elementÃ¦r matematik algebra analytisk geometri …7do rj uhjqlqj phg wdo )ru pxowlsolndwlrq rj...

Elementr Matematik Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Ole Witt-Hansen 2011

Indhold

1. De naturlige tal.............................................................................................................................1 2. Regneregler for naturlige tal ........................................................................................................2 2.1 Kvadratstningerne. ..................................................................................................................3 2.2 Regningsarternes hierarki ..........................................................................................................4 3. Primtal..........................................................................................................................................4 4. Nul og de negative hele tal...........................................................................................................5 5. Brker og rationale tal..................................................................................................................6 5.1 Regneregler for brker ...............................................................................................................7 5.2 Decimalbrker..........................................................................................................................10 6. Irrationale tal ..............................................................................................................................11

7. Numerisk vrdi..........................................................................................................................12 8. Andre talsystemer ......................................................................................................................13 8.1 Additions-, subtraktions-, multiplikations- og divisionsalgoritme ........................................15

Kap 2. Mngder og udsagn ...............................................................................................................16 1. Mngder ....................................................................................................................................16

1.1 Intervaller .............................................................................................................................19 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik ..............................................................................................20

3. bne udsagn...............................................................................................................................24 Kap 4 Ligninger og uligheder ............................................................................................................26 1. Frstegradsligninger...................................................................................................................26

1.1 Nulreglen..................................................................................................................................27 2. Uligheder og regning med uligheder .........................................................................................28

2.1 Dobbeltuligheder..................................................................................................................30 3. Andengradsligningen .................................................................................................................32

Kap 3. Analytisk Geometri ................................................................................................................35 1. koordinatsystemet ......................................................................................................................35

2. Afstandsformlen.........................................................................................................................36 3. Liniens ligning ...........................................................................................................................38 Eksempel........................................................................................................................................39

Eksempel............................................................................................................................................40 4. Ortogonale linier ........................................................................................................................41 5. Liniers skring. To ligninger med to ubekendte. ......................................................................41 6. Afstand fra punkt til linie ...........................................................................................................46 7. Cirklens ligning..........................................................................................................................48

Kap 5. Trigonometri...........................................................................................................................51 1. vinkler ........................................................................................................................................51 2. Sinus, cosinus og tangens...........................................................................................................53 2.1 Overgangsformler ....................................................................................................................54

3. Den retvinklede trekant..............................................................................................................56 4. Den almindelige trekant. Sinus og cosinus relationerne ............................................................58

4.1 Projektion p en linie ...........................................................................................................59 4.2 Kordeformlen. Sinusrelationerne .........................................................................................60 4.3 Cosinusrelationerne..............................................................................................................62 4.3 Arealet af en trekant ved trigonometri .................................................................................63 4.4 De 5 trekantstilflde ............................................................................................................64

Kap 6. Funktioner og grafer..............................................................................................................67

1. funktioner ...................................................................................................................................67 2. Grafen for en funktion................................................................................................................69 2.1 grafers skring med koordinat akser ....................................................................................70 2.2 To grafers skringspunkter...................................................................................................70 3. Egenskaber for funktioner..........................................................................................................70 4. Omvendt funktion ......................................................................................................................72 5. Sammensatte funktioner.............................................................................................................74

Kap 7. Nogle vigtige funktioner ........................................................................................................76 1. Den linere funktion..................................................................................................................76 1.1 Stykkevis linere funktioner ................................................................................................76 2. Andengradspolynomiet ..............................................................................................................77 2.1 Parallelforskydning af koordinatsystemet.............................................................................78 2.3 Parallelforskydning af en parabel. Toppunktsformlen........................................................79 2.4 Faktorisering af 2.gradspolynomiet .....................................................................................81 2.5 Andengradspolynomiets fortegn. Andengradsuligheder.......................................................82

Kap 6. Trigonometriske funktioner....................................................................................................84 1. Gradtal og radiantal....................................................................................................................84 2. sin x, cos x og tan x ....................................................................................................................85 3. Trigonometriske ligninger..........................................................................................................86 4. Trigonometriske uligheder .........................................................................................................88 5. Harmoniske funktioner ..............................................................................................................90

Tal og regning med tal 1

Kap 1. Tal og regning med tal 1. De naturlige tal Tlle-tallene 1, 2, 3, .har vret kendt af alle kulturer. De kaldes i matematikken for de naturlige tal, og betegnes med N. Vi skriver tallene ved hjlp af 10 symboler "0", "1" , "2", "3","9" . Symbolerne for tal, har naturligvis ikke vret de samme i alle kulturer. Andre kulturer har anvendt andre symboler, f.eks. romertallene I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII og X, og der har ogs vret et andet antal symboler i talsystemerne, f.eks. tolv, tyve eller tres. Det talsystem, vi anvender kaldes for 10-talssystemet, fordi der er 10 symboler. Det er et positionssystem, fordi positionen af et ciffer i en rkke af cifre, er afgrende for betydningen af dette ciffer. Tag for eksempel tallet 4376. Betydningen af disse cifre i denne rkkeflge er helt prcist:

4376 = 41000 + 3100 + 710+ 61. Ombytter man to cifre, bliver tallet et andet. Det er dette man udtrykker ved at kalde det et positionssystem. Hvis man matematisk skal forklare, hvad tallet tre er, s er det ikke nok at skrive tegnet "3", fordi det er blot t blandt mange symboler for begrebet "tallet tre". For at forklare begrebet, er det faktisk ndvendigt at forklare, hvorledes man brer sig ad med at tlle. I matematikken formuleres det at tlle ved en rkke aksiomer (definitioner og pstande, som man ikke kan fre bevis for), som kaldes Peanos aksiomer. Ud fra disse aksiomer, kan man udlede alle egenskaberne for de naturlige tal. Mest bemrkelsesvrdigt, at det frste tal er 1, at ethvert tal har netop n efterflger, og at der ikke findes noget strste element. Nr man regner med tal - eller symboler for tal - i matematikken, skriver man tallene i rkkeflge (fra venstre mod hjre), adskilt af tegnene "+" (plus), "-" minus, "" (gange) og "/" (division). Oftest, skriver man dog divisionsstregen som en vandret streg med en tller og en nvner. At lgge to tal sammen kaldes for addition. At trkke et tal fra et andet kaldes for subtraktion. At gange to tal med hinanden kaldes for multiplikation. At dividere et tal med et andet kaldes for division. Tal som er adskilt af '+' eller '' kaldes for led. Tal som er adskilt af '' eller '/' kaldes for faktorer. Ser vi f.eks. p udtrykket:

1210

56

4

1223117

S har venstresiden af lighedstegnet 5 led. Det tredje og fjerde led bestr hver af to faktorer. Det femte led bestr af tre faktorer.


For multiplikation og division med naturlige tal, findes der en multiplikations- og divisionsalgoritme, som burde vre velkendte. Ved en algoritme forstr man en endelig rkke veldefinerede rkke skridt, som man skal udfre for at n til resultatet. Det er ikke noget krav, at man forstr, hvorfor det frer til det nskede resultat. Vi viser et par eksempler p de to algoritmer nedenfor. Opstillingen kan godt variere lidt, men jeg har valgt den mest udbredte. Multiplikationsalgoritmen Divisionsalgoritmen 739 43 43| 7395 | 171 ( = kvotient) 2217 43 29560 309 31777 301 85 43 42 (= rest) Det er ikke s vanskeligt, at forst multiplikationsalgoritmen, mens divisionsalgoritmen er betydelig vanskeligere at forklare, s det vil vi ikke forsge, (fr man har lrt om polynomiers division). Resultatet af divisionen udtrykkes i divisionsligningen, (som man kan kontrollere rigtigheden af). 7395 = 171 43 + 42

2. Regneregler for naturlige tal I matematikken formulerer man ofte stninger, der glder for alle tal i en afgrnset mngde. For at skrive sdanne tal, anvender man latinske eller grske bogstaver til at reprsentere "hvilket som helst tal". F.eks. kan divisionsligningen ovenfor skrives mere generelt, hvor (dividend) p og (divisor) d er naturlige tal, mens (kvotient) q og (rest), r er naturlige tal eller nul.

p = q d + r (dividend = kvotient divisor + rest)

f.eks. 17 = 3 5 + 2 For de naturlige tal, glder nogle velkendte regneregler (som ikke kan bevises). For alle naturlige tal a, b, c glder der, sledes: Den kommutative lov for addition:

a + b = b + a f.eks. 3 + 7 = 7 + 3 Den associative lov for addition:

a + (b + c) = (a + b) + c f.eks. 3 + (6 + 9) = (3 + 6 ) + 9


Den kommutative og associative lov for addition udtrykker, at addendernes orden og rkkeflge er underordnet. Den kommutative lov for multiplikation:

a b = b a

f.eks. 3 7 = 7 3 Den associative lov for multiplikation:

a (b c) = (a b) c f.eks. 3 (6 9) = (3 6 ) 9 Den kommutative og associative lov for multiplikation udtrykker, at faktorernes orden og rkkeflge er underordnet. Den distributive lov:

a (b + c) = a b + a c f.eks. 3 (4 + 7) = 3 4 + 3 7 (= 33) Af den associative lov flger at man kan hve (dvs. fjerne) en plus parentes. Hvis man derimod hver en minus parentes, skal man skifte fortegn for hvert led i parentesen. a (b + c - d) = a b c + d f.eks. 3 (2 + 4 7) = 3 2 4 + 7 (= 4) Man anvender parenteser til at markere, at flere led skal opfattes som et enkelt led eller en enkelt faktor. Man stter sledes aldrig parenteser omkring et enkelt led eller en enkelt faktor (med mindre, der str et minustegn foran tallet). Man stter aldrig en plusparentes. Ikke fordi nogen af delene er forkerte, men fordi det er overfldigt og det mindsker overskueligheden af regningerne. Den distributive lov viser, hvorledes man ganger en flerleddet strrelse med et tal. Af reglen flger, hvorledes man ganger to parenteser med hinanden. Under hensyntagen til fortegnet for de to led, ganger man hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes 2.1 Eksempel (a b)(c + d e) = ac +ad bc bd + be

2.1 Kvadratstningerne. Nr man taler om kvadratet p et tal, er det det samme som tallet ganget med sig selv (i 2. potens) Nr kvadratstningerne er meget vigtige at kunne - uden at foretage mellemregningerne er det fordi de meget ofte anvendes i reduktioner og til lsning af opgaver. (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + b2 + 2ab


(a - b)2 =(a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 + b2 - 2ab

Kvadratet p en toleddet strrelse, er lig med kvadratet p frste led plus kvadratet p andet led plus eller minus det dobbelte produkt.

