en busca de la verdad … ….por el camino de las matemáticas Área ciencia-religión del centro...
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En busca de la verdad …….por el camino de las
Matemáticas
Área Ciencia-Religión del Centro Pignatelli
Javier Otal
Universidad de Zaragoza
En busca de la verdad …
VERDAD (DRAE)
Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas se forma la mente
Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa
Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente
....
… probada
Verdad procesal
… transmitida
Verdad revelada
… impuesta
Verdad dogmática
… científica
Verdad matemática
Verdad …
ConocimientoDescartes (1596-1650)
Conocimiento
Lo que no entendemos crea desconfianza
producida por desconocimiento
El desconocimiento genera ignorancia
El ignorante afirma o niega
El científico duda
Voltaire
Procedimiento científico
En la ciencia es imperativo dudar
Para avanzar en la ciencia es necesaria la incertidumbre
Se investiga lo desconocido
En las ciencias experimentales se va conociendo lo que es más probable
En las ciencias puras se responde a preguntas
¿Puede la Ciencia destruir el mundo?
R. Feynman (1918-1988)
Yo puedo vivir con dudas e incertidumbre y sin saber. Es más interesante vivir sin saber que tener respuestas que pueden ser falsas. Yo tengo respuestas aproximadas, creencias posibles y grados diferentes de certeza sobre asuntos diferentes, pero no estoy absolutamente seguro de nada.
Y no me asusta.
El papel de las Matemáticas
Ciencia exacta
Conocimiento del mundo
lo explican
lo modelan
Lo ayudan a desarrollarse
Planteamiento abstracto
Axiomas, Postulados
Armonía y equilibrio
Teoremas, resultados, demostraciones
Demostraciones por ordenador
Comprobaciones
Cálculos por ordenador: 1 = 0,999….?
Cálculos manuales: ∏ = 3,14 = 3,1416 = 3,141559 …
Teorema de Pitágoras: a2= b2 + c 2.
Demostraciones …
Conocimiento científico y realidad
Diferencias entre
Lo que es
lo que creemos que es
lo que creemos percibir
Ejemplo
IR EN LÍNEA RECTA A UN SITIO
Ir en línea recta
Ir en línea recta
Ir en línea recta
La recta
La recta plana
Concebida como recta euclidianaEuclides
La línea recta es la trayectoria con la distancia más corta entre dos puntos
Analogía
Si la línea recta es la trayectoria con la distancia más corta entre dos puntos ¿cúal es la trayectoria más corta de aquí a Nueva Zelanda (antípodas)?
Tierra
España – Nueva Zelanda
… en línea recta!
Desplazamiento correcto
Problema
DESCRIBIR (definir) LÍNEA RECTA
Elementos de Euclides
Euclides (365 AC – 300 AC)
13 libros, ampliados con dos más
23 axiomas
5 postulados
Multitud de proposiciones (teoremas)
Axiomas de Euclides - 1
Un punto es lo que no tiene parte ni dimensión
Dimensión cero
Una línea es una longitud sin anchura
Dimensión uno
Una recta es una línea que tiene todos sus puntos en la misma dirección
Una superficie es la que tiene solo longitud y anchura
Dimensión dos
Punto
Recta
Axiomas de Euclides - 2
Un ángulo plano es la inclinación de dos líneas planas secantes
Ángulo recto, si las líneas son rectas
Figuras rectilíneas
Axiomas de Euclides - 3
Círculo es una figura plana contenida en una línea, llamada circunferencia, tal que todas las rectas que van desde un punto particular hasta puntos de ella, quedando dentro de la figura son iguales
Plaza circular
Rueda
Rectas paralelas son las que, estando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan ni en uno ni en el otro sentido
Vías del tren
Calle
Paralelas
Postulados de Euclides
Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro.
Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida
Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia
Todos los ángulos rectos son iguales
El quinto postulado
Si una recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiores del mismo lado de ella que sumados sean menores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefinidamente, se cortan del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que dos rectos
Postulado del paralelismo
Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela
Calle - 1
Calle - 2
Calle - 3
Geometría sobre la superficie de la Tierra
PLANO : una esfera
PUNTO: dos puntos diametralmente opuestos
Plano
Punto
Geometría sobre la superficie de la Tierra
RECTA: círculo máximo
Recta
Recta
Recta
Recta = círculo máximo
Recta = círculo máximo
Geometría sobre la superficie de la Tierra
SE VERIFICAN LOS PRIMEROS POSTULADOS CONVENIENTEMENTE MODIFICADOS
Punto y recta
Punto y recta
Punto y recta
Punto y recta
Punto y recta
¡No existe el paralelismo!
