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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-objectivo de aproximação de funções
-Interpolação: -interpolação polinomial
-polinómio interpolador de Newton
-polinómio interpolador de Lagrange
-”splines”
[-regressão: -regressão linear
-coeficiente de regressão
-regressão não linear]
Aproximação de funções
Pontos mais importantes:
1
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Motivação
-dados são frequentemente disponíveis como um conjunto discreto
de pontos (experiências, tabelas) ----> pretendem-se estimar valores
entre os pontos
-pretende-se uma forma simplificada de uma função complicada ----->
calculam-se os valores da função só para alguns pontos discretos no
intervalo de interesse e usar uma função mais simples (e.g. linear)
para estimar os outros valores (tabelas, gráficos de engenharia)
2
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Métodos de aproximação de funções
-pontos muito precisos (erros associados são desprezáveis) ----> a função de aproximação deve passar por cada um dos pontos----> interpolação
-pontos afectado por um erro apreciável----->o que têm importância é a tendência geral dos dados por isso a função não precisa de passar necessariamente por todos os pontos-----> regressão
interpolação
regressão
3
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação polinomial
-em princípio podemos usar qualquer função como função
interpoladora
-polinómios são excelentes candidatos, porque dados n+1 pontos, há
apenas um e só um polinómio de grau n, ou inferior, que passa em
todos os pontos: -2 pontos----> n=1 (recta)
-3 pontos----> n=2 (parábola)
-a interpolação consiste em determinar os parâmetros do polinómio de
grau n a partir de n+1 pontos dados ({x1;y1}, {x2;y2},…, {xn+1;yn+1})
sabendo que p(xi)= yi
-forma geral dos polinómios:
p x a a x a x a xnn( ) ... 0 1 2
2
4
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando os pontos conhecidos {xi;yi} resulta um sistema linear com n+1 incógnitas
Interpolação polinomial
n
1
0
n
1
0
nn
n1
n0
2nn
211
200
y
y
y
a
a
a
x
x
x
xx1
xx1
xx1
-a matriz de coeficientes é tanto mais mal condicionada tanto maior for n
-embora o polinómio p(x) seja único, ele pode ser expresso de variadas
maneiras: -polinómio de Newton-polinómio de Lagrange
5
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação linear (n=1): 2 pontos {x1;y1}, {x2;y2}
)xx()xx(
)yy(yy
x)xx(
)yy(ya
)xx(
)yy(a
xaay
xaay
112
121
112
1210
12
121
2102
1101
aprox. da primeira derivada 6
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação quadrática (n=2): 3 pontos {x1;y1}, {x2;y2}, {x3;y3}
-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 2 1 2
-aplicando as condições conhecidos, os parâmetros de polinómio podem ser determinadas:
p x b y x y
p x b b x x y by y
x xx y
p x b b x x b x x x x y
b
y yx x
y yx x
x xx
( ) ; )
( ) ( ) ; )
( ) ( ) ( )( )
;
1 0 1 1 1
2 0 1 2 1 2 12 1
2 12 2
3 0 1 2 1 2 3 1 3 2 3
3
3 2
3 2
2 1
2 1
3 13
(
(
( y3)7
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação de grau n (forma geral): n+1 pontos {x0;y0}, {x1;y1},... {xn;yn}
-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x b x x x x x xn n( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )....( ) 0 1 0 2 0 1 0 1 1
onde
b y
b f x x
b f x x x
b f x x x x xn n n
0 0
1 1 0
2 2 1 0
1 2 1 0
[ , ]
[ , , ]
[ , ,..., , , ]
-a função f[ ] é chamada diferenças divididas de ordem n
8
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Diferenças divididas:
-ordem 0: f[ xi]=f(xi)
-ordem 1:
-ordem 2:
-ordem n:
f x xf x f x
x xi j
i j
i j
[ , ]( ) ( )
f x x xf x x f x x
x xi j k
i j j k
i k
[ , , ][ , ] [ , ]
f x x x xf x x x f x x x
x xn nn n n n
n
[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ]
1 1 0
1 1 1 2 0
0
-polinómio de interpolador geral de Newton:
p x f x x x f x x x x x x f x x x
x x x x x x f x x xn n n
( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]
( )( )...( ) [ , ,..., ]
0 0 1 0 0 1 2 1 0
0 1 1 1 0 9
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças dividida finita)
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
yy y
x x101 0
1 0
ordem1ª 2ª 3ª
yy y
x x212 1
2 1
yy y
x x323 2
3 2
yy y
x x21021 10
2 0
yy y
x x32132 21
3 1
yy y
x x3210321 210
3 0
-não é necessário que os pontos estejam igualmente espaçados-não é necessário que as abcissas estejam ordenadas por ordem crescente
Tabela de diferenças divididas
10
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Exemplo:
x y
1 -1
1.1 1.51
1.3 2.56
1.4 -3.1
09.2511.1
)1(51.1y10
ordem1ª 2ª 3ª
27.51.13.1
51.156.2y21
59.563.14.1
56.21.3y32
07.6613.1
09.2527.5y210
2.2061.14.1
27.559.56y321
3.35014.1
)07.66(2.206y3210
)3,1x)(1,1x)(1x()3,350()1,1x)(1x()07,66()1x(09,251)x(p
1102,3)3,117,1)(1,117,1)(117,1()3,350(
)1,117,1)(117,1()07,66()117,1(09,251)17,1(p
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Erro de interpolador de Newton
-o erro da interpolação é uma função definida por en(x)=f(x)-pn(x)
-a formula do interpolador é semelhante à do desenvolvimento de
uma função em série de Taylor
-as diferenças divididas são aproximações das derivadas de ordem
superior
-o erro associado à aproximação de Taylor:
-para o interpolador numa forma análoga:
Rf
nx xn
n
i in
( ) ( )
( )!( )
1
11
1
com xi<<xi+1
Rf
nx x x x x xn
n
n
( ) ( )
( )!( )( )...( )
1
0 11
R f x x x x x x x x x x xn n n n [ , , ,..., , ]( )( )...( )1 1 0 0 1
f x x x x xf
nn n
n
[ , , ,..., , ]( )
( )!
