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E S C U E L A P O L I T É C N I C A N A C I O N A L
EACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ELUJO DE POTENCIA ESTOCASTICO
->v
Tesis previa a la obtención del
título de Ingeniero Eléctrico.
RAÚL N. GUIJARRO L.
Quito, agosto de 1984
CERTIFICACIÓN
Certifico que la presente tesis
ha sido elaborada en su totalidad
por el Sr. RAÚL N. GUIJARRO L.,
bajo mi dirección.
ArguelloOR DE TESIS
AGRADECIMIENTO
Expreso mi profundo agradecimiento al
Ing. Gabriel Arguello por su constari
he y acertada dirección de la tesis,
y a todas las personas que colabora^
ron en la realización de la misma.
R E S U M E N
El flujo de potencia es una herramienta básica y útil pa^
ra tomar decisiones en la operación y planeación de los Sis_
temas Eléctricos de Potencia. La solución determina los nive
les de voltaje en todas las barras del sistema, el Flujo de
potencia por todos los elementos de la red y sus pérdidas,
con lo que se obtiene información completa del sistema eléc-
trico en estado estable.
La incertidumbre de los datos nodales, que da como resul^
tado, una falta de confianza en la solución que se obtiene de
la formulación convencional, ha creado la necesidad de mod£
lar el problema estocásticamente.
La presente Tesis, tiene como objetivo la descripción de
una técnica de solución de flujo de potencia, que maneja ad£
cuadamente las características aleatorias de los datos de ' en_
trada; estos se dan en forma de rangos alrededor de un valor
probable y los resultados se obtienen de manera similar. Para
este propósito sa elaboró un programa digital, que es una ex^
tensión del programa desarrollado por el Ing. Edgar Mármol en
su Tesis: "Estudio de Flujos de Carga mediante los métodos
de Newton Raphson". Se analizan una serie de pruebas, y para
efectos de confrontación de resultados se utiliza la simula-
ción de Monte Cario.
Los estudios de flujo estocástico, son de vital importan_
cia en la planeación de la operación a corto plazo, y en el a_
nálisis de seguridad de los Sistemas Eléctricos de Potencia.
Í N D I C E
Página
RESUMEN I
Capítulo 1. INTRODUCCIÓN 1
1.1 Generalidades 1
1.2 Visión histórica del flujo de potencia estocástico 3
1.3 Características del método y alcance del trabajo . 4
1.4 Contribuciones de la Tesis 5
Capítulo 2. MODELACIÓN MATEMÁTICA DEL FLUJO
DE POTENCIA ESTOCÁSTICO 6
2.1 El flujo de potencia determinístico 6
2.1.1 Planteamiento de las ecuaciones
del flujo de potencia 6
2.1.2 Técnica de solución por el
método de Newton-Raphson , 10
2.2 Formulación del flujo de potencia estocástico .... 12
2.2.1 Modelo lineal 12
a. Valor esperado y varianza de
las variables de estado 16
b. Valor esperado y varianza de los valores
observados o pronosticados 18
c. Valor esperado y varianza de los errores .. 18
- III -
Página
d. Valor esperado y varianza de las
variables de salida dependientes 20
2.2.2 Modelo no lineal 22
2.2.3 Intervalos de confianza 25
2.2.4 Correlación entre variables 26
a. Correlación entre carga y generación 27
b. Correlación entre cargas 28
2.2.5 Datos de entrada e información obtenida
del estudio de flujo estocástico 29
2.2.6 Tratamiento de barras de voltaje controlado 32
2.2.7 Algoritmo general de solución 32
2.3 Diferencias entre la formulación
determinística y estocástica 34
2.4 La simulación de Monte Cario 35
Capitulo 3. PROGRAMA DIGITAL 37
3.1 Consideraciones en programación 37
3.2 Diagramas de flujo: programa principal
y subrutinas 41
3.3 Descripción del programa 54
Capítulo 4. EJECUCIÓN DE PRUEBAS Y
ANÁLISIS DE RESULTADOS 58
4.1 Prueba a. Comparación de los resultados del flujo
de potencia estocástico con la solución determinfs
tica y con la simulación de Monte Cario 58
4.2 Prueba b. Análisis de resultados considerando
variaciones en las desviaciones estándar de las
cargas 60
- IV -
Página
4.3 Prueba c. Efecto de la variación del
voltaje en barras de generación 61
4.4 Prueba d. Análisis de resultados en base a
la correlación entre variables de entrada 63
Capítulo 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 80
Anexo A. Definiciones estadísticas A1
Anexo B. Formación de las matrices 3 y K B1
Anexo C. Resolución de flujo de potencia estocástico
para un sistema de tres barras C1
Anexo D. Manual de uso del programa D1
Anexo E. Obtención de los coeficientes de correlación E1
CAPITULO 1
I N T R O D U C C I Ó N
1.1 GENERALIDADES
El problema del flujo de potencia en estado estacionario,
consiste básicamente en determinar tando el módulo y ángulo
de los voltajes en todas las barras del sistema como los fLj
jos y pérdidas de potencia en todos los elementos de la red,
para ciertas condiciones preestablecidas de generación, deman^
da y topología de red.
Los estudios de flujo son de gran importancia en diseño,
operación y control de sistemas eléctricos de potencia, asi
como también para evaluar cambios propuestos en un sistema
existente.
El flujo de potencia convencional es determinístico, es
decir, se obtiene una solución que se ajusta exactamente a
los datos de entrada. Como los estudios de flujo, generalmeri
te se proyectan hacia el futuro, tales datos se obtienen en
base a pronósticos que contienen cierto grado de incertidurn
bre, por lo cual datos erróneos conducirán a resultados del
mismo tipo y, en consecuencia podrán tomarse decisiones equi-
vocadas.
Las principales fuentes de incertidumbre en el flujo de
potencia son:
- 2 -
a) Las cargas del sistema de potencia,
b) Los niveles de intercambio del sistema de potencia.
c) El sistema de generación.
d) Posible salida de componentes del sistema de transmi_
sión.
Cada una requiere considerable atención para modelar estocas^
ticamente el fenómeno involucrado (17). El presente trabajo,
va a enfocar la primera de ellas, en lo que se refiere a errp_
res de medición y predicción de carga.
Es común analizar un gran número de flujos de potencia
determinísticos con datos de carga diferentes, con el objeto
de establecer posibles rangos de variación de las variables
de salida. Este proceso analítico, requiere de mucho tiempo y
debe seguirse en forma metódica y organizada, como en el méto_
do de simulación de Monte Cario (3).
En un sistema de potencia práctico, no es factible resol_
ver un nuevo problema de flujo para cada cambio de una carga
particular ya que (5):
a) Hay una cantidad prohibitiva de cálculos. Así, para
un sistema de n barras y T diferentes valores de car
ga en cada barra, se debe resolver T flujos de potejn
cía.
b) Se tiene dificultad en analizar y sintetizar los re-
sultados de tantos flujos de potencia.
Si bien es cierto que estos inconvenientes se superan en
te, cuando los ingenieros de planificación y operación, en ba
se a la intuición y experiencia, seleccionan únicamente ciei^
tas condiciones de demanda del sistema, no es menos cierto
que este procedimiento conlleve a resultados no muy consisten
- 3 -
tes.
Por las razones anteriores, y, dada la importancia de
las decisiones que se toman de estudios de flujo de potencia,
surge interés por conocer los rangos de variación de los rtí
sultados correspondientes a los ya conocidos de los datos, me
diante el flujo de potencia estocástico o probabilístico en
un cálculo directo y simple.
1.2 VISION HISTÓRICA DEL FLUJO DE POTENCIA ESTOCÁSTICO
El reconocimiento del flujo de potencia como un problema
de carácter probabilístico, se debe a B. Borkowska, quien a
mediados de 1974 presenta la formulación inicial del flujo de
potencia, considerando incertidumbre en los datos de carga.
Este método permite calcular los valores esperados, las des-
viaciones estándar y adicionalmente las diferentes distriby_
ciones de probabilidad de los flujos de potencia en elementos
por medio de los datos de distribución de las cargas; sin em
bargo, el modelo es conveniente sólo para casos de C.C., ya
que los cálculos son inherentemente complejos.
Más tarde, Dopazo, Klitin y Sasson, dan uno de los más
valiosos aportes al flujo de potencia estocástico, formulando
su método en base a la teoría de estimación de estado por m_£
nimos cuadrados y mediante la aplicación del Teorema del lími
te central. Este modelo es eficiente y válido para C.A,
Posteriormente, en 1975 F. Aboytes y B. J. Cory, compl£
mentan el método anterior, al introducir la correlación entre
variables de entrada para ver su efecto en los resultados.
En 1975, también aparece la formulación de G. T. Heydt,
y, en el siguiente año aquella de P. W. Sauer y G. T. Heydt,
las cuales analizan el problema desde un punto de vista di fe
rente limitándose a evaluar únicamente la estadística de po_
tencia en líneas.
1.3 CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO Y ALCANCE DEL TRABAJO
En la presente Tesis, se desarrolla un método de
lución del flujo de potencia, que toma en cuenta la
dumbre en la predicción, con lo cual, las variables del pro_
blema son aleatorias, obteniéndose sus valores esperados y
sus correspondientes desviaciones estándar; que, a un alto
grado de probabilidad, los rangos así obtenidos incluyen las
diversas condiciones de operación del sistema (7).
En esencia, el método convierte la formulación del pro
blema de flujo de un determinístico a un estocástico (7); se
basa en los principios de estimación de estado por mínimos
cuadrados con cero grados de libertad, siendo por tanto imp£
sible filtrar errores de predicción (3). Cero grados de líber
tad implica tener el mismo número de ecuaciones que de incó
nitas, lo cual es el caso del flujo de potencia.
En aplicaciones en tiempo real para operación de sisteí
mas eléctricos de potencia a través de un centro de control,
es posible medir, además de las variables de entrada para un
estudio de flujo convencional, los voltajes de barra y los
flujos en líneas, con lo que se puede conformar un sistema de
ecuaciones sobredeterminado, es decir, más ecuaciones (e) que
incógnitas (i) y por tanto con e-i grados de libertad, en e.s
te caso no sólo que es posible encontrar la mejor estimación
de las variables de estado, sino detectar e identificar err£
res de medición, este proceso se conoce como estimación de ej;
tado, del cual el flujo de potencia estocástico es un caso
particular (3,16).
- 5 -
Una propiedad importante del método es que para cero gra
dos de libertad, los valores esperados coinciden con la solt¿
ción determinística. Esto hace que el flujo de potencia esto_
cástico pueda añadirse a cualquier programa convencional de
flujos, con el propósito de calcular una medida de la dis_
persidn alrededor de la solución esperada, en base a la incer
tidumbre de los datos. Particularmente este trabajo es una ex^
tensión del método de Newton-Raphson.
1.4 CONTRIBUCIONES DE LA TESIS
a) Tratamiento de barras de voltaje controlado en flujo
estocástico.
b) Desarrollo de un modelo simplificado para la obtejn
ción de las desviaciones estándar de las variables de
salida dependientes, en un cálculo directo, por medio
de vectores; lo cual disminuye notablemente los requ£
pimientos de memoria de computadora, y acelera el pr£
ceso de cálculo.
c) Introducción como variables de salida dependientes,
con el objeto de obtener sus respectivos rangos de
variación, de:
- La potencia activa y reactiva de la barra oscilante.
- La potencia reactiva de capacitores y/o reactores a
tierra.
C A P I T U L O 2
M O D E L A C I Ó N M A T E M Á T I C A
D E L F L U J O D E P O T E N C I A
E S T O C A S T I C O
2.1 EL FLUJO DE POTENCIA DETERMINISTICO
2.1.1 Planteamiento de las_ ecuaciones delFlujo de potencia
La formulación nodal para los estudios de flujo de potejn
cía establece la relación:
I - Y E (? 1)IB - TBLB U. U
donde
TR - Vector de corrientes netas inyectadas en la red
Yn = Matriz admitancia de barraD
ÉR = Vector de voltajes de barra (variables de estado)
El conjunto lineal de ecuaciones (2.1), nos permite en
contrar fácilmente el vector Én dado Tn. si éste fuera el catí tí —
so. En la práctica no es posible este procedimiento directo,
ya que las cargas (variables incontrolables)son conocidas co_
mo potencias complejas y por ende, las generaciones (variables
controlables) no se pueden representar como fuentes de volta-
je, sino más bien como fuentes de potencia (0). Por ello, el
planteamiento del problema se lo hace relacionando las potein
cias con los voltajes, obteniéndose un conjunto de ecuaciones
- 7 -
no lineales que requiere de métodos iterativos para su soljj
ción.
En un sistema eléctrico de n barras, la ecuación de pp_
tencia en una barra cualquiera p, está dada por:
nS = P + jQ = E Y~ Y* E* (2.2)p P P P pq q
donde
S = Potencia neta en la barra pP M
P , Q = Potencias netas activa y reactiva en la barra pP' P J '
E = Voltaje en la barra p
Y - Admitancia de transferencia entre las barras ppq
y q
Definiendo como potencia neta, la diferencia entre la poten
cia de generación y carga.
El voltaje y la admitancia pueden representarse así:
E = V 16P PÍ P
(2.3)Y = G + jBpq pq J pq
donde
V , 6 = Magnitud y ángulo de voltaje en la barra p
G . B = Conductancia y susceptancia de transferenciapq pqentre las barras p y q
Cada una de las barras componentes del sistema se poteri
cia, queda plenamente definida por cuatro variables: P , Q ,
V y 6 : dos de las cuales son cantidades conocidas y las dosP y Prestantes son las incógnitas a determinarse. Si el problema
fuera únicamente de matemáticas, se podría especificar dos va_
riables cualesquiera, pero un análisis físico del sistema, in^
dica que sólo se puede especificar variables sobre las que
se tiene control físico (8). Además, no se conoce de antemano
las pérdidas del sistema, motivo por el cual no se dan como
datos todas las potencias inyectadas. Por estas razones, se
han clasificado las barras de un sistema de potencia, en los
tres tipos que se indican en la tabla siguiente:
Tabla 2.1 Tipos de barras en el análisis
de flujo de potencia
TIPO DE BARRA
Oscilante
Generación oVoltaje Controlado
Carga
DATOS
V , 6P P
V , PP' P
P , QP' P
INCÓGNITAS
P , QP P
6 , QP1 P
V , 6P P
La barra oscilante es de generación, y debe estar en capac^
dad de producir una amplia gama de valores de potencia activa
y reactiva, con el fin de ajustar el balance de carga, pérdi_
das y generación del sistema. Esta barra se usa al mismo tiern
po como referencia de ángulo, puesto que es la única en donde
se especifica esta variable (16).
Interesa determinar primeramente, el nivel de voltaje en
todas las barras del sistema. Ya que este valor se conoce en
la barra oscilante, tanto en magnitud como en ángulo, el prp_
blema consiste básicamente en resolver n-1 ecuaciones para
las n-1 barras de carga y generación. En barras de carga se d£
be resolver la ecuación (2.2), y, en barras de generación:
- 9 -
P = Real (E Y" Y* E*n I n ¿—i pq q (2.4)
El conjunto total de ecuaciones simultáneas no lineales, se
resuelve utilizando métodos iterativos, de los cuales,los más
utilizados en sistemas de potencia son:
1. Gauss-Seidel.
2. Newton-Raphson.
Una vez que se han obtenido todos los voltajes de barra,
en magnitud y ángulo, se procede a calcular la generación de
potencia activa y reactiva en la barra oscilante, la genera^
ción de reactivos en barras de generación, los flujos de p£
tencia y pérdidas en los elementos.
I *pqP PH , ,
Spq
-'
i i
] y ypo ' qo
Iqp i c
s 'qp
E
\. 2.1 Circuito Pi.
El flujo de potencia por el elemento conectado entre las
barras p y q de la figura 2.1 se determina mediante:
5 - E I * = £ (E* - E*)y* + E E*y*pq p pq p P q pq p P p (2.5)
donde
pq~ Corriente que fluye de n hacia q
- 10 -
y = Admitancia del elemento que conecta la barrapqcon la q
y = Admitancia entre la barra p y tierraJpo r }
Similarmente:
S = E (E* - E*)y* + E E*y* (2.6)qp q q p 'pq q q'qo
La potencia de pérdidas se obtiene de la suma algebraica
de S y Spq qp
2.1.2 Técnica de solución por el método de Newton-Raphson
La rapidez y alta confiabilidad en la convergencia, que
son características del método de Newton-Raphson en la solu_
ción de flujos de potencia, han situado a esta técnica en pró^
mer plano frente a los métodos convencionales de Gauss-SeideL
Se basa en la aplicación del Teorema de Taylor para lineal^
zar las ecuaciones de flujo. Para explicar el método, vamos a
considerar inicialmente un sistema de potencia sin barras de
voltaje controlado.
