enseñanza constructivista de las ciencias

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CENTRO INTERDISCIPLINARIO DE INVESTIGACIÓN Y DOCENCIA EN EDUCACIÓN TÉCNICA

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN

ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

PRESENTA

LA EFECTIVIDAD DE LA ENSEÑANZA

CONSTRUCTIVISTA

DE LA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA EN EL

BACHILLERATO

NEFTALÍ ANTÚNEZ HERNÁNDEZ

CHILPANCINGO, GRO. OCTUBRE DE 2003

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[email protected] y http://www.antunezsoftware.wordpress.com

La Efectividad de la Enseñanza Constructivista de la Aritmética y Álgebra en el Bachillerato

Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias 9

Contenido Resumen 13 Abstract 15

Capítulo I. Introducción

1.1 Antecedentes 17

1.2 Planteamiento del problema 19

1.3 Justificación 23

Capítulo II. Fundamentos

2.1 Desarrollo Histórico del Constructivismo 27

2.2 ¿Qué es Constructivismo? 30

2.2.1 Constructivismo Psicológico Piagetiano 32

2.2.2 Constructivismo Social de Vygotsky 35

2.3 Salones de Clases Constructivistas 37

2.4 Características del Estudiante Constructivista 46

2.5 Características del Maestro Constructivista 53

2.6 Evaluación Constructivista 65

2.7 Aprendizaje Significativo 74

2.7.1 Historia del origen de la Perspectiva Significativa 74

2.7.2 ¿Qué es el Aprendizaje Significativo? 75

2.7.3 Aprendizaje Tradicional 77

2.7.4 Teoría del Aprendizaje Significativo 77

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10 Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias

2.7.5 Aprendizaje Significativo y Aprendizaje Mecánico 78

2.7.6 Características del Aprendizaje Significativo 81

2.7.7 Requisitos para el Aprendizaje Significativo 82

2.7.8 Constructivismo y Aprendizaje Significativo 83

2.7.9 Ventajas del Aprendizaje Significativo 85

2.7.10 Requisitos para lograr el Aprendizaje

Significativo 86

2.7.11 Mitos del Aprendizaje Significativo 89

2.8 Educación Tradicional 91

2.8.1 Panorama Actual de la Educación Tradicional 100

2.9 El Constructivismo en Matemáticas 103

2.10 Enseñanza Constructivista de las Matemáticas 106

2.11 Barreras existentes al Implementar el Constructivismo 110

2.12 Modelo Constructivista de la Enseñanza de las

Matemáticas 115

2.12.1 Explicación del Modelo 118

2.12.2 Pautas a seguir en la Resolución de Problemas 119

2.12.3 Las Cuatro Fases de Solución de Problemas de

George Polya 120

2.12.4 Rasgos que caracterizan a los Buenos Problemas 125

2.12.5 Ejemplo del uso del Método de Polya 126

2.12.6 Ejemplos de Aplicación del Modelo Propuesto 132

2.12.7 Ejemplo Completo del Modelo de Enseñanza

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Constructivista de las Matemáticas 135

Capítulo III. Metodología

3.1 Introducción 141

3.2 Técnicas de Recolección de Datos 143

3.3 Población 143

3.4 Muestra 143

3.5 Instrumentos 145

3.6 Modelo General de Enseñanza Constructivista 146

3.7 Obtención de Resultados 148

3.8 Pruebas Estadísticas 149

3.9 Hipótesis 150

3.10 Objetivos 156

3.11 Tipo de Proyecto 157

Capítulo IV. Resultados

4.1 Resultados del Proyecto de Investigación 159

4.2 Presentación, Análisis e Interpretación de los Datos

Obtenidos en la Investigación 159

4.3 Comparación De Resultados 168

4.3.1 Situación Inicial 168

4.3.2 Situación Final 170

4.3.3 Aprendizaje Significativo 172

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4.4 Prueba de Hipótesis 174

4.5 Resultados Cualitativos 179

4.5.1 Resultados Matemáticos 179

Capítulo V. Conclusiones y Recomendaciones

5.1 Conclusiones 194

5.2 Recomendaciones 195

Bibliografía 196

Anexos

Examen de Diagnóstico 202

Evaluación del Aprendizaje Significativo 209

Resultados Estadísticos 219

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Resumen

Este estudio estableció como hipótesis que los estudiantes en un salón de

clases constructivista deben obtener mejores resultados en aritmética y

álgebra que los estudiantes en un salón de clases tradicionalista. Cuatro

diferentes salones de clase de estudiantes de primer semestre de

bachillerato cursando Matemáticas I fueron seleccionados como grupos

experimentales y de control. Dos grupos fueron enseñados usando

métodos tradicionales de enseñanza en un entorno de aprendizaje

tradicional, funcionando como grupos de control y enseñados por otro

maestro —ajeno a los propósitos de esta investigación--. A los otros dos

grupos se les enseñaron los mismos contenidos básicos utilizando

métodos constructivistas en un entorno de aprendizaje constructivista.

El más significativo hallazgo del estudio fue que los estudiantes en

aritmética y álgebra en los salones de clase constructivistas obtuvieron

aprendizajes significativos más altos que los estudiantes en salones de

clases tradicionales --a pesar de que la teoría constructivista tiende a

enfocarse en diferentes herramientas de evaluación--. Aunque el estudio

tiende a apoyar la hipótesis principal, para confirmarla de una forma más

general será necesario realizar investigaciones adicionales en esta área.

El uso de una muestra conveniente, tal como la que se usó en este

estudio, tiende a limitar la implicación de los resultados, debido a que los

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hallazgos pueden ser estrictamente hablando verdaderos para los cursos

en esta escuela particular. Sin embargo, dado que el área de estudios es

Matemáticas –contenidos y lenguaje común en todos los bachilleratos--,

los resultados cuidadosamente podrían ser generalizados a otras

instituciones de nivel medio superior o bachillerato.

El propósito de este trabajo es respecto a la efectividad de una enseñanza

constructivista de la aritmética y álgebra en el nivel medio superior. Su

objetivo es responder las preguntas ¿Cómo obtener aprendizajes

significativos en matemáticas? ¿Es el enfoque constructivista una

alternativa adecuada en educación matemática? ¿Cuáles son las ventajas

de la enseñanza constructivista respecto a la educación tradicional?

¿Cómo implementar la enseñanza constructivista en un modelo educativo

tradicional?

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Abstract

THE EFECTIVENESS OF THE CONSTRUCTIVIST TEACHING OF

ARITHMETIC AND ALGEBRA IN THE CLASSROOMS OF THE

HIGH SCHOOL LEVEL

This study hypothesized that students in a constructivist classroom would

perform better in arithmetic and algebra than students in a traditionalist

classroom. Four different classrooms of students in a 10th grade Math I

course were selected to serve as the experimental and control groups.

Two groups were taught the material using traditional teaching methods

in a traditional learning environment, functioning as the control groups

and were instructed by another teacher –outside to this research--. The

others two groups were taught the same basic content using constructivist

methods in a constructivist learning environment.

The most significant finding of the study was that students in arithmetic

and algebra in the constructivist classrooms got higher meaningful

learning than students in the more traditional classroom --even though

constructivist approaches tends to focus on different assessment tools--.

Although the study lends support to the major hypothesis, it should be

noted that further research must be conducted in this area. The use of a

convenience sample, such as was done in this study, tends to limit the

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implication of the results, because the findings can only be strictly said to

be true for classes in this particular school. However, as the area in study

is mathematics –contents and language common in High School--, the

results carefully could be generalized to others institutions of High

School level.

The purpose of this work is about the effectiveness of the constructivist

teaching of arithmetic and algebra in the classrooms of the High School

level. Its objective is answering several arising questions: How to get

meaningful learning in math? Is the constructivist approach an adequate

alternative in math education? Which are the advantages of the

constructivist teaching about to the traditionalist teaching? How to

implement the constructivist teaching into a traditionalist educative

model?

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Capítulo I Introducción

«La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del mundo

entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un sufrimiento

inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la enseñanza no debe ser una

tortura, y no seríamos buenos profesores si no procuráramos, por todos los medios,

transformar este sufrimiento en goce, lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el

contrario, alumbramiento de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces». (Puig Adam,

Pedro 1958)

1.1 Antecedentes

El presente tema surge durante el desarrollo de la Maestría en Ciencias

en Enseñanza de las Ciencias y en especial en el IV Seminario Nacional

de Investigación en Didáctica de la Matemática, celebrada en la Ciudad y

Puerto de Acapulco, Gro., en diciembre del 2000, compartimos una mesa

de trabajo con la Doctora en Matemáticas Rosa María Farfán autora entre

otros del libro Ingeniería Didáctica, publicado por Grupo Editorial

Iberoamérica. Cuando el conferencista en turno preguntó ¿Cuál es el

problema más fuerte que enfrentan como docentes de matemáticas? En la

mesa de trabajo comentamos que era la reprobación, la cual provoca

deserción y a la vez causa el fracaso escolar. Sin embargo, la Dra. Farfán

nos dijo que a su modo de ver, ese no era el problema más grave, ya que

¿Cómo garantizamos que los que habían aprobado verdaderamente

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habían aprendido matemáticas y en realidad sólo habían demostrado

conocimientos memoristas en el instante de la evaluación? Ella comentó

que el problema real, era que los estudiantes con la enseñanza tradicional

no obtenían aprendizajes significativos sino memoristas, y también, a la

mala publicidad y fama que le han dado a las matemáticas los malos

maestros, quienes las han presentado como difíciles y aburridas, como

una serie de símbolos y operaciones que solo sirven para reprobar a los

estudiantes, quienes piensan ¡Qué difíciles han de ser las matemáticas,

que ni el mismo maestro las domina! Por esto, aunque se enseñe

tradicionalmente bien en los cursos previos, al llegar al curso siguiente

los alumnos prácticamente han olvidado los conocimientos anteriores, ya

que los aprendizajes memorísticos se olvidan fácil y rápidamente. Por

que lo mejor es lograr aprendizajes permanentes, lo que implica buscar

un enfoque alterno al tradicional –pues éste visiblemente ha fracasado–,

por uno nuevo que promueva aprendizajes significativos en los

estudiantes, que haga que los estudiantes se apropien de los

conocimientos y paulatinamente se vuelvan autónomos en su aprendizaje,

es decir, que aprendan a aprender.

Pero ¿Cuál es la teoría de aprendizaje o enseñanza que se debe utilizar?

Durante la Maestría en Ciencias en Enseñanza de las Ciencias nuestro

objetivo principal además de la actualización de conocimientos, fue el

buscar una teoría que cumpliera con proporcionar aprendizajes

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significativos, encontrando que para las matemáticas y la mayoría de las

ciencias básicas, la teoría más aceptada y utilizada es el Constructivismo.

La literatura educativa moderna así lo dice –aunque también tiene

algunas críticas en contra–, la mayoría de los educadores está de acuerdo

en sus ventajas educativas. En la actualidad, muchos educadores la

utilizan en su práctica educativa o en sus investigaciones. Por esta razón,

se eligió el Constructivismo para realizar el presente estudio y se usó en

los grupos experimentales, mientras que en los grupos testigos se usó el

enfoque tradicional.

Desafortunadamente, no se encontró ningún ejemplo de enseñanza

constructivista de la aritmética y álgebra en el bachillerato o nivel medio

superior. Razón por la cual, se tuvo que profundizar en el

constructivismo para poder formar un modelo de enseñanza

constructivista de matemáticas básicas. La presente tesis, esperamos sirva

para una nueva forma de enseñar matemáticas y como referencia para

futuras investigaciones.

1.2 Planteamiento del problema

El planteamiento del problema es una interrogante a la cual se intenta

responder mediante una investigación. Los problemas surgen,

principalmente, por una laguna en el conocimiento, por contradicciones

aparentes en investigaciones anteriores o por la observación de un

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fenómeno nuevo. La investigación consiste en profundizar en el tema y

en observar a mayor detalle el problema, para conocer sus causas y

efectos y estar en condiciones de darle solución. De esta manera, se crea

nuevo conocimiento o se perfecciona el existente.

Para que un problema pueda ser objeto de estudio científico debe

satisfacer una serie de condiciones. Kerlinger (1981: 12) las resume en

tres: 1) Ha de expresar una relación entre dos o más variables; 2) el

planteamiento debe ser claro, sin ambigüedades, y de ser posible en

forma de pregunta; 3) Debe permitir verificación empírica.

El presente proyecto surge de la necesidad de abordar y atacar el

problema de la ausencia de aprendizajes significativos en matemáticas,

producido por los aprendizajes memoristas de la enseñanza tradicional, lo

que ha producido reprobación y deserción escolar. Se cree que usando un

nuevo enfoque, el constructivista, se obtendrán aprendizajes

significativos en los estudiantes, lo que a su vez, disminuirá directamente

la reprobación y sus efectos: deserción y fracaso escolar; ya que el que

aprende bien jamás reprueba. La reprobación es un problema grave que

urgentemente necesita una solución. Pero debido a la gran cantidad de

factores que influyen, es difícil erradicarla e incluso disminuirla, sin

embargo, algo debe hacerse para reducir sus efectos tan negativos. Los

motivos para desarrollar este tema obedecen a que como docentes

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vivimos el problema de la reprobación en matemáticas y en ciencias

básicas en general, lo que a su vez provoca la deserción escolar, la cual

alarmantemente está aumentando. Debido a la gravedad del problema, se

considera urgente la necesidad de abordarlo y al menos disminuir sus

efectos. Se cree que con este nuevo enfoque constructivista se puede

disminuir la reprobación, ya que mediante dicho enfoque los estudiantes

podrán construir sus propios conocimientos y por lo tanto aprender

significativamente.

La reprobación y la deserción provocan el fracaso escolar. Sin embargo,

la enseñanza tradicional no ha resuelto satisfactoriamente este problema,

ya que este tipo de enseñanza cada vez es menos atractiva para los

alumnos, debido a que viven en un mundo moderno invadido por la

tecnología, principalmente: las computadoras con Internet, la televisión,

los teléfonos celulares, el fax, los videojuegos, etc. Por esto, los alumnos

ya no quieren educarse a la “antigua” y pasivamente, por eso una

educación anticuada no les llama la atención, más bien les aburre y

desertan.

El interés principal es que el presente proyecto contribuya al

mejoramiento de la educación matemática, como un nuevo enfoque de

enseñanza alternativa distinto al de la enseñanza tradicional que

notoriamente ha fracasado ¿A qué debe su fracaso? A que este método de

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enseñanza erróneamente parte de la hipótesis que el maestro es un

experto sabelotodo y el único que posee el conocimiento y el alumno es

un receptor pasivo que almacena dicho conocimiento.

El problema de la reprobación por ausencia de aprendizajes significativos

es el “cáncer” de la educación. Es la enfermedad más grave que ataca al

sistema educativo. La causa del problema es el aprendizaje memorístico

y su efecto directo es la reprobación y el desinterés de los estudiantes. Se

considera que la reprobación no se soluciona regalando calificaciones –

aprobando a los alumnos aunque no sepan--, ni disminuyendo el nivel

académico ni haciéndoles más fácil la aprobación de las asignaturas, de

manera tal que no les implique esfuerzo y participación; mas bien se

solucionará cuando se involucre activamente a los estudiantes en tareas y

actividades atractivas que les hagan obtener aprendizajes significativos.

La realidad es que los estudiantes siempre quieren aprender, pero sólo lo

que les sirva en su entorno o para sus estudios superiores y no aquello

que sienten les es impuesto por el maestro y no saben siquiera para qué

les sirve; por esto, muchas veces el maestro va solo a una meta que

únicamente él sabe, lo que equivocadamente le lleva a pensar que a los

alumnos no les gusta aprender ni estudiar.

El sistema educativo actual promueve los aprendizajes memorísticos y

por lo tanto la reprobación, ya que está basado en la acreditación, es

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decir, en la acumulación de boletas, certificados, diplomas, títulos, etc., y

no en la acumulación de conocimientos. El estudiante se prepara para

aprobar y no para aprender, esto lo obliga a memorizar, lo cual él le

llama “estudiar”, lo que se le hace muy aburrido; por esa razón, cuando el

maestro le dice que estudie él no lo hace, ya que a nadie le gusta solo

memorizar, por esto, se le hace más fácil copiar que apropiarse de sus

propios conocimientos, pues no sabe cómo lograrlos, e incluso llega a

comprar calificaciones, porque lo que desea es acreditar las asignaturas y

el aprendizaje se relega a segundo término. Por lo anterior, en la

educación tradicional, los documentos que deberían de ser reflejo y

garantía de los conocimientos adquiridos, por si solos ya no garantizan

que alguien está bien preparado académicamente y en la actualidad, al

terminar su carrera profesional debe certificarse aprobando un examen

ante el CENEVAL u otros organismos.

1.3 Justificación

“Hemos permitido que nuestras escuelas permanezcan en el pasado mientras nuestros estudiantes han nacido en el futuro. El resultado es una discrepancia entre educador y aprendiente. Pero no son los estudiantes quienes no corresponden a las escuelas, sino que las escuelas no corresponden a los estudiantes.” Nantúnez

En la era de la información no se necesitan cambios en las escuelas sino

un cambio de escuela, al menos en el enfoque o modelo de enseñanza,

que haga que los estudiantes puedan buscar, discriminar y utilizar la

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información que los diferentes trabajos demandan en la sociedad actual.

El mundo cambia diariamente, por esto, en las escuelas también tiene que

darse un cambio total, pues el maestro sólo con pizarrón y gis es obsoleto

y no puede competir mucho menos funcionar en un mundo moderno

invadido por la tecnología. En esta época, ya no sólo se vuelven

obsoletas las máquinas, también ocurre lo mismo con los recursos

humanos.

Lo cierto es que en el mundo real la sociedad se transforma. El volumen

de la información se potencia cada día; las nuevas profesiones demandan

amplios conocimientos de las nuevas tecnologías; las telecomunicaciones

pueden penetrar prácticamente cualquier rincón habitado; hoy en día el

trabajo colaborativo es más que el individual; la fuerza laboral tiene que

ser capacitada constantemente; la demanda educativa se incrementa

exponencialmente. Existe tanta información que en esta época se dice

que en ella nos ganaremos el pan con el sudor de la mente en lugar del

de la frente. Debido a la gran cantidad de información, a los alumnos se

les tiene que enseñar a investigar y a buscar la información y que cuando

la encuentren sepan discriminar la información que les es útil y cual no.

Si a esto añadimos el surgimiento continuo de nuevos conocimientos,

innumerables aplicaciones y diferentes formas de ver y estudiar la

realidad, necesitamos también una nueva manera de ver la educación.

Una en la que del salón de clases se pase a la experiencia concreta, de la

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reproducción a la generación del conocimiento, de un profesor que

enseña a un alumno que aprende, de verdades inmutables a contenidos

vertiginosamente cambiantes.

Se considera que es necesaria una revisión completa de la práctica

educativa, de manera tal, que se enfoque o se centre en las necesidades de

los estudiantes y de la sociedad a la cual ellos se integrarán. En el

presente proyecto se propone el uso de la teoría constructivista, debido a

que el aprendizaje constructivista está basado en la participación activa

del estudiante, en la solución de problemas y la adopción de un

pensamiento crítico respecto a las actividades de aprendizaje. De esta

manera, ellos estarán construyendo su propio conocimiento por probar

ideas y aproximaciones basadas en su experiencia y sus conocimientos

previos. Dichos conocimientos los aplicarán a nuevas situaciones e

integrarán el nuevo conocimiento obtenido a sus construcciones

intelectuales preexistentes.

Con este proyecto se pretende demostrar los efectos benéficos que

produce la combinación de la enseñanza constructivista con un entorno

constructivista. Dichos resultados vendrán a enriquecer los

conocimientos acerca de la teoría constructivista, principalmente en la

enseñanza-aprendizaje de la aritmética y álgebra. El presente proyecto se

espera sirva para lograr aprendizajes significativos en matemáticas, lo

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que directamente disminuirá los índices de reprobación y deserción

escolar, primero en los fundamentos matemáticos y con esto en las demás

ciencias auxiliadas por las matemáticas. Si se obtienen aprendizajes

significativos, el aprendizaje de las demás asignaturas se facilitará

enormemente, haciendo que la ciencia sea atractiva para los estudiantes.

El beneficio será primero para la educación tecnológica, pero puede

beneficiarse cualquier institución de nivel medio superior y

posteriormente cualquier institución superior. Esto traerá un efecto

multiplicador en la sociedad. Se beneficiarán los alumnos y maestros de

matemáticas del nivel medio superior e indirectamente los padres de

familia, ya que verán cumplidas sus expectativas: que sus hijos continúen

y concluyan satisfactoriamente una carrera profesional.

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Capítulo II

Fundamentos 2.1 Desarrollo Histórico Del Constructivismo

Como una filosofía de aprendizaje, algunos creen que el constructivismo

tiene sus inicios en la antigua Grecia con Sócrates, quien utilizó el

llamado “Método de los casos”, el cual tiene principios de

constructivismo, ya que los discípulos mediante cuestionamientos –

diálogos-- eran enseñados directamente en la realidad y con ejemplos –

casos reales-- , los discípulos a su vez, mostraban sus avances y logros no

con exámenes, sino por la demostración y aplicación directa de sus

conocimientos en la vida real. Sócrates promovía el amor por el

aprendizaje más que por la enseñanza.

Otro ejemplo del origen antiguo del constructivismo lo da el Dr. Santiago

Antúnez de Mayolo, Director del Programa de Educación de la Sociedad

Geográfica de Lima, Perú, en su página de Internet:

http://www.ascinsa.com/EDUCACION/, dice que la ley Inca disponía

que todas las personas debían aprender lo que desconocían. Esta norma

exigió a las personas que construyeran su conocimiento. El resultado fue

que en 1532 al llegar Pizarro, los Incas eran una de las sociedades más

adelantadas en América. Sensiblemente, con Pizarro se introdujo en el

Imperio Inca una metodología semejante a la conductista o de

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instrucción, en la que el alumno pasivamente recibía información y la

memorizaba. Esto trajo como resultado un descenso de la capacidad

intelectual de sus pobladores. En la actualidad se ha visto necesario un

cambio en la educación tratando de retomar el enfoque constructivista

empleado por los Incas.

La época moderna del constructivismo tiene sus raíces en el siglo XVIII

en los trabajos del filósofo napolitano Giambattista Vico (Richardson

[1997]), quien afirmaba que “los seres humanos pueden entender

claramente sólo lo que ellos mismos construyen”. Muchos más trabajaron

con estas ideas, pero los primeros contemporáneos en desarrollar una

clara idea del constructivismo como es aplicado en los salones de clases

y en el desarrollo de la niñez fueron Jean Piaget y John Dewey.

Para Dewey (1916) la educación dependía de la acción. El conocimiento

y las ideas emergían solo de una situación en la cual los aprendientes

tenían que hacer conclusiones de las experiencias que tienen significado

e importancia para ellos. Estas situaciones tenían que ocurrir en un

contexto social, tal como el salón de clases, donde los estudiantes se

unían para manipular materiales y realizar actividades, creando una

comunidad de aprendientes quienes construían sus conocimientos juntos.

Dewey habló acerca de la interacción entre el aprendiente y el entorno.

Su teoría era que lo que uno había aprendido en una situación ayudaba a

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dirigir el entendimiento y la acción en futuras situaciones. Esta

interacción persona-entorno llevaba a una continua reconstrucción de

impulsos y pensamientos. Dewey describió la mente como acción, como

algo que hacer en vez de algo para llenar como una esponja. El creía que

los estudiantes necesitan interactuar con su entorno para poder pensar,

por esto, todos los estudiantes deben ser involucrados activamente

alrededor de un proyecto. Para que los proyectos sean educativos, Dewey

argumentaba, que necesitaban estar adecuados a los intereses de los

estudiantes, debían involucrarlos activamente, tener un valor intrínseco,

presentar problemas que los conduzcan a nuevas preguntas y búsquedas

que les implique una considerable cantidad de tiempo.

Piaget (1973) sentó las bases del constructivismo actual. Invirtió cuarenta

años de su vida estudiando los conceptos "naturales" que aprenden los

niños, entre los cuales están "el tiempo", "el número", "conservación de

las cantidades". Como biólogo de formación, se impresionó por buscar

una ley evolutiva en la adquisición de los conceptos, y hasta los últimos

días de su vida trabajó para encontrar esa ley. Piaget es referencia

indispensable y obligada en el estudio de la Psicología Cognitiva, y en

muchos casos, en la Psicología de la Pedagogía. Cuando se aborda el

análisis del paradigma constructivista es necesario remitirse a la obra de

Jean Piaget. Su tesis constructivista ha impactado notablemente el

discurso pedagógico actual, concretándose en la propuesta más acabada

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hasta el momento, en el principio explicativo denominado "ajuste de la

ayuda pedagógica", que afirma que la intervención del maestro se debe

ajustar a las características de la interacción entre el alumno y el

contenido de aprendizaje, pudiendo adoptar la ayuda pedagógica

diferentes modalidades. Este principio es la tesis central a nivel

metodológico de la pedagogía constructivista.

2.2 ¿Qué es Constructivismo?

En la actualidad, Constructivismo es una palabra utilizada

frecuentemente por los educadores. Se utiliza crecientemente como teoría

para la investigación y para la enseñanza. Muchas reformas educativas en

el mundo giran alrededor de la noción de constructivismo. El

constructivismo es una epistemología, es decir, una teoría del

conocimiento utilizada para explicar como sabemos lo que sabemos. La

epistemología constructivista afirma que las únicas herramientas

disponibles al conocedor son sus órganos de los sentidos. Sólo a través

de ellos el individuo interactúa con el entorno. Con los mensajes

obtenidos de los órganos de los sentidos el individuo construye una

imagen del mundo exterior. El constructivismo afirma que el

conocimiento reside en el individuo, que el conocimiento no puede ser

transferido intacto de la cabeza de un maestro a las cabezas de los

estudiantes. Los estudiantes tratan de entender lo que les es enseñado y lo

ajustan de acuerdo a sus experiencias o conocimientos previos. Desde

una perspectiva constructivista, la ciencia no es la búsqueda de la verdad,

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sino un proceso que nos ayuda a entender nuestro mundo. Es decir, la

ciencia no es un conjunto de conocimientos acabados y verdades

absolutas; por esto, los estudiantes al recibir dichos conocimientos deben

analizarlos y reflexionarlos, deben investigar en diversas fuentes y

formar sus propios conceptos y no conformarse con los conocimientos

que recibe del maestro como si éste poseyera la verdad absoluta. Los

estudiantes tienen que comprender que ellos son capaces de crear o

innovar conocimientos científicos y por lo tanto de crear tecnología. Los

estudiantes tienen que dejar de imaginar la ciencia como apta solo para

genios y a un nivel inalcanzable, deben considerarla como una valiosa

herramienta útil para el conocimiento de nuestro entorno y para el

desarrollo de la sociedad. Pero, como toda herramienta, será susceptible

de usarla y modificarla de acuerdo a las necesidades del aprendiente o de

la sociedad en general.

Richardson [1997 p. 3] establece que el constructivismo es una Teoría de

aprendizaje o de creación de significados. Sugiere que los individuos

crean sus propios aprendizajes, basados en la interacción de los que ellos

ya conocen o saben, y los fenómenos o ideas con las cuales entran en

contacto. El constructivismo es una teoría descriptiva del aprendizaje

(esto es, la manera como la gente aprende o se desarrolla); no es una

teoría prescriptiva del aprendizaje (esto es, la manera como la gente

debería aprender). También, según Marlowe y Page (1998: P. 9) “El

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Constructivismo es una teoría acerca de cómo aprendemos. La

proposición principal del constructivismo es que el aprendizaje significa

construcción, creación, invención, y desarrollo de nuestro propio

conocimiento. Otros pueden darnos información pero no conocimiento,

podemos hallar información en los libros y en otras fuentes, pero tan

importante como es recibir la información, lo es obtenerla y

comprenderla”.

Según Richardson [1997 p. 5], la mayoría de los constructivistas están de

acuerdo que la enseñanza tradicional –modelo transmisionista—no

promueve la interacción entre el conocimiento previo y el nuevo

conocimiento ni las condiciones necesarias para el conocimiento

profundo. La información adquirida en la enseñanza tradicional, si es

adquirida del todo, generalmente, no está bien integrada con los

conocimientos que ya poseen los estudiantes. Este nuevo conocimiento

frecuentemente es recordado en actividades escolares tales como tareas y

exámenes e ignorado todas las demás veces. De acuerdo a Brooks &

Brooks (1993), aun los estudiantes que son capaces de demostrar éxito en

la escuela tradicional, pasando exámenes y obteniendo altas

calificaciones, frecuentemente no conectan la información que recibieron

en la escuela con lo que sucede en el mundo que les rodea.

2.2.1 Constructivismo Psicológico Piagetiano

Jean Piaget colocó las bases científicas para el constructivismo. La clave

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para el constructivismo es la distinción de Piaget entre asimilación y

acomodación como mecanismos de aprendizaje y desarrollo. La

asimilación es una incorporación de experiencia relativamente pasiva en

una representación ya disponible en el estudiante. Sin embargo, cuando

las discrepancias son demasiado grandes con la nueva información, el

estudiante reorganizará sus pensamientos. Esto es llamado acomodación.

