (Fig. 6.4.b). În această situație,
curentul B BI i= este curentul absorbit de consumator, considerat constant și independent de
tensiunea aplicată la bornele consumatorului 0BU . De asemenea se consideră că tensiunea 0AU de la
sursă este constantă. Indicele 0 arată că este vorba despre tensiunea între fază și neutru.
a b
Fig. 6.4
După cum se poate observa din diagrama fazorială, datorită circulației curentului de - a lungul
liniei, se va produce o cădere de tensiune activă pe fază RI şi una inductivă jX I , defazată cu 2
în
fața curentului.
56
Fig. 6.5
Suma acestor două căderi de tensiune pe fază va reprezenta căderea totală de tensiune, reprezentată
prin segmentul AC, care este diferența fazorială între tensiunea la începutul și la sfârșitul liniei:
0 0 0AB A BU U U Z I = − =
Proiecțiile ei pe cele două axe corespund segmentelor AD şi CD, având următoarele expresii:
0 cos sinAB a rU RI XI RI XI = + = +
0 cos sinAB a rU XI RI XI RI = − = −
cosaI I = este componenta activă a curentului de linie
sinrI I = este componenta reactivă a curentului de linie
R este rezistența liniei (pe fază)
X este reactanța inductivă a liniei (pe fază).
Vom trasa arcul de cerc CE de rază egală cu 0 0A AU U= . Diferența algebrică dintre valorile efective
ale celor două tensiuni:
0 00 A BABU U U = − poartă numele de cădere de tensiune (pe fază).
Pentru valori mici ale unghiului dintre cele două tensiuni, componenta transversală a căderii
fazoriale de tensiune poate fi neglijată, iar componenta longitudinală va fi aproximativ egală cu
căderea de tensiune: 0 0AB ABDU U .
Pentru valori mari ale unghiului , căderea de tensiune se determină cu relația:
( ) ( )2 2
0 0 00 0 0 0A B BAB B AB ABU U U U U U U = − = + + −
Deoarece 0 0 0AB B ABU U U + relația de sub radical se poate dezvolta în serie:
( ) ( )
( )
2 4
0 0
0 0 3
0 0 0 0
1 1...
2 8
AB AB
AB AB
B AB B AB
U UDU U
U U U U
+ − +
+ +
Pentru liniile de medie și joasă tensiune se pot reține cu suficientă aproximație numai primii doi
termeni:
( )2
0
0 0
0 0
1
2
AB
AB AB
B AB
UDU U
U U
+
+ , respectiv
( )2
0
0
cos sincos sin
2AB
B
XI RIDU RI XI
U
−+ +
57
în care tensiunea la consumator este necunoscută. De aceea, pentru simplificare, tensiunea 0BU se
aproximează cu tensiunea de fază 0nU . Pentru sistemul monofazat, format din două conductoare
02
nn
UU = , iar pentru sistemul trifazat
03
nn
UU = .
În acest caz expresia căderii de tensiune devine:
( )2
0
0
cos sincos sin
2AB
n
XI RIDU RI XI
U
−+ +
Pentru liniile de joasă tensiune, se poate utiliza cu suficientă aproximație, relația:
0 0 cos sinAB ABDU U RI XI +
În rețelele electrice consumatorii sunt în general reprezentați prin puterile lor activă și reactivă. Dacă
se ține seama de faptul că 0
0
a
B
PI
U= și 0
0
r
B
QI
U= , expresiile căderilor de tensiune vor avea forma:
0 0 0 00
0 0
AB
B n
RP XQ RP XQU
U U
+ + =
0 0 0 00
0 0
AB
B n
XP RQ XP RQU
U U
− −=
( )2
0 00 00 3
0 02AB
n n
XP RQRP XQDU
U U
−++
In funcţie de puterile totale transportate pe linie, se utilizează pentru sistemul monofazat 02
PP = ,
respectiv 02
QQ = iar pentru sistemul trifazat 0
3
PP = , respectiv 0
3
QQ = .
Între căderea de tensiune fazorială pe linie şi căderile de tensiune longitudinală și transversală există
relația:
0 0 0AB AB ABU U j U = +
Odată determinată 0ABDU , aceasta trebuie comparată cu căderea de tensiune maxim admisibilă pe
linie ,0admU : 0 ,0 0100
AB adm nDU U U
=
Pentru determinarea defazajului între tensiunile la cele două capete ale liniei, din diagrama fazorială
0
0 0 0
AB a r a r
B AB B a r n
U XI RI XI RICDtg
OD U U U RI XI U
− −= = =
+ + +
Obs.: Intre căderea de tensiune între fază şi nulul fictiv şi căderea de tensiune între faze în cadrul
sistemului monofazat este:
02AB ABDU DU=
iar în cazul sistemului trifazat
03AB ABDU DU=
58
Capitolul 9
Circuite electrice trifazate
Producerea energiei electromagnetice se face în centrale electrice cu ajutorul generatoarelor
sincrone trifazate, transportul său se realizează cu ajutorul liniilor electrice trifazate de înaltă tensiune,
iar distribuția se face prin rețele trifazate de medie și joasă tensiune. Utilizarea sistemului trifazat în
producerea, transportul și distribuția energiei este legată de următoarele avantaje ale sistemelor
trifazate:
- transmisia este economică, utilizându-se doar trei conductoare (plus neutrul) în loc de șase
conductoare la transmisia prin trei linii monofazate separate
- consumatorii au disponibile două sisteme de tensiuni, de linie și de fază
- cu ajutorul sistemelor trifazate de curenți se pot produce câmpuri magnetice învârtitoare,
câmpuri pe baza cărora funcționează toate mașinile electrice de curent alternativ (sincrone și
asincrone), mașini care constituie baza acționărilor electrice industriale.
