EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA:

“NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

CONOCIENDO MÁS CONOCIENDO MÁS

DE LOS DE LOS

TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS

Triángulo....

Más que un polígono de tres lados...

Postulado de existencia de un triángulo, llamado también desigualdad triangular

Un triángulo queda determinado cuando ocurre que la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado o la diferencia de las medidas de dos de sus lados es siempre menor que el tercer lado.

Clasificación de triángulos

Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser:

Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser:

1) Equilátero.2) Isósceles.3) Escalenos.

1) Acutángulos (ángulos internos agudos).

2) Rectángulos (un ángulo recto).

3) Obtusángulos (un ángulo obtuso). 

Triángulo isóscelesTriángulo isósceles

IsóscelesIsósceles: se : se denomina al denomina al triángulo que posee triángulo que posee dos lados iguales dos lados iguales (AC y BC) y uno (AC y BC) y uno desigual, este se desigual, este se llama base (AB) y llama base (AB) y son los ángulos que son los ángulos que se encuentran en se encuentran en sus extremos los sus extremos los idénticos. (ángulos idénticos. (ángulos a)a)

A B

C

a a

b

Triángulo equiláteroTriángulo equilátero..

Equilátero: es el único triángulo regular; o sea tiene sus tres lados iguales y por ende sus tres ángulos miden lo mismo (60° cada uno).

A B

C

60° 60°

60°

Triángulo escaleno.Triángulo escaleno.

Escaleno: se denomina al triángulo que posee sus tres lados diferentes y por ende, sus ángulos también lo son.

A B

C

a b

c

Otra clasificación es...Otra clasificación es...

Según sus Según sus ángulos.ángulos.

Pero para eso Pero para eso debes saber que debes saber que la suma de los la suma de los tres ángulos tres ángulos interiores de interiores de cualquier cualquier triángulo es 180°.triángulo es 180°.

35°

57°

88°

Triángulo obtusánguloTriángulo obtusángulo..

Obtusángulo: se le : se le llama al triángulo llama al triángulo que tiene uno de que tiene uno de sus ángulos sus ángulos interiores obtuso; interiores obtuso; o sea uno de ellos o sea uno de ellos mide más de 90°.mide más de 90°.

105° 29°

46°

Triángulo acutánguloTriángulo acutángulo..

Acutángulo: se : se denomina al denomina al triángulo que triángulo que posee sus tres posee sus tres ángulos interiores ángulos interiores agudos o sea, agudos o sea, cada uno de sus cada uno de sus ángulos miden ángulos miden menos de 90°.menos de 90°.

59°

47°

74°

Triángulo rectánguloTriángulo rectángulo

Rectángulo:: se se denomina al denomina al triángulo que triángulo que posee uno de sus posee uno de sus ángulos interiores ángulos interiores recto o sea, mide recto o sea, mide 90°.90°.

Los lados que Los lados que forman el forman el triángulo recto triángulo recto reciben el nombre reciben el nombre de catetos y, el de catetos y, el tercer lado, o sea, tercer lado, o sea, el opuesto al el opuesto al ángulo recto se le ángulo recto se le llama hipotenusa.llama hipotenusa.

A

BC a

bc

Rectas y puntos notables en el triángulo (elementos secundarios)

Las rectas secundarias en el triángulo son:

1. Altura2. Bisectriz3. Mediana4. Simetral5.Transversal de gravedad

ALTURA DE TRIANGULOSALTURA DE TRIANGULOS

Se llama altura de un triangulo al segmento Se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuestovértice opuesto

La altura se designa con una La altura se designa con una hh

BISECTRIZ DE UN TRIANGULOBISECTRIZ DE UN TRIANGULO

Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para un ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo, que se nombran generalmente con una cada ángulo, que se nombran generalmente con una letra griegaletra griega

El punto donde se cortan se llama incentroEl punto donde se cortan se llama incentro

ba bb bc =

{ I }

A B

C

bc

ba bb

I = incentro I

La propiedad de la mediana consiste en que cada mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado y además la medida de su longitud corresponde a la mitad de la longitud del lado paralelo.

Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4 triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.

MEDIANA DE TRIANGULOSMEDIANA DE TRIANGULOSSe llaman medianas de un triangulo a los Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por la unión de los segmentos determinados por la unión de los puntos medios de cada lado del triangulo.puntos medios de cada lado del triangulo. La longitud de una mediana corresponde a La longitud de una mediana corresponde a la mitad del lado paralelo .la mitad del lado paralelo .

Simetral

Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el lado al cual dimidian.

Se Sd

Sa Sb Cc = {

C }C = circuncentro C

D E

F

Sf

Transversal de Gravedad

Corresponde a un trazo que está determinado por el vértice y el punto medio del tercer lado.

S

C

A

T

BR

GT

La propiedad está dada por el punto G o baricentro que determina en cada transversal dos segmentos menores que están en razón 2 : 1

Teoremas Relativos a Ángulos en el TriánguloTeoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo

Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si , y son ángulos interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º.

A

B

R C S

L1

Hipótesis: , y ,ángulos interiores del triángulo ABC

Demostración:

Afirmación Justificación

1) L1 // V postulado de Euclides.

2) m RCA + + m SCB = 180º son ángulos adyacentes que están a un mismo lado de la recta.

3) m RCA = son ángulos alternos internos entre paralelas.

4) m RCB = son ángulos alternos internos entre paralelas.

5) + + = 180º reemplazando 3 y 4 en 2.

AB

Tesis: + + = 180º

Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º.

A ’ B

’

’ C

Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

’

’ C

’

A B

•Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida de la hipotenusa.

Relaciones Métricas en el Ángulo

6 cm x (a)

8 cm (b)

Cateto a Cateto b Hipotenusa

3 4

6 8

9 12

12 16

15 20

18 24

Teorema de Pitágoras

Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

Observación:

Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que satisfacen la relación pitagórica

Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de triángulos.

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

25 = 25

TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS SEMEJANTES TRIANGULOS SEMEJANTES

““Toda paralela a un Toda paralela a un lado de un triangulo lado de un triangulo forma con los otros forma con los otros dos lados un dos lados un triangulo semejante triangulo semejante al primeroal primero

1Posición1Posición

2Posición2Posición

3Posición3Posición

LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADESLOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES

1° TEOREMA1° TEOREMA: : En todo En todo triángulo isósceles, la triángulo isósceles, la bisectriz bisectriz correspondiente al correspondiente al ángulo del vértice es la ángulo del vértice es la altura, transversal de altura, transversal de gravedad y simetralgravedad y simetral

HIPOTESIS:HIPOTESIS: ABC IsoscelesABC Isosceles CD = bCD = b

2° TEOREMA2° TEOREMA: : En todo los En todo los triángulos isósceles, triángulos isósceles, los ángulos básales los ángulos básales son igualesson iguales

HIPOTESIS:HIPOTESIS: ABC ISOSCELESABC ISOSCELES

____

CD = CD = t t CC

3° TEOREMA: En 3° TEOREMA: En todo triángulo, el todo triángulo, el ángulo mayor se ángulo mayor se opone al lado mayoropone al lado mayor

__ _____ ___

CD> CBCD> CB

4°TEOREMA: 4°TEOREMA: TODO TODO LADO DE UN TRIANGULO LADO DE UN TRIANGULO CUALESQUIERA ES MENOR CUALESQUIERA ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS QUE LA SUMA DE LOS OTYROS LADOSOTYROS LADOS

HIPOTESIS:HIPOTESIS: ABC cualquieraABC cualquiera TESIS:TESIS: ___ ___ _______ ___ ____

AB < AC + BCAB < AC + BC

5° TEOREMA: Todo 5° TEOREMA: Todo lado de un triangulo lado de un triangulo cualquiera es mayor cualquiera es mayor que la diferencia de que la diferencia de los otros lados.los otros lados.

TESIS:TESIS: ___ ___ ______ ___ ___ AB> AC + BC AB> AC + BC

PODEMOS DARNOS CUENTA QUE PODEMOS DARNOS CUENTA QUE A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA

TODO TODO LO QUE ESTA EN NUESTROLO QUE ESTA EN NUESTRO ENTORNO TIENE SENTIDOENTORNO TIENE SENTIDO . .

FINFIN