Piaget enfatizó que la asimilación de conocimientos juega un papel

crítico en establecer la etapa de acomodación –la acomodación no puede

realizarse sin asimilación. Piaget los considera como los dos poderosos

motores que hacen que el ser humano mantenga ese desarrollo continuo

de sus estructuras cognitivas: la adaptación y el acomodamiento. Los

nuevos conocimientos son asimilados de acuerdo a lo que ya existe en el

individuo y se acomodan en las estructuras de éste, no sólo

modificándose los conocimientos, sino también las estructuras.

Los proponentes del Constructivismo Psicológico Piagetiano ven el

proceso de construcción de significados como individualista, cuyo

propósito es avanzar hacia niveles más altos de entendimiento y mayores

capacidades analíticas. Para alcanzar estos niveles superiores, los

estudiantes activamente deben involucrarse en reconstruir sus

entendimientos existentes mediante la reestructuración de sus mapas

cognitivos. El maestro motiva y logra esto de dos maneras: creando un

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entorno o medio ambiente (atmósfera) en el cual los estudiantes

experimenten una cierta cantidad de disonancia cognitiva (conflicto

cognitivo) y realizan tareas que esperanzadoramente les llevan a la

reorganización de sus mapas cognitivos existentes. Generalmente, esto

ha sido trasladado dentro de las prácticas instruccionales como

actividades manuales, el involucramiento de los estudiantes en tareas

que son significativas para probar sus conceptos y los procesos de

pensamiento, y ciertos cuestionamientos que profundamente exploren las

creencias de los estudiantes, transformen sus creencias en hipótesis, y

provean una atmósfera agradable en la cual estas creencias puedan ser

examinadas. La importancia del interaccionismo para la práctica

educativa se ha reflejado en el principio explicativo denominado de

"desajuste óptimo" que plantea la necesidad de diseñar situaciones de

aprendizaje que posibiliten un grado óptimo de desequilibrio que superen

el nivel de comprensión del alumno, pero al mismo tiempo, que el

desequilibrio no sea extremo al grado que imposibilite restablecer

nuevamente el equilibrio; este principio se encuentra de manera

recurrente en la implicaciones educativas que ofrecen el sinnúmero de

investigadores en psicopedagogía que se desarrollan bajo el abrigo

teórico de Jean Piaget.

Esta aproximación al constructivismo, entonces, se enfoca en la creación

individual de significados. Se asume que los estudiantes traen

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entendimientos al salón de clases que necesitan ser ajustados, añadidos o

completamente alterados. El papel del maestro es facilitar su alteración

cognitiva –edición cognitiva—a través del diseño de tareas y preguntas

que creen dilemas a los estudiantes.

El Constructivismo desde el punto de vista escolar ve al conocimiento

como una unidad construida hecha por cada uno de los aprendientes a

través de un proceso de aprendizaje. El conocimiento no puede ser

transmitido directamente de una persona a otra, ya que tendrá que ser

reconstruido por cada persona. Esto significa que este punto de vista del

conocimiento difiere del conductista y cognitivista en los cuales el

conocimiento es algo dado y absoluto. En el constructivismo el

conocimiento es visto como relativo y falible (nada es absoluto, sino que

varia de acuerdo al tiempo y el espacio).

2.2.2 Constructivismo Social de Vygotsky

De acuerdo a Richardson [1997], si uno rechaza el punto de vista

individualístico y psicológico del aprendizaje, que separa al individuo de

lo social, al pensamiento de la acción, al conocedor de lo conocido, pero

todavía cree en el punto de vista constructivista del aprendizaje ¿Cuáles

son las alternativas? Sólo hay una alternativa, una aproximación teórica

general llamada constructivismo social. Esta alternativa constructivista es

diferente de la Psicológica Piagetiana. Ellos no se enfocan en el

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individuo principalmente, si no en lo social como el instrumento

primordial para la construcción y apropiación del conocimiento. Hay dos

puntos de vista de esta concepción: cognición situada y la sociocultural.

La cognición situada sugiere que el conocimiento es creado por una

persona influenciada por el entorno; esto es, tanto el individuo y el

entorno cambian como resultado del proceso de aprendizaje. El entorno

es considerado como el medio social que afecta las acciones tomadas por

los estudiantes y el aprendizaje que ocurre, el cual afecta a su vez al

medio social. El conocimiento es socialmente construido, porque el

significado puede ser construido únicamente a través del uso del

lenguaje y en un contexto social. En este punto de vista constructivista,

el aprendizaje no puede ser separado de la acción: percepción y acción

trabajan juntos de una manera dialógica. No hay ninguna representación

de la realidad que sea privilegiada o “correcta”. Hay en su lugar, una

variedad de interpretaciones que son útiles para diferentes propósitos en

diferentes contextos. No se piensa del conocimiento como algo que se

recibe en forma estática o separada del individuo. No es separable de las

actividades ni del entorno dentro del cual el conocimiento fue construido.

La forma sociocultural de esta concepción se deriva principalmente de

las ideas de Lev S. Vygotsky (1978). Dentro de este marco, el desarrollo

del individuo recae en las interacciones sociales. Es dentro de esta

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interacción social que los significados culturales son compartidos dentro

del grupo, y entonces interiorizados por el individuo. Además, el alumno

es visto como una unidad, como un todo indivisible.

De hecho, en muchas publicaciones en educación matemática, se reflejan

dos movimientos “aprendizaje situado” y “constructivismo social”, los

cuales han ganado influencia en el pensamiento respecto a la educación y

a las investigaciones educativas. El constructivismo no es aceptado por

todos como la “panacea” que resolverá el problema de la educación

matemática. De hecho, tiene algunos opositores que establecen que

existen otros enfoques que dan mejores resultados.

Los elementos más importantes de las variables utilizadas en esta

propuesta, que promueven el uso del constructivismo en la enseñanza de

la aritmética y álgebra, son los siguientes: entorno constructivista,

docente y estudiantes constructivistas, evaluación constructivista,

aprendizaje significativo y para contrastarlo se incluye la educación

tradicional.

2.3 Salones de Clases Constructivistas o Entornos Constructivistas

El “Salón de Clases Constructivista” presenta cuatro elementos

característicos:

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1. Distribución equitativa del conocimiento entre el mediador y sus

participantes.

2. Autoridad compartida entre el mediador y los participantes.

3. El Maestro como Mediador y

4. Agrupación heterogénea de los participantes.

El profesor actúa como facilitador y coordinador, no como un experto.

Los aprendientes trabajan colaborativamente para resolver problemas

reales en contextos relevantes. Las tareas son complejas,

multidisciplinarias y auténticas. Se fomenta la conciencia propia y la

reflexión de los estudiantes. Los alumnos están involucrados –participan-

- y el aprendizaje es divertido. La evaluación involucra mostrar lo que

puede ser hecho o creado con el conocimiento adquirido; no implica

repetir o memorizar conocimientos sino demostrar aprendizajes

significativos.

De acuerdo a Brooks & Brooks (1993), En un salón de clases

constructivista, el maestro busca que los estudiantes comprendan los

conceptos y después estructura oportunidades para que los estudiantes

revisen o refinen estos entendimientos por someterlos a contradicciones,

presentándoles nueva información, haciéndoles preguntas, motivándolos

para que investiguen y/o se involucren en búsquedas que desafíen sus

conceptos actuales.

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Brooks & Brooks (1993) establece que los 5 principios básicos en los

salones de clases constructivistas son los siguientes:

• Los maestros buscan y valoran los puntos de vista de los

estudiantes

• Las actividades del salón de clases desafían las suposiciones de

los estudiantes.

• Los maestros presentan problemas que son relevantes a los

estudiantes.

• Los maestros construyen sus lecciones alrededor de conceptos

primarios e ideas principales. Enseñan el núcleo y detalle de los

conceptos.

• Los maestros evalúan el aprendizaje de los estudiantes en el

contexto de la enseñanza diaria, con el objeto de corregir

oportunamente el proceso de aprendizaje si fuera necesario.

Evalúan todos los días y no solo al término de las unidades o del

semestre, cuando sería muy difícil remediar los resultados no

satisfactorios del aprendizaje.

En matemáticas, un salón de clases constructivista se enfoca en la

resolución de problemas y está centrado en el aprendizaje de los

estudiantes

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El salón de clases constructivista tiene estudiantes heterogéneos, es decir,

ni todos son buenos ni todos son malos; esto nos ayudará a formar

equipos de trabajo también heterogéneos, que son los más adecuados en

el constructivismo, donde los que más saben ayudan a los de menores

conocimientos. Por supuesto, al final el grupo debe quedar homogéneo

en los conocimientos generales.

Existe armonía y confianza en todo el grupo, fomentada por el maestro y

por los mismos estudiantes. Esto ayuda a que los estudiantes participen,

cooperen y colaboren, primero en equipo y luego en grupo, para que

todos logren los objetivos de aprendizaje planteados. Resumiendo, se

pretende que los grupos constructivistas funcionen como un sistema, es

decir, que sean un conjunto de estudiantes relacionados entre si para

lograr un mismo objetivo. Desafortunadamente, la educación tradicional

no promueve esta integración, ya que al interior de los grupos se forman

subgrupos, los cuales o aprueban o reprueban todos. En raras ocasiones,

sin embargo, llegamos a encontrar en la educación tradicional grupos casi

integrados –por afinidad o por azar—en los cuales la mayoría de los

estudiantes responden muy bien; estos son los grupos favoritos de los

maestros, a los que todos quieren darles clases; pero nadie quiere enseñar

a los grupos “malos”, que son grupos homogéneos, donde no existen

alumnos sobresalientes que ayuden a sus demás compañeros.

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Los salones constructivistas deben tener una buena iluminación y

ventilación y también el mobiliario adecuado. Muchas veces por esto, no

se logran los resultados de aprendizaje esperados, ya que si no hay un

buen flujo de aire ni una buena ventilación, los alumnos no respiran ni

ven adecuadamente, empiezan a aburrirse y a bostezar –esto último

siempre ocurre, para suplir la demanda que hace el cerebro de una mayor

cantidad de oxigeno y puede ser provocado por las condiciones del salón

de clases o por que la estrategia de enseñanza es muy pasiva y sólo

receptiva. La pizarra o pizarrón debe sustituirse por un pintarrón blanco y

el gis tradicional por plumogises de colores. Las butacas deben ser

ergonómicas, para que confortablemente los estudiantes puedan soportar

las largas horas que pasan en los salones de clase; si el tema o la

asignatura lo permiten, se puede salir del entorno del salón de clases. Por

muchos años, el maestro tradicional ha tratado de controlar el

comportamiento de los estudiantes de manera que la clase esté quieta y

callada. En el constructivismo, en vez de lograr que los estudiantes estén

callados y atentos al maestro, el salón de clases puede ser manejado de

manera tal que los estudiantes conversen unos con otros y utilicen

estrategias de aprendizaje colaborativo. En un salón de clases

constructivista se recomienda sentarse formando equipos alrededor de

mesas circulares o rectangulares o en el piso. Pero esto no significa que

los estudiantes que están sentados en filas --como en el salón de clases

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tradicional—no puedan estar mentalmente activos o resolviendo un

problema. En vez de tener sentados y quietos a los estudiantes, se les

debe permitir colocarse en círculo en el salón de clases o en equipos,

puede llevárseles a visitar la biblioteca, laboratorios o talleres, o alguna

industria u obra que esté en la población.

Los salones de clase constructivista son más ruidosos que los

tradicionales. Ello está dado por las discusiones que se generan; algo

normal con esta clase de estrategias instruccionales. Para los directivos

educativos tradicionales, un salón de clase ruidoso es indicativo de falta

de disciplina y control por parte del maestro: “Allí los alumnos hacen lo

que les da la gana, no hay disciplina, ese maestro no tiene control de sus

estudiantes, le falta autoridad”, serían las expresiones de un directivo

chapado a la antigua. Les llevaría a expresarse, también, que en ese tipo

de atmósfera, los alumnos no aprenden.

Se debe comprender que en un salón de clase constructivista, los

estudiantes están totalmente activos, deben hablar, intercambiar

expresiones, ir de un equipo a otro, presentar un vídeo, lámina u otro

material que estimen conveniente para la demostración de algún punto.

Naturalmente, al inicio de la sesión de trabajo se deben establecer las

normas de trabajo, donde se incluyan todas aquellas necesarias para el

éxito de la gestión, para hacer las cosas con libertad pero con orden y

respeto hacia los demás, de manera que cuando alguien exponga sus

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ideas los demás escuchen atentamente.

Controlar un salón de clases es crucial para desarrollar y sostener

cualquier sistema de salón de clases, incluyendo un salón de clases

constructivista. Si no se crea un entorno seguro y confortable para todos,

el salón de clases no será productivo, a pesar del enfoque de enseñanza-

aprendizaje que se utilice. Para exitosamente manejar un salón de clases

se requiere: involucrar a los estudiantes en actividades académicas

significativas y relevantes, donde activamente participen en el

apropiamiento de su aprendizaje. Entre más involucrados estén los

estudiantes menos posibilidades tendrán de distraerse. Sin embargo,

debemos considerar que si se trata de cambiar demasiado rápido el

enfoque de enseñanza-aprendizaje, del tradicional a uno constructivista,

probablemente finalizará con un salón de clases en caos. El cambio tiene

que ser gradual. Tiene que evolucionar lentamente, con explicación

constante de los cambios que se hacen y lo que se espera lograr.

En los salones constructivistas, los maestros tienen que ayudar a los

estudiantes para que aprendan a autoevaluarse y a monitorear sus avances

de aprendizaje. Los estudiantes tienen que aprender a establecer criterios

de aprendizaje y a valorar la calidad de su trabajo. La evaluación no está

separada de la enseñanza, más bien es un proceso continuo que regula el

aprendizaje y jamás se separa de él.

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El uso de la tecnología en la educación, ya no es más un lujo sino una

urgente necesidad. Es evidente, que el mundo moderno está invadido por

la tecnología y esto hace que los empleos actuales requieren gente

preparada en su uso y dominio. Por esto, el docente tiene que aprender a

utilizarla, para posteriormente usarla como una herramienta sumamente

valiosa para la enseñanza. Con esto, haremos nuestras clases más

atractivas y seguramente obtendremos mejores resultados de aprendizaje.

En la enseñanza tradicional, generalmente, el maestro utiliza solo gis y

pizarrón, da ejemplos y propone ejercicios, no utiliza material didáctico

mucho menos la tecnología. Para la enseñanza de las matemáticas en

general, se recomienda el uso del Software Derive® Versión 5 de Texas

Instruments o el uso de su calculadora grafica TI-2000; particularmente,

para la enseñanza de la Geometría Plana o Analítica se recomienda el uso

del Software The Geometer’s Sketchpad® (El Geómetra) Versión 4 de

KCP Technologies.

La instrucción basada en lo visual y auditivo, da mejores resultados, ya

que se ha comprobado que alrededor del 70% de la información que llega

a nuestra mente es mediante la vista y el oído, razón por la cual es más

efectiva la enseñanza que utilice lo visual o auditivo o mejor aún la

combinación de ambos. En matemáticas, las estrategias instruccionales

basadas en solución de problemas es una de las mejores estrategias para

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lograr aprendizajes significativos.

Crear una clase constructivista no trata con la disminución de los niveles

de exigencia o calidad, ni con disminuir los contenidos de la asignatura,

ni tampoco con disminuir el trabajo y esfuerzo de los estudiantes; mas

bien, de una nueva forma de abordar los contenidos y con una mayor

participación activa de los estudiantes, de manera que logren

aprendizajes significativos. ¿El constructivismo implica una reducción de

contenidos y una bajada de niveles? Se trata de una pregunta que muchos

docentes suelen hacerse y a la que Pozo (2000) responde con un rotundo

"no". En efecto, en los aprendizajes desde enfoques constructivistas es

posible contemplar tanto los contenidos como las capacidades cognitivas.

Siempre resultará más enriquecedora una situación de aprendizaje que,

además de los contenidos, potencie los procesos de aprendizaje

(comprender un texto, interpretar gráficas, buscar y analizar datos,

criticar una información,...). Es preciso combatir la creencia errónea de

que los aprendizajes constructivistas sólo se centran en las capacidades,

despreciando los contenidos: ambos aspectos pueden y deben conjugarse.

Al respecto Marlowe y Page (1998) Establecen “sabemos que el

contenido es crucial. Es un elemento clave en una clase constructivista.

Cuando es totalmente entendido y aplicado, nos lleva a un mayor

dominio de más contenido y a un mayor nivel de rendimiento comparado

con una clase tradicional”.

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Figura 1. Características del Salón de Clases Constructivista

2.4 Características del Estudiante Constructivista

Los estudiantes constructivistas participan activamente y no se limitan a

recibir pasivamente la información. Se involucran y se responsabilizan de

su aprendizaje, investigan, buscan, preguntan, discuten y dialogan con

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sus compañeros y con el maestro. Leen, piensan y analizan la

información y no la aceptan sin reflexionar, exponen sus ideas a los

demás y trabajan en equipo. Realizan sus tareas y trabajos extraescolares

y en el caso de matemáticas, resuelven ejercicios y problemas.

Al respecto, Marlowe y Page (1998), comentan: “Aunque la información

es importante, acumular pasivamente información desconectada no es

aprendizaje. Pasivamente recibir conocimiento prefabricado de alguien o

algo más no es aprendizaje. Para aprender, un estudiante tiene que estar

mentalmente y a menudo físicamente activo. Un estudiante aprende (esto

es, construye estructuras de conocimiento) cuando descubre sus propias

respuestas, soluciones, conceptos y relaciones y crea sus propias

interpretaciones. El constructivismo propone que cuando los estudiantes

conducen su propio aprendizaje, descubren sus propias respuestas y crean

sus propias interpretaciones, su aprendizaje es más profundo, más

comprensivo y más duradero, y el aprendizaje que ocurre activamente lo

lleva a pensar críticamente. En un salón de clases constructivista, los

estudiantes demuestran su aprendizaje y entendimiento a través de varios

medios. Ellos pueden desarrollar nuevas cuestiones críticas, escribir un

guión para un video, resumir las ideas principales con sus propias

palabras, pueden producir o crear algo, pueden resolver problemas. Es

acerca de ser activo, no pasivo”.

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El juego y la experimentación son fuerzas poderosas en el desarrollo de

la mente del individuo, pero el constructivismo ha dirigido a

descubrimientos adicionales de que poderosos logros se obtienen cuando

los estudiantes trabajan juntos. Un creciente cuerpo de investigación en

aprendizaje colaborativo o cooperativo han demostrado los beneficios de

que los estudiantes trabajen con otros estudiantes en esfuerzos de

aprendizaje colectivo (Johnson, Maruyama, Johnson, Nelson, & Skon,

1981; Rysavy & Sales, 1991). Cuando los estudiantes colaboran, ellos

comparten el proceso de construcción de ideas, en lugar de simplemente

trabajar individualmente. Las ventajas de este esfuerzo colectivo es que

son capaces de elaborar no solo sus propias ideas, sino de reflejar

también las de sus demás compañeros. De esta manera, ven a sus

compañeros no como sus competidores sino como recursos de

aprendizaje. Enseñanza mutua, un sentido de progreso y metas

compartidas, y un sentimiento de trabajo en equipo son los productos

naturales de la solución de problemas en forma cooperativa, y estos

procesos han mostrado que producen avances sustanciales en el

aprendizaje. Debemos considerar también como parte fundamental el

trabajo en equipo, la interacción social del sujeto que aprehende el

mundo junto con otros sujetos que le permita avanzar más en grupo que

individualmente. De hecho esta parte lo consideran muy importante

algunos otros teóricos, como por ejemplo Vygotsky, que le proporciona

mucho peso al lenguaje como medio no solo para comunicar los

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hallazgos propios, sino también para estructurar el pensamiento y el

conocimiento generado por el sujeto. Pero también Piaget,

contrariamente a lo que se comenta por ahí, enfatiza este hecho varias

veces, y una de ellas es una cita de él que toma Hermine Sinclair (y que

Vergnaud retoma): "El conocimiento objetivo sólo es alcanzado cuando

ha sido discutido y confirmado por otros." Esto es un punto a favor de

la educación grupal, es decir, de la educación pública en general.

Para cambiar la educación tradicional, se requiere cambiar de una

educación centrada en el profesor a una centrada en los alumnos, una

educación donde los aprendientes tengan un rol activo, es decir, donde

los estudiantes participen y se involucren responsablemente en su

aprendizaje. Algunos afirman que todo el aprendizaje es inherentemente

activo y que los estudiantes también están activamente involucrados

mientras escuchan las presentaciones formales en el salón de clases. Sin

embargo, la mayoría está de acuerdo que no basta que los estudiantes

escuchen, además, ellos deben leer, discutir y sobre todo resolver

problemas. Lo más importante, deben estar activamente involucrados,

deben realizar los estudiantes tareas de pensamiento de orden superior

tales como análisis, síntesis y evaluación. Dentro de este contexto, se

propone que las estrategias que promueven el aprendizaje activo son las

definidas como actividades instruccionales que involucran a los

estudiantes en hacer cosas y en pensar respecto a lo que están haciendo.

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Marlowe y Page (1998), establecen: “Nuestras experiencias previas,

conocimiento y aprendizaje afectan como interpretamos y

experimentamos nuevos eventos; nuestras interpretaciones actuales

afectan la construcción de nuestras estructuras de conocimiento y definen

nuestro nuevo aprendizaje. Es debido a esto, que el énfasis en un salón de

clases constructivista no está en la transmisión de información sino en la

promoción del aprendizaje a través de actividades intelectuales de los

estudiantes tales como cuestionamiento, investigación, generación y

solución de problemas. Es acerca de construir conocimiento, no de

recibirlo. Es acerca de pensar y analizar, no de acumular y

memorizar. Los estudiantes ganan y son motivados para desarrollar a

través de estos procesos la habilidad de pensar por ellos mismos y pensar

críticamente; esto es, discriminar entre lo relevante y lo irrelevante, mirar

los temas desde diferentes perspectivas, interpretar y analizar datos. Es

acerca de entendimiento profundo y aplicación, no de repetición”.

El uso de lo anterior en el salón de clases es vital debido a su poderoso

impacto en el aprendizaje de los estudiantes. De hecho, los estudiantes

prefieren estrategias que promueven el aprendizaje activo a las clases

tradicionales. Algunos estudios, han demostrado que las estrategias que

promueven el aprendizaje activo son comparables a las tradicionales —

dar clases— en el logro del dominio de los contenidos de una asignatura,

pero son superiores en promover el desarrollo de las habilidades de

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pensamiento y escritura, además con la ventaja de ser más agradables a

los estudiantes. Algunas investigaciones han mostrado que un número

significativo de individuos tienen estilos de aprendizaje que son más

adecuados a otras técnicas pedagógicas que a la de solo recibir clases.

El estudiante que aprende matemáticas, desde un punto de vista

constructivista, debe precisamente construir los conceptos a través de la

interacción que tiene con los objetos y con los otros sujetos. Tal parece

que para que el alumno pueda construir su conocimiento y llevar a cabo

la obligatoria interacción activa con los objetos matemáticos, incluyendo

la reflexión que le permite abstraer estos objetos, es necesario que estos

objetos se presenten inmersos en un problema y no en un ejercicio. De

hecho, son estas situaciones problemáticas las que introducen un

desequilibrio en las estructuras mentales del alumno, que en su afán de

equilibrarlas (un acomodamiento) se produce la construcción del

conocimiento. El término problema, es una situación compleja (real o

hipotética) que involucra conceptos, objetos u operaciones matemáticas.

Un problema requiere tiempo para resolverse debido a su complejidad,

requiere del alumno toda su atención, energía, tiempo y dedicación para

resolverlo. El término ejercicio, se refiere a operaciones con símbolos

matemáticos únicamente (sumas, multiplicaciones, resolución de

ecuaciones, etcétera), implica que el alumno repita un algoritmo o un

método enseñado para directa y rápidamente llegar a la solución. Sin

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embargo, no hay que confundir el resolver problemas con resolver

ejercicios que tienen apariencia de "problemas".

Figura 2. Características del Estudiante Constructivista

El maestro en el salón de clases o en un examen no puede proponerles

problemas a los estudiantes para que los resuelvan, ya que debido al

tiempo, sólo puede plantearles ejercicios. Los problemas sólo se les dejan

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a los estudiantes de tarea, pues mínimo debe llevarles uno o más días

para resolverlos; pero dichos problemas no deben rebasar el nivel de

conocimientos de los estudiantes, sino que con los conocimientos que

poseen deben ser capaces de resolverlos, aunque inicialmente no sepan

como empezar su solución. Es muy conveniente que el docente de

matemáticas, les de a conocer a los estudiantes la diferencia entre

problema y ejercicio; también, es importante decirles cuando se les está

dando un problema, porque muchos de ellos al no saberlo y no poder

resolverlo, se bloquean a partir de esta situación y puede ocasionar que

fracasen durante el curso semestral.

2.5 Características del Maestro Constructivista

El maestro es un facilitador o coordinador en el enfoque de aprendizaje

constructivista. El maestro guía al estudiante, estimulando y provocando

el pensamiento crítico de los estudiantes, el análisis y síntesis a través del

proceso de aprendizaje. El maestro también es un co-aprendiente.

El aprendizaje debe ser un proceso activo. El aprendizaje requiere un

cambio en el aprendiente, el cual solo puede ser logrado por el

aprendiente que hace, se ocupa, y se involucra en las actividades de

aprendizaje. El papel del maestro es importante para lograr que los

estudiantes realicen las actividades que de otro modo no harían. El

maestro tiene que involucrar a los estudiantes en tareas, algunas de las

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cuales pueden incluir adquisición de habilidades por ejemplos de trabajo.

Otras tareas incluyen prácticas de habilidades para llevarlos a niveles

efectivos, interactuando con sus compañeros y con el maestro.

En un salón de clases tradicional, el papel del maestro es el de un

transmisor de conocimientos y el rol del estudiante es el de ser un

receptor pasivo de dichos conocimientos. En el entorno propuesto se da

una estructura cooperativa igualitaria donde las ideas e intereses de los

estudiantes son las que conducen el proceso de aprendizaje. El maestro

sirve de guía, más que de fuente de conocimientos. La ejecución de este

nuevo rol es más complicado que el papel de la enseñanza tradicional en

el salón de clases (Ringstaff, Sandholtz, & Dwyer, 1991). El maestro

involucra a los estudiantes ayudándoles a organizar y asistirlos conforme

toman la iniciativa en sus exploraciones autodirigidas, en vez de dirigir

sus aprendizajes autocráticamente. La flexibilidad es la característica más

importante del nuevo rol que el maestro deberá jugar en tal entorno.

Algunas veces el maestro encontrará que su papel tiende hacia el antiguo

modelo del maestro como dador de conocimientos, debido a que a veces

los estudiantes requieren guía y capacitación en una tarea particular o en

el contenido de una asignatura. Frecuentemente, el maestro se andará

moviendo alrededor del salón de clases, entre grupos de estudiantes,

asistiéndolos individualmente o a todo el grupo. La ventaja del trabajo en

equipo no sólo se debe al trabajo cooperativo o colaborativo, sino

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también que el maestro les puede dar una atención más individualizada a

los estudiantes. De hecho, en el constructivismo, la interacción entre los

estudiantes es muy importante para lograr aprendizajes significativos y

sobre todo para el desarrollo social del individuo.

En el constructivismo el rol del maestro es más complejo, ya que en

primer lugar exige que el maestro esté más preparado académicamente,

dado que surgirán dudas diversas que tendrá que aclarar o simplemente

para orientar adecuadamente a los estudiantes y logren resolver sus dudas

o problemas. Además, el maestro es miembro del grupo y no el foco del

salón de clases, de hecho se convierte en un aprendiente más, pero con la

diferencia de ser el responsable y conductor –coordinador o facilitador--

del aprendizaje del grupo. Tiene que proporcionar asistencia técnica y

asesoría creativa, más que dirigir a los estudiantes a la creación de tareas

estrechamente definidas. Los estudiantes acuden al maestro cuando

necesitan ayuda, pero el rol del maestro es más de colega que de un

superior. El maestro es amigo de los estudiantes, les da motivación y

confianza, se pone al nivel de los estudiantes y utiliza su mismo lenguaje.

El maestro aprende junto con sus alumnos, no tanto en conocimientos,

pero si en nuevas formas de realizar las tareas o de hacer las cosas, así

como la manera de resolver problemas. Los estudiantes necesitan

construir sus propios entendimientos de cada concepto, de manera tal que

el papel primario del maestro no es dar clases, explicar, o cualquier otro

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intento de “transferir” el conocimiento, sino el de crear situaciones para

motivar a los estudiantes para que realicen sus propias construcciones

mentales. El reto del docente es forjar habilidades en los estudiantes, de

manera tal, que estos puedan continuar aprendiendo y construyendo sus

propios entendimientos basados en el mundo cambiante que les rodea.