9.1. Sisteme trifazate simetrice
Un ansamblu de trei circuite electrice în care acționează trei tensiuni electromotoare sinusoidale
de aceeași frecvență dar cu faze inițiale diferite se numește sistem trifazat de circuite. Fiecare dintre
circuitele sistemului se numește fază iar curentul care circulă prin ele este curentul de fază. Sistemul
trifazat de curenți de fază are forma:
( )
( )
( )
+=
+=
+=
333
222
111
sin2
sin2
sin2
tIi
tIi
tIi
1
2
3
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
j
j
j
I I e I
I I e I
I I e I
= =
= =
= =
(9.1)
Sistemul 9.1 este un sistem oarecare. Cei trei curenți formează un sistem simetric dacă au aceeași
valoare efectivă ( )IIII === 321 și sunt defazați simetric între ei ( )133221 −=−=−=
Dacă 3
2 = , cei trei curenți formează un sistem simetric de succesiune directă (de secvență 1)
(Fig. 9.1a, respectiv Fig. 9.1b).
a b
Fig. 9.1
59
Unitatea de defazaj este 3
2, iar fazorii se rotesc în sens trigonometric în ordinea ,,, 321 III faza
2 este în urma fazei unu cu o unitate, iar faza 3 în urma fazei doi tot cu o unitate, deci este de secvență
1.
Un sistem simetric de curenți se scrie sub forma:
( )1
2
3
2 sin
22 sin
3
22 sin
3
i I t
i I t
i I t
= +
= + −
= + +
1
2
32
2
33
2
3
2
3
j
j
j
I Ie I
I Ie I
I Ie I
−
+
= =
= = −
= = +
(9.2)
Dacă 3
2 −= , cei trei curenți formează un sistem simetric de succesiune inversă (de secvență 2)
(Fig. 9.2a, respectiv Fig. 9.2b)
a b
Fig. 9.2
Curenții se succed în ordinea 1-3-2 respectiv faza a doua este în urma fazei 1 cu două unități
=
3
22
3
4 , la fel faza a treia este în urma fazei a doua tot cu două unități, respectiv sistemul este
de secvență 2. Curenții au expresiile:
( )1
2
3
2 sin
22 sin
3
22 sin
3
i I t
i I t
i I t
= +
= + +
= + −
1
2
32
2
33
2
3
2
3
j
j
j
I Ie I
I Ie I
I Ie I
−
+
= =
= = +
= = −
(9.3)
Sistemul invers provine din sistemul direct în care s-au inversat două faze între ele. Un motor
trifazat alimentat cu un sistem direct de curenți are un anumit sens de rotație, iar alimentat cu un
sistem invers de curenți se va roti invers; cu alte cuvinte prin inversarea a două faze un motor își
schimbă sensul de rotație.
Dacă 0= cei trei curenți formează un sistem simetric de succesiune homopolară (de secvență 0
sau 3). (Fig. 9.3a și Fig. 9.3b).
60
a b
Fig. 9.3
În diagramele din Fig. 9.3 este reprezentat un sistem homopolar de curenți. În rotația lor, între
aceștia nu există nici un defazaj, respectiv defazajul este 2π. Deci sistemul homopolar este de secvență
0 sau 3.
Un sistem homopolar se poate scrie în valori instantanee sau complexe sub forma:
( )
( )
( )
1
2
3
2 sin
2 sin
2 sin
i I t
i I t
i I t
= +
= +
= +
1
2
3
j
j
j
I Ie I
I Ie I
I Ie I
= =
= =
= =
(9.4)
Definim operatorul de rotație „a”, care are modulul 1 iar faza „3
2”. Orice mărime complexă
înmulțită cu „a”, va fi rotită în sens direct trigonometric cu 3
2. Operatorul are următoarele
proprietăți:
====
=
−−==
+−==
...1;;
1
3
2
2
1
3
2
2
1
36254
3
3
4
2
3
2
aaaaaa
a
jea
jea
j
j
(9.5)
Se observă din Fig. 9.4 că mărimile 1, a, a2 formează o stea simetrică, deci suma lor este nulă:
Fig. 9.4
01 2 =++ aa (9.6)
61
Pe de altă parte și un sistem simetric direct sau un sistem simetric invers de curenți formează tot o
stea simetrică. Cu ajutorul operatorului de rotație „a”, un sistem direct sau invers se scrie:
Sistem direct Sistem invers
1
2
2
3
jI I Ie I
I a I
I aI
= = =
= =
1
2
2
3
jI I Ie I
I aI
I a I
= = =
=
=
(9.7)
iar suma celor trei curenți este nulă: 1 2 3 0I I I+ + = (Fig. 9.5)
Sistem direct Sistem invers
Fig. 9.5
Mărimile diferență într-un sistem trifazat direct se scriu sub forma:
( )
−−−+=−=
3
2sinsin22112
ttIiii
−+=
3cos
3sin2212
tIi
++=
6sin2312
tIi (9.8)
iar în valori complexe mărimea diferență se scrie sub forma:
2 612 1 2 1 1 1 13 3
6
j
I I I I a I I e I
= − = − = = (9.9)
conform Fig. 9. 6.