Reemplazando el conjunto de ecuaciones (2.3) en la ecua
ción (2.2), se obtienen las siguientes ecuaciones por cada ba_
rra de carga:
nP = V Y~ V |~G cos(6 - S ) + B sen(6 - 6 )~| (2.7)p P ¿p¡ qL pq P q pq P q J
nQ = V 5~ V PC sen(S - 6 ) - B cos(6 - 6 )~1 (2.8)p p qT¡ q pq P q pq p q J
Las ecuaciones (2.7) y (2.8), no son lineales y en ellas se
conocen P y Q respectivamente, la magnitud y ángulo de vol-
taje en la barra oscilante y los términos de la matriz admi-
tancia de barra.
- 11 -
Aplicando la técnica numérica de Newton-Raphson a las £
cuaciones (2.7) y (2.8), se forma un sistema de ecuaciones
lineales que relaciona las variaciones de potencia activa y
reactiva, con las variaciones de las magnitudes y ángulos de
voltaje:
apas
aoas
apav
aqav
AS AP
AQ
(2.9)
Para obtener ventaja en el cálculo de las derivadas, la ecua
ción (2.9) se ha modificado (16), así:
dPas
aQas
apy
w
3Qavv
AS
AvTv
=
AP
AQ
(2.10)
A la matriz de derivadas de la ecuación (2.9) y (2.10) se le
llama Jacobiano, se le designa con la letra J, y se actualiza
en cada iteración; la obtención de sus elementos se describe
en el Anexo B.1. Las diferencias de potencia en la k-ésima i
teracidn, se determinan mediante:
AP,, v = P especificado - P calculado/. •,
AQ/. = Q especificado - Q calculado, ,(2.11)
y los nuevos valores de voltaje más próximos a la solución son
6(k)+ is(k)+AV
(2.12)(k)
- 12 -
Para iniciar el proceso iterativo, se asumen valores de
voltaje adecuados en todas las barras de carga, luego de lo
cual se siguen los pasos que se dan a continuación (2):
1. Calcular
2. Evaluar
3. Descomponer J/ni en LU.
4. Encontrar las correcciones
5. Calcular 6,. y V,-\
6. Probar convergencia. Si 5P"/.» y AQ/.i\n menores o _i_
guales a las tolerancias especificadas, el proceso i_
terativo termina; caso contrario, se regresa al paso
1.
En caso de existir barras de voltaje controlado, la ecua_
ción (2.8) es reemplazada por:
p(especificado) " p(calculado)
En cada iteración se verifica si la potencia reactiva de gene
ración se encuentra dentro de los límites permisibles; de no
ser así, se fija la generación reactiva en el límite respecti
vo, y, en adelante se trata a esta barra como si fuera de car
ga.
2.2 EORMULACION ÜEL FLUJO DE POTENCIA ESTOCASTICO
2.2.1 Modelo lineal
El flujo de potencia es un problema no lineal, el cual
puede linealizarse mediante la expansión en series de Taylor
de las ecuaciones de flujo; la solución de obtiene mediante
- 13 -
un proceso iterativo de solución de ecuaciones lineales (3).
Por esta razón, comenzaremos analizando la formulación lineal
del flujo de potencia estocástico, para luego desarrollar el
modelo no lineal en base al primero.
Supongamos que el flujo de potencia puede describirse ma_
temáticamente por un sistema de ecuaciones lineales de la fo£
ma:
y = Ax (2.14)
donde
y = Vector de valores observados o pronosticados
A = Matriz de coeficientes constantes
x - Vector de variables de estado
Este planteamiento pertenece al caso determinístico en el cual
se asume que y es exacto. Por el contrario, la formulación -
estocástica toma en cuenta la existencia de errores en las ob
servaciones, con lo cual la ecuación (2.14) se transforma en:
y = Ax + e (2.15)
donde
x = Vector de valores verdaderos de las variables de
estado
e = Vector de error asociado con las cantidades obse_r
vadas o pronosticadas
El objetivo es encontrar el mejor estimado de x dado el
vector y. Puesto que siempre es conveniente tener un estimado
sin desviación, se asume que el valor esperado de los errores
es cero (1), o sea:
ECS) = O (2.16)
- 14 -
Esta ecuación implica que los errores de las observaciones ets
tan distribuidos aleatoriamente alrededor de cero, pero obvia
mente pueden tener un valor esperado de cero aunque existan e_
rrores muy grandes (1,3). Entonces, siendo las observaciones
de diferente calidad, es necesario ponderarlas dando mayor
peso a las más precisas; por ello, se introduce la matriz de
covarianza de los errores, que da la indicación de la dispej*
sión de estos alrededor del valor medio y que se define asi:
C = t(ect) (2.17)
De este modo, C es cuadrada y simétrica; esta conformada por
las varianzas de los errores asociados a cada observación in^
dividual y por las covarianzas respectivas; las primeras cons^
tituyen los elementos de la diagonal principal y las covariají
zas aquellos elementos fuera de la diagonal principal. A la
inversa de la matriz C, se la conoce como matriz de pesos
o ponderaciones.
La teoría de estimación establece que el mejor estimado
de * de la ecuación (2.15), con las consideraciones (2.16) y
(2.17), se obtiene al minimizar la suma de los cuadrados de
todos los errores ponderados por sus varianzas (3), es decir:
n• t \ 2 -min ( > e. c. )
o bien,
min (é C e)
La cantidad encerrada entre paréntesis es llamada función de
error y se representa por F(x). Entonces,
FCx) = ¿ e2 cT1 = eVe (2.18)i = 1
y, evidentemente es un valor escalar.
De (2.15) y (2.18) se obtiene:
F(x) = (y-Ax^C 1(y-Ax)
= (yt-xtAt)(T1(y-Ax) = (?V1-xtAtC~1)(y-Ax')
_t- _1- -f -1 - -\- f -1- -f t -1 -= V C y - y C Ax - xuA C y + x A C Ax
Puesto que C es simétrica y F(x) un escalar, puede demostrar^
se que:
-tr-1.- -t.tn-1-y u Ax = x A C y
con lo cual,
_ _f _1- -f f -1- -f f -1 -F(x) = y C y - 2x A C y + xLALC Ax
Tomando las derivadas parciales de F(x) con respecto a x se
obtiene:
aF(xVdx = - 2AtC~1y + 2AtC"1Ax
El mínimo valor de la función de error se encuentra cuando
3F(x)/3x - O, entonces:
de donde el mejor estimado de x que le representaremos por x,
resulta ser:
x = (AtC"1A)~1AtC~1y (2.19)
Como en flujos de potencia el número de ecuaciones es igual
al número de incógnitas, la matriz A es cuadrada, por lo tar^
to (2.19) se reduce a
x = A~1y (2.20)
Esta solución coincide con aquella de la formulación determj^
nlstica ya que para cero grados de libertad, las matrices que
involucran la estadística de los errores de las observaciones
se eliminan y por tanto es imposible filtrar errores de pre-
dicción (1,3).
- 16 -
A continuación se realiza un eficiente y completo análi^
sis estadístico para cada una de las variables que forman paj:
te del flujo de potencia estocástico, partiendo de las ecua^
ciones .(2.15) a (2.19). Se obtendrá en cada caso la ecuación
general de estimación de estado y luego se particularizará pa_
ra cero grados de libertad.
a. Valor_ e_spe_rado y varianza de las variables de estado
De las ecuaciones (2.15) y (2.19), x puede expresarse co
mo
x = (Atc~1Ar1Atc~1(AX+s)= (AtC"1A)"1(AtC"1A)x + (AtC~1A)~1AtC~1e
= x + (A ' J' Vi
t -1 -1 ^ -1Si M = (A€c A) 'A C
x = x + Mi (2.21)
El valor esperado de x es:
E(x) = E(x+Mi)
Puesto que M es una matriz constante,
E(x) = E(x) + ME(i)
donde el valor esperado de los errores es cero como se asumió
antes, además:
E(x) = x
debido a que x es el valor verdadero según la ecuación (2.15),
por tanto es una constante. En consecuencia,
E(x) = x (2.22)
- 17 -
Lo cual nos dice que el valor esperado de x es igual a su co_
rrespondiente valor verdadero x que es precisamente lo que
tratamos de estimar (3). En términos estadísticos esto se óe_
nomina un proceso sin desviación (7).
La varianza de las variables de estado es el valor esp£
rado de las desviaciones cuadráticas de los valores estimados
con respecto a sus valores medios, dando como resultado una
matriz denominada matriz de covarianza de x (3).
Cov(S) = E[($-x)(í?-x)t]
Si en la ecuación anterior sustituimos el valor de x de la e
cuación (2.21) nos queda
Cov(x) = E[Cx+Mc-x)(x+ME-x)t]
= EfMeeV) = ME(eet)Mt
De la ecuación (2.17) se tiene que E(ee ) es la matriz de C£
varianza de los errores de las observaciones, entonces:
Cov(x) = MCMfc
y reemplazando en esta ecuación el valor de M se obtiene fi-
nalmente que:
Cov(x) = (A A)'1 (2.23)
Para cero grados de libertad, la ecuación (2.23) se mantiene
y constituye una de las más importantes en flujo de potencia
estocástico ya que los elementos de la diagonal de la matrizt -1 -1
(A C A) son las varianzas de las variables de estado,
Var(x) = diagCAV^r1 (2.24)
Por consiguiente, las desviaciones estándar que nos indican
la desviación de x respecto al valor verdadero x se obtienen
de:
- 18 -
0- = [Vur(x)]1 (2.25)
b. Valor esperado y yarianza de los valores
observados^ o pronostácados^
Si x es el mejor estimado de In ecuación y - Ax + e, el
valor estimado o calculado de las observaciones será:
y1 = Ax (2.26)
con valor esperado
E(y) = E(Ax) = AE(x) = Ax = yfc (2.27)
donde y, es el valor verdadero de las observaciones.
La matriz covarianza del valor estimado y es:
Cov(y) = E[(y-y,)(y-y,) J
^ E[(A^-Ax)(AÍ-Ax)t] = AE[x-x)(í-x)t]At
como E[(x-x)(x-x) J ~ (A C A) , se sigue que:
Cov(y) = A u A r (2.28)
En el caso particular de cero grados de libertad
Cov(y ) = C (2.29)
Este resultado nos dice que cuando A es cuadrada, no es posi
ble obtener un valor de y más próximo al valor verdadero y.
que el vulor original de la observación y (3,7).
c, Valor j3sperado y varianzn^jje los errores
De las ecuaciones (2.15) y (2.26), el valor estimado de
los errores viene a ser:
- 19 -
e = y - y
Su correspondiente valor esperado,
ECS) = E(y-y) = E(y) - E(y)
donde
E(y) = E(Ax+e) = AE(x) + E(e) = Ax = y
y como E(y) = y , se obtiene que:
= O (2.30)
Este resultado era de esperarse porque una de las condiciones
de partida para la formulación del problema, era el asumir
que el valor medio de los errores de las observaciones es ce
ro y por tanto de los calculados (3).
La matriz covarianza de los errores calculados es:
= E[ACx-x)(x-í)tAt+A(x-x)it+¿Cx-í)tAt+eet]
De la ecuación (2.21) x -x = -Me, entonces:
Cov(e) = E(AMeitMtAt-AHiet-eetMtAt+eet)
= AME(eit)MtAt - AME(eefc) - E(eet)MtAt
= A(MCMt)At - A(M)C - C(M)tAt + C
Pero M = (At(T1A)~1At[r1 y MCMfc = (Af cC"1A)~1, luego
Cov(e) =-1 f -1 -1 f
-cc 'A(A c A) 'A + c
Cov(e) = C - A(A tC~1A)~1A t (2.31)
- 20 -
Para cero grados de libertad la expresión (2.31) pasa a ser
Cov(e) = O (2.32)
Esto implica que y es igual a y cuando el número de ecuacio_
nes es igual al número de incógnitas. Con esta conclusión,
se justifica una vez más que es imposible el filtrado de errp_
res para cero grados de libertad.
Si bien este análisis estadístico de errores no es de mu
cho interés en flujo de potencia estocástico, en estimación
de estado la expresión (2.31) constituye la de mayor impor-
tancia.
d. Valor esperado y varianza de las
variables de salida dependientes
Las variables de entrada y y de salida x en un problema
de flujo de potencia comprenden
y: a) Potencia activa y magnitud de voltaje en barras
de generación.
b) Potencia activa y reactiva en barras de carga.
x: a) Ángulo de voltaje en barras de generación.
b) Magnitud y ángulo de voltaje en barras de carga.
Una vez que hemos encontrado el vector de incógnitas x,
se procede a calcular el vector de variables de salida depen-
dientes z que incluye
z: a) Potencia activa y reactiva en la barra oscilante.
b) Potencia reactiva en barras de generación.
c) Flujos de potencia activa y reactiva por elementos
de la red (líneas, transformadores, capacitores y/
- 21 -
o reactores en serie).
d) Potencia reactiva de capacitores y/o reactores a
tierra.
En los literales a. y b. se ha efectuado el análisis es
tadístico de x y y respectivamente. Ahora, analizaremos las va^
riables de salida dependientes considerando que z se relaci£
na linealmente con x, así:
^ r Dx (2.33)
Si x es la mejor estimación de las variables de estado,
el valor estimado de z puede expresarse como
• p, Az = Dx
cuyo valor esperado es:
E(z) = DECx) = Dx = ífc (2.34)
Este resultado nos dice que los valores esperados de z son £
guales a los obtenidos de la solución determinística.
La matriz covarianza de z es:
CovCz) = E[(2-zt)(?-zt)t]
= E[D(x-x)(S-x)tDt] = DE[(5-x)(5-x)t]Dt
CovCz) = DCA " )' 1 (2.35)
Para cero grados de libertad la ecuación (2.35) se mantiene;
en consecuencia, se puede encontrar la dispersión de las vja
riables de salida dependientes alrededor de su valor esperado
mediante:
Var(z) - d i a g Q X A A r ] (2.36)
Ó" = [Var(?)]% (2.37)
- 22 -
2.2.2 Modelo no lineal
El modelo no lineal que seguidamente vamos a presentar,
se fundamenta en la teoría de la formulación lineal vista an_
teriormente.
Considerando errores en los datos de entrada, el sistema
de ecuaciones de flujo de potencia puede describirse por:
y = fCx) + e (2.38)
En donde f(x) no es una función lineal de x; sin embargo,
cuando se realiza la expansión en series de Taylor de esta fun_
ción respecto a un punto de operación x , pueden despreciarse
las derivadas parciales de orden superior a uno si x está
próximo al valor de la solución (14,18), con lo cual se est^
blece la siguiente relación lineal:
y - f(x ) = JAx + em
es decir que:
Ay = JAx + e (2.39)
donde
áy = Vector de variaciones en la potencia activa y
reactiva
J = Jacobiano convencional. Eormado por las deriva
das parciales de las variables de entrada con
respecto a cada una de las variables de estado
Ax = Vector de cambios en la magnitud y ángulo de vol_
taje
La ecuación (2.39) tiene la misma forma de la ecuación (2.15),
con la única diferencia que J no es una matriz constante, ya
que va cambiando en el proceso iterativo; entonces, la mejor
estimación de Ax en cualquier iteración se obtiene así:
- 23 -
Ax = (JfcC brVc V (2.40)
Para cero grados de libertad, el Jacobiano es una matriz
drada y evidentemente la ecuación (2.40) se convierte en:
Ax = J~1Ay (2.41)
Siendo exactamente el mismo resultado que se obtiene por el
método de Newton-Raphson. Los nuevos valores de las varia_
bles más cercanos a la solución se obtienen como:
x = x +üx (2.42)m m
Las ecuaciones (2.41) y (2.42) se repiten hasta que se satis
faga el criterio de convergencia especificado.
Del análisis lineal realizado en la sección 2.2.1, se de_
duce que sólo las expresiones de la covarianza de las vari£
bles de salida x y z son de interés para flujo de potencia es
tocástico. En consecuencia, para este modelo no lineal vamos
a encontrar únicamente tales relaciones.
