Elektrostatik

Analytische und numerische Feldberechnungen an einem

Plattenkondensator

Sebastian Heinrich, 313473

Hantao Ying, 345391

Technische Universität Berlin

Fakultät 5, Institut für Mechanik

Fachgebiet Kontinuumsmechanik und Materialtheorie

Projekt Simulationstools und ihre Anwendung

31. März 2014

2

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Theorie 5

2.1 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Konstitutive Beziehungen/Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Feldgleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Analytische Feldberechnung 10

4 Numerische Simulation 13

4.1 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Schwache Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Netzgenerierung mit Gmsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Ergebnisse 16

3

Abbildungsverzeichnis

1 Homogenes elektrisches Feld in einem Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Feldlinien eines geladenen Plattenkondensators [Lindner, 1992] . . . . . . . . . . . . . . . 43 Schema für Feldgleichungen sowie Rand- und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . 54 Modell eines unpolaren Atoms nach [Henke, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Modell eines polaren Atoms im elektrischen Feld nach [Henke, 2007] . . . . . . . . . . . . 76 Zwei Elektroden als Kondensator [Henke, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Parallelgeschichteter Plattenkondensator nach [Wolff, 1997] . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Elektrisches Feld des Beispielplattenkondensators mit Aluminiumoxid . . . . . . . . . . . 129 Elektrisches Feld des Beispielplattenkondensators mit Teflon . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 Netzgenerierung mit Gmsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511 Feldberechnung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612 Verlauf des E-Felds in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . 1613 Kugeldielektrikum im ebenen E-Feld nach [Wolff, 1997] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714 Numerische Berechung eines Plattenkondensators mit kugelförmigem Dielektrikum . . . . 18

Tabellenverzeichnis

1 Parameter für die analytische Berechnung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum . . 112 Ergebnisse der analytische Berechnung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum . . . . 11

4

1 Einleitung

Ein Ziel des Projekts ist die Untersuchung von Randeffekten beim elektrischen Plattenkondensator. Abb. 1zeigt eine idealisierte, stark vereinfachte Darstellung des elektrischen Feldes eines Plattenkondensators.Darunter ist das tatsächliche Feld mit Randeffekten in Abb. 2 dargestellt, so wie es im Rahmen des Pro-

Abbildung 1. Homogenes elektrisches Feld in einem Plattenkondensator

jekts berechnet werden soll. Außerdem soll der Einfluss von Dielektrika auf das elektrische Feld untersuchtwerden. Für die Feldberechnung steht das numerische Simulationstool FEniCS zur Verfügung.

Der Ablauf des Projekts ist wie folgt: Zuerst werden die Grundlagen der Maxwellschen Theorie erar-beitet, wobei die Elektrostatik im Vordergrund steht. Anschließend ist eine analytische Betrachtung desPlattenkondensators mit einem dielektrischen Werkstoff zwischen den Platten durchzuführen, welche alsVergleich für die numerische Feldberechnung dienen soll. Bei der Umsetzung mit FEniCS geht es ins-besondere um die Wahl geeigneter Randbedingungen sowie eines geeigneten Rechengebietes, sodass diehomogenen Feldlinien aus der analytischen Berechnung im Volumen zwischen den Kondensatorplattengut nachgebildet und die Randeffekte dargestellt werden.

Abbildung 2. Feldlinien eines geladenen Plattenkondensators [Lindner, 1992]

5

2 Theorie

2.1 Elektrodynamik

Die Lösung und Interpretation der Maxwellschen Gleichungen ist das zentrale Anliegen der Elektro-dynamik. Sie sind empirisch gefundene Grundgesetze der Physik und beschreiben das raumzeitliche Ver-halten der primären Feldgrößen der Elektrodynamik, die elektrische Feldstärke 𝐸 und die magnetischeInduktion 𝐵. In Differentialform lauten die Maxwellschen Gleichungen lokal in regulären Punkten:

Faraday-Gesetz:𝜕𝐵

𝜕𝑡+ ∇×𝐸 = 0,

∇ ·𝐵 = 0,

elektrische Ladungserhaltung: −𝜕D

𝜕𝑡+ ∇×H = 𝑗F + 𝑞F𝑣,

∇ ·D = 𝑞F.

Neben den größen 𝐸 und 𝐵, welche über die Kraftwirkung auf geladene Teilchen in elektrischen Fel-dern einerseits und magnetischen Feldern andererseits definiert sind, findet man das Ladungspotentialin Materie D, sowie das Strompotential in Materie H in den Gleichungen. Beide Potentiale wurden ausmathematischen Gründen bei der Beschreibung der elektrischen Ladungserhaltung eingeführt. In dergewählten Darstellungsform ist außerdem die Stromdichte der freien Ladungen 𝑗F, sowie die freie La-dungsdichte 𝑞F enthalten. Sie sind Teil der Gesamtstromdichte 𝑗 und der totalen Volumenladungsdichte𝑞.