Figura 3. Características del Maestro Constructivista

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En un salón de clases tradicional, puede verse a un maestro quien

permanece en frente del grupo, expone principalmente y trata de llenar

con información las cabezas de sus estudiantes, como si estuvieran

vacías. Pero esto es lo que no verán si visitan un salón de clases

constructivista; verán al maestro moverse de un lado a otro dentro del

grupo, pasando de un equipo de trabajo a otro; mezclado con los alumnos

a veces no será fácil de encontrar. Siempre hay un murmullo de

actividad; los estudiantes trabajando juntos en equipo haciendo un círculo

o alrededor de una mesa redonda, resolviendo problemas, leyendo unos a

otros y compartiendo ideas. Muchas actividades diferentes parecen

estarse llevando a cabo al mismo tiempo. En los salones de clase

constructivistas, los maestros se ven ellos mismos, se describen ellos

mismos como colaboradores, líderes de equipo y guías, no como jefes o

directivos autoritarios. Los maestros constructivistas preguntan más que

explican, modelan más que enseñan, trabajan igual o más duro que en un

salón de clases tradicional. Esto significa que no siempre el maestro

dirige el diálogo en el salón de clases, en ocasiones los estudiantes lo

inician, mientras el los escucha y responde posteriormente; no es el único

que juzga los trabajos de los estudiantes; los estudiantes aprenden a

evaluar el trabajo de sus compañeros y se autoevalúan también.

Se considera que educación es igual a comunicación. Pero en una

comunicación total el receptor en determinados momentos se convierte

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en emisor, esto es imposible en una educación tradicional, ya que en ella

la comunicación es unidireccional, donde los receptores son pasivos, no

responden los mensajes sino que permanecen en silencio aceptando lo

que se les dice. El enfoque constructivista acepta la comunicación

completa entre el maestro y los estudiantes; se acepta un diálogo

completo, ya que el maestro es un integrante más del grupo, aunque con

uno de los papeles más importantes, ya que es el responsable del

aprendizaje. Para crear una buena comunicación, el maestro tiene que

crear un ambiente de confianza y armonía en el salón de clases, una

atmósfera adecuada para promover el aprendizaje y participación de los

estudiantes.

Sin embargo, en todo proceso de comunicación aparece el ruido o

interferencias. Pero si el ruido es lo que interfiere con un mensaje,

entonces hay más ruido en un salón de clases tradicional que en uno

constructivista. El ruido en un salón de clases tradicional incluye

inatención, fantasear, distracción visual, malos entendidos, aburrimiento,

pláticas entre alumnos, falta de motivación, enajenación y rebelión. En el

salón de clases constructivista, en el cual el maestro y los estudiantes son

tanto emisores como receptores, hay una constante clarificación,

interpretación y recreación de mensajes. Este sistema de comunicación,

el cual conduce al involucramiento de los estudiantes, elimina la mayoría

del ruido de un salón de clases tradicional, a pesar de que las voces de los

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estudiantes puedan inundar el salón de clases constructivista.

Un sistema de comunicación constructivista no significa que el maestro

abandona su responsabilidad. A pesar de que a los estudiantes se les

asigna un mayor rol para que dirijan su propio aprendizaje, ellos no

tienen permiso para hacer lo que quieran. El rol del maestro es guiar,

orientar, enfocar, sugerir, organizar, seleccionar y continuamente evaluar

el progreso de los estudiantes. Si, aun el rol del maestro es dar

instrucción directa como en el enfoque tradicional, principalmente,

cuando los estudiantes no poseen los conocimientos previos, requisito

indispensable para aprender los nuevos conocimientos. El maestro

también tiene la responsabilidad de corregir el proceso cuando no está

dando los resultados académicamente relevantes, ya que el tiene que

tomar las acciones necesarias para asegurarse de que esto ocurra.

El constructivismo no es dejar que los estudiantes hagan lo que ellos

quieran y como quieran, ni es darles una libertad total en el salón de

clases, ya que esto paulatinamente conduce al caos. Los maestros no

pueden ser espectadores inactivos de las actividades y aprendizaje de los

estudiantes; los maestros tienen que intervenir y decidir qué es lo que los

estudiantes pueden y deben hacer, permitiendo y motivando la iniciativa

responsable de los estudiantes para un óptimo aprendizaje.

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Para ser un maestro constructivista, el primer requisito es dominar

ampliamente los contenidos de sus asignaturas, sin esto, es imposible ser

un buen maestro tradicional o constructivista. Sin embargo, el enfoque

tradicional ayuda a ocultar la incapacidad del docente, ya que le asigna

un papel central de sabelotodo, el que controla y el único que enseña; los

más ineptos se dedican a llenar pizarrones, adoptan una pose altanera y

prepotente, lo que provoca que los alumnos sean más pasivos y jamás

preguntan y se limitan a decir “el maestro si sabe, nada más que no sabe

enseñar”. Este tipo de maestros incapaces no pueden ser buenos maestros

ni en forma tradicional ni constructivista, ya que cuando si saben, aun en

el enfoque tradicional tienen varias maneras de lograr aprendizajes en sus

alumnos.

La tarea del maestro es diseñar una serie de experiencias para los

estudiantes que los capacite para aprender efectivamente y motivarlos

para involucrarse en las actividades correspondientes. El maestro

constructivista establece problemas y monitorea la búsqueda de solución

de los problemas que realizan los estudiantes, guía la búsqueda y

promueve nuevos patrones de pensamiento. Las sesiones de clase pueden

tomar giros inesperados conforme los alumnos adquieren autonomía para

realizar sus propias exploraciones o investigaciones, es decir, a medida

que aprenden a aprender, mayor autonomía mostrarán al realizar las

actividades establecidas por el profesor, las cuales en matemáticas

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mayormente consisten en resolución de problemas. El aprendizaje

constructivista está basado en la participación activa de los estudiantes en

la solución de problemas y en el uso de pensamiento crítico respecto a las

actividades de aprendizaje que encuentran relevantes e interesantes. Ellos

están construyendo su propio conocimiento por probar ideas y enfoques

basados en su conocimiento y experiencia previa, aplicando estos a una

nueva situación, e integrando el nuevo conocimiento obtenido con sus

construcciones intelectuales pre-existentes.

Antes de llegar a ser un buen profesor constructivista se requiere un

cambio en la actitud y manera de pensar del profesor acerca de cómo los

estudiantes aprenden y de las condiciones que motivan el aprendizaje.

El lenguaje tradicional en un entorno constructivista simplemente no

funciona. Es necesario cambiar a un lenguaje constructivista, el cual está

centrado en el estudiante y su aprendizaje más que en el profesor y la

enseñanza. El constructivismo está centrado en los estudiantes y no en el

maestro. Usar un nuevo lenguaje no soluciona todos los problemas de

cambiar de un enfoque tradicional a uno constructivista, pero si no

cambiamos nuestro lenguaje, tendremos dificultades para cambiar

nuestra forma de pensar y actuar. Ningún maestro puede esperar que

hablando en forma tradicional pueda tener un salón de clases

constructivista.

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Los cambios que se deben hacer en el lenguaje y forma de pensar son los

siguientes:

1) Cambie “Enseñanza” por “Aprendizaje”. Deje de usar las palabras enseñanza, enseñar o maestro por aprendizaje, aprender o estudiante. En lugar de preguntarse ¿Cómo puedo enseñar a mis alumnos a dividir?, cambie la pregunta por: ¿Cuál es la mejor manera en que mis estudiantes pueden aprender a dividir? Esto cambia el enfoque hacia los estudiantes y sus habilidades. Recordemos que podemos enseñarles algo a los estudiantes, pero no significa que lo hayan aprendido, sobre todo si se ignora como aprenden mejor.

2) Cambie “Plan o Programa de Clases” por “Plan de Aprendizaje

del Estudiante”. La idea es cambiar el enfoque del maestro hacia los estudiantes, de la enseñanza al aprendizaje. Debido a las condiciones administrativas pudiera ser necesario elaborar dos planes, uno tradicional para entregarlo a las autoridades educativas y otro constructivista para ejecutarlo en el salón de clases.

3) Cambie “Cubrir” por “Descubrir”. Cubrir el programa de estudios

o plan clase no le permitirá un entorno de aprendizaje constructivista. No es que el contenido no sea importante; es extremadamente importante, pero en un salón de clases constructivista el maestro no transmitirá la mayor parte del contenido. En vez de esto, los estudiantes buscan, descubren y reflejan el contenido a través de investigaciones, consultas y análisis en el contexto de un problema, procedimiento o tema.

4) Cambie “Unidad” por “Investigación” o “Exploración”. Centre el

aprendizaje de los estudiantes en un aprendizaje activo. De la idea

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que los estudiantes participarán activamente en su apropiación de conocimientos.

5) Cambie “Presentaciones o Exposiciones” por “Experiencias de

Aprendizaje Interactivo”. De esta manera asumimos que queremos que los estudiantes lleguen a ser aprendientes activos quienes desarrollan sus propios conocimientos. Asumamos que los estudiantes son capaces de exitosamente investigar, sintetizar y analizar el nuevo material, sacar conclusiones y emitir nuevas preguntas y búsquedas. Posteriormente, por equipo, los estudiantes pueden hacer la presentación, que tanto estudiantes como el maestro todos deben evaluar.

La prueba de la efectividad de un maestro constructivista no tiene que ver

con su habilidad verbal, su habilidad para narrar una historia o su

habilidad para preparar una clase clara y convincente, ni su habilidad

para entretener a los estudiantes con descubrimientos científicos o

batallas históricas ni sus habilidades matemáticas. A pesar de que estas

habilidades son necesarias, un buen maestro constructivista es alguien

que da oportunidades a sus alumnos para que lleguen a ser grandes

oradores, matemáticos, historiadores, científicos. Los estudiantes no

llegan a ser grandes científicos por escuchar al maestro decirles lo

grandioso que es la ciencia, ellos llegan a ser grandes científicos porque

tienen la oportunidad para hacer ciencia. No se trata de que el maestro

brille sino de que los estudiantes brillen.

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De acuerdo a Brooks & Brooks (1993), los maestros constructivistas:

• Fomentan y aceptan la iniciativa y autonomía del estudiante.

• Usan fuentes primarias y datos originales, junto con actividades

manuales y materiales físicos cuando proponen tareas.

• Usan terminología cognitiva tales como clasificar, analizar,

predecir y crear.

• Permiten a los estudiantes sean responsables para manejar sus

lecciones. Que cambien sus estrategias instruccionales y alteren el

contenido.

• Investigan acerca de los entendimientos de los estudiantes

respecto a sus conceptos –mediante un diagnóstico-- antes de

compartir sus propios entendimientos de esos conceptos.

• Hacen que los estudiantes entren en diálogo, tanto con el maestro

como con sus compañeros de grupo.

• Motivan a los estudiantes para que pregunten seriamente,

preguntas abiertas y fomentan que los estudiantes se pregunten

unos a otros.

• Buscan que los estudiantes den respuestas iniciales a los

cuestionamientos o problemas presentados por el profesor.

• Involucran a los estudiantes en experiencias que pueden generar

contradicciones a sus conjeturas iniciales y entonces fomentar la

discusión.

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• Permiten tiempos de espera después de presentar las preguntas.

Permiten que los estudiantes elaboren sus propias respuestas y las

compartan con los demás.

• Dan tiempo para que los estudiantes construyan relaciones.

• Nutren la curiosidad natural de los estudiantes a través del uso

frecuente del modelo de ciclo de aprendizaje.

2.6 Evaluación Constructivista

La evaluación al igual que el aprendizaje son procesos, por lo tanto no se

debe evaluar sólo utilizando el examen –como algunos maestros

acostumbran--, sino utilizando muchos más herramientas y considerando

todos los aspectos tanto objetivos como subjetivos; además, al ser un

proceso debe evaluarse continuamente a los alumnos y no sólo en ciertos

momentos aislados. Deben usarse varios instrumentos de evaluación y no

uno solo, debe seleccionarse el instrumento o método más adecuado a la

actividad que se está evaluando.

La evaluación tiene aspectos subjetivos --la motivación, la dedicación, el

esfuerzo, las emociones--, por lo tanto, no debe evaluarse solamente el

aprendizaje de los estudiantes. Esto debe tomarse en cuenta al diseñar

nuestros objetivos a alcanzar y las actividades a evaluar.

No basta con evaluar los aprendizajes que llevan a cabo nuestros alumnos

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y alumnas, como maestros debemos evaluar nuestra propia actuación y

las actividades de enseñanza que planificamos y desarrollamos.

La evaluación es una acción importante y fundamental en el proceso de

aprendizaje, pero debe servir de apoyo a este proceso, de manera tal que

refuerce el aprendizaje y ayuda a realimentar tanto al maestro como

a los alumnos. Sin embargo, no es fácil evaluar correctamente y más si

usamos la teoría constructivista, donde los alumnos gradualmente van

construyendo sus conocimientos.

La evaluación debe valorar las diferentes capacidades aprendidas:

motrices, cognitivas, afectivas o de equilibrio emocional, de relación

interpersonal, y de actuación e inserción social. Evaluar los

aprendizajes realizados por los alumnos equivale a precisar hasta que

punto han desarrollado y/o aprendido unas determinadas habilidades

como consecuencia de la enseñanza recibida. Se trata, por tanto, de

preguntarnos hasta que punto los procedimientos e instrumentos de

evaluación que utilizamos nos permiten captar efectivamente los

progresos que realizan nuestros alumnos en el desarrollo y/o aprendizaje

de ciertas habilidades en relación con la enseñanza que les impartimos.

Esto nos obliga a realizar una reflexión de nuestra práctica docente y

también respecto a los instrumentos que utilizamos para evaluar el

conocimiento de nuestros alumnos, mínimamente debemos ser flexibles y

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no cerrados o rígidos, no sólo en la enseñanza sino también en la

evaluación de los aprendizajes.

La enseñanza eficaz, en una perspectiva constructivista, es la enseñanza

que consigue ajustar el tipo y la intensidad de la ayuda proporcionada a

las vicisitudes del proceso de construcción de significados que llevan a

cabo los alumnos. La evaluación de la enseñanza, por tanto, no puede ni

debe concebirse al margen de la evaluación del aprendizaje. Ignorar este

principio equivale, por una parte, a condenar en gran medida la

evaluación de la enseñanza a un ejercicio más o menos formal y, por otra,

a limitar el interés de la evaluación de los aprendizajes a su potencial

utilidad para tomar decisiones de promoción, acreditación o titulación.

Cuando evaluamos los aprendizajes que han realizado nuestros

alumnos, estamos también evaluando, se quiera o no, la enseñanza

que hemos llevado a cabo. La evaluación nunca lo es, en sentido

estricto, de la enseñanza o del aprendizaje, sino más bien de los procesos

de enseñanza y aprendizaje.

Todos los docentes tratamos de lograr aprendizajes significativos en

nuestros alumnos, pero, ¿Cómo evaluamos el aprendizaje significativo?

Con actividades que permitan valorar el avance del aprendizaje, en el

caso de matemáticas se demuestra en la resolución de problemas de

dificultad gradual. Los aprendizajes significativos no se deben evaluar

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como todo o nada, sino más bien como un grado de avance, se debe

detectar el grado de significatividad del aprendizaje realizado, utilizando

para ello actividades y tareas susceptibles de ser abordadas o resueltas a

partir de diferentes grados de significatividad de los contenidos

implicados en su desarrollo o resolución.

La evaluación de los aprendizajes realizados por los alumnos proporciona

al profesor información insustituible para ir ajustando progresivamente la

ayuda que les damos en el proceso de construcción de significados. Esta

evaluación puede y debe también utilizarse para proporcionar a los

propios alumnos una información sumamente útil sobre el proceso de

construcción que están llevando a cabo. Las actividades de evaluación

deberían atender más a esta posible y deseable función

autorreguladora, mediante una presentación previa clara y explícita de

lo que se pretende evaluar, de las finalidades que se persiguen y del

análisis posterior de los resultados obtenidos. El ideal sería que los

estudiantes fueran capaces de utilizar mecanismos de autoevaluación,

susceptibles de proporcionarles informaciones relevantes para regular su

propio proceso de construcción de significados. Si una de las

características de los estudiantes es que “aprendan a aprender”, entonces

deben ser capaces de darse cuenta que están aprendiendo, mediante el

uso de mecanismos de autoevaluación.

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Cuando los alumnos evidentemente muestran progresos en el

aprendizaje, en la ejecución de tareas o actividades, en su responsabilidad

y participación en el proceso de aprendizaje, probablemente no sea

necesaria ninguna evaluación. Pero, en el caso de las ciencias formales –

como son las matemáticas--, por su naturaleza mental, sí se requiere el

uso de instrumentos de evaluación para valorar el aprendizaje.

El conocimiento y habilidad adquirida con entendimiento es retenido

mejor y transferido mejor que el que no se comprende. Por lo tanto, las

pruebas de retención y transferencia son adecuadas para evaluar el

entendimiento e inversamente, el alcance del entendimiento puede ser

usado como un medidor de la retención y transferencia. Es muy deseable,

que los estudiantes evalúen sus propios niveles de entendimiento. Que los

estudiantes participen en el proceso de evaluación, autoevaluándose y co-

evaluando el proceso.

Hay un consenso general de que únicamente el aprendiente activo será

un aprendiente exitoso. Se debe procurar fomentar la iniciativa de los

estudiantes y la interacción entre ellos. La estructura social del entorno

en la cual la educación tiene lugar es de suma importancia desde un

punto de vista cognitivo y especialmente motivacional.

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Figura 4. Elementos a considerar en la Evaluación Constructivista

En el diseño instrucccional tradicional, las metas y objetivos son

establecidos por los desarrolladores del currículo y diseñadores

instruccionales. Bajo el constructivismo, los estudiantes con ayuda del

instructor, seleccionan o desarrollan sus propias estrategias de

aprendizaje y frecuentemente sus propias metas y objetivos (Colmes,

1993). La mayoría de los modelos de enseñanza y aprendizaje tradicional

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contienen establecimiento de metas y selección de elementos, pero esto

es hecho sólo por los maestros o por las autoridades educativas y nunca

por los estudiantes. Los maestros típicamente evalúan tareas y exámenes

y son los únicos que evalúan.

Las pruebas objetivas no deben rechazarse por ser tradicionales, ya que

bien diseñadas sirven muy bien para medir los aprendizajes. Por ejemplo,

los exámenes tradicionales de opción múltiple no deben ser rechazados

como tradicionalistas, ya que si se diseñan bien las preguntas y

respuestas evitando la memorización y repetición, se puede lograr que los

exámenes de opción múltiple se usen en el constructivismo. Por ejemplo,

si pedimos que el alumno enuncie las reglas del uso de mayúsculas, lo

mas probable que midamos lo que el alumno recuerda pero no lo que ha

aprendido, para medir el aprendizaje debemos pedir que el estudiante

aplique y demuestre lo que sabe; en cambio, si pedimos que escriba tres

sentencias usando tres diferentes reglas del uso de mayúsculas y luego

que explique las reglas que usó en sus sentencias, estaremos hablando de

una pregunta y evaluación constructivista. Sin embargo, se puede hacer

una combinación de formatos tradicional y constructivista en un examen,

usando esta combinación puede hacer la transición más suave para los

estudiantes. No se trata de memorizar, recordar y repetir, sino de

construir y utilizar el conocimiento. El aprendizaje constructivista

generalmente es evaluado a través de proyectos basados en

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rendimiento, en vez de las pruebas tradicionales de lápiz y papel. La

evaluación constructivista se centra en lo que el estudiante puede

hacer con el conocimiento.

En general, se recomienda que el estudiante demuestre su aprendizaje

mediante la aplicación del conocimiento, por ejemplo; despeje de

fórmulas, evaluación de expresiones, solución de ecuaciones,

factorización de expresiones, realización de operaciones, escribir

resúmenes y ensayos, crear un modelo o maqueta, crear un video, escribir

literatura, música o poesía, crear o conducir experimentos. Por ejemplo,

si alguien quiere obtener su licencia de conducir, para demostrar que sabe

manejar no basta que llene correctamente un examen; tiene que hacerlo

necesariamente conduciendo un automóvil. Nadie aprende a nadar por

solo leer el mejor libro que se haya escrito para aprenderlo a hacer, es

hasta cuando el aprendiente practica cuando está en posibilidad de

aprender y también de demostrar sus progresos de aprendizaje.

Resumiendo, es muy importante considerar nuevas formas de evaluación

al implantar el constructivismo en el salón de clases, ya que no se puede

seguir evaluando de forma tradicional; la evaluación también tiene que

ser constructivista, debe valorar las nuevas formas de aprendizaje que se

están desarrollando en el salón de clases. Como la educación llega a ser

un esfuerzo colectivo de los estudiantes y los métodos educativos

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enfatizan la evaluación individual, nuevas técnicas de evaluación deben

crearse para medir el rendimiento o desarrollo de los estudiantes. Se

recomienda evaluar el proceso de aprendizaje de los estudiantes

conforme este va ocurriendo, es decir, mediante evaluaciones continuas y

bajo criterios bien establecidos con la participación de los estudiantes.

Debe incluirse la coevaluación y la auto evaluación. No es correcto

evaluar al término de la unidad y aun menos cuando termina un semestre,

ya que si no hay aprendizajes en los estudiantes, tampoco habrá tiempo

para remediar este grave problema. Por esto, es muy recomendable la

evaluación continua, la cual se efectúa durante todas las sesiones de clase

y nos permite corregir situaciones anómalas conforme se desarrolla el

proceso de aprendizaje.

Para evaluar constructivamente, por ejemplo, pudieran video grabarse las

sesiones de clases, para ver las interacciones de los estudiantes conforme

ellos trabajan, también para ver su habilidad para comunicarse con otros,

en general, para ver su participación y desarrollo del proceso de

aprendizaje. Se les proyectaría a los estudiantes estas sesiones para que

pudieran autoevaluarse y para que comentaran sus experiencias del

proceso de aprendizaje. Es importante que los videos registren tanto los

aciertos como los errores que cometen los estudiantes, ya que de los

errores muchas veces se aprende más. Es importante hacer notar como

corrigieron los errores y como consideran ellos el progreso de su

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aprendizaje. La evaluación constructivista es una actividad que demanda

más tiempo del maestro, de hecho, el maestro se la pasa más evaluando

que enseñando, también, gran parte del tiempo, se la pasa seleccionando

y organizando materiales y diseñando actividades para que los

estudiantes logren los objetivos de aprendizaje.

2.7 Aprendizaje Significativo

"Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría éste: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto, y enséñese en consecuencia" Ausubel

2.7.1 Historia del origen de la Perspectiva Significativa

En la década de los 70's, las propuestas de Jerome Brunner (1963)

sobre el Aprendizaje por Descubrimiento cobraban adeptos en forma

acelerada. Las experiencias se orientaban a que los niños en las escuelas

construyeran su conocimiento a través del descubrimiento de contenidos.

Se privilegió, entonces, el activismo y los experimentos dentro del aula.

Ante la llegada de lo nuevo, se criticó severamente el modelo expositivo

tradicional.

David P. Ausubel (1972) reconoció las bondades del aprendizaje por

descubrimiento, pero se opuso a su aplicación irreflexiva. Después de

todo hay que considerar que el aprendizaje por descubrimiento tiene una

desventaja: necesita considerablemente más tiempo para la realización de

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actividades.

Ausubel (1972) considera que el aprendizaje por descubrimiento no debe

presentarse como opuesto al aprendizaje que resulta de una exposición

(aprendizaje por recepción), pues éste puede ser igualmente eficaz (en

calidad) que aquél, si se dan ciertas características. Además, puede ser

notablemente más eficiente, pues se invierte mucho menos tiempo.

Así, el aprendizaje escolar puede darse por recepción o por

descubrimiento, como estrategia de enseñanza, y puede lograr en el

alumno aprendizajes de calidad (llamados por Ausubel significativos) o

aprendizajes de baja calidad (memorísticos o repetitivos). Se considera

que el aprendizaje por recepción no implica, como mucho se critica, una

actitud pasiva del alumno; ni tampoco las actividades diseñadas para

guiar el aprendizaje por descubrimiento garantizan la actividad

cognoscitiva del alumno.

2.7.2 ¿Qué es el Aprendizaje Significativo?

El aprendizaje significativo es un proceso a través del cual una persona

incorpora la nueva información de forma que ésta se relaciona con la

estructura cognitiva previamente existente en el individuo. En opinión

de Ausubel (1972), la asimilación de nueva información se basa en las

relaciones jerárquicas que la persona establece entre los conceptos que

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conoce. En esta asimilación juegan una función muy importante aquellos

conceptos llamados inclusores, que en definitiva son aquellos que

asimilan, subsumen, la nueva información.

Según Ausubel (1972), el factor más importante que influye en el

aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. El maestro debe averiguarlo y

enseñar en consecuencia para que lo descubra. La práctica del

aprendizaje comprensivo arranca de una muy concreta propuesta: partir

siempre de lo que el alumno tiene, conoce, respecto de aquello que se

pretende aprender.

El aprendizaje significativo es un estímulo hacia el entrenamiento

intelectual constructivo relacional. Es la propuesta psicopedagógica en

donde el trabajo escolar está diseñado para superar el memorismo

tradicional de las aulas y lograr un aprendizaje más integrador,

comprensivo y autónomo. Es una propuesta de la comprensión, factor

relevante del aprendizaje. Potenciar, educar habilidades intelectuales, no

como una pasiva acumulación de materiales, más o menos ordenados y

sistematizados, sino como una activa estructura de relacional

significatividad.

Lo aprendido eminentemente como memorización mecánica, a los tres

meses, prácticamente está perdido. No hay recuerdo de nada. Cuántas

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desveladas, previas a los días de los exámenes, sirven para bien poco. No

sólo hay olvido, sino nerviosismo porque la información no es

significativa, ya que solo está memorizada pero sin ninguna relación.

Este tipo de estrategia memorizante sin red no genera entrenamiento

intelectual. No provoca expansión cognitiva, ni metacognitiva.

2.7.3 Aprendizaje Tradicional

Durante mucho tiempo se consideró que el aprendizaje era sinónimo de

cambio de conducta, esto, porque dominó una perspectiva conductista de

la labor educativa; sin embargo, se puede afirmar con certeza que el

aprendizaje humano va más allá de un simple cambio de conducta,

conduce a un cambio en el significado de la experiencia. La experiencia

humana no solo implica pensamiento, sino también afectividad y

únicamente cuando se consideran en conjunto se capacita al individuo

para enriquecer el significado de su experiencia.

2.7.4 Teoría del Aprendizaje Significativo

Ausubel (1972), plantea que el aprendizaje del alumno depende de la

estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información,

debe entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto de conceptos,

ideas que un individuo posee en un determinado campo del

conocimiento, así como su organización.

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En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia

conocer la estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la

cantidad de información que posee, sino cuales son los conceptos y

proposiciones que maneja así como de su grado de estabilidad. Los

principios de aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para

el diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer la

organización de la estructura cognitiva del educando, lo cual permitirá

una mejor orientación de la labor educativa; ésta ya no se verá como una

labor que deba desarrollarse con "mentes en blanco" o que el aprendizaje

de los alumnos comience de "cero", pues no es así, sino que, los

educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que afectan

su aprendizaje y pueden ser aprovechados para su beneficio.

2.7.5 Aprendizaje Significativo y Aprendizaje Mecánico

El aprendizaje significativo ocurre cuando el educando tiene en su

estructura cognitiva conceptos, estos son: ideas, proposiciones, estables y

definidas, con los cuales la nueva información puede interactuar. La

nueva información "se conecta" con un concepto relevante ("subsunsor")

preexistente en la estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas ideas,

conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos significativamente en

la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes estén

adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del

individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras.

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A manera de ejemplo, si los conceptos de operaciones aritméticas, ya

existen en la estructura cognitiva del alumno, estos servirán de

subsunsores para nuevos conocimientos referidos al álgebra, tales como

operaciones con monomios y polinomios; el proceso de interacción de la

nueva información con la ya existente, produce una nueva modificación

de los conceptos subsunsores (número, suma, resta, multiplicación,

división, etc.), esto implica que los subsunsores pueden ser conceptos

amplios, claros, estables o inestables. Todo ello depende de la manera y

la frecuencia con que son expuestos a interacción con nuevas

informaciones.

En el ejemplo dado, las operaciones aritméticas servirán de "anclaje"

para nuevas informaciones referidas a operaciones algebraicas, pero en la

medida de que esos nuevos conceptos sean aprendidos

significativamente, crecerán y se modificarían los subsunsores iniciales;

es decir los conceptos de cantidad, suma, resta, multiplicación, división,

potenciación, evolucionarían para servir de subsunsores para conceptos

como leyes de los exponentes, operaciones con cantidades positivas y

negativas y operaciones con monomios y polinomios.

La característica más importante del aprendizaje significativo es que,

produce una interacción entre los conocimientos más relevantes de la

estructura cognitiva y la nueva información (no es una simple

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asociación), de tal modo que ésta adquiere un significado y es integrada a

la estructura cognitiva de manera no arbitraria y sustancial, favoreciendo

la diferenciación, evolución y estabilidad de los subsunsores

preexistentes y consecuentemente a toda la estructura cognitiva.