De la ecuación (2.23) se obtiene:
Cov(Ax) = (jV1J)"1 (2.43)
y aplicando la covarianza a la ecuación (2.42) se tiene que:
Cov(x ) = Cov(x +Ax)m m
como x es una constante, entonces:m
CovCxJ = Cov(Ax) = (JfcC"1J)~1 (2.44)
Las variables de salida dependientes z y las variables
de estado x mantienen una relación no lineal, pero puede li^
nealizarse por expansión en series de Taylor alrededor de un
punto x al igual que en el caso de y con x. Por tanto si:
- 24 -
z = gCx) (2.45)
i - g(x ) = KAx (2.46)^ m
luego
¿2 = KAx (2.47)
donde
Az = Vector de variaciones en las variables de salida
dependientes
K = Jacobiano no convencional. Es una matriz no cua_
drada, formada por las derivadas parciales de
las variables de salida dependientes con respe£
to a cada una de las variables de estado
La ecuación (2.47) tiene la misma forma de la ecuación li-
neal (2.33), de modo que los valores estimados de Az pueden
obtenerse de:
Az = KAx
Ahora de la ecuación (2.35),
Cov(Az) = K(JtC"1J)"1Kt (2.48)
y de la ecuación (2.46), el valor calculado de z es:
z = (x)
donde g(x ) es un valor constante. Por tantom
Cov(z) = Cov(Az) = K(JtC~1J)~1Kt (2.49)
Las estadísticas de las variables de estado y de salida
dependientes interesan ser determinadas solamente en el punto
de solución x (x =x), es decir, cuando se haya obtenido conve£
gencia. Por tanto, se deberá evaluar J y K en este punto para
calcular las desviaciones estándar de las variables de estado
- 25 -
y de salida dependientes, mediante:
(2.50)
(2.51)
La determinación de los elementos de J y K, se realiza
en el Anexo B.
2.2.3 Intervalos de Confianza
Hasta el momento, sólo hemos considerado estimaciones por
puntos de los parámetros desconocidos (12,15). Sin embargo, en
flujo estocástico se requiere de una estimación por interva_
los, que expresará la exactitud de la estimación. Para ello,
es necesario conocer previamente la distribución de probabil^
dad de las variables.
En el mundo real, la mayoría de observaciones tienden a
seguir la curva de distribución normal o Gaussiana, curva que
se asume siguen todos los equipos de medición del sistema de
potencia (4); no obstante, pueden tener cualquier función de
distribución de probabilidad, la cual es determinada del cono
cimiento del problema físico (3,7). Siendo las observaciones
y independientes, su combinación lineal para encontrar las va_
riables de estado x, y de salida dependientes z, hace que és_
tas tiendan a seguir la distribución normal como así lo esta
blece el teorema del límite central, cuando el número de ot
servaciones es suficientemente grande; es decir, cuando se
ta de grandes sistemas de potencia, tos parámetros x y z c£- 2 - 2
rresponden a los valores medios y O" y 0" son sus respectiX Z
vas varianzas.
Una proposición puede hacerse para un rango el/Cíiáal ihclú •" •'
ye a los valores desconocidos x y z, con alguna probabilidadt . /
002598V
- 26 -
de ser correcto (7), aplicando la técnica del intervalo de
confianza. De modo que x y z ya no tendrán únicamente los va_
lores esperados x y z que constituye la solución determinís
tica de flujo de potencia, sino también un rango de variación
que tome en cuenta la incertidumbre de las variables de entra_
da en base a un intervalo de confianza dado por:
x = x - s O"x (2.52)*. + ¿r
Z(. = z - s <rz
donde s es un valor arbitrario y representa el coeficiente de
confianza, tal, que cuando s=1 el intervalo de confianza para
x o z es de 68.3?¿, si s=2 95.4?ó y si s=2.57 99?¿; siendo
estos valores los más utilizados en la práctica. Asumiendo que
los puntos extremos del intervalo de confianza llamados lími-
tes de confianza de una variable aleatoria normal son:-2.57(T
y 2.570'de su valor esperado, se tiene un 99% de probabilidad
de incluir los valores verdaderos de las variables de salida.
2.2.4 Correlación entre variables
Una medida de la intensidad de la relación lineal entre
dos variables aleatorias X y Y lo constituye el parámetro f
llamado coeficiente de correlación (12), el cual es adimensi£
nal y se define como sigue:
(2.53)
<T = covarianza de X y Yxy
(T, = desviación estándar de XA
(T, = desviación estándar de Y
Si las variables X y Y son independientes, la covarianza y
/xy
donde
°"xy<rx<rY
- 27 -
por tanto, el coeficiente de correlación de dichas varia-
bles deben ser igual a cero (12).
El coeficiente de correlación puede variar en el ra£
qo -1< P < 1 y toma los valores -1 o 1 si la relación esy ^ xy 'perfecta negativa o positiva respectivamente (4). Si f = O,xylas variables X y Y son no correlacionadas o no están relaci£
nadas; sin embargo, en este caso las variables pueden ser iji
dependientes o no (15). Mientras mayor sea el valor absoluto
de P , mayor será la relación entre las dos variables.
Normalmente se asume que la matriz covarianza C de los
datos de entrada es diagonal, implicando que todas las obse^
vaciones son independientes o no están correlacionadas entre
sí; pero aún así, las variables de estado están correlaciona^
das debido a la conexión de los nodos o barras mediante la red
de transmisión, como efectivamente lo demuestra la matriz co
varinnzn de x que es una matriz Herví (1,3). A su vez, l;i no
porosidad de Cov(x) permite que la matriz Cov(z) sea llena,
con lo cual se deduce que también las variables de salida de
pendientes se encuentran correlacionadas.
a. C o r r e 1 a cjicin ntre car ga y generación
Una formulación más realista del problema, es aquella que
considera que carga y generación no son en la práctica indepe£
dientes, ya que a medida que va cambiando la demanda del sis
tema se va ajustando la generación en la misma dirección, sien^
do esta una indicación de correlación entre carga y genera-
ción. Por ejemplo, si una carga está conectada a una barra de
generación, las variaciones de carga serán seguidas fúndamete
talmente por la generación local, estableciéndose una alta co
rrelación entre las dos (3). Alternativamente, los cambios de
carga de una área del sistema, podrían equilibrarse, distribu
- 28 -
yéndoles sólo entre generadores determinados según reglas
previamente especificadas por razones de carácter económico o
de operación, resultado de lo cual las reglas indican niveles
de correlación.
b. Correlación entre cargas
En general, la predicción de la carga total del sistema
es más exacta que la predicción de las cargas individuales, e
ta información adicional es muy valiosa y debe considerarse
como parte de los datos de correlación (3).
La carga total del sistema Pt que es igual a la suma de
las 1 cargas individuales, puede expresarse como (1)3)
1Pt = pci (2.54)
asumiendo independencia en las inyecciones, el valor esperado
de Pt es:
1E(Pt) = 51 E(Pci) (2.55)
y la varianza:
1Var(Pt) = Y" Var(Pci) (2.56)
Es interesante observar el caso cuando la varianza de la CBT_
ga total y de las cargas individuales se especifican indepen-
dientemente; en dicha circunstancia, la ecuación (2.56) no se
satisface (1,3) Si sabemos de antemano que la Var(Pt) debe
ser pequeña por ser la predicción más precisa, necesariamente
deben existir correlaciones entre cargas tal que al calcular
la varianza de la carga total, de un valor pequeño como el es
perado (3). Esto indica que algunas cargas tienden a variar en
direcciones opuestas, y, los coeficientes de correlación deben
por tanto ser obtenidos de consideraciones prácticas como en
- 29 -
el caso de correlación carga-generación o de datos estadísti_
eos (1).
Lo analizado en el literal anterior y en éste, nos lleva
a concluir que el establecimiento de correlaciones entre va^
riables de entrada, conducirá a resultados más confiables.
2.2.5 Datos de entrada e información obtenida
del estudio de flujo estocástico
La formulación de flujo estocástico planteada en la pre-
sente Tesis, como una extensión del estudio de flujo convejn
cional, requiere dos conjuntos de datos necesarios para su es_
tudio:
1. Datos convencionales
a) Datos generales.
Incluye: número de la barra oscilante, potencia ba_
se, criterio de convergencia y máximo número de i
teraciones.
b) Datos de barras.
En todas las barras se debe especificar: número,
nombre, tipo, potencia activa y reactiva de carqn,
potencia normal del capacitor o reactor a tierra y
el área. Adicionalmente se debe incluir: en la ba_
rra oscilante la magnitud y ángulo de voltaje, y en
las barras de voltaje controlado la magnitud de voJ^
taje, la potencia activa de generación y los lími-
tes de generación reactiva.
c) Datos de líneas, transformadores, capacitores y/o
reactores en serie.
Para cualquier elemento, se debe informar las ba_
- 30 -
rras a las que se conecta, la reactancia y la po
tencia normal o de régimen. Conjuntamente con es
tos datos, se da la resistencia y admitancia a tie
rra cuando se trata de líneas, y una indicación de
los transformadores que operan con cambio de taps.
2. Errores (desviaciones estándar) en datos de barras;
coeficientes de correlación
En primer lugar, se da el coeficiente e intervalo de
confianza para los resultados; seguidamente dos grt¿
pos de datos que tienen relación únicamente con las
barras del sistema de potencia:
a) Desviaciones estándar.
Barra oscilante.- No se especifica ningún dato.
Barras de voltaje controlado.- Estas barras pueden
modelarse con voltaje fijo o con voltaje variable
(16). En ambos casos se debe especificar la desviví
ción estándar de la potencia neta activa y de la
magnitud de voltaje, teniendo en cuenta que la r£
presentación con voltaje fijo, asume que la desvia^
ción estándar de la magnitud del voltaje es cero.
Barras de carga.- En estas barras se da la desvia
ción estándar de la potencia neta activa y reacti-
va.
b) Coeficientes de correlación.
Este grupo de datos, consta de los coeficientes de
correlación entre la potencia neta activa y el vol_
taje en barras de generación, la potencia neta a£
tiva y la potencia neta reactiva en barras de ca£
ga. Además se deben especificar los respectivos co£
ficientes de correlación entre variables (voltaje,
potencia neta activa y reactiva) de unas barras con
otras.
- 31 -
Los resultados que se obtienen de un estudio de flujo es
tocástico, se dividen en dos secciones: la primera constituye
la solución determinística, es decir, los valores medios de to
das las variables; la segunda nos da los rangos de variación
de las variables de estado y de salida dependientes. Las dos
secciones se detallan a continuación:
1. Solución determinística
Aquí se da información completa de los resultados del
flujo convencional. Incluye datos de barras, flujos y
pérdidas en elementos; los datos de barras comprenden:
húmero, nombre, magnitud y ángulo de voltaje, potencia
activa y reactiva de generación, potencia activa y r£
activa de carga y finalmente la potencia del capacitor
o reactor a tierra. Proporciona también, los totales
de generación, carga y pérdidas del sistema, así como
el número de iteraciones requeridas para obtener cojí
vergencia. Adicionalmente se da indicación de sobrecajr
ga en elementos, los voltajes de barra que se hallan
fuera del rango aceptable en operación (0.95<V<1.05),
y las barras de generación que se han transformado en
barras de carga.
2. Reporte estocástico
Esta sección está conformada por tres grupos, cada LJ
no de los cuales presenta los rangos de variación y
el valor medio de las variables de salida en el orden
siguiente:
a) Barras de generación y carga: magnitud y ángulo de
voltaje, potencia del capacitor o reactor a tierra.
b) Barras oscilante y de generación: potencia neta ac_
tiva (sólo en la barra oscilante) y potencia neta
reactiva.
- 32 -
c) Flujos de potencia activa y reactiva por todos los
elementos del sistema.
2.2.6 Tratamiento de barras de voltaje controlado
En flujo estocástico, los datos de error y correlación,
se dan únicamente después de conocer del sistema las barras de
generación que se transforman en barras de carga. Las bases pa
ra emitir este criterio son:
1. Las desviaciones estándar se dan conociendo el funcio
namiento del sistema de potencia a través de datos
históricos; de este modo, podemos también averiguar
las barras de generación que se comportan como barras
de carga.
2. Suponiendo que el estudio de flujo estocástico se de
sea realizar sin conocer previamente las barras de ge
neración que se transforman en barras de carga, habría
entonces que dar en cada barra de generación las des
viaciones estándar de voltaje, potencia neta activa y
potencia neta reactiva, más los correspondientes cot?
ficientes de correlación. Esto significaría un mayor
esfuerzo para el usuario del programa, lo cual no a
carrea ninguna ventaja.
2.2.7 Algoritmo general de solución
El algoritmo de solución para flujo de potencia estocás-
tico, se describe como:
1. Resolución del flujo de potencia convencional por el
- 33 -
método de Newton-Raphson, con lo cual se obtienen los
valores esperados de las variables de estado y de s£
lida dependientes.
2. Cálculo de las desviaciones estándar de las variables
de estado
_1a) Evaluar J en el punto de solución.
b) Formar C.
c) Determinar Cov(x) de la ecuación:
Cov(x) = J~1CJ~H (2.44')
d) Calcular (T aplicando la ecuación:X
O" ={diag[Cov(x)]}'15 (2.50)
3. Cálculo de las desviaciones estándar de las variables
de salida dependientes
a) Determinar la fila i de K, k. correspondiente a la
variable de salida dependiente z., en el punto de
solución.,•*
b) Calcular la desviación estándar de In variable z.
mediante:
<T = [k.. Cov(x) k (2.57)
c) Los pasos a) y b) se repiten para todas las demás
variables de salida dependientes.
4. Cálculo de los intervalos de confianza de las varia_
bles de estado y de salida dependientes, aplicando las
ecuaciones:
/\ -j-x = x - s(T
- A 7rzt - z - s<r(2.52)
2.3 DIFERENCIAS ENTRE LA EORMULACION
DETERMINISTICA Y ESTOCASTICA
De lo visto anteriormente, es evidente que el método es_
tocástico difiere notablemente del método determinístico aim
que es una simple extensión del mismo en varios aspectos que
se derivan básicamente de la forma como se maneja la inform£
ción; los principales son:
1 . ta formulación estocástica modela el problema de
jo de potencia desde el punto de vista real; es decir,
tomando en cuenta la. incertidumbre en los datos nod£
les, lo cual es ignorado por el método determinístico.
2. Los datos históricos disponibles, son manejados ad_e
cuadamente en los estudios de flujo estocástico, no £
sí en los estudios convencionales.
3. Todas las variables involucradas en el problema de flij
jo de patencia estocástico, se tratan en forma de rají
gos alrededor de un valor probable, lo cual no es fac_
tibie en un estudio convencional.
4. La solución estocástica proporciona: una descripción
confiable del sistema, puesto que refleja el efecto
del comportamiento real de los datos, lo que no ocurre
con los resultados determinísticos sobre los cuales se
tiene desconfianza.
5. Los valores medios y las desviaciones estándar del
jo estocástico, son suficientes en operación para co_
nocer el estado de seguridad del sistema de potencia.
Esto no es posible, si se dispone únicamente de los
valores medios que da la solución determinística.
6. La información obtenida del flujo de potencia est£
cástico, es de mayor utilidad y confiabilidad para el
operador del sistema que la solución determinística.
2.4 LA SIMULACIÓN DE MONTE GARLO
Un método alternativo para resolver flujos de potencia,
tomando en cuenta la existencia de errores en los datos nod£
les, constituye la simulación de Monte Cario. Es un proceso re_
petitivo, en el cual se perturban aleatoriamente los datos de
entrada alrededor de un punto y dentro de un intervalo que prp_
bablemente contiene el valor real del dato; los resultados de
cada flujo son almacenados, y al final de un suficiente núrne
ro de casos, en que se considere tener una buena representa-
ción del problema, se someten a un proceso analítico, para d
terminar las funciones densidad de probabilidad de las varia-
bles de salida, así como también sus valores extremos, medios
y varianzas(6,16).
Las distribuciones de probabilidad de los datos, se obtie^
nen por acumulación de datos históricos o por modelos de de^
manda anticipada (6); por simplicidad, la simulación de errp_
res asume comúnmente una distribución uniforme, y se realiza
bajo las siguientes fórmulas (16).
Para la magnitud de voltaje en barras de generación,
Vm = Vr(1+wN) (2.58)
donde
Vm = Voltaje perturbado
Vr = Voltaje no perturbado
w = Rango de error
N = Número aleatorio (-1<N<t, distribución uniforme)
- 36 -
Para las cargas y generación activa,
Sm = Sr(HwN) (2.59)
donde
Sm = Potencia compleja perturbada
Sr = Potencia compleja no perturbada
(En el caso de barras de generación solamente la
parte real)
El diagrama de flujo para la simulación se presenta en
la figura 2.2
Perturbación
Caso 1*)
Datos no Estudio de
No /¿Ultimo^x\caso?,s
Si
<==^~ -==}Resultados
de cadacaso
iii
*Resultado
final
T
Fig. 2*2 Diagrama de flujo para la simulación de
Monte Cario (16).
