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Energie libre on peut montrer la présence d’une transition de phase via l’énergie libre F
Cas S=1/2
fonction de partition du site i
HCM = gµB S!i.Bm" !"
+12J S
!i S!i+!
!
!
Ui = ±zJM2
+zJM 2
2
MS =12
kBTc =zJ4
Ui = ±kBTcMMS
+12kBTc
MMS
!
"#
$
%&
2
Zi = e!!Ui = 2cosh TcMTMS
"
#$
%
&'
+!
( e!!E0
Z = ZiN = 2N cosh TcM
TMS
!
"#
$
%&
N
e'N!E0
F = !kBT lnZ = !NkBT ln 2coshTcMTMS
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+ NE0
pour N sites indépendants
M!"!= ! S"i
B!"m =
zJgµB
M!"!
J avec
Siz = ±
12
Pour un site i:
Energie libre
= ±kBTcMMS
+E0
Energie libre
F = !NkBT ln 2coshTcMTMS
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+12NkBTc
MMS
"
#$
%
&'
2
T>Tc
T=Tc
T<Tc note:
!F!M
= 0
MMS
= tanh TcMTMS
!
"#
$
%&
M/MS
Pour T<Tc: M=0 est instable
Energie libre sous champ
F = !NkBT ln 2coshTcMTMS
+µBBkBT
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+12NkBTc
MMS
"
#$
%
&'
2
M/MS ≠ 0 à toute température
Théorie phénoménologique de Landau
F = !NkBT ln 2coshTcMTMS
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+12NkBTc
MMS
"
#$
%
&'
2
près de Tc: MMS
! 0
cosh(x) =1+ x2
2+o(x4 )
F ! "NkBT ln2" NkBT ln 1+12TcMTMS
#
$%
&
'(
2)
*++
,
-..+12NkBTc
MMS
#
$%
&
'(
2
ln(1+ x2 ) ! x2 +o(x4 )F ! "NkBT ln2"
12NkBT
TcMTMS
#
$%
&
'(
2
+12NkBTc
MMS
#
$%
&
'(
2
F ! "NkBT ln2+12NkBTc
MMS
#
$%
&
'(
2
1" TcT
#
$%
&
'(+o
MMS
#
$%
&
'(
4
paramètre d’ordre: m =MMS
développement de Landau en puissance du paramètre d’ordre
F(m) = !F0 + am2 (1! Tc
T)+ bm4
Théorie phénoménologique de Landau
développement de Landau près de Tc: F(m) = !F0 + am2 (1! Tc
T)+ bm4
minimisation de F: !F!m
= 0 2am(1! TcT)+ 4bm3 = 0 m = 0
m = ±2ab
TcT!1
"
#$
%
&'si T>Tc: m=0
T
Tc
M
exposant critique: ½ champ moyen
développement de Landau = champ moyen
m: paramètre d’ordre de la transition
Susceptibilité paramagnétique: Curie-Weiss
M (T )MS
= BS (x) ! =NVgµBµ0
!M!B
susceptibilité
au-dessus de Tc, champ faible x! 0
MMS
!(S +1)x3
=(S +1)!(zJM + gµBB)
3TcMS
=zJ(S +1)3kB
MMS
!TcMTMS
+(S +1)!gµBB
3
MMs
!(S +1)!gµBB
31" Tc
T#
$%&
'(
"1
! =NVµ0S(S +1) gµB( )2
3kBTT !TcT
"
#$%
&'
!1
loi de Curie-Weiss
! =C
T !Tc
C = NVµ0 gµB( )2 S(S +1)
3kB
x = !(zJM + gµBB)
avec:
aimantation réduite sous champ M!"!= ! Si!"
avec:
discontinuité de la chaleur spécifique les dérivées des fonctions thermodynamiques sont discontinues ex: chaleur spécifique magnétique
C = dUdT
=1Nd HCM
dTà champ nul:
HCM
N=gµB
NS!i.Bm" !"
+i! 1
2NJ S
!i S!i+!
i,!! ! =
zJ(gµB )
2
B!"m = !M!"!
M!"!= !
gµB
NS!i
i"
U = !12!M 2 Cm = !!M
dMdT
(1) T>Tc: M=0 donc Cm=0 (2) T=0: dM/dT=0 donc Cm=0
T Tc
M (3) T≈Tc (T<Tc) M ! MS 3 Tc
T"1
#
$%
&
'(
Cm (T ! Tc ) ! "!MS2 3 Tc
T"1
#
$%
&
'( )
1
2 3 TcT"1
#
$%
&
'(
)3 "TcT 2
#
$%
&
'(=32!MS
2 TcT 2
Cm (T c ) =9kB2
SS +1
=3kB2
! =3kBSTc(S +1)MS
2 discontinuité à Tc avec:
T Tc
« saut »
S=1/2 g=2
!!M 2 12JzM 2
(gµB )2 =
12!M 2
Limites du champ moyen
Estimation of TC
Mean field: kBTC = zJ
Real Tc is always smaller (event 0 for some models)
Tc for the Ising model:
Mean field is better if z is large!• plus la coordination z augmente, plus le champ moyen est bon • plus z est grand, plus les fluctuations spatiales sont coûteuses
cas extrême: 1D
straight line with slope ~ T.
y
/ SM M
T > Tc
T = Tc
T < Tc BJ (y)
spontaneous magnetisation below Tc where slope of straight line is less than the one of . 0JB J
small y: 313J
J yB y O
Jy
B C
s
k T yMM S J BM g J
1J y3 J
1~ 1
3J B S
C SB
g J MT J M
k with 2 2
2
B
I Zm g
2 1
3CB
z I J JT
k
in return: 31
B Cmf S
J B
k TB Mg J
for 1 ,2 JJ g 1 and 1000 ~ 1500 Tesla!B C
C mfB
k TT K B!
i.e. enormously large field! reflecting the strength of the exchange interaction.
J = ! J =
CT
/ SM MMaterials TC B) Fe 1043 2.22 Co 1394 1.71 Ni 631 0.6 Gd 289 7.5 MnSb 587 3.5 EnO 70 6.9 EnS 16.5 6.9
Curie-Weiss law for T > TC
applying a small field extB above will induce a small magnetization. CT1
3J B
S B
g JM B MM k T
so that C
S S
TM B MM M T
recall 1
3J B S
CB
g J MT
k
– 2 –
Limites du champ moyen
• à basse température: pas exponentiel mais plutôt en puissance 3/2 • excitations à basse énergie: ondes de spins
• Exposants critiques incorrects à basse dimension