(a + b) (a - b) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2

To tals sum gange to tals differens er lig med kvadratet p frste led minus kvadratet p andet led. Eksempler Nr det er vigtigt at huske kvadratstningerne, s er det fordi man ogs skal kunne anvende dem, nr tallene ikke hedder a og b. (5 - 3)2 (= 4) = 25 + 9 - 253 = 34 30 = 4 (7 - 2) (7 + 2) (=59 = 45) = 49 4 = 45 (2x-3y)2 = (2x)2 + (3y)2 12xy = 4x2 + 9y2 -12xy 9a2 25b2 = (3a + 5b)(3a 5b)

2.2 Regningsarternes hierarki Man udregner et udtryk fra venstre mod hjre i den rkkeflge leddene eller faktorerne optrder efter flgende regler:

1. Potensoplftning og roduddragning udfres fr multiplikation og division. 2. Multiplikation og division udfres fr addition og division.

Eksempel. Udregningen af nedenstende udtryk sker som flger: 7- 24 + 323 - 5427 = 7 8 + 38 - 5167 =-1 + 24 - 560 = 25 560 = 535

3. Primtal Et primtal er et naturligt tal strre end 1, som kun har tallet 1 og sig selv som divisor. Det frste 10 primtal er velkendte: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 og 29. Der findes ingen formel for primtallene, men det er let at bevise, at der findes uendelig mange primtal. Lad os nemlig antage, at vi har fundet n primtal: p1, p2, p2, pn. Vi vil vise, at der m findes et primtal strre end pn. Tallet: p1 p2 p2 pn har primtalsdivisorerne p1, p2, p2, pn og ingen andre. Tallet p1 p2 p2 pn+1 har imidlertid resten 1 ved division med enhver af p1, p2, p2, pn, s derfor er tallet enten et primtal, eller der m findes et primtal strre end pn, som gr op i tallet. Nr man skal forkorte en brk, gres det i almindelighed ved at oplse tallet i dens primfaktorer.


For eksempel: 628 = 2314 = 22157 (157 er et primtal). 3767 = 23271323.

Det findes ikke nogen analytisk metode til at bestemme primtalsoplsningen for et tal. Man bliver ndt til at forsge sig frem med rkken af primtal. Hvis man skal finde primtalsoplsningen af et tal

p, behver man dog kun at forsge med primtal, som er mindre (eller lig med) p .

Dette kan indses p flgende mde:

Hvis p kan skrives som ab, og alts ikke er et primtal, s vil der glde bappp .

Af denne ligning kan ses, at de to faktorer a og b ikke begge kan vre strre end p , s den ene

m vre mindre end p . Flgelig behver man kun at forsge sig med primtal mindre end p .

Skal vi forsge at faktorisere 1147, s er 9,331147 , s vi behver kun at forsge med primtal op til 31. Det viser sig, at 1147 = 3137

4. Nul og de negative hele tal Vi vil nu illustrere, hvorledes man i matematikken foretager en udvidelse af talbegrebet til ogs at omfatte tallet nul og de negative hele tal. Nr man udvider talbegrebet, vil man stille den betingelse, at regnereglerne for de naturlige tal ogs skal glde for tallene efter udvidelsen. Dette har s nogle konsekvenser, som vi skal se nrmere p. Vi indfrer frst nul, som et neutral element ved addition. Neutralt betyder, at for alle naturlige tal a, skal der glde: a + 0 = a og 0 + a = a Hvis regnereglerne skal vre opfyldt, kan vi heraf slutte at a0 = 0a =0 for alle naturlige tal og 0. Bevis ab = a(b+0) = ab + a0 hvoraf sluttes at a0 = 0 De negative tal indfres som modsatte tal til et naturligt tal ved definitionen: b er det modsatte tal til a a + b = 0 (Vi har her anvendt symbolet , som lses hvis og kun hvis eller ensbetydende med. Det modsatte tal til a betegnes a og lses: minus a. Heraf flger s: a + b = 0 b = - a og b + a = 0 a = - b = - (-a) Det modsatte tal til det modsatte tal er alts tallet selv (fordi addition er kommutativ).


Vi viser nu, at det flger af regnereglerne, at a(-b) = -ab og a + (-b) = a - b (subtraktion af b fra a) Bevis 0 = a0 = a(b + (-b)) = ab + a(-b) og samtidig 0 = a0 = a(b - b)= ab - ab Dette viser at a(-b) er det modsatte tal til ab og er derfor lig med ab. Samtidig ses det, at a + (-b) = a b. Begge tal er nemlig det modsatte tal til b a. Endvidere s vi tidligere (-a) = a. Oven for har vi vist, at minus gange plus giver minus, nu vil vi vise, at minus gange minus giver plus. Bevis 0 = -a(b + (-b)) = -ab + (-a) (-b) Ligningen viser, at (-a) (-b) er det modsatte tal til -ab og flgelig er lig med ab, s

(-a) (-b) = ab. Eller minus gange minus giver plus

5. Brker og rationale tal Nr man i matematikken udvider talbegrebet til ogs at omfatte brker, s er det en betingelse, at de grundlggende regneregler stadig glder. Vi vil frst indfre de skaldte stambrker. Hvis man f.eks. deler et liniestykke af lngden 1 (eller en lagkage) i 7 lige store stykker, s siger

man at lngden (strrelsen) af ethvert af stykkerne er 7

1, som lses en syvendedel.

7

1 er derfor et symbol for t (eksakt) tal, og det skrives altid med en vandret brkstreg og i

almindelighed ikke som 1/7 eller 1:7. (1/7 betyder ogs den 1. juli, og 1:7 er et symbol for en division)

Tre af stykkerne har lngden 7

1+

7

1+

7

1 =

7

3

7

13 skrivessom . Alts

7

3

7

13

P samme mde adderer man to brker med samme nvner:

7

5

7

15

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

2

7

3

For hele positive tal p og q indfrer man i matematikken brken: q

p, , som det (nye) tal som

multipliceret med q giver p.

pqq

p


p kaldes for brkens tller (top) og q kaldes for nvner (ned).

For eksempel defineres tallet 13

4 ved: 413

13

4 . Specielt glder 1

1

p

pogp

p

Denne definition giver ogs forklaringen p hvorfor man ikke kan dividere med nul.

Hvis nemlig 0

4 var et tal, s skulle det vre det tal som ganget med 0 giver 4.

Da alle tal ganget med 0 giver nul, kan 0

4 ikke vre noget tal. Dette plejer man at formulere p den

mde: Man kan ikke dividere med nul.

Det modsatte tal til en brk q

p, hvor p og q er hele positive tal skrives

q

p , og i almindelighed

ikke som q

p eller

q

p

. Dette fordi symbolet

q

p str for t tal, som ikke kan skilles ad.

5.1 Regneregler for brker Regnereglerne for brker er vigtige for alle grene af matematikken og er derfor ndvendige at lre og kunne. Man adderer (eller subtraherer) to brker med samme nvner ved at addere (subtrahere) tllerne og lade nvneren uforandret

q

rp

q

r

q

p

f.eks: 12

10

12

3

12

7 ,

3

1

12

4

12

3

12

7 ,

2

5

12

30

12

13

12

17

En brk, som er strre end 1, skriver man ind imellem som et blandet tal.

2

5 er jo lig med

2

12 , som man kort skriver som

2

12 .

I matematik anvender man dog kun og kun denne skrivemde til at f et overblik over resultatet og aldrig i regninger!

Dette af to grunde. For det frste kan 2

12 forveksles med

2

12 , og for det andet, kan man ikke

direkte anvende regneregler for brker p blandede tal. Man kan gange eller dividere med det samme hele positive tal i tller og nver.


Nr man ganger med det samme tal i tller og nvner, kaldes at forlnge, og nr man dividerer med det samme tal, kaldes det at forkorte. Eksempler:

15

10

53

52

3

2

og 7

3

97

93

63

27

c

b

ca

ab

aca

ab

3)3(3

ba

ba

ba

ba

ba

baba

ba

ba

52

52

)52(

)52(

)52(

)52)(52(

)52(

25422

22

Nr en brk ikke kan forkortes, dvs. at tller og nvner ikke har flles primfaktorer, s kaldes brken uforkortelig. Det er god skik altid at aflevere et resultat som en uforkortelig brk. Man ganger et tal med en brk ved at gange i tlleren og lade nvneren uforandret Eksempler:

12

21

12

73 , 5

7

35

7

57 ,

d

bcac

d

bac

d

bac

)(

Man dividerer en brk med et tal ved at gange med tallet i nvneren og lade tlleren uforandret. Eksempler

36

7

123

7

312

7

, 5

2

75

14

75

14

, cd

ab

dc

ab

Bemrk, at det er vigtigt, at vide, hvad der er den store brkstreg. 3

12

7

kan (skrevet p denne

mde) opfattes som 12

7 divideret med 3 eller som 7 divideret med )4(

3

12 . Idet

4

7

36

7 er det

vigtigt, at skelne mellem brk divideret med tal eller tal divideret med brk! Hvis man skal addere to brker, som ikke har samme nvner, skal man forlnge hver af brkerne, for at skaffe samme nvner (en fllesnvner) fr de kan adderes. Eksempler

35

31

35

21

35

10

75

73

57

52

5

3

7

2


Man kan altid finde en fllesnvner ved at tage produktet af de enkelte brkers nvnere -(ogs hvis der er mere end to led), men dette er langtfra ndvendigt i mange tilflde. Kan man blot bestemme et tal som alle nvnere gr op i, kan dette anvendes som fllesnvner. Det mindste tal som de 3 nvnere gr op i kaldes de mindste flles ml.

Eksempel 4

3

9

7

12

2

Det ses umiddelbart, at 36 kan anvendes som fllesnvner, og at 36 er mindste flles ml for 12, 9 og 4.

36

5

36

27286

94

93

49

47

312

32

4

3

9

7

12

2

Man multiplicerer to brker med hinanden, ved at gange tller med tller og nvner med nvner. Eksempel

28

15

4

5

7

3 ,

12

7

3

7

4

1

9

14

8

3 ,

bd

ac

d

c

b

a

I det midterste eksempel, har vi forkortet med 3 og 2, fr vi ganger de to brker sammen. Dette er altid en fordel, da tallene bliver mindre og dermed mere overskuelige. Man dividerer et tal (eller brk) med en brk ved at gange tallet (eller brken) med den omvendte brk. Ved den omvendte brk, forstr man den brk, hvor tller og nvner er byttet om. Ganger man en brk med dens omvendte brk, fr man 1 (n). Eksempler

1)35

35(

5

7

7

5 1)(

pq

pq

p

q

q

p

7

35

3

75

5

7

3 ,

22

35

2

7

11

5

7

211

5

, bc

ad

c

d

b

a

d

cb

a

Reglen om, at gange med den omvendte er knap s indlysende som de vrige regneregler, men den kan let bevises, hvis man anvender de vrige regneregler for brker. Bevis

c

d

b

ac

d

b

a

c

d

d

cc

d

b

a

d

cb

a

1

c

adc

ad

c

d

d

cc

da

d

ca

1


Vi har ganget med den omvendte af nvnerbrken i tller og nvner, og herved fs regnereglen for division med en brk. Hele tal og brker kaldes tilsammen for rationale tal. De betegnes med bogstavet Q.