Zusammen mit Materialgesetzten bilden die Maxwellschen Gleichungen Feldgleichungen. Sind außer-dem Rand- und Anfangsbedingungen für das elektrodynamische Problem gegeben, so ist dieses vollständigbeschrieben. Abb. 3 zeigt den Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten, die für die Lösungeines solchen Problems benötigt werden.

Materialgesetze

Maxwell-Gleichungen

+

t

xΩ:x∊ℝ,t∊ℝ

=RBRB

Γ Γ

AB

Feldgleichungen

Abbildung 3. Schema für Feldgleichungen sowie Rand- und Anfangsbedingungen

6

2.2 Elektrostatik

Für den Fall, dass alle Zeitableitungen verschwinden und auch keine Geschwindigkeiten vorhanden sind,d. h.

𝜕(·)𝜕𝑡

= 0 und 𝑣 = 0,

vereinfacht sich das elektrodynamische Problem in ein elektrostatisches. DieMaxwellschen Gleichungenvereinfachen sich ebenfalls, da alle Terme mit Zeitableitungen und Geschwindigkeiten verschwinden:

−𝜕D

𝜕𝑡+ ∇×H = 𝑗F + 𝑞F𝑣 ⇒ ∇×H = 𝑗F,

𝜕𝐵

𝜕𝑡+ ∇×𝐸 = 0 ⇒ ∇×𝐸 = 0,

∇ ·D = 𝑞F, ∇ ·𝐵 = 0.

Wie man sieht, entkoppeln sich unter den hier getroffenen Annahmen das magnetische und elektrischeFeld, sodass in der Elektrostatik nur zwei der vierMaxwellschen Gleichungen betrachtet werden müssen.

Die Grundeigenschaften des elektrostatischen Feldes werden durch folgende Gleichungen beschrieben:

∇×𝐸 = 0, ∇ ·D = 𝑞F, D = 𝜀0𝐸 + 𝑃 .

Neben den beidenMaxwellschen Gleichungen wird, wie bereits beschrieben, ein Materialgesetz benötigt.𝐷 = 𝜀0𝐸 wird dabei alsMaxwell-Lorentz-Ätherrelation bezeichnet und definiert den Zusammenhangzwischen dem elektrischen Potential 𝐷 und dem elektrischen Feld 𝐸 im Vakuum.

Aufgrund seiner Rotationsfreiheit im elektrostatischen Fall ist das elektrische Feld vollständig durch einskalares Potential 𝜙 charakterisiert, d. h.

𝐸 = −∇𝜙.

Dies lässt sich mit Hilfe des Satzes von Schwarz beweisen:

∇×∇𝜙 = 𝑒𝑖 × 𝑒𝑗𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑗= 𝑒𝑘𝜀𝑘𝑖𝑗

𝜕

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑗

=

(︂𝜕

𝜕𝑥2

𝜕𝜙

𝜕𝑥3− 𝜕

𝜕𝑥3

𝜕𝜙

𝜕𝑥2

)︂𝑒1 +

(︂𝜕

𝜕𝑥3

𝜕𝜙

𝜕𝑥1− 𝜕

𝜕𝑥1

𝜕𝜙

𝜕𝑥3

)︂𝑒2 +

(︂𝜕

𝜕𝑥1

𝜕𝜙

𝜕𝑥2− 𝜕

𝜕𝑥2

𝜕𝜙

𝜕𝑥1

)︂𝑒3 = 0.

2.3 Konstitutive Beziehungen/Polarisation

Unpolare und polare Dielektrika bilden unter Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes ein mittleresDipolmoment ⟨𝑝𝑒⟩. Die Polarisation

𝑃 = 𝑛⟨𝑝𝑒⟩

gibt die Dipolmomentendichte an. Abb. 4 zeigt die elektrische Polarisation anhand eines einfachen Modellsfür ein unpolares Atom. Der positiv geladene Kern wird als punktförmig angesehen. Seine Ladung ist gleichdem Produkt aus der Ordnungszahl des Atoms 𝑍 und der Elementarladung 𝑒. Die negativen Elektronenkreisen auf Elektronenschalen um den Kern und bilden eine homogene Elektronenwolke, welche in Formeines Kreises um den Atomkern dargestellt ist. Ohne äußere Einflüsse heben sich die positiven und

7

+Ze

Ze

𝛅E

Abbildung 4. Modell eines unpolaren Atoms nach [Henke, 2007]

-Q

Q

d

𝛝

eK

eK

E

Abbildung 5. Modell eines polaren Atoms im elektrischen Feld nach [Henke, 2007]

negativen Ladungen im Mittel auf. Wirkt nun ein äußeres elektrisches Feld auf das Atom, so wird dieElektronenwolke relativ zum Atomkern verschoben und es bildet sich ein Dipol.

