energía potencial

Universidad Autónoma de Baja California Facultad de Ingeniería

Electricidad y Magnetismo Unidad 2 POTENCIAL ELECTRICO Y CONDENSADORES

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2.1.- Potencial eléctrico y energía potencial eléctrica 2.1.1.- Concepto de diferencia de potencial y de energía potencial eléctrica Trabajo (W): se define como la fuerza aplicada a una carga de prueba por su

desplazamiento. N*m=Jouls Energía: es un trabajo realizado Energía potencial eléctrica (U): es la energía referente a la posición de una carga

de prueba en un campo eléctrico, no a su movimiento. Energía cinética (K): trabajo realizado para acelerar desde el reposo una carga,

hasta la velocidad que posee.

Energía Potencial Cuando una carga de prueba positiva q0 se coloca en un campo eléctrico E, existe

una fuerza eléctrica sobre la carga de prueba y es una fuerza conservativa. Cuando la carga se mueve en el campo, el trabajo hecho sobre q0 por el campo eléctrico es igual negativo del trabajo hecho por el agente externo que produce el desplazamiento.

En un desplazamiento infinitesimal de una carga ( representa el vector de desplazamiento infinitesimal) el trabajo hecho es

Donde: l, las unidades del trabajo son Joule (J) 1Joule= (1N)(1m) La diferencia de energía potencial ∆U que se pierde al pasar un objeto de su

posición inicial a la final está dada por

La integración se efectúa a lo largo de la trayectoria por medio de la cual se mueve la carga de prueba de A a B. como la fuerza es conservativa la integral no depende de la trayectoria seguida entre A y B. (el trabajo es independiente de la trayectoria) 2.1.2.- Deducción del potencial Potencial Eléctrico Se define como la energía potencial eléctrica por unidad de carga

El potencial eléctrico es independiente del valor de q0 y tiene un valor único en cada punto del campo eléctrico. Ya que la energía potencial es una cantidad escalar el potencial eléctrico también lo es y tiene las unidades Joule/coulomb =J/C =Voltio

B

AdsEqU 0



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La diferencia de potencial en un campo eléctrico uniforme La diferencia de potencial entre dos puntos A y B es independiente de la trayectoria entre estos dos puntos es decir el trabajo hecho para llevar la carga de un punto A a un punto B es el mismo a lo largo de todas las trayectorias.

Si es uniforme. Donde es el desplazamiento en

la dirección paralela a

Las líneas de campo eléctrico siempre apuntan en la dirección de potencial eléctrico decreciente. En un sistema carga-campo, pierde energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo. Entonces si una carga de prueba positiva se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme la carga se acelera en dirección del campo eléctrico ganando energía cinética, la misma cantidad de energía cinética que gana la partícula, el sistema carga-campo pierde la misma cantidad de energía potencial. Las cargas positivas se mueven hacia donde el potencial es decreciente.

Si la carga de prueba es negativa entonces es positiva entonces el sistema carga-campo adquiere energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en la dirección del campo eléctrico. Las cargas negativas se mueven hacia donde el potencial aumenta.

Ejercicios 1. Considere dos puntos en un campo eléctrico, el potencial en P1 es

y el potencial en P2 es ¿Cuánto trabajo realiza una fuerza externa al mover una carga de P2 a P1?

2. Dos placas paralelas están separadas por si se mantiene una

diferencia de potencial de entre esas placas, calcule la intensidad de campo eléctrico en la región entre ellas.

3. Un electrón se mueve paralelo al eje tiene una velocidad inicial en el origen su velocidad se reduce a en un punto

. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto ¿Cuál punto esta a mayor potencial?

4. Un campo eléctrico uniforme de magnitud está dirigido hacia el lado positivo de las . una carga de se mueve desde el origen hasta el punto a) ¿Cuál es el cambio de energía potencial del sistema carga-campo? b) ¿A través de qué diferencia de potencial se mueve la carga?