El aprendizaje mecánico, contrariamente al aprendizaje significativo, se

produce cuando no existen subsunsores adecuados, de tal forma que la

nueva información es almacenada arbitrariamente, sin interactuar con

conocimientos preexistentes, un ejemplo de ello sería el simple

aprendizaje de fórmulas o algoritmos, esta nueva información es

incorporada a la estructura cognitiva de manera literal y arbitraria puesto

que consta de puras asociaciones arbitrarias.

Obviamente, el aprendizaje mecánico no se da en un "vacío cognitivo"

puesto que debe existir algún tipo de asociación, pero no en el sentido de

una interacción como en el aprendizaje significativo. El aprendizaje

mecánico puede ser necesario en algunos casos, por ejemplo, en la fase

inicial de un nuevo cuerpo de conocimientos, cuando no existen

conceptos relevantes con los cuales pueda interactuar. Siempre que sea

posible, el aprendizaje significativo debe ser preferido, pues, este facilita

la adquisición de significados, la retención y la transferencia de lo

aprendido.

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2.7.6 Características del Aprendizaje Significativo

David P. Ausubel (1972), afirma que las características del Aprendizaje

Significativo son:

Los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva en la

estructura cognitiva del alumno. Esto se logra gracias a un esfuerzo

deliberado del alumno por relacionar los nuevos conocimientos con sus

conocimientos previos. Todo lo anterior es producto de una implicación

afectiva del alumno, es decir, el alumno quiere aprender aquello que se

le presenta porque lo considera valioso.

En contraste el Aprendizaje Memorístico se caracteriza por:

Los nuevos conocimientos se incorporan en forma arbitraria en la

estructura cognitiva del alumno. El alumno no realiza un esfuerzo para

integrar los nuevos conocimientos con sus conocimientos previos. El

alumno no quiere aprender, pues no concede valor a los contenidos

presentados por el profesor.

Finalmente Ausubel no establece una distinción entre aprendizaje

significativo y mecánico como una dicotomía, sino como un

"continuum", es más, ambos tipos de aprendizaje pueden ocurrir

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contiguamente en la misma tarea de aprendizaje (Ausubel; 1983); por

ejemplo, la simple memorización de fórmulas se ubicaría en uno de los

extremos de ese continuo( aprendizaje mecánico) y el aprendizaje de

relaciones entre conceptos podría ubicarse en el otro extremo

(Aprendizaje Significativo); cabe resaltar que existen tipos de

aprendizaje intermedios que comparten algunas propiedades de los

aprendizajes antes mencionados, por ejemplo, aprendizaje de

representaciones o el aprendizaje de los nombres de los objetos.

2.7.7 Requisitos para el Aprendizaje Significativo

Al respecto (Ausubel, 1983: 48) dice: El alumno debe manifestar una

disposición para relacionar sustancial y no arbitrariamente el nuevo

material con su estructura cognoscitiva.

Lo anterior presupone, que el material sea potencialmente significativo,

esto implica que el material de aprendizaje pueda relacionarse de manera

no arbitraria y sustancial con alguna estructura cognoscitiva específica

del alumno, la misma que debe poseer "significado lógico" es decir, ser

relacionable de forma intencional y sustancial con las ideas

correspondientes y pertinentes que se encuentran disponibles en la

estructura cognitiva del alumno, este significado se refiere a las

características inherentes del material que se va aprender y a su

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naturaleza.

Concluyendo, la disposición para el aprendizaje significativo, es decir,

que el alumno muestre una disposición para relacionar de manera

sustantiva y no literal el nuevo conocimiento con su estructura cognitiva

es muy importante. Así independientemente de cuánto significado

potencial posea el material a ser aprendido, si la intención del alumno es

memorizar arbitraria y literalmente, tanto el proceso de aprendizaje como

sus resultados serán mecánicos; de manera inversa, sin importar lo

significativo ni la disposición del alumno, ni el proceso, ni el resultado

serán significativos, si el material no es potencialmente significativo y no

es relacionable con su estructura cognitiva previa.

2.7.8 Constructivismo y Aprendizaje Significativo

El constructivismo sostiene que el conocimiento no es copia fiel de la

realidad, sino una construcción del ser humano. Nuestro modo de ordenar

la experiencia es relacionándola con informaciones internas y externas,

creando una nueva realidad que es la construcción del conocimiento. La

concepción constructivista del aprendizaje se sustenta en la idea de que la

finalidad de la educación es promover los procesos de crecimiento

cultural y personal del alumno.

Uno de los enfoques constructivistas es el pensar y actuar sobre

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contenidos significativos y contextuales. El aprendizaje ocurre sólo si se

relacionan de manera no arbitraria y sustancial, la nueva información

con los conocimientos y experiencias previas que posee el individuo

en su estructura de conocimientos unido a una disposición de aprender

significativamente (motivación y actitud). Los programas constructivistas

de aprendizaje activo, en la cual los estudiantes construyen su propio

conocimiento los llevan a desarrollar habilidades de pensamiento

independientes y críticas, un entendimiento de conceptos más profundo y

un aprendizaje de mayor duración. [Marlowe 1998: P. 25]. El

constructivismo es aprendizaje activo y está garantizado que desarrolla la

mente [Marlowe 1998: P. 16].

La importancia de los factores disposicionales, es tener el deseo de

aprender y el esfuerzo, el rozar el límite de la propia capacidad. Aprender

con esfuerzo es un estado de la mente inquieta, ambiciosa, exploradora.

En este esfuerzo está la construcción del conocimiento que es

apropiarse de algo, insertarlo en su esfera personal, ya que eso es lo

que hace el aprendizaje significativo y le da el conocimiento útil, que

tiene larga vida y que se aplica o transfiere a otros campos del

conocimiento y puede cambiar la realidad creativamente. Un

aprendizaje exitoso requiere aparte de la habilidad intelectual, el

compromiso con la tarea y la producción creativa del conocimiento.

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2.7.9 Ventajas del Aprendizaje Significativo

El Aprendizaje Significativo tiene claras ventajas sobre el Aprendizaje

Memorístico:

• Produce una retención más duradera de la información.

Modificando la estructura cognitiva del alumno mediante

reacomodos de la misma para integrar la nueva información.

• Facilita adquirir nuevos conocimientos relacionados con los ya

aprendidos en forma significativa, ya que al estar claramente

presentes en la estructura cognitiva se facilita su relación con los

nuevos contenidos. La nueva información, al relacionarse con la

anterior, es depositada en la llamada memoria a largo plazo, en la

que se conserva más allá del olvido de detalles secundarios

concretos.

• Es activo, pues depende de la asimilación deliberada de las

actividades de aprendizaje por parte del alumno.

• Es personal, pues la significación de los aprendizajes depende de

los recursos cognitivos del alumno (conocimientos previos y la

forma como éstos se organizan en la estructura cognitiva).

A pesar de estas ventajas, muchos alumnos prefieren aprender en forma

memorística, convencidos por triste experiencia que frecuentemente los

profesores evalúan el aprendizaje mediante instrumentos que no

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comprometen otra competencia que el recuerdo de información, sin

verificar su comprensión.

2.7.10 Requisitos para lograr el Aprendizaje Significativo

De acuerdo a la teoría de Ausubel (1972), para que se puedan lograr

aprendizajes significativos es necesario se cumplan tres condiciones:

1. Significatividad lógica del material. Esto es, que el material

presentado tenga una estructura interna organizada, que sea susceptible

de dar lugar a la construcción de significados. Los conceptos que el

profesor presenta, siguen una secuencia lógica y ordenada. Es decir,

importa no sólo el contenido, sino la forma en que éste es presentado.

2. Significatividad psicológica del material. Esto se refiere a la

posibilidad de que el alumno conecte el conocimiento presentado con los

conocimientos previos, ya incluidos en su estructura cognitiva. Los

contenidos entonces son comprensibles para el alumno. El alumno debe

contener ideas inclusoras en su estructura cognitiva, si esto no es así, el

alumno guardará en su memoria a corto plazo la información para

contestar un examen memorista, y olvidará después, y para siempre, ese

contenido.

3. Actitud favorable del alumno. Que el alumno quiera aprender no

basta para que se dé el aprendizaje significativo, pues también es

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necesario que pueda aprender (significación lógica y psicológica del

material). Sin embargo, el aprendizaje no puede darse si el alumno no

quiere aprender. Este es un componente de disposiciones emocionales y

actitudinales, en el que el maestro sólo puede influir a través de la

motivación.

La herramienta que facilita e identifica el aprendizaje significativo: los

Mapas Conceptuales. El mapa conceptual es una herramienta coherente

con la teoría educativa de Novak (1988) y su utilidad se refiere, entre

otras, a la de detectar y facilitar el aprendizaje significativo. El mapa

conceptual muestra de una forma esquemática y significativa una imagen

gráfica sobre los conocimientos que una persona posee respecto a un

tema en concreto, con lo cual también puede reflejar en qué medida ese

conocimiento es producto de un proceso de aprendizaje significativo. En

un mapa conceptual hallamos una serie de conceptos, una organización

jerárquica de los mismos y las relaciones que se han establecido entre

ellos, de forma que se hacen explícitos los significados que se han

otorgado a cada concepto. La organización de los conceptos (más lineal o

más diferenciada) que organizan el mapa conceptual indica hasta qué

punto el autor del mismo ha llevado a cabo un aprendizaje más

significativo o más memorístico. Es precisamente esta faceta de los

mapas conceptuales la que se analiza en la presente investigación, pues

en ésta se analizan los mapas conceptuales realizados por los alumnos y

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se extraen las características más destacables del proceso de aprendizaje

de los mismos.

Implicaciones Didácticas

Del conocimiento de los requisitos para que un aprendizaje se dé en

forma significativa, se desprenden consecuencias de tipo didáctico para

quienes tenemos la obligación esencial de propiciarlos cotidianamente.

• En primer lugar, podemos determinar los conocimientos previos

del alumno. Es decir, debemos asegurarnos de que el contenido a

presentar pueda relacionarse con ideas previas. Conocer qué

saben nuestros alumnos sobre el tema nos ayudará a intervenir

sobre nuestra planeación.

• En segundo lugar, está la organización del material de nuestro

curso, para que tenga forma lógica y jerárquica, recordando que

no sólo es importante el contenido sino la forma en que éste sea

presentado a los alumnos, por lo que se deberá presentar en

secuencias ordenadas, de acuerdo a su potencialidad de inclusión.

• En tercer lugar, está el considerar la importancia de la

motivación del alumno. Recordemos que si el alumno no quiere,

no aprende. Por lo que debemos darle motivos para querer

aprender aquello que le presentamos. El que el alumno tenga

entonces una actitud favorable, el que se sienta contento en

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nuestra clase, el que estime a su maestro, no son románticas

idealizaciones del trabajo en el aula sino que deberán buscarse

intencionalmente por quienes se dedican profesionalmente a la

educación. Como afirma Don Pablo Latapí: "si tuviera que

señalar un indicador y sólo uno de la calidad en nuestras

escuelas, escogería éste: que los alumnos se sientan a gusto en la

escuela".

2.7.11 Mitos del Aprendizaje Significativo

Probablemente, no existe maestro que no haya escuchado alguna vez la

expresión Aprendizaje Significativo. Sin embargo, habrá que reconocer

que son pocos quienes tienen claro a qué se refiere. Diversas opiniones a

fuerza de repetición se convierten en mitos, que lejos de explicar la

expresión, constituyen distractores sobre la esencia del trabajo docente.

• Primer mito: El aprendizaje significativo se da cuando el alumno

"se divierte" aprendiendo. No necesariamente. Hemos visto

muchos intentos de integrar experiencias lúdicas en varios niveles

educativos, y sin embargo, los alumnos no aprenden más que

aquellos que reciben clases tradicionales. Los alumnos se

divierten, claro está, pero nuestro trabajo no es el entretenimiento.

• Segundo mito: El aprendizaje significativo se da cuando los

contenidos se ofrecen "adaptados" a los intereses del alumno. No

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necesariamente. ¿Quién puede asegurar lo que realmente les

interesa a sus alumnos? ¿Acaso debemos renunciar a un

contenido porque éste no resulte atractivo a nuestros alumnos? El

maestro debe buscar interesar al alumno en el contenido, pero

esto no basta. La mayoría de nuestros alumnos están interesados

en aprender computación e inglés, y sin embargo sabemos que

esto no es suficiente.

• Tercer mito: El aprendizaje significativo se da cuando el

alumno "quiere aprender". Tampoco es exacto. La mayoría de

nuestros alumnos, aún aquellos que han fracasado anteriormente,

llegan con ilusión de empezar bien el curso y aprender. Sin

embargo, el tiempo nos confirma nuevamente que esto no basta,

aunque si es deseable que los alumnos quieran aprender.

• Cuarto mito: El aprendizaje significativo se da cuando el

alumno "descubre por sí mismo" aquello que ha de aprender.

Falso. No todo lo que el alumno aprende lo hace por

descubrimiento, ni todo lo que el alumno "descubre" es

aprendido. El aprendizaje por recepción, si se cumplen ciertas

condiciones puede ser igualmente eficaz o más que el aprendizaje

por descubrimiento.

• Quinto mito: El aprendizaje significativo se da cuando el

alumno "puede aplicar" lo aprendido. La implicación es poco

exacta. Más bien se debería afirmar que si el aprendizaje es

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significativo, es posible transferirlo y aplicarlo.

2.8 Educación Tradicional

“La sociedad en general y los gobiernos en particular, comprenden la enorme

importancia de la educación, pero son pocos los que saben, que la educación es una

espada de dos filos: una educación de calidad eleva y construye al individuo,

mientras que una mala educación destruye al individuo y con ello a la sociedad”

Nantúnez

En la educación tradicional, la escuela es la principal fuente de

información para el educando; en ella el maestro es el centro del proceso

de enseñanza, es el agente esencial de la educación y la enseñanza,

jugando el rol de transmisor de información y sujeto del proceso de

enseñanza, es el que piensa y transmite de forma acabada los

conocimientos con poco margen para que el alumno elabore y trabaje

mentalmente.

Los objetivos están elaborados de forma descriptiva, declarativa y están

dirigidos más a la tarea del profesor que a las acciones que el alumno

debe realizar, no establece las habilidades que el alumno debe formar, lo

que se hace que se aprecie más al profesor como sujeto de enseñanza que

a los propios alumnos. La labor principal del profesor es la explicación.

Trabaja con métodos de enseñanza esencialmente expositivos, ofreciendo

gran cantidad de información que el alumno debe recepcionar y

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memorizar. El profesor hace hincapié en la ejercitación, enfatizando la

repetición y memorización de los pasos a dar en la realización de los

ejercicios. Se trabaja con casos particulares aislados, por lo que no se

forma en los alumnos la capacidad inductiva o deductiva, es decir, de ir

de lo general a lo particular o de lo abstracto a lo concreto.

La instrucción tradicional no es del todo mala e inútil. Cuando por alguna

razón, los estudiantes no pueden construir el conocimiento por ellos

mismos, entonces necesitan instrucción. Es incorrecto afirmar que

totalmente el aprendizaje no es influenciado por instrucción explicita.

Algunas investigaciones muestran que lo que los estudiantes aprenden es

notablemente influenciado por la instrucción. Por esto, la instrucción o

exposición en clase por parte del maestro no debe desecharse, ya que en

determinados momentos es importante, sobre todo para proporcionarles

los conocimientos previos a los estudiantes --cuando no los tienen-- o

cuando hay dudas o no hay avances en el aprendizaje. Pero es importante

que el docente no abuse de la instrucción o la utilice como su único

recurso.

En la educación tradicional, la relación alumno-profesor está basada en el

predominio de la autoridad del profesor exigiendo una actitud receptiva y

pasiva de los alumnos; la obediencia de los alumnos es la principal virtud

a lograr. Los principios educativos que rigen la labor del profesor son

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bastante inflexibles, en ocasiones tienen un carácter impositivo y

coercitivo. La relación que se establece entre profesor y alumno es

autoritaria de parte del profesor.

El modelo psicológico del Conductismo, es uno de los que más influye

en la pedagogía tradicional; entre sus planteamientos sostiene considerar

al hombre como receptor de información, y desatiende el proceso de

asimilación del conocimiento, en tanto solo se interesa por el resultado,

que se manifiesta mediante la conducta observable del estudiante.

El contenido de la enseñanza consiste en un conjunto de conocimientos y

valores sociales acumulados por las generaciones adultas que se

transmiten a los alumnos como verdades acabadas; generalmente, estos

contenidos están disociados de la experiencia del alumno y de las

realidades sociales, por lo que la pedagogía tradicional es llamada

enciclopedista e intelectualista. El contenido tiene un carácter secuencial

que se expresa en los programas, sus partes no tienen la interacción entre

los temas que lo componen e incluso se observa que hay temas que

quedan de forma aislada, sin relación alguna con otros temas.

Hasta ahora, los métodos de enseñanza tradicional en el cual los

profesores hablan y los estudiantes escuchan, dominan la enseñanza de

las matemáticas en las instituciones educativas. La educación está

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centrada en el maestro, quien tiene un papel activo, y el de los

estudiantes es el de pasivamente recibir la información y repetirla –en

ocasiones, al pie de la letra-- en los momentos aislados de evaluación,

obteniendo una mejor calificación a medida que el estudiante mejor

repita lo que recibió del maestro o de algún libro de texto. Sin embargo,

esta evaluación no es buena, ya que los momentos de evaluación son

establecidos de antemano por la institución educativa o por el profesor,

entonces el alumno se prepara un día antes o el mismo día, “grabando”

en su mente la “información” de la asignatura respectiva, la plasma en el

instrumento de evaluación –que en la mayoría de las veces es un examen

y en ocasiones el único--; pero, después del examen los estudiantes

“olvidan” rápidamente la información pues no está conectada con los

conocimientos existentes. Esta evaluación, lo único que mide es la

capacidad de memorizar pero no el conocimiento de los estudiantes.

En la educación tradicionalista, la matemática escolar se inspira en su

lógica interna; la forma clásica de enseñarla es la mecanicista, se aprende

sin establecer relaciones entre sus mismos contenidos y con otras áreas,

lo importante es la cantidad de conocimientos, no la calidad del

aprendizaje. Aunque algunos maestros llaman métodos educativos

tradicionales eficientes, cuando ellos pueden transmitir mucho material a

los estudiantes en cortas cantidades de tiempo (sin considerar cuan

efectiva es esta transmisión en términos del aprendizaje), ¿Cómo saben si

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lo estudiantes entienden los conceptos, asuntos, ideas y problemas? Si un

estudiante repite información, como frecuentemente ocurre en una clase

tradicional, no significa que entiendan algo o puedan aplicar esta

información de alguna manera; no demuestran aprendizaje o

entendimiento, simplemente demuestran la habilidad de repetir

información.

Uno de los temas que todos los proponentes del constructivismo

(aprendizaje activo) tienen en común, es el rechazo del salón de clases

tradicional dominado por el maestro, en el cual el maestro maneja,

controla y distribuye la información. Los maestros tradicionales ven la

educación no solo como pasiva y controlada sino también disfuncional en

relación a las necesidades individuales, sociales y democráticas. Ellos

ven como un bochorno la creatividad de los estudiantes, su autonomía, su

energía, su independencia de pensamiento, su competencia, su confianza

y autoestima; desean hacer estudiantes dependientes, conformistas y que

no piensen.

La modificación de las clases tradicionales es una manera de empezar a

incorporar el constructivismo en el salón de clases. Para comenzar, si

pedimos la atención de los estudiantes mientras explicamos brevemente y

concisamente lo más importante del tema en menos de 10 minutos y

luego, damos tiempo suficiente para que tomen nota de lo dicho o lo que

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se ha escrito, estaremos empezando a usar el constructivismo, lo mismo

si permitimos dar unas pausas cuando los estudiantes toman notas,

aprenderán significativamente más información. Otras dos maneras

simples pero efectivas durante una clase son incluir demostraciones

breves o cortas, ejercicios escritos seguidos por una discusión en clases,

preferentemente utilizando materiales audiovisuales. Ciertas alternativas

al formato de exposición en clases incrementan la atención de los

estudiantes y su involucramiento en su aprendizaje, tales como: (1)

realimentar la clase, la cual consiste de 2 exposiciones breves de

resúmenes, separando cada exposición por una sesión de estudio en

pequeños grupos siguiendo una guía de estudios y (2) la clase guiada, en

la cual los estudiantes escuchan una presentación de 20-30 minutos sin

tomar notas, seguido de permitirles 5 minutos para que escriban lo que

ellos recuerden y pasen el resto del periodo de clases en pequeños

grupos clarificando y elaborando resúmenes y conclusiones.

Las discusiones en clases, son una de las estrategias más comunes que

promueven el aprendizaje activo. Si los objetivos de un curso son

promover la retención de información a largo plazo, se debe motivar a los

estudiantes hacia aprendizajes adicionales, para permitir que los

estudiantes apliquen la información en nuevos escenarios, o desarrollen

sus habilidades de pensamiento; bajo estas condiciones es mucho mejor

la discusión que dar clases. Claro que la discusión debe realizarse con

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estrategias y técnicas de cuestionamiento, además de crear un entorno

emocional e intelectual armónico y de confianza que motive a los

estudiantes a asumir riesgos y enfrentar retos. Discutir significa que los

estudiantes exponen sus puntos de vista, los sostienen mediante

argumentos y los defienden hasta que les demuestran su error o que están

equivocados. No significa pelear o agredirse, ni gritar o levantar la voz.

En el CBTis 134 y en la mayoría de las escuelas en México, predomina la

educación tradicional, que es una educación de grupos numerosos,

controlados y dominados por el maestro, basados primariamente en libros

de texto. La educación se centra en las explicaciones del maestro y en la

recepción pasiva de los estudiantes, quienes memorizan la información y

la repiten en los exámenes. A pesar de que las teorías, currículos, libros

de texto han cambiado, existe poca evidencia de que la práctica docente

haya cambiado, casi es la misma que la de hace 40 años.

Un sistema instruccional dominado por el maestro que entrega

información no puede funcionar en la era de la explosión de la

información. En la década de los noventas la información se duplicaba

cada 2 años, en la actualidad se duplica cada 6 meses. Por esto, los

estudiantes que reciban pasivamente la información no estarán acorde a

las necesidades de la sociedad y quedarán obsoletos, ya que en la nueva

sociedad de la información no solo se hacen obsoletas las máquinas sino

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también los recursos humanos.

Resumiendo, históricamente el hecho educativo se ha desarrollado dentro

del contexto tradicional, donde el maestro es el amo del saber y el

alumno un ente recibidor de información, la cual debe aceptar sin

críticas, incorporándolas a su memoria de manera textual a lo expresado

por el maestro. De tal forma que en el momento de la evaluación, pueda

repetir con lujo de detalles esa información y satisfacer los

requerimientos de su maestro para aprobar la asignatura. En ese

paradigma educativo, la conceptualización del currículo involucra

contenidos y actividades, los cuales determinan los objetivos, bajo el

enfoque conductista y dándole mayor relevancia a la actuación del

docente, quien es el ente activo, “quien enseña”; y, el ente pasivo, el

alumno, receptor acrítico de la información.

Desde el corte conductista, generalmente se cae en la connotación de un

hecho educativo que obedece a la tradición dogmática; es decir, los

objetivos propuestos de una determinada asignatura están

correlacionados significativamente con los contenidos, los cuales son

trasmitidos por el docente y recibidos por un receptor, quien se forma o

moldea en el contexto del conocimiento de la ciencia a la cual pertenece

la materia. En otras palabras, ocurre un proceso de enseñanza ejecutado

por el docente y otro denominado aprendizaje, el cual se realiza en el

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alumno. Dentro de este esquema conceptual, el hecho educativo se da sí

y sólo sí existe un maestro que enseña y un alumno que aprende; es decir,

el aprendizaje es consecuencia de la enseñanza. Una evidente ejecución

en el marco de una causa (enseñanza) y el efecto (aprendizaje).

Los individuos formados dentro de ese paradigma educativo son

mecánicos de la información, incapaces de innovar, pues el molde con el

cual fueron formados los encasilló de esta manera.

La educación tradicional se caracteriza por un hecho educativo donde la

mayor preocupación del docente es asegurarse que al culminar su

actuación en el aula, taller o laboratorio, el alumno sabe lo que él domina

en naturaleza y cantidad. Es decir, trata de desarrollar e incentivar en el

estudiante un proceso de aprendizaje por imitación.

El proceso de aprendizaje que ocurre en el estudiante, sustentado en la

imitación, proviene de la admisión que el profesor es un ser poderoso,

amo del conocimiento, a quien se debe complacer. Circunstancia que es

reforzada por la tradición en boca de los estudiantes más viejos, quienes

aconsejan a los nuevos para que no contraríen al profesor, so pena de

perder la asignatura. Eso deviene en una total pasividad en el estudiante,

quien de hecho se convierte un recipiente bueno o malo de los decires del

docente. El aprendizaje alcanzado de esa manera es netamente repetitivo,

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memorístico, carente de significado, por lo tanto ajeno a una aplicación

razonable en la solución de algún problema. Por ende, contrario al

espíritu de los fines de la educación. En la educación tradicional el

aprendizaje es dejado totalmente al docente, que si domina su asignatura

dará conocimientos adecuados, pero si es incapaz ya perjudicó a todo un

grupo de seres humanos; desafortunadamente, existe un gran porcentaje

de malos maestros y esto se nota en los resultados educativos de nuestro

país.

Las prácticas del salón de clases específicamente diseñadas para preparar

a los estudiantes para los exámenes no promueven aprendizajes

profundos que puedan ser aplicados a nuevos aprendizajes. A pesar de

entregar todos sus trabajos y tareas y pasar todos sus exámenes, muchos

estudiantes simplemente no han aprendido. Sobre todo, debido a que la

mayoría de los estudiantes se dedican a “copiar” tareas y exámenes, sin

preocuparse de comprender lo que copia ni pedirles una explicación a

quienes se los prestaron.

2.8.1 Panorama Actual de la Educación Tradicional

El Director del Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación

(INEE), Felipe Martínez Rizo, matizó los resultados de la encuesta mas

reciente de la OCDE sobre el desempeño educativo en 41 países,

mencionó que en los resultados de estas encuestas, México ocupó los

lugares 34, 35 y 34 de 41 países evaluados en lectura, matemáticas y

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ciencias (Vértice, Notimex, 22 de julio de 2003). Si dentro de este

panorama Guerrero, Oaxaca y Chiapas ocupan los últimos lugares a nivel

nacional, esta situación se complica por la gran cantidad de marchas y

paros laborales que realizan los profesores en dichos estados. Esto nos da

la idea de que la educación pública no sirve y que la solución a este bajo

nivel educativo es la educación privada. Pero esto no es cierto, debido

entre otras causas a los bajos salarios que al menos en Guerrero pagan las

instituciones del sector privado. El desfavorable panorama de la

educación privada y en particular para las Maestrías que imparten, la

expuso Arturo Rueda, profesor de la Escuela Bancaria y Comercial

(EBC), en el Diario El Financiero, Pagina 44 del martes 18 de marzo del

2003, el definió la filosofía de la educación privada: “Como no debemos

perder mercado y como a los padres de familia hay que darles soluciones

y no problemas, no debe haber reprobados”.

Agrega: la mayoría de las instituciones privadas definen como

prioritarias la generación de ingresos. Por eso, con el afán de ganar

mercado han eliminado los requisitos de admisión y suavizado sus

programas de estudio de Especializaciones y Maestrías. Al carecer de

tales requisitos es común que en las Maestrías haya alumnos de carreras

y experiencias contrapuestas: en una Maestría en Finanzas había

abogados, arquitectos, contadores y administradores. Debido a esta

heterogeneidad era imposible avanzar o profundizar en ciertos temas. Por

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lo tanto, los programas son ligeros. Sus contenidos son de carácter

recordatorio o de actualización, es decir, con objeto de que los alumnos

vuelvan a cursar los temas y las materias que ya habían aprobado en la

licenciatura.

El Maestro Rueda continúa diciendo que esto ha provocado una

distorsión ridícula: los alumnos ya no son estudiantes. Con sus debidas

excepciones, se han convertido en educandos pasivos que piensan que su

mérito es inscribirse, pagar su colegiatura y asistir a clases (a veces ni

eso) y que lo demás es esperar a que concluya el semestre para tener su

boleta con notas aprobatorias. Por eso, a los estudiantes el los llama

“oyentes” porque ya no dedican esfuerzos extraclase para repasar y

entender las teorías, problemas, soluciones y estrategias que plantea el

profesor. Ellos cierran sus apuntes o libros al terminar la sesión y los

vuelven a abrir hasta la clase siguiente o hasta un día antes del examen.

Los alumnos de hoy hacen sus tareas mecánicamente. Cuando el profesor

les pide una investigación, copian e insertan textos e imágenes, como si

la labor consistiera en sacar copias, imprimir o descargar archivos de

Internet, sin que se tomen la molestia de leer lo que entregan.

Los alumnos no buscan conocimientos, buscan obtener documentos para

lograr sus aspiraciones de empleo. La facilidad con la que hoy se obtiene

el documento los ha relevado de su antigua actitud de estudio. Hoy, con

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la complacencia de las instituciones, solo pagan, oyen, piden y anotan.