Eine weitere Art der Polarisation ist die ionische Polarisation, wobei sich Ionen an einem elektrischenFeld ausrichten. Die Moleküle von polaren Dielektrika sind natürliche Dipole und haben auch ohne einäußers elektrisches Feld ein Dipolmoment. Aufgrund thermischer Bewegungen sind diese aber zufälligverteilt und heben sich im Mittel auf. In einem elektrischen Feld versucht ein Drehmoment die Ionengegen die thermischen Bewegungen entlang des Feldes auszurichten. In Abb. 5 ist ein solcher Dipol ineinem elektrischen Feld dargestellt. In einer Grupppe von Ionen zeigen die Dipolmomente nun nicht mehrzufällig in verschiedene Richtungen, sondern bilden ein mittleres Dipolmoment.

In einem polarisierten Körper sind also die Dipole entlang des elektrischen Feldes ausgerichtet und diepositiven und negativen Ladungen heben sich aufgrund ihrer regelmäßigen Abfolge auf. Die äußerstenDipole haben hingegen keine Nachbardipole außerhalb des Körpers, sodass sich an den Rändern positivebzw. negative Oberflächenladungen bilden. Diese Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld, welches demäußeren elektrischen Feld entgegen wirkt.

Für Stoffe mit einem linearen Zusammenhang zwischen 𝑃 und 𝐸 gilt

𝑃 = 𝜀0(𝜀r − 1)𝐸,

8

mit der relativen Dielektrizitätskonstanten 𝜀r. Damit ist

D = 𝜀0𝐸 + 𝑃 = 𝜀0𝐸 + 𝜀0(𝜀r − 1)𝐸 = 𝜀0𝜀r𝐸 = 𝜀𝐸.

2.4 Feldgleichungen der Elektrostatik

In den vorherigen Abschnitten wurden die Maxwellschen Gleichungen für statische sowie dynamischeProbleme beschrieben und das Verhalten einfacher Materie im elektrischen Feld aufgezeigt. Letzteresführte zu den konstitutiven Beziehungen. Für eine lineare Beziehung zwischen 𝐸 und 𝑃 sollen im Fol-genden die elektrostatischen Feldgleichungen hergeleitet werden.

Ausgehend von

∇ ·D = 𝑞F

ergibt sich durch Einsetzen der konstitutiven Beziehung

D = 𝜀0𝐸 + 𝑃 = 𝜀𝐸

aus dem vorherigen Abschnitt folgender Ausdruck:

∇ · 𝜀𝐸 = 𝑞F.

Drückt man die elektrische Feldstärke durch das skalare Potential 𝜙 aus, so erhält man die Poisson-Gleichung des elektrostatischen Feldes:

∇ · 𝜀∇𝜙 = −𝑞F.

Für 𝜀 = homogen und 𝑞F = 0 vereinfacht sich die Gleichung zur Laplace-Gleichung:

∆𝜙 = 0.

Diese beiden Feldgleichungen sind nicht mehr allgemeingültig, sondern beschreiben das räumliche Ver-halten der elektrostatischen Größen für ein spezielles materielles Volumen.

2.5 Kapazität

Abb. 6 zeigt einen Kondensator bestehend aus zwei voneinander isolierten Elektroden. Auf der Elektrode1 befindet sich die positive Ladung 𝑄 und auf der Elektrode 2 die negative Ladung −𝑄. Aufgrunddes Ladungsunterschiedes bildet sich zwischen ihnen ein elektrisches Feld aus, dessen Feldlinien in derAbbildung zu sehen sind. Die Spannung zwischen zwei Punkten auf den beiden Elektroden ist gleich demWegintegral des elektrischen Feldes zwischen den Punkten. Durch Einsetzten des elektrischen Potentialserhält man die Spannung als Potentialunterschied:

𝑈 =

2∫︁1

𝐸 · d𝑠 = −2∫︁

1

∇𝜙 · d𝑠 = 𝜙1 − 𝜙2.

Sie beschreibt die Arbeit die verrichtet werden muss, um eine Ladung von Punkt 1 zu Punkt 2 zu trans-portieren.

