ELETTROSTATICA

LA CARICA ELETTRICA

I fenomeni elettrici sono stati osservati fin dall’antichità (basti pensare a lampi e fulmini) ma solo a partire dal ventesimo secolo l’elettricità è diventata strumento fondamentale della nostra esistenza quotidiana. Alla base di tutti i fenomeni elettrici c’è una proprietà della materia detta CARICA ELETTRICA (Q). A differenza di altre proprietà della materia (la massa, il volume, eccetera) la carica elettrica non è immediatamente percepita dai nostri sensi, ma la presenza di elettricità si può rendere evidente per esempio strofinando una penna, e vedendo come questa attrae pezzettini di carta

L’ambra (in greco “elektron”)

L’ambra è una resina fossile, prodotta in diverse epoche geologiche da 130 a 8 milioni di anni fa da vari tipi di piante: pini, larici, abeti, sequoie; per strofinamento, acquista la proprietà di attrarre piccoli corpi leggeri

In Grecia, fenomeni elettrici e magnetici (esperimenti con ambra e magnetite) erano già noti nel 700 AC. Si veda ad esempio, nel Dialogo di Platone (360 AC):“Si spiegano così lo scorrere delle acque, la caduta dei fulmini, e la meravigliosa forza d'attrazione dell’ambra e della calamita: in nessuno di tutti questi oggetti vi è la forza attraente, ma poiché il vuoto non c’è, questi corpi si respingono in giro l'uno con l'altro, e separandosi e congiungendosi, cambiano di posto, e vanno ciascuno nella propria sede. Dall’intrecciarsi di queste influenze reciproche si sono operati tutti quei prodigi, come sembrerà a chi sappia indagare bene.”

CARICHE POSITIVE E NEGATIVELa carica elettrica è una proprietà che presenta due facce, proprio come una moneta; queste due facce vengono convenzionalmente chiamate CARICA ELETTRICA POSITIVA E NEGATIVA. In relazione a questo consideriamo una semplice esperienza:

se due bacchette di plastica appese a un filo vengono strofinate con un panno di lana esse si respingono reciprocamente.

se le due bacchette sono una di plastica e l’altra di vetro, esse si attraggono

Dunque se i due materiali sono gli stessi, le cariche sviluppate per strofinio sono uguali; ne segue che cariche uguali si respingono; al contrario, le cariche elettriche su vetro e plastica si attraggono, dunque si deve concludere che le rispettive cariche abbiano segno opposto

Neutralità dei corpi La carica elettrica è presente in tutti i corpi: sono tutti fatti da atomi e molecole, a loro volta costituiti da particelle cariche. Perché allora gli effetti delle cariche elettriche non si manifestano sempre ? La ragione è che normalmente, la materia è NEUTRA, ovvero contiene una quantità uguale di cariche positive e negative, e l’effetto combinato delle cariche opposte è nullo, ovvero le cariche opposte si COMPENSANO gli atomi sono tipicamente neutri, ovvero contengono lo stesso numero di elettroni e protoni; nei solidi ionici anioni e cationi si compensano. In alcune situazioni (per esempio quando strofiniamo la bacchetta) si generano cariche addizionali che alterano la neutralità elettrica, e fanno prevalere un tipo di carica rispetto all’altro

La tendenza naturale dei corpi è quella di mantenersi elettricamente neutri, e se elettrizzati, di scaricarsi e tornare allo stato neutro: Ad esempio, le nuvole quando sono cariche di elettricità la scaricano mediante i fulmini; quando prendiamo la scossa toccando l’auto, non facciamo altro che scaricare elettricità a terra. La scarica è sempre volta a ripristinare la situazione di elettroneutralità

ElettrizzazioneNormalmente la materia è neutra: essa contiene lo stesso numero di cariche positive e negative, distribuite omogeneamente nello spazio.Definiamo ELETTRIZZAZIONE lo sbilanciamento delle cariche positive e negative, ovvero la presenza di carica elettrica non compensata nella materia. Per elettrizzare la materia possiamo:✓ estrarre elettroni, estrarre anioni, aggiungere cationi la materia si

carica positivamente✓ aggiungere elettroni, aggiungere anioni, estrarre cationi la

materia si carica negativamente✓ trasferire elettroni da una regione all’altra o separare anioni e

cationi in due regioni distinte del materiale il materiale si polarizza

✓ La moderna nanotecnologia dei materiali ci permette di intrappolare e manipolare la carica elettrica in regioni microscopiche di spazio