Lo anterior, ha hecho que la mayoría de los profesores sean generosos,

bajo el riesgo de perder su empleo de no hacerlo. Los profesores

procuran consentir, en vez de evaluar con exámenes, califican con la

participación o con trabajos hechos al vapor. Estos maestros, son siempre

los mejor calificados por los alumnos-oyentes, son los que nunca tendrán

un problema y tendrán asegurado su siguiente curso o un lugar en otra

materia, porque cumplen con el objetivo no escrito de conservar los

ingresos y moderar los ánimos del alumnado. Esto ha hecho posible que

los alumnos rechacen o denuncien a los maestros que exigen.

El Maestro Rueda concluye diciendo: México, como toda Latinoamérica,

vive una crisis educativa sin precedentes. Es necesario detenerse. Es

preciso hacer conciencia. Las universidades deben comprender que lo

que envían al mercado laboral es la gente que definirá el futuro del país.

2.9 El Constructivismo en Matemáticas

No es sorprendente que el constructivismo tenga una fuerte voz en el

dialogo actual en educación matemática. Muchos están preocupados

respecto al éxito –o falta de éxito– de la educación matemática. El

Constructivismo conjuga las ideas principales que han influenciado la

forma en que las matemáticas han sido enseñadas.

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Recientemente se ha puesto de moda hablar de constructivismo en

relación a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El punto de

vista constructivista involucra dos principios:

• El conocimiento es activamente construido por el aprendiente y no

pasivamente recibido desde el entorno.

• Llegar a conocer es un proceso de adaptación basado en el

conocimiento que del mundo tiene el aprendiente –conocimientos

previos-- y constantemente es modificado por dicho

conocimiento. No se descubre un mundo preexistente,

independiente y exterior a la mente del conocedor.

Kilpatrick (1987), refiriéndose a los principios, sugiere “el primer

principio es en el que la mayoría de los científicos cognitivos excepto los

conductistas están de acuerdo, y casi ningún educador matemático cree

en algo diferente. El segundo principio es la manzana de la discordia para

mucha gente. Separa lo que von Glasersfeld (1984) llama el

constructivismo trivial del constructivismo radical, el cual está basado en

la aceptación de ambos principios.

Parece que el poder del constructivismo en educación matemática está

encapsulado en el segundo principio. Relacionando esto al aprendizaje de

las matemáticas, nos dice que si hay algún cuerpo de conocimiento

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matemático preexistente e independiente, entonces podremos construir

nuevos conocimientos matemáticos que estén relacionados con los

existentes. Lo anterior, implica que si el aprendiente no tiene los

conocimientos previos no puede aprender los nuevos conocimientos. Esto

último, es uno de los errores más graves en la educación, ya que el

maestro da por hecho que los estudiantes poseen los conocimientos

previos, lo cual casi nunca es cierto y al final seguramente se fracasará,

por no haber asegurado el “nivel de partida”.

El Constructivismo enfoca la atención en cómo la gente aprende. Sugiere

que el conocimiento matemático se produce cuando la gente forma

modelos en respuesta a los planteamientos y retos que reciben de

problemas y entornos matemáticos y no simplemente de recibir

información. El reto en la enseñanza es crear situaciones –planteamiento

de problemas-- que involucren a los estudiantes y ellos argumenten sus

propias explicaciones, soluciones y aplicaciones de los modelos

matemáticos necesarios para resolver los problemas planteados.

La Asociación Nacional de Maestros de Matemáticas de Estados Unidos

(Nacional Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 1992) argumenta

que las prácticas tradicionales actuales tienen que cambiar y que no se

puede aceptar que los estudiantes sólo resuelvan ejercicios y problemas

de vez en cuando. Su enfoque principal ahora está en el aprendizaje

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activo (constructivismo); el modelo enfatiza que los estudiantes necesitan

descubrir porqué las fórmulas y los procedimientos trabajan más que

cómo seguirlos, comprender más que memorizar, crear y resolver

problemas matemáticos relacionados con la vida real y moverse del

pensamiento que hay en una respuesta correcta y enfocarse en el

razonamiento matemático. Reitera que hay una necesidad de un cambio

del énfasis en la escucha y memorización por la búsqueda e investigación

de los estudiantes. Establece que los métodos tradicionales perpetúan el

mito de que algunos estudiantes simplemente no pueden con las

matemáticas. Si se define el nuevo rol del maestro como facilitador del

aprendizaje, se ha demostrado que incluso estudiantes que no saben hacer

cálculos básicos pueden resolver problemas matemáticos.

2.10 Enseñanza Constructivista de las Matemáticas

Dentro de la concepción constructivista ¿Cómo debe enseñarse la

matemática?

En torno a esta interrogante se presenta en los últimos años gran cantidad

de información, en tres líneas fundamentales:

• La Epistemológica, que va orientada a la clase de matemática que

requieren aprender los estudiantes para desarrollar sus estructuras

mentales.

• La Psicológica trata de explicar cómo se adquiere o produce el

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conocimiento, es decir cómo se aprende la Matemática.

• La Metodológica que explica cómo se debe enseñar esta área.

En la práctica escolar, estas líneas se apoyan entre sí.

Con relación a la línea epistemológica, la mayoría de las opciones

inciden en que la matemática que deben aprender los estudiantes es la

que requieren para su práctica cotidiana. Aunque muchos opinan que

los conocimientos matemáticos que deberían ser enseñados, son aquellos

que los estudiantes utilicen en sus estudios universitarios o en su vida

profesional. Si se da respuesta a la mayoría, la matemática que tendrían

que aprender los estudiantes, sería: contar, operar, hacer mediciones,

interpretar tablas de datos, funciones y gráficas, planteamiento de

problemas y resolución de ecuaciones. O sea un enfoque desde la

perspectiva de ver la matemática como una herramienta que el estudiante

maneja y aplica: símbolos, cantidades, términos, reglas, fórmulas, hechos

básicos, algoritmos y técnicas memorizadas y adiestradas.

En lo que se refiere a la línea psicológica, la experiencia y los

conocimientos previos del estudiante se conectan con los nuevos

conocimientos; por está razón, se afirma que el conocimiento matemático

no puede ser transferido como un producto elaborado de una persona a

otra sino que debe ser reconstruido activamente desde la propia

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experiencia del que aprende.

Con respecto a la línea metodológica, prevalecen dos tendencias básicas

de la enseñanza de la matemática; una que defiende la enseñanza directa,

que consiste en una exposición de la información, la ejercitación, la

práctica y la evaluación de la misma (Educación Tradicional), y otra que

fundamenta que el estudiante debe conectar todo nuevo conocimiento

con sus experiencias personales y conocimientos previos (Educación

Constructivista).

En el Bachillerato, la matemática tiene como propósito fundamental

desarrollar la inteligencia y el pensamiento de los estudiantes, lo cual

implica desarrollar sus estructuras mentales y habilidades generales que

les permitan comprender, interpretar, adaptarse y transformar su realidad,

preparándolos para iniciar una carrera profesional. El docente, mediador

del proceso de aprendizaje de los estudiantes, alcanzará plenamente este

propósito en la medida en que considere la matemática como objeto de

estudio escolar, que debe ser presentado a los estudiantes atendiendo sus

intereses y necesidades, para que lo reconstruyan a través de la acción

transformadora. La mediación del maestro en el proceso de aprendizaje

es muy importante. El mal maestro puede obstruir el proceso de

aprendizaje, mientras que el buen maestro ayuda a tender puentes entre

los conocimientos anteriores y los nuevos conocimientos de los

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estudiantes.

Siempre que inicien los estudiantes la construcción de un nuevo concepto

matemático, es importante que los estudiantes partan de situaciones de su

realidad, para que le encuentren sentido y significado social al estudio de

los conceptos matemáticos. Los objetos matemáticos serán construidos

mentalmente por los estudiantes partiendo de sus experiencias y

conocimientos previos al nuevo conocimiento a construir, apoyándose

en la manipulación de objetos concretos, la visualización, juegos y

situaciones problemáticas con datos de su realidad que le permitan

analizar, reflexionar, explicar y dar sentido y significado al nuevo

conocimiento matemático, para después seguir avanzando hacia las

formas simbólicas que faciliten la abstracción.

El docente debe estar consciente de que lo que los estudiantes han

aprendido, si no se mantiene en uso constante, acabarán por olvidarlo,

por lo tanto, debe promoverles la aplicación de sus conocimientos en la

resolución de problemas. Aquellos estudiantes que han adquirido un

aprendizaje estable de los conocimientos matemáticos desarrollados,

deben aplicarlos con su iniciativa y creatividad a la resolución de

problemas de significación social, cuyos resultados serán utilizados para

satisfacer necesidades de su familia y comunidad. Por ejemplo, pueden

determinar la superficie del terreno de su casa o la superficie de la sala o

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recámara y calcular las cajas de loseta necesarias para ponerles piso.

2.11 Barreras existentes al implementar el Constructivismo

Existen barreras porque la mayoría de las instituciones educativas no han

adoptado reformas educativas, a pesar de la necesidad identificada de

hacer cambios. Las barreras comunes al cambio instrucccional, son la

ansiedad que los cambios crean y los limitados incentivos para que las

escuelas cambien.

Pero existen ciertos obstáculos específicos asociados con el tiempo

limitado de clases, la potencial dificultad de usar el aprendizaje activo en

clases largas y una carencia de materiales, equipos y recursos.

Pero quizás los mayores riesgos, son los propios de un cambio en el

enfoque de enseñanza: que los estudiantes no participen, no acepten las

técnicas o estrategias del profesor, no hagan lo que el enfoque dice, no

usen pensamientos de orden superior o que no aprendan el suficiente

contenido o que en general, no se logren los objetivos oficiales del curso.

Exponiéndose el profesor a críticas fuertes por no utilizar los métodos

tradicionales de enseñanza. Puede existir cierto rechazo del

constructivismo, de parte de los estudiantes más acostumbrados al

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enfoque tradicional, al preguntarles acerca del contenido, ellos pueden

contestar “usted es el maestro, usted díganoslo”

Cada obstáculo, barrera o riesgo puede ser superado mediante una

planeación cuidadosa y pensada. Lo mejor para empezar es seleccionar y

organizar los materiales y actividades con las que nos identifiquemos y

nos sintamos a gusto, principalmente de corta duración, que no sean

demasiado abstractos o controversiales, ni tan ajenos a los estudiantes de

manera que no provoquen su rechazo. Los directivos de instituciones

educativas deben apoyar estas iniciativas de reforma educativa,

reconociendo y recompensando la enseñanza excelente en general y la

adopción de innovaciones instruccionales en particular. Las autoridades

educativas deben reconocer que el trabajo, la responsabilidad y la

creatividad del maestro es una fuerza poderosa para el cambio educativo

positivo, pero sólo puede prosperar si es avalada y apoyada por dichas

autoridades. La reforma educativa debe iniciar por el cambio en como

los estudiantes aprenden y como los maestros enseñan, no con leyes que

emanen de las autoridades educativas o políticas.

El enfoque del constructivismo, entonces, es el estudiante como creador

de aprendizaje autogobernado. Las prácticas educativas que se derivan

de este enfoque están diseñadas para facilitar el aprendizaje de los

estudiantes alimentando sus propias habilidades activas cognitivas. Para

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completar el proceso, un entorno armonioso y de confianza debe

proporcionarse en el salón de clases, de manera tal que puedan crear,

manifestar y compartir sus propias ideas, de manera que el conocimiento

se vea enriquecido para todos los integrantes del grupo.

Premisas Constructivistas en la enseñanza de las matemáticas:

• Todo conocimiento es construido. El conocimiento matemático es

construido, al menos en parte, a través de un proceso de

abstracción reflexiva.

• El aprendizaje colaborativo es el contexto correcto para un curso

de matemáticas.

• La exposición de temas será reemplazada por tareas interactivas

guiadas en el salón de clases y por la resolución de problemas.

• Los libros de texto y la estructura del curso deben apoyar la

estrategia pedagógica del constructivismo.

Surge el siguiente cuestionamiento: si, como dice Brousseau, G. (1986),

la misma estructura axiomática del conocimiento matemático hace que

parezca que está adaptada a la enseñanza, entonces ¿por qué "sufrimos"

tanto profesores como alumnos; unos para impartirla y otros para

aprenderla? El mismo Brousseau contesta: "esta presentación [la

axiomática] obscurece completamente la historia de estos saberes, es

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decir, la sucesión de dificultades y de interrogantes que han provocado

la aparición de los conceptos fundamentales, su uso para plantear

nuevos problemas (...) Enmascara el 'verdadero' funcionamiento de la

ciencia (...) para poner en su lugar una génesis ficticia (...) Las

transpone al contexto escolar."

Existen propuestas didácticas, basadas en posturas constructivistas,

donde se aborda el álgebra básica casi exclusivamente a través de

problemas, pero el desconocimiento y manejo de la base teórica puede

llevar a una aplicación de éstas en la cual se resuelvan problemas y/o

ejercicios problematizados sin una sistematización en el trabajo del

alumno, utilizando procesos de tanteo y al azar, sin alcanzar un verdadero

desarrollo de los conceptos matemáticos.

El no conocer la teoría que las sustenta, nos impide como docentes,

aplicarlas como se debiera, eliminándose la posibilidad de un estudio

sistemático de su uso o, peor aún, produciéndose una adaptación

ineficiente por las características cambiantes de los grupos de educandos.

Es, pues, el conocimiento de la teoría lo que permite su uso, aplicación,

implementación, estudio, análisis y evaluación lo más eficiente y real

posible.

Aplicar este tipo de propuesta conlleva un esfuerzo mayor por parte del

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maestro al que normalmente está acostumbrado, pues debe romper su

esquema de transmisor de conocimientos y convertirse en un

organizador, coordinador, asesor y director del proceso de adquisición

del conocimiento, proceso que le pertenece primordialmente al alumno.

De hecho, este es el reto. No se trata de trabajar menos y delegar toda la

responsabilidad del proceso de su aprendizaje al alumno, sino tomar los

elementos materiales existentes y dirigir lo mejor posible al alumno de

acuerdo a su propio desarrollo.

Dos cosas hay que remarcar y que son indispensables. La primera es

retomar los axiomas de la didáctica que el investigador italiano Bruno

D'Amore postula:

• Axioma de la didáctica, es necesario saber lo que se enseña.

• Axioma de la competencia, es necesario saber más de lo que se

enseña.

• Axioma de la profesionalidad: Es necesario estar dispuesto a

aprender lo que no se conoce, y que se necesita saber.

Estos axiomas fueron presentados durante el seminario "Corrientes

Didácticas sobre Educación Matemática" impartido por el Dr. Bruno

D'Amore en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de

Querétaro, en agosto de 1997.

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Es importante recordar las palabras con que Hans Freudenthal (1988)

termina su conferencia ante el ICME en 1980: "Sí: investigación en la

educación", con lo que hace responsable al docente no sólo de impartir

clases de matemáticas, sino de investigar y explicar razonablemente (con

bases teóricas válidas) qué ocurre en su salón de clases. Es decir, el

nuevo papel del docente es el de ser docente-investigador.

2.12 Modelo Constructivista de la Enseñanza de las Matemáticas

La mayoría de las teorías de aprendizaje y de enseñanza concuerdan en

los puntos siguientes:

• La educación debe estar centrada en el estudiante. • El estudiante tiene que tener un papel activo. • Los conocimientos previos son indispensables para lograr

nuevos aprendizajes. • Los conocimientos para ser aprendidos tienen que ser

reconstruidos por los aprendientes. • El aprendizaje se da cuando se les provoca a los

estudiantes un desequilibrio mediante un conflicto cognitivo. En el caso de matemáticas, mediante el planteamiento y la resolución de problemas.

• Los conocimientos no se consideran como acabados y absolutos.

• El objetivo de la enseñanza es lograr aprendizajes significativos en los estudiantes.

• La motivación y la confianza son muy importantes.

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• La evaluación es un proceso que regula el proceso de aprendizaje.

• El papel principal del maestro es el de ser un facilitador del aprendizaje.

• El proceso de aprendizaje se ve influenciado por el entorno social. Por esto, el aprendizaje colaborativo es el más adecuado, y este se da cuando los estudiantes no ven a sus compañeros como competidores sino como recursos de aprendizaje.

En base a lo anterior y a los fundamentos establecidos en este

capítulo, se propone el siguiente Modelo Constructivista de la

Enseñanza de las Matemáticas, el cual se utilizó en las sesiones de

clase:

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Resolución de Problemas

Manipulación Concreta

Manipulación Teórica

Ejemplos Modelos Sugerencias y Orientaciones

Exposición de Resultados

Discusión en Grupo

REALIMENTACIÓN

Evaluación y Autoevaluación

Figura 5. Modelo Constructivista utilizado en las sesiones de clases

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2.12.1 Explicación del Modelo

Este modelo se utilizará para las sesiones de clase. La enseñanza de las

matemáticas se centra en la resolución de problemas, pero antes de

exponer la cuestión teórica –manipulación teórica--, primero los

estudiantes tienen que dibujar, esquematizar, medir, graficar, formar,

armar, modelar o cualquier otra acción que permita comprender el

enunciado y los datos del problema –manipulación concreta —La

manipulación y visualización ayuda mucho a que se comprendan las

cuestiones teóricas y simbólicas. Después de esto, ahora se puede

proceder a exponer toda la cuestión teórica: reglas, simbología,

operaciones, restricciones y aplicaciones, explicando a detalle y todos los

casos posibles que pueden presentarse –se debe enseñar sin egoísmo,

dando todo y sin guardarse nada—Este modelo y ningún otro funcionan

si el maestro no domina los temas de su asignatura, ya que se tiene que

exponer claramente, sin contradicciones y en forma general los

contenidos y los ejemplos. Después de la explicación teórica, se deben

dar uno o dos ejemplos modelos completos, que en forma general ilustren

los contenidos de aprendizaje que se quieren lograr. Luego se les

plantean a los estudiantes problemas que generen conflictos cognitivos de

los contenidos enseñados y se les va orientando y haciendo sugerencias

en forma de preguntas –siempre y cuando esto sea necesario--, utilizando

el método propuesto por Polya (1979). Al final, los estudiantes exponen

los resultados hallados y discuten en grupo sobre los aciertos y los

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errores, esto los realimenta mientras el maestro los evalúa y les pide a los

estudiantes que se autoevalúen. Este modelo es cíclico ascendente, lo

cual significa que a los estudiantes cada vez les será más fácil resolver

problemas.

2.12.2 Pautas a seguir en la Resolución de Problemas.

Como dice Polya (1979) «sólo los grandes descubrimientos permiten

resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un

poco de descubrimiento»; Si se resuelve un problema y llega a excitar

nuestra curiosidad, «este tipo de experiencia, a una determinada edad,

puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el

espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».

Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un

conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven

necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga

solución). Es innegable que hay personas que tienen más capacidad para

resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida.

Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera

inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen

resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los

procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se

manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento

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y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de

problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el

que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los

procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.

Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1979) de

las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que

constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores.

2.12.3 Las Cuatro Fases de solución de problemas de George Polya

• Comprender el problema

• Idear un plan o estrategia.

• Ejecutar ese plan.

• Mirar hacia atrás, es decir, verificar los resultados.

Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de

problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en

un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a

utilizar los instrumentos que conozca, con lo que nos encontramos en un

nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre

quienes resuelven bien problemas y los demás.

Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld

(1984) da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente, que agrupa

en tres fases, y que extractamos:

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ANÁLISIS.

1. Trazar un diagrama.

2. Examinar casos particulares.

3. Intentar simplificar el problema.

EXPLORACIÓN.

1. Examinar problemas esencialmente equivalentes.

2. Examinar problemas ligeramente modificados.

3. Examinar problemas ampliamente modificados.

COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.

1. ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?:

a) ¿Utiliza todos los datos pertinentes?

b) ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?

c) ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio

de escala?

2. ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?:

a) ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?

b) ¿Puede quedar concretada en casos particulares?

c) ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?

d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?

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Primero Comprensión del problema

Comprender el problema ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible cumplir las condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para hallar la incógnita?, ¿Son insuficientes?, ¿Son redundantes?, ¿Son contradictorias? Represente el problema con una figura. Adopte una notación adecuada. Separe las diferentes partes de las condiciones, ¿Puede ponerlas por escrito?

Segundo Concepción de un plan

escubrir las relaciones entre los datos y la incógnita. Puede verse obligado a tomar en cuenta problemas auxiliares si no encuentra una relación inmediata. Debe llegar a tener un plan de resolución

¿Se ha encontrado antes con el problema?, ¿Lo ha visto de forma diferente?, ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Revise la incógnita. Intente recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual o parecida. ¿Puede replantearse el problema? Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que se relacione con el mismo. ¿Puede imaginarse un problema más sencillo, relacionado con éste?, ¿Algún problema más general?, ¿más particular?, ¿Análogo? ¿Puede resolver alguna parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone la otra parte. ¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita, cómo puede variar? ¿Podría extraer algo

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práctico a partir de los datos? ¿Puede pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la incógnita esté más próxima a los datos nuevos? ¿Ha utilizado todas las condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los elementos esenciales que intervienen en el problema?

Tercero Ejecución del plan

Llevar a cabo un plan Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?

Cuarto Verificación

Examinar la solución obtenida ¿Puede comprobar el resultado? ¿Puede comprobar el razonamiento? ¿Puede percibirlo a simple vista? ¿Puede utilizar el resultado o el método para algún otro problema?

Tabla 1. Las Cuatro Fases de Solución de Problemas de George

Polya

Una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar

en la resolución de problemas, Según S. Fernández (1992) serían:

• Prueba y error.

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• Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más

sencillo.

• Manipular y experimentar manualmente.

• Descomponer el problema en pequeños problemas

(simplificar).

• Experimentar y extraer pautas (inducir).

• Resolver problemas análogos (analogía).

• Seguir un método (organización).

• Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación).

• Hacer recuento (conteo).

• Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico,

gráfico, numérico (codificación, expresión, comunicación).

• Sacar partido de la simetría.

• Deducir y sacar conclusiones.

• Conjeturar.

• Analizar los casos límite.

• Reformular el problema.

• Suponer que no (reducción al absurdo).

• Empezar por el final (dar el problema por resuelto).

Hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución

de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática.

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2.12.4 Rasgos que caracterizan a los Buenos Problemas

• No son cuestiones con trampas ni acertijos. Es importante hacer

esta distinción en la enseñanza porque los alumnos, cuando se les

plantean problemas, tienden a pensar que si no hay (o al menos

ellos no lo recuerdan directamente) un algoritmo para abordarlos

ni se les ocurre ningún procedimiento, seguro que lo que sucede

es que tiene que haber algún tipo de truco o trampa. La práctica

sistemática resolviendo problemas hace que esa percepción

habitual vaya cambiando.

• Pueden o no tener aplicaciones, pero el interés de los problemas

es por el propio proceso. Los buenos problemas suelen llevar a

desarrollar procesos que, más tarde, se pueden aplicar a muchos

otros campos.

• Representan un desafío a las cualidades deseables en un

matemático. Parece obvio para todo el mundo que existen unas

cualidades que distinguen a las personas que resuelven problemas

con facilidad, que coinciden en líneas generales con las

cualidades propias de los matemáticos.

• Una vez resueltos apetece proponerlos a otras personas para que a

su vez intenten resolverlos. Pasa como con los chistes que nos

gustan, que los contamos enseguida a otros, y así se van formando

cadenas que explican su rápida difusión. Lo mismo sucede con

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los buenos problemas.

• Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin

capacidad de reacción. Puede pasar que alguna solución parcial

sea sencilla o incluso inmediata.

• Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difícil de explicar

pero agradable de experimentar. La componente de placer es

fundamental en todo desafío intelectual, si se quiere que sea

asumido con gusto y de manera duradera. Incluso, en la

enseñanza, la incorporación de esos factores a la práctica diaria

pueden prefigurar la inclinación de los estudios futuros. Y no hay

que olvidar que las matemáticas son de las materias que no dejan

indiferente, se les quiere o se les odia (como aparece en múltiples

estudios). Por ello más vale que introduzcamos refuerzos

positivos para hacer que aumenten los que las aprecian.

2.12.5 Ejemplo del uso del Método de Polya

Problema: En una construcción de una casa se van a emplear ventanas en

forma de rectángulos coronados por semicírculos. Si el perímetro total

debe ser P, encontrar las dimensiones más convenientes para que las

ventanas proporcionen la máxima iluminación.

¿Cuál es la incógnita? Las dimensiones de una ventana mixta de

rectángulo y semicírculo cuya área debe ser máxima.

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¿Cuáles son los datos? Los datos son la geometría de la ventana

(rectángulo y semicírculo) y el perímetro P.

¿Cuál es la condición? Que la iluminación proporcionada sea máxima, lo

cual se logra si el área de la ventana es máxima.

¿Cuál es la notación que usarás? Para el radio del semicírculo usaré r y

para la altura de la parte rectangular usaré h.

¿Puedes hacer una figura? Si y es la siguiente:

2r

h

r

Figura 6. Bosquejo de la Ventana del Problema

¿Cuál es la condición que relaciona r con h? Es el perímetro que está

dado por:

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rectángulo

sem icírcu lo

to tal

P 2(2 r ) 2 h 4 r 2 h

1 1P D (2 r ) r2 2

P 4 r 2 h r (4 ) r 2 hP (4 ) r 2 h .........(E 1)D espejando h de esta ecuación , queda:

P -(4 ) rh= ...........(E 2)2

= + = +

= π = π = π

= + + π = + π += + π +

+ π

¿Es suficiente la condición para determinar la incógnita? No,

necesitamos obtener el área de la ventana, la cual está dada por:

rectángulo

2sem icírcu lo

2to tal

2

2 2

A 2 rh

1A r2

1A 2 rh r2

S ustituyendo h en esta ecuación , queda:P -(4 ) r 1A = 2r r

2 21A = P r-(4 ) r r ...........(E 3)2

=

= π

= + π

+ π⎡ ⎤ + π⎢ ⎥⎣ ⎦

+ π + π

¿Conoces algún problema similar? Si, he resuelto algunos problemas

similares en cálculo diferencial cuando he hallado el área máxima de

polígonos regulares, usando el proceso de obtención de máximos y

mínimos, se tiene:

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D erivando , queda:dA 1= P -2(4 ) 2( )dr 2

Igualando a 0 la derivada, queda:1P -2(4 ) 2( ) 02

-2(4 )r(-8 2 )

(8 ) ( 8)

r r

r r

r r PP

P Pr

π π

π π

π ππ π

π π

+ +

+ + =

+ + = −− + = −

−= =

− + +

¿Cuál es el valor de h? Si sustituimos el valor hallado para r cuando es

óptimo, encontramos el valor óptimo de h, esto es:

h =P - (4 + π )

Pπ + 8

2=

P (π + 8) − P ( 4 + π )π + 8

2

h =

πP + 8 P − 4P − π Pπ + 8

2=

4 Pπ + 8

21

=4 P

2(π + 8)

h =2P

π + 8= 2r

Es decir, las dimensiones que hacen el área máxima es un cuadrado de

lado 2r y un semicírculo cuyo radio es r y por lo tanto su diámetro es

igual a 2r.

Esto es:

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2r

2r

r

Figura 7. Ventana de Área Máxima

El área máxima pedida es:

A total = 2r (2 r ) +12

πr 2

A total = 4 r 2 + 12

π r 2

A = (4 +12

π )r 2 =(π + 8)r 2

2

Diferencia entre Problema y Ejercicio

Hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio". No

es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. Un ejercicio

sirve para ejercitar, practicar o reforzar el aprendizaje de un algoritmo o

un método, pero no sirve para aportar ningún conocimiento nuevo. En

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cambio, el problema implica un grado de dificultad y una profundidad

mayor, lo que requiere mayor tiempo para resolverlo y obliga a realizar

siempre una investigación. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma

más o menos mecánica como se hace en el ejercicio, evitando las

dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más

complejas, y otra, resolver un problema, dando una explicación coherente

a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. La respuesta

suele ser única, pero la estrategia resolutoria está determinada por

factores madurativos o de otro tipo. De hecho, el ejercicio no requiere la

elaboración de un plan o una estrategia, ya que sólo es necesario aplicar

el método conocido para resolverlo.

La estrategia de resolución de problemas es mucho más rica que la

aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto

donde los datos guarden una cierta coherencia. Desde este análisis se han

de establecer jerarquías: ver qué datos son prioritarios, rechazar los

elementos distorsionadores o distractores, escoger las operaciones que los

relacionan, estimar el rango de la respuesta, identificar la incógnita,

establecer un plan o estrategia, ejecutar el plan y comprobar los

resultados obtenidos.

Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son

las dificultades de comprensión lectora. La tendencia de operar todos los

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datos presentados, venga o no a cuento, certifica esta falta de

comprensión global. Por otra parte, los alumnos resuelven mejor los

problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. Ello constituye un

error pedagógico muy frecuente, porque cuanto más facilitemos los

docentes el aprendizaje, menor será el esfuerzo del alumno por aprender

y por tanto menor será el aprendizaje. La lectura correcta es el

prerrequisito fundamental para aprender matemáticas y ciencias en

general.