Die Ladung auf Elektrode 1 lässt sich als Integral der Oberflächenladungen 𝑞S über die Oberfläche desLeiters beschreiben. Dies ist gleich dem Sprung der elektrischen Ladungsdichte in Normalenrichtung der

9

Elektrode 1 Elektrode 2

++

++++

++

+

--

--

---

-

Q -Q

Abbildung 6. Zwei Elektroden als Kondensator [Henke, 2007]

Oberfläche. Ersetzt man die elektrische Ladungsdichte durch das elektrische Feld und die Dielektrizi-tätskonstante, so kann die Ladung 𝑄 als Gradient des elektrischen Potentials in Normalenrichtung zurOberfläche ausgedrückt werden. Dabei wird angenommen, dass das elektrische Feld im Leiter verschwin-det (𝐸1 = 0) und der Zusammenhang zwischen 𝑃 und 𝐸 linear ist, d. h.

𝑄 =

∫︁𝜕Γ1

𝑞S d𝐴 =

∫︁𝜕Γ1

JDK · 𝑛 d𝐴 =

∫︁𝜕Γ1

𝜀0(𝜀𝑟2𝐸2 − 𝜀𝑟1𝐸1) · 𝑛 d𝐴

=

∫︁𝜕Γ1

𝜀0𝜀𝑟𝐸 · 𝑛 d𝐴 = −𝜀0𝜀𝑟

∫︁𝜕Γ1

∇𝜙 · 𝑛 d𝐴.

Nach dem Buch von Henke (2011), auf S. 77, gilt: „Da 𝜙 der linearen Laplace Gleichung genügt, kannman es skalieren, 𝜆𝜙, und die Ladung auf der Elektrode skaliert entsprechend, 𝜆𝑄.“ Daher sei die Ladungproportional zum Gradienten des elektrischen Potentials und somit auch zur Potentialdifferenz:

𝑄 = 𝐶𝑈.

Der Proportionalitätsfaktor 𝐶 ist die Kapazität. Er ist das Verhältnis zwischen der, auf zwei voneinan-der isolierten elektrischen Leitern befindlichen Ladungsmenge und der daraus resultierenden Spannungzwischen den Leitern.

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3 Analytische Feldberechnung

Für einfache Plattenkondensator-Konfigurationenen kann die Feldberechnung analytisch erfolgen. Abb. 7zeigt einen solchen Plattenkondensator mit drei zu den Platten parallelen Dielektrika der Breite 𝑑𝑖 mit 𝑖 =1,2,3. Auf den Kondensatorplatten befinde sich die Ladung 𝑄 bzw. −𝑄, 𝜎 ist die Flächenladungsdichte aufden Platten. Die Dielektrika haben eine Elektrizitätskonstante von 𝜀𝑖 und 𝑈𝑖 ist der Spannungsabfall überden einzelnen Schichten. Die Vektoren 𝑛 bis 𝑛3 zeigen in Normalenrichtung der Dielektrika. Schließlich ist𝐴 eine geschlossene Fläche um die rechte Elektrode und 𝐴0 deren Abschnitt entlang der Innenseite derKondensatorplatte. Dabei werden folgende Annahmen getroffen, um die Berechnungen zu vereinfachen:

x

U1 U2 U3

+ -

n n n n n1 2 2 3

𝛆1 𝛆2 𝛆3

A

A0

𝛔

-𝛔

d1 d2 d3

Abbildung 7. Parallelgeschichteter Plattenkondensator nach [Wolff, 1997]

� Der Feldbereich ist auf das Volumen zwischen den Elektroden begrenzt.

� Die Anordnung der Elektroden ist planparallel.

� Außerhalb des Kondensatorvolumens wird das Feld nicht berücksichtigt.

� Ein Streufeld am Rand des Plattenquerschnitts wird nicht modelliert, d. h. die Normalenrichtungdes elektrischen Feldes verschwindet.

Aus den Annahmen folgt für die Auswertung des Flussintegrals über die geschlossene Fläche 𝐴, dassnur eine Feldkomponente senkrecht zur Elektrodenoberfläche D = D𝑒𝑥 existiert und die auf der Elek-trode enthaltene Ladung Q gleich dem Produkt aus elektrischem Ladungspotential und der Fläche derElektrodeninnenseite 𝐴0 ist: ∮︁

𝜕𝑉

D · 𝑛d𝐴 =

∮︁𝜕𝑉

Dd𝐴 = D𝐴0 = 𝑄.

Die Ladung pro Flächeneinheit auf der Innenseite der Elektrode ist

𝜎 = D =𝑄

𝐴0.

Aus der Forderung nach der Stetigkeit des Ladungspotentials an parallelen Grenzschichten elektrischverschiedener Medien folgt

D(1) · 𝑛(1) = D(2) · 𝑛(2) = · · · = D(𝑛) · 𝑛(𝑛)

|D(1)| = |D(2)| = · · · = |D(𝑛)|.

11

Somit lassen sich die Feldgrößen für die einzelnen Dielektrikum-Schichten bestimmen, innerhalb einerjeden Schicht sind die Feldgrößen konstant. Das Ladungspotential in der i -ten Schicht ist

D(𝑖) = D𝑒𝑥 =𝑄

𝐴0𝑒𝑥 = 𝜎𝑒𝑥.