La aplicación del método de Monte Cario en los estudios
de flujo, se ha visto limitada por el excesivo tiempo de corn
putación y los grandes requerimientos de memoria que se nece
sita para obtener resultados confiables. Además, pueden darse
casos en los cuales no hay convergencia, por lo que se compli_
ca el proceso de simulación.
CAPITULO 3
P R O G R A M A D I G I T A L
3.1 CONSIDERACIONES EN PROGRAMACIÓN
Los cálculos adicionales que se llevan a cabo después
de obtener la solución determinística de flujos, se refieren
exclusivamente a operaciones con matrices cuyas dimensiones
dependen del tamaño del sistema de potencia. Esto demanda gran_
des cantidades de memoria computacional cuando no se conside-
ra la porosidad de las matrices J, C y K; más aún, cuando se
observa que las matrices K y Cov(z) son las de mayores dimein
siones. Estas características, han obligado a desarrollar un
programa digital que trata al máximo de disminuir los requerj_
mientos de memoria, a la vez que aumentar la rapidez en los
cálculos, empleando adecuadamente técnicas de esparsidad.
Ahora se explica en forma resumida lo realizado en el prp_
grama digital y las consideraciones que se hicieron en su el£
boración.
La matriz covarianza de x está dada por:
Cov(x) = J~1CJ~1t (2.44')
_
El Jacobiano inverso J , se determina por bifactoriza-
ción, es decir, con el mismo método utilizado en la resolución
del flujo convencional por Newton-Raphson (14); se almacena en
- 38 -
forma de matriz debido a que generalmente contiene un escaso
número de ceros, o sea lo opuesto de J.
La matriz C se calcula y se almacena vectorialmente, con
apuntadores de fila y columna, tal como se procede con los e_
lementos de J (14); en caso de no existir correlaciones, sólo
se calculan y almacenan los elementos de la diagonal.
_1El resultado de J C se empaqueta matricialmente.
-1 -11El producto J CJ resulta en una matriz simétrica. Su
almacenamiento se realiza con el mismo método usado para empa_
quetar la matriz impedancia de barra dado en la referencia
(11) y que se da a continuación:
Cov(x) =
1
Fig. 3.1 Empaquetamiento de Cov(?).
Se almacena en un vector la matriz triangular superior en el
orden indicado en la figura 3.1. Cuando se necesita ingresar
en cualquiera de los elementos, se verifica que la fila sea
menor o igual que la columna, caso contrario, se intercambian
posiciones. Entonces se aplica la ecuación:
2v - v .r ~ ^ + h (3.1)
donde
r = Elemento del vector que contiene a la matriz triar¿
guiar superior.
- 39 -
v, h = columna y fila correspondientes al elemento r
respectivamente
Con iguales valores de v y h, se localizan los elementos de la
diagonal de la matriz Cov(x) gue constituyen las varianzas de
las variables de estado.
Posteriomente, y de un modo eficiente se calculan las
desviaciones estándar de las variables de salida dependien
tes, aprovechando que se necesita obtener únicamente los ele^
mentos de la diagonal de la matriz Cov(z). Para su compren^
sión vamos a suponer un sistema sencillo de 3 barras como el
indicado en la figura 3.2, donde la barra 1 es la oscilante y
los barras 2 y 3 son de carqa. Pnra encontrar la desviación
Fiq. 3.2 Sistema de potencio de 3 barras.
estándar del flujo de potencia activa en la línea 1-3, prime
ramente se conforma el vector fila k.i
línea (i=P..,), planteando la ecuación:
ramente se conforma el vector fila k. correspondiente a esta
06P1336 3
0 3P13av3
AS,
d63
2
¿W3
= áP13 (3.2)
donde el vector que interesa es:
ni 0
ap13
660
3P13
ev3 (3.3)
el cual se calcula en el punto de solución, para luego deter
minar en forma directa la desviación estándar mediante lo ex
presión:
Cov(x-) (2.57)
Con este procedimiento, se logra reducir el excesivo número
de operaciones y se gana mucho en memoria, ya que no hay nece;
sidad de obtener toda la matriz Cov(?). Adicionalmente, se cal^
cula y almacena sólo los elementos diferentes de cero de cada
vector k. con indicadores de posición de columna, con lo cual
no se realiza ninguna multiplicación por cero y se disminuye
aún más el tiempo de ejecución. Esta última consideración, sur
ge de un análisis de la matriz K, cuyos vectores fila presen^
tan las siguientes propiedades [Ver ecuaciones (B.14), (B.18)
y (B.29) en Anexo B]:
1. Para la potencia neta activa y reactiva en la barra
oscilante así como también la potencia neta reactiva
en barras de generación, la estructura de cada vector
es similar a la conformación de las filas de J.
2. Para los flujos de potencia en elementos, se pueden
presentar dos casos:
a) Cuando el elemento considerado no está conectado a
la barra oscilante, k. contiene cuatro términos dj_
ferentes de cero.
b) Si el elemento se conecta con uno de sus extremos
n la barra oscilante, k. contiene dos términos difei —
rentes de cero.
3. En el caso de capacitores y/o reactores a tierra, las
filas respectivas contienen solamente un término
tinto de cero.
3.2 DIAGRAMAS DE FLUJO: PROGRAMA PRINCIPAL Y SUBRUTINAS
El programa digital desarrollado en la presente Tesis
consta del programa principal y 21 subrutinas, cuya conforma_
ción es la siguiente:
Subrutinas Subrutinas
IMPUT1
S0LVE-
SALID1
IMPUT2-
JAC0BJ-
C0VX
SALID2
llama a
NETAVARPENCER0JAC0B0RDEMSIM0RDREDUCS0LUCC0RRECVI0LAGENERFLUJ0
llama
llama a
1ra Parte
Fig. 3.1 Estructura del programa digital.
La primera parte corresponde a la resolución del flujo de po_
tencia determinístico, para lo cual se usa la programación
del método formal de Newton-Raphson desarrollada por el Ing.
Edgar Mármol en su Tesis: "Estudio de Flujos de Carga mediar^
te los métodos de Newton-Raphson". La segunda parte comprende
el cálculo de las desviaciones estándar y los límites de cor^
fianza; estos cálculos se realizan una vez que se ha obtenido
convergencia en la primera parte.
Es necesario aclarar que la programación de la primera
parte, bajo autorización del autor, ha sido parcialmente modi_
ficada con varios propósitos:
1. Permitir dos criteriosde convergencia, uno para la p£
tencia activa y otro para la potencia reactiva.
2. La numeración de barras es ahora indiferente, esto es,
en un sistema de n barras, la numeración de ellas no
necesariamente debe ir de 1 a n, sino que también
puede ser mayor que n, dependiendo de las necesidades
del usuario. Así por ejemplo, en un sistema de 3 ba
rras, la numeración puede ser: 4, 2, 11.
3. Incluir el nombre de cada barra.
4. Señalar los voltajes de barra fuera del rango normal
de operación.
5. Señalar los elementos con sobrecarga.
6. Facilitar la programación de la segunda parte, y ha
cer que el programa total sea fácil de entender y pro
bar. Esto se consigue, separando la subrutina S0LVE en
varios subprogramas.
Los diagramas de flujo y la descripción detallada de la
primera parte, se dn en la referencia (14).
- 43 -
A continuación se presentan los diagramas de flujo del
programa principal y de las subrutinas INPUT2, JAC0BJ, PPlVX,
JAC0RK, C0VZ y 5ALID2.
CINICKQ
^Lectura e impresión del título |
fNS,BASE ,C0NP,C01
NQ, MAX I T,INDFP j
1
I N5,BA5E,C0NP,C0NQ,MAXnJ
CALL INPUT1
N5=8*(NLE+NCR)
CALL S0LVECALL SALID1
Si
CALL INPUT2CALL JAC0BJCALL C0VX
N8=UNBTC-MB+2*MT
CALL JAC0BKCALL 5ALID2
Fig. 3.2 Diagrama de flujo del
Programa principal.
- 44 -
C INICIE)
K1=IINDI(NS) IL=N7M=0
<W II=1,HR> (45)
IAU(M,1)=KN=IINDI(K)IN0MCH)-N0MB(N)IAU(M,2)=N0DE(N)
JJ=J+MB-1FV(J) = (C(1)/100.*PN(N))**2ISEV(J)=JIREV(J)=JFV(JJ)=(C(2)/100.*Y1)**2ISEV(JJ)=JJIREV(JJ)=JJ
C(3)=C(3)/10n.*/FV(n)*TV(JJJLrL+1FV(L)=C(3)
IREV(L)=JJ
ISEV(L)3:JJ
IREV(L)=J
No
(IAU(M,1),N(fM(M),IAU(M,2),AUX(M,1),AUX(M,2),AUX(M,3),
M=1t2)
Fig. 3.3 Diagrama de flujo de lo
Subrutina INPUT2.
''
NJ=IINDI(J)|NKJ1J1
= l(1C 2
INDI(K)I)=NJ)=NK
C(I)=C(I)/100.*flrV(IL)"FVaM}L=L+1FV(L)=C(I )I5EV(L)=ILIREV(L)=IML=L+1FV(L)=C( I )ISEV(L)=IM
-{ IREVOML i
( IAU(M,1) , IAU(M,2) ,AUX(M,1) ,A U X ( M , 2 ) , A U X ( M , 3 ) , A U X ( M , 4 ) ,
M=1,2)
- 46 -
lAUTT, I),1 = 1,2),
CALL ENCER0CALL JAC0BCALL 0RDEMCALL SIM0RDCALL REDUC
<m_
VPCJ)=0.f
CALL S0LUC
<D0 J=1,N7
C RETURN) RETURN)
Fiq. 3.4 Diagrama de flujo de In
Subrutina JAC0RJ -
CINICI0 )
A X ( I , K ) = A X ( I , K ) + V X ( I , L ) * r V ( J )
CX(L)=CXa)+AX.(J ,K)*VX(I ,K)
I DEsvxd =^cxru
Fig. 3.5 Diagrama de flujo de la
Subrutina
C I N I C I 0 )
< D 0 I r 1 , M B
J=J+NBUS(I7
Si
L1=1,50>—|
FK(L1)=Ü.
HIK=G(J)*SIN(D(I)-D(K))B(J)*C0S(D(I)-D(K))
B(J)*SIN(D(I)-D(K))
FKU1)=FK(L1}+V(I)*VÍK)*HIKFK(L2)=FK(L2)+V(I)*PIK
•
<D0 MM=I,N;
Fiq. 3.6 Diagrama de flujo de la
Subrutina JAC0BK.
FK(L1)=FK(L1)-V( I ) *V(K)*PIKFK(L2)=FK(L2)+V(I )*HIK
FK(L1)=PN(I ) -G(J)*V( I ) **2FK(L2)=QN(I ) /V( I ) -V( I ) *B(J)
(45)*—C0NTINUE
CALL C0VZ
[50V—C0NTINUE0NTINI
<D0 J = 1,MT> Í120JB(J)*C0S(D(I)-D(K))
PIK=G(J)*C0S(D(I) -D(K))+B(J)*SIN(D(I)-D(K))
ISEZrO=M1FK(1)=-V(I)*V(K)*HIKISEZ(2)=M2FK(2)=-2.*G(J)*V(D+V(K)*PIK
L2=L2+1ISEZ(L2)=M3FK(L2)=V(I)*V(K)*HIKL2=L2+1
FK(L2)=V(I)*PIK
IS~EZ(1")=M1"~FK(1)=V( I ) *V(K)*PIKISEZ(2)rM2FK(2)=2.*(B(J)-S(J))*V( I )
L2=L2+1ISEZ(L2)=M3FK(L2)= -V( I ) *V(K) 1 f P IKL2=L2+1
FK(L2)rV(I)*HIK
ISEZ(1)rM2FK(1)=-2.*S(J)*V( I )
CALL "C0VZ
JL
(120K-C0NTINUE
C INICUO
FA(I)=FA(I)+FK(MM)*CX(K)
CZ(L)=CZ(L)+FA(I)*FK(I)
Fig. 3.7 Diagrama de flujo de la
Subrutina C0VZ.
- 52 -
CINICIIQ
y1 1
L1=0
I — "J
< •
I=1 ,MB>
X=180. /3.141592653=0B=BASE
1 1 ^.<D0
L1=L1+1L2=L2+1DI=(D(I)-CC*DESVX(L1))*XDS=(D(I)+CC*DESVX(L1))*XD(I)=D(I)*XVI=V( I ) -CC*DESVX(L2)VS=V(I )+CC*DESVX(L2)
NBUKm,N0MB(I),VI,V( I ) ,V5,DI ,D( I ) ,P5
L=L-1FQCI=FQC(I)-CC*DESV7(L)*t lFqcS=FQC(I)+CC*DESVZ(L)*B
NBUK (I), N0MB(D,VI,V ( I ) f VS ,D I ,D ( I ) ,DS ,FQCI,FQC(I) ,FQC5
C15)*—C0NTINUE
Fig. 3.8 Diagrama de flujo de la
Subrutina SALID2.
- 53 -
L=L+1PNI=(PN(I)-CC*DESVZ(L))*BPNS=(PN(I)+CC*DESVZ(L))*BPN(I)=PN(I)*B
QNI=(QN(I)-CC*DESVZ(L))*BQNS=(QN(I)+CC*DESVZ(L))*B
NBUK(I),N0MB(I),Q N I , Q N ( I ) , Q N S _ _
NBUK(I),NOMB(I),PNI,PN(I),
C0NTINUE
l,MB
N=NBUS(I
<D0
E-J+1
I*K1
yK=K1
No
L=L+1
FPI=FP(J)-CC*DESVZ(L)*BFPS=FP(J)+CC*DeSVZ(L)*BL=L+1FCJI=FQ(J)-CC*DESVZ(L)*BFQS=FQ(J)+CC*DESVZ(L)*B
NBUK(K)}N0MB(K),FPI,FP(J),FP5,Fni,Fq(j),Fqs
CRETURN3
3.3 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA
En este numeral se describe el programa principal y la
función que desempeña cada una de las subrutinas a las que
llama, en el orden indicado en la figura 3.1.
Programa principal
Realiza lo siguiente:
1. Lee e imprimo el título.
2. Lee e imprime datos generales.
3. Llama a las subrutinas INPUT1, S0LVE y SALID1.
4. Entre los datos generales, el único que se lee pero no
se imprime, es un indicador (INDFP) del estudio de flu
jo de potencia que requiere el usuario, sea determi
nístico (INDFP=1) o estocástico (INDFP=2). Si es 1, el
proceso termina; si es 2, continúa con los siguientes
pasos:
5. Lee el coeficiente e intervalo de confianza.
6. Llama a las subrutinas INPUT2, JAC0BJ, C0VX, JAC0BK y
SALID2.
Subrutina INPUT1
Este subprograma, lee e imprime los datos de barras y ele_
mentos necesarios para el estudio de flujo determinístico, y
realiza un control de errores de los mismos. Además, ordena
los elementos respecto a filas y columnas para luego formar la
matriz admitancia de barra.
Subrutina S0LVE
En esta subrutina, se resuelve totalmente el flujo de p£
tencia determinístico. Los pasos que sigue son:
- 55 -
1. Llama a la subrutina NETA, que calcula la potencia ne_
ta activa y reactiva especificadas.
2. Inicializa el contador de iteraciones.
3. Llama a la subrutina VARP, que calcula los desbalances
de potencia y magnitud de voltaje al cuadrado, entre
los valores especificados y los calculados.
4. Realiza la prueba de convergencia tanto de potenciaoc
tiva como reactiva.
5. Verifica que el número de iteración corriente sea me_
ñor que el máximo i número de iteraciones especificado.
En caso de ser igual, se cancela la ejecución.
6. Llama a las subrutinas:
ENCER0.- Inicializa con cero los arreglos en los cu£
les se almacena información concerniente al
Jacobiano (J).
JAC0B.- Determina los elementos del Jacobiano (J).
0RDEM.- Ordena de acuerdo a columnas los elementos del
Jacobiano (J).
SIM0RD.- Ordena la matriz porosa J de tal manera que
en el posterior proceso de reducción, el mj
mero de elementos nuevos creados sea lo más
pequeño posible y además para que el número
de operaciones a realizar sea mínimo.
REDUC.- Es propiamente la aplicación de la bifactori_
zación.
S0LUC.- Rescata el vector solución.
C0RREC.- Realiza las correcciones de voltaje en magni^
tud y ánqulo.
7. Incrementa el contador de iteraciones.
8. Regresa al paso 3. y el proceso continúa hasta que se
satisfaga en el paso 4., los criterios de convergencia
- 56
especificados.