2.12.6 Ejemplos de Aplicación del Modelo Propuesto

TEMA ENFOQUE CONSTRUCTIVISTA

Operaciones

con números

fraccionarios

Primero los estudiantes realizan las operaciones

gráficamente, dibujando las fracciones como segmentos

de círculos o cuadriláteros, posteriormente, el maestro

expone las reglas y ejemplos, inmediatamente después

se realizan ejercicios.

Solución de

Triángulos

Rectángulos

Primero los estudiantes al azar dibujan triángulos

rectángulos, luego miden con regla y transportador sus

lados y sus ángulos. Posteriormente, el maestro expone

el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas,

da ejemplos generales, luego pide que resuelvan los

triángulos dibujados por ellos, considerando que

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conocen 2 lados, 1 lado y un ángulo. Ellos ya tienen los

resultados por la medición previa que hicieron y con

esto los comprueban y también validan la teoría y

comprenden su utilidad, así como las ventajas del

método analítico. La desventaja para el docente que no

sabe, es que los estudiantes descubrirán si el docente

les enseñó incorrectamente o les mintió.

Triángulos

Oblicuángulos

Primero los estudiantes dibujan triángulos

oblicuángulos, luego miden sus lados y sus ángulos.

Posteriormente, el maestro expone La ley de los senos

y la ley de los cosenos, da ejemplos generales, luego

pide que resuelvan los triángulos dibujados por ellos,

considerando los casos donde se conocen 3 lados, 2

lados y un ángulo y 2 ángulos y 1 lado. Ellos ya tienen

los resultados por la medición previa que hicieron y

con esto los comprueban y también validan la teoría y

comprenden su utilidad, así como las ventajas del

método analítico

Geometría

Analítica

Primero se grafican los datos o valores conocidos y

después se procede a la solución teórica.

Tabla 2. Ejemplos de Aplicación del Modelo Propuesto.

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Al plantear un problema, primero el estudiante tiene que comprenderlo

mediante algún bosquejo o esquema que muestre los datos y los valores

desconocidos. Si es posible, se debe hacer algún modelo, una gráfica o

cualquier medición o manipulación concreta. Después, se puede pasar a

formar el modelo matemático y los procedimientos necesarios para

resolverlo.

El papel de los errores

Si aceptamos que el alumno trata siempre de aplicar sus conocimientos

previos a nuevas situaciones: extendiéndolos, generalizándolos y

modificándolos cuando sea necesario, tendremos que aceptar que estos

intentos pueden llevarlos por caminos incorrectos; el resultado será lo

que tradicionalmente se conoce como un "error". Sin embargo, estos

errores son justamente, el medio para que el alumno confronte sus

conocimientos, los modifique y elabore nuevos conceptos que de ninguna

manera deben ser considerados como fracasos. Cuando a Thomas Alva

Edison le preguntaron que si no se cansaba de cometer errores al inventar

el foco, el contestó que no eran errores, sino que había descubierto diez

mil maneras de cómo no hacer un foco.

Por esto, "aprender de los errores" es una de las máximas

constructivistas.

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Difícilmente se podrá exagerar el papel del error en el aprendizaje. Si un

conocimiento produjera siempre resultados exitosos y si fuera útil para

aplicarlo en cualquier situación, no habría ninguna necesidad de

modificarlo. Pero ese tipo de conocimientos no existe. Siempre en todos

los niveles, los conceptos se modifican, evolucionan, se relacionan con

otros conceptos, dan lugar a nuevas interpretaciones, a nuevas

aplicaciones y a nuevas explicaciones. Es en el momento de confrontarse

a nuevas situaciones cuando aparece un error, el cual hace que el

concepto experimente una reestructuración, que nos lleva a un nivel

superior del conocimiento.

Quitarle al error la connotación negativa [como fracaso] es una tarea del

docente, ardua pero necesaria. El estudiante no debe decepcionarse al

cometer errores, por el contrario, debe sentirse estimulado para continuar

la búsqueda hasta alcanzar los resultados que le convenzan y sean

consistentes con el conocimiento establecido.

2.12.7 Ejemplo completo del modelo de enseñanza constructivista de las matemáticas

Problema: Se desea construir una caja sin tapa de volumen máximo, a

partir de una lámina cuadrada de 13 cm. de lado, cortando 4 esquinas

cuadradas iguales y doblando hacia arriba las 4 partes laterales.

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Nota: este problema es clásico en el Cálculo Diferencial y puede

abordarse también de esta manera y posteriormente utilizando la

derivada; en este caso solo lo planteamos hasta su expresión algebraica,

ya que se está utilizando en el tema Funciones y sus Gráficas de

Matemáticas I. Pueden usarse otras dimensiones, pero de antemano el

docente tiene que saber donde ocurre el máximo volumen, que en este

caso es en x = 13/6 cm. = 2.1667 cm. con un volumen máximo de V =

4394 / 27 = 162.7407 cm3.

Primero se les pide a los estudiantes que se integren en equipos. Después

se les pide que dibujen la figura que representa al enunciado del

problema. Dicha figura debe ser semejante a la siguiente, no pudiendo

avanzar ningún equipo hasta que haya dibujado correctamente su figura,

lo que significa que han comprendido el problema.

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X

X

X

X

X X

XX

13.00

13.00

Figura 8. Bosquejo del Problema planteado

Si algún equipo no puede dibujar la figura, se les debe pedir que acudan a

otro equipo que ya la dibujó correctamente, con esto estaremos

socializando el conocimiento. En caso de que ningún equipo lo logre

dibujar, entonces el docente haciendo uso de la mejor aproximación de

algún equipo debe completarla y presentarla al grupo.

Se les entrega cartulina, pegamento, regla y tijeras y a cada equipo se le

pide que forme su caja sin tapa recortando las esquinas de acuerdo a la

medida que el docente les asigna: 1 cm., 1.5 cm., 2 cm., 2.5 cm., 3 cm.,

3.5 cm., 4 cm., 4.5 cm. Estos valores son anteriores y posteriores al

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óptimo. Cada equipo debe medir y marcar las esquinas de acuerdo a la

medida que se les dio, dobla las partes que quedan y pega las aristas,

miden la longitud, el ancho y el alto de su caja y calculan su volumen. La

caja debe quedar de la forma siguiente:

Figura 9. Caja de papel construida por los estudiantes

El docente coloca en el pizarrón una cartulina cuadriculada previamente

hecha por él, con escalas diferentes en los ejes horizontal (lado x) y

vertical (Volumen de la caja) y pide a cada equipo que marque un punto

de acuerdo a su lado dado (x) y a su volumen obtenido (V). Después, que

todos los equipos han dibujado sus puntos, el docente verifica los puntos

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y su ubicación en la grafica, después los une formando una curva

suavizada. Ahora pide a los estudiantes que ubiquen el punto más alto de

la gráfica (Volumen máximo) y su lado x correspondiente. Estos serán la

longitud de la esquina y el volumen máximo pedidos.

Figura 10. Gráfica del Volumen Máximo.

Después que terminó la manipulación, procedemos ahora al

planteamiento teórico, en el cual se formará el modelo matemático, por lo

tanto será necesario trabajar con las variables, pero tenemos la ventaja de

que el estudiante ya manipuló el problema, por lo tanto no les cuesta

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trabajo llegar al esquema siguiente:

Figura 11. Bosquejo para formar el Modelo Matemático

Cuyo volumen se expresa como: V = (13 - 2·x)·(13 - 2·x)·x

Se les pide que la desarrollen, obteniendo: V = 4·x3 - 52·x2 + 169·x

Ahora se les pide que grafiquen la función en el intervalo de 0 a 6.5 en

incrementos de 0.5 y comprueben la validez del modelo matemático. Por

ejemplo, físicamente si el lado del cuadrado (x) vale 0 o 6.5 cm. el

volumen de la caja es igual a cero, lo que se comprueba por que en la

expresión sustituyendo estos valores hallan también que el volumen es

cero. Antes del valor óptimo de x, el volumen va aumentando y después

del óptimo empieza a decrecer hasta llegar a cero, que es lo mismo que se

encontró en la manipulación.

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CAPÍTULO III Metodología

3.1 Introducción

Primero se realizaron estudios exploratorios para obtener información

suficiente para definir las variables del estudio, que permitan formular

con precisión las hipótesis de trabajo. Dichos estudios se hicieron

mediante encuestas, cuestionarios y un examen de conocimientos al

principio del semestre, con el objeto de obtener lo ya mencionado y el

diagnóstico inicial del problema en estudio. Dichos instrumentos se

aplicaron a los alumnos de los grupos piloto y a los grupos testigo. Al

término del semestre, se aplicaron nuevamente instrumentos similares a

los participantes mencionados, llamándosele a ésta técnica diseño pre-

postest.

Para probar o rechazar las hipótesis se utilizó el diseño de dos grupos: los

grupos piloto y los grupos testigo. Obviamente, estos últimos grupos no

reciben ninguno de los valores considerados como variable

independiente: la enseñanza y el entorno constructivista, sino que son

grupos normales en un entorno y enseñanza tradicional, que para no

sesgar la información fue enseñado por otro maestro ajeno a la presente

investigación.

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El diseño pre-postest es uno de los diseños de investigación mas

utilizados en el campo educativo, pues permite obtener resultados claros

mediante un procedimiento relativamente sencillo. También, por lo

general, éste tipo de diseño se emplea para evaluar la introducción de

nuevos métodos y técnicas de enseñanza –como es el presente caso: Se

desea evaluar el impacto del enfoque y entorno constructivista en la

enseñanza de la aritmética y álgebra comparado con la enseñanza

tradicional. El diseño de investigación fue:

Pre-test Variable Independiente Post-test

Y1 X Y2

En este caso:

Grupos piloto: Pre-test -----Enseñanza constructivista ---- Pos-test

Grupos testigo: Pre-test------ Enseñanza tradicional -------- Pos-test

En primer lugar, se tuvieron que medir las habilidades matemáticas de

los estudiantes que van a participar en el estudio como grupos piloto y

testigo (pre-test), antes de que sean sometidos a la nueva técnica. En

segundo lugar, al término del semestre nuevamente se evaluaron las

habilidades matemáticas de los estudiantes participantes en el estudio

(pos-test). Es evidente, que el grupo testigo fue sometido a la enseñanza

tradicional y no contó con los recursos y técnicas didácticas utilizadas en

los grupos piloto. Si lo resultados muestran un mejor desempeño del

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grupo experimental o piloto, quedarían confirmadas las hipótesis

planteadas. Sin embargo, si el desempeño en ambos grupos fuera igual o

muy semejante, se tendría que rechazar la hipótesis alternativa.

3.2 Técnicas de Recolección de Datos

Se usó la técnica de interrogación, la cual se emplea para indagar

directamente de los sujetos la información necesaria para medir las

variables pertinentes. La interrogación se realizó mediante los

instrumentos previamente determinados para este fin, tales como

entrevistas, encuestas, cuestionarios o tests y exámenes.

3.3 Población

Alumnos de Bachillerato Tecnológico del Centro de Bachillerato

Tecnológico industrial y de servicios No. 134, de la Ciudad de

Chilpancingo, Capital del Estado de Guerrero.

3.4 Muestra

Las muestras deben ser representativas de la población, de manera que

permitan obtener conclusiones válidas para toda la población. Las

muestras utilizadas son equiprobables, es decir, todos los individuos que

forman la muestra tienen las mismas probabilidades de formar parte de la

muestra. Se utilizó el método aleatorio y por conglomerado, que es el que

se presenta en los salones de clase, cuando los individuos de la población

constituyen agrupaciones naturales.

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Los grupos experimentales a los que se les proporcionaron enseñanza

constructivista dentro de un entorno constructivista, fueron dos grupos de

primer semestre del bachillerato tecnológico, que cursaron la asignatura

de Matemáticas I que comprende aritmética y álgebra. Dichos grupos

fueron: 1º “D” del bachillerato Físico-Matemático y el 1º “C” del

bachillerato Químico-Biólogo. Se escogieron de bachilleratos distintos

para una mayor representatividad de la muestra.

Los grupos testigo a los que se les proporcionó una enseñanza tradicional

dentro de un entorno tradicional, fueron dos grupos de primer semestre

del bachillerato tecnológico, que cursaron la asignatura de Matemáticas I

que comprende aritmética y álgebra. Dichos grupos fueron: 1º “C” del

bachillerato Físico-Matemático y el 1º “D” del bachillerato Químico-

Biólogo, de bachilleratos distintos para una mejor representación.

TAMAÑO DE LA MUESTRA: 2 Grupos de 40 alumnos cada uno. Los

2 Grupos testigo también fueron de 40 alumnos.

Validez de la Investigación: A fin de evitar la ambigüedad o el sesgo,

para valorar los efectos de factores que pudiesen amenazar la validez

interna de la investigación, se utilizaron grupos enseñados por otro

docente, ajeno a los propósitos de esta investigación y se escogieron los

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grupos al azar, tanto los experimentales como los grupos testigos.

Confiabilidad de los Instrumentos: Fueron elaborados y aplicados por

el investigador directamente.

3.5 Instrumentos

Los instrumentos aplicados en está investigación fueron:

1. Evaluación diagnóstica o Pre-test.

2. Evaluación Final o Post-test.

3. Prueba sobre Aprendizaje Significativo.

El modelo usado está basado en la teoría constructivista y el que se

utilizó durante la investigación es el siguiente:

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Figura 12. Modelo General de Enseñanza Constructivista

3.6 Modelo General de Enseñanza Constructivista

El constructivismo establece que para que los estudiantes puedan

construir sus propios conocimientos, necesitan relacionarlos con sus

conocimientos previos o existentes. Por esto, antes de iniciar un curso o

un tema nuevo, el docente tiene que asegurar el nivel de partida, esto lo

hace aplicando una evaluación diagnóstica que realmente muestre si los

estudiantes poseen los conocimientos previos mínimos para aprender los

temas siguientes o para iniciar un nuevo curso. De no poseer los

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conocimientos previos suficientes, el docente tiene la función de

proporcionar dichos conocimientos mediante instrucción o la obligación

de buscar los materiales y actividades necesarias para que los estudiantes

se apropien de los conocimientos mencionados. A esta etapa se le llama

realimentación.

Cuando la etapa de conocimientos previos se ha superado, entonces se

pasa a la etapa de construcción de significados, en la cual el docente deja

su papel tradicional de instructor y se debe convertir en un facilitador del

aprendizaje. El cambio en el entorno del salón de clases tradicional a un

salón de clases constructivista, no implica un cambio físico del aula, sino

un cambio en su atmósfera y en la forma de trabajar los contenidos y las

actividades. Se cambia el trabajo individual por el trabajo en equipo, el

docente promueve un ambiente armonioso y de confianza, donde se

socializa el conocimiento; todos participan y comparten lo que saben, sea

correcto o incorrecto. También, cambia el alumno, de un ser pasivo

cambia a uno totalmente activo, que responsablemente participa en su

aprendizaje.

La enseñanza de las matemáticas se centra en la resolución de problemas;

por esto, el nuevo papel del maestro no es transmitir información o

contenidos mediante la exposición, sino la de seleccionar, organizar y

diseñar: materiales, recursos, actividades y problemas que permitan a los

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estudiantes lograr aprendizajes significativos.

Durante toda esta etapa de construcción de conocimientos, están

presentes la evaluación formativa y sumativa, las cuales permiten

controlar y corregir el proceso de aprendizaje, además de que

paralelamente lo van evaluando. La evaluación es un proceso al igual que

el aprendizaje lo es y ambos procesos siempre se dan en forma conjunta y

jamás en forma separada o aislada; la evaluación es continua y

permanente. Pero debido al cambio de enfoque tradicional al

constructivista, también la evaluación debe adquirir las características de

una evaluación constructivista.

Si se llevó con éxito la construcción de significados, entonces puede

afirmarse que los estudiantes adquirieron aprendizajes significativos,

cuyas características principales son: permanentes –almacenados en la

memoria de largo plazo--, les son útiles e importantes a los estudiantes, y

sobre todo tienen aplicación no sólo para resolver problemas de la vida

real, sino que los conocimientos aprendidos se aplican en otras

asignaturas.

3.7 Obtención de Resultados

Para obtener los resultados de la presente investigación se realizaron:

1. Un examen de diagnóstico antes de iniciar el curso semestral de la

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asignatura de Matemáticas I (Aritmética y Álgebra). El mismo

examen se le aplicó a los 2 grupos experimentales y a los 2

grupos testigo.

2. 3 evaluaciones parciales cada 2 meses aproximadamente y 1

examen final, tanto a los 2 grupos experimentales y a los 2 grupos

testigo. La diferencia entre ambos tipos de grupo fue el enfoque y

el entorno constructivista de la enseñanza para los experimentales

y la forma tradicional para los grupos testigo. Adicional, a esto a

los grupos experimentales se les aplicó una evaluación continua

constructivista.

3. A los tres meses de terminado el curso semestral a los 4 grupos

mencionados, se les aplicó una misma evaluación significativa,

con el objeto de determinar la efectividad de la enseñanza y

enfoque constructivista; principalmente en los rubros de

aplicación y duración de los aprendizajes.

3.8 Pruebas Estadísticas

Las pruebas estadísticas que se emplean en el campo educativo, sólo

tienen sentido en la medida que se comprende su papel en la evaluación

de datos experimentales. Es decir, por sí mismas no prueban ni justifican

nada, sólo son útiles cuando se les usa para poner a prueba una pregunta

o hipótesis de investigación. Un diseño de investigación, es el arreglo de

las condiciones de investigación de acuerdo a la hipótesis planteada, la

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cual se expresa en términos de una relación entre dos o más variables. En

este sentido, el propósito primordial de la estadística es someter a prueba

las diferencias predichas por la hipótesis para concluir si son

significativas o no; si las diferencias no son significativas, se debe

rechazar la hipótesis.

3.9 Hipótesis

Una hipótesis anticipa un resultado, es decir, es una conjetura sobre la

relación de al menos dos variables. Existen dos tipos de hipótesis:

Hipótesis alternativa e hipótesis nula. Precisamente, el resultado que

anticipamos se denomina hipótesis alternativa. La hipótesis que enuncia

resultados en contra de lo esperado, se denomina hipótesis nula. La

lógica de este razonamiento es simple: la hipótesis alternativa predice un

resultado esperado, pero si no existiera la posibilidad de que el resultado

de una investigación contradijera la hipótesis ¿para qué gastar en tiempo

y recursos para hacer la investigación? Lo cierto, sin embargo, es que

siempre existen márgenes de error, los fenómenos no siempre se

comportan como uno lo supone. Por ello, la ciencia se desarrolla

mediante un proceso constante de autocorrección. En este sentido,

cuando se plantea una hipótesis, no solo se enuncia la hipótesis que

describe el resultado que se espera, sino que también se enuncia la

hipótesis nula que señala que no habrá ningún efecto o cambio

significativo producido por el manejo de la variable independiente.

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Una hipótesis científica, de acuerdo a McGuigan (1977: 53), es una

afirmación comprobable de una relación potencial entre dos o más

variables. Las hipótesis son posibles soluciones al problema planteado,

expresadas en forma de proposición. Las hipótesis ejercen una función

orientadora; son como una guía que ayuda a no perderse en el largo

proceso de la investigación científica.

En este caso, las hipótesis son:

HIPÓTESIS ALTERNATIVA H1: Los alumnos de los grupos piloto --

experimentales-- que reciban enseñanza con un enfoque y entorno

constructivista, obtendrán mejores aprendizajes significativos en

Matemáticas I respecto a los alumnos de los grupos testigo que usen la

enseñanza tradicional.

HIPÓTESIS NULA Ho: Los alumnos de los grupos piloto –

experimentales—que reciban enseñanza con un enfoque y entorno

constructivista, no tendrán diferencias notables en su aprendizaje

significativo en Matemáticas I respecto a los alumnos de los grupos

testigo que usen la enseñanza tradicional.

En estadística inferencial suele ser habitual la aplicación de pruebas de

significación estadística, también denominadas pruebas de contraste o

decisión. Estas pruebas sirven para determinar la existencia de

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diferencias entre grupos, la dependencia de variables, el ajuste de

distribuciones observadas a distribuciones teóricas, etc.

Las pruebas de significación tienen como punto de partida el

establecimiento de una hipótesis estadística. Estas son las que se someten

a comprobación en las pruebas de significación. Las hipótesis estadísticas

son dos:

Hipótesis Nula (H0): la diferencia es estadísticamente nula. Las

diferencias observadas son debidas a las oscilaciones del azar.

Según sean los estadísticos que se desean contrastar, la expresión de la

hipótesis nula toma diversas formas, por ejemplo:

1 2 1 1 2 o

1 2 1 1 2 o

X X , X p, p p , p pO lo que es lo mismo:

X X 0, X p 0, p p 0, p p 0

= = = =

− = − = − = − =

Hipótesis Alternativa (H1): las diferencias observadas no pueden ser

explicadas por las oscilaciones del azar; es decir, las diferencias son

estadísticamente significativas.

La expresión análoga al ejemplo anterior sería:

1 2 1 1 2 o

1 2 1 1 2 o

X X , X p, p p , p pO lo que es lo mismo:

X X 0, X p 0, p p 0, p p 0

≠ ≠ ≠ ≠

− ≠ − ≠ − ≠ − ≠

En una prueba de significación lo que se somete a comprobación siempre

es la hipótesis nula, ya que según un principio general de estas pruebas,

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todas las diferencias son debidas al azar mientras no se demuestre lo

contrario. El rechazo de la hipótesis nula supone automáticamente

aceptar la hipótesis alternativa.

Errores y Riesgos

En una prueba de significación se toma una decisión respecto a la

hipótesis nula. La decisión a la que se llega siempre lleva asociado un

riesgo de error. Existen dos posibilidades de equivocarse, que reciben los

nombres de “Error tipo I” (con un riesgo α) y “Error tipo II” (con un

riesgo β). Estos se resumen en la tabla siguiente:

Tabla 3. Errores al aceptar o rechazar la Hipótesis Nula

El error tipo I se comete cuando se rechaza la hipótesis nula, siendo en

realidad verdadera. La probabilidad de cometer un error tipo I viene

representado por α, a la que se le denomina “nivel de significación”. Este

se fija a priori y convencionalmente suele tomar los valores de 0.05 (5%)

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y 0.01 (1%). Generalmente, para los experimentos educativos se toma el

primer valor de 0.05, lo que equivale a un intervalo de confianza del 95

%.

El error de tipo II se comete cuando se acepta la hipótesis nula cuando en

realidad es falsa. La probabilidad de cometer un error de tipo II se llama

riesgo β. Este riesgo es siempre desconocido, puesto que no se conocen

los parámetros de la población.

Nivel y Grado de Significación

El nivel de significación es el riesgo de error que se está dispuesto a

asumir en caso de rechazar la hipótesis nula. En Ciencias Sociales,

habitualmente y de forma convencional, suelen elegirse niveles de

significación de 0.05 y de 0.01. Es decir, con un 5% o un 1% de errores

posibles en el momento de rechazar la hipótesis nula.

El grado de significación “p” es la probabilidad de error al rechazar la

hipótesis nula. Cuanto más pequeña es p, más probable será que la

hipótesis nula sea falsa. Este grado indica la probabilidad de error

calculada al rechazar la hipótesis nula.

• Si p > α Nada se opone en aceptar la Ho

• Si p ≤ α Se rechaza la Ho con p = (valor obtenido)

Los paquetes de programas estadísticos ofrecen siempre el grado de

significación, en función del cual el investigador toma una decisión.

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Datos independientes y datos relacionados

Cuando en una investigación se asignan los sujetos a distintos grupos al

azar se dice que se trata de “Datos Independientes”. También, se habla de

muestras independientes con el mismo significado. Por el contrario, se

habla de “Datos Relacionados” cuando se cumple uno de los requisitos

siguientes:

Se utilizan los mismos sujetos en todas las mediciones

Se utilizan distintos sujetos pero igualados respecto de la variable o

variables que se desean estudiar; en este caso, se habla también de “datos

apareados”.

En los datos relacionados se espera que haya una correlación entre los

pares de puntuaciones.

Pruebas Paramétricas

Estas pruebas se pueden aplicar con variables que cumplen unos

requisitos denominados “supuestos paramétricos”. Los cuales son:

• La variable dependiente es cuantitativa continua, medida por lo

menos, en una escala de intervalo.

• La muestra procede de una población que se distribuye según la

Distribución Normal.

• Existe homoscedasticidad entre los grupos. Dos o mas distribuciones

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presentan homoscedasticidad, cuando las dispersiones respectivas son

equivalentes, es decir, cuando las diferencias observadas entre sus

varianzas non son estadísticamente significativas.

• La muestra es grande (n>30).

Si no se cumple con los supuestos paramétricos, entonces es conveniente

utilizar las “Pruebas no Paramétricas”.

Pasos en la aplicación de una Prueba de Significación

Se deben seguir los pasos siguientes:

1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

2. Elegir un nivel de significación.

3. Aplicar la prueba estadística adecuada.

4. Tomar una decisión con una probabilidad de error.

La decisión que finalmente se toma se puede expresar mediante una de

las formas siguientes:

• Nada se opone en rechazar la hipótesis nula.

• Se rechaza la hipótesis nula (p= valor obtenido).

3.10 Objetivos

OBJETIVO GENERAL: Lograr aprendizajes significativos en la

asignatura de Matemáticas I mediante el uso de un enfoque y entorno

constructivista y evaluar la efectividad de dicho enfoque de enseñanza en

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el bachillerato tecnológico.

OBJETIVOS PARTICULARES:

1.- Elaborar un diagnóstico mediante encuestas y cuestionarios de

la situación inicial de los 4 grupos en estudio pertenecientes al

bachillerato tecnológico del CBTis 134 de la Ciudad de

Chilpancingo, Gro., con la finalidad de detectar los conocimientos

previos de los estudiantes de dichos grupos e inferir los resultados

de los alumnos egresados de secundaria y que ingresan al CBTis

134.

2.- Evaluar el impacto en la educación a nivel bachillerato del

enfoque constructivista.

3.- Obtener los resultados finales mediante observaciones,

exámenes, encuestas y cuestionarios de la situación al término del

semestre que prevalece respecto a la asignatura de Matemáticas I

de los 4 grupos en estudio, pertenecientes al bachillerato

tecnológico del CBTis 134 de la Ciudad de Chilpancingo, Gro.,

con la finalidad de comprobar o rechazar las hipótesis planteadas.

4.- Aportar conocimientos respecto al uso del enfoque

constructivista en la enseñanza de las matemáticas,

específicamente en las áreas de aritmética y álgebra.

3.11 Tipo de Proyecto

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De acuerdo a la naturaleza de la investigación, es un Proyecto de

Investigación Aplicada en Didáctica de las Ciencias Básicas cuyo titulo

es:”LA EFECTIVIDAD DE LA ENSEÑANZA CONSTRUCTIVISTA DE

LA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA EN EL BACHILLERATO”.

El hecho de escoger este tipo de proyecto obedece a que contribuye a

resolver el problema por el cual fue creada la maestría: elevar la calidad

de la educación media superior y superior tecnológica, mediante la

formación de maestros en enseñanza de las ciencias, capaces de

promover el aprendizaje de éstas con mayor eficiencia y eficacia,

disminuyendo con esto los índices de reprobación en ciencias básicas y

por lo tanto la deserción escolar.

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Capítulo IV Resultados 4.1 Resultados del Proyecto de Investigación

Después de haber aplicado los instrumentos establecidos, los resultados

obtenidos fueron capturados en Microsoft Excel ®, realizándose el

análisis estadístico haciendo uso de todas sus herramientas. Las tablas

que se presentan a continuación se obtuvieron con Excel. Las gráficas se

realizaron en el Programa Derive® de Texas Instruments con las

ecuaciones de interpolación polinomial cúbica proporcionadas por Excel;

estas se prefirieron a las gráficas estadísticas tradicionales, pues

representan mejor y con mayor claridad los resultados que lo que lo

harían las gráficas tradicionales.

4.2 Presentación, Análisis e Interpretación de los Datos obtenidos en la Investigación

Comparando el Pre-test y el Post-test, es decir, el puntaje inicial y final,

se obtuvieron los resultados que a continuación se describen.

El examen de diagnóstico (Pre-test) que evalúa los conocimientos básicos

que los estudiantes traen de Secundaria en las áreas de aritmética y

álgebra, fue el mismo para los 4 grupos en cuestión. Obteniéndose los

índices mostrados en las tablas 4, 5, 6, y 7 y en las figuras 13, 14, 15, y

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16.

NÚMERO DE ALUMNOS QUE INCREMENTARON SU PUNTAJE

38 95.00 % DEL TOTAL

Número de alumnos que disminuyeron su puntaje

2 5.00 % del Total

Suma de incrementos de puntos

1031.50

Incremento de puntaje por alumno

1031.50 / 40 = 25.79 puntos

Tabla 4. Resultados del Grupo Experimental 1º “D”

de Físico-Matemático

INICIO FINAL DIFERENCIA % DE VARIACIÓN

Reprobados 31 6 -25 -62.50 %

Aprobados 9 34 + 25 + 62.50 %

Media aritmética 46.30 72.10 25.80 + 55.72 %

Mediana 44.30 75.00 30.70 + 69.30 %

Desviación Standard

17.90 15.5 - 2.40 - 13.40 %

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Figura 13. Puntuaciones del Grupo Experimental “D” F-M

En la gráfica anterior se observa que el puntaje final es muy superior al

puntaje inicial, es decir, debido al enfoque constructivista se mejoró en

25.80 puntos la calificación promedio de los alumnos y se disminuyó en

62.50 % el porcentaje de reprobados. El puntaje inicial promedio era

menor a los 50 puntos, lo que indica que la totalidad del grupo no tenía

los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de

bachillerato. Sin embargo, al final todos los alumnos del grupo, excepto

2, aprobaron el curso con más de 60 puntos. El aprendizaje es

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significativo, ya que a pesar de que el test se aplicó 3 meses después, el

puntaje es similar a la puntuación final, lo cual significa que el

aprendizaje es duradero.