( )
1 1 0
1
1
12
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Erro de interpolador de Newton
-a função f(x) é geralmente incógnita, mas se mais um ponto (n+1) é disponível,o erro pode ser aproximado:
R f x x x x x x x x x x xn n n n n [ , , ,..., , ]( )( )...( )1 1 1 0 0 1
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
14
Exemplo:
x y
1 -1
1.1 1.51
1.3 2.56
1.4 -3.1
09.25
ordem
1ª 2ª 3ª
27.5
59.56
07.66
2.206
3.350
)4,1x)(3,1x)(1,1x)(1x(2302)x(R 3
1.6 4.14
36.2
309.3
1031
230216.1
)3.350(1031y43210
4ª
819,0)4,117,1)(3,117,1)(1,117,1)(117,1(2302)17,1(R 3
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Obtenção do polinómio interpolador pelo método de Lagrange
-o método de Lagrange é uma reformulação do interpolador
Newtoniano, mas evita o cálculo das diferenças divididas finitas
-expressão geral:
p x L x f xi ii
n
( ) ( ) ( )
0onde L x
x x
x xij
i jjj i
n
( )
0
-n=1 p xx x
x xf x
x x
x xf x( ) ( ) ( )
1
0 10
0
1 01
-n=2 p xx x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x xf x( ) ( ) ( ) ( )
1
0 1
2
0 20
0
1 0
2
1 21
0
2 0
1
2 12
-o erro de aproximação é obtido de forma semelhante do que no caso do método Newtoniano
15
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
x f(x)
0 11 72 6
Exemplo:
612
1x
02
0x7
21
2x
01
0x1
20
2x
10
1x)x(p
16
72,6612
19,0
02
09,07
21
29,0
01
09,01
20
29,0
10
19,0)9,0(p
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação com nós equidistantes
-designando por h a distância entre nós sucessivos, podemos escrever que:
x
x x h
x x h
x x nh
x
n
n
0
1 0
2 0
0
02
onde h =
xn
-diferenças divididas :
f x xf x f x
x x
f x
h[ , ]
( ) ( ) ( )1 0
1 0
1 0
0
f x x x
f x f xx x
f x f xx x
x x
f x
h[ , , ]
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 1 0
2 1
2 1
1 0
1 0
2 0
20
22
f x x x xf x x x f x x x
x x
f x
n hn nn n n n
n
n
n[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ] ( )
!