5.2 Decimalbrker Decimalbrker anvendes sjldent i matematik, af den grund at de ofte er tilnrmede tal og ikke eksakte tal. De anvendes derimod altid i de empiriske videnskaber (hvor man foretager mlinger), af den grund at man ikke kan mle et eksakt tal. Der er altid en usikkerhed p en mling. Opskriver vi en decimalbrk, som f.eks. 234,567, s betyder det som bekendt 2 hundrede, 3 -10ere, 4 - 1ere, 5- tiendedele, 6 - hundrededele og 7 - tusindedele. Dette har man en praktisk skrivemde for i matematik. Vi minder om potenssymbolet: 102 = 100, 103 = 1000 osv. Vi indfrer nu en skrivemde, som ogs anvendes i fysik og kemi, og som vil blive begrundet senere.

33

22

10 1010

1

1000

110

10

1

100

110

10

1110 osv.

P denne mde kan vi prcis udtrykke, hvad tallet 34,567 betyder. 321012 107106105104103102567,234 Man kan omskrive en brk til en decimalbrk ved hjlp af divisionsalgoritmen. Vi ser f.eks. p 13:7, og opskiver divisionsalgoritmen. 7| 13 | 1,857142 857142 875142 Det ses, at divisionen med 7giver resterne 6, 4, 5, 1, 3, 2 og 6.. 7 Herefter gentages divisionerne og cifrene i kvotienten, indtil 60 vi igen fr resten 6. Resultatet er en uendelig, men periodisk 56 decimalbrk. Som det ses har decimalbrken perioden 6. 40 P forhnd kunne vi indse, at den ville vre periodisk med en periode 35 p hjst 6. Der er nemlig kun 6 mulige rester ved division med 7 50 De er 1, 2, 3, 4 ,5 og 6 49 Af eksemplet kan vi slutte at enhver brk, kan skrives som en endelig - 10 eller en uendelig, men periodisk decimalbrk. 7 30 Man kan s stille det omvendte sprgsml, om enhver endelig eller 28 uendelig periodisk decimalbrk, ogs kan skrives som en brk. Svaret 20 p dette er bekrftende. Ser vi frst p en endelig decimalbrk, er det 14 let. 6 Eksempel

En endelig decimalbrk: d =1250

3927

10000

314161416,3 ( = 3,142159236.)

____ En uendelig decimalbrk: d=2,718281828.


Vi har markeret perioden p 4 decimaler, som antages at fortstte uendeligt. Vi ganger nu med 104 = 10000 (4 er lig med perioden), herved bliver cifrene forskudt njagtig en periode. Vi ser nu p tallet 10000d = 27182,818281828. , og herfra subtraherer vi tallet d = 2,718281828. 27180,1 Bemrk, at periodecifrene nu str lige under hinanden blot forskudt en periode. Heraf flger:

9999d = 27180,1 eller 99990

271801d

Denne omskrivning er altid mulig, idet man blot skal gange decimalbrken med 10P, hvor p er perioden og s subtrahere decimalbrken fra dette og reducere. Opgave

1. Bestem perioden, nr brken 7

2 omskrives til decimalbrk.

2. Omskriv 7,654 til en brk En endelig mngde siges at have et endeligt kardinaltal. Kardinaltallet er det samme som antallet af elementer i mngden. Mngdens elementer kan nummereres ved hjlp af de naturlige tal. Nogle uendelige mngder kan ogs nummereres. Et glder f.eks. de hele tal. Rkkeflgen kunne f.eks. vre 0, -1, 1, -2, 2, En uendelig mngde, der har den egenskab at den kan nummereres efter de naturlige tal, kaldes numerabel. Det er lidt overraskende, at ogs de rationale tal er numerable. Vi ser frst p de

positive gte brker: Rkkeflgen: ,...5

3,

5

2,

5

1,

4

3),

4

2(,

4

1,

3

2,

3

1,

2

1 Vil give alle de gte brker. Vil man

undg, at brker, der kan forkortes nummereres to gange, skal det gres lidt mere kunstfrdigt.

6. Irrationale tal Hvis man tillgger et liniestykke et mltal (lngden af liniestykket), s er det klart, at ethvert rationalt tal svarer til lngen af et liniestykke. Det omvendte er imidlertid ikke tilfldet. Ser vi p en retvinklet trekant med kateterne a = b = 1, s vil hypotenusen c2 = a2+ b2 = 1 + 1=2.

Vi plejer, at skrive 2c . (Lses: kvadratroden af 2). 2 er s det positive tal som oplftet i anden potens giver 2.

P samme mde kan man konstruere liniestykker med lngden 5 og 13 ved at vlge kateterne i en retvinklet trekant til at vre, som a = 2, b = 1, og a = 3, b = 2. Der glder nemlig: c2 = a2+ b2 = 12+ 22 = 5 og c2 = a2+ b2 = 22+ 32 = 13 Pythagorerne ca. r 400 fvt. kendte oprindelig kun de rationale tal, og var bekymrede for disse nye tal, som det ikke lykkedes dem, at kunne skrive som en brk.

Det lykkedes dem imidlertid at bevise, at 2 ikke er et rationelt tal. Beviset forlber som flger:

Vi antager at 2 kan skrives som q

p , hvor

q

p er en uforkortelig brk.


Af 2q

p flger imidlertid: 22 2

22

2

q

ps

q

p => p2 = 2q2 => p2 er et lige tal.

Men s m p selv vre et lige tal, da et ulige tal gange et ulige tal er et ulige tal.

Vi kan derfor skrive p = 2r. Indsttes, fr man: 24

2)2(

2

2

2

2

q

rgiversom

q

r, som reduceres til

q2=2r2. heraf ses at ogs q2 og dermed ogs q m vre et lige tal.

Hvis bde p og q er lige tal, s kan brken q

p forkortes med 2. Dette er i imidlertid strid med at

brken var uforkortelig, og dermed kan man slutte, at 2 ikke er en uforkortelig brk. I almindelighed definerer man kvadratroden af et positivt tal, som det positive tal, som oplftet til 2. potens giver tallet. Kvadratroden af 0 er nul. Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal, fordi der ikke findes noget tal som kvadreret giver et negativt tal.

Ser vi f.eks. p 9 , s findes der to tal, 3 og -3, der oplftet til 2. potens giver 9. 9 er det positive

af disse tal, alts 39 . Bemrk, at kvadratrodsuddragning og potensoplftning ikke i almindelighed ophver hinanden.

Sledes er 3)3( 2 (og ikke -3), idet 39)3( 2 . P tilsvarende mde definerer man den 3. rod af et positivt tal, som det positive tal som oplftet til 3. potens giver tallet. Eksempler

12555312564443 64 33 fordifordi Tal der ikke kan udtrykkes ved hele tal og brker, kaldes for irrationale tal. De rationale tal og alle tal, der kan udtrykkes ved hjlp af rodtegn, kaldes for algebraiske tal. (De er rdder i et polynomium med heltallige koefficienter). Der findes imidlertid tal, som ikke kan udtrykkes ved rodtegn, det glder f.eks. tallet . Sdanne tal kaldes for transcendente tal. Alle de her omtalte tal kaldes for reelle tal. De reelle tal kan afsttes p en tallinie, sledes at der til ethvert punkt p tallinien, netop svarer et reelt tal og omvendt. Lighed mellem to tal udtrykkes med lighedstegn. At to tal a og b er forskellige skrives: ba

7. Numerisk vrdi Ved den numeriske vrdi af et tal forstr man tallet, nr man ser bort fra fortegnet. Den numeriske vrdi af nul er nul. Numerisk vrdi skrives ved at omslutte tallet med to lodrette streger. For eksempel er: |5| = 5 og |-5| = 5. Mere generelt defineres den numeriske vrdi af x, hvis x er et vilkrligt reelt tal:


0

0||

xforx

xforxx

Iflge denne definition er |5| = 5, da 5>0 og |-5| = -(-5) = 5, da -5


Ethvert tal kan p helt samme mde skrives ved hjlp af potenser af grundtallet i et andet talsystem. Med positionssystemet flger uafhngigt af grundtallet alle de fordele, der er ved regneoperationerne addition, subtraktion, multiplikation og division. Grundtallet skrives altid 10, (alts t og nul), uafhngigt af talsystemet. Totalssystemet har to cifre 0 og 1 og grundtallet 2 skrives 102.(lses et- nul) 10-talssystemet har 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 skrives som 10. Det hexadecimale talsystem (16-tals-systemet) har 16 cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F og 16 skrives i dette talsystem som 1016. Det skulle fremg, at A=1010, B=1110, C=1210 , D=1310, E=1410 og F=1510. Nr man opererer med forskellige talsystemer, tilfjer man - for at undg misforstelser - grundtallet som indeks p tallet. For eksempel 1112 eller 34516, idet begge de to tal principielt kunne vre tal i 10-tals-systemet. Vi ser p et par eksempler p omregning mellem talsystemer: 1101012 = 12

5 +124 +023 +122 +021 +120 = 32 +16 + 4 +1 = 5310 5AF316 = 516

3 + 10162 +15161 +3160 = 5 4096 + 10256 + 15*16 +3 = 2328310 Skal man omregne et decimalt tal, f.eks. 18 til binrt talsystem, kan det gres ved successivt at dividere tallet med 2. Resterne ved divisionen, taget i omvendt rkkeflge, vil vre de binre cifre i tallet. Algoritmen er vist nedenfor for tallet 18 18 = 2 9 + 0 9 = 24 + 1 4 = 22 + 0 2 = 21 + 0 1 = 20 + 1 1810 = 100102 P den samme mde kan man for eksempel omskrive 171 til 16-talssystem.

171 = 1610 + 11 10 = 160 +10

17110 = AB16. (A=10, B=11)


8.1 Additions-, subtraktions-, multiplikations- og divisionsalgoritme Hvis et talsystem er baseret p positionssystemet er algoritmerne for regning med tallene uafhngigt af talsystemet, idet man blot skal huske, at grundtallet altid skrives som 10.

Binrt: 102 = 2. Decimalt: 1010 = 10. Hexadecimalt: 1016 = 16.