✓ L’elettrizzazione artificiale della materia a livello microscopico è alla base di tutti i dispositivi elettronici (TRANSISTOR, LED, MICROPROCESSORI) sui quali si fonda il nostro mondo teconlogico

-e-e

Elettrizzazione per sfregamentoIl metodo più semplice per elettrizzare un corpo è per sfregamento. Gli elettroni appartenenti a orbite più distanti dal nucleo sono poco legati e per strofinamento possono essere estratti o aggiunti all’atomo, in modo da indurre la materia a diventare elettricamente carica.Con lo strofinamento non c'e creazione o distruzione di carica; lo strofinamento provoca il trasferimento di carica dal materiale che si carica positivamente (bacchetta di vetro) a quello che si carica negativamente (panno di seta)

-e+

Bacchetta di vetro Panno di seta

_

Conduttori e isolanti elettrici Possiamo elettrizzare per strofinio plastica e vetro Se strofiniamo una bacchetta di metallo, vediamo che non viene elettrizzata Se però impugniamo la bacchetta di metallo con un guanto di plastica, allora la bacchetta si elettrizza Se si tocca la bacchetta con un dito questa perde immediatamente la sua carica elettrica. Cosa succede?

Conduttori e isolanti elettriciTra le sostanze allo stato solido, distinguiamo nettamente due tipologie: Isolanti: negli isolanti elettroni o ioni non sono mobili, per cui la carica indotta dallo strofinamento resta localizzata nello spazio, dunque si mantiene per un po’, almeno fino a quando non trova un modo per scaricarsi fuggendo dal materiale Conduttori (metalli): caratterizzati dagli elettroni di conduzione, liberi di muoversi attraverso il materiale. Proviamo ad elettrizzare una bacchetta di metallo: ✓ Se lo strofinamento in un punto della bacchetta aggiunge altri elettronialla gelatina elettronica, essi fuggono via attraverso la mano che impugna la bacchetta in modo da ristabilire la neutralità del materiale✓ Se lo strofinamento sottrae elettroni in un punto della bacchetta, in quel punto si genera una carica netta positiva; in questo caso gli elettroni di conduzione accorrono in quel punto in modo da neutralizzare la carica aggiuntiva Dunque nei metalli la mobilità delle cariche permette di neutralizzare la carica aggiuntiva indotta dalla strofinamento, a meno di non tenere in mano la bacchetta con un guanto isolante: in tal caso le cariche indotte nella bacchetta non possono fuggire attraverso la mano, e restano intrappolata nella bacchetta

Conduttori e isolanti elettriciPer quanto riguarda la conducibilità elettrica, le sostanze si dividono in due grandi classi:✓ ISOLANTI ELETTRICI: materiali che per strofinio si elettrizzano e mantengono per qualche tempo la carica elettrica; sono isolanti plastica, vetro, ceramica, legno, i solidi covalenti o ionici in generale (ad esempio il diamante), l’acqua pura (anche detta distillata o deionizzata)

✓ CONDUTTORI ELETTRICI: materiali che in alcune situazioni si elettrizzano ma non sono in grado di mantenere la carica; sono buoni conduttori in generale tutti i metalli (ad esempio il rame utilizzato per i circuiti elettrici), ed alcuni liquidi (ad esempio l’acqua non distillata).

Conduttori liquidi e gassosi✓ Nei conduttori solidi (metalli) le cariche elettriche mobili che generano

la corrente elettrica sono gli elettroni di conduzione✓ Anche liquidi e gas possono condurre elettricità se sono IONICI,

ovvero formati da ioni o molecole cariche✓ L’acqua allo stato puro è un liquido isolante, poiché formato da

molecole H2O neutre; ma allo stato naturale essa contiene sempre disciolta una grande quantità di sostanze ioniche come sali o acidi, i quali rendono l’acqua conduttore elettrico.

✓ Un composto ionico sciolto in soluzione acquosa si dice anche soluzione elettrolitica. Per esempio, se sciogliamo in acqua sale da cucina (NaCl), cationi Na+ ed anioni Cl- si separano e sotto l’azione di un campo elettrico si muovono verso i poli opposti del generatore, trasportando corrente. Se inseriamo la soluzione in un circuito, osserviamo un passaggio di corrente

Anche il nostro corpo, composto per il 70% da acqua in cui sono disciolti diversi sali, è una soluzione elettrolitica. Il corpo umano è quindi un buon conduttore elettrico; se la corrente elettrica lo attraversa, a seconda della sua intensità e della sua durata, può provocare danni anche molto gravi, fino all’arresto cardiaco.