Número de alumnos que disminuyeron su puntaje

8 20.00 % del Total

Suma de incremento de puntos 426.90


426.90 / 40 = 10.70 puntos

Tabla 5. Resultados del Grupo Experimental 1º “C” de Químico-Biólogo


Reprobados 18 0 - 18 - 45.00 %

Aprobados 22 40 + 18 + 45.00 %

Media aritmética

64.30 74.90 10.60 + 16.48 %

Mediana 60.90 75.00 14.10 + 23.15 %


11.10 10.8 - 0.30 - 2.70 %

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Figura 14. Puntuaciones del Grupo Experimental “C” Q-B

En la gráfica anterior se observa que el comportamiento de este grupo es

más uniforme que al del otro grupo experimental. Debido al enfoque

constructivista solo se mejoró en 10.60 puntos la calificación promedio

de los alumnos y se disminuyó en 45.00 % el porcentaje de reprobados.

De hecho, de 18 reprobados al iniciar el curso, al final de este no se tuvo

ningún reprobado. Los resultados no son tan notables como el otro

grupo, debido a que el 55.00 % de los alumnos ya tenían los

conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato. El

aprendizaje significativo tiene un puntaje muy similar al de la puntuación

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final, lo cual significa que el aprendizaje es duradero.

Tabla 6. Resultados del Grupo Testigo 1º “C” de Físico-Matemático



Número de alumnos sin diferencias

9 22.50 % del Total

Numero de alumnos que disminuyeron su puntaje

7 17.50 % del Total

Suma de incremento de puntos

257.00


257.00 / 40 = 6.40 puntos


Reprobados 27 19 - 8 - 20.00 %

Aprobados 13 21 + 8 + 20.00 %

Media aritmética

52.30 58.70 6.40 + 12.24%

Mediana 50.00 60.00 10.00 + 20.00 %


17.20 15.50 -1.70 - 9.88 %

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Figura 15. Puntuaciones del Grupo Testigo “C” F-M

En la gráfica anterior se observa que el puntaje final no es muy superior

al puntaje inicial, es decir, la enseñanza tradicional solo mejoró en 6.40

puntos la calificación promedio de los alumnos, que pasó de 52.30 a

58.70, la cual es reprobatoria y solo disminuyó en 20 % el porcentaje de

reprobados. El puntaje inicial es menor a los 50 puntos, lo que indica que

la totalidad del grupo no tenía los conocimientos previos suficientes para

iniciar estudios de bachillerato. El aprendizaje significativo quedó por

debajo del puntaje final y sus valores son muy similares a la puntuación

inicial, lo cual nos indica que los aprendizajes de la educación tradicional

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son fáciles de olvidar y no son verdaderamente significativos.

Tabla 7. Resultados del Grupo Testigo 1º “D” de Químico-Biólogo



Número de alumnos sin diferencias 8 20.00 % del Total

Numero de alumnos que disminuyeron su puntaje

22 45.00 % del Total

Suma de incremento de puntos - 206.00

Incremento de puntaje por alumno - 206.00 / 40 =

- 5.15 puntos


Reprobados 12 28 + 16 + 40.00 %

Aprobados 28 12 - 16 - 40.00 %

Media aritmética

63.50 58.40 - 5.10 - 8.03 %

Mediana 60.00 54.50 - 5.50 - 9.16 %


15.90 13.40 - 2.50 - 15.72 %

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Figura 16. Puntuaciones del Grupo Testigo “D” Q-B

En la gráfica anterior se observa que el puntaje final es inferior al puntaje

inicial, es decir, la enseñanza tradicional disminuyó en 5.10 puntos la

calificación promedio de los alumnos, que pasó de 63.50 a 58.40, la cual

es reprobatoria y también aumentó en 40 % el porcentaje de reprobados.

Fue el grupo testigo con el peor comportamiento; una situación tan grave

pues inicialmente el grupo tenía los conocimientos previos suficientes

para iniciar estudios de bachillerato y al final del curso se tiene una

situación muy desfavorable. Incluso, el aprendizaje significativo quedó

por debajo no solo del puntaje final sino de la puntuación inicial, lo cual

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nos indica que los aprendizajes de la educación tradicional, en ocasiones

en vez de mejorarlos puede empeorarlos si las condiciones se conjugan

entre maestro y alumnos.

4.3 Comparación de Resultados 4.3.1 Situación Inicial

El examen de diagnóstico (Pre-test) que evalúa los conocimientos básicos

que los estudiantes traen de secundaria en las áreas de aritmética y


índices de aprobación mostrados en la tablas 8 y en la figura 17

.

Grupo Tipo % de reprobados

% de aprobados

Calificación Promedio

1º “D” F-M Exp. 77.50 22.50 46.30

1º “C” Q-B Exp. 45.00 55.00 64.30

1º “C” F-M Testigo 67.50 32.50 52.30

1º “D” Q-B Testigo 30.00 70.00 63.50

Promedios 55.00 45.00 56.60 Tabla 8. Resultados del Examen de Diagnóstico (Pre-Test).

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Figura 17. Puntuaciones Iniciales de los Grupos en Estudio.

En la gráfica anterior, se observa que inicialmente los grupos testigos

obtuvieron mejores resultados que los grupos experimentales. Sin

embargo, es bajo el porcentaje de aprobación 45 % contra 55 % de

reprobación; además, es preocupante que la mayoría de los estudiantes

tengan un puntaje promedio de 56.60 puntos, es decir, de la Secundaria

no traen los conocimientos previos suficientes para iniciar sus estudios

de bachillerato.

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4.3.2 Situación Final

El examen final (Post-test) que evalúa los conocimientos que al término

del semestre adquirieron los estudiantes en las áreas de aritmética y


índices de aprobación mostrados en la tabla 9 y en la figura 18.

Tabla 9. Resultados al Final del Curso (Post-test)

Grupo Tipo % de reprobados

% de aprobados

Calificación Promedio

1º “D” F-M Exp. 15.00 85.00 72.10

1º “C” Q-B Exp. 0.00 100.00 74.90

1º “C” F-M Testigo 47.50 52.50 58.70

1º “D” Q-B Testigo 70.00 30.00 58.40

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Figura 18. Puntuaciones Finales de los Grupos en Estudio.

En la gráfica anterior, se observa que al final del curso los grupos

experimentales obtuvieron mejores resultados que los grupos testigo, lo

cual es notable, dado que inicialmente estaban por debajo de ellos. Esto

se refuerza al ver el porcentaje de alumnos aprobados de 85 y 100 % para

los grupos experimentales y de 52.50 y 30 % para los grupos testigo.

Algo similar ocurre con las calificaciones promedio, 72.10 y 74.90 de los

grupos experimentales contra 58.70 y 58.40 –reprobatorias– para los

grupos testigo.

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En la tabla 10, se observa que los grupos experimentales notablemente

mejoraron su porcentaje de aprobación, además de que el número de

alumnos que mejoró fue mayor al 80%. También, el promedio de dichos

grupos aumentó notablemente. El puntaje promedio de incremento por

alumno también fue mejor en los grupos experimentales que en los

grupos testigo. De hecho, los grupos testigos o se conservaron o fueron a

la baja. Es notable que el grupo testigo 1º “D” de Químico-Biólogo de ser

el mejor grupo inicialmente, pasó a ser el peor al final.

Grupo Tipo % de alumnos que incrementaron su puntaje

Puntos promedio de incremento

1º “D” F-M Exp. 95.00 25.79

1º “C” Q-B Exp. 80.00 10.70

1º “C” F-M Testigo 60.00 6.40

1º “D” Q-B Testigo 25.00 -5.15 Decremento

Tabla 10. Incrementos de puntuación obtenidos al final del curso.

4.3.3 Aprendizaje Significativo

Para evaluar este tipo de aprendizaje, se diseñó un instrumento de

evaluación especial (ver anexo), el cual se aplicó tres meses después de

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terminado el curso semestral. Dicha prueba tenía el objeto de evaluar la

aplicación y duración de los aprendizajes construidos. Se aplicó el mismo

instrumento a los 4 grupos en cuestión. Se tomó como punto de partida la

evaluación final, obteniéndose los resultados mostrados en la tabla 11 y

en la figura 19.

GRUPO

TIPO % DE APROBADOS FINAL

% DE APROBADOS EVAL. SIGNIFI-CATIVA

VARIA-CIÓN %

PROMEDIO FINAL

PROMEDIO

EVALÚA-CIÓN SIGNIFICATIVA

VARIACIÓN %

1º “D” F-M

Exp. 85.0 72.5 -12.5 72.1 67.5 - 4.6

1º “C” Q-B

Exp. 100.0 85.0 -15.0 74.9 71.5 - 3.4

1º “C” F-M

Testigo 52.5 32.5 -20.0 58.7 50.4 - 8.3

1º “D” Q-B

Testigo 30.0 20.0 -10.0 58.4 50.3 - 8.1

Tabla 11. Comparación de la Evaluación Significativa

con la Evaluación Final

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Figura 19. Aprendizaje Significativo de los Grupos en Estudio.

Como era de esperarse, se obtienen menores puntuaciones en la

evaluación significativa que en la evaluación final, pero esto es mucho

más notable en los grupos testigo. En los grupos experimentales la

tendencia de la curva es hacia arriba, mientras que la de los grupos

testigos es hacia abajo.

4.4 Prueba de Hipótesis

Se utilizó la Prueba t de Student de Contraste entre dos medias, por ser la

más adecuada a las condiciones de la investigación.

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Su fórmula es:

1 2

2 21 1 2 2

1 2 1 2

X Xt(n 1)S (n 1)S 1 1

n n 2 n n

−=

⎛ ⎞⎛ ⎞− + −+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

Se considera que dos muestras han sido observadas con datos

independientes, cuando los sujetos han sido asignados al azar entre los

dos grupos. Se supone por tanto que la correlación entre los grupos es

nula, es decir, hay independencia estadística entre ellos.

Se toma una decisión de acuerdo a:

• Si t < t (ν,α) : Nada se opone en aceptar la Ho.

• Si t > t (ν,α) : Se rechaza la Ho, al nivel α.

Siendo t el valor obtenido en la fórmula y t (ν,α) el valor de las tablas de t

de Student para ν grados de libertad y un nivel de significación α.

Los grados de libertad se calculan mediante: ν = n1 + n2 -2.

Para esta investigación, los datos son independientes y el tamaño de los

grupos en todos los casos es de 40 alumnos. Los resultados cumplen los

supuestos paramétricos y por lo tanto se puede aplicar la t de Student.

Sus grados de libertad son: ν = 40 + 40 -2.= 78. Con este valor y un nivel

de significancia de 0.05, el valor de la t de Student en la tabla del

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apéndice del libro de Fischer (1973) es t (78,0.95) = 1.66.

La fórmula se aplica la para los puntajes finales de ambos grupos

experimentales y testigos. Se usan los puntajes finales por ser los que

reflejan los efectos del uso del enfoque constructivista en los grupos

experimentales y el enfoque tradicionalista en los grupos testigos. Como

se tienen dos grupos experimentales y dos grupos testigos, se tiene que

comparar cada grupo experimental con los dos grupos testigos. Los datos

utilizados se obtuvieron con Excel® y se resumen en la tabla 12.

Grupo Pfexpdfm

ASexpdfm

Pfexpcqb

ASexpcqb

Pftescfm

AStescfm

Pftesdqb

AStesdqb

Media = 72.13 67.50 74.93 71.48 58.68 50.38 58.35 50.25

Mediana = 75.00 67.00 75.00 72.50 60.00 49.50 54.50 45.50

Desviación 15.49 12.92 10.83 9.83 15.51 13.59 13.37 13.71

Varianza= 239.86 167.00 117.27 96.65 240.62

184.58

178.68

187.89

Tabla 12. Concentrado de valores estadísticos de los grupos

experimentales y testigos.

Aplicando la formula para los puntajes finales del grupo experimental

“D” del Físico-Matemático (Pfexpdfm) y el grupo testigo “C” de Físico-

Matemático (Pftescfm), tenemos:

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2 2

72.13 58.68t 3.88(40 1)15.49 (40 1)15.51 1 1

40 40 2 40 40

−= =

⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

3.88 > 1.66 Se rechaza la Ho al nivel del 5%. Por lo tanto, se acepta la

Hipótesis Alternativa H1.

Ahora, aplicando la fórmula para los puntajes finales del grupo

experimental “D” del Físico-Matemático (Pfexpdfm) y del grupo testigo

“D” de Químico-Biólogo (Pftesdqb), tenemos:

2 2

72.13 58.35t 4.26(40 1)15.49 (40 1)13.37 1 1

40 40 2 40 40

−= =

⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠



También, aplicando la fórmula para los puntajes finales del otro grupo

experimental “C” del Químico-Biólogo (Pfexpcqb) y del grupo testigo “C”

de Físico-Matemático (Pftescfm), tenemos:

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2 2

74.93 58.68t 5.43(40 1)10.83 (40 1)15.51 1 1

40 40 2 40 40

−= =

⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠



Nuevamente, aplicando la fórmula para los puntajes finales del grupo

experimental “C” del Químico-Biólogo (Pfexpcqb) y del grupo testigo “D”

de Químico-Biólogo (Pftesdqb), tenemos:

2 2

74.93 58.35t 6.09(40 1)10.83 (40 1)13.37 1 1

40 40 2 40 40

−= =

⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠

6.09 > 1.66 Se rechaza la Ho al nivel del 5%. Por lo tanto, se acepta

la Hipótesis Alternativa H1.

Evidentemente, el mejor grupo experimental fue el “C” de Químico-

Biólogo y el más bajo fue el grupo testigo “D” de Químico-Biólogo,

debido a que al comparar ambos grupos, nos da el mayor valor de t.

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Resultados similares se presentan si comparamos los aprendizajes

significativos de los grupos experimentales contra los obtenidos por los

grupos testigos. Como ejemplo, comparamos el grupo experimental más

bajo “D” de Físico-Matemático (ASexpdfm) contra el mejor grupo testigo

“C” de Físico-Matemático (AStescfm), se tiene:

2 2

67.50 50.38t 5.77(40 1)12.92 (40 1)13.59 1 1

40 40 2 40 40

−= =

⎛ ⎞− + − ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠⎝ ⎠



POR LO ANTERIOR SE ACEPTA LA HIPÓTESIS PLANTEADA.

Por lo anterior, se acepta la hipótesis de que la enseñanza

constructivista y un entorno constructivista mejoran significativamente el

aprendizaje de las matemáticas básicas, logrando aprendizajes más

duraderos respecto a una enseñanza tradicional en un ambiente

tradicional.

4.5 Resultados Cualitativos 4.5.1 Resultados Matemáticos

El problema más grave que reveló la evaluación diagnóstica fue que el 75

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% de los alumnos de los 4 grupos experimentales y testigos, no poseen

los conocimientos previos suficientes para iniciar estudios de bachillerato

–siendo estos esenciales para aprender nuevos conocimientos—. En el

caso de matemáticas, no saben las tablas de sumar ni multiplicar, no

pueden hacer operaciones básicas de aritmética con números enteros

mucho menos con números decimales o fraccionarios; no pueden

expresar un enunciado en lenguaje común en lenguaje algebraico;

resuelven los problemas utilizando solo aritmética y por prueba y error o

tanteos, no hacen ningún planteamiento algebraico ni esquema. No saben

hacer operaciones con cantidades positivas y negativas, no saben leyes de

exponentes y de los signos, no identifican lo que es un término, mucho

menos lo que es un término semejante, no saben la jerarquía de las

operaciones, no saben hacer operaciones algebraicas ni con monomios

mucho menos con polinomios.

Este panorama es tan grave, que parece que los estudiantes no pasaron ni

por la Primaria ni por la Secundaria. Como uno de los objetivos es inferir

los resultados de los alumnos egresados de secundaria y que ingresan al

CBTis 134, podemos concluir que solo el 25 % de los estudiantes tienen

los conocimientos previos suficientes para cursar estudios de

bachillerato. Por lo anterior, se concluye que la formación proporcionada

por las secundarias del municipio de Chilpancingo y de los municipios

colindantes es muy deficiente. Esto se concluye en base a los resultados

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de los 4 grupos en estudio y a los resultados generales del examen de

admisión de los 1000 aspirantes –800 aceptados y 200 rechazados--,

donde se observa que hay aspirantes de todas las secundarias de los

municipios mencionados. Esta situación tan adversa se consideró en el

presente estudio, pues notablemente lo impacta, ya que en un semestre se

tenía que enseñar toda la aritmética de la Primaria y toda el álgebra de la

Secundaria y los temas propios del Bachillerato, usando en todo esto el

enfoque constructivista. Por lo anterior, antes de usar el constructivismo,

se les enseñaron los conocimientos previos utilizando instrucción directa

y materiales seleccionados que incluían teoría, ejemplos y ejercicios.

Informalmente, mediante entrevistas, se detectó que la causa principal de

esto es que en secundaria les permiten y fomentan mucho el uso de la

calculadora, pero no como una herramienta sino como “sustituto” de la

mente de los estudiantes. Contrastando con la falta de conocimientos está

su elevado promedio (8.80), manifestando ellos que esto se debe a que en

secundaria simplemente por asistir a clases tienen una calificación segura

de 6.00 como mínimo y con tareas, participaciones y exámenes pueden

incrementar dicha calificación. Es decir, es una educación tradicional

actual que coincide con lo expuesto anteriormente en el Panorama Actual

de la Educación Tradicional.

Durante el desarrollo del curso, el problema principal detectado se

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presenta en la transición de la aritmética al álgebra. Esto es:

Figura 20. Diagrama que muestra las dificultades en la transición de

la Aritmética al Álgebra

¿Cuál es el problema? Se detectó que los estudiantes tienen problemas

en la transición de la aritmética hacia el álgebra, debido a que no pueden

generalizar las operaciones aritméticas a las operaciones algebraicas. Lo

anterior, debido a que en aritmética sólo se trabaja con números y

cantidades positivas, pero en álgebra, además de las literales –cantidades

generales--, para aumentar la dificultad se agregan las cantidades

negativas, representadas por números o por letras, o peor aún por una

combinación de letras y números.

TRANSICIÓN ARITMÉTICA

o Números. o Cantidades Positivas. o Signos de Operación

definidos. o Operaciones

definidas. o Constantes

ÁLGEBRA

o Números positivos y negativos. o Literales. o Cantidades Positivas y Negativas. o Signos de Operación definidos e implícitos. o Operaciones con literales diferentes a las de aritmética. o Constantes y Variables.

GENERALIZACIÓN

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El problema principal radica en el manejo de las cantidades variables.

Los estudiantes están acostumbrados a las cantidades constantes y el uso

de variables les demanda los procesos de generalización y abstracción. El

concepto de variación es lo más difícil para los estudiantes, más si se

considera que sólo han trabajado mecánicamente en su aprendizaje.

Los estudiantes detectaron diferencias en los signos de operación entre la

aritmética y el álgebra. Esto les produce algunos problemas simplemente

por la simbología utilizada. Por ser más general el álgebra que la

aritmética, se utilizan otras reglas para indicar las operaciones, además de

las tradicionales para la aritmética.

Dichas diferencias se dan en la multiplicación: Su signo es x, que se lee

multiplicado por. Así a x b se lee “a multiplicado por b” o también “a

veces b”. En lugar del signo x, se utilizan los paréntesis para indicar

multiplicación, o sea, a x b es igual a escribir (a)(b).

También, se utiliza un punto intermedio entre los factores para indicar

multiplicación, o sea:

baba ×⋅ a igual es

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En álgebra se omite muchas veces el signo de multiplicación, cuando los

factores son letras o cuando los factores son letras y números. Esto es:

División: Su signo es ÷, que se lee dividido entre. Así a ÷ b se lee “a

dividido entre b”. En lugar del signo ÷, se utiliza una raya horizontal

para indicar división, o sea:

Exponenciación: Es una multiplicación abreviada, en la cual se repite

varias veces el mismo factor. El factor que se repite se le denomina base,

y exponente al número pequeño que se coloca arriba y a la derecha de la

base, y nos indica las veces que la base debe multiplicarse por sí

misma. Coeficiente es el número o letra que acompaña y multiplica a la

base.

aa b equivale a b

También se utilizan los símbolos siguientes para representar la división:

aa b equivale a ba b equivale a b a

÷

÷

÷

utyutywzxxzw

yxaaxy

×××−−

×××××

3232 3 a equivale 35 a equivale 5

a equivale

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Pero surge un problema cuando al estudiante no se le especifica que esto

sólo es cierto cuando el exponente es entero y positivo. ¿Qué resultados

obtienen los estudiantes al evaluar las expresiones siguientes?

Algunos estudiantes dicen que (a) significa el 3 cero veces, es decir, el

resultado es 0; que (c) significa el 6 media vez, es decir, el resultado es 3,

pero en el caso de (b), (e) y (f) no saben que hacer. Los alumnos dudan,

no pueden creer una regla matemática falle –que las matemáticas sean

falibles--. El problema aquí, consiste en que la regla anterior sólo es

válida cuando el exponente es un número natural. Pero esta notación,

2 x3Exponente

BaseCoeficiente

xf)

) )

:digamos no ya 6 )

4 b)3 )

43-

3'

0

21

2-

0

−yead

c

a

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constituye un obstáculo epistemológico, ya que la regla no es general, y

en ocasiones no se aplica. Entonces, el alumno también tiene que

aprender en álgebra, cuando una regla se aplica o no. En esto empieza

el gran problema de la transición de la aritmética al álgebra.

Pero ¿Qué es un obstáculo epistemológico? Es una división de los

obstáculos didácticos, los cuales se definen como: aquellos

impedimentos que surgen en el proceso de aprendizaje por la

confrontación que de conocimientos efectúa el estudiante. Así, habrá de

enfrentarlos y superarlos para lograr un conocimiento científico.

La noción de obstáculo aún está en vías de construirse y diversificarse, de

donde no es fácil decir generalidades pertinentes sobre el tema. Existen

obstáculos didácticos de diverso origen:

• Ontogénicos: Estos sobrevienen del hecho de las limitaciones

(neurofisiológicas entre otras) del sujeto en un momento de su

evolución: él desarrolla conocimientos apropiados a su medio y

objetivos. Al respecto, la epistemología genética evidencia la

existencia de dos instrumentos de aprendizaje: acomodación y

asimilación.

• De enseñanza: son los que surgen del modo como se enseñan los

conocimientos de acuerdo a un modelo educativo específico.

• Epistemológicos: son dificultades intrínsecas de los conocimientos.

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Es posible encontrarlos en la historia de los conceptos mismos.

Brousseau [1986] introdujo a la didáctica, esta noción de obstáculo

epistemológico como un medio para cambiar el status del error, así fue

posible mostrar que el error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la

incertidumbre o del azar, como lo conciben las teorías conductistas, sino

el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, que incluso

habiendo sido exitoso se presenta como falso o inadaptado.

Los obstáculos epistemológicos pueden acumularse durante el desarrollo

de una asignatura. Dicha acumulación a la larga, hará que el estudiante

considere a la matemática como algo difícil de aprender y dominar –

adecuada sólo para genios–, matando gradualmente el interés por esta

asignatura. Las matemáticas poseen obstáculos epistemológicos, es decir,

tienen una dificultad interna que docentes y alumnos tienen que conocer

y superar. Conocerlos hace que sen más fácil superarlos.

Los obstáculos epistemológicos los detectaron los alumnos, cuando se

volvieron más analíticos y buscaron el porqué de las reglas y operaciones

matemáticas, es increíble, que teniendo 15 años de impartir esta

asignatura, no nos diéramos cuenta de estas situaciones que impiden el

aprendizaje “natural” de las matemáticas. Ahora nos damos cuenta de la

importancia de las investigaciones, ya que nos permiten saber cosas no

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tan evidentes o que pasan como objetos “invisibles” frente a nuestros

ojos.

Algunos obstáculos epistemológicos detectados por los alumnos en la

multiplicación y división de monomios se presentan a continuación:

Multiplicación de Monomios

La ley de los exponentes utilizada es:

aman = am+n

Ahora se les pide a los estudiantes construyan las reglas si se tienen 2 o

más bases distintas, lo cual hicieron correctamente, indicándonos esto

que pueden generalizar y por lo tanto son capaces de construir sus

conocimientos a partir de conocimientos previos, esto es:

aman bpbr = am+nbp+r

ambn crdr ambn dpcp = am+mbn+n cp+r bp+r

Es decir, cuando multiplicamos factores con la misma base, se escribe la

base común y los exponentes de sus factores se suman.

--Maestro, Esto es una contradicción, porque nos piden multiplicar pero

que no hagamos una multiplicación sino una suma de exponentes ¿Por

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qué no se multiplica la base común y porque no se multiplican los

exponentes, si estamos multiplicando? ¿Por qué se realiza una suma y no

una multiplicación?

-- Bueno, si observamos la definición de la regla, es correcto que así lo

hagamos.

--Esta bien maestro, así lo haremos.

--Bien, ahora veamos algunos ejemplos de aplicación de la regla anterior.

Multiplicar los monomios siguientes:

1) x5 por x2

Solución: (x5 ) (x2 ) = x5. x2

= x5+2

= x7

2) x6y3 por x8y5

Solución: (x6y3). (x8y5) = x6y3. x8y5

= x6+8 y3+5

= x14 y8

3) (3x5 ) (4x2 )

Solución: = (3) (4) x5. x2

= 12 x5+2

= 12 x7

4) -3x6y3 por ¼ x8y5

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Solución: (-3x6y3). (¼ x8y5) = (-3) (¼) x6y3. x8y5

= - ¾ x6+8 y3+5

= - ¾ x14 y8

--Maestro, ¿Por qué los números sí los multiplica en los ejemplos (3) y

(4)?

--Miren, los números sí se multiplican como se hace en aritmética, pero

las potencias se trabajan de acuerdo a la regla establecida. Es decir, los

números se trabajan como en aritmética y las literales como en álgebra.

Esto significa, que en álgebra se conjugan la aritmética y el álgebra.

Observen los ejemplos siguientes sólo con números:

1) 23 x 24 = 2 3 + 4 = 27 = 128

2) 52 x 5 = 5 2 + 1 = 53 = 125

3) 43 x 42 x 44 = 4 3 + 2 + 4 = 49 = 262 144

4) 32 x 36 = 3 2 + 6 = 38 = 6 561

5) 102 x 106 x 103 = 10 2 + 6 + 3 = 1011 = 100 000 000 000

--Ahora, observen algunos ejemplos mixtos de potencias de números y

letras:

1) (32x5 ) (34x2 ) = 32+4 x5+2

= 36 x7

2) (7-2y5 ) (75 y-3 ) = 7-2+5 y5-3

= 73 y2

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--Maestro, creo que hemos captado la idea principal de la regla, pero

¿Qué pasa si las bases no son comunes, es decir, no se repiten?

--Pues, si son números se multiplican, pero si son literales se deja

indicada la multiplicación.

1) (-8x2y5 z) (-3x4y2 t) = 24 x2+4 y5+2 z t

= 24 x6 y7 z t

2) (4 z-2y5 t) (72 y-3 t-3 ) = (4) (49) z-2 y5-3 t1-3

= 196 z-2 y2 t-2

División de Monomios

Para una división con la misma base en el dividendo y en el divisor, el

resultado de ésta operación está dado por:

Es decir, cuando dividimos cantidades con la misma base, escribimos la

base común y al exponente del dividendo se le resta el del divisor, es

decir, sus exponentes se restan.

Esta operación a los estudiantes les provocó los mismos conflictos que en

la multiplicación, ya que al hacer la división de potencias con una misma

base, no se dividen sino que sus exponentes se restan.

Debido a que estos dos obstáculos epistemológicos se utilizan

nmn

m

aaa −=

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frecuentemente dentro de otras operaciones algebraicas, influyen

grandemente en el éxito o el fracaso en el dominio de las matemáticas.

Generalmente, como docentes no hacemos énfasis en estos detalles, ya

sea porque los ignoramos o porque no enseñamos al detalle, que es la

mejor forma de aprender las matemáticas. Las matemáticas se aprenden

al detalle o no se aprenden, por esto, se les debe dar a conocer todas las

variaciones posibles de alguna operación o regla, para que los alumnos

dominen las matemáticas. Pero, ¿Cómo hacerlo si los mismos maestros

los ignoran?

Obstáculos Epistemológicos Axiomáticos

De hecho, los alumnos se han dado cuenta, que en matemáticas es

importante aprender cuando hay que aplicar una regla y cuando no. Por

ejemplo, que la ley de los signos no se utiliza en la suma o resta de

monomios o polinomios, que esta sólo se aplica en la multiplicación o

división.