Vi viser frst multiplikations og divisionsalgoritmerne for binre tal. (I disse algoritmer anvendes nemlig svel additions som subtraktionsalgoritmen. Vi vil multiplicere 57 med 12 og derefter dividere 12 op i 57. 12 = 11002 og 57 = 1110012 111001 1100 000000 1 0000000 11100100 111001000 1010101100 1100| 111001 | 100 = 8 (kvotient)

1100 100 0000 1001 0000

1001 = 9 (rest) 1010101100 = 1*29 +1*27 +1*25 +1*23 +1*22 = 684 = 12*57 57 = 12*8 + 9 For Hexadecimale tal njes vi med at vise et par eksempler med addition og subtraktion BF3516 = 4894910 og 2CD16 = 71710 1 1 1 10 10

BF35 + BF35 - 2CD 2CD C202 = 4996610 BC68 = 4823210

Mngder og udsagn 16

Kap 2. Mngder og udsagn 1. Mngder En mngde er blot en praktisk betegnelse for en samling af forskellige elementer opfattet som en helhed. En mngde angives ved hjlp af mngdeparenteserne { og }. Nr man navngiver mngder, gres det ved hjlp af store bogstaver fra starten af alfabetet. Mngden af naturlige tal mellem 3 og 9 skrives: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Rkkeflgen, hvori elementer angives er underordnet. Man kan godt angive et element flere gange, men gr det naturligvis ikke. At elementet c tilhrer mngden A skrives Ac . At elementet d ikke tilhrer mngden A, skrives Ad Hvis A ={-2,-1,0,1,2,3} Kan vi f.eks. skrive: AogA 42 Man kan godt angive uendelige mngder, hvis der er en indlysende systematik. Det gres s ved at skrive 3 prikker for fortsttelsen. Eksempel:

Stambrker = ,...}4

1,

3

1,

2

1{ Kvadrattal = {1, 4 , 9, 16, }

Det bemrkes, at elementerne i en mngde godt kan vre noget andet end tal Nr en mngde er bestemt ved at angive elementerne, siges mngden at vre p listeform. Ligesom det ved tallene er ndvendigt at indfre tallet nul, som indfrer man i mngdelren den tomme mngde, som en mngde, der ikke indeholder noget element. Den tomme mngde skrives eller {}. (Men ikke {}, som jo netop er en mngde, der indeholder et element den tomme mngde) Vi har tidligere indfrt de matematiske standardbetegnelser. N (Mngden af naturlige tal), Z (Mngden af hele tal), Q (Mngden af rationale tal), R (Mngden af reelle tal). To mngder A og B siges at vre lig med hinanden, hvis og kun hvis de indeholder de samme elementer. Dette skrives: A = B A sige at vre en delmngde af B, hvis ethvert element i A ogs er element i B. Dette skrives BA Hvis A er en delmngde af B men BA , siges A at vre en gte delmngde af B. Dette skrives: BA

Mngder og udsagn 17

Hvis A = {1, 2, 3} og B = {-3,-2,-1,0,1,2,3} s glder der svel BA som BA . Hvis A ikke er en delmngde af B skrives dette: BA . Ud fra to mngder, kan man danne nogle nye mngder, som kaldes fllesmngde, foreningsmngde, overskudsmngde og komplementrmngde. Disse begreber anskueliggres lettest, ved at illustrere mngderne som afsluttede punktmngder, f.eks. cirkler i et univers, som er den mngde elementerne tages fra. I Ved fllesmngden af to mngder A og B, forstr man de elementer som bde tilhrer A og B. Fllesmngden af A og B skrives: BA Fllesmngden kan godt vre tom. I dette tilflde siges de to mngder at vre disjunkte. Fllesmngden af A={-3, -1, 1, 3, 5} og B={1, 2, 3, 4, 5} er {1, 3, 5} eller }5,3,1{ BA Ved foreningsmngden af A og B, forstr man de elementer som enten ligger A eller i B. Foreningsmngden af A og B skrives: BA Foreningsmngden af de to mngder ovenfor er }5,4,3,2,1,1,3{ BA Ved komplementrmngden til en mngde A, forstr man de elementer, som ikke ligger i A.

Komplementrmngden til A skrives: AellerAC . Der glder C(C A) = A

Mngder og udsagn 18

Ved overskudsmngden (eller mngdedifferensen eller blot A minus B) mellem A og B , forstr man de elementer som ligger i A men ikke i B. Mngdedifferensen A minus B skrives:

A\B Der glder

BA B)(A\A B\A For mngder glder den distributive lov, bde for fllesmngde og foreningsmngde: )()()( CABACBA )()()( CABACBA Nr man skal tegne 3 mngder, hvor alle muligheder findes, gres det som vist p tegningerne nedenfor. Der er 8 muligheder for beliggenheden af et element. Det ligger i A eller ikke i A. For hver af disse to muligheder er der to muligheder i B eller ikke i B. I alt 4 muligheder. For hver af disse 4 muligheder, kan elementet ligge i C eller ikke i C. I alt 8 muligheder. Dette kan ogs ses ved optlling. Nedenfor er af mngderne p hver side af lighedstegnet illustreret. Man ser at det er den samme mngde.

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA Hvis man ikke kan angive en mngde p listeform, s anvender man vendingen: Mngden af de elementer i grundmngden U, for hvilket der glderlogisk betingelse. I matematik er det praktisk at have nogle symboler for en prcis formulering af en sdan vending. Nedenfor er vist nogle eksempler.

Mngder og udsagn 19

P = {pN| p er et primtal} = {2, 3, 5, 7, 11, 13,} { lses som: mngden af. | lses som: for hvilket det glder. Det hele kan derfor lses som: Mngden af de naturlige tal p, for hvilket det glder, at p er et primtal. Hvis Grundmngden er de reelle tal, hvilket det ofte er, undlader man at skrive R , da det er underforstet.

{x | x2 = 2} = { 2,2 }

1.1 Intervaller Intervaller er specielle delmngder af de reelle tal. Da sdanne delmngder anvendes ofte, har man indfrt specielle symboler for dem. Et interval har to endepunkter, og indeholder en sammenhngende mngde af reelle tal mellem endepunkterne. Et interval skrives ved hjlp af firkantede parenteser. Frst et eksempel:

]-2, 3] = }32|{ xRx Alle reelle tal, der er strre end -2 og mindre eller lig med 3. Hvis begge endepunkter tilhrer intervallet, kaldes intervallet for lukket. Hvis ingen af endepunkterne tilhrer intervallet kaldes det bent. Hvis kun et af endepunkterne tilhrer intervallet, kaldes det halvbent. Man kan opskrive 4 intervaller med a og b som endepunkter. ]a, b[ , ]a, b] , [a, b[ og [a, b] Vi njes med at skrive den formelle definition for et af dem. }|{],[ bxaxba Man tillader i almindelighed, at lade det venstre endepunkt vre - og det hjre , men intervallet i disse endepunkter skal da vre bent. }4|{]4,] xx }7|{[,7] xx Man skal huske p et interval er en mngde, sledes at to intervaller kan kombineres med operationerne fllesmngde, foreningsmngde, overskudsmngde og komplementrmngde. Ofte er det en fordel at illustrere mngdeoperationerne p en tallinie, som illustreret nedenfor. En udfyldt cirkel i endepunktet betyder at dette endepunkt tilhrer intervallet og en ikke udfyldt betyder, at endepunktet ikke tilhrer intervallet. Eksempler: ]7,3][12,3]]7,5] [12,5][12,3]]7,5]

]3,5][12,3]\]7,5] [,5]]3,]]5,3]

Mngder og udsagn 20

Nedenfor er de to frste eksempler illustreret p en tallinie.

2. Matematisk Logik. Udsagnslogik Matematik bestr af udsagn i almindelighed formuleret ved hjlp af symboler. I matematikken er et udsagn en stning som enten er sand eller falsk. Som eksempler p formuleringer, hvoraf de frste er udsagn mens den sidste ikke er det, kan nvnes: 132 = 169 (udsagn: sandt), Vinkelsummen i en trekant er 1800 (udsagn: sandt).

25

10

25

210

(Udsagn: falsk)

Matematik er et herligt fag (ej udsagn) Som altid i matematikken anvender man symboler til mere generelle betragtninger. Til at betegne udsagn bruges traditionelt bogstaverne p, q, r, s. Vi vil begynde med at betragte nogle almindelige udtryk. p: Det regner. q: Gaden bliver vd. Ud fra disse to udsagn kan man ved hjlp af adverbierne/konjunktionerne og, eller, hviss, og ikke (non), danne nogle nye udsagn. For eksempel: Hvis det regner s bliver gaden vd. Det regner ikke eller gaden bliver vd. Man indfrer nu nogle nye symboler for disse adverbier/konjunktioner:

Mngder og udsagn 21

)Im(""""""

)Im(""""

)(Im""""""

)(,"""""

)(""""

)("."""

plikationDobbeltqmeddeensbetydenerpellerqhviskunoghvispsomlsesqp

plikationOmvendtqhvispkunsomlsesqp

plikationqmedfrerpellerqsphvissomlsesqp

Negationpikkeellerpnonsomlsesp

nDisjunktioqellerpsomlsesqp

nKonjunktioqogpsomlsesqp

Med betydningen af p og q ovenfor, vil de sammensatte udsagn lyde: Det regner og gaden bliver vd. Det regner eller gaden bliver vd Det regner ikke. (Non det regner) Hvis det regner, s bliver gaden vd Gaden bliver vd, kun hvis det regner Gaden bliver vd, hvis og kun hvis det regner. Der glder nogle logiske slutningsregler, hvorefter man kan afgre sandhedsvrdien for det sammensatte udtryk ud fra sandhedsvrdierne for de enkelte udsagn. Sdanne slutningsregler er givet ved sandhedstabeller. I det flgende betegner vi med s (sand) og f (falsk). Internationalt er det t (true) og f (false). Konjunktion af p og q Disjunktion af p og q Implikation af p og q

Konjunktionen af p og q er kun sand, hvis bde p og q er sande. Disjunktionen er sand, hvis mindst et af udsagnene p og q er sande. Implikationen er kun falsk, hvis p er sand og q er falsk. Det eneste, der mske kan vkke undren er, at implikationen er sand, hvis p er falsk og q er sand. Men det er faktisk muligt at slutte noget sandt, selv om prmissen er falsk og slutningsreglen er korrekt. Ikke s sjldent tages dette som et bevis for en falsk prmis! Hvordan kan det vre forkert, hvis jeg har fet det rigtige svar? (Men det kan det skam!) Eksempel -3 = 3 (-3)2 =(3)2 9 = 9 - 3 = 3 er falsk, men det er rigtigt, at hvis to tal er lig med hinanden, s er deres kvadrater ogs ens, og 9 = 9 er sandt.

p q p ^ q s s s s f f f s f f f f

p q p q s s s s f s f s s f f f

p q pq s s s s f f f s s f f s

Mngder og udsagn 22

Negation af p Omvendt implikation af p og q Dobbeltimplikation af p og q

Man bemrker at den omvendte implikation (naturligvis) har samme sandhedstabel som implikationen, blot er p og q byttet om. Dobbeltimplikationen er kun sand, nr p og q har samme sandhedsvrdi. Ud fra de grundlggende sandhedstabeller kan man opstille sandhedstabeller for mere komplicerede udsagn. Et udsagn som har lutter ser i sandhedstabeller, kaldes en tautologi. Et oplagt eksempel er pp . (Enten regner det eller ogs regner det ikke.) Men det kan sagtens vre meget mere spidsfindigt. F.eks. Alle ungkarle er ugifte. To udsagn p og q siges at vre logisk kvivalente, hvis de har samme sandhedstabel. Dette er det samme som at sige at p q er en tautologi. Eksempel Ved brug af sandhedstabeller vil vi vise, at:

qp er logisk kvivalent med pqqp ,

qp er logisk kvivalent med qp p q qp pq pqqp qp s s S s s s s f F s f f f s S f f f f f S s s s Som det fremgr, er sandhedstabellen er udsagnene pqqp og qp logiske kvivalente, hvilket ikke kan overraske. p q p qp qp s s f s s s f f f f f s s s s f f s s s Denne sidste kvivalens er sprogligt lidt mere spidsfindigt. Hvis det regner bliver gaden vd er logisk kvivalent med: Enten regner det ikke, eller gaden bliver vd.

p p s f f s

p q pq s s s s f s f s f f f s

p q p q s s s s f f f s f f f s

Mngder og udsagn 23

velse Vis at flgende to udsagn er kvivalente: a) qpogqp )( . (Hvis udsagnet bde p og q er falsk, s er enten p eller q falsk.) b) qpogqp )( . (Hvis udsagnet p eller q er falsk, s er bde p og q falske). c) qp er logisk kvivalent med pq . (Hvis p sand medfrer q sand, s er p falsk hvis q er falsk)

Matematik er en aksiomatisk deduktiv videnskab. Det betyder, at man begynder med nogle grundlggende simple antagelser, som antages at vre sande. Disse antagelser kaldes aksiomer. Aksiomer kan ikke bevises. Ved hjlp af logiske flgeslutninger som redegjort ovenfor, fremkommer nye udsagn, som kaldes for stninger eller teoremer. De logiske flgeslutninger kaldes enten for udledninger, hvis det blot er en rkke algebraiske omformninger eller beviser, hvis der i udledningen anvendes nogle logiske rsonnementer. Nr man laver udledninger og beviser anvender man oftest ensbetydende tegn . Man regner ensbetydende. Herved sikrer man sig at alle udsagnene er logisk kvivalente (udtrykker det samme), blot p forskellig mde. I beviser anvendes nsten udelukkende modus ponens (deduktion): Hvis p er sand og p medfrer q (er sandt) s kan vi slutte at q ogs er sand.

qqpp )(

Mere generelt, hvis p er en rkke stninger (sande udsagn) og man ud fra disse sande udsagn kan slutte q, s er q ogs sand. Det er isr dette man tnker p, nr man taler om matematikkens aksiomatisk deduktive natur. Modus ponens, anvendes ret ofte ogs i daglig sprog. F.eks. hvis eleven siger: Hvis det som str p tavlen er rigtigt, s forstr jeg overhovedet ingenting. Hvortil lreren svarer. Det er rigtigt, hvad der str p tavlen. Det sker, at man anvender et skaldt indirekte bevis. Dette bygger p den logiske kvivalens

mellem qp og pq . Dette anvendte vi, da vi skulle bevise, at 2 ikke er et rationalt tal. Vi antog da det modsatte, at det kunne skrives som en uforkortelig brk, men kunne da slutte, at dette var falsk. Alts m prmissen vre falsk. Nr man formulerer en matematisk stning, skal det gres, s der ikke er nogen tvivl om, hvad man pstr. I den henseende er sproget ofte mangelfuldt, og dette er grunden til at man har indfrt de logiske tegn, fordi deres betydning er helt entydigt bestemt ved sandhedstabeller. Af samme grund har man i matematikken indfrt nogle skaldte kvantorer, som p prcis og kort mde udtrykker nogle ofte anvendte sproglige vendinger. For ethvert (for alle) x glder udsagnet p(x) skrives med Alkvantoren x: p(x)

Mngder og udsagn 24

Der eksisterer (findes mindst et) x For hvilket det glder, at p(x) er sand: skrives med Eksistenskvantoren x : p(x) Eksempler

xxxRx 2: . (For alle reelle tal glder at x i 2. er lig med x gange x.) 169:0 2 xx . (Der findes et negativt tal for hvilket det glder, at dets kvadrat er 169).

Der glder flgende regler for negering (udtrykke det modsatte) af kvantorer, som er umiddelbart indlysende.

)(:))(:( xpxxpx . Hvis det er falsk, at der for ethvert x glder udsagnet p(x), s findes der mindst et x, hvor p(x) er falsk.

)(:))(:( xpxxpx . Hvis der ikke findes noget x, for hvilket det glder at p(x) er sand, s er p(x) falsk for alle x.

3. bne udsagn Et bent udsagn er et udsagn, hvor sandhedsvrdien afhnger af en variabel. Eksempler x2 = 4 (Udsagnet er sandt for x = 2 eller x = -2 og ellers falsk)

Hvis a, b og c er siderne i en trekant T, s er: a2 + b2 = c2 . (Sandt nr T er retvinklet ellers ikke). Det man kalder ligninger, er i virkeligheden bne udsagn. At lse ligningen betyder at bestemme samtlige vrdier for variablen (de variable), hvor udsagnet er sandt. Skrevet med mngdesymboler: {x| p(x)}. Vi viser dette med et simpelt eksempel.

{x| 3x -7 = 7x+5} = {x| 3x -7x = 5+7} ={x| -4x = 12} = {x| x = -3} Sandhedsvrdien for de 4 bne udsagn i mngdeparentesen er den samme, s de 4 udsagn er ensbetydende. Det er dog ret sjldent, at man skriver bne udsagn i mngdeparenteser. Det er kun gjort for at illustrere, hvad det er der sker, nr man lser en ligning. For fremtiden vil vi derfor undlade mngdeparenteserne og i stedet anvende ensbetydende tegn, som vist nedenfor.

3x -7 = 7x+5 3x -7x = 5+7 -4x = 12 x = -3 For lidt strre regninger vlger man som regel, at anvende en hel linie til at skrive hvert bent udsagn. Det er dog tilladt at skrive ensbetydende tegn p hjkant, men det har kun betydning for typografien. Dette er illustreret nedenfor.

Mngder og udsagn 25

3x -7 = 7x+5 3x -7x = 5+7 -4x = 12 x = -3

Ligninger og uligheder 26

Kap 4 Ligninger og uligheder 1. Frstegradsligninger En ligning er et bent udsagn, hvor den variable x i almindelighed betegner et reelt tal. At lse ligningen betyder at bestemme sandhedsmngden for det bne udsagn. Sandhedsmngden kan eventuel vre tom eller vre alle reelle tal. Lighedstegnet = mellem to talstrrelser betyder, at deres forskel er nul. a = b a b = 0 . Heraf flger umiddelbart to grundlggende regler for ligninger: 1. Man kan lgge det samme tal til eller trkke det samme tal fra p begge sider af ligningen. Vi njes med at bevise det for addition. Bevis: babacbcacbcacbca 000)( 2. Man kan gange eller dividere med samme tal (forskellig fra nul) p begge sider af ligningen. Vi njes med at bevise det for multiplikation. Bevis: babacbabcacbcac 00)(0 I almindelighed vil man ikke anvende disse to regler direkte, men i stedet nogle enklere regler som kan afledes af disse to regler, hvilket vi nu vil vise. Sm bogstaver betegner alle reelle tal. bcaxbcbbaxcbax . Vi har anvendt den frste af de to grundregler. Springer man den midterste ligning over, ser man at vi har udledt en ny regel. Man kan flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden ved at skifte fortegn. Vi ser dernst p et generelt eksempel p den anden regel.

a

bx

a

b

a

axbax

Vi har anvendt den anden af de to grundregler, idet vi har divideret med a 0 p begge sider. Springer man den midterste ligning over, ser man at vi har udledt en ny regel. Man kan flytte en faktor (forskellig fra nul) over p den anden side af lighedstegnet som divisor.


baxbaaa

xb

a

x

Vi har anvendt den anden af de to grundregler. Springer man den midterste ligning over, ser man at vi har udledt en ny regel. Man kan flytte en divisor over p den anden side af lighedstegnet som faktor. Nr man lser ligninger, skal man (hurtigt) vnne sig til at anvende de afledte regler. Det er for det frste hurtigere og for det andet er det langt mere overskueligt i mere komplicerede udtryk. Man kan aflede endnu en regneregel, som man ret ofte gr brug af.

bxacc

b

x

a

Vi har anvendt den anden regneregel to gange, ved frst at gange med x og derefter med c. Udfrer man operationen i et hug, kaldes det at gange over kors. Eksempel

104

165

138

1511

15

138

11

8

11

15

13

8

31

5

1

3

2

8

3

5

11

3

2

xxxxxx

1.1 Nulreglen Nogle ligninger kan reduceres til frstegradsligninger ved brug af nulreglen:

Et produkt er nul, hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er nul 000 yxyx .0000 osvzyxzyx Eksempel 20630720)63)(72( 2

7 xxxxxx Det br ogs nvnes, at En brk er nul, hvis og kun hvis tlleren (og kun tlleren) er nul Eksempel

270720

)63(

)72(

xxx

x


2. Uligheder og regning med uligheder I det flgende betegner a,b,c,d,.. vilkrlige reelle tal. Idet R+ betegner mngden af positive relle tal og R- betegner mngden af negative reelle tal, definerer vi ulighederne a > b ( a er strre end b) og a < b ( a er mindre end b ) ved: a > b a - b R+ og a < b a - b R- Endvidere defineres a b (a er strre end eller lig b) og a b ( a er mindre end eller lig b) ved a b a > b a = b og a b a < b a = b Vi vil da vise nogle stninger om uligheder og regning med uligheder. Stning: (triviel) a > 0 a R+ Bevis: a > 0 a - 0 R+ a R+ P tilsvarende mde vises, at a < 0 a R- Stning: (triviel) a > b b < a Bevis: a > b a - b R+ -(a - b) R- b - a R- b < a Stning: Sammenligningsreglen (triviel) a > b b > c a > c Bevis: a > b b > c a - b R+ b - c R+ (a - b) + (b - c) R+ a - c R+ a > c Stning: Man kan addere det samme (positive eller negative) tal p begge sider af uligheden. a > b a + c > b + c


Bevis: a + c > b + c (a+c) - (b+c) R+ a - b R+ a > b Stning: Man kan flytte et led over p den anden side af ulighedstegnet ved at skifte fortegn. a + c > b a > b - c Bevis: Vi adderer -c p begge sider af uligheden a + c > b a + c + (-c) > b + (-c) a > b - c Stning: Man kan gange eller dividere med det samme positive tal p begge sider af uligheden k R+ a > b k a > k b Bevis: k R+ a > b k R+ a - b R+ k(a - b) R+ ka - kb R+ ka > kb Hvis man dividerer med et positivt tal k, er det samme som at gange med 1/k, s det er overfldigt at vise stningen for division. Stning: Man kan gange eller dividere med det samme negative tal, hvis man samtidig vender ulighedstegnet. k R- a > b ka < kb Bevis: k R- a > b k R- a - b R+ k(a-b) R- ka < kb Stning: Man kan addere to uligheder, nr ulighedstegnet vender samme vej a < b c < d a + c < b + d Bevis: Vi adderer c p begge sider i den frste ulighed og b p begge sider i den anden, og anvender derefter sammenligningsreglen. a < b c < d a +c < b + c b + c < b + d a + c < b + d Stning:


For positive tal a, b, c og d kan man multiplicere to uligheder med hinanden, nr ulighedstegnet vender samme vej. a > b c > d ac > bd Bevis: Vi multiplicerer den frste ulighed med c og den anden med b, og anvender derefter sammenligningsreglen. a > b c > d a c > b c b c > b d a c > b d Som konsekvens af denne stning flger for positive tal a og b stningen:

a > b a2 > b

2 a3 > b

3 ..... a

n > b

n

Eksempler

1. Hvilket tal er strst 11

7 eller

3

2. Vi skriver uligheden 2221

3

2

11

7 . Alts er

11

7 <

3

2

2. Ls uligheden 7-3x < 5x - 2 . 8

9 x9- 8x - 2 -5x 3x -7

2.1 Dobbeltuligheder Dobbeltuligheder er to uligheder, der skal vre opfyldt samtidig eller, hvor mindst en af ulighederne skal vre opfyldt. Vi illustrerer med et par eksempler:

34

21

34

21

23

23

21

21

)212

212

1332

132

x

xx

xx

xx

xxxx

xxx

Nedenfor er lsningsmngden illustreret p en tallinie.

Det er vigtigt, at man husker det sidste skridt. Det er ikke tilstrkkeligt, at lse de to uligheder separat. Man skal lse lsningsmngden.


)(

2

121

3221

321

21

21

21

21

tomerngdenlsningsmL

xx

xx

xxxx

xxx


21

31

21x

13x12x

8-6x7-3x8-4x7-2x

x

x


Nogen uligheder med et produkt eller en kvotient af frstegradsudtryk frer til dobbeltuligheder. Vi ser frst p et eksempel med et produkt.

23

54

54

23

54

23 )()(

)045032()045032(

0)45)(32(

x

xxxx

xxxx

xx

Vi ser dernst p en kvotient:

37

24

x

x

For at lse uligheden vil vi gange over med x+7, men for at gre dette m vi dele op i to tilflde. Det ene, hvor x> -7 og det andet, hvor x < -7, hvor vi skal vende ulighedstegnet, da x+7 er negativ. Regningerne forlber herefter:


723

237237

)7(3247)7(3247

37

24

xx

xxxx

xxxxxxx

x

Ogs numerisk vrdi i en ulighed frer til dobbeltuligheder: Vi ser p uligheden:

65

27

65

27

65

27

29

27

24)72(0722472072

24|72|

x

xx

xxxx

xxxxxx

xx

3. Andengradsligningen En andengradsligning er en ligning af typen (1.1) ax2 + bx + c = 0 , hvor a,b og c er reelle tal og a 0 For at finde en lsningsformel for denne ligning, ser vi frst p et simpelt specialtilflde, hvor a = 1, b = 0 og c = -k. Ligningen bliver s: x2 = k

Vi deler op i 3 tilflde: 1. k < 0 : Ligningen har ingen lsninger, x2 aldrig er negativ. 2. k = 0 : Ligningen har netop en lsning x = 0

3. k > 0 : Ligningen har netop to lsninger: x = k x = - k

Vi erindrer om, at k for k > 0 er defineret som det positive tal, som oplftet til anden potens

giver k, og 0 = 0. Eksempel: Vi vil lse ligningen x2 = 9 Da k = 9 > 0, er der to lsninger: x = -3 x = 3


For at lse den oprindelige ligning, vil vi sge at omskrive den, s den kommer p samme form af det simple tilflde. Vi viser frst fremgangsmden med et eksempel, idet vi ser p ligningen: 2x2 - 4x - 30 = 0 Frst dividerer vi med 2 (med a) og fr x2 - 2x -15 = 0 Dernst sger vi at omskrive ligningen, s leddene med x skrives som kvadratet p en toleddet strrelse. I s tilflde, m x vre det frste led, -2x det dobbelte produkt og det andet led er 1. (x - 1)2 - 1 -15 = 0 Ved omskrivningen kvadratet p en toleddet strrelse, fr vi ganske vist et led 12 = 1 for meget, nr vi udregner parentesen, s det har vi trukket fra. Ligningen kan nu skrives: (x - 1)2 = 16 Denne ligning er p formen x2 = k (noget i anden potens er lig med et tal), og den kan direkte lses x - 1 = 4 x - 1 = -4 x = 5 x = -3 Vi flger nu njagtig den samme fremgangsmde med den oprindelige ligning, idet vi frst dividerer ligningen med a.

02 a

cx

a

bx

Hvis vi skal lave omskrivningen til kvadratet p en toleddet strrelse (x + y)2, skal (b/a) x vre det dobbelte produkt. Stter vi 2yx = (b/a) x, ser vi at det andet led y = b/(2a). Vi foretager da omskrivningen:

042 2

22

a

c

a

b

a

bx

Vi samler tallene p hjre side, og stter p flles brkstreg

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

Ligningen har nu samme form som den simple ligning, og kan umiddelbart lses. Man stter d = b2 - 4ac Denne strrelse kaldes for ligningens diskriminant. Ligningen bliver da:


2

2

42 a

d

a

bx

Da 4a2 > 0 deler vi igen op i 3 tilflde: d < 0 : Ligningen har ingen lsninger.

d = 0 : Ligningen har netop 1. lsning. a

bx

2

d > 0 : Ligningen har to forskellige lsninger, idet man finder:

a

dbx

a

dbx

a

d

a

bx

a

d

a

bx

22

242242

cabdhvora

dbx 42,

2

Det sidste udtryk er den almindelige lsningsformel for andengradsligningen. Bemrk, at dette udtryk ogs er gyldigt, selvom d = 0. Nr man skal lse til en andengradsligning, begynder man altid med at udregne diskriminanten. Hvis d < 0 har ligningen ingen lsninger, og det er nyttelst (og heller ikke tilrdeligt), at fortstte udregningerne. Hvis d > 0 indsttes i lsningsformlen. Hvis d = 0, kan man anvende den simple lsningsformel, men den generelle lsningsformel kan ogs anvendes for d =0. Eksempel Vi vil lse ligningen -3x2 + 5x + 2 = 0

Frst udregner vi diskriminanten: d = 52 - 4(-3)2 = 49=72, s d > 0 Da d > 0 har ligningen to lsninger. Vi indstter i lsningsformlen.

3

12

6

75

xxx

Analytisk geometri 35

Kap 3. Analytisk Geometri 1. koordinatsystemet En tallinie er en orienteret linie (den har en positiv gennemlbsretning), som er forsynet med et nulpunkt og en enhed. Til ethvert reelt tal, hrer der netop et punkt p linien og omvendt. Tallet kaldes for punktets koordinat. Et koordinatsystem i planen bestr af to ortogonale tallinier med samme enhed og flles nulpunkt. De betegnes 1. akse og 2. akse, x-akse og y-akse eller absisseakse og ordinatakse. De tal, der svarer til punkter p 1. aksen og 2. aksen kaldes henholdsvis 1. koordinat og 2. koordinat eller absisse og ordinat. I almindelighed vlger man orienteringen, sledes at drejningen fra 1. akse til 2. akse er mod uret. Ved projektionen af et punkt p en linie, forstr man det, at nedflde den vinkelrette p linien. Forstet p den mde, at man tegner en linie gennem punktet, som er vinkelret p tallinien. De to liniers skring er projektionen. (I praksis tegner man ikke den vinkelrette linie, men anvender en lineal) Nedenfor er vist et koordinatsystem. De to akser deler planen op i 4 omrder, som kaldes for kvadranter. De nummereres I IV mod uret.

Koordinaterne til et punkt P fs som projektionen af P p 1. og 2. akse. Koordinaterne til et punkt skrives (x,y). F.eks (-2,3), som er beliggende i 2. kvadrant. Ved anvendelse af koordinater, kan man lidt mere formelt definere akserne og de fire kvadranter, som punktmngder i planen.


x- aksen = {(x,y) | y = 0 } y- aksen = {(x,y) | x = 0 }

1. kvadrant = {(x,y) | x > 0 y > 0 } 2. kvadrant = {(x,y) | x < 0 y > 0 }

3. kvadrant = {(x,y) | x < 0 y < 0 } 4. kvadrant = {(x,y) | x > 0 y < 0 }

Punktmngden: {(x,y) | y = x } vil vre en linie, der ligger i 1. og 3. kvadrant, og som danner en vinkel p 450 med svel 1.aksen som 2. aksen. Punktmngderne: {(x,y) | x = -5 } vil vre en linie parallel med y-aksen, som gr gennem x = -5. Punktmngden {(x,y) | y = 4 }, vil vre en linie parallel med x-aksen, som gr gennem y = 4. Hvis to punkter ligger symmetrisk omkring linien y = x, s har de ombyttede koordinater. Dette kan ses p figuren nedenfor.