Trasferimento di carica nei conduttori per contatto

✓ Sia C una sferetta conduttrice in cui abbiamo introdotto carica positiva; se isolata nello spazio la sfera rimane carica, poiché la carica non può fuggire dalla sfera attraverso l’aria (l’aria è isolante)

✓ Portiamo la sfera a contatto con un’altra sfere neutra N: parte delle cariche positive si muovono da C ad N, ridistribuendosi tra le due sferette. Perché?

✓ Le cariche positive si respingono e dunque cercano di distribuirsi il più lontano possibile tra loro. Essendo conduttori, le cariche possono muoversi, e dunque trasmigrano da una sferetta all’altra

✓ Se infine separiamo le sferette, ognuna conserva la propria carica

Per elettrizzare una sferetta di metallo basta metterla a contatto con un’altra già elettrizzata; ovviamente si deve evitare di toccarla con la mano nuda o con un altro corpo conduttore che faccia fuggire via la carica

Separazione di carica nei conduttori per induzione elettrica

✓ Siano A e B due sferette neutre conduttive a contatto, e C una bacchetta carica (+).

✓ Se avviciniamo la bacchetta alle sferette, cariche (-) appaiono sul bordo della sferetta A vicino alla bacchetta, e un numero esattamente uguale di cariche (+) sul bordo più lontano della sferetta B. Perché?

✓ Anche in assenza di contatto, per INDUZIONE ELETTRICA, le cariche della bacchetta attraggono il più vicino possibile le cariche opposte, e respingono il più lontano possibile cariche uguali (essendo conduttori le cariche possono muoversi)

✓ Se allontaniamo le sfere B ed A, esse mantengono le rispettive cariche.✓ Se però allontaniamo anche la bacchetta, le cariche opposte su A e B si

attraggono e dunque si spostano per avvicinarsi il più possibile✓ Se infine allontaniamo le sferette, le cariche su ciascuna di esse si

distribuiscono radialmente, in modo da essere più lontane possibile tra loro

Induzione di carica nei conduttori: l’elettroscopio a foglie

L’elettroscopio è essenzialmente una bottiglia di vetro; nel collo e inserito un supporto metallico che nella parte interna termina con due sottili lamine d’oro. Quando si avvicina al pomello un corpo elettrizzato (per esempio una bacchetta), le lamine si divaricano. Cosa succede?

La bacchetta è elettricamente carica (-) e avvicinandosi al pomello, per induzione elettromagnetica induce una forza attrattiva verso le cariche di segno opposto (+), e repulsiva verso le cariche dello stesso segno di quelle della bacchetta (-). Dunque le cariche negative si accumulano sulle foglioline d’oro che, essendo sottili, si divaricano a causa della repulsione tra le cariche (-)

Legge di Coulomb

Date due cariche q1 e q2, esse si attraggono o si respingono con una forza che è direttamente proporzionale alle rispettive cariche, ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza In entrambe i casi, le forze applicate sulle cariche sono uguali in modulo e direzione ma opposte in verso: come la forza di gravitazione universale, anche la forza di Coulomb rispetta il 3° principio della dinamica

rR

qqkF ˆ

2

21

Lo scienziato francese Charles Augustin de Coulomb (1736-1806)

condusse numerosi esperimenti per stabilire la relazione tra le cariche elettriche e le forze che si manifestano tra di esse Il risultato fu una relazione matematica tra le più celebri e importanti della storia della Scienza, che si chiama LEGGE DI COULOMB:

è un vettore di modulo 1 (detto versore) che indica direzione e verso della forza

La costante di forza Coulombiana

21

2

qq

RFk

k è una costante universale detta costante di forza Coulombiana o costante di forza elettrostatica, e corrisponde alla forza che si esercita tra due cariche unitarie poste a distanza unitaria Nel Sistema Internazionale la carica elettrica si misura in Coulomb (C); nei suoi esperimenti, Coulomb verificò che due cariche, ciascuna di 1 C collocate nel vuoto alla distanza di 1 m, si attraggono con una forza F di intensità uguale a 9109 N. Dunque:

2

29109

C

mNk

1 Coulomb è una carica elettrica piuttosto grande; ricordiamo che la carica elementare e=1.610-19 C; dunque in 1 Coulomb vi sono circa 1019 elettroni o anioni (se negativa) oppure 1019 cationi (se positiva)

Analogie tra forza di Coulomb e forza gravitazionale

✓ Entrambe dirette lungo la congiungente tra i due corpi✓ Entrambe proporzionali alle due cariche / alle due masse✓ Entrambe inversamente proporzionali al quadrato della loro

distanza: la forza tra le cariche diminuisce rapidamente con l’aumentare della distanza; ad esempio se la distanza raddoppia, la forza si riduce ad 1/4 del valore precedente; se la distanza triplica, la forza diventa 1/9

2

21

R

qqkF 2

21

R

MMGF

Una penna di plastica elettrizzata attrae visibilmente una pallina di carta stagnola posta vicino a essa, mentre l’attrazione scompare se la pallina dista oltre 10 cm

Differenze tra forza di Coulomb e forza gravitazionale

2

21

R

qqkF 2

21

R

MMGF

✓ Le masse sono sempre POSITIVE, e la forza gravitazionale sempre ATTRATTIVA; le cariche elettriche sono POSITIVE o NEGATIVE, e la forza di Coulomb è REPULSIVA se le cariche hanno stesso segno, o ATTRATTIVA per cariche di segno opposto

✓ A parità di quantità di materia, k è enormemente più grande di G; ne segue che le forze elettriche sono enormemente più intense di quelle gravitazionali

La penna elettrizzata per strofinio solleva facilmente pezzetti di carta dal tavolo: ciò significa che la forza elettrica esercitata dalle cariche nella penna è più forte dell’attrazione gravitazionale esercitata dalla massa terrestre MT = 6×1024 Kg !! il fatto che vinca la penna fa supporre che la forza elettrica sia in generale molto più intensa di quella gravitazionale.

Differenza tra k e G

Nm

Kg

Kg

mNF 9

22

2

2

211 107.6

10

1107.6

Esempio pratico: quando strofiniamo una bacchetta di plastica sul panno, generiamo sulla bacchetta una carica negativa di circa q1=-110-6 C; su una bacchetta di vetro si genera una carica positiva q2=110-6 C. Supponiamo le due bacchette a distanza di 10 cm, e calcoliamo l’intensità della forza elettrica di attrazione tra le due bacchette:

Nm

C

C

mNF 9.0

10

10109

22

212

2

29

Supponiamo che le bacchette pesino ciascuna 1 Kg; calcoliamo la forza di attrazione gravitazionale tra le bacchette poste a distanza di 10 cm:

La forza di Coulomb è incommensurabilmente più grande di quella gravitazionale

2

29109

C

mNk 2

211107.6

Kg

mNG

Il concetto di campo

2

Ma G

R

✓ Abbiamo visto che la forza gravitazionale di attrazione tra due masse può essere espressa attraverso il concetto di campo di forza: si può pensare che una singola massa M generi un proprio campo gravitazionale,

✓ Il campo gravitazionale altro non è che l’accelerazione generata da M su qualsiasi altra massa eventualmente presente nel campo; in un punto distante R dalla massa M, il campo gravitazionale generato da M è:

Allorquando una seconda massa (chiamiamola m) entra nel campo generato da M, e si posiziona a distanza R dalla massa M, si genera una forza gravitazionale data da:

2

mMF ma G

R

Possiamo sviluppare un argomento del tutto analogo per quanto riguarda la forza elettrica: consideriamo prima il campo di forze generato da una delle due cariche; quando nel campo entra una seconda carica, ecco che una forza elettrica si manifesta tra le due cariche

1) La presenza di una carica Q crea un CAMPO ELETTRICO nello spazio attorno a sé; in un punto distante R dalla posizione di Q, il campo elettrico è:

Il campo elettrico

rR

QkE ˆ

2

EqF

0

rR

QqkF ˆ

2

0

Supponiamo che q0 si posizioni a distanza R da Q; inseriamo nella precedente equazione la formula del campo elettrico: ritroviamo la forza di Coulomb tra Q e q0

la direzione del campo viene indicata con le frecce viola in figura, dette LINEE DI FORZA o LINEE di FLUSSO; finché nessuna carica entra nel campo creato da Q, nessuna forza è generata

2) Una carica q0 entra nel campo generato da Q: sulla particella q0 si genera una forza uguale al prodotto della carica per il campo:

R

La forza di Coulomb è ovviamente la stessa del caso precedente; dunque il principio di azione e reazione vale per la forza, ma NON per il campo elettrico: il campo è proprietà di UNA specifica carica; cariche diverse generano campi diversi; ciò è totalmente analogo al caso della forza gravitazionale: le forze in modulo sono uguali, ma i campi (ovvero le accelerazioni) sono diverse

Il campo elettrico

rR

qkE ˆ

2

0

EQF

q0

Q

F

rR

QqkF ˆ

2

0

Il concetto di campo elettrico vale per entrambe le cariche: è ugualmente legittimo considerare prima il campo elettrico creato da q0:

e poi considerare Q all’interno del campo elettrico generato da q0; la forza esercitata da questo campo sulla carica Q è:

Sostituendo alla formula precedente il valore del campo generato da q0 si ottiene:

Il campo elettrico

F q E

Operativamente, come si definisce e si misura un campo elettrico ? Consideriamo una carica qall’interno di un campo elettrico E generato da una carica Q; la forza F che agisce su q è:

Q

q

F

E

-q

F

q

FE

Dalla formula inversa:

✓ Dunque il campo elettrico può definirsi come rapporto tra forza elettrica agente sulla carica q e la carica stessa, ed equivale anche alla forza esercitata sulla carica unitaria

✓ Dalla formula precedente vediamo che le unità di misura del campo elettrico sono Newton su Coulomb

✓ Campo elettrico e forza elettrica hanno sempre la stessa direzione; la direzione è RADIALE rispetto alla posizione della carica che genera il campo;

✓ Campo elettrico e forza elettrica possono avere verso concorde o discorde: se q è positiva essi sono paralleli e concordi, se q è negativa sono paralleli e discordi (antiparalleli)

Verso delle linee di flusso

La direzione del campo elettrico generato da una carica Q nello spazio circostante, indicata dalle linee di flusso, è sempre radiale; il verso (indicato dalla punta delle frecce) dipende dal segno della carica:✓ Se la carica Q che genera il campo è POSITIVA, il verso delle linee

di flusso è uscente dalla carica✓ Se la carica Q è NEGATIVA, il verso del campo è entrante nella

carica, dunque la punta è rivolta verso la carica

+ -

Riepilogo: campo elettrico

rR

QkE ˆ

2

EqF

FE

q

Il campo elettrico generato da una carica Q in un punto distante R da Q è:

La forza elettrica agente su una carica q interna ad un campo elettrico E è:

Il campo elettrico si ottiene come rapporto tra forza elettrica che agisce sulla carica q e la carica stessa; si può anche dire che il campo elettrico come la forza elettrica esercitata sulla carica unitaria (q =1 C)

N

CL’unità di misura del campo elettrico E è:

Campo elettrico e legge della dinamica

Ove F è la risultante di tutte le forze agenti sulla particella; supponiamo che la particella di massa M abbia carica q; se la particella è all’interno di un campo elettrico E e del campo di gravità terrestre, essa sarà soggetta a 2 forze simultanee:

EF qE gF M g

Per la legge di Newton, una qualsiasi particella di massa M, sottoposta all’azione di una QUALSIASI forza F, subisce un’accelerazione:

Fa

M

La risultante è ovviamente la somma vettoriale di queste due forze:

F qE M g

Dunque essa subirà un’accelerazione complessiva:

qa E g

M

EserciziEsercizio #1: Consideriamo un elettrone libero di muoversi, all’interno di un campo elettrico di moderata intensità E=1000 N/C (ad esempio un campo elettrico che si può ottenere strofinando una bacchetta di plastica); calcoliamo il modulo dell’accelerazione generata sull’elettrone da questo campo:

Quando la particella carica è estremamente leggera, l’accelerazione dovuta al campo elettrico è ENORMEMENTE MAGGIORE dell’accelerazione di gravità terrestre g, la quale si può tranquillamente trascurare

Esercizio #2: Consideriamo un anione Cl- all’interno di un debole campo elettrico d’intensità E=1 N/C; sapendo che la sua massa è uguale a 60.2×10-27 Kg, calcolare l’accelerazione generata dal campo elettrico:

Anche in questo caso l’accelerazione di gravità terrestre è totalmente trascurabile; poiché la carica è sempre trasportata da particelle molto leggere, l’accelerazione dovuta al campo elettrico è predominante

193 14

31 2

1.6 1010 1.75 10

9.1 10

e

e

q C N ma E

m Kg C s

196

27 2

1.6 101 2.7 10

60.2 10

e

Cl

q C N ma E

M Kg C s

Campo elettrico dovuto ad un insieme di cariche

21 EEE

Finora abbiamo considerato il campo elettrico generato da una sola carica puntiforme. Ma nei casi più comuni abbiamo sempre a che fare con una moltitudine di cariche (o per meglio dire una distribuzione di carica), ciascuna delle quali genera un proprio campo. Come determinare il campo generato da tante cariche presenti simultaneamente? Il campo elettrico è un vettore, ed il campo totale è la somma vettoriale (risultante) dei campi di ciascuna carica. Ad esempio, per 2 cariche Q1 (positiva) e Q2 (negativa):

NEEEEEE

...4321Per un insieme di N cariche:

Campi elettrici tipici

✓ All’interno dell’atomo, vicino al nucleo i campi elettrici sono enormi, ma decadono rapidamente col quadrato della distanza;

✓ All’esterno dell’atomo NEUTRO il campo elettrico è compensato dalla carica opposta di protoni ed elettroni.

✓ Campi di 5103 N/C a 30 cm di distanza dagli elettrodomestici sono il limite di legge; valori superiori sono potenzialmente dannosi per la salute

Apparecchio campo elettrico (N/C)

Impianto Stereo 180

Ferro da stiro 120

Frigorifero 120

Frullatore 100

Tostapane 80

Asciugacapelli 80

TV a colori 60

Aspirapolvere 50

Forno elettrico 8

Lampadina 5

valori dei campi elettrici rilevati a 30 cm di distanza dagli elettrodomestici

Doppio strato di carica, o condensatore

Il doppio strato di carica, anche detto condensatore a piatti piani paralleli, ha enorme importanza tecnologica, ed è onnipresente in circuiti elettrici e dispositivi elettronici Il condensatore è costituito da 2 piani paralleli (detti anche piatti o armature) di materiale conduttore, su cui viene distribuita una carica elettrica uniforme; l’area A dei piatti è molto grande rispetto alla distanza d tra i piatti La carica Q su ciascuno dei piatti è uguale in modulo ma di segno opposto; essendo i piatti conduttori, le cariche si distribuiscono sulle superfici dei piatti

L’importanza del condensatore risiede in 2 aspetti:✓ Esso genera in qualsiasi punto dello spazio compreso tra i piatti un campo

elettrico uniforme, dunque molto più semplice e utile del campo radiale generato da una carica singola o da una sfera carica

✓ Il condensatore è in grado di immagazzinare e restituire molto rapidamente l’energia elettrica; questo lo rende molto utile in applicazioni che richiedono molta potenza, ovvero energia erogata in breve tempo

Q Q

d

A

Campo elettrico nel condensatore

✓ Il campo elettrico del condensatore è uniforme in qualsiasi punto dello spazio compreso tra i piatti, e nullo all’esterno dei piatti

✓ Le linee di campo (frecce rosse in figura) indicano direzione e verso del campo: sono rette parallele tra loro e perpendicolari ai piatti

✓ Come per la carica puntiforme, il verso del campo elettrico è uscente dalle cariche positive ed entrante in quelle negative

✓ Sia A l’area dei piatti, e Q la carica su ciascun piatto; il campo elettrico nel condensatore è proporzionale alla carica sui piatti (diamo il risultato senza dimostrazione):

+q -q

E

Q Q

+++++

-----

Q/A, ovvero la carica per unità di superficie, si dice anche densità di carica planare, e si indica con la lettera greca s (sigma)

4Q

E kA

Dunque, il campo elettrico del condensatore è anche proporzionale alla densità di carica planare

4E k s

Lavoro del campo elettrico

Consideriamo una carica q posta tra i piatti del condensatore; essendo il campo uniforme, q è sottoposta ad una forza uniforme:

EqF

Em

q

m

Fa

Se m è la massa della carica q, essa subirà un’accelerazione:

q

EqF

+

- -q

+q -q

+++++

-----

E

EqF

Se q è positiva (pallina gialla) forza, accelerazione, e campo hanno stesso verso, dunque q è accelerata verso il piatto negativo; per q negativa (pallina blu) forza e accelerazione saranno dirette in verso opposto al campo, dunque verso il piatto positivo; il lavoro compiuto dal campo per spostare di s la carica q è:

s

s

L F s q E s

Indipendentemente dal segno di q, forza e spostamento sono sempre paralleli e concordi, per cui il lavoro del campo elettrico è positivo; si noti che la formula precedente vale non soltanto per il condensatore, ma in tutti i casi in cui il campo elettrico è uniforme nello spazio