1 1 01 1 1 2 0
0
0
17
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação com nós equidistantes
-o símbolo n representa o operador de diferenças progressivas:
0
1
1
f x f x
f x f x h f x
f x f xk k
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ( ))
p x f xf x
hx x
f x
hx x x x h
f x
n hx x x x h x x n h
n
n
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )
!( )( )...( ( ) )
00
0
20
2 0 0
00 0 0
2
1
-o resultado pode ser substituído no interpolador Newtoniano:
18
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando o facto de qualquer ponto no intervalo [xo,xn] pode ser
representado pela seguinte formula: x=x0+h
-o interpolador pode ser simplificado:
)1n)...(1(!n
)x(f
)1(!2
)x(f
!1
)x(f)x(f)x(p
0n
02
00
Rf
nh nn
nn
( ) ( )
( )!( )...( )
11
11
-o erro é dado por:
-extrapolação: estimativa do valor de f(x) fora da gama de valores dos
pontos conhecidos (perigoso)
Interpolação com nós equidistantes
19
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
x y
10 -1
20 1.51
30 2.56
40 -3.1
51,2)1(51,1
ordemf 2f 3f
04,151,156,2
66,556,21,3
47,151,204,1
7,604,166,5
23,5)47,1(7,6
Exemplo:
)2)(1(!3
23,5 )1(
!2
47,151,21)x(p
21.2)23,1)(13,1(3,1!3
23,5 )13,1(3,1
!2
47,13,151,21)23(p
X=23 ; =1,3
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-às vezes um polinómio interpolador de grau n pode resultar em grandes
erros (exemplo: uma função geralmente suave mas com algumas
variações bruscas)
-solução: splines, aplicando polinómios de grau inferior de n (para n+1
pontos) a subconjuntos de pontos
Splines lineares (m=1):
n1-n1n1n1n
21111
10000
xx x)xx(m)x(f)x(S
xx x)xx(m)x(f)x(S
xx x)xx(m)x(f)x(S
onde m
f x f x
x xii i
i i
( ) ( )1
1
21
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
Splines quadráticas (m=2): as derivadas de primeira ordem
contínuas nos nós (iguais)
-para cada intervalo entre os pontos, o aproximador é um polinómio
de grau 2:
-n intervalos ---> 3n incógnitas -----> precisamos 3n equações
-estas equações são:
i1-i2
iiii xx xxcxba)x(S
f x a b x c x
f x a b x c xonde i
i i i i i i
i i i i i i
( )
( )
1 1 1 1 1 1
2
1 1 12
= 2,3...n 2n-2 equações
f x a b x c x
f x a b x c xnos pontos
n n n n n n
( )
( )
0 1 1 0 1 02
2
extremos 2 equações
n-1 equaçõesb c x b c xi i i i i i 2 21 1 1 1 onde i = 2,3...n
2 01c a segunda derivada igual a zero 1 equação 22
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
Splines cúbicas (m=3): as derivadas de primeira e segunda ordem
contínuas nos nós (iguais)
-para cada intervalo entre os pontos, o aproximador é um polinómio de
grau 3:
-n intervalos ---n> 4n incógnitas -----> precisamos 4n equações
(condições):
-valores da função iguais nos nós interiores (2n-2)
-a primeira e última funções devem passar pelos pontos extremos
respectivos (2)
-o valor das primeiras derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)
-o valor de segundas derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)
- o valor de segundas derivadas nos pontos extremos é 0 (2)
i1-i3
i2
iii xx xxd+xcxba)x(S
23
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-as condições anteriores resultam num sistema de eq. com 4n incógnitas
-um método alternativo resulta só num sistema tridiagonal apenas com
n-1 incógnitas
-a segunda derivada em cada intervalo é uma recta---->pode ser
representada com um interpolador de Largrange de 1º grau:
)x(fxx
xx)x(f
xx
xx)x(f i
1ii
1i1i
i1i
ii
-a expressão anterior pode ser integrada duas vezes, e o resultado é
uma função polinomial de grau 3 com duas constantes de integração
-aplicando as condições para os valores extremos no intervalo i (f(x i) e
f(xi-1)), os constantes de integração podem ser determinadas
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-o resultado:
f xf x
x xx x
f x
x xx x
f x
x x
f x x xx x
f x
x x
f x x xx x
ii
i ii
i
i ii
i
i i
i i ii
i
i i
i i ii
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
1
1
3
11
3
1
1
1 1
1
11
6 6
6 6
-a expressão para cada intervalo (i=1,2,...,n) só tem duas incógnitas (f´´) em vez de 4
25
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando a condição que:
e derivando a fórmula anterior:
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
f x f xi i i i1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x f x x x f x x x f x
x xf x f x
x xf x f x
i i i i i i i i i
i ii i
i ii i
1 1 1 1 1 1
11
11
2
6 6
-o resultado é um sistema com n-1 equações e n+1 incógnitas-mas considerando que as segundas derivadas são zero nos pontos 1 e n, o sistema (tridiagonal) só envolve n-1 incógnitas---->pode ser resolvido para as segundas derivadas nos nós
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x f x x x f x x x f x
x xf x f x
x xf x f x
i i i i i i i i i
i ii i
i ii i
1 1 1 1 1 1
11
11
2
6 6
i 0 1 2 3
xi 10 20 30 40
f(xi) -1 1,51 2,56 -3,1
03,4
876,0
56,251,110
656,21,3
10
6
51,1110
651,156,2
10
6
)30(f
)20(f
2010
1020
3002010
1020A 7,22
2003,4
10876,0A1
8,7103,410
876,020A2
239,0)30(f
0758,0)20(f
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
f xf x
x xx x
f x
x xx x
f x
x x
f x x xx x
f x
x x
f x x xx x
ii
i ii
i
i ii
i
i i
i i ii
i
i i
i i ii
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
1
1
3
11
3
1
1
1 1
1
11
6 6
6 6
84,1)2023(6
10239,0
10
56,2
)2330(6
100758,0
10
51,1)2023(
106
239,0)2330(
106
0758,0)23(f 33
2
28