2. Afstandsformlen For to forskellige punkter P og Q med absisserne x1 og x2 , hvor x1 < x2 , kan man bestemme afstanden mellem P og Q som x2 - x1 . |PQ| = x2 - x1. Dette glder uafhngigt af fortegnene for x1 og x2 , nr blot x2 - x1 >0


Eksempel: Afstanden mellem 5 og 13 er 13 5 = 8. Afstanden mellem -5 og 13 er 13 (-5) = 18. Afstanden mellem -13 og -5 er -5 (-13) = 8

Hvis x1 > x2 , s x2 - x1 < 0 er formlen for afstanden naturligvis x1 x2. Vi minder om definitionen p numerisk vrdi:

0)(

0

122112

121212 xxforxxxx

xxforxxxx

Af dette, kan vi se, at afstanden mellem to punkter p en koordinatakse i alle tilflde kan udregnes som: 12 xx eller 12 yy Eksempel

Afstanden mellem -5 og -13 er 88513)5(13 Vi vil nu sge en formel for afstanden mellem to punkter A(x1 y1) og , B(x2 y2) i et koordinatsystem, hvor liniestykket AB i frste omgang ikke er parallelt med nogen af akserne. Som det fremgr af figuren er liniestykkerne AC og BC akseparallelle og afstandene |AC| og |BC| kan derfor udregnes som de tilsvarende afstande p akserne: |AC| = |x2 x1| og |BC| = |y2 y1| Trekant ABC er imidlertid retvinklet, s |AB|2 =|AC|2 + |BC|2 Heraf flger:


212212

2

12

2

12

y-yx-x

y-yx-x

AB

AB

Denne vigtige formel kaldes for afstandsformlen Hvis AB er akseparallelt er udledningen ved hjlp af den retvinklede trekant ikke gyldig, men det viser sig, at afstandsformlen alligevel kan anvendes. Er AB f.eks. parallel med x-aksen er y2 = y1 s formlen bliver:

12212212212 x-xx-xy-yx-x AB , hvilket er korrekt for en akseparallel linie. Afstandsformlen glder tilsvarende, hvis linien er parallel med y-aksen.

3. Liniens ligning

P0

(x ,y0

)

P(x,y)

1

y-y

x-x

x

y

o

o0

Da ensvinklede trekanter er ligedannede, betyder dette, at forholdet mellem ensliggende sider er konstant.

)(1 00

00 xxayyxx

a

yy

Den sidste ligning glder benbart for alle x, beliggende til hjre for x0. Den kaldes for liniens ligning og a kaldes for liniens hldningskoefficient.

y - y0 = a(x x0) er derfor ligningen for den linie, som gr gennem (x

0,y

0), og som har hldningskoefficienten a.

I det viste koordinatsystemet er tegnet en linie. Punktet Po= (xo,yo) er et fast punkt p linien og punktet

P = (x,y) er et vilkrligt (lbende) punkt p linien. Vi antager, frst at P Po og at linien ikke er parallel

med nogen af koordinatakserne. Endvidere er der tegnet en lille trekant med en katete parallel med x-aksen, som har lngden 1. Den anden katete i den lille trekant er a. P figuren er a positiv, idet linien peger opad, men det er ikke afgrende for det efterflgende. Vi kan nu indse: Punktet P=(x,y) ligger p linien, hvis og kun hvis de to viste trekanter er ensvinklede.


Bemrk, at ogs (x0,y

0) tilfredsstiller ligningen. Indstter man nemlig (x

0,y

0), finder man at 0=0.

Det bemrkes, at man fr den samme ligning, hvis x < x0. Lngderne af kateterne i den store tre-

kant bliver i dette tilflde x0 - x og y0- y , men, da de str i tller og nvner i samme brk ovenfor,

er brken uforandret og ligningen bliver den samme. Man fr ogs den samme ligning, hvis a er negativ, s linien peger nedad. Lngden af den lille katete er da -a , mens lngderne af de store kateter for x > x

0 bliver x x

0 og

-(y - y0). Igen vil de to fortegnsskifte ophve hinanden, s ogs i dette tilflde fr det samme udtryk

for liniens ligning som ovenfor. Dette vil ogs glde hvis x < x0 .

Hvis linien gennem (x

0,y

0), er parallel med x-aksen, har ligningen y = y0, idet alle punkter p denne

linie (og ingen andre) har 2. koordinat (ordinat) y0 . Sammenligner man med liniens ligning, betyder dette, at hldningskoefficienten er 0 for en linie parallel med x-aksen. Hvis linien gennem (x

0,y

0) er parallel med y-aksen, har den ligningen x = x

0 , idet alle punkter p

denne linie (og ingen andre) har 1. koordinat (absisse) x0.

I dette tilflde defineres ingen hldningskoefficient.

Eksempel

Find ligningen for den linie, som gr gennem punktet Po= (2,-3) og som har hldningen a = -. Ved indstning i

formlen finder man:

y - (-3) = - 21 (x-2) y = - 2

1 x 2

I det sidste udtryk har vi isoleret y. Af dette udtryk ses blandt andet, at linien afskrer stykket -2 af y-aksen. Dette fs ved at stte x=0 i ligningen. Skring med x-aksen findes ved at stte y=0 i ligningen og lse for x. Vi finder heraf:

0= - 21 x 2 , som lses til at give x = -4. Linien skrer x-aksen i -4.

I almindelighed kan man finde det stykke, som en linie afskrer af y-aksen ved at stte x = 0 og lse for y. Nedenfor isolerer vi frst y:

y - yo = a(x-xo) y =ax +yo axo y = ax + b Det ses umiddelbart, at b = y

0- x0 er det stykke, som linien afskrer af y-aksen, idet y=b for x=0

Kender vi sledes liniens hldning a og stykket b, som linien afskrer af y-aksen kan liniens ligning umiddelbart opskrives som y = ax + b. Dette anvendes (mindst) lige s ofte som det frste udtryk for liniens ligning. Ofte er en linie bestemt ved to punkter P1 (x1,y1) og P2 (x2,y2). Vi vil nu opstille en formel til beregning af hldningskoefficienten a for linien. I det oprindelige udtryk for liniens ligning var P0 (x0,y0) et fast, men vilkrligt punkt p linien, mens P (x,y) var et variabelt punkt. Hvis man i liniens ligning: y - y0 = a(x x0), erstatter (x0,y0) med (x1,y1) og (x, y) med (x2,y2), (hvilket er lovligt da (x1,y1) og (x2,y2) ligger p linien), finder man et udtryk for hldningskoefficienten udtrykt ved koordinaterne til to punkter p linien:


)()( 121200 xxayyxxayy

12

12

xx

yya

for 12 xx

Udregnes hldningskoefficienten med denne formel, kan liniens ligning ud fra to punkter nemt opskrives, idet man som det faste punkt P0 blot vlger et af de to punkter P1 og P2.

Eksempel

Opskriv ligningen for linien gennem punkterne P1 (-2,3) og P2(4,1).

31

31

31

12

12 2))2((33

1

)2(4

31

xyxyxx

yya

Linien har sledes hldningskoefficient -1/3 og afskrer stykket 2 1/3 af y-aksen. Et udtryk af formen ax + by + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal og ikke bde a og b er 0 kaldes for en frstegradsligning i x og y. En s-dan frstegradsligning fremstiller en ret linie i et koordinatsystem. Er nemlig b 0, kan ligningen omskrives:

b

cx

b

aycbyax 0

Hvoraf ses, at frstegradsligningen fremstiller en ret linie med hldningskoefficient ba og som

afskrer stykket ac af y-aksen.

Hvis b = 0, s er ligningen af formen: ax + c = 0 x = ac . Dette fremstiller en ret linie

parallel med y-aksen. Hvis a = b = 0, fremstiller ligningen ikke noget Vi ser alts, at en frstegradsligning i alle tilflde fremstiller en ret linie i et koordinatsystem. P den anden side kan enhver linie fremstilles ved en frstegradsligning i x og y. Ligningerne y = ax + b (hldning a, afskrer b af y-aksen), y = b (linien parallel med x-aksen) og x = xo (linien parallel med y-aksen), kan alle omskrives til en frstegradsligning i x og y ved at

samle leddene p venstre side. y = ax + b ax +(-1)y+b = 0 y = b 0x + 1y + (-b) = 0 x = a 1x +0y +(-a) = 0


4. Ortogonale linier

Figuren viser to ortogonale linier l og m, dvs. to linier der str vinkelret p hinanden. Vi antager, at ingen af linierne er akseparallelle. Hldningskoefficienterne for linierne betegnes a og c. P figuren er a > 0 mens c < 0.

Vi minder om, at hldningskoefficienten kan be-stemmes som tilvksten p y-aksen, svarende til en tilvkst p 1 p x-aksen. a er den lodrette katete i en trekant, hvis vandrette katete er 1, og hvor hypotenusen ligger p linien l. -c (fordi c er negativ) er den lodrette katete i en trekant, hvis vandrette katete ogs er 1, og hvor hypotenusen ligger p linien m. Trekant OPQ er retvinklet og hjden fra O er h = 1.

Fra geometrien ved vi at h2 = , hvor og er de stykker, hvori hjden deler hypotenusen. I dette tilflde er = a og = -c . Heraf flger

h2 = => 12 = a(-c)

ac = -1 For ortogonale linier, der ikke er akseparallelle glder, at produktet af deres hldningskoef-ficienter er -1. Denne stning kan f.eks. anvendes, nr man vil finde ligningen for en tangent til en cirkel i et punkt. Tangenten er nemlig ortogonal p linien gennem cirklens centrum og punktet. Eksempel Bestem ligningen for den linie, som gr gennem (-5,2) og som str vinkelret p linien y = 3x-4.

Hldningskoefficienten bestemmes af: 31131 ccca

Ligningen bestemmes da af: y y0 = a(x x0) 31

31

31 )5(2 xyxy

5. Liniers skring. To ligninger med to ubekendte. Vi vil i dette afsnit sge at lse og opstille lsningsformel for to ligninger med to ubekendte. Ligningerne opskrives traditionelt som vist nedenfor. a1x + b1 y = c1 (a1, b1 ) (0,0) a2x + b2 y = c2 (a2, b2 ) (0,0) a

1 ,b

1 ,c

1 og a

2 ,b

2 ,c

2 er reelle tal, som betegnes ligningssystemets koefficienter, og x, y er de ube-

kendte, som man nsker at bestemme.