Es ist nicht nur innerhalb einer Schicht konstant, sondern im gesamten Volumen zwischen den Konden-satorplatten. Die elektrische Feldstärke in der i -ten Schicht ist

𝐸(𝑖) =D(𝑖)

𝜀(𝑖)=

𝑄

𝐴0𝜀(𝑖)𝑒𝑥 =

𝜎

𝜀(𝑖)𝑒𝑥 = 𝐸(𝑖)𝑒𝑥.

Die Kapazität des Plattenkondensators ist gleich der Summe aus den Einzelkapazitäten der Dielektrikaund lässt sich aufgrund der getroffenen Annahmen sehr einfach berechnen:

𝑈 =

𝑛∫︁1

𝐸 · d𝑠 =

𝑛∑︁𝑖=1

𝐸(𝑖)𝑑(𝑖) =𝑄

𝐴0

𝑛∑︁𝑖=1

𝑑(𝑖)

𝜀(𝑖)⇒ 𝐶 =

𝑄

𝑈=

𝐴0𝑛∑︀

𝑖=1

𝑑(𝑖)

𝜀(𝑖)

.

Im Folgenden ist ein Zahlenbeispiel für die obige Berechnung aufgeführt. Dabei wird das elektrische Felddes Plattenkondensators aus Abb. 7 für die Dielektrika Aluminium und Teflon berechnet. Die genauenParameter stehen in Tabelle 1. Tabelle 2 zeigt die Ergebnisse der Rechnung. Wie man sieht, wird das

Parameter Werte Parameter Werte𝐴0 0,01 m2 𝑑1..3 0,01 m𝜀0 8,85 · 10−12 As/(Vm) 𝜀rLuft 1,00059𝜀rELK 8 𝜀rTeflon 2𝑈 5 V

Tabelle 1. Parameter für die analytische Berechnung einesPlattenkondensators mit Dielektrikum

elektrische Feld in beiden Fällen im Dielektrikum reduziert. Durch Polarisation wird ein Gegenfeld er-zeugt, welches das elektrische Feld überlagert. Dieser Polarisationseffekt ist bei einem Dielektrikum aus

Aluminiumoxid Teflon𝐶 4,167 · 10−12 F 𝐶 3,54 · 10−12 F𝐸(1) 235,3 V/m 𝐸(1) 200,0 V/m𝐸(2) 29,4 V/m 𝐸(2) 100,0 V/m𝐸(3) 235,3 V/m 𝐸(3) 200,0 V/m

Tabelle 2. Ergebnisse der analytische Berechnung einesPlattenkondensators mit Dielektrikum

Aluminiumoxid deutlich stärker als bei Teflon, da dessen Dielektrizitätszahl viermal größer ist. In denAbbildungen 8 und 9 sind die beiden elektrischen Felder noch einmal grafisch dargestellt. Die Pfeile zeigendie elektrische Feldstärke an, sie sind auf die Länge eins normiert. Von 𝑥 = 11mm bis 𝑥 = 21mm handeltes sich um das Dielektrikum aus Aluminiumoxid bzw. Teflon. Hier sind die Pfeile deutlich kürzer als inden beiden anderen Gebieten mit dem Medium Luft. Da das elektrische Feld im Dielektrikum geschwächtwird, erhöht sich gleichzeitig die Kapazität des Plattenkondensators.

12

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

z [mm]

y [m

m]

Abbildung 8. Elektrisches Feld des Beispielplattenkondensators mit Aluminiumoxid

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

z [mm]

y [m

m]

Abbildung 9. Elektrisches Feld des Beispielplattenkondensators mit Teflon

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4 Numerische Simulation

Numerische Simulationen sind computergestützte Simulationen, die auf numerischen Verfahren beruhen.Sie ermöglichen die Berechnung von komplexen physikalischen Systemen, die analytisch nicht mehr zu be-wältigen sind. Problematisch sind die hohe Komplexität der Simulationsprogramme sowie die Unsicherheitder gewählten Parameter. Die Simulationsergebnisse sollten daher immer durch analytische Überlegungenoder reale Tests verifiziert werden.

Ein weit verbereitetes numerisches Simulationsverfahren ist die Finite-Elemente-Methode zur Lösungvon partiellen Differentialgleichungen. Dabei wird das Berechnungsgebiet in eine beliebige Anzahl vonElementen aufgeteilt, welche sich durch eine endliche Anzahl von Parametern beschreiben lassen. Fürjedes Element werden anschließend Ansatzfunktionen aufgestellt. Deren Linearkombination, eingesetzt indie Differentialgleichung des physikalischen Problems, ergibt zusammen mit Anfangs-, Rand- und Über-gangsbedingungen das zu lösende Gleichungssystem. Materialgesetze berücksichtigen die vorliegendenStoffeigenschaften.

Die Genauigkeit der Finite-Elemente-Methode hängt stark von der Anzahl der Elemente ab, jedoch erhöhtsich auch der Rechenaufwand entsprechend. Je nach Anzahl der Unbekannten werden daher unterschied-liche Lösungsverfahren (Solver) eingesetzt. Bei kleinen Gleichungssystemen können direkte Lösungsver-fahren verwendet werden. Bei sehr vielen Unbekannten muss aufgrund der schlechten Konditionierungdes Problems auf andere Verfahren, z. B. iterative Lösungsverfahren, zurückgegriffen werden.

4.1 Randbedingungen

Wie bereits im vorherigen Abschnitt beschrieben, werden für die Formulierung des zu lösenden Glei-chungssystems Randbedingungen benötigt, sie müssen auf dem Rand des Definitionsbereichs vorgegebenwerden.

Eine Möglichkeit sind Neumann-Randbedingungen:∮︁𝜕𝑉

∇𝜙 · 𝑛 d𝐴.

In diesem Fall werden Werte für die Normalableitung des skalaren Potentials 𝜙 vorgegeben.

Dirichlet-Randbedingungen sind eine weitere Möglichkeit. Dabei werden Lösungswerte für das skalarePotential 𝜙 direkt vorgegeben, welche auf dem Rand des Definitionsgebiets angenommen werden sollen.

Um auch das elektrische Feld außerhalb des Plattenkondensators zu berücksichtigen, muss das Rechenge-biet bei der numerischen Simulation entsprechend über den Plattenkondensator hinaus vergrößert werden.

4.2 Schwache Formulierung

Elektrostatische Probleme können durch die Poisson-Gleichung

∇ · 𝜀∇𝜙 = −𝑞F

oder durch die Laplace-Gleichung

∇2𝜙 = 0

14

beschrieben werden. Ein möglicher Lösungsansatz für die Klassen der beiden Feldgleichungen ist diesogenannte schwache Formulierung. Ausgehend von der Poisson-Gleichung, erhält man nach der Multi-plikation mit einer Testfunktion 𝛿𝜙 folgenden Ausdruck:

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2𝑖

𝛿𝜙 = −𝑞F𝜀𝛿𝜙,

wobei 𝜀 homogen ist. Es folgt die Anwendung der Produktregel rückwärts

𝜕

𝜕𝑥𝑖

(︂𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖𝛿𝜙

)︂=

𝜕2𝜙

𝜕𝑥2𝑖

𝛿𝜙 +𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝛿𝜙

𝜕𝑥𝑖,

mit anschließender Integration:

−∫︁𝑉

𝜕

𝜕𝑥𝑖

(︂𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖𝛿𝜙

)︂d𝑉 +

∫︁𝑉

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝛿𝜙

𝜕𝑥𝑖d𝑉 =

𝑞F𝜀

∫︁𝑉

𝛿𝜙d𝑉.

Unter Berücksichtigung des Satzes von Gauß ergibt sich die schwache Formulierung zu

−∮︁𝜕𝑉

𝜕𝜙

𝜕𝑛𝛿𝜙d𝐴 +

∫︁𝑉

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝛿𝜙

𝜕𝑥𝑖d𝑉 =

𝑞F𝜀

∫︁𝑉

𝛿𝜙d𝑉.

Im Falle der Laplace-Gleichung, folgt mit 𝑞F = 0 und 𝜀 = homogen:∮︁𝜕𝑉

𝜕𝜙

𝜕𝑛𝛿𝜙d𝐴−

∫︁𝑉

𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝛿𝜙

𝜕𝑥𝑖d𝑉 = 0.

𝜕𝜙𝜕𝑛 ist die Ableitung von 𝜙 in Normalenrichtung der Fläche (nach außen). Die Testfunktion 𝛿𝜙 muss aufden Randflächen verschwinden, wo 𝜙 vorgegeben ist.

Neben dem Vorhandensein der Neumann-Randbedingung in der Problemformulierung ist die Reduzie-rung der Ableitungsordnung eine weitere vorteilhafte Eigenschaft der schwachen Formulierung, da sonumerische Kosten eingesparrt werden können.

4.3 Netzgenerierung mit Gmsh

Für die Netzgenerierung wird das Programm Gmsh verwendet. Es hat einen großen Funktionsumfangund besteht aus vier Modulen: Definierung von Geometrien, Netzgenerierung, das Lösen des Systemsund Post-Processing. Im Rahmen dieses Projektes wurden nur die ersten beiden Module verwendet.Abb. 10 zeigt auf der linken Seite das fertig generierte Netz für einen Plattenkondensator mit einemDielektrikum zwischen den Platten. Wie man sieht, ist die Diskretisierung um den Mittelpunkt der Kugelsehr fein. Zum äußeren Rand hin wird sie linear zum Radius immer gröber. Auf der rechten Seite derAbbildung ist das Kugelinnere im Zweidimensionalen ohne generiertes Netz dargestellt. Die blau undgrün dargestellten Linien bilden die Platten des Kondensators. Um keinen Fehler bei der Netzgenerierungzu erzeugen, müssen die beiden Linien Teil eines Körpers sein. In diesem Fall sind sie Seiten zweierRechtecke. Zwischen den Kondensatorplatten befindet sich, ebenfalls als Rechteck, das Dielektrikum. Diegesamte Anordnung ist von einem Kreis eingeschlossen. Dieser hat physikalisch gesehen keine Bedeutung,sondern dient als Hilfskonstrukt für die Netzgenerierung. Innerhalb des Kreises ist die Netzdiskretisierungsehr fein, außerhalb wird sie immer gröber. Somit ist sichergestellt, dass das interessante Gebiet um dieKondensatorplatten und im Volumen zwischen den Platten hoch aufgelöst wird. Der eigentliche Rand desBerechnungsgebiets, ebenfalls eine Kugel, wird auf der rechten Seite nicht dargestellt.

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Dielektrikum

φ

φ

1

2

feines Netz

grobes Netz

Abbildung 10. Netzgenerierung mit Gmsh

Die Bemaßungen der wichtigsten Elemente, wie die Radien der Kugeln, die Größe der Kondensatorplattenund des Dielektrikums und der Grad der Diskretisierung, sind im Gmsh-Modell parametrisiert. Somitkann das Modell zwischen den einzelnen Berechnungen schnell angepasst werden, was z. B. bei einerParameterstudie nützlich ist.

16

5 Ergebnisse

Für die numerischen Berechnungen wurden Neumann-Randbedingungen auf dem gesamten Rand desRechengebiets angenommen (𝜕𝜙/𝜕𝑛 = 0). Dies führt zu wesentlich realistischen Ergebnissen als die Wahleiner Dirichlet-Randbedingung und wurde deswegen vorgezogen. Physikalisch gesehen lassen sich dieNeumann-Randbedingungen ebenfalls erklären, da der elektrische Fluss im Unendlichen verschwindenmuss. Die Rechengebiete sind kugelförmig, wie im Abschnitt „Netzgenerierung mit Gmsh“ beschrieben.Allerdings konnten wir keine qualitativen Unterschiede zu einem quaderförmigen Rechengebiet feststel-len. Abb. 11 zeigt das Ergebnis einer numerischen Feldberechnung eines Plattenkondensators mit einem

Abbildung 11. Feldberechnung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum

Abbildung 12. Verlauf des E-Felds in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum

Teflon-Dielektrikum 𝜀𝑟 = 2 und zwei Luftspalten. Wie auch bei der analytischen Berechnung ist eine

17

Reduzierung des elektrischen Feldes im Bereich des Dielektrikums gut zu erkennen. Am Rand der Kon-densatorplatten kann man die Randeffekte sehen, ebenso wie die Feldlinien außerhalb des Kondensators.Letztere Beobachtungen zeigen, wie groß die Vereinfachungen bei der analytischen Betrachtung sind.

Abb. 12 zeigt den Verlauf des elektrischen Feldes zwischen den Kondensatorplatten in z-Richtung. DieWerte bestätigen die Beobachtung aus Abb. 11 und stimmen mit der analytischen Berechnung überein.

In Abb. 13 ist die Ablenkung der elektrischen Feldlinien im Umfeld eines kugelförmigen Dielektrikumszu sehen. Abb. 14 zeigt, dass die numerischen Berechnungen diesen Effekt ebenfalls richtig wiedergeben.Die Berechnungen haben gezeigt, dass die Stärke der Umlenkung der elektrischen Feldlinien von der Di-elektrizitätskonstante abhängen. Je höher 𝜀𝑟 ist, desto größer ist die Auslenkung. Auf dem Bild hat dasDielektrikum ein 𝜀𝑟 gleich 2. Zusammenfassend kann man sagen, dass die analytischen Betrachtungen,

z

Ea

Abbildung 13. Kugeldielektrikum im ebenen E-Feld nach [Wolff, 1997]

trotz starker vereinfachender Annahmen, den Verlauf der elektrischen Feldstärke zwischen den Konden-satorplatten gut wiedergeben. Sie stimmen mit unseren numerischen Berechnungen überein und zwarauch bei unterschiedlich geformten Dielektrika. Allerdings sind die gesamten Kondensator-Dielektrika-Konfigurationen sehr einfach gehalten. Bei komplexeren Strukturen ist eine analytische Feldberechnungennicht mehr so einfach durchzuführen oder vollkommen ungeeignet.

Im Rechenvolumen außerhalb des Kondensators und auch an den Kanten der Kondensatorplatten stim-men die Ergebnisse gut mit den Ergebnissen aus der Literatur überein, was für die Auswahl der Neu-mann-Randbedingung spricht. Der Radius der äußeren Kugel ist ebenfalls groß genug, sodass der Randals unendlich weit entfernt angenommen werden kann, ohne die numerischen Berechnungen merklich zubeeinflussen.

18

Abbildung 14. Numerische Berechung eines Plattenkondensators mit kugelförmigem Dielektrikum

19

Literatur

1. Heino Henke. Elektromagnetische Felder: Theorie und Anwendung. Springer, 2007.

2. H. Lindner and W. Siebke. Physik für Ingenieure. Physik für Ingenieure. Fachbuchverl. Leipzig imCarl-Hanser-Verlag, 1992.

3. Wolfgang H. Müller. Streifzüge durch die Kontinuumstheorie. Springer, 2011.

4. I. Wolff. Maxwellsche Theorie, Grundlagen und Anwendungen. Springer, 1997.

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Anhang

Listing 1. Plattenkondensator/Dielektrikum mit Fenics

from d o l f i n import *

import numpy as np

parameters [ " form_compiler " ] [ " cpp_optimize" ] = Trueparameters [ ’ form_compiler ’ ] [ ’ opt imize ’ ] = Trueparameters [ " form_compiler " ] [ " r ep r e s en t a t i on " ] = "quadrature "parameters [ " form_compiler " ] [ " quadrature_degree " ] = 2

#=====================================# Mesh#=====================================mesh = Mesh( "msphere . xml" )n = FacetNormal (mesh )subdomains = MeshFunction ( " s i ze_t " , mesh , "msphere_physical_region . xml" )boundar ies = MeshFunction ( " s i ze_t " , mesh , "msphere_facet_region . xml" )dV = Measure ( "dx" ) [ subdomains ]dAo = Measure ( "ds" ) [ boundar ies ]dAi = Measure ( "dS" ) [ boundar ies ]

# Sur faces :# dAo(122) outer sphere# dAi (117) capac i t o r top p l a t e# dAi (118) capac i t o r bottom p l a t e# dAi (119) d i e l e c t r i c top# dAi (120) d i e l e c t r i c bottom# dAi (121) d i e l e c t r i c s i d e s

# Volumes :# dV(218) d i e l e c t r i c# dV(216) capac i t o r top# dV(217) capac i t o r bottom# dV(219) inner sphere# dV(120) outer sphere

# Function spaceSpace = FunctionSpace (mesh , ’ Lagrange ’ , 1)

# Functionsraum fuer s k a l a r e Mater ia l kons tan tenKSS = FunctionSpace (mesh , "DG" , 0)

# Constantseps_0 = 8.8542 * pow(10 , −12)#eps_r = 8.0 # Glaseps_r = 2 .0 # Gummi#eps_r = 80.0 # des t . Wasser#eps_r = 1.5

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# Functionseps = Function (KSS)phi = Function ( Space )del_phi = TestFunction ( Space )t r i a l_ph i = Tr ia lFunct ion ( Space )

# Dir ich le tBoundaryCondi t ionsphi1 = Dir ichletBC ( Space , Constant ( 0 . 0 ) , boundaries , 2 10 )phi2 = Dir ichletBC ( Space , Constant ( 5 . 0 ) , boundaries , 212)BCS = [ phi1 , phi2 ]

# EquationsV0 = eps_0 * i nne r ( grad ( t r i a l_ph i ) , grad ( del_phi ) )* (dV(216) + dV(217) + dV(219) + dV(220) )V1 = eps_0*eps_r * i nne r ( grad ( t r i a l_ph i ) , grad ( del_phi ) ) * dV(218)F = V0 + V1

a , L = lh s (F) , rhs (F)

s o l v e ( a == L , phi , bcs=BCS, so lver_parameters={" l i n e a r_so l v e r " : "gmres" })

# Phif i l eV = F i l e ( ’ phi . pvd ’ )f i l eV << phi

# E−FeldVSpace = VectorFunctionSpace (mesh , ’ Lagrange ’ , 1)E = as_tensor(− phi . dx ( i ) , [ i ] )Epro = pro j e c t (E, VSpace )

f i l e E = F i l e ( ’E . pvd ’ )f i l e E << Epro

# D−FeldD = as_tensor(− phi . dx ( i )* eps , [ i ] )Dpro = pro j e c t (D, VSpace )

f i l eD = F i l e ( ’D. pvd ’ )f i l eD << Dpro