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2.1.5.- Superficies equipotenciales Superficies equipotenciales son las superficies sobre las cuales el potencial eléctrico permanece constante. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales creadas por cargas puntuales son esferas concéntricas centradas en la carga, como se deduce de la definición de potencial (r = cte).

Superficies equipotenciales creadas por una carga puntual positiva (a) y otra negativa (b) Cuando una carga se mueve sobre una superficie equipotencial la fuerza electrostática no realiza trabajo, puesto que la ΔV =0

Por otra parte, para que el trabajo realizado por una fuerza sea nulo, ésta debe ser perpendicular al desplazamiento, por lo que el campo eléctrico (paralelo a la fuerza) es siempre perpendicular a las superficies equipotenciales. En la figura anterior (a) se observa que en el desplazamiento sobre la superficie equipotencial desde el punto A hasta el B el campo eléctrico es perpendicular al desplazamiento.

Las propiedades de las superficies equipotenciales se pueden resumir en:

o Las líneas de campo eléctrico son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales y se dirigen hacia donde el potencial disminuye.

o El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos de una misma superficie equipotencial es nulo.



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2.1.3.- Potencial eléctrico debido a cargas puntuales 2.1.4.- Cálculo de energía potencial debido a cargas puntuales

Considere una carga positiva aislada

Diferencia de potencial entre el punto A y el punto B de un campo eléctrico, está dada por

[

]

Por lo general escogemos el punto A muy alejado de todas las cargas que

producen el campo eléctrico, el infinito, entonces lo tomamos arbitrariamente como cero. Con esta referencia, el potencial eléctrico creado por una carga

puntual a cualquier distancia de la carga es

El potencial eléctrico de dos o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de superposición de cargas.

El potencial en un punto debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto.

El potencial debido a un grupo de cargas puntuales se obtiene sumando los

potenciales debidos a cada carga individualmente. Siendo un escalar, la suma es una simple operación algebraica.



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La energía potencial de un par de cargas puntuales separadas una distancia está dada por

Si las cargas son del mismo signo, es positiva, como las cargas iguales se rechazan, por lo que el trabajo positivo debe efectuarse sobre el sistema para acercar las cargas entre si. Si las cargas son de signo opuesto, la fuerza es

atractiva y es negativa. Esto significa que debe realizarse trabajo negativo para acercar cargas diferentes. Ésta representa el trabajo requerido para traer las cargas desde una separación

infinita hasta una separación . La energía potencial de una distribución de cargas puntuales se obtiene sumando los términos obtenidos por la ecuación para cada par de partículas.

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21

r

qqkU



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Ejercicios:

1. ¿A qué distancia desde una carga puntual de el potencial eléctrico es igual a ?

2. Un pequeño objeto esférico tiene una carga de ¿A qué distancia del centro del objeto el potencial es igual a ¿El desplazamiento de las equipotenciales es proporcional al cambio en ?

3. A una distancia de una carga puntual , el potencial eléctrico es y la magnitud del campo eléctrico es . Determine los valores de y

4. Dadas dos cargas de como en la figura y una carga de prueba

positiva C en el origen, a) ¿Cuál es la fuerza neta ejercida sobre por las dos cargas de ? b)¿Cuál es el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas de ? c) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el origen debido a las dos cargas de ?

5. Tres cargas puntuales se encuentran

alineadas de tal forma que la segunda está situada en el centro de las

otras dos. La separación entre dos cargas consecutivas es Calcular a) La energía potencial electrostática de carga debido a las otras. b) La energía potencial electrostática total del sistema.



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2.1.6.- Potencial debido a distribuciones continúas de carga

Anillo uniformemente cargado de radio a

A lo largo del eje del anillo a una distancia x de su centro

√

Disco uniformemente cargado de radio a

A lo largo del eje del disco a una distancia x de su centro

xaxkV 21222



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Esfera aislante uniformemente cargada de radio R y carga total Q

Esfera conductora aislada de carga total Q y radio R

Rr r

QkV

Rr

2

2

32 R

r

R

QkV

Rr R

QkV

Rr r

QkV

http://www.google.com.mx/imgres?sa=X&tbm=isch&tbnid=aQ1zymT_jpvxoM:&imgrefurl=http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_debido_a_una_esfera_cargada_uniformemente&docid=YIQCrwL4dnwXrM&imgurl=http://laplace.us.es/wiki/images/6/67/Esferacargadavolumen01.gif&w=268&h=268&ei=qOFNUvGUKMe9igKhlYGYCg&zoom=1

http://www.google.com.mx/imgres?sa=X&tbm=isch&tbnid=aQ1zymT_jpvxoM:&imgrefurl=http://laplace.us.es/wiki/index.php/Campo_debido_a_una_esfera_cargada_uniformemente&docid=YIQCrwL4dnwXrM&imgurl=http://laplace.us.es/wiki/images/6/67/Esferacargadavolumen01.gif&w=268&h=268&ei=qOFNUvGUKMe9igKhlYGYCg&zoom=1



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Ejercicios

1. Un anillo de radio con una carga total distribuida de manera uniforme de . Calcule el potencial eléctrico en un punto sobre su eje a

2. Considere dos anillos coaxiales de de radio y separados a) calcule el potencial eléctrico en un punto sobre su eje común a la mitad entre los dos anillos, suponiendo que cada anillo tiene una carga distribuida

de manera uniforme de . b) ¿Cuál es el potencial en este punto si los dos anillos conducen cargas iguales y opuestas?

3. ¿Cuántos electrones deben extraerse de un conductor esférico inicialmente

descargado de de radio para producir un potencial de en la superficie?

4. Calcule la densidad de carga superficial, (en ), para un conductor

esférico sólido de radio si el potencial a del centro de la esfera es

5. Un conductor esférico tiene un radio de y una carga de . calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico



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Taller 1 1. Tres cargas, como se muestra en la figura, están en los vértices de un

triangulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la

base, considere

2. A cierta distancia de una carga puntual la magnitud del campo eléctrico es

de y el potencial eléctrico es igual a . a) ¿Cuál es la distancia a la carga?, b) ¿Cuál es el valor de la carga?

3. Dos cargas puntuales, y , están separadas . a) ¿Cuál es la energía potencial del par? b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en un punto a la mitad de las cargas?

4. Calcule la energía requerida para agrupar el arreglo de cargas que se

muestra en la figura donde y .

5. Considere un anillo de radio con una carga total de distribuida uniformemente sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre

el punto en el centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia de veces el radio del anillo, del centro?

6. Un conductor en forma de huevo tiene una carga de sobre su

superficie. Su área total es de . ¿Cuáles son: a) la densidad de carga superficial, b) el campo eléctrico dentro del conductor c) el campo eléctrico justo fuera del conductor



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2.2.- Condensadores 2.2.1.- Concepto de capacitancia y condensador Un condensador es un dispositivo que consta de dos conductores con cargas iguales y opuestas separadas una distancia muy pequeña comparada con sus dimensiones, con una diferencia de potencial V entre ellos, debido a un campo eléctrico que se genera entre los conductores. La capacitanciaC de cualquier condensador, se define como la razón de la magnitud de la carga Q en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial V:

La unidad SI de la capacitancia es el coulomb por voltio, o faradio (F), y 1 F = 1 C/1V La capacitancia dada en un dispositivo depende de su geometría y del material que separa a los conductores, llamado dieléctrico. Un dieléctrico es un material aislante que tiene propiedades eléctricas distintivas, los cuales pueden comprenderse mejor considerando las propiedades de los átomos. Ejemplos:

1. El exceso de carga en cada uno de los conductores de un capacitor de

placas paralelas es de . ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores si la capacitancia del sistema es de ?

2. Dos conductores con cargas netas de y tienen una diferencia de potencial de . Determine a) la capacitancia del sistema, y b) la diferencia de potencial entre los conductores si la carga en cada uno

se incrementan hasta y . 3. Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de ¿Qué

carga sobre cada placa produce una diferencia de potencial de entre las placas?

V

QC



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2.2.2.- Cálculo de la capacitancia en condensadores Las fórmulas siguientes se aplican cuando los conductores cargados están separados por vacío: Esfera cargada aislada de radio R

Condensador de placas paralelos de área A y separación de placas d

Condensador cilíndrico de longitud l y radios interior y exterior a y b, respectivamente

RC 04

d

AC 0

a

bk

lC

ln2



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Condensador esférico con radios interior y exterior a y b, respectivamente

Taller 2

1. Una esfera conductora cargada y aislada de 12.0cm de radio crea un campo eléctrico de 49x10 ³N/C a una distancia de 21.0cm de su centro. a) ¿Cuál es su densidad de carga superficial? b) ¿Cuál es su capacitancia?

2. Un capacitor de placas paralelas lleno de aire va a tener una capacitancia de 1.00f. si la distancia entre las placas es de 1.00mm, calcule el área de la superficie requerida de cada placa.

3. Un capacitor de placas paralelas tiene un área de placa de 12.0cm² y una capacitancia de 7.00pf. ¿Cuál es la separación de las placas?

4. Un capacitor lleno de aire está compuesto de dos placas paralelas, cada una con un área de 7.60cm², separadas por una distancia de 1.8mm. si se aplica una diferencia de potencial d 20.0V a estas placas, calcule a) el campo eléctrico entre las mismas, b) la densidad de carga superficial, c) la capacitancia y d) la carga sobre cada placa.

5. Un cable coaxial de 50.0cm de largo tiene un conductor interior con un diámetro de 2.58mm que conduce una carga de 8.10 μC. el conductor circundante tiene un diámetro interior de 7.27mm y una carga de 8.10 μC a) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial de potencial entre los dos conductores? Suponga que la región entre los dos conductores es el aire.

6. Un capacitor esférico está compuesto por una bola conductora de 10.0cm de radio que está centrada en el interior de un cascaron esférico conductor de 12.0cm de radio interior. ¿Qué carga de capacitor se requiere para alcanzar un potencial de 1000 V en la bola?

abk

baC



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2.2.3.- Condensadores en combinación serie paralelo y mixto Combinación de capacitores Si dos o más condensadores se conectan en paralelo, (los terminales de cada lado de los elementos están conectadas a un mismo punto).la diferencia de potencial a través de cada uno de ellos debe ser la misma. La capacitancia equivalente de una combinación en paralelo está dada por

Donde n es el número de capacitares

Si dos o más condensadores están conectados en serie, (capacitores conectados uno después del otro) la carga en cada uno de ellos es la misma, y la capacitancia equivalente de la combinación en serie está dada por

Donde: n es el número de capacitores que están conectados en serie.

Taller 3

1. a) Dos capacitares, , están conectados en paralelo, ¿Cuál es la capacitancia equivalente de la combinación? b) calcule la capacitancia equivalente de los dos capacitares si están conectados en serie.

2. a) Determine la capacitancia equivalente para la red de capacitares que se muestra en la figura, b) Calcule la diferencia de potencial a través de cada capacitor y la carga en cada capacitor.

3. Cuatro capacitares se conectan como se muestra en la figura a) Encuentre la

capacitancia equivalente entre los puntos . b) Calcule la carga en cada capacitor si

neq CCCCC ,........,321

neq CCCCC

1,........,

1111

321



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4. Encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos para el grupo de capacitares conectados, como se indica en la figura.

2.2.4.- Condensadores con dieléctrico diferente al vacío Un dieléctrico es un material no conductor, como el caucho, el vidrio o el papel encerado. Cuando un material dieléctrico se introduce entre las placas de un condensador, la capacitancia generalmente aumenta por un factor adimensional κ llamado constante dieléctrica

Donde C0 es la capacitancia en ausencia de dieléctrico, la carga en las placas permanece igual, pero la diferencia de potencial se reduce a V =V0/ κ El aumento en la capacitancia se debe a la disminución del campo eléctrico en presencia del dieléctrico, lo cual corresponde a la disminución en la diferencia de potencial entre las placas —suponiendo que la batería de carga se elimina del circuito antes de introducir el dieléctrico—. La disminución de E proviene de un campo eléctrico interno producido por la alineación de los dipolos en el dieléctrico. Este campo interno producido por los dipolos se opone al campo original aplicado, lo cual conduce a una reducción en el campo eléctrico neto.

Un dieléctrico o aislante es un material que evita el paso de la corriente, y su función es aumentar la capacitancia del capacitor.

0CC

http://www.unicrom.com/Tut_corriente_electrica.asp



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Los diferentes materiales que se utilizan como dieléctricos tienen diferentes grados de permitividad (diferente capacidad para el establecimiento de un campo eléctrico)

Mientras mayor sea la permitividad, mayor es la capacidad del condensador. La capacitancia de un condensador de placas paralelas cuando el capacitor está lleno con un dieléctrico está dada por la fórmula:

C = κrε0 A / d

Dónde: C = capacitancia κr = permitividad A = área entre placas d = separación entre las placas

Las principales características eléctricas de un condensador son su capacidad o capacitancia y su máxima tensión entre placas (máxima tensión que es capaz de aguantar sin dañarse).

EJEMPLOS:

1. Dos placas paralelas poseen cargas +Q y –Q. Si el espacio entre las placas estas desprovisto de materia, el campo eléctrico es de 2.5x10^5V/m. Cuando el espacio se llena con un dieléctrico determinado, el campo se reduce a 1.2x10^5V/m. a) Si Q = 10.0nC, ¿Cuál es el área de las placas? b) ¿Cuál es la constante dieléctrica del dieléctrico?

2. Cierto dieléctrico de constante κ=24.0 puede resistir un campo eléctrico de 4.0x10^7V/m. con este dieléctrico se requiere construir un capacitor de 0.1μf que pueda resistir una diferencia de potencial de 2000V a) ¿Cuál es la distancia de separación entre las placas? b) ¿Cuál debe ser el área de las placas?

3. Calcular el campo eléctrico formado entre las placas de un capacitor que se inserta entre sus placas un material dieléctrico Baquelita, la carga de una de las placas es +10 C, y las placas tiene un área de 1m².

4. Un capacitor de placas paralelas tiene las placas de de área y una separación de . se carga hasta . a) ¿Cuál es el campo eléctrico existente entre las placas?, b) hallar la capacitancia, c) si el espacio entre las placas se llenan con nylon ¿Cuál es el campo eléctrico existente entre las placas ? y d) hallar la capacitancia,



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2.2.5.- Almacenamiento de energía en un condensador

Se requiere trabajo para cargar un condensador, ya que el proceso de carga consiste en transferir carga desde un conductor que está a un potencial menor hasta otro conductor que está a un potencial mayor. El trabajo realizado al cargar un condensador hasta una carga Q es igual a la energía potencial electrostática U almacenada en el condensador, donde

Taller 4

1. Calcule la energía almacenada en un capacitor de 18.0 μf cuando se carga hasta un potencial de 100 V.

2. La energía almacenada en un capacitor de 12.0 μf es de 130 μJ. Determine a) la carga en el capacitor, y b) la diferencia de potencial a través de el.

3. Un capacitor de placas paralelas de 16.0pf se carga por medio de una batería de 10.0V. si cada placa del capacitor tiene un área de 5.00cm², ¿Cuál es el valor de la energía almacenado por el capacitor?

22

2

1

2

1

2VCVQ

C

QU

energía potencial

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