Primjer 1.U elektrinom kolu na Slici 1., primjenom prvog i drugog Kirchoffovog zakona odrediti struje u svim granama elektrinog kola, snagu koja se razvija na impedansi elektrino kolo. Poznato je: i snagu koju izvor daje u

Rjeenje:Za dato elektrino kolo potrebno je proizvoljno odrediti smjerove struja u pojedinim granama, kao i smjerove obilaska kontura, kako je to uraeno na Slici 1a . U elektrinom kolu ima n=2 vora i m=3 grane.

Kirchoffovi zakoni primjenjeni na elektrina kola prostoperiodinih struja u kompleksnom obliku su: Prvi Kirchoffov zakon:

Drugi Kirchoffov zakon:

Ove jednaine su formalno iste kao jednaine za elektrina kola sa jednosmjernim strujama. Razlika je jedino u tome to se umjesto intenziteta jednosmjerne struje, te elektromotorne sile E i otpomosti R, koriste njihove kompleksne efektivne vrijednosti, odnosno impedanse Z. Kompleksna efektivna vrijednost ovih veliina sadri realnu efektivnu vrijednost i poetnu fazu. Na ovaj nain sistem jednaina ponovo se svodi na sistem algebarskih jednaina, ali u kompleksnom obliku. Broj jednaina po prvom Kirchoffovom zakonu koji je potreban za rjeavanje elektrinog kola je:

Prvi Kirchoffov zakon mogue je napisati za bilo koji vor u elektrinom kolu. Odabran vor 1, te jednaina po prvom Kirchoffovom zakonu glasi:(1)

Broj jednaina po drugom Kirchoffovom zakonu koji je potreban za rjeavanje elektrinog kola je:

n-(m-1)=3-(2-1)=2.Na Slici 1.a, proizvoljno su odabrani smjerovi obilaska kontura. Jednaine napisane na osnovu drugog Kirchoffovog zakona su:(2) (3)

Napisane jednaine po prvom i drugom Kirchoffovom zakonu (1), (2), (3) ine sistem od tri jednaine sa tri nepoznate struje ( ). Rjeavanju sistema jednaina mogue je pristupiti na vie naina. Jedan od naina je metod zamjene promjenljivih. Iz jednaine (1) struja jednaka je:

Ako se ova jednaina uvrsti u jednaine napisane pomou drugog Kirchoffovog zakona (2) i (3) dobija se:

Uvrtavanjem poznatih vrijednosti impedansi i napona, dobijeni sistem od dvije jednaine sa dvije nepoznate je:

Rjeenje sistema su kompleksne vrijednosti struja:

a koritenjem izraza za struju

odreuje se i trea nepoznata struja:

Razvijena snaga na impedansi

odreuje se kao:

Napon na impedansi

je:

pa je snaga

jednaka:

Snaga koju izvor napona

daje u kolo, jednaka je:

Primjer 2.U elektrinom kolu na Slici 2., primjenom metode konturnih struja odrediti kompleksne efektivne vrijednosti struja u granama elektrinog kola, napon izmeu taaka A i B, aktivne gubitke u kolu kao i snage izvora napona. Poznato je: ,

Rjeenje:U opstem sluaju sistem jednaina napisan po metodi konturnih struja za sloeno elektrino kolo u kompleksnom obliku glasi:

Velicina predznaka,

predstavlja sumu kompleksnih impedansi svih elemenata duz i-te konture koja je pozitivnog predstavlja sumu kompleksnih impedansi svih elemenata grane koja je zajednika

za i-tu i j-tu konturu, iji predznak zavisi od smjera konturnih struja kroz tu granu i predstavlja sumu svih kompleksnih vrijednosti elektromotomih sila duz i-te konture. Elektromotome sile generatora iji se referentni smjer poklapa sa smjerom konture uzimaju se sa pozitivnim predznakom, a u suprotnom sluaju, sa negativnim predznakom. Metoda konturnih struja se moe primjeniti i za rjeavanje elektrinih kola, koja pored naponskih sadre i strujne generatore. U tom sluaju potrebno je strujne generatore transforrnisati u ekvivalentne naponske generatore (ako se ne radi o idealnim strujnim generatorima jer takva ekvivalencija ne postoji), ili direktno primjeniti metodu konturnih struja, tako da prilikom izbora nezavisnih kontura, grana koja sadri strujni generator mora pripadati samo jednoj konturi, to znai da ta grana mora predstavljati nezavisnu granu (spojnicu) konture. Struja strujnog generatora predstavlja konturnu struju te nezavisne grane.