También, se dan cuenta que cuando algo se dice que es por definición, es

algo que debe aceptarse como un axioma, ya que no tiene demostración.

Por ejemplo:

1!0 )21 )1

==− i

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Lo mismo sucede en Geometría con las definiciones de punto, línea,

superficie, etc. En conclusión, cuando en matemáticas algo se establece

por definición, estamos frente a algo que no se puede definir y que debe

aceptarse sin demostración.

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CAPÍTULO V Conclusiones y Recomendaciones

5.1 Conclusiones

Los resultados del análisis estadístico establecen que:

• La enseñanza constructivista en un entorno constructivista de la

aritmética y álgebra, favorecen el rendimiento de los estudiantes

de bachillerato comparado con un entorno tradicional y una

enseñanza tradicional. Es decir, el enfoque constructivista

aplicado correctamente favorece el aprendizaje de las

matemáticas y de las ciencias en general.

• Es fundamental poseer los conocimientos previos, en este caso de

aritmética y álgebra, para que los estudiantes a partir de estos

puedan construir sus propios conocimientos. Los estudiantes

disfrutaron mucho este nuevo enfoque educativo, de hecho, puede

decirse que aprendieron divirtiéndose.

• En ambos grupos experimentales se evidenció marcado interés y

expectativa por lograr aprendizajes significativos, cuya reflexión

y análisis les permitan transferir dichos conocimientos a la

realidad concreta donde ellos actúan.

• Se obtuvieron dos modelos: uno para la Enseñanza General del

Constructivismo y otro para la Enseñanza Particular del

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Constructivismo.

5.2 Recomendaciones

En razón a lo anterior, se recomienda:

• Dada la importancia del constructivismo, se recomienda

desarrollar experimentos educativos en las demás asignaturas de

matemáticas del bachillerato, con el objeto de generalizar los

resultados aquí encontrados.

• Desarrollar trabajos de investigación sobre constructivismo y

aprendizaje significativo, donde se clarifiquen las relaciones entre

habilidades intelectuales y estrategias cognoscitivas.

• La formación de docentes con las herramientas conceptuales y

operativas del constructivismo, para que de esa manera puedan

desarrollar su gestión, dentro del contexto del aprendizaje

significativo.

• Que las autoridades educativas fomenten y apoyen el cambio de

un enfoque tradicional hacia otro alternativo, preferentemente el

constructivista.

• Que los docentes de Primaria y Secundaria cumplan su labor

docente eficiente y responsablemente, pues constituyen la

formación básica fundamental de los estudiantes, lo que

determinará el éxito que puedan tener en sus estudios posteriores

y la calidad de la educación.

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Bibliografía Bibliografía Básica • Brooks J. G., Brooks M. (2001) In Search of Understanding, The

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EXAMEN DE DIAGNÓSTICO DE MATEMÁTICAS I

NOMBRE: _____________________________________________________ GRUPO:_______ BACHILLERATO: _________________________________ SECUNDARIA DE DONDE EGRESASTE: ____________________________ PROMEDIO OBTENIDO: _______ VIVES EN CASA PROPIA: SI NO INSTRUCCIONES: RESUELVE CORRECTAMENTE LO QUE SE TE PIDE. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA. 1.- ESCRIBE LAS TABLAS DE MULTIPLICAR DEL 7 Y DEL 9 DESDE EL 1 HASTA AL 12. CADA VALOR CORRECTO VALE 0.3 PUNTOS, INCORRECTO -0.2 Y EN BLANCO -0.1

7 X 1 = 9 X 1 =

7 x 2 = 9 x 2 =

7 x 3 = 9 x 3 =

7 x 4 = 9 x 4 =

7 x 5 = 9 x 5 =

7 x 6 = 9 x 6 =

7 x 7 = 9 x 7 =

7 x 8 = 9 x 8 =

7 x 9 = 9 x 9 =

7 x 10 = 9 x 10 =

7 x 11 = 9 X 11 =

7 x 12 = 9 X 12 =

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2.- REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS Y ESCRIBE LAS OPERACIONES Y EL RESULTADO EN LA PARTE DE LA DERECHA

83

38 )5

57

53

59 )4

25

27 )3

43

42

47 )2

34

32 )1

+

−+

−

++

+

326

238 )10

324 )9

21

31

21 )8

23

35 )7

43

32

21 6)

−−+

+

−+

−

++

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INSTRUCCIONES: ESCRIBE EN EL PARÉNTESIS LA OPCIÓN QUE CORRESPONDA A LA RESPUESTA CORRECTA DE LA PREGUNTA. CON EL OBJETO DE EVITAR LA ADIVINACIÓN, SE ASIGNAN LAS PUNTUACIONES SIGUIENTES: PREGUNTA CONTESTADA CORRECTAMENTE 3 PUNTOS, INCORRECTA – 2 PUNTOS Y DEJADA EN BLANCO -1 PUNTO. 1) ¿Cuál es el residuo de la división 543210 entre 9876? ( ) a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 2) ¿Cuál es el residuo de dividir 8567.329 entre 98.765? ( ) a) 73 b) 69 c) 63 d) 61 3) ¿Cuántos números enteros hay, cuya raíz cuadrada está entre 500 y 1200? ( ) a) 10 b) 12 c) 8 d) 6 4) Del total de una parcela, se sembró un 1/3 de mango y 1/5 de plátano. Si en el resto de la parcela se sembró maíz ¿Qué parte de la parcela se sembró de maíz? ( ) a) ½ b) ¾ c) ¼ d) 7 / 15 e) 2 / 15 5) ¿Cuál es el resultado de 10 − 3 × 3+ 4 + 8 ÷ 2 = ? ( ) a) 9 b) 33 / 2 c) 66 d) - 9 e) 2 / 33 6) ¿Cuál es el resultado de 5 × 6 − 4 × 2 +12 ÷2 + 8 ÷ 2 = ? ( ) a) 20 b) – 20 c) 28 d) 32 e) 30 7) ¿Cuál es el resultado de 9 − 7 +11−12 +15 − 45 + 64 − 7 = ? ( )

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a) 22 b) 20 c) 26 d) 24 e) 28 8)Simplificar 3x + 4 y −13 −2x − 3y + 9x −11y + 3z + 5y −2y + 7x − 2x − 4x +12x +11 = ( ) a) 7x –23y + 3z +2 b) 23x – 7y + 3z - 2 c) 23x –7y + 3z +2 d) 23x –11y + 3z - 2 e) 7x –23y + 3z - 2 9) Simplificar 3

4x +

52

x −43

x −25

x = ( )

a) 91 / 60 x b) - 91 / 60 x c) 3 / 2 x d) 2 / 3 x e) 3 / 8 x 10) Simplificar 2

3x +

72

y +53

x −92

y −43

x −32

y = ( )

a) - x + 5 / 2 y b) x – 5 / 2 y c) x + 5 / 2 y d) 2x – 5 / 2 y e) 5 / 2 x – 3 / 2 y 11) ¿Cuál es el resultado de 25 ⋅ 27 = ? ( ) a) 412 b) 435 c) 212 d) 235 e) 22 12) ¿Cuál es el resultado de 32x + 3a−4 ⋅ 33x −2a +7 = ? ( ) a) 35x+a+3 b) 95x+a+3 c) 65x+a+3 d) 35x-a-3 e) 6x+a-3 13) ¿Cuál es el resultado de (−

12

x 2y 3z2t) ⋅ (−65

x−5y−2z2t3 ) ⋅ (−103

x7 y−1z 6t) =? ( )

a) – 3x2z10t5 b) - 4x4z10t2 c) -2x4z5t10 d) -2x4z10t5 e) - 2xz10t5

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14) ¿Cuál es el resultado de

43

x−7y 3z−2t3

16

x−9 y1z−6t5= ( )

a) 8x2y2z4t-2 b) 8x-16y4z-8t8 c) 6x-2y2z4t2 d) 8x2y2z6t2 e) 6x16y3z12t15 15) ¿Cuál es el resultado de (3x −2 3) ⋅ (3x + 2 3) = ( ) a) 3x2-4√3 b) 9x2 - 12 c) 6x2-4√3 d) 3x2- 12 e) 9x2 + 12 16) ¿Cuál es el resultado de (2x − 3y)2 = ( ) a) 2x2-6xy+3y2 b) 4x2-6xy+9y2 c) 2x2-12xy+3y2 d) 4x2-12xy+9y2 e) 4x2-6xy+6y2

17) ¿Cuál es el resultado de x 6 − y6

x 3 + y 3 = ( )

a) x3 – y3 b) x3 + y3 c) -x3 + y3 d) x2 – y2 e) x2 + y2

18) Resolver el sistema:

12

x − 34

y = 5

−54

x +32

y = −11

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

( )

a) x = -4, y= 4 b) x = 4, y= -4 c) x = 2, y= -4 d) x = 4, y= -2 e) x = 2, y= -2

19) Resolver el sistema: −5x + 7y = 653x − 4y = −38

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

( )

a) x = -6, y= 4 b) x =-3, y= 6 c) x = -6, y= 5 d) x = 6, y= -5 e) x = 5, y= -2 20) Resolver la ecuación cuadrática: 8x2 + 5 / 3 x – 1 / 2 = 0 ( ) a) x1= - 3 , x2 = 1 / 6 b) x1= - 3 / 8, x2 = - 1 / 6 c) x1= - 3 / 8, x2 = 1 / 6 d) x1= - 8, x2 = 1 / 6 e) x1= 3 , x2 = - 6

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21) Resolver la ecuación cuadrática: x2 - 7 x + 12 = 0 ( ) a) x1= 3 , x2 = 4 b) x1= - 3, x2 =- 4 c) x1= - 3, x2 = 4 d) x1= 3, x2 = -4 e) x1= 2 , x2 = - 5 22) Resolver la ecuación lineal: ax - b + c = 0 ( ) a) x = (a – b)/c b) x = (c+b)/a c) x = (b -a)/c d) x = (b - c)/ a e) x = (c – b)a 23) ¿Qué número sigue en la serie numérica siguiente: 3 / 2, 1, 1 / 2, 0, …( ) a) 1 / 2 b) 1 c) 3 / 2 d) 0 e) – 1 / 2 24) Para pagar una multa fuera de plazo un conductor ha tenido que abonar un recargo del 25%. Habiendo desembolsado un total de 3125 pesos, calcular el importe inicial de la multa y del recargo. ( )

a) $ 2000 pesos, $1125 pesos b) $ 2125 pesos, $ 1000 pesos c) $ 2500 pesos, $ 625 pesos d) $ 3000 pesos, $ 125 pesos

25) ¿Cuál es el valor de cada uno de los ángulos del triángulo siguiente?( )

3x+3 4x+4

5x+5

a) 56°, 60°, 64° b) 50°, 55°, 75° c) 60°, 65°, 55°

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d) 45°, 60°, 75° 26) Una botella y su tapón cuestan $ 11 pesos. Sabiendo que la botella cuesta un peso más que el tapón, ¿cuánto cuesta la botella? ( )

a) $ 10 pesos b) $ 8 pesos c) $ 7 pesos d) $ 6 pesos 27) El rectángulo AFGH tiene 60 cm de perímetro y el rectángulo BCDE tiene 24 cm de perímetro. La longitud de BE es de 8 cm y la de DT es de 10 cm. Encontrar el área de la figura ABCDEFGH. ( )

a) 132 b) 160 c) 180 d) 192

28) De una hoja rectangular se quiere cortar una figura formada por un semicírculo y un triángulo, como se ve en la figura. ¿Cuál es el área del papel desperdiciado? ( )

a) 2686.73 cm2 b) 3600.45 cm2 c) 1373.37 cm2 d) 1800.22 cm2

FIRMA DEL ALUMNO

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CBTis 134 EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

Nombre:_______________________________________________________ Grupo: ______ Especialidad: _________________________________ Instrucciones: Subraya la respuesta correcta de cada una de las preguntas siguientes. No adivines, ya que las respuestas correctas valen 3 puntos, las respuestas erróneas – 2 puntos y las que no contestes -1 punto. NO SE PERMITE EL USO DE CALCULADORA. 1.- ¿Cuál es el residuo de la división 543210 entre 9876? a) 80 b) 75 c) 60 d) 45 e) 30

2.- El resultado de la siguiente operación con fracciones 51

32

54

32

÷−× es:

a) 6/15 b) 14/5 c) 14/5 d) 15/6 e) 15/6

3. Una botella y su tapón cuestan $ 11 pesos. Sabiendo que la botella cuesta un peso más que el tapón, ¿cuánto cuesta la botella?

a) $ 6 pesos b) $ 7 pesos c) $ 8 pesos d) $ 10 pesos e) $ 11 pesos

4.- Resuelve la ecuación de 2º grado: 2

35)2)(2(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+− xxx

a) x1=2, x2=-2

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b) x1=5, x2=-5 c) x1=3, x2=-3 d) x1=3, x2=-2

5.- Resuelve la ecuación 22 53152 xxxx +−=++−

a) x1=8 b) x1=5 c) x1=-7 d) x1=7

6.- Exprese el radical 3 5 48

3 5 310

xx

xx como exponente fraccionario

a) 103

x

b) 157

x

c) 109

x

d) 152

x

7.- Resuelve el sistema: ⎭⎬⎫

=−−−−=

0153152 2

yxxxy

a) x1=2, x2=-2 b) x1=0, x2=1 c) x1=0, x2=2 d) x1=1, x2=-2

8.- Expresa en un solo radical la expresión: 21

16323

a) 2 b) 3

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c) 5 d) 3 4

9.- Dos hermanos, mientras charlan, concluyen que entre ambos tienen 29 años, y el uno le dice al otro: dentro de ocho años mi edad será el doble de la tuya. ¿Cuántos años tiene cada uno en la actualidad?

a) 20 y 9 años b) 22 y 7 años c) 21 y 8 años d) 19 y 10 años

10.- Una tienda ha vendido 60 cajas de rotuladores, cuyo precio original era de 1200 pesos, con un descuento del 20% unas cajas y el resto con un descuento del 25%. Si se ha recaudado 56400 pesos, calcula a cuántas cajas se les rebajo el 25%.

a) 15 cajas b) 18 cajas c) 20 cajas d) 28 cajas

11.- Un granjero espera obtener 3600 pesos por la venta de huevos. En el camino al mercado se le rompen 4 docenas. Para obtener el mismo beneficio aumenta en 45 pesos el precio de la docena. ¿Cuántas docenas tenía al principio?

a) 15 docenas b) 18 docenas c) 20 docenas d) 28 docenas

12.- simplificar a su mínima expresión: 4 − 3x − 8x2

x3 + x2 − 6x + x + 3x − 2 − x − 2

x + 3

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a) )3)(2(

)2(2 2

+−++xxx

xx

b) )3)(2()2(2 2

+−++

xxxx

c) )3)(2(

)2( 2

+−++xxx

xx

d) )3)(2(

)2(2 2

−+++xxx

xx

13. ¿Cuánto vale n para que se conserve la igualdad? 22 x 22 x 22 = 11 x 11 x (n) a) 11 b) 22 c) 33 d) 44 e) 88 14.- Si una manzana tiene x precio, ¿cuánto costarán 15 manzanas si tienen 20% de descuento?

15.- ¿Cuánto vale m para que el producto de fracciones sea una igualdad?

x = x (m)

1 2

16.- Si la base de un cuadrado de largo x, aumenta 4 unidades y su ancho y disminuye 2 unidades. ¿Cómo podemos expresar su área?

a) (x - 4) (y + 2) b) (y - 4) (x + 2)

NE

FTA

LÍ

AN

TÚ

NE

Z H

.




c) (x + 4) (y - 2) d) (y + 4) (x - 2) e) (xy - 8)

17.- El valor de x varía en proporción directa con el de y, cuando x=7, y=56. ¿Cuánto es x, si y=152? a) 112 b) 56 c) 21 d) 19 e) 17 18.- ¿Cuál es el área del triángulo, si la base es 4 y su altura es ¾ de su base, ¿cuál es su área? a) 24 b) 12 c) 6 d) 4 e) 2 19.- Cuál de los siguientes valores de x, cumple con la siguiente expresión:

a) 35 b) 30 c) 25 d) 20 e) 10

20.- Si x = B y B= , entonces ¿Cuánto vale x?

21.- Si 8 es el 40% de una cantidad, ¿cuál será el 10%?. a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2 22.- Un carro recorre 60 Km la primera hora de recorrido, 80 Km la segunda, 40 Km la tercera, 30 Km la cuarta y 90 Km la 5a hora. Su velocidad media en Km/hr es:

a) 10 Km/hr

NE

FTA

LÍ

AN

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NE

Z H

.




b) 40 Km/hr c) 50 Km/hr d) 60 Km/hr e) 80 Km/hr

23.- ¿Cuál es el número que sigue en la serie: 10, 13, 11, 14, 12, 15, 13 ...? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 24.- Si el perímetro de un cuadrado es 32, su área es igual a: a) 8 b) 28 c) 32 d) 48 e) 64

25.- ¿Cuál es el volumen de la siguiente figura?

a) a + b + c b) ab x c c) a + bc d) a x b / c e) a x b - c

26.- Observe el dibujo. Los números son la suma de cada renglón y columna de los símbolos que contiene. ¿Cuál es la suma de la primera columna?

a) 23 b) 25 c) 28 d) 30 e) 32 27) Todos los números de la primera tabla han sido colocados según una

NE

FTA

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NE

Z H

.




regla; si se ha seguido la misma regla para componer la segunda tabla, ¿cuál es el número que falta?

28) Si A + B = 18 y A x B = 72, ¿Cuál será el resultado de 8 (A + B) - 2 (A x B) + (A + B) (A x B) ? a) 1100 b) 1296 c) 1424 d) 1630 e)2520 29) ¿Cuánto vale x en la siguiente figura?

a) 40° b) 30° c) 25° d) 20° e)15°

6 2 3

3 1 3

2 2 1

4 6

6 2 3

4 2 2

NE

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NE

Z H

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30) A un cajero le llevaron en billetes de 20 una cantidad que dice es $ 7, 200, 000 pesos. El cajero quiere revisar que no falte un solo billete. Si en promedio cuenta un billete por segundo. ¿Cuántas horas se tardará en contar los $ 7, 200, 000 pesos?

a) 75 horas b) 80 horas c) 90 horas d) 100 horas e) 110 horas

31) Sí se sustituye λ por 3 y σ por 9 ¿Qué valor tiene la expresión: 4σ2 (σ + λ ) / (λ (λ − σ )2)? a) 24 b) 32 c) 36 d) 42 e) 45 32) Las siguientes balanzas están en equilibrio ¿Cuántos s pesan un círculo ?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 33) Un hombre tiene tres hijos. El producto de las edades de sus hijos es 1652. El menor de ellos tiene al menos la mitad de la edad del mayor.¿Cuál es la suma de las edades de sus hijos? a) 78 b) 81 c) 84 d) 87 e) 92

NE

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LÍ

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NE

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.




34) El círculo tiene área 154. ¿Cuál es el área del cuadrado?

a) 178.08 b) 182.08 c) 196.08 d) 198.08 e) 201.08

35) El resultado de 2 +34

+43

−72

=

a) 12 / 7 b) 7 / 12 c) – 12 / 7 d) - 7 / 12 e) 2 / 5 36) El resultado de 8 ×

34

÷29

=

a) 72 b) 64 / 27 c) 27 / 64 d) 27 e) 3 / 2 37) El resultado de 5 × 6 − 4 × 2 +12 ÷2 + 8 ÷ 2 = a) 20 b) – 20 c) 28 d) 32 e) 30 38) Simplificar 3x + 4 y −13 −2x − 3y + 9x −11y + 3z + 5y −2y + 7x − 2x − 4x +12x +11 = a) 7x –23y + 3z +2 b) 23x – 7y + 3z - 2 c) 23x –7y + 3z +2

NE

FTA

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d) 23x –11y + 3z - 2 e) 7x –23y + 3z – 2

39) El residuo de dividir =−+

44

88

yxyx es

a) x4 – y4 b) x4 + y4 c) 2 y8 d) 2x8 e) x2 + y2

40) El residuo de dividir =++

xxxx

22

2

24

es

a) 2x2 + ½ x b) -18x c) 18x d) 2x2 e) 2x2 + x

FIRMA DEL ALUMNO

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NE

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RESULTADOS ESTADÍSTICOS Para cada grupo se muestra el Nombre, su puntuación inicial (pi), su puntuación final (pf), sus diferencias (D) y el Aprendizaje Significativo (AS).

GRUPO EXPERIMENTAL 1º “D” F-M Nombre piexpdfm pfexpdfm Dexpdfm ASexpdfm Cesar Alfredo 92.50 100.00 7.50 93.00 Alejandro Castillo 87.50 70.00 -17.50 68.00 Eric Jafet 82.50 100.00 17.50 91.00 Jose Rodrigo 75.00 90.00 15.00 82.00 Erika Fabian 70.00 75.00 5.00 73.00 Erika Quiroz 67.50 75.00 7.50 71.00 Gilberto Calvo 62.50 60.00 -2.50 62.00 Samuel Diego 60.00 80.00 20.00 76.00 Joaquin Temiquelt 60.00 90.00 30.00 81.00 Jorge Irving 57.50 80.00 22.50 82.00 Osiel Reyes 55.00 80.00 25.00 78.00 Santos Alonso 52.50 100.00 47.50 78.00 Natalio Ibarra 52.50 60.00 7.50 57.00 Everard Nicole 50.00 65.00 15.00 62.00 Erick Hernandez 50.00 95.00 45.00 87.00 Kendy Yanet 47.50 60.00 12.50 57.00 Jose Manuel 47.50 75.00 27.50 72.00 Gerardo Rafael 47.50 60.00 12.50 63.00 Samuel Santos 45.00 80.00 35.00 75.00 Jose Alberto 45.00 60.00 15.00 56.00 Guadalupe Parra 43.50 100.00 56.50 84.00 Mariano Maganda 42.50 60.00 17.50 59.00 Immer Meza 42.50 70.00 27.50 63.00 Alan Wolfgang 40.00 75.00 35.00 68.00 Victor Daniel 37.50 75.00 37.50 67.00 Erick Zaid 37.50 60.00 22.50 62.00 Beatriz Cecilia 37.50 60.00 22.50 54.00 Evelyn Rubi 35.00 50.00 15.00 34.00 Jorge Antonio 32.50 60.00 27.50 54.00

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Grisel Sotelo 32.50 90.00 57.50 78.00 Victor Manuel 30.00 60.00 30.00 65.00 Oscar Mendoza 30.00 50.00 20.00 54.00 Jonathan Orlando 30.00 50.00 20.00 56.00 Esmeralda Dionicio 30.00 80.00 50.00 78.00 Claudia Aparicio 30.00 80.00 50.00 67.00 Fredi Flores 25.00 80.00 55.00 75.00 Brenda Aguilar 25.00 50.00 25.00 37.00 Socorro Hernandez 22.50 80.00 57.50 67.00 Antonio Vazquez 22.50 50.00 27.50 54.00 Zeferino Garcia 20.00 50.00 30.00 60.00 Mediana = 44.25 75.00 1031.50 67.00 Desviación STP= 17.89 15.49 25.79 12.92 Coeficiente de Asimetría = 0.81 0.26 -0.32 Confianza= 5.54 4.80 4.00 PRUEBA CHI 0.00 0.35 Media Aritmética = 46.34 72.13 67.50

GRUPO EXPERIMENTAL 1º “C” Q-B

Nombre piexpcqb pfexpcqb Dexpcqb ASexpcqb joana lopez 89.34 80.00 -9.34 78.00 martin de jesus 88.83 70.00 -18.83 65.00 lissete arely 83.76 80.00 -3.76 75.00 monserrath 82.23 90.00 7.77 84.00 ollin davinia 81.73 90.00 8.27 83.00 ma. De los angeles 77.66 80.00 2.34 78.00 angie christian 77.16 90.00 12.84 82.00 brenda anahi 75.13 80.00 4.87 76.00 adriana santibañez 73.60 90.00 16.40 87.00 elvia emelida 73.10 90.00 16.90 85.00 yexuani 71.57 60.00 -11.57 50.00 anaid rosendo 69.54 80.00 10.46 72.00 luis josimar 68.53 70.00 1.47 67.00 angel adolfo 68.02 94.00 25.98 87.00

NE

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marco a. suarez 68.02 70.00 1.98 67.00 moises velazquez 65.99 70.00 4.01 69.00 antonio bibiano 64.47 60.00 -4.47 65.00 mayra grissel 62.44 60.00 -2.44 58.00 ricardo fco 61.93 60.00 -1.93 54.00 martha beatriz 60.91 80.00 19.09 75.00 adriel 60.91 60.00 -0.91 63.00 crescencio 60.41 70.00 9.59 71.00 marly 1 c tlc 59.39 80.00 20.61 72.00 felipe castro 59.39 70.00 10.61 74.00 jaime roberto 58.38 80.00 21.62 76.00 ana laura 57.87 70.00 12.13 67.00 ricardo altamirano 57.36 70.00 12.64 63.00 dulce maria 56.85 70.00 13.15 66.00 ana maria 56.35 80.00 23.65 78.00 mayra jazmin 56.35 60.00 3.65 57.00 julieta lizbeth 55.84 86.00 30.16 79.00 grecia rocio 55.84 60.00 4.16 56.00 azucena mendoza 55.33 60.00 4.67 58.00 claudia zarate 53.30 80.00 26.70 77.00 grissel damian 51.78 70.00 18.22 75.00 sandra luz 51.27 70.00 18.73 65.00 yuliana paola 50.25 80.00 29.75 78.00 angel salmeron 49.75 97.00 47.25 92.00 rocio gomez 49.75 80.00 30.25 73.00 cindy damara 49.75 60.00 10.25 62.00 Mediana = 60.91 75.00 426.95 72.50 Desviación STP= 11.06 10.83 10.67 9.83 Coeficiente de Asimetría = 0.68 0.13 -0.13 Confianza= 3.43 3.36 3.05 PRUEBA CHI 0.00 1.00 Media Aritmética = 64.25 74.93 71.48

NE

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LÍ

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NE

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GRUPO TESTIGO 1º “C” F-M Nombre pitescfm pftescfm Dtescfm AStescfm Garcia Omar 90.00 90.00 0.00 78.00 Guillen Daisy Lilian 90.00 70.00 -20.00 60.00 Hernandez Oscar 90.00 80.00 -10.00 69.00 Jimenez Diego 80.00 80.00 0.00 71.00 Bautista Victor 70.00 80.00 10.00 70.00 Bello Deny Yazmin 70.00 80.00 10.00 73.00 Campos Alvaro 70.00 60.00 -10.00 50.00 Contreras Jose Saul 70.00 60.00 -10.00 48.00 Sanchez Francisco 70.00 70.00 0.00 63.00 Bruno Jaime 60.00 70.00 10.00 60.00 Lara Efren 60.00 57.00 -3.00 45.00 Martinez Jesus 60.00 60.00 0.00 54.00 Sanchez Maria 60.00 60.00 0.00 49.00 Arcos Cirilo 50.00 50.00 0.00 45.00 Bernal Luis 50.00 80.00 30.00 66.00 Carbajal Jose Antonio 50.00 70.00 20.00 65.00 Cecilio Alejandro 50.00 52.00 2.00 34.00 Monreal Lizeth 50.00 60.00 10.00 54.00 Morales Shanty 50.00 70.00 20.00 64.00 Ramirez Abril 50.00 70.00 20.00 54.00 Reyes Oscar 50.00 60.00 10.00 53.00 Rivera Luis 50.00 55.00 5.00 50.00 Salmeron Javier 50.00 50.00 0.00 43.00 Santos Luis 50.00 52.00 2.00 45.00 Santos Oscar 50.00 54.00 4.00 45.00 Sereno Ruben 50.00 60.00 10.00 53.00 Torres Daniel 50.00 70.00 20.00 62.00 Valenzo Marlon 50.00 80.00 30.00 67.00 Vazquez Martiniano 50.00 40.00 -10.00 30.00 Gonzalez Juan Jose 40.00 52.00 12.00 47.00 Manra Arcenio 40.00 50.00 10.00 45.00 Trinidad Jose Juan 40.00 30.00 -10.00 30.00 Basilio Jose Noe 30.00 30.00 0.00 32.00 Gonzalez Oscar 30.00 45.00 15.00 34.00

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Hernandez Miguel 30.00 55.00 25.00 34.00 Ibarra Javier 30.00 45.00 15.00 38.00 Lopez Jose 30.00 47.00 17.00 37.00 Meza Israel 30.00 43.00 13.00 36.00 Subia Jose 30.00 40.00 10.00 34.00 Guillen Jose Ivan 20.00 20.00 0.00 28.00 Mediana = 50.00 60.00 257.00 49.50 Desviación STP= 17.25 15.51 6.43 13.59 Coeficiente de Asimetría = 0.49 -0.23 0.15 Confianza= 5.34 4.81 4.21 PRUEBA CHI 0.00 0.00 Media Aritmética = 52.25 58.68 50.38

GRUPO TESTIGO 1º “D” Q-B

Gtesdqb pitesdqb pftesdqb Dtesdqb AStesdqb Barