elg3575
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ELG3575. 4. Propriétés des signaux d’énergie et de puissance et transformée de Hilbert. Signaux d’énergie. Si x ( t ) est un signal d’énergie avec énergie moyenne normalisée E x : y ( t ) = x ( t )× Ae -j2 p fot est aussi un signal d’énergie avec E y = A 2 E x ; - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
ELG3575
4. Propriétés des signaux à énergie et à puissance et la
transformée de Hilbert
Signaux à énergie
• Si x(t) est un signal à énergie avec énergie moyenne normalisée Ex :
– y(t) = x(t)×Ae-j2fot est aussi un signal à énergie avec Ey = A2Ex ;
– z(t) = x(t)×Acos2fot est aussi un signal à énergie avec Ez = (A2/2)Ex ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t))
• Y(f) = AX(f-fo). Donc Gy(f) = |Y(f)|2 = |AX(f-fo)|2 = A2Gx(f-fo). Ey est donnée par :
dfffGAE oxy )(2
Signaux à énergie
• Remplaçons f-fo par f’ et on obtient :
• Pour z(t) = x(t)×Acos2fot , il faut noter que z(t) peut être exprimé par:
xxy EAfdfGAE 22 )(
tfjAtfjA oo etxetxtz 22
22
)()()(
Signaux à puissance
• De la même façon, nous pouvons démontrer que si x(t) est un signal à puissance ave puissance moyenne normalisée Px :
– y(t) = Ax(t)e-j2fot est aussi un signal à puissance avec Py = A2Px ;
– z(t) = x(t)×Acos2fot est aussi un signal à puissance avec Pz = (A2/2)Px ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).
Symétrie de la fonction d’autocorrélation
• Si x(t) est un signal à valeur réelle, sa fonction d’autocorrélation est une fonction paire.
• Supposons que x(t) est un signal à énergie et que x(t) = x*(t), x(-) est donnée par :
• Remplaçons t- par t’ et on obtient :
• De la même façon nous pouvons démontrer que Rx() = Rx(-) si x(t) est un signal à valeur réelle.
dttxtxx )()()( *
)(')'()'(')'()'()( * xx dttxtxdttxtx
Symétrie de la densité spectrale
• Si x(t) est un signal à valeur réelle, sa densité spectrale est une fonction paire. – Nous savons que sa fonction d’autocorrélation est une
fonction paire. – Sa densité spectrale est la transformée de Fourier de la
fonction d’autocorrélation. – La transformée de Fourier d’une fonction paire est toujours
une fonction à valeur réelle paire.
Symétrie de la densité spectrale
• Supposons que x(t) est un signal à puissance réel avec fonction d’autocorrélation Rx().
• Sa densité spectrale de puissance est :
• Remplaçons par -u et on obtient
deRfS fjxX
2)()(
deRfS fjxx
)(2)()(
dueuRfS ufjxx
))((2)()( )()( ))((2 fSdueuR xufj
x
Multiplication par cos(2fot)
• Supposons que x(t) est un signal à énergie et que y(t) = Ax(t)cos(2fot) (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).
• La fonction d’autocorrélation de y(t) est :
dttftftxtxA ooy ))(2cos()2cos()()()( *2
dttftxtxA
dtftxtxA
oo ))2(2cos()()(2
)2cos()()(2
*2
*2
)2cos()(2
)()()2cos(2
2*
2
oxo fA
dttxtxfA
Multiplication par cos(2fot)
• Similairement, si x(t) est un signal à puissance, la fonction d’autocorrélation de y(t) = Ax(t)cos(2fot) est :
• (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).
• Alors Gy(f) = (A2/4)Gx(f-fo)+(A2/4)Gx(f+fo) si x(t) est un signal d’énergie et Sy(f)= (A2/4)Sx(f-fo)+(A2/4)Sx(f+fo) si x(t) est un signal de puissance.
)2cos()(2
)(2
oxy fRA
R
Réseaux transformateurs de phase et la transformée de Hilbert
• Un signal x(t) est l’entrée d’un réseau transformateur de phase. • La sortie est le signal d’entrée déphasée par une constante .
• Supposons que x0(t) = Acos(2f0t) est l’entrée a ce réseau.
• La sortie y0(t) = Acos(2f0t+).
• Si nous changeons la fréquence de l’entrée, c'est-à-dire que l’entrée devient x1(t) = Acos(2f1t), la sortie est y1(t) = Acos(2f1t+).
• Alors le montant de déphasage est indépendant de la fréquence.
Réponse en fréquence du réseau transformateur de phase
• Pour x(t) = Acos(2f0t), X(f) = .
• La sortie y(t) = Acos(2f0t+) a une transformée de Fourier Y(f) = .
• La réponse en fréquence du réseau transformateur de phase est :
)()( 0202ffff AA
)()( 0202ffeffe jAjA
0 ,
0 ,)(
fefe
fH j
j
La transformée de Hilbert
• La transformée de Hilbert est un transformateur de phase où = -90o.
• Pour un signal x(t), sa transformée de Hilbert xh(t) est x(t) déphasée par -90o (-/2 radians).
• La transformée de Fourier du signal xh(t) est Xh(f) qui est donnée par :
0 ),(0 ),()( 2/
2/
ffXeffXefX j
j
h
)()sgn( fXfj
La transformée de Hilbert
• La transformée de Hilbert est donnée par :
• xh(t) = F{-jsgn(f)X(f)} = x(t)*1/t
d
txd
t
x )(
)(
)(
Exemples
• Trouvez la transformée de Hilbert de
– x(t) = Acos(2fot) et
– y(t) = sinc(t)
• SOLUTION (a)
oo ffA
ffA
fX 22
)( alors
ooh ffjA
ffjA
fX
22
)(
La transformée de Hilbert de x(t) est alors xh(t) =F-1{Xh(f)} = Asin(2fot).
Exemples
• SOLUTION (b)– Y(f) = (f). La transformée de Fourier de la transformée de
Hilbert de y(t) est Yh(f) = -jsgn(f)(f).
– -jsgn(f)(f) = -j(2(f-¼)) + j(2(f+¼)), alors yh(t) =
Yh(f)j
-j-0.5
0.5f
tjtj
etj
etj 22 2/sinc
22/sinc
2
tt
22sinsinc