9. Llama a VI0LA, que examina la violación de máxima o rní^
nima generación de reactivos en barras de voltaje con
trolado. Si no lo hay, prosigue con el paso 11.
10. Si han ocurrido violaciones, se fijan como datos los
límites respectivos de generación reactiva en lugar de
las magnitudes de voltaje. Se regresa al paso 3. y el
proceso se repite hasta obtener la solución gue se a
justa a las nuevas condiciones planteadas.
11. Llama a las subrutinas.
GENER.- Calcula la generación de activos y reactivos
en la barra oscilante, así como la generación
de reactivos en barras de voltaje controlado.
FLUJ0.- Calcula flujos y pérdidas de potencia en elemeri
tos.
Subrutina 5ALID1
Esta subrutina tiene la función de imprimir los result£
dos del flujo de potencia determinístico.
Subrutina INPUT2
La función asignada a este subprograma, es la de leer e
imprimir las desviaciones estándar y los coeficientes de corre
lación, así como también realizar un control de errores de los
mismos. Además, forma la matriz covarianza de los errores C y
llama al subprograma 0RDEM para que ordene sus elementas de a
cuerdo a columnas.
Subrutina JAC0BJ
Esta subrutina calcula el Jacobiano (J) inverso en el pun_
to de solución. Para ello, llama a los subprogramas ENCER0, JA
- 57 -
C0B, 0RDEM, SIM0RD, REDUC y 50LUC.
Subrutina C0VX
Determina la matriz covarianza de las variables de esta
do y calcula las desviaciones estándar de estas variables apli_
cando las ecuaciones (2.44') y (2.50) respectivamente.
Subrutina JAC0BK
Este subprograma, calcula las desviaciones estándar de
todas las variables de salida dependientes de la siguiente nía
ñera:
1. Determina el vector fila k. de la variable z. en eli i
punto de solución.
2. Llama a la subrutina C0VZ, que calcula directamente
la desviación estándar de z. utilizando la ecuación
(2.57).
Los pasos 1. y 2. se aplican a todas las variables z.
Subrutina 5ALID2
Imprime el coeficiente e intervalo de confianza. Luego
calcula los rangos de variación de las variables de estado y
de salida dependientes, en base al coeficiente de confianza.
Finalmente, imprime dichos rangos junto con los respectivos
valores medios.
CAPITULO 4
E J E C U C I Ó N D E P R U E B A S
Y A N Á L I S I S D E R E S U L T A D O S
En este Capitulo se presentan las diferentes pruebas
tuadas sobre un sistema de potencia de 14 barras de la IEEE.
En cada prueba se realiza un análisis comparativo de los resu^
tados obtenidos.
Los datos del sistema se muestran en el Anexo D.
En la última parte de este Capítulo se muestran los r£
sultados del estudio de flujo estocástico realizado sobre el
Sistema Nacional Iterconectado.
4.1 Prueba a. COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS DEL ELUJO DE
POTENCIA ESTOCÁSTICO CON LA SOLUCIÓN DETERMINISTICA Y
CON LA SIMULACIÓN DE MONTE CAREO
Comparación entre la solución
determinística y estocástica
Se ha demostrado en el Capítulo 2, que los resultados de^
terminísticos coinciden con los resultados esperados déla fo£
ululación estocástica, por este motivo, se omite la tabla de V£
lores medios para efectos de comparación entre las dos forrrMj
laciones. Son las desviaciones estándar del flujo estocástico
las que le diferencian del flujo convencional.
- 59 -
La solución única que proporciona el flujo convencional,
no contribuye eficazmente en la toma de decisiones, mientras
que las desviaciones estándar dadas por el flujo estocástico
son de gran utilidad en tales circunstancias, sobre todo tp_
mando en cuenta que la situación real del sistema, puede ser
peligrosa, como se mostrará más adelante (Prueba c.) al cons^
derar desviaciones de voltajes en barras de generación.
Comparación entre los resultados estocásticos
y aquellos je Montee Garlo
Para probar la confiabilidad de los resultados del flujo
de potencia estocástico, se utilizó la simulación de Monte Co£
lo. La tabla 4.1 muestra los resultados obtenidos por los dos
métodos.
Los resultados de la simulación, son el producto de 50
corridas de flujo de potencia convencional, donde los datos
fueron perturbados aleatoriamente, asumiendo que poseen una
distribución uniforme. Esta prueba se realizó utilizando la
fórmula (2.59), con un rango de error del (? c7)% y con dos
números aleatorios situados dentro del rango -1 N*;1 . Unn simu
lación de Monte Cario completa, se hubiera conseguido corrien_11
do 2 flujos de potencia; 2 por considerar dos números alea-
torios, y 11 porgue de las 14 barras se resta la oscilante y
las dos barras de inyección cero.
El flujo de potencia estocástico se corrió con desviacio^
nes estándar en las inyecciones del 6% de sus valores espera_
dos.
Tanto en la simulación como en el flujo estocástico, se
asumió gue los voltajes de generación permanecen constantes.
Si se comparan los resultados obtenidos mediante la simu
- 60 -
lación con aquellos del flujo estocástico, se deduce que los
valores medios son prácticamente los mismos. En cuanto a las
desviaciones estándar, puede decirse que generalmente son ma_
yores los valores dados por el flujo estocástico; esto obvia-
mente se debe a que en la simulación, de las 2084 combinacio-
nes posibles entre datos, se seleccionaron aleatoriamente só
lo 50.
Los resultados que se indica entre paréntesis, correspojn
den a las primeras 23 corridas de flujo convencional. Estos va^
lores se anotaron para observar el incremento en las desvia_
ciones estándar debido al incremento en el número de corridos.
En conclusión, salo corriendo un número considerable de
casos de flujo convencional, se puede llegar a obtener desvira
ciones similares a las obtenidas mediante el flujo estocást^
co.
4.2 Prueba b. ANÁLISIS DE RESULTADOS CONSIDERANDO
VARIACIONES EN LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE LAS CARGAS
Esta prueba se desarrolló con el objeto de observar el ir^
cremento de la incertidumbre de las variables de salida, debi^
do al incremento en la incertidumbre de las cargas. Se utili-
zaron desviaciones estándar para las cargas de 2%, 6% y 10%
de sus valores esperados. En la tabla 4.2 se presentan los re_
sultados obtenidos.
Puede notarse con facilidad que las desviaciones estándar
de las variables de salida, van aumentando linealmente de c_a
so a caso. Esto obedece, a la relación lineal que mantienen
las varianzas de los datos de entrada con las varianzas de Ins
cantidades de salida como así lo demuestran las expresiones si
guientes:
- 61 -
Var(x) = diag(J 1CJ"1t) (2.24')
Var(z) = diag(KJ~1CJ~1tKt) (2.36')
Los jacobianos J y K evaluados en el punto de solución
permanecen constantes, mientras que la matriz C varío entre
casos, debido a la variación de las desviaciones estándar de
las cargas.
El sistema p.u. usado para expresar las magnitudes de
taje, no permite apreciar los cambios en las desviaciones e£
tándar de todas estas variables. Sin embargo, dichos cambios
se justifican puesto que también las desviaciones estándar de
los flujos de potencia reactiva, cambian.
Cabe indicar que esta prueba se realizó considerando que
las magnitudes de voltaje en barras de generación no se ven JD
fectadas por los cambios de carga.
4.3 Prueba c. EFECTO DE LA VARIACIÓN DEL
VOLTAJE EN BARRAS DE GENERACIÓN
En virtud de las barras de generación existentes en un
sistema eléctrico de potencia, el flujo de potencia estocásti^
co puede modelarse de dos formas:
1. Formulación con voltajes de generación fijos
2. Formulación con voltajes de generación variables
El primer modelo asume que no hay incertidumbre sobre las
magnitudes de voltaje en barras de generación. El segundo coin
sidera incertidumbre sobre estas variables, en consecuencia,
este modelo toma en cuenta las desviaciones estándar de los
voltajes de generación.
- 62 -
Para observar el efecto que tiene el error de voltajes
sobre los resultados de flujos, en esta prueba se realizaron
dos corridas, la primera con voltajes fijos y la segunda con
voltajes variables. Los resultados se muestran en la tabla
4.3.
En los dos casos se utilizó como desviaciones estándar
de las potencias netas activa y reactiva, el 6% de sus valores
esperados. El primer caso se corrió considerando cero las de:s
viaciones estándar de las magnitudes de voltaje de generación,
y el segundo, estableciendo uno desviación del 0.6% de los vol_
tajes especificados. Este valor se seleccionó asumiendo que
la relación entre los cambios de potencia neta reactiva y la
magnitud de voltaje en cualquier barra de generación, es apt£
ximadamente de 10 a 1. Esto es comprensible puesto que las in^
yecciones son variables incontrolables, en tanto que los
tajes están bajo control por medio de los reguladores de
taje; por esta razón, se pueden considerar desviaciones ^
ñas para voltajes y más amplias para las inyecciones.
En las dos modelaciones se considera a las desviaciones
estándar de las magnitudes de voltaje de generación como canti
dades de entrado y salida.
Si se atiende o los resultados dados en la tabla, se pue
de llegar a las siguientes conclusiones:
1. Respecto a las magnitudes de voltaje en barras de qe_
neración, se verifica que las desviaciones estándar
calculados, coinciden con aquellas de entrado.
2. Pequeños cambios en los voltajes de generación, provo^
can un efecto despreciable en los flujos de potencia
activa, y prácticamente no inciden en los ángulos de
voltaje como tampoco en la generación activa de la b£
rra oscilante.
- 63 -
3. Pequeños cambios de voltaje en barras de generación,
ocasionan grandes cambios en la producción de reacti-
vos por parte de generadores y consecuentemente en las
flujos de potencia reactiva.
4. De existir incertidumbre en el valor de voltnjn de q£
neración, los Flujos de potencia reactiva por las 1
neas conectadas a las barras de generación y oscilan-
te, son en general los más afectados, pudiéndose llegar
a situaciones peligrosas que pueden alterar el estado
normal de funcionamiento del sistema. Este hecho es
aún más notorio en el caso particular de la línea 2-5,
donde el flujo reactivo se hace muy sensible a la in^
certidumbre debido a que su valor medio es muy pequie
ño, tanto es así que la desviación estándar es el 324?¿
del valor medio, reduciéndose a sólo el 1R?Ó cuando la
prueba se realiza con voltajes fijos. Esto es altamen^
te significativo, ya que el error en voltajes es prá£
ticamente pequeño, pero su efecto es de gran magnitud.
4.4 Prueba d. ANÁLISIS DE RESULTADOS EN BASE A LA
CORRELACIÓN ENTRE VARIABLES DE ENTRADA
El objetivo de la presente prueba es hacer notar el efe£
to de la correlación entre variables de entrada sobre los re^
sultados del flujo de potencia estocástico. Con tal propósito
se corrieron dos casos de flujo, el primero despreciando todns
las correlaciones existentes, y el segundo, considerando los
coeficientes de correlación de mayor influencia, que son los
siguientes:
fp p = m; j>p p = 33?¿; f = 44SS; f = 25%J 2 3 *Y?l\5 VJ5
- 64 -
La forma como se obtuvieron estos valores se indica en el A-
nexo E.
Se asumió que una pequeña variación en la potencia actj_
va de una barra en particular, prácticamente no produce vnria_
ción en la potencia reactiva de dicha barra y de las demás.
Similarmente, una pequeña variación en la potencia reactiva
de una barra, prácticamente no produce variación en la poter>
cia activa de esta barra y de las demás. Bajo estas asuncJ<D
nes, todos los coeficientes de correlación entre P y Q fueron
despreciados. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla
4.4.
En los dos casos se asumió que la desviación estándar en
las inyecciones, es del 6?ó de sus valores esperados y qun los
voltajes en barras de generación permanecen invariables.
Comparando resultados, se encuentra que el establecimien^
to de correlaciones, produce ligeros cambios en las desvinci_o
nes estándar tanto de las potencias en las barras 1 y 2 como
de los flujos de potencia por ciertas líneas, sea aumentando
o disminuyendo las desviaciones del caso sin correlación.
Es interesante notar, que se modifican las desviaciones
estándar de los flujos de potencia en todas las líneas cone£
tadas entre barras correlacionadas, así como también de nlqjj
ñas líneas que se conectan con un extremo a cualquiera de las
barras mencionadas.
- 65 -
Tabla 4.1 Resultados del flujo estocástico y de la
simulación de Monte Cario
Barras degeneracióny cnrga
2
3
4
5
6
7
R
9
10
11
12
13
14
Barras degeneracióny cargn
9
Barras degeneración
yoscilante
1
2
3
6
8
Flujoestocástico
\l . medio <r
MonteCario
V. medio <r
flujoestocástico
V. medio <r
MonteCario
V. medio) (TV O L T A J E
Magnitud (p.u.)
1.045
1.010
1.019
1.020
1.070
1.062
1.090
1.056
1.051
1.057
1.055
1.050
1.036
0
0
0.001
0.001
0
0.001
0
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.002
1.045
1.010
1.019
1.020
1.070
1.062
1.090
1.056
1.051
1.057
1.055
1.051
1.036
0
0
0.001
0.001
0
0.001
0
0.001
0.001
0.001
0
0.001
0.001
POTENCIA DE CAPACITORESY/O REACTORES A TIERRA
(MVAR)
-21.20 0.06 -21.20 0.05
Ángulo (grados)
-5.0
-12.7
-10.3
-8.8
-14.2
-13.4
-13.4
-14.9
-15.1
-14. B
-15.1
-15.2
-16.0
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
-5.0
-12.7
-10.3
-8.8
-14.2
-13.4
-13.4
-15.0
-15.1
-14.8
-15.1
-15.2
-16.1
0.2
0.4
0.3
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
P O T E N C I A N E T A
(MW)
232.38 7.74 232.46 6.76
(MVAR)
-16.89
29.70
4.39
4.73
17.35
1.33
1.99
2.40
0.81
0.47
-16.82
29.82
4.44
4.77
17.37
3.97
2.04
1.32
1.01
D.45
- 66 -
Tabla 4.1 Resultados del flujo estocástico y de la
simulación de Monte Cario (continuación)
De a
1-2
1-5
2-3
2-4
2-5
3-4
4-5
4-7
4-9
5-6
6-11
6-12
6-13
7-8
7-9
9-10
9-14
10-11
12-13
13-14
Flujoestocríntico
V. medio <r
MonteCnrlo
V. medioj (T
Flujoestocñstico
V . medio (T
MonteCnrlo
V . medio crF L U J O D E P O T E N C I A
( M W )
156.83
75.55
73.19
56.14
41.51
-23.33
-61.22
28.09
16.09
44.06
7.34
7.78
17.74
0
28.09
5.24
9.44
-3.77
1.61
5.63
5.62
2.15
3.3B
1.44
0.93
2.60
2.30
0.93
0.53
1.04
0.43
0.26
0.62
0
0.93
0.55
0.63
0.42
0.22
0.47
156.90
75.57
73.21
56.15
41.52
-23.33
-61.21(-61.22)
28.09
16.09
44.07
7.35
7.78
17.74
0
28.09
5.24
9.44
-3.7R
1.61
5.63(5 .64)
4.76
2.00
1.82
1.34
1.00
1.47
1.54(1.44)
0.74
0.42
1.10
0.31
0.21(0.19)0.49
(0.44)
0
0.74
0.37
0.42
0.29
0.18(0.12)0.30
(0 .16)
( M V A R )
-20.39
3.50
3.57
-2.29
0.76
2.81
15.67
-9.42
-0.32
12.82
3.47
2.49
7.16
-16.91
5.79
4.31
3.65
-1.53
0.74
1 .68
1.32
0.17
0.34
0.22
0.14
1.19
0.75
0.25
0..21
0.21
0.30
0.10
0.32
0.44
0.60
0.34
0.21
0.28
0.09
0.25
-20.36
3.51
3.59
-2.30(-2 .28)
0.78
2.83
15.68(15.67)
-9.42
-0.32
12.83
3.4B
2.49
7.17
-16.92
5.8
4.31
3.65(3.66)
-1.53
0.74
1.69
1.110.22
0.18
0.24(0.23)
0.16
0.68
0.43(0.40)
0.19
0.16
0.22
0.25
0.09
0.27
0.42
0.41(0.39)0.24
(0 .15)
0.17
0.22(0.20)0.05
(0.04)0.16
(0.15)
- 67 -
Tabla 4.2 Resultados de flujo estocástico considerando
variaciones en las desviaciones estándar de
las cargas
Barras degeneracióy carga
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Barras degeneracióny carga
9
Valormedio
Desviación estándar
20'.0 6% 10%
Valormedio
Desviación estándar
20'.0 G% 10?¿
V 0 t T A J E
Magnitud Cp.u.)
1.045
1.010
1.019
1.020
1.070
1.062
1.090
1.056
1.051
1.057
1.055
1.050
1.036
0
0
0.001
0
0
0
0
0.001
0.001
0
0
0.001
0.001
0
0
0.001
0.001
0
0.001
0
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.002
0
0
0.002
0.001
0
0.001
0
0.003
0.002
0.001
0.001
0.001
0.003
POTENCIA DE CAPACITORESY/O REACTORES A TIERRA
(MVAR)
-21.20
Barras degeneración
yoscilante
1
2
3
6
8
0.02 0.06 0.09
Ángulo (grados)
-5.0
-12.7
-10.3
-8.8
-14.2
-13.4
-13.4
-14.9
-15.1
-14.8
-15.1
-15.2
-16.0
0.1
0.2
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.3
0.9
0.6
0.5
0.6
0.6
0.6
0.7
0.6
0.6
0.6
0.7
0.7
P O T E N C I A N E T A
(MW)
232.38 2.58 7.74 12.9
(MVAR)
-16.89
29.70
4.39
4.73
17.35
0.44
0.67
0.8
0.27
0.15
1.33
1.99
2.4
0.81
0.47
2.22
3.31
4.00
1.34
0.78
- 68 -
Tabla 4.2 Resultados de flujo estocástico considerando
variaciones en las desviaciones estándar de
las cargas (continuación)
De a
1-2
1-5
2-3
2-4
2-5
3-4
4-5
4-7
4-9
5-6
6-11
6-12
6-13
7-8
7-9
9-10
9-14
10-11
12-13
13-14
Valormedio
Desviación estándar
20'/o 60'
-D 10?¿
Valormedio
Desviación estándar
00'¿.'0
SO'O.o 10?¿
F L U J O D E P O T E N C I A
(MW)
156.83
75.55
73.19
56.14
41.51
-23.33
-61.22
28.09
16.09
44.06
7.34
7.78
17.74
0
28.09
5.24
9.44
-3.77
1.61
5.63
1.87
0.71
1.13
0.48
0.31
0.87
0.77
0.31
0.18
0.34
0.14
0.09
0.21
0
0.31
0.18
0.21
0.14
0.07
0.16
5.62
2.15
3.38
1.44
0.93
2.60
2.30
0.93
0.53
1.04
0.43
0.26
0.62
0
0.93
0.55
0.63
0.42
0.22
0.47
9.37
3.58
5.63
2.40
1.55
4.33
3.83
1.55
0.89
1.73
0.72
0.44
1.04
0
1.55
0.92
1.05
0.7
0.37
0.79
(MVAR)
-20.39
3.50
3.57
-2.29
0.76
2.81
15.67
-9.42
-0.32
12.82
3.47
2.49
7.16
-16.91
5.79
4.31
3.65
-1.53
0.74
1.68
0.44
0.05
0.12
0.07
0.04
0.40
0.25
0.09
0.07
0.07
0.10
0.03
0.11
0.15
0.20
0.11
0.07
0.09
0.03
o.on
1.32
0.17
0.34
0.22
0.14
1.19
0.75
0.25
0.21
0.21
0.30
0.10
0.32
0.44
0.60
0.34
0.21
0.28
0.09
0.25
2.19
0.28
0.56
0.37
0.23
1.98
1.24
0.42
0.35
0.35
0.49
0.18
0.54
0.74
0.99
0.57
0.36
0.47
0.15
0.41
- 69 -
Tabla 4.3 Resultados de flujo estocástico con voltajes
de generación fijos y variables
Barras degeneracióny carga
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Barras degeneracióny carga
9Barras degeneración
yoscilante
1
2
3
6
8
Valornedio
Desviación estándar
Voltajesfijos
VoltajesVariables
Valormedio
Desviación estándar
Voltajesfijos
VoltajesVariables
V O L T A J E
Magnitud (p.u.)
1.045
1.010
1.019
1.020
1.070
1.062
1.090
1.056
1.051
1.057
1.055
1.050
1.036
0
0
0.001
0.001
0
0.001
0
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.002
0.006
0.006
0.004
0.003
0.006
0.004
0.007
0.004
0.005
0.005
0.007
0.007
0.005
POTENCIA DE CAPACITORESY/O REACTORES A TIERRA
CMVAR)-21.20 0.06 0.17
Angulof (grados)
-5.0
-12.7
-10.3
-8.8
-14.2
-13.4
-13.4
-14.9
-15.1
-14.8
-15.1
-15.2
-16.0
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
P O T E N C I A N E T A
(MW)
232.38 7.74 7.74
(MVAR)
-16.89
29.70
4.39
4.73
17.35
1.33
1.99
2.4
0.81
0.47
12.24
19.61
7.89
3.86
2.61
- 70 -
Tabla 4.3 Resultados de flujo estocástico con voltajes
de generación fijos y variables (continuación)
De a
1-2
1-5
2-3
2-4
2-5
3-4
4-5
4-7
4-9
5-6
6-11
6-12
6-13
7-8
7-9
9-10
9-14
10-11
12-13
13-14
Valormedio
Desviación estándar
Voltajesfijos
Voltajesvariables
Valormedio
Desviación estándar
Voltajesfijos
Voltajesvariables
F L U J O D E P O T E N C I A
(MW)
156. 83
75.55
73.19
56.14
41.51
-23.33
-61.22
28.09
16.09
44.06
7.34
7.78
17.74
0
28.09
5.24
9.44
-3.77
1.61
5.63
5.62
2.15
3.38
1.44
0.93
2.60
2.30
0.93
0.53
1.04
0.43
0.26
0.62
0
0.93
0.55
0.63
0.42
0.22
0.47
5.63
2.16
3.39
1.45
0.94
2.61
2.31
0.96
0.54
1.09
0.47
0.27
0.63
0
0.96
0.58
0.65
0.46
0.23
0.50
CMVAR)
-20.39
3.50
3.57
-2.29
0.76
2.81
15.67
-9.42
-0.32
12.82
3.47
2.49
7.16
-16.91
5.79
4.31
3.65
-1.53
0.74
1.68
1.32
0.17
0.34
0.22
0.14
1.19
0.75
0.25
0.21
0.21
0.30
0.10
0.32
0.44
0.60
0.34
0.21
0.28
0.09
0.25
11.08
1.40
4.56
2.47
2.46
3.29
1.78
1.47
0.58
2.47
0.98
0.15
0.57
2.48
1.59
0.98
0.69
0.95
0.14
0.62
- 71 -
Tabla 4.4 Resultados obtenidos, despreciando
y considerando correlación
Barras degeneracióny carga
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Barras degeneracióny carga
9
Barras degeneración
yoscilante
1
2
3
6
8
Valormedio
Desviación estándar
Sincorrelación
Concorrelación
Valormedio
Desviación estándar
Sincorrelación
Concorrelación
V O L T A J E
Magnitud (p.u.)
1.045
1.010
1.019
1.020
1.070
1.062
1.090
1.056
1.051
1.057
1.055
1.050
1.036
0
0
0.001
0.001
0
0.001
0
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.002
0
0
0.001
0.001
0
0.001
0
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.002
POTENCIA DE CAPACITORESY/O REACTORES A TIERRA
(MVAR)
-21.20 0.06 0.06
Ángulo (grados)
-5.0
-12.7
-10.3
-8.8
-14.2
-13.4
-13.4
-14.9
-15.1
-14. B
-15.1
-15.2
-16.0
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.2
0.6
0.3
0.3
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0,5
P O T E N C I A N E T A
CMW)
232.38 7.74 8.10
(MVAR)
-16.89
29.70
4.39
4.73
17.35
1.33
1.99
2.40
0.81
0.47
1.40
2.12
2.40
0.81
0.47
- 72 -
Tablo 4.4 Resultados obtenidos, despreciando
y considerando correlación (conti-
nuación)
De a
1-2
1-5
2-3
2-4
2-5
3-4
4-5
4-7
4-9
5-6
6-11
6-12
6-13
7-8
7-9
9-10
9-14
10-11
12-13
13-14
Valormedio
Desviación estándar
Sincorrelación
Concorrelació
Valormedio
n
Desviación estándar
Sincorrelación
Concorrelación
F L U J O D e P O T E N C I A
CMW)
156.83
75.55
73.19
56.14
41.51
-23.33
-61.22
28.09
16.09
44.06
7.34
7,78
17.74
0
28.09
5.24
9.44
-3.77
1.61
5.63
5.62
2.15
3.38
1.44
0.93
2.59
2.30
0.93
0.53
1.04
0.43
0.26
0.62
0
0.93
0.55
0.63
0.42
0.22
0.47
5.92
2.21
3.37
1.42
0.90
2.60
2.33
0.93
0.53
1.04
0.43
0.26
0.62
0
0.93
0.55
0.63
0.42
0.22
0.47
(MVAR)
-20.39
3.50
3.57
-2.29
0.76
2.81
15.67
-9.42
-0.32
12.82
3.47
2.49
7.16
-16.91
5.79
4.31
3.65
-1.53
0.74
1.68
1.32
0.18
0.34
0.22
0.14
1.19
0.75
0.25
0.21
0.21
0.30
0.10
0.32
0.44
0.60
0.34
0.21
0.28
0.09
0.25
1.39
0.17
0.34
0.22
0.15
1.19
0.76
0.25
0.21
0.22
0.30
0.10
0.32
0.44
0.60
0.34
0.21
0.28
O.D9
0.25
n00 0no oOO '0OO 0i)0 "O00 OOO 000 0oo •»)00 Yl-00 0OO 000 'O00 '0OO '000 000 '000 '000 000 000 000 000 O00 0OO '000 0I1O '000 000 000 000 '000 000 '0OO '0DO 000 0OO '000 '0
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CAPITULO 5
C O N C L U S I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S
CONCLUSIONES
En este trabajo, se ha presentado una formulación alter
nativa de flujo de potencia estocástico cuya principal utili^
dad se encuentra en el análisis de seguridad de los sistemas
eléctricos de potencia.
Cuando el flujo de potencia estocástico se modela con
tajes de generación variables, es muy importante tomar en cuen
ta, su efecto sobre el flujo de reactivos en el sistema, ya
que el valor real de los flujos puede estar lejos del valor
esperado e indicar estados peliqrosos, no detectables en el es
tudio convencional.
El reporte de flujo de potencia estocástico muestra el va^
lor medio de las variables de salida junto con sus respectivos
rangos de variación. Estos rangos van a permitir desarrollar
estrategias de control preventivo gue garanticen el normal furn
cionamiento del sistema de potencia.
Tanto para el operador del sistema como para el plañí fi_
cador, los resultados del flujo estocástico son más significa^
tivos y útiles gue aquellos gue proporciona el flujo convencio_
nal.
Las ecuaciones gue se plantean para obtener las desviacio
- 81 -
nes estándar de las variables de salida, son lineales y no re_
quieren métodos iterativos para su solución.
La determinación de los rangos de variación de las ^
bles de salida dependientes que se realiza por medio de vectp^
res porosos, utiliza un mínimo de memoria computacional .
En la simulación de Monte Cario, es necesario correr un
número suficientemente grande de casos de flujo convencional
paro llegar a obtener desviaciones similares a las que propoi^
ciona el flujo estocástico.
La incertidumbre de las variables de entrada mantiene una
relación lineal con la incertidumbre de las variables de sali_
da.
En operación y planeación de la operación a corto pla/o
de los sistemas eléctricos de potencia, los rangos de variación
de errores de las cargas son pequeños (2-4%) . Por tanto, pue_
den despreciarse todas las correlaciones existentes entre d£
tos, ya que su efecto va a ser insignificante en los result^
dos.
Cuando el flujo estocástico se aplique en la planeación
a largo plazo, no debe asumirse independencia entre datos,
debida a que los rangos de variación de errores de las cargas
son considerables (20-30%).
De los varios modelos desarrollados en el estudio de flu_
jo estocástico, el aquí descrito como una extensión del estij
dio convencional, es el más sencillo y permite obtener
tados confiables en el menor tiempo posible.
- 82
RECOMENDACIONES
La técnica de flujo de potencia estocástico propuesta en
esta Tesis, se recomienda aplicarla en lo planeación de la £
peración a corto plazo, y en el análisis de seguridad de los
sistemas eléctricos del país, con preferencia del Sistema Na_
cional ínter-conectado puesto que el teorema del límite central
tiene mayor validez en sistemas de gran tamaño.
Los cambios en la demanda reactiva del sistema, necesaria^
mente produce cambios en los voltajes de barra. Por esta razón,
en flujo estocástico se recomienda considerar variables los
voltajes de generación.
En casos prácticos, la elección de los rangos de vari£
ción de los voltajes de generación, debe dejarse a la estima_
ción de personal experimentado.
En la planeación a largo plazo, debe experimentarse inclu_
yendo correlación y al mismo tiempo considerando variables los
voltajes de generación.
La formulación presentada en esta Tesis, se ve limitada
por las grandes cantidades de memoria que se requiere para ll_e
gar a obtener la matriz covarianza de x. Para superar este as_
pecto, se recomienda investigar sobre el método secuencial pr£
puesto en la referencia (16), el cual obtiene las desviaciones
estándar de todas las variables de salida con poco uso de me_
moria.
En el futuro, el programa digital desarrollado puede ex^
tenderse para estudios de estimación de estado, donde se puede
obtener la mejor estimación de las variables de salida y
más, detectar e identificar errores de medición.
ANEXO A
D E F I N I C I O N E S E S T A D Í S T I C A S
Las definiciones de las cantidades más importantes en
probabilidad y estadística, se mencionan ahora.
VALOR ESPERADO
Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con valores
posibles x.,...,x ,... Sea p(x.) = Probabilidad (X=x.),
i - 1 ,2, . . . ,n, . . . El valor esperado o promedio de X, dj3
notado por E(X), se define como (12,15)
E(X) = x p(x
si la sumatoria converge absolutamente.
Observación: Si X toma sólo un número finito de valores, lon
expresión anterior llega a ser E(X) = ¿_ x.p(x.). Esta se pue
de considerar como un -promedio ponderado- de los valores pp_
sibles x,.,...,x . Si todos los valores posibles son iqualmen-n
te probables, E(X) = (1/n) ~ x., lo que representa el valor
medio o promedio aritmético ordinario de los n valores
bles.
- A2 -
VARIANZA
Definición. Sea X una variable aleatoria. Definimos la ya-2
rirmza de X, denotada por
Var(X) = (T 2 = E[X - E(X)]
, como sigue (15,16):
2(A.2)
La raíz cuadrada positiva de Var(X) se llama desviación
estándar de X y está denotada por(T,-
La varianza (o la desviación estándar) es una medida
de la dispersión de los valores de X alrededor de L~(X).
Si la varianza es pequeña, los valores de X se concentran
alrededor de L~(X) y si es grande, se distribuyen Injnn
de E(X). Esta situación se representa gráficamente en la
figura A.1.
A f(x)
vananza pequeña
varan/a
E(X)
Fig. A.1 Distribuciones Gaussianas con
el mismo valor esperado-
Observación: El número Var(X) está expresado en unirt;tdes
cuadradas de X. Esto es, si X se mide en voltios, entonces2
Var(X) está expresada en (voltios) . Esta es la rn^ónp.ira mn
siderar la desviación estándar. Se expresa en las mismas uni_
dades que X.
- A3 -
COVARIANZA
Definición. Una medida de la correlación entre dos variables
aleatorias X y Y se encuentra dada por la covarian?a, de?
notada por (7* y que se define como (15,16)xy
Cov(X,Y) . (Txy = E{[X - E(X)] [Y - E(Y)]} (A.3)
ANEXO B
F O R M A C I Ó N D E L A S M A T R I C E S J Y K
Los coeficientes de las matrices J y K, se van a evaluar
considerando un sistema de potencia de n barras, donde la ba_
rra 1 es la oscilante.
B.1 FORMACIÓN DE LA MATRIZ 3
B.1.1 Sistema formado por barra oscilante
y barras dencarga (2,14)
Las ecuaciones de potencia neta en una barra de carga p,
son:
nP = V T" V [r> cos(6 - 6 ) + B sen(6 - 6 )1 (2.7)p P £TÍ qL pq P n pq P q J
p=2,3,..,n
nQ = V Y~ V FG sen(6 - 6 ) - D cos(6 - 6 )"| (2.0)p P £i qL pq P n pq p n J
Aplicando la técnica de Newton-Raphson al conjunto de e
cuaciones (2.7) y (2.8), se lleqa a obtener:
- B2 -
dP2 . dP2 . 6P2as0 as as2 p n
ap ap , apP . p . pas0 as as
2 p n
ap ap apn n nas,, as as
2 p n
aq2 ^ aq2 aq2as0 as as2 p n
aq • aq aqP . p . pas0 as as2 p n
aq aq aqn n n
as0 as as2 p n
dP2 3P2 aP2av0 av av2 p n
ap ap app • P - pav9 av av2 p n
ap ap apn n nav0 av av2 p n
aq2 3q2 an2av,, av av2 p n
aq aq aqP . p . pav0 av av2 p n
aq aq aqn n n
av0 av av2 p n
A62
AKP
AKn
AV.
AV
AV
AP.
AP
AP_
Aq,
Aq
AQ
(B.1)
En forma compacta:
(B.2)
Donde la matriz de coeficientes es el Jncobiano (J) del ^
tema, cuyo orden es de 2(n-1) x 2(n-1). Los suhjacobianos J.,
3?, J, y J,, son de orden (n-1) x (n-1); sus elementos se er\_
cuentran tomando las derivadas parciales de las expresiones
para P y Q dadas en (2.7) y (2.H).
- B3 -
Elementos no diagonales de J.:
9P•=£ = V V [C, sen(6 - 8 ) - B cos(6 -6 )~j (B.3)65 p rf pq p q pq P q J
p=2,3,..,n
q=2,3,..,n
Elementos de la diagonal de J.
ap—P- =-n - B v¿ (B.¿oar- P PP Pdo
P
p=2,3,..,n
Elementos no diagonales de ,]„:
3P= V l"n cos(5 - 6 ) + B sen(6 -8)1 (B.5)
pL pq p q pq p q J
p/q
p-2,3,..,n
q=2,3,..,n
Elementos de la diagonal de
apr - + G V (B.6)av v pp pp p
p=2,3, ..,n
Elementos no diagonales de J,:
as ~ q avq q
p=2,3,..,n
q=2,3,..fn
- B4 -
Elementos de la diagonal de J.,:
aq 2
66 = Pp " C'ppVp (B.8)p r '
p=2,3,..,n
Elementos no diagonales de J,:
3Q , 3P_£ = J El (B 9av v as vq q q
p/q
p=2,3,..,n
q=2,3,,.,n
Elementos de la diagonal de J,:
aq q-sf- = ü2 - B V CB.10)av v pp pp P Hl H
p=2,3,..,n
.1.2 Si_st_ema fojrmajo' por'barra pscil an t e, barras
de voltaje controlado y de carga (14)
Supongamos que p sea una barra de voltaje controlado. Las
ecuaciones correspondientes a esta barra son:
nP = V Y" V PC cos(S - S ) + B sen(6 - 6 )~l (2.7)p P rrj qL pq P q pq P q J
2 2V — Vp(especificado) " p(calculado) (2.13)
Aplicando el método de Newton-Raphson a las ecuaciones -
(2.7), (2.13) y a todas aquellas que corresponden a las bnrrn:
- B5 -
de carga, se obtiene:
3P2 6P2 . aP235 „ 66 66
2 p n
dP dP dP-JL • _R • _£d60 3S 052 p n
dP dP dPn . n . nas,, as ds
2 p n
3Q2 dQ2 aq2
as0 as as2 p n
0 . 0 . 0
aq aq aqn . n . n
asn as as2 p n
dP2 dP2 dP2
av0 av av2 p n
8P 3P dP_£ . _p_ . _p_
av0 av av2 p n
dP 3P 3Pn . n n
av0 av av2 p n
dQ2 aq2 aq2av0 av av2 p n
av2° • W1 ' °
P
dQ dq dqn n nav0 av av
2 p n
A69
A6P
AS
AV0
AVp
AV
AP.
AP
AP_
Aq,
Aq
(B.11)
LOS elementos diagonales dV /dV , se calculan a trave's
de la expresión:
,2av= 2V (B.12)
B.2 FORMACIÓN DE LA MATRIZ K
En forma compacta, la ecuación que relaciona los cambios
de las variables de estado con las variaciones de las varia
bles de salida dependientes es:
- 86 -
APSq
pq
barra oscilante
barra oscilante y devoltaje controlado
elementos (B.13)
capacitores y/o reactoresa tierra
Las submatrices K., K ,..,KR que conforman la matriz K,
se obtienen planteando las ecuaciones pertinentes a las vori£
bles de salida dependientes.
.2.1 Formación de K. y
El conjunto de ecuaciones lineales tanto de la potencia
neta activa y reactiva en la barra oscilante como de la poter^
cía neta reactiva en barras de voltaje controlado, se determi
na con el mismo procedimiento usado en el numeral B.1.1. Matri
cialmente se expresa como:
aP1 ap- ap.as0 as as
2 p n
as« as as2 p n
aq aq aq_J3 • __£ • __P_as,, as as2 p n
jV
ap_ 6P, ap,1 1 1av0 av av
2 p n
av0 av av2 p n
aq aq aq_j^ • _E • _aav av avn p n
^ j\¿
As2
Asp
ASn
Av2
AVP
AVn
AP
An
AqP
(B.14)
A
- B7 -
Donde se supone que lo barra p es de voltaje controlado.
En general, si NBTC representa el número de barras de
voltaje controlado, K. y «„ son de orden (2 + NBTC) x Cn-1).
B.2.2 Formación de K,, K. , Kc y K,_ j ¿t J n
La ecuación del Flujo de potencia por un elemento (lí-
nea ( transFormador, capacitor o reactor en serie) conectado
entre las barras p y q, es:
S = E I* = E (E* - E*) y* + E E*y* (2.5)pq p pq p p q 7pq p p'po
Definiendo:
E = V 6P
| 6l P
y = _ y = - H -jB'pq pq pq J pq
y = jb;po po
y reemplazando (B.15) en (2.5) se tiene que:
P + jQ = E Eí<(y* + y* ) - E E^y*pq *' pq p p 7pq 'po p q7 pq
= V2[- G + j(B - b )1PL pq pq po -I
+ V V I 6 - 6 (G - JB )n ni P q pq J pq
= V2f-G + j(B - b )"|PL pq pq po J
+ V V /fG cosfS - 8 )+ B sen(S -5)1p qX1- pq p q pq p q J
+ jfn senfS - 6 )- B cosfS - SL pq P n pq P
Separnndo lo parte real e imaqinaria:
P = - G V2pq pq p
+ V V fG cos(6 - - S ) + B senCS - 6 )1 (B.16)p qL pq p q pq p q -1
q=1,2,..,n
Q = (B - b )V2pq pq po p
+V V fC sen(6 - 6 ) - B cos(6 -8)1 (B.17)p qL pq p q pq p q J
Aplicando el método de Newton-Raphson al conjunto de
cuaciones (B.16) y (B.17), se obtiene:
- n
n n
n
n
n
n
nob
^,
6P1o
n n
n n
00
n
ap
ap . .
. n
n n
dP9
ap0
2n
2ndb
as
¿
n. .
n
n
n
n(n
-1)
nC
n-1
)d
o/
„ >
66(n
-1)
n
• •
-v —
—
—
_/K
ap . n
n n
nav
2 u
u
• u
u
ap0
av3
° •
° °
6P1n
n
n
n
nav
n
ap av2
° °
• °
°
av9
av7
u
• u
u¿
j
2n
n
n
n
2n
av9
u
u
• u
av2
n.
.
n
n
n
n(n
-1)
nC
n-1
)u
°
° '
av,
,,
av
(n-1
) n
V U1
Ac
AS
2
A6
3
AS4
Afi
ÜSC
n-1
)
n
A\
AV
2
AV
3 4 •
Av(n
-1)
AVn
AP1
2
AP
AP1n 21
A P
AP2
n •
AP
ÜPn
(n-1
)
fR
1R1!
i CD
Para los flujos de potencia rejctiva, la estructura de las submatrices Kc y K, es exactamente la misma que de
J
O
K, y
K
. Si NLE es el número de elementos, el orden de cada submatriz es (4NLE) x (n-1).
- B10 -
Los elementos de K,. K, . Kc y K... se evalúan tomando lasJ ¿J J O
derivadas parciales de P y Q con respecto a V . V . 6 yH pq 7 p q ' n' P1 q y
6 .P
Elementos de K-,:
3P= q - (B - b )v¿
pq pq po P(B.19)
ap_as
apas (B.20)
Elementos de K,:
ap P G vp_a _ pq . pq iav ~ v v
q q q.21}
ap_6V
_ G Vpq p' 4 '
CB.22)
Elementos de K,
3Q_as
ap- v —ea
q6V1 q
CB.23)
aqas
aqas (B.24)
Elementos de K,:o
aqav ^5vs< C B . 2 5 :
aq apas (B.26)
- B11 -
.2.3 Formación de K-, y K0/ o
La potencia de un capacitor conectado entre la barra p y
tierra es:
Q = - B Vc c p
De un reactor conectado entre la barra q y tierra:
QD =K
(B.2B)
Aplicando la técnica de Newton-Raphson a las ecuaciones
(B.27) y (B.28), se obtiene:
n o o . o o
0 0 0 . 0 0
aqn n . c n n
oV
P fl«R
oVn
A x =c
AQR
(B.29)
'8
Si el número total de capacitores y reactores n tierra
R, la dimensión tanto de K? como de
Los elementos dQ/aV se calculan mediante:
es NCR, la dimensión tanto de K? como de K es NCR x (n-1).
aqvc p'
aq2BDVR q
(B.30)
CB.31)
Nótese que el vector columna A de las ecuaciones (R.1),A
.11), (B.14), (B.18) y CB.29) es el mismo.
ANEXO C
R E S O L U C I Ó N D E F L U J O D E
P O T E N C I A E S T O C A S T I C O P A R A
U N S I S T E M A D E T R E S B A R R A S
C.1 DATOS
Configuración:
1 Oscilante 2 Voltaje controlado
3 Carga
Datos de borras:
BarraISJD
-7
VoltajeMagnitud Ángulo
p.u. grados
i > i
GeneraciónReal Renctivnp.u. p.u.
GeneraciónreactivaMfn. Mñx .p.u. p.u.
CarqaReal Reactivap.u. p.u.
n n n n
Datos de líneas:
- C2 -
Barra I
1
2
1
Barra K
2
3
3
Reactancia0''0
10.
20.
20.
Criterio de convergencia para P: 0.001
Criterio de convergencia para Q: 0.001
Coeficiente de confianza: 2.00
Intervalo de confianza: 95.45?¿
Desviaciones estándar y coeficiente de correlación
entre variables de cada barra:
2- P(neta) y V en barras de voltaje controlado:
(T = 4?ÍE(PJ r 8x1Q~2
(T.,2 = 6%V2
= 7.26x10~2
= 20?¿2 2
- P(neta) y Q(neta) en barros de carga
) = 18.196x10~2
(Tn = 3?¿E(Q,) n 1.6017x10"M3 JS
- C3 -
Coeficientes de correlación entre
variables de unas barras con otras:
P = 60S; f = O»; /V2p = OS; / 2 = 40°¿3 2*3 V 2 3 2 J 3
C.2 RESOLUCIÓN
PASO 1.- SOLUCIÓN DEL FLUJO DE POTENCIA CONVENCIONAL POR
NF-WTON-RAPHSON FORMAL
V = 1.1 p.u.; S2 = 0.4068°
V3 = 0.913 p.u.; 6 = - 22.099°
Los resultados siguientes están en p.u.:
P1 = v1v2D12seníSi - 82) + V1V3D13sen(61 - S3) =: 1.6393
= - 0.2293
Q2 - -V2V1B21cos(62 - 6^ - V2B22 - V2V3B2 3cosC62 - 63) - 2.5112
P12 z v1V2B12sen(61 " 62J z " P21 ' " °-ü7fí1
P13 = V1V3B13sen(61 - 83) = - P r 1.7174
P23 = v2V3B23sen(S2 ~ S3} = ~ P32 = 1'9221
9
Q12 = V1B12 " V1V2B12COS(51 - 82) r - °'9997
Q,, = V?B 1 X - V.V-,B17cos(61 - 8,) = 0.770413 113 1 3 1 3 1 3
Q21 z V2821 ~ V2V1B21COSÍS2 ~
- C4 -
Q = V BM23 2Q23
'31
'32
V3B31
V2B3 32 V3V2B32COS<63 S2)
= 1.4109
= -0.0618
= -0.4712
Línea Pérdidas P Pérdidas Q
1-2
1-3
2-3
0.1006
0.7086
0.9397
Converge en 3 iteraciones.
PASO 2.- CALCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE
MAGNITUDES Y ÁNGULOS DE VOLTAJE EN BARRAS
DE VOLTAJE CONTROLADO Y CARGA
-1Calculo d e J en el punto de solución
as3P
avAP
dSav av
av
as av av
as av avAQ
- C5 -
Los elementos de J se determinan aplicando las fórmulas
dadas en el Anexo B.
15
-4
1
.6388
.6391
0
.9221
-4.6391
-118.8687
0
J3-3.6395
1
-1
2
-4
.8184
J2.7474
.2
J4.2174
2.
-3.
.
8.
1053
9863
0
5462
"I _
bu inverso es:
.-1
0.0757
0.0395
O
-0.0002
0.0395
0.1601
O
0.0593
-0.0316
0.219
0.4545
0.3247
-0.0002'
0.0649
O
0.1447
Cálculo de C
"xy
C =
Var(P2)
Cov(P2,P3)
Cov(P2,V2)
Cov(P2,Q3)
Cov(P2,P3)
Var(P3)
Vor(V2)
Cov(P2,Q3)
Cov(V2,Q3
Var(Q3)
- C6 -
c =
"64
87.3408
11.616
0
Cálculo de Cov(x)
87.3408
331.0944
0
-5.8289
11.616
O
52.7076
4.6513
O
-5.8289
4.6513
2.5654
x 10-4
Cov(x) = J CJ
Cov(x) =
1.4029
3.2688
-0.3578
0.8558
3.2688
12.4419
5.592
7.3532
-0.3578
5.592
10.8878
8.0832
0.8558"
7.3532
8.0832
7.1084
x 10-4
Cálculo de
= diag [Cov(x)]
<r
0.0118
0.0353
0.033
0.0267
Os,206,3
Ov92
<rv3
PASO 3.- CALCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE:
- P(neto) y Q(neta) EN BARRA OSCILANTE
- Q(neLo) EN BARRAS DE VOLTAJE CONTROLADO
- FLUJOS EN LINEAS
- C7 -
Cálculo de K en el punto de solución
ap1 ap1as2 as?
aq KI aq
aQ aq2as2 as3
3 r* l~'
K3
n . ,u as3
a60 as,2 3
aQ. „• • 0
aQ-i -7Oo-j
aQ21 Q
2 s
aQ.,.u as3
as2 as3v^
\
aP1 aP1av2 6V
aq K2 aoav2 av3
av2 av3
av2 u
o ' 6Pav3
aP23 ap23av2 av3
aq . o
av2 u
aQ-i -i
aQo-iav," u
K6
av2 av5
aQ-z-iü av3
aq32 aq32av2 av3
AS.
¿6.
A V ,
AV.
AP
AQ,
A Q ,
AP
AP
12
13
AP
AQ
A Q
23
12
13
AQ
AQ
21
23
AQ31
AQ
- C8 -
Aplicando las fórmulas dadas en el Anexo D, se obtiene:
-10.9997
0.0781
2.0002
-10.9997
0
4.6391
0.0781
0
0.0781
1.9221
0
1.9221
-4.2296
K1 -1.7174
-1.9221
0
«3 -4.2296
-4.6391
0
-1.7174
05
-1.9221
-1.7174
-1.9221
-0.071
-9.9997 K2
18.783
-0.071
0 K
1.7474
-9.9997
0
12.0003 „K6
6.7826
0
-4.2173
1.881
-4.6327
-5.0811
0
1.8811
2.1053
0
-4.6326
0
-5.0812
4.4973
4.0489
K =
Cálculo de (T
*?- k.CovíxJk1
0.2387
0.4832
0.4695
0.1301
0.1143
0.0762
0.33
0.175
0.3959
0.1123
0.0818
0.0751
OK1OQ(Tp
OPO"Pffp
23
on12<Tq0"Q<TQ23
Oí},.CTQ32
- C9
PASO 4.- CALCULO DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA
Para un 95.4% de confianza, los rungos de variación do
los resultados son:
X =
V2
V3
x - 20-X
(p.u.)
1.034
0.8596
y\
(p.u.)
1.1
0.913
x + 2<TX
(p.u.)
1.166
0.9664
E2
S3
?- 20;
(grados)
-0.9454
-26.1441
• x
(grados)
0.4068
-22.099
í + zflr
(grados)
1.759
-10.0539
P,
Q1
Q2
? - 2crz
(p .u . )
1.1619
-1.1957
1.5722
AZ
(p .u . )
1.6393
-0.2293
2.5112
$ + 2<rz
(p .u . )
2.1167
0.7371
3.4502
- C10 -
P12
P13
P21
P23
P31
P32
Q12
Q13
Q21
Q23
Q31
Q32
(p.u.)
-0.3383
1.4888
-0.1821
1.7697
-1.946
-2.0745
-1.6597
0.4204
0.3085
1.1863
-0.2254
-U. 6214
A2
(p.u.)
-0.0781
1.7174
0.0781
1.9221
-1.7174
-1.9221
-0.9997
0.7704
1.1003
1.4109
-0.0618
-0.4712
z + 2CT
(p.u.)
0.1821
1.946
0.3383
2.0745
-1.4888
-1.7697
-0.3397
1.1204
1.8921
1 .6355
0.1018
-0.321
ANEXO O
M A N U A L D E U S O D E L P R O G R A M A
D.1 OBJETIVO
Resolver el flujo de potencia estocástico de sistemas
eléctricos de potencia.
D.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN
Utiliza el método planteado por Dopazo, Klitin y Sasson,
que se basa en la teoría de estimación de estado por mínimos
cuadrados.
D.3 NOMENCLATURA
En el desarrollo del programa se utiliza la siguiente no
tacion:
D.3.1 VARIABLES DE ENTRADA
I. Datos convencionales
- 02 -
Pueden darse en valores reales o p.u. Si se don en p.u.,
la potencia base debe ser 1.
VARIABLE: SIGNIFICADO
TIT Título
Este dato va en cuatro tarjetas.
a) Dantos generales
Estos datos van en una tarjeta.
VARIABLE SIGNIFICADO
NS
BASE
C0NP
C0NQ
MAXIT
INDFP
Número de identificación de la barra oscilante,
Potencia base del sistema en MVA o p.u.
Criterio de convergencia para la potencia activa.
Criterio de convergencia [jara la potencia reacti
va.
Máximo número de iteraciones.
Indicador del flujo de potencia que se desea:
Determinístico 1
Eutocóstico 2
b) Potcis de barras
Se necesita una tarjeta por cada barra. La información su
ministrada en cada tarjeta incluye:
VARIABLE SIGNIFICADO
K Número asignado a una barra del sistema, 1<
- D3 -
N0MK Nombre de la barra.
VK Magnitud de voltaje especificado en p.u. En b£
rras de carga se especifica 0.
PCK Potencia activa de generación en barras de
taje controlado y carga en MW o p.u. En la barra
oscilante se especifica 0.
QCK Potencia reactiva de generación en barras de ^
ga en HVAR o p.u. En barras oscilante y de volta^
je controlado se especifica 0.
QNK Potencia reactiva mínima de generación en barras
de voltaje controlado en MVAR o p.u. En barras
oscilante y de carga se especifica 0.
QXK Potencia reactiva máxima de generación en barras
de voltaje controlado en MVAR o p.u. En barras
oscilante y de carga se especifica 0.
PLK Potencia activa de carga en todas las barras en
MW o p.u.
QLK Potencia reactiva de carga en todas las barras en
MVAR o p.u.
CRK Potencia normal o de régimen del capacitor o rene
tor conectado entre la barra K y tierra en MVAR
o p.u. Si es un capacitor se especifica con si£
no negativo.
IARK Área a la que pertenece lo barra K.
Al final se adjunta una tarjeta con K=999, gue indica el
fin de datos de barras.
c) Datos de elementos (líneas, transformadores,
capacitores y/o reactores serie)
- D4 -
Se necesita una tarjeta por cada elemento. Los datos s\¿
ministrados en cada tarjeta incluyen:
VARIABLE SIGNIFICADO
I Número de la barra de envío.
K Número de la barra de recepción.
PLK Resistencia de una línea en ?¿. Si es un transfor
mador, capacitor o reactor serie, se especifica
0.
QLK Reactancia de un elemento en ?ó. Si se trata de
un capacitor serie se especifica con signo nega-
tivo.
VK Carga total de una línea en MVAR. Si es un trans
formador, capacitor o reactor serie, Ge espora fi_
ca 0.
QXK Relación de transformación de un transformador,
visto del lado de envío. Si es una línea, capaci
tor o reactor serie, se especifica 0.
QNK Relación de transformación de un transformador,
visto del lado de recepción. Si es una línea, en
pacitor o reactor serie, se especifica ü.
RAK Potencia normal o de régimen de un elemento en
MVA o p.u.
Al final de adjunta una tarjeta con 1=999, gue indica el
fin de datos de elementos.
NOTA: Si INDFP=1, no se dan más datos. Si es 2, se da el
siguiente grupo de datos, conociendo de antemano las
- D5 -
barras de voltaje controlado que se transforman en
barras de carga, ya que los datos se dan conside^
rándoles a este tipo de barras como de carga.
II. Errores en datos de barras; coeficientes de correlación
No se dan datos para la barra oscilante.
A excepción del coeficiente de confianza, todos los d£
más datos se dan en %.
VARIABLE SIGNIFICADO
CC
CI
Coeficiente de confianza. Es odimensional
Intervalo de confianza en ?¿.
Estos datos van en una tarjeta. A continuación se presen^
tan los valores más utilizados en la práctica:
Tabla D.1 Coeficientes e intervalos de confianza
Coeficiente de confianza (s)
Intervalo de confianza
2.57 2.00 1.00
99?¿ 95.4% 6Ü.3SS
Para intervalos de confianza que no se encuentran en la tabla,
los valores de s pueden sacarse de las tablas de la curva no£
mal dadas en las referencias (12) y (15).
a) Desviaciones estándar_y coeficiente de correlación
entre variables de cada barra
Se requiere una tarjeta por cada barra. La información su_
ministrada en cada tarjeta incluye:
- 06 -
VARIABLE SIGNIFICADO
K Número asignado a una barra del sistema,
1sS Ks£50Q.
C(1) Desviación estándar de la potencia neta activa
(P_2 en %, Q.<C(1)<100. Se especifica en barras
de voltaje controlado y carga.
C(2) Desviación estándar de la potencia neta reactiva
(Q) en barras de carga. En barras de voltaje cori
trolado, se da la desviación estándar de la mag-
[Ütud^de^yoltaje a^ ^ldí!_£^^° (VVK Se especifi_
ca en %, 0.=£C(2)<100.
C(3) Coeficiente de correlación entre P y Q o entre P
y VV. Se especifica en %, -100. 0(3) 100.
Al final se adjunta una tarjeta con K-999, gue indica el
fin de datos a).
b) Coeficientes de cqrrelaci^on entre
variables de unjas barras con otras
Se requiere una tarjeta por cada dos barras. Los datos
suministrados en cada tarjeta incluyen:
VARIABLE SIGNIFICADO
J Número de la barra de envío.
K Número de la barra de recepción.
C(1) Coeficiente de correlación entre P-. y P.,. Se esJ K —
pecifica en %, -100.<C(1 )ss100.
C(2) Coeficiente de correlación entre P-, y Q... Se esJ K —
- D7 -
pecifica en ?á, -100. 0(2) 100.
C(3) Si J es uno barra de carga, C(3) representa el
coeficiente de correlación entre Q , y P,, . Si J esJ K
una barra de voltaje controlado, C(3) es el ^
ficiente de correlación entre VV, y P... Se espeJ K —
cifica en %, -100.<C( 3) 100.
C(4) Si J es una barra de carga, C(4) representa el
coeficiente de correlación entre Q, y fj... Si J es.) K
una barra de voltaje controlado, C(4) es el
ficiente de correlación entre VV, y Q, , . Se espnJ K —
cifica en %, -
Al final se adjunta una tarjeta con J-999, que indica el
fin de datos b).
NOTAS: 1. Si todos los coeficientes de correlación de b)
se asumen t), se da únicamente la tarjeta de fin
de datos.
2. Suponiendo que en un sistema determinado, sólo
se considera correlación entre las barras 10 y
13, se dan como datos don tarjetas, In primero
con los coeficientes de correlación respectivos
y la segunda con la indicación de fin de datos.
0.3.2 SAtIDA DE RESULTADOS
I. Solución d_e_t_er_m ir^í sj:ic:a
El programa suministra lo siguiente en las mismas unida
dades de los datos de entrada:
- Datos convencionales.
- D8 -
Reporte convencional de cálculos de flujo de potencia.
En él se indica mediante un asterisco, los voltajes
fuera del rango aceptable en operación (0.9'JíV*1 .Or>) y
loa elementos cun subrncarqa. Junl u a la» barras de voj_
taje controlado aparecen los siguientes mensajes:
M1N Indica que se ha convertido en barra de carga de^
bido a la violación del límite de mínima gener£
ción de reactivos.
INT Indica que se mantiene como barra de voltaje con_
trolado,
MAX Indica que se ha convertido en barra de carga de
bido a la violación del límite de máxima qenera_
ción de reactivos.
II. Reporte estocástico
Proporciona lo siguiente:
- Desviaciones estándar de datos de barras y coeficientes
de correlación en %.
- Reporte de cálculos de flujo de potencia nstocásti co
en el gue consta:
- Coeficiente e intervalo de confianza expresado en %.
- Rangos de variación y valor medio de las variables
de salida en las minmns unidades dn la solución tle-
t erminísticn.
D.4 PROPIEDADES Y RESTRICCIONES DEL PROGRAMA
El programa acepta sistemas de basta 70 barras y 11)0 e
lementos de interconexión, pudiendo tenor cada barra un capa
- D9 -
citor o reactor a tierra.
Entre barras pueden existir dos o más circuitos en para
lelo; cada uno de ellos cuenta como un elemento de intercone
xión.
El programa acepta cualquier número de barras de voltaje
controlado, con la condición de que por lo menos una barra del
sistema sea de carga, además de la lógica presencia de la os
cilante.
ta numeración de las barras es indiferente; es decir,que
en un sistema de n barras, la numeración no necesariamente tie
ne que ir de 1 a n sino que también puede sobrepasar n. Esto
significa que por ejemplo en un sistema de cuatro barras, lo
numeración bien podría ser: 500, 9, 1U, 1. Además, cualquiera
puede ser oscilante, de voltaje controlado o de carga.
Dentro de cada grupo de datos (de barras, elementos, des
viaciones estándar y coeficientes de correlación), el orden
de los tarjetas puede ser cualquiera y queda a criterio del
usuario.
El programa no acepta sistemas eléctricos de dos barras
o cuya configuración sea del tipo delineado en la figura D.1.
barraose i 1 ante
fig. D.1 Sistema de potencia radial.
- DIO -
El programa realiza un ejercicio de flujo por corrida.
D-5 MENSAJES DE ERROR
El pro(|rama está implementado con rutinas que controlan
posibles errores en los datos de entrada, A continuación se
presentan los mensajes de error y sus correspondientes siqnj_
ficados.
MENSAJE SIGNIFICADO
a) En datos de borras
*** ERROR EN NUMERACIÓN El número de la barra no está com
DE BARRA prendido entre 1 y 500.
*** ERROR MAGNITUD DE
VOtTAJE EUERA DE
RANGO
*** ERROR NUMERO DE
RARRA REPETIDO
*"* ERROR EN DATOS DE
BARRA
El voltaje especificado está fuera
del rango O.^V<l .1.
Significa que se da más de una tar-
jeta de datos para la misma barra.
tos datos suministrados en la ta_r
jeta de esta barra, .son incorrnc_
tos.
b) fn datos de elementos
*** ERROR EN NUMERACIÓN ta numeración de las dos barras o
DE tAS BARRAS DE de una de ellas no está comprendi-
CONEXION DEL ELEMENTO da entre 1 y 500.
* * * ERROR ELEMENTO
AISLADO
Significa que no han ingresado las
barras a las que se conecta el ele
" * * ERROR EN DATOS DC
ELEMENTO
- 011 -
mentó o que a su ve? no ha i
do una dn ni 1 as.
Los datos suministrados en ln ta_r
jeta de este elemento son incorre£
tos.
*** ERROR DARRA AI SI ADA Barra que se lee en datos de b^
rras, pero que no consta en datos
de elementos.
c) En desviaciones ont n nidI n r_ y_ c o c f i cíente de
correlación entre variables de coda barra
* * * ERROR EN DATO(S) DE Los datos suministrados en esta
DESVIACION(ES) Y/O tarjeta son incorrectos.
CORRELACIÓN
*** ERROR EN NUMERACIÓN El número de la borra no está corrí
DE BARRA prendido entre 1 y 500.
* * * BARRA NO INGRESADA Barra que no consta en el grupo de
datos a) .
*** DESVIACIONES Y/O Significa que las desviaciones y/o
CORRELACIÓN EULRA DE la correlación no están en los nin
RANGO qos: 0.«C(
*** NO DEBE INGRESAR
DATOS I'AIÍA BARRA
OSCILANTE
*** EALTAN O SOBRAN
DATOS DE UARRA(S)
Significa (|ue se da tarjeta de da^
tos para la barra oscilante, liet i
rar esta tarjeta.
No se está dundo el número exacto
de tarjetas.
- D12 -
d) En coeficientes de correlacián entre
variables de unas barras con cetras
** * ERROR EN DATO(S) DE Los datos suministrados en esto
CORREtAriON(ES) tarjeta son incorrectos.
"** ERROR EN NUMERACIÓN LG numeración de las dos barras o
DE BARRA(S) de una de ellas no está comprendí
da entre 1 y 500.
*** BARRA(S) NO Barra(s) que no constu(n) en el
INGRESADA(S) grupo de datos a).
"'"' CORRELACION(ES) EUERA Significa que el dato o los datos
DE RANGO de correlación están fuera del ran
(jo:
D.6 FORMA DF ÚTIL I MR EL PROGRAMA
ta secuencia de tarjetas de control y el orden de in(jre_
so de datos, se indica en las hojas D13, D14 y D15. A partir
de lo hoja D1íi, se muestra un ejemplo de salida de resultados
para el sistema de 14 barras de la [EEE analizado en el Cap_í_
tulo 4 (caso de voltajes variables).
Al final se adjunta el listado del programa.
Tarjetas de Control
- PARA. U
TILIZAR
EL DISCO
// JOB
nombre
cuenta
// DLBL IJSYSCL,'PROGRAMAS DE
ELÉCTRICA1
ASSGN SYSCLB.X' 1 60'
// EXEC ELECFEST
"Dat os
AS
SG
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SY
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-. PARA .UTILIZAR
LA
CINTA
// JOB
nombre cuenta
' PAUSE OPERADOR CARGAR
LA CINTA DE ELECJRICA N2
MTC FSF.X'280' ,
// ASSGN SYSIPT,X'280'
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/ / OPTION LINK.NOLIST
ACTI0N CANCEL N0MAP
' EXEC FFORTRAN
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EXEC LNKEDT
// ASSGN SYSIPT X'OOC'
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ANEXO E
O B T E N C I Ó N D E L O S
C O E F I C I E N T E S D E C O R R E L A C I Ó N
Cuando no se tiene experiencia sobre un sistema de poten_
cía y no se dispone de datos históricos, los coeficientes de
correlación requeridos en el estudio de flujo estocástico pu_e
den obtenerse n;ali/ando un análi^. teórico sobre el sistema.
Así por ejemplo, los coeficientes de correlación utilizados en
la Prueba d. del Capftulo 4 se determinaron del siguiente m£
do: En las barras 2 y 3, Ion flujos de potencia que l]eqanysa_
len de ellas son:
; 1M.3P = 73.19
a Ph = 70.87
P = í>4.89 P . = 23.33c d
= 94.2
Para establecer J PO^-ZI previamente se calcula el coeficiente
de correlación entre P. que procede de la barra 2 y P,. Para
ello, debe notarse que los variaciones de P, absorben tanto P
como P ,, y, suponiendo que esto es proporcional a sus poten-
cias ,
P Pr
70.8794.2
Ahora,
- E2 -
2 3P2 a
A las variaciones de P_ responden P? y P , y suponiendo que
es proporcional a sus potencias,
p-M' 73.19
x 0.75 x 100 -
En el caso de los coeficientes que resultan ser cero, co
mo por ejemplo Pn n , se procede de idéntica manera al caso< / U U. .
anterior:
10
1Q
P =1.53e
P = A.27
11
Ph = 3.36
P = 1 i11
- Cuando varía P,n, responden P y P ; P a través de P, .10' f e 7 g e h
- Cuando varía P.-, responde s^ln P, .
Por tanto, las variaciones de P.n no afectan a P,. y a su ve?
las variaciones de P... no afectan o Pin, en consecuencia:
P = 0i f\ — \J
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