Fig. 9.6
62
Din relațiile 9.7 și 9.8 se observă că o mărime diferență 12I are modulul de 3 ori mai mare şi
este defazată înaintea lui 1I cu 6
. Similar, mărimea diferență într-un sistem invers are modulul de
3 ori mai mare și este defazată cu în urmă cu 6
.
Dacă ,,, 321 III formează un sistem simetric de succesiune directă atunci mărimile diferență
,,, 312312 III vor forma o stea simetrică de succesiune directă cu modulul mai mare de 3 ori, rotită
cu 6
(Fig. 9.7a), fie vor forma un triunghi orientat în sens direct (latura triunghiului fiind egală cu
de 3 ori latura stelei) (Fig. 9.7b).
a b
Fig. 9.7
Dacă ,,, 321 III formează un sistem simetric de succesiune inversă (Fig. 9.8a) atunci mărimile
diferență ,,, 312312 III vor forma o stea simetrică de succesiune inversă cu modulul mai mare de 3
ori şi rotită cu 6
(Fig. 9.8a), fie vor forma un triunghi orientat în sens invers (latura triunghiului fiind
egală cu de 3 ori latura stelei), ca în (Fig. 9.8b).
a b
Fig. 9.8
63
9.2. Conexiunile sistemelor trifazate
Un sistem trifazat de circuite se poate considera că provine din interconectarea a trei circuite
monofazate şi aceasta se poate face prin conexiuni: stea, triunghi sau zig-zag.
Orice receptor se conectează la o priză trifazată unde există un sistem simetric trifazat al tensiunilor
de alimentare furnizat de sistemul național de distribuție.
9.2.1. Conexiunea stea (Y)
Impedanțele 321 ,, ZZZ din Fig. 9.9 reprezintă fazele receptorului și sunt parcurse de curenții de
fază 321 ,, III , legătura 0-N prin NZ reprezentând impedanța neutrului (nulului) de lucru.
Fig. 9.9
Receptorul este alimentat cu un sistem trifazat de tensiuni, iar 321 ,, VVV , reprezintă cele trei
tensiuni pe fiecare dintre cele trei faze, numite tensiunile pe fază și definite între fiecare fază și neutrul
rețelei de alimentare 0. Punctul 0 se consideră referința de potențial într-un sistem trifazat.
Tensiunile definite între fazele sistemului, 312312 ,, UUU se numesc tensiuni între faze (sau tensiuni
de linie)
Curenții care vin prin liniile de alimentare către receptor se numesc curenți de linie.
Se poate cu ușurință observa de pe figură faptul că curenții de linie sunt aceeași cu curenții prin
fazele receptorului la conexiunea stea.
Curentul 0I prin conductorul neutru (de nul) se mai numește curent de întoarcere datorită orientării
sale 0→N .
Punctul N este neutrul (nulul) receptorului așa cum 0 este neutrul rețelei (generatorului).
Curentul prin conductorul de neutru este 3210 IIII ++= , iar dacă cei trei curenți formează un
sistem simetric, atunci 00 =I și conductorul de neutrul poate lipsi deoarece căderea de tensiune pe
NZ este zero.
Conexiunea stea este caracterizată de:
321 ,, VVV - tensiunile de fază la alimentare
312312 ,, UUU - tensiunile de linie (între faze)
321 ,, VVV - tensiunile de fază la receptor
,,, 321 III - curenții de fază, identici cu curenții de linie
Dacă se notează mărimile de fază cu indicele f, iar cele de linie cu indicele l, rezultă:
3U V= → 3l fU U= ; fl II = ;
64
Diagrama fazorială a tensiunilor în conexiunea stea este reprezentată în Fig. 9.10.
Fig. 9.10
9.2.2. Conexiunea triunghi (Δ sau D)
Impedanțele 312312 ,, ZZZ , reprezintă fazele receptorului și sunt legate în triunghi ca în Fig. 9.11.
Fig. 9.11
Se observă că în acest caz, la receptor nu este accesibil nulul rețelei de alimentare, ceea ce face ca
în această situație să nu se poată defini decât tensiunile între faze, deci tensiunile de linie
312312 ,, UUU , între bornele rețelei 1-2-3.
,,, 321 III - curenții de linie, care circulă prin liniile de alimentare
312312 ,, III - curenții de fază
Prin aplicarea T1K la bornele receptorului avem:
31121 III −= ; 12232 III −= ; 23313 III −= ;
Se observă că ,,, 321 III reprezintă mărimi diferență, deci au proprietățile acestora, ceea ce este
reliefat în diagrama fazorială din Fig. 9.12
În consecință, pentru conexiunea triunghi: fl UU = , iar fl II 3=
În practică un sistem trifazat de tensiuni se indică fie prin valoarea tensiunii de linie, fie prin
raportul dintre tensiunea de linie și cea de fază; în UE, rețeaua publică de joasă tensiune se indică prin
0,4kV (400V), respectiv 400/230V ( 2303400 = V).