Postupak rjeavanja elektrinog kola svodi se na: 1. Grane u kojima su vezani strujni generatori ne raunaju se pri odreivanju broja n k kontura. Te konture ne smiju da sadre grane sa strujnim generatorima. 2. Vrijednosti struja strujnih generatora su poznate i za njih se ne piu jednaine po metodi konturnih struja. 3. Pie se nk jednaina konturnih struja, u koje konturne struje strujnih generatora ulaze na opisani nain preko impedansi grana zajednikih za posmatranu konturu i konture strujnih generatora. Broj nezavisnih kontura koji ujedno predstavlja i broj potrebnih jednaina pri rjeavanju elektrinog kola primjenom metode konturnih struja je:

U posmatranom elektrinom kolu broj vorova je n=4, a broj grana m=6, pa je broj nezavisnih kontura nk=3. U elektrinom kolu su odabrane tri nezavisne konture i u njima naznaeni smjerovi nepoznatih konturnih struja, Slika 2.a.

Sistem jednaina potrebnih za rjeavanje datog elektrinog kola napisan po metodi konturnih struja je:

(1)

Impedanse kontura su:

Impedanse u zajednikim granama su:

Elektromotorne sile kontura su:

Uvrtavanjem vrijednosti za impedanse kontura, impedanse zajednikih grana kontura i ekvivalentnih napona kontura u sistem jednaina (1), dobija se:

(2)

Rjeavanjem sistema jednaina (2) dobijaju se kompleksne vrijednosti konturnih struja:

Na Slici 2.a proizvoljno su pretpostavljeni smjerovi struja u pojedinim granama elektrinog kola. Koritenjem prethodno odreenih kompleksnih vrijednosti konturnih struja, kompleksne vrijednosti struja kroz pojedine grane u elektrinom kolu jednake su:

Napon izmeu taaka A i B se odreuje kao:

Aktivni gubici razvijaju se samo na impedansama koje imaju aktivnu otpornost i jednaki su:

Snage koje izvori napona daju u elektrino kolo su:

Primjer 3.Primjenom metode superpozicije odrediti struje u svim granama elektrinog kola sa Slike 3. Poznato je:

Rjeenje:Prema metodi superpozicije, kompleksna efektivna vrijednost struje u svakoj grani elektrinog kola jednaka je sumi kompleksnih efektivnih vrijednosti struja koje bi u toj grani stvarali naponski i strujni generatori pri pojedinanom djelovanju u elektrinom kolu. Iskljuenje naponskih generatora vri se tako to se anulira njihova elektromotorna sila, a njihova unutranja otpornost ostaje ukljuena u datoj grani elektrinog kola. Ako je naponski generator idealan, nakon iskljuenja na njegovom mjestu ostaje kratka veza. Iskljuenje idealnog strujnog generatora je ekvivalentno anuliranju njegove struje i prekidanju, tj. odstranjivanju grane u kojoj se generator nalazi, jer je po definiciji unutranja otpornost idealnog strujnog generatora beskonana. Na Slici 3.a prikazano je elektrino kolo kada u njemu djeluje samo izvor napona elektrinom kolu se odreuju kao: . Struje u takvom

Na Slici 3.a prikazano je elektrino kolo kada u njemu djeluje samo izvor napona elektrinom kolu se odreuju kao:

. Struje u takvom

Na osnovu struja koje su odreene pri pojedinanom djelovanju izvora napona stanja odreuju se struje u elektrinom kolu prikazanom na Slici 3.

i

, superpozicijom

Primjer 4.U elektrinom kolu prikazanom na Slici granu 4, sa potrebno izvorom je napona provjeriti teoremu i granu sa reciprociteta ili uzajamnosti posmatrajui impedansom Poznato je:

Rjeenje:Ako generator elektromotorne sile E, vezan u grani k prouzrokuje u grani m struju jaine generator vezan u grani m prouzrokovao bi u grani k struju iste jaine Struja u grani sa impedansom . prema Slici 4, odreuje se na slijedei nain: , taj isti

gdje je :

Kada se izvor napona sa impedansom

premjesti u granu sa impedansom .

(Slika 4.a), tada struja

kroz granu

mora biti jednaka struji

gdje je :

. Struje i su jednake, ime je teorema reciprociteta ili uzajamnosti dokazana.

Primjer 7.Primjenom Nortonove teoreme odrediti kompleksnu prividnu snagu koju razvija strujni generator u elektrinom kolu prikazanom na Slici 7. Poznate su komleksne vrijednosti elektromotornih sila naponskih generatora, struje strujnog generatora i impedansi potroaa:

Rjeenje:Elektrino kolo za odreivanje struje Nortonovog generatora prikazano je na Slici 7.a.

Odabirom nezavisnih kontura kao na Slici 7.a, mogue je napisati sljedee jednaine po metodi konturnih struja:

Uvrtavanjem brojnih vrijednosti dobijaju se jednaine:

Rjeavanjem sistema jednaina po nepoznatoj konturnoj struji generatora dobija se:

, odnosno struji Nortonovog

Na Slici 7.b, prikazano je kolo za odreivanje kompleksne impedanse Nortonovog generatora.