Et talst (x,y) siges at vre lsning til ligningssystemet - eller tilfredsstille ligningssystemet - hvis ligningerne er opfyldt, nr talsttet indsttes. At lse ligningerne vil sige, at undersge om der findes lsninger, og i givet fald finde dem alle sammen. Geometrisk set fremstiller de to frstegradsligninger to linier i et koordinatsystem. Et talst (x,y), som tilfredsstiller begge ligninger, ligger benbart p begge linier og svarer derfor til liniernes skringspunkt. At lse ligningerne svarer derfor til den geometriske opgave, at bestemme koordinaterne til liniernes skringspunkt. Fra et geometrisk synspunkt, er det umiddelbart klart, at ligningssystemet kan have n, ingen eller uendelig mange lsninger - svarende til at linierne skrer hinanden, er parallelle eller sammenfaldende. Dette vil vi nu godtgre ved regning. For at lse ligningerne multiplicerer vi den verste ligning med b

2 den nederste med b

1, og sub-

traherer den nederste fra den verste. Metoden kaldes for lige store koefficienters metode. b2a1x + b2 b1y = b2 c1 b1a2x + b1b2 y = b1c2 Ved subtraktionen gr leddene med y ud mod hinanden, og vi finder:

b2a1 x b1a2 x = c1 b2 c2 b1 (a1 b2 a2 b1) x = c1 b2 c2 b1 Af den sidste ligning kan x bestemmes ved at dividere med 1221 baba . For at gre dette er det imidlertid ndvendigt at forudstte, at det ikke er nul. Strrelsen D = 1221 baba kaldes for ligningssystemets determinant. For determinanter anvendes flgende praktiske skrivemde, hvor koefficienterne skrives under hinanden:

122122

11 bababa

baD

Ved anvendelse af determinantsymbol, kan den sidste ligning skrives:

22

11

22

11

bc

bcx

ba

ba For at bestemme x, m vi forudstte at D 0. Hvis D 0 finder man:


1221

1221

22

11

22

11

bababcbc

ba

ba

bc

bc

x

P fuldstndig tilsvarende mde finder man ved at multiplicere den verste ligning med a

2 og den

nederste ligning med a1 og subtrahere den verste fra den nederste:

( 1221 baba ) y = a1c2 - a2c1 Man bemrker, at koefficienten til y igen er ligningssystemets determinant. Er D 0, finder man udtrykket for y.

1221

1221

22

11

22

11

babacaca

ba

ba

ca

ca

y

Vi kan sledes konkludere vores undersgelse: Hvis ligningssystemets determinant D 0 , har ligningssystemet a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

netop 1 lsning, givet ved udtrykkene:

1221

1221

22

11

22

11

baba

bcbc

ba

ba

bc

bc

x

1221

1221

22

11

22

11

baba

caca

ba

ba

ca

ca

y

Vi skal da betragte tilfldet D = 0, hvor lsningsformlen ikke kan anvendes.

D = 0 01221 baba

a1 og b

1 er ikke begge 0, s vi antager at a

1 0. Vi kan da bestemme et tal k, sledes at a

2 = ka

1.

Indsttes dette i udtrykket for D fs: 01221 baba 01121 bkaba 012 kbb 12 kbb Ved at indstte udtrykkene a

2 = ka

1 og 12 kbb i de oprindelige ligninger finder man.


a1x + b1 y = c1 a1x + b1 y = c1 a1x + b1 y = c1 a2x + b2 y = c2 ka1x +k b1 y = c2 a1x + b1 y = c2/k

Af dette fremgr, at hvis og kun hvis c

2 = kc

1 er ligningernes koefficienter proportionale.

Ligningerne er da identiske og ligningssystemet har uendelig mange lsninger. Hvis derimod c

2 kc

1 findes der intet talst (x, y) som tilfredsstiller begge ligninger.

(Venstresiderne er jo identiske, mens hjresiderne er forskellige). Ligningssystemet har ingen lsninger, og ligningerne siges at vre i strid med hinanden. De to tilflde D 0 og D = 0, svarer netop til at de tilsvarende linier, som ligningerne fremstiller i et koordinatsystem, har netop et skringspunkt eller er sammenfaldende/parallelle. D = 0 skulle derfor svare til at linierne har samme hldningskoefficient (hvis den er defineret). Finder man hldningskoefficienterne for de to linier ud fra de oprindelige ligninger finder man

1

1

b

a og

2

2

b

a

Betingelsen D = 01221 baba giver imidlertid at 2

2

1

1

b

a

b

a , hvilket netop udtrykker at de to linier har

samme hldning. Det skal understreges, at man godt kan anvende lige store koefficienters metode, selv om man ikke anvender determinanterne. En anden metode kaldes for substitutionsmetoden. Ved denne metode, isolerer man x eller y af den ene ligning og indstter i den anden, som derefter er en frstegradsligning. Vi viser de tre metoder ved t og samme eksempel: Eksempel Ls ligningerne

258

3813

yx

yx


1. Substitutionsmetoden:

5031

38331813

502524825831

3128

2)(58258

3813

831

81

815

865

83

813

83

813

yx

yxyx

yyyxx

xxxx

xxyx

xyyx

2. Lige store koefficienters metode

258

3813

yx

yx

Vi vlger at eliminere y. Vi kan s gange den frste ligning med 5 og den anden med 8 og trkke den ene ligning fra den anden. Hvis man vil undg at lave fejl ved subtraktionen, s er det mere sikkert at gange den frste ligning med +5 og den anden med -8 og lgge ligningerne sammen.

)258(8

)3813(5

yx

yx

164064

154065

yx

yx 5031 yx

y = -50 er fundet ved at indstte x = 31 i en af de oprindelige ligninger. 3. Determinantmetoden

258

3813

yx

yx

Ligningssystemets determinant er 18851358

813D

Ligningssystemet har derfor netop 1 lsning, som opskrives:

311

52

83

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x 501

28

313

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

Hvilke af de 3 metoder, man vlger afhnger af flere ting. Hvis x eller y str alene i en af ligningerne er det nok lettes at anvende substitutionsmetoden. I almindelighed er det hurtigst og lettest at anvende lige store koefficienters metode og hvis man vil undg brkregning (og det vil man), er det lettes at gange ligningerne igennem med et tal, s der kun optrder hele tal, og s anvende determinantmetoden. Nr denne metode alligevel sjldent anvendes, er det fordi det ikke altid er lige let at huske formlerne for determinantmetoden.


6. Afstand fra punkt til linie Vi vil sge, at bestemme en formel for afstanden fra et punkt P (x1,y1) til linien l med ligningen ax + by + c =0. Det mest oplagte, ville vre at bestemme ligningen for den linie, der er vinkelret p l og som gr gennem punktet P. l har hldningen b

a , s ligningen for den ortogonale linie er (y y1) = )( 1xxab .

Hvis man bestemmer skringspunktet mellem de to linier, kan man til slut finde afstanden mellem skringspunktet og (x1,y1) med afstandsformlen. Dette vil ogs fungere udmrket (om end lidt besvrligt) med et taleksempel, men det frer til uoverskuelige udregninger i det generelle tilflde. Vi vlger derfor en anden metode, hvor vi betragter to ensvinklede trekanter For at simplificere regningerne, vil vi skrive liniens ligning, ax + by + c =0 som man gjorde tidligere, hvis linien ikke er parallel med y-aksen, s b 0. ax + by + c =0 a

cba xy y = x + q

Her betegner liniens hldningskoefficient og q er stykket linien afskrer af y-aksen.

d =dist(P,l) = |PQ|, er det stykke vi nsker at bestemme. Som det fremgr af figuren er den lille trekant ensvinklet med trekant PQR. Begge trekanter er retvinklede og de har begge en lodret linie, der skrer l under samme vinkel. Den lille trekant har

kateterne 1 og || (iflge definition af hldningskoefficient) og dermed hypotenusen 21 . Vi kan nu se:


21

||

1

PRd

Det akseparallelle stykke |PR| = |y1 y| , men da y ligger p linien, svarende til x1 er y = x1 q. Vi fr sledes: |PR| = |y1 x1 q | , som indsat ovenfor giver den nskede formel:

2

11

1),(

qxylPdistd

Denne formel, kan anvendes, som den er, men den bliver mere enkel, hvis vi indstter som b

a og x1 + q som b

cba x 1 .

22

11

2

11

2

11

2

11 ||

)(1)(11),(

ab

caxby

b

xybxyqxylPdistd

ba

bc

ba

ba

bc

ba

Efter ombytning af leddenes rkkeflge fr man: Formlen for afstanden mellem punktet P (x1,y1) og linien med ligningen ax + by + c = 0

22

11 ||),(ba

cbyaxlPdistd

Eksempel Bestem afstanden fra (-5,7) til linien med ligningen 3x 4y + 5 = 0. Det er blot, at indstte punktets koordinater i liniens ligning.

5

38

)4(3

|574)5(3|||),(

2222

11

ba

cbyaxlPdist

Eksempel Vi vil bestemme arealet af en trekant givet ved vinkelspidserne A(a1, a2), B(b1, b2) og C(c1, c2). Arealet udregnes som T = hg (en halv hjde gange grundlinie). Vi vlger hjden fra C. Grundlinien er da |AB|, som beregnes med

afstandsformlen: 2222

11 )()( ababAB . Hjden hc bestemmes som afstanden fra C til linien gennem A og B.

Denne linie har ligningen: 0))(()( 122112111

222

axababayax

ab

abay

2

222

11

11221122

)()(

))((

abab

acababachc

Herefter kan vi opskrive en formel for trekantens areal

222

2112

222

11

1122112221 )()(

)()(

|))((|

2

1abab

abab

acababacABhT c


|))((| 1122112221 acababacT Formlen er mere overskuelig, hvis den opskrives som en determinant.

||2222

111121

acab

acabT

Vi skal senere vise denne formel p en mere enkel mde ved vektorregning. Eksempel Bestem arealet af trekanten med vinkelspidserne: A(-3,-4) , B(4,2) og C(-1,8). Man kan selvflgelig gennemfr de samme regninger som ovenfor, men det er lettere at indstte i formlen:

36|26127||126

27||

)4(8)4(2

)3(1)3(4||| 2

121

21

2222

111121

acab

acabT

7. Cirklens ligning Hvis man opskriver en ligning, der indeholder x og y, s svarer det til en punktmngde i en plan, der er forsynet med et koordinatsystem. Vi anfrer (de to sidste uden bevis) {(x,y) | 2x-3y 5=0} er en ret linie med hldning 3

2 som afskrer stykket - 35 p y-aksen.

{(x,y) | x2 + y2 = 9} er en cirkel med centrum i (0, 0) og radius 3

{(x,y) | xyx 0 } er en parabelgren. Udtrykkene

2x-3y 5=0, x2 + y2 = 9 og xyx 0 kaldes for ligningerne for de pgldende punktmngder. Forelbig har vi kun udledt et udtryk for liniens ligning, og vi fortstter med at udlede et udtryk for cirklens ligning. Lad cirklen have centrum C(a,b) og radius r.

Vi kan nu indse, at P ligger p cirklen c, hvi

elementÃ¦r matematik algebra analytisk geometri …7do rj uhjqlqj phg wdo )ru pxowlsolndwlrq rj...

Documents