65
Fig. 9.12
9.3. Rezolvarea circuitelor electrice trifazate
A rezolva un circuit electric înseamnă a determina curenții absorbiți și puterile totale absorbite
(total având semnificația puterii pe cele trei faze), atunci când se cunoaște sistemul tensiunilor de
alimentare și cele trei impedanțe ale receptorului și modul lor de conexiune.
Sistemul tensiunilor de alimentare poate fi simetric (direct sau invers) sau nesimetric, iar
receptorul poate fi echilibrat ZZZZ === 321 , sau dezechilibrat 321 ZZZ . În funcție de
aceasta sistemul curenților absorbiți poate fi și el unul simetric (direct sau invers), respectiv un sistem
nesimetric.
Astfel:
- sistem de alimentare simetric + receptor echilibrat→sistem de curenți simetric
- sistem de alimentare simetric + receptor dezechilibrat → sistem de curenți nesimetric
- sistem de alimentare nesimetric + receptor echilibrat → sistem de curenți nesimetric
- sistem de alimentare nesimetric + receptor dezechilibrat → sistem de curenți nesimetric
9.3.1. Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice
A. Receptor în stea (Fig. 9.13a)
Tensiunile de fază la alimentare 321 ,, VVV , adică acele tensiuni măsurate între fiecare fază și
conductorul de nul, formează un sistem simetric de succesiune directă:
VV =1 ; VaV 2
2 = ; VaV =3 ; (9.10)
receptorul este 1 2 3
jZ Z Z Z Z e Z = = = = = , iar tensiunile
NUVV −=
11 ; NUVV −=
22 ; NUVV −=
33 ; reprezintă tensiunile pe fază la receptor.
Fig. 9.13
66
Curenții absorbiți se pot scrie sub forma:
( )NN UVY
Z
UV
Z
VI −=
−=
= 1
1
1
11
( )NN UVY
Z
UV
Z
VI −=
−=
= 2
2
2
22 (9.11)
( )NN UVY
Z
UV
Z
VI −=
−=
= 3
3
3
33
Curentul prin firul de nul este:
( ) NUVVVYIIII 33213210 −++=++=
Deoarece sistemul tensiunilor de alimentare este simetric cele trei tensiuni de alimentare formează
o stea simetrică și 032 =++ VVV
Rezultă: NUYI 30 −=
Pe de altă parte: →= NN UYI 0 ( ) 03 =+ NN YYU → 0=NU → 00 =I
Punctul de neutru se află la potențial zero la fel ca punctul 0. Tensiunea dintre cele două puncte
fiind nulă și neexistând nici un curent prin conductorul de nul ( 00 =I ), curenții pe cele trei faze
formează un sistem simetric:
11 VYI = ; 1
2
1
2
22 IaVaYVYI === ; 1133 IaVaYVYI === (9.12)
Atunci când sistemul de curenți este simetric, este suficientă cunoașterea unuia dintre ei (spre
exemplu 1I ), ceilalți doi obținându-se din rotirea lui 1I , înainte și în urmă cu 3
2 (Fig. 9.13b)
Se spune că astfel de sisteme se rezolvă pe o singură fază.
B. Receptor în triunghi
Se consideră cunoscute tensiunile de alimentare UU =12 ; UaU 2
23 = ; 31U aU= , care formează
un sistem simetric de succesiune directă, Fig. 9.14a, iar receptorul 12 23 31
jZ Z Z Z Ze Z = = = = =
este echilibrat.
Fig. 9.14
Se vor determina atât curenții de fază 312312 ,, III , cât și curenții ,,, 321 III prin linia de alimentare
(curenții de linie). Neavând conductor de neutru accesibil, nu se pot defini tensiunile pe fază la
67
alimentare, adică 321 ,, VVV , cu toate că au fost și ele reprezentate în diagrama fazorială din Fig.
9.14b.
Curenții de fază se pot scrie sub forma:
( )12 12 1212
jU U UI e
Z Z Z
−= = = −
12
212
2
2323 Ia
Z
Ua
Z
UI === (9.13)
121231
31 IaZ
Ua
Z
UI ===
curenții de linie rezultând ca mărimi diferență sub forma:
( ) 661 12 31 12 121 3 3 3
6
jj U UI I I I a I e e
Z Z
− +−
= − = − = = = − +
( )2
23 662 23 12 23 23 11 3 3
jj UI I I I a I e e a I
Z
− + +− = − = − = = =
( ) ( ) 1123112313 11 IaaaIaIIII =−=−=−= (9.14)
Ambele sisteme de curenți (9.13) și (9.14) formează un sistem simetric după cum rezultă din
diagrama fazorială din Fig. 9.14b. Unghiul între ( )1212 , IU este același ca între ( )11, IV și egal cu faza
inițială a receptorului.
C. Puteri în circuite trifazate echilibrate, alimentate simetric
Se consideră un receptor echilibrat, alimentat simetric: VVV ==1 ; 1
2
2 VaV = ; 13 VaV = ; şi
care absoarbe curenții simetrici: jeII =1 ; 1
2
2 IaI = ; 13 IaI = ;
Puterea complexă totală (pe toate cele trei faze ale sistemului) absorbită de un receptor trifazat se
poate scrie sub forma:
++= 332211 IVIVIVS (9.15)
(evident puterea corespunzătoare firului neutru, dacă acesta există este nulă, curentul prin acesta fiind
nul)
Dacă se ține seama de simetria lui a și a2 în raport cu axa reală, Fig. 9.15 rezultă că 2aa =,
aa =)( 2 și a3=1.