Da bi se odredila kompleksna impedansa Nortonovog generatora, potrebno je transfigurisati trougao sa impedansama , , ekvivalentne zvijezde su: u ekvivalentnu zvijezdu impedansi , , , Slika 7.c. Impedanse

Prema Slici 7.c , kompleksna impedansa Nortonovog generatora je:

Na Slici 7.d, prikazano je ekvivalentno elektrino kolo formirano od strujnog generatora struje Nortonovog generatora. Kompleksna vrijednost napona na krajevima strujnog generatora iznosi:

i

Kompleksna prividna snaga koju razvija strujni generator jednaka je:

Primjer 8.Primjenom Milmanove teoreme u elektrinom kolu prikazanom na Slici 8. odrediti aktivnu snagu potroaa impedanse . Poznato je:

Rjeenje:Prema Milmanovoj teoremi elektrino kolo sa Slike 8. potrebno je predstaviti elektrinim kolom koje e pored impedanse na kojoj se trai razvijena aktivna snaga, imati ekvivalentnu elektromotornu silu i ekvivalentnu impedansu kao to je prikazano na Slici 8.a. S obzirom da u posmatranom kolu postoje tri paralelno vezane grane sa generatorima, mogue je pronai njihovu ekvivalentnu elektromotornu silu nain: i ekvivalentnu admitansu (impedansu ) na sljedei

gdje n predstavlja broj paralelno vezanih grana.

Predznak lanova elektromotorne sile

uzima se na osnovu usvojenog smjera djelovanja ekvivalentne elektromotorne poklapa sa smjerom djelovanja onda je predznak lana jednaka je: pozitivan, u suprotnom, predznak je negativan.

sile, tako to ako se smjer djelovanja elektromotorne sile Ekvivalentna elektomotorna sila

Ekvivalentna admitansa

je:

odavdje je ekvivalentna impedansa

jednaka:

Struja

u elektrinom kolu na Slici 8.a se dobije kao:

Razvijena aktivna snaga na impedansi

je:

Primjer 9.Za elektrino kolo prikazano na Slici 9. poznato je:

Koristei metodu potencijla vorova potrebno je odrediti napon

.

Rjeenje:U optem sluaju sistem jednaina napisan po metodi potencijala vorova za sloeno elektrino kolo prostoperiodine struje je oblika:

Veliina predznaka,

predstavlja sumu kompleksnih admitansi svih grana koje se stiu u i-ti vor i pozitivnog je predstavlja sumu kompleksnih admitansi svih grana koje se nalaze izmeu i-tog i jpredstavlja sumu kompleksnih struja koje se stiu u i-ti vor.

tog vora i negativnog je predznaka, a

Potreban broj jednana pri rjeavanju elektrinog kola primjenom metoda potencijala vorova je:

U posmatranom elektrinom kolu broj vorova je n=3 pa je broj potrebnih jednaina

.

Sistem jednaina napisan po metodi potencijala vorova, za elektrino kolo sa definisanim vorovima na Slici 9:

(1) gdje su: admitanse

admitansa zajednike grane za dva vora

struje vorova

Rjeavanjem sistema jednaina (1), dobiju se potencijali vorova 1i 2:

Primjenom drugog Kirchoffovog zakona, napon

jednak je:

Da bi se odredio napon

potrebno je odrediti struju koja tee od vora 0 ka voru 1:

Odavde je napon

jednak:

Primjer 10.U elektrinom kolu prikazanom na Slici 10. potrebno je provjeriti teoremu o odranju kompleksne snage u kolu. Poznate su kompleksne vrijednosti elektromotornih sila generatora i impedansi potroaa:

Rjeenje:Prema teoremi i odranju kompleksne snage, ukupna kompleksna snaga u elektrinom kolu jednaka je nuli:

Potrebno je odrediti u svim granama elektrinog kola kompleksne snage koje daju generatori, odnosno koje se razvijaju na potroaima. Da bi se te snage izraunale neophodno je u granama odrediti struje. Za odreivanje struja moe se primjeniti bilo koja metoda, npr. metoda konturnih struja.

U datom elektrinom kolu, mogue je uoiti tri nezavisne konture. Na Slici 10.a prikazani su smjerovi konturnih struja, kao i struja u pojedinim granama. Jednaine napisane po metodi konturnih struja su:

Uvrtavanjem brojnih vrijednosti dobija se sistem jednaina:

Rjeavanjem ovog sistema jednaina dobijaju se kompleksne vrijednosti konturnih struja:

Prema naznaenim smjerovima struja u granama elektrinog kola na Slici 10.a kompleksne vrijednosti ovih struja su:

Na osnovu poznatih struja u granama odreuju se kompleksne snage koje u elektrino kolo daju generatori i kompleksne snage koje se razvijaju na potroaima pri emu je referentni smjer, smjer konturne struje:

Prema teoremi o odranju kompleksne snage slijedi da je:

Na osnovu ovoga teorema o odranju kompleksne snage u elektrinom kolu je potvrena.