Geometría sobre la superficie de la Tierra
ES UN MODELO DE GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA!
Geometrías no euclídeas
Geometría hiperbólica
K.F. Gauss (1777-1855)
J. Bolyai (1802-1860)
N.I. Lobachewski (1792-1856)
Geometría elíptica
B. Riemann (1826-1866)
F. Dostoyevski (1821-1881) - 1
Me pregunto cuál es nuestro designio. El mío, explicar la esencia de mi ser, mi fe y mis experiencias. Por eso me limito a declarar que admito la existencia de Dios.
Si Dios existe, si verdaderamente ha creado la tierra, la ha hecho de acuerdo con la geometría de Euclides, puesto que ha dado a la mente humana la noción de las tres únicas dimensiones del espacio.
F. Dostoyevski (1821-1881) - 2
Sin embargo hay geómetras y filósofos que dudan de que todo el universo esté creado siguiendo únicamente los principios de Euclides.
Incluso tienen la audacia de suponer que dos paralelas se pueden reunir en otra parte, en el infinito.
En vista de que ni siquiera esto soy capaz de comprender, he decidido no intentar comprender a Dios.
Einstein y la relatividad especial
A. Einstein (1879-1955), 1905
Al formular sus ecuaciones, éstas dependen de un factor F.
F = √(1-v2/c2)
Evaluación aproximada de F
c = 300000 Km/s
v = 300 Km/h
F = 0,99999999999996…. ≈ 1
Geometría riemanniana
Riemann (1851) estudia geometrías localmente euclídeas e introduce el tensor de curvatura
Su anulación caracteriza la GE
Einstein (1920) estudia geometría del Universo y muestra que la geometría espacio-tiempo tiene curvatura
Teoría general de la relatividad
Espacio curvo cuatro dimensiones
D. Hilbert (1862-1942) - 1
Debate Verdad-Falsedad
1900: De todo enunciado se puede demostrar su veracidad o falsedad
Sistema axiomático
Consistente: No se deduce P y no P
Independiente: Los axiomas no se deducen unos de otros
Completo: Si P no es cierta, lo es no P
D. Hilbert (1862-1942) - 2
El problema de axiomatizar Aritmética y Geometría
¿Existe un método que permita decidir sobre cualquier problema matemático, es decir, resolverlo conjugando un número finito de axiomas y teoremas?
K. Gödel (1906-1978)
Nunca dispondremos de un programa capaz de resolver cualquier problema; en un sistema formal como la Aritmética o la Geometría cabe formular enunciados que no se pueden probar ni no probar, demostrar, ni rechazar, sobre los cuales por tanto no cabe decidir.
Por ejemplo, la consistencia misma de los axiomas (1931)
Incompletitud
En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema
Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo
Siempre habrá algo que no entenderemos
Indecidibilidad
Existen proposiciones indecidibles
La hipótesis del continuo
El problema de probar la existencia de Dios es indecidible!
Quizá no se llegue a demostrar científicamente que Dios existe
Pero tampoco que Dios no existe
A. Einstein (1879-1955)
El misterio es lo más hermoso que nos es dado sentir. Es la sensación fundamental, la cuna del arte y la ciencia verdaderos. Quien no la conoce, quien no puede asombrarse ni maravillarse, está muerto. Sus ojos se han extinguido
Esta experiencia del misterio está también en el origen de la religión
Evangelio de Juan
Al principio ya existía el Verbo. Todo se hizo por el Verbo y sin el Verbo no se hizo nada. El Verbo estaba en el mundo y el mundo fue hecho por el Verbo. Y el Verbo se hizo carne y habitó entre nosotros y hemos visto su gloria, gloria que recibe del Padre como Hijo Único. La gracia y la verdad nos han llegado por Jesucristo.
Verbum=Logos: Verbo, Palabra, Designio