Fig. 9.15
68
Curenții complex conjugați sunt: jeII −= 11 ; ( )
== 11
2
2 IaIaI ; ( ) == 1
2
13 IaIaI ;
Atunci puterea complexă absorbită se scrie:
( ) ( ) ( ) ( ) =++= 111
2
111
2
11 3 IVIaVaIaVaIVS (9.16)
Se poate observa că pentru circuite trifazate echilibrate alimentate simetric puterea nu trebuie
calculată decât pentru o singură fază și rezultatul se înmulțește cu 3. Puterea complexă are
componentele:
jQPVIjVIeIVIVS j +=+===
sin3cos333 11 (9.17)
Puterile activă şi reactivă totale absorbite de receptorul trifazat echilibrat sunt:
cos3cos3 lf UIVIP == W
sin3sin3 lf UIVIQ == VAR (9.18)
Formele 9.18 sunt valabile atât pentru conexiunea stea, fl UU 3= ; fl II = , cât și pentru
conexiunea triunghi fl UU = , iar fl II 3= .
9.3.2. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice
Dacă neutrul rețelei de alimentare este accesibil, atunci se pot defini tensiunile de fază la
alimentare 321 ,, VVV , măsurate între fiecare fază și conductorul de nul. Pentru sistemele la care
0321 ++ VVV se spune că sistemul de tensiuni este nesimetric, nemaiformând o stea simetrică. În
cazul sistemului de tensiuni între faze, relația 0312312 =++ UUU este întotdeauna îndeplinită,
acestea formând un triunghi închis în diagrama fazorială, aceste tensiuni de linie nefiind afectate de
nici un fel de dezechilibru al receptorului.
A. Receptor în stea
Se consideră un receptor trifazat dezechilibrat pentru care se cunosc 321 ZZZ cu conexiune
în stea, cu fir neutru (cu neutrul accesibil). Tensiunile pe fază la alimentare sunt: 321 ,, VVV , formând
un sistem direct, iar tensiunile pe fază la bornele receptorului sunt:
321 ,, VVV (Fig. 9.16).
Fig. 9.16
69
Cum în circuite trifazate originea de potențial se consideră punctul 0 (neutrul rețelei de
alimentare), teorema lui Millman ne permite să calculăm potențialul punctului (nodului) N în raport
cu 0 și cum tensiunea pe nul este: NNNN UVVVU ==−= 00 , putem scrie:
N
k
kN
k
kk
NYYYY
VYVYVY
YY
VY
U+++
++=
+
=
=
=
321
332211
3
1
3
1
(9.19)
Curenții absorbiți pe cele trei faze sunt:
( )NUVYVYI −=
= 11111
( )NUVYVYI −=
= 22222
( )NUVYVYI −=
= 33333 (9.20)
Fig. 9.17
În diagrama fazorială din Fig. 9.17 sunt reprezentate tensiunile de alimentare 321 ,, VVV , definite
între fazele 1,2,şi 3, și punctul de referință 0, precum și tensiunile la receptor
321 ,, VVV definite
între bornele receptorului 1,2,3 și neutrul receptorului, punctul N.
În cazul receptorului dezechilibrat 321 ZZZ , neutrul receptorului (punctul N) nu se mai
găsește la același potențial cu punctul 0, între ele fiind tensiunea NU care face ca în diagrama din
Fig. 9.17, punctul N să fie deplasat față de punctul 0 cu NU . Din acest motiv, tensiunea pe conductorul
de neutru NU , (adică potențialul punctului N în raport cu referința 0), se mai numește deplasarea
punctului neutru.
Practic se întâlnesc mai multe situații:
- dacă tensiunile de alimentare formează un sistem simetric, relația 9.19. devine:
N
NYYYY
YaYaYVU
+++
++=
321
32
2
1 (9.21)
- dacă nu există fir neutru ( →NZ , respectiv 0→NY ), atunci:
321
332211
YYY
VYVYVYU N
++
++= (9.22)
și deplasarea punctului neutru NU este mai mare. Punctul N se poate deplasa oriunde în interiorul
triunghiului din figura 9.17, în funcție de dezechilibrul receptorului. Deplasarea maximă este din 0
70
până în unul din vârfurile triunghiului, spre exemplu până în vârful 1, ceea ce înseamnă scurtcircuit
pe faza 1 a receptorului, când: 1VU N = , iar 122 UV −=
, 313 UV −=
, 01 =
V . Se observă pe fazele
sănătoase o creștere a tensiunii de 3 ori ceea poate cauza probleme pe aceste faze alături de faza 1.
- Dacă firul de neutru are impedanță zero, respectiv admitanță infinită (nul direct), 0=NU ,
deci punctul N nu se va deplasa indiferent cât este dezechilibrul receptorului, tensiunile la
receptor rămân un sistem simetric, dar curenții nu mai formează un sistem simetric. Această
situație se întâlnește în cazurile în care un sistem de alimentare trifazat simetric alimentează
consumatori monofazați (spre exemplu consumatori casnici grupați pe cele trei faze). În aceste
situații se urmărește o cât mai bună echilibrare a celor trei faze și trebuie menținut obligatoriu
nulul sistemului trifazat pentru a se menține toate tensiunile la 220 V.