Differenza di potenziale

A B

LV V V

q

✓ dunque, nel caso di campo elettrico uniforme e parallelo allo spostamento, la d.d.p. tra due punti è uguale la prodotto del campo elettrico per la distanza tra i punti;

✓ analogamente, la d.d.p. tra i piatti del condensatore, ovvero il lavoro necessario a spostare la carica unitaria da un piatto all’altro, è data da:

Consideriamo due punti A e B nel condensatore; sia S la loro distanza; si dice differenza di potenziale d.d.p. (anche detta caduta di potenziale, o tensione) tra i punti A e B il lavoro del campo elettrico necessario a muovere la carica unitaria da A a B:

dEV

q+A

+++++

-----

S

E

B

d

A B

L F SV V V E S E S

q q

Questa relazione è valida in generale, per qualsiasi campo elettrico; nel condensatore, supponendo lo spostamento parallelo al campo:

Differenza di energia potenziale

UV

q

q+A

+++++

-----

S

E

B

Da cui si vede che:

A BL U U U q E s

✓ Dunque differenza di energia potenziale e differenza di potenziale sono grandezze simili: la prima rappresenta il lavoro compiuto dal campo su una specifica carica q, la seconda il lavoro sulla carica unitaria

✓ Per q positiva il lavoro massimo consiste nel portare q allo zero del potenziale (UB=0), ovvero sul piatto negativo; dunque se S1 è la distanza di q dal piatto negativo, energia potenziale e potenziale in A sono:

In analogia con quanto visto per la forza di gravità, sappiamo che il lavoro compiuto dal campo elettrico per spostare una carica q da A a B equivale alla differenza di energia potenziale tra i due punti:

q

2S

+

--q

++++

----

1S

A B

AB

1 1A AU q E S V E S

✓ Per q negativa lo zero del potenziale è sul piatto positivo; dunque, se S1 è la distanza della carica dal piatto positivo:

2 2A AU q E S V E S

Capacità del condensatorePer il condensatore a piatti piani paralleli valgono le seguenti espressioni:

V

QC

d

A

Q

Q

V

VCQ

La capacità si misura in Farad (F), in onore di Michael Faraday, uno dei padri dell’elettromagnetismo; 1 F è la capacità di un condensatore avente sui piatti carica unitaria e tra i piatti V = 1 V; poiché C ha un valore noto, fissato dalle caratteristiche strutturali del condensatore, conoscendo una tra Q e Vpossiamo facilmente calcolare l’altra

Dunque il rapporto tra la carica e la d.d.p. tra i piatti è una quantità che dipende soltanto dalle caratteristiche geometriche del condensatore;essa è detta CAPACITA’ (si indica con C):

4Q

E kA

dEV

1

4

Q A

V k d

Combinando queste due espressioni:

✓ Esiste una notevole analogia tra il campo elettrico del condensatore ed il campo gravitazionale terrestre: per entrambi il campo è uniforme nello spazio

✓ Inoltre lavoro ed energia potenziale hanno espressioni simili: basta scambiare la massa con la carica, la quota con la distanza dal piatto, l’accelerazione di gravità col campo elettrico

✓ Possiamo anche definire un potenziale gravitazionale V come energia potenziale della massa unitaria: si ottiene V=U/M=gh, analogo al potenziale elettrico

✓ Si noti che per q<0 i piatti + e - vanno scambiati, poiché le cariche negative ‘precipitano’ sul piatto positivo

✓ Come il campo gravitazionale, anche il campo elettrico è conservativo, dunque mentre precipita verso il piatto, la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale della carica q deve conservarsi

Similitudine col campo di gravità terrestre

h

0q L U qEh

UV E h

q

L U Mgh

UV g h

M

Unità di misura

L J N mV V

q C C

La differenza di potenziale ha le dimensioni fisiche di lavoro su carica, per cui si misura in Joule su Coulomb, ovvero in Volt (V)

Ne deriva che il campo elettrico può misurarsi indifferentemente in N/C oppure in V/m

N V

C m

Il volt è ovviamente in onore di Alessandro Volta, che realizzò la prima pila, un dispositivo in grado di generare una differenza di potenziale tra polo positivo e polo negativo costante nel tempo

Dalla definizione di Volt si vede anche che vale la relazione:

EsercizioConsideriamo un condensatore con piatti di area A=25 cm2

distanti d =1 cm; sui piatti è presente una carica Q=10-6 C; calcolare campo elettrico e d.d.p. tra i piatti d

A

Q

Q

V

La densità di carica planare è:

6 62 4

2 4 2 2 2

10 100.04 10 4 10

25 25 10

Q C C C C

A cm m m ms

Il campo elettrico è:2

9 4 5 7

2 24 4 9 10 4 10 452 10 4.5 10

m C N NE k N

C m C C s

La d.d.p. tra i piatti è:

7 5 54.5 10 1 4.5 10 4.5 10N N m

V E d cm VC C

Notiamo che la carica Q=110-6 C distribuita su una piccola superficie sia in grado di generare un campo elettrico e una d.d.p. molto elevati !!

EsercizioSupponiamo di porre un elettrone (q=1.6×10-19 C) all’interno del condensatore, sul piatto negativo; calcoliamo il lavoro del campo elettrico necessario a spostare l’elettrone dal piatto negativo a quello positivo

d

A

Q

Q

V

Qual’è l’energia potenziale elettrostatica dell’elettrone quando questo si trova a metà tra i due piatti ?L’energia potenziale è il lavoro massimo che il campo può compiere sulla carica; ovvero il lavoro che il campo compie per spostare l’elettrone dal punto in cui si trova fino al piatto positivo

19 5 141.6 10 4.5 10 7.2 10L q E d q V C V J

143.6 102 2

d LU q E J

Una volta giunto sulla superficie del piatto positivo, l’elettrone è ad energia potenziale zero (U=0), poiché chiaramente il campo non può spostarlo ulteriormente

Il condensatore nei circuiti elettrici✓ Un condensatore non connesso ad un circuito tipicamente è scarico,

ovvero privo di carica sui piatti; in assenza di carica, il campo interno al condensatore è nullo

✓ Per caricare il condensatore lo si connette mediante fili conduttori ai poli di una alla batteria; quando il circuito è chiuso, il piatto connesso al polo positivo della batteria si carica di una certa quantità Q positiva, ed il piatto connesso al polo negativo di una stessa quantità -Q negativa

✓ Una volta carico, tra i piatti si stabilisce un campo elettrico uniforme ed una d.d.p. V uguale a quella presente ai poli della batteria

✓ Finché il condensatore è connesso con la batteria, la d.d.p. ai piatti del condensatore rimane fissata al valore della d.d.p. della batteria; tra i piatti si genera quindi un campo elettrico uniforme:

VE

d

d

Q

Q

VCQ

✓ Conoscendo la capacità determiniamo la carica:

Energia immagazzinata nel condensatore✓ Una qualità importante del condensatore è quella di potersi caricare e

scaricare molto rapidamente✓ Per caricare un condensatore, la batteria deve compiere lavoro;

l’energia (potenziale) immagazzinata nel condensatore corrisponde allavoro totale compiuto dalla batteria per caricare i piatti del condensatore, in modo da generare tra i piani una d.d.p. V uguale alla d.d.p. della batteria

21

2U C V

✓ Con la stessa rapidità con cui viene immagazzinata, questa energia viene restituita al circuito durante la fase di scarica del condensatore

✓ Dunque la capacità quantifica l’energia che, per un dato V, può essere immagazzinata nel condensatore; maggiore è la capacità del condensatore, maggiore l’energia immagazzinata

Se C è la capacità del condensatore, l’energia immagazzinata è (diamo il risultato senza dimostrazione):

d

Q

Q

Il defibrillatore Il defibrillatore è essenzialmente un condensatore connesso con una batteria; la batteria carica il condensatore con una ddp molto elevata, immagazzinando una grande quantità di energia in meno di un minuto Una volta carico, gli elettrodi vengono applicati sul petto del paziente ed il circuito viene chiuso mediante un interruttore Alla chiusura del circuito, l’energia del condensatore si scarica producendo una corrente che fluisce da una piastra all’altra attraverso il corpo umano, che come sappiamo è un buon conduttore elettrico.

Esercizio: un condensatore da C=70 mF può essere caricato fino a V=5000 V; calcolare l’energia immagazzinata:

2 6 2 21 170 25 10 8.75 10 875

2 2E C V F V J Jm

Calcolare la potenza (energia per unità di tempo) scaricata nel tempo di un millisecondo sul corpo del paziente:

kWs

J

t

EP 875

10

8753