- Dacă punctul neutru nu este accesibil, se poate admite referință oricare dintre faze (de exemplu
faza 2):
−==
=
=
23323
2
121
0
UUV
V
UV
→321
233121
YYY
UYUYU N
++
−= (9.23)
B. Receptor în triunghi
În această situație receptorul dezechilibrat 321 ZZZ este conectat în triunghi ca în Fig. și
alimentat cu tensiunile simetrice pentru care se pot defini: UU =12 ; UaU 2
23 = ; 31U aU= .
Curenții de fază sunt de forma:
12
1212
Z
UI =
; 23
2323
Z
UI =
; 31
3131
Z
UI =
(9.24)
și nu mai formează între ei un sistem simetric. Curenții de linie sunt:
23121 III −= ; 12232 III −= ; 23313 III −= ; (9.25)
Fig. 9.18
C. Puteri electrice în sisteme dezechilibrate alimentate simetric
Într-un circuit trifazat dezechilibrat cu fir neutru (multipol cu patru poli), puterea complexă totală
absorbită pe la borne se scrie:
=++=
332211 IVIVIVS
++ 330220110 IUIUIU (9.26)
71
Puterile activă și reactivă totale se scriu prin separarea pârților reale și imaginare în expresia 9.26:
333022201110 coscoscos IUIUIUP ++=
333022201110 sinsinsin IUIUIUQ ++= (9.27)
De remarcat că fiecare termen din aceste sume nu are semnificație (nu este localizabil) doar suma
are semnificația puterii totale absorbite prin toate cele trei faze.
Dacă lipsește conductorul neutru, atunci 0321 =++ III ( )322 III +−=→
Puterea totală absorbită se exprimă astfel:
=++=
332211 IVIVIVS ( ) ( ) =−+−
223121 IVVIVV
+= 232112 IUIU (9.28)
Separând partea reală și partea imaginară se obțin puterile activă și reactivă totale:
( ) ( )332332112112 ,cos,cos IUIUIUIUP +=
( ) ( )332332112112 ,sin,sin IUIUIUIUQ += (9.29)
În acest caz puterea activă apare ca suma a doi temeni și puterea P se va putea măsura cu metoda
celor două wattmetre.
9.3.3. Rezolvarea circuitelor trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice
Un sistem de tensiuni trifazate nesimetrice 321 ,, VVV se poate descompune după trei coordonate
(homopolară, directă şi inversă) în trei sisteme simetrice componente. Dacă hV este componenta
homopolară (componenta lui 1V după coordonata h), dV este componenta directă (componenta lui
1V după coordonata d), iar iV este componenta inversă (componenta lui 1V după coordonata i),
atunci cele trei tensiuni vor avea componentele scrise astfel:
( )
( )( )
++=
++=
++=
idh
idh
idh
VaVaVV
VaVaVV
VVVV
2
3
2
2
1
=
i
d
h
V
V
V
aa
aa
V
V
V
2
2
3
2
1
1
1
111
3
1 (9.30)
h d i T
Dacă se dă un sistem nesimetric 321 ,, VVV , componentele simetrice idh VVV ,, , sunt legate de
primele prin matricea de transformare T a sistemului de coordonate (1,2,3) în (h,d,i) și pentru care
det T = 33j .
Descompunerea 9.30 este cunoscută sub numele de teorema lui Fortesque. Exprimarea inversă,
adică deducerea componentelor simetrice ale unui sistem dat este:
( )
( )
( )
++=
++=
++=
32
2
1
3
2
21
321
3
1
3
1
3
1
VaVaVV
VaVaVV
VVVV
i
d
h
=
3
2
1
2
2
1
1
111
3
1
V
V
V
aa
aa
V
V
V
i
d
h
(9.31)
Grafic descompunerea arată ca în Fig. 9.19.
72
Fig. 9.19
Algoritmul rezolvării circuitului trifazat pe baza metodei de descompunere a unui sistem
nesimetric în componente simetrice se poate rezuma astfel:
- se descompune sistemul nesimetric de tensiuni 321 ,, VVV , în componentele sale simetrice
idh VVV ,, , şi presupunem că acestea se aplică pe rând la bornele receptorului
- se calculează componentele simetrice ale curenților absorbiți idh III ,,
- se compun idh III ,, , sub forma 9.30. și se obțin curenții 321 ,, III
Fiecare din circuitele „d”, „i” și „h” în care am descompus circuitul inițial (Fig. 9.20) reprezintă
un receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice, dar de succesiuni diferite.
Fig. 9.20
Astfel de circuite se rezolvă pe o singură fază:
Z
VI d
d = ; Z
VI i
i = ; N
hh
ZZ
VI
3+= (9.32)
Curenții reali pe cele trei faze se obțin pe baza relațiilor 9.30:
( )
( )( )
++=
++=
++=
idh
idh
idh
IaIaII
IaIaII
IIII
2
3
2
2
1
(9.33)
9.3.4. Rezolvarea circuitelor trifazate dezechilibrate, alimentate nesimetric
În această situație se va descompune atât sistemul nesimetric de tensiuni 321 ,, VVV , în
componentele sale simetrice idh VVV ,, , cât și impedanțele dezechilibrate 321 ZZZ , în
impedanțe simetrice, niște impedanțe fictive de calcul, care vor fi de forma:
73
( )( )( )
++=
++=
++=
idh
idh
idh
aaZ
aaZ
Z
2
3
2
2
1
(9.34)
respectiv
( )
( )
( )
++=
++=
++=
32
2
1
3
2
21
321
3
1
3
1
3
1
ZaZaZ
ZaZaZ
ZZZ
i
d
h
(9.35)
Receptorul dezechilibrat 321 ZZZ , s-a descompus în componentele sale simetrice
idh ,, , conform 9.34. iar relația
idhZ ++=1
este interpretată ca trei impedanțe în serie,
(Fig. 9.21b).
Fig. 9.21
La trecerea unei componente a curentului printr-o componentă a lui Z se va produce o cădere de
tensiune de o anumită secvență. Sistemul direct este de secvență (1), cel invers este de secvență (2),
iar cel homopolar de secvență (0), sau (3). Regula de înmulțire a secvențelor este de forma:
==+=
==+=
==+=
iih
ddh
hhh
220
110
000
;
==+=
==+=
==+=
idd
ddi
hid
211
110
321
(9.36)
În figura 9.21, considerăm ochiul , format din faza (1) şi firul de nul. La bornele sale se aplică
tensiunea 1V , dar noi vom considera că nu o aplicăm toată, ci că aplicăm pe rând componentele sale
idh VVV ,, şi calculăm efectul cu teorema superpoziției. Când aplicăm componenta hV , aceasta va
fi egală cu suma căderilor de tensiune homopolare de tensiune din ochiul , la fel pentru dV şi iV
sub forma:
( )
( )
( )
3l N h d ih h i d
h l d id d h i
h d l ii i d h
V Z Z I I I
V I Z I I
V I I Z I
= + + + +
= + + +
= + + +
(9.37)
Sistemul 9.37 se rezolvă şi se determină curenții idh III ,, și apoi curenții absorbiți:
( )
( )( )
++=
++=
++=
idh
idh
idh
IaIaII
IaIaII
IIII
2
3
2
2
1
(9.38)
74
9.3.4.1. Puterile absorbite de un receptor dezechilibrat alimentat nesimetric
Puterea complexă totală absorbită se scrie sub forma:
++= 332211 IVIVIVS (9.39)
Dacă înlocuim mărimile reale prin componentele lor simetrice se obține succesiv expresia puterii
scrisă în funcție de componentele simetrice:
( ) ( ) ( ) =++++++++=
3
2
2
2
1 IVaVaVIVaVaVIVVVS idhidhidh
( ) ( ) ( ) =++++++++=
32
2
13
2
21321 IaIaIVIaIaIVIIIV idh
++= iiddhh IVIVIV 333 (9.40)
Fiecare termen din 9.40 reprezintă puterea absorbită pe una dintre rețelele „h”, „d” și „i”, care
fiind simetrice se evaluează pe o singură fază.
Puterile activă şi reactivă totale absorbite sunt de forma:
iiidddhhh IVIVIVP cos3cos3cos3 ++=
iiidddhhh IVIVIVQ sin3sin3sin3 ++= (9.41)
9.4. Măsurarea puterilor în sisteme trifazate
Puterea activă absorbită de un receptor (sarcină) poate fi măsurată cu ajutorul unui instrument
numit wattmetru. În Fig. 9.22 se prezintă un wattmetru, care constă în esență din două bobine: bobina
de curent sau bobina amper și bobina de tensiune sau bobina volt.
Fig. 9.22
Bobina de curent are o impedanță de valoare foarte scăzută (ideal nulă) si este conectată în serie
cu sarcina, fiind sensibilă la curentul de sarcină. Bobina de tensiune are impedanță foarte ridicată
(ideal infinită) și este conectată în paralel cu sarcina, fiind sensibilă la tensiunea de sarcină. Bobina
de curent acționează ca un scurtcircuit, datorită impedanței sale scăzute; bobina de tensiune se
comportă ca o întrerupere de circuit, datorită impedanței sale ridicate. Astfel, prezența wattmetrului
nu perturbă circuitul sau să afecteze măsurarea puterii, care reprezintă valoarea medie a produsului
v(t)i(t). Dacă valorile instantanee ale curentului și tensiunii de sarcină sunt v(t) = Vm sin(ωt + γv) și
i(t) = Im cos(ωt + γi), fazorii corespunzători ai acestora sunt:
2
mv
VV = și
2
mi
II =
iar wattmetrul măsoară puterea medie, respectiv puterea activă dată de:
( ) ( )cos cosv i v iP V I V I = − = −
Un singur wattmetru poate de asemenea să măsoare puterea activă într-un sistem trifazat simetric
și echilibrat, pentru care P1 = P2 = P3; puterea totală este de trei ori puterea indicată singurul
wattmetru utilizat. Totuși, dacă sistemul este dezechilibrat sunt necesare două sau trei wattmetre.
75
Metoda celor trei wattmetre este prezentată în Fig. 9.23, care este efectivă atât în sisteme
echilibrate cât și în sisteme dezechilibrate, conectate în stea Y sau în triunghi Δ.
Fig. 9.23
Metoda celor trei wattmetre este potrivită pentru măsurători în sisteme trifazate în care factorul
de putere se modifică în permanență. Valoarea puterii active este reprezentată de suma algebrică a
celor trei citiri ale wattmetrelor.
PT = P1 + P2 + P3 (9.42)
în care P1, P2 și P3 corespund citirilor wattmetrelor W1, W2 și respectiv W3. De reținut că punctul de
referință O din figură este ales arbitrar. Dacă sarcina este conectată în stea, punctul O poate fi conectat
la punctul de neutru n. Pentru o conexiune triunghi a sarcinii, punctul O poate fi conectat în orice
punct. Spre exemplu, dacă punctul O este conectat la punctul b, bobina de tensiune a wattmetrului
W2 citește valoarea P2 = 0, indicând că wattmetrul W2 nu este de fapt necesar. Astfel, în această
situație sunt suficiente două wattmetre pentru măsurarea puterii active totale.
Metoda celor două wattmetre este cea mai utilizată în măsurarea puterii active din sistemele
trifazate. Cele două wattmetre trebuie conectate corect, cum se arată în Fig. 9.24.
Fig. 9.24
De reținut că bobina de curent a fiecărui wattmetru măsoară curentul de linie, în timp ce bobina
de tensiune măsoară tensiunea între două linii.
76
Deși, wattmetrele individuale nu mai citesc puterea preluată de vreuna dintre faze, suma algebrică
a citirilor celor două wattmetre este egală cu puterea totală absorbită de receptorul trifazat, indiferent
dacă acesta este conecta în stea sau în triunghi, echilibrat sau dezechilibrat. Puterea activă totală este
egală cu suma algebrică ale citirilor celor două wattmetre:
PT = P1 + P2 (9.43)
Se va prezenta metoda celor două wattmetre pentru un sistem trifazat echilibrat.
Fie sistemul trifazat echilibrat, cu receptorul conectat în stea Y, din Fig. 9.25.
Fig. 9.25
Se presupune că sistemul de alimentare este de succesiune directă abc impedanța de sarcină fiind
ZY = ZYθ. Datorită impedanței de sarcină inductive bobina de tensiune este defazată cu unghiul θ,
astfel încât factorul de putere este cos θ.
Se reamintește că fiecare tensiune de linie este defazată înaintea tensiunii de fază corespunzătoare
cu unghiul de 30°. Astfel, defazajul total între curentul de fază Ia și tensiunea de linie Vab este θ + 30°,
iar puterea activă citită de wattmetrul W1 este
P1 = Re[VabI*a] = VabIa cos(θ + 30°) = VLIL cos(θ + 30°) (9.44)
Similar, se poate arăta că puterea activă citită de wattmetrul 2 este:
P2 = Re[VcbI*c] = VcbIc cos(θ − 30°) = VLIL cos(θ − 30°) (9.45)
Utilizând identitățile trigonometrice privind suma și diferența de cosinusuri
cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
rezultă suma citirilor celor două wattmetre:
( ) ( )
( )
1 2 cos 30 cos 30
cos cos30 sin sin 30 cos cos30 sin sin 30
2 cos30 cos 3 cos
L L
L L
L L L L
P P V I
V I
V I V I
+ = + + − =
= − + + =
= =
(9.46)
Formula este cunoscută din teoria prezentată la paragraful corespunzător. Deci puterea activă
totală este suma citirilor celor două wattmetre:
PT = P1 + P2 (9.47)
Similar,
P1-P2 = VLIL[cos(θ +30°)−cos(θ -30°)] = VLIL(cosθ cos30°- sinθ sin30°- cosθ cos30°- sinθ sin 30°) =
= -2VLIL sin 30°sinθ
Deci: P2 − P1 = VLIL sin θ
Se observă că diferența citirilor celor două wattmetre nu este egală, dar este proporțională cu
puterea reactivă totală:
( )2 13TQ P P= − (9.48)
77
Deci, puterea aparentă totală va fi: 2 2
T T TS P Q= + (9.49)
Rezultă: 2 1
2 1
tan 3T
T
Q P P
P P P
−= =
+ (9.50)
din care se obține factorul de putere cos θ, utilizând identitatea trigonometrică: 2
2 2 2
2 2 2
1 sin 1sin cos 1 1 tan 1
cos cos cos
+ = → = + → = +
Deci: 2
1cos
tan 1
=
+
Astfel, metoda celor două wattmetre nu furnizează numai puterile activă și reactivă totale, ci
permite și calculul factorului de putere. Din ecuațiile de mai sus, se poate concluziona că:
1. dacă P2 = P1, sarcina este rezistivă,
2. dacă P2 > P1, sarcina este inductivă,
3. dacă P2 < P1, sarcina este capacitivă.
Deși aceste rezultate au fost deduse pentru o sarcină echilibrată conectată stea, ele sunt valide și pentru
o sarcină echilibrată conectată triunghi. Totuși, metoda celor două wattmetre nu poate fi utilizată
pentru măsurarea puterii într-un sistem trifazat cu patru conductoare, decât dacă curentul prin linia de
neutru este nul. În această situație se utilizează metoda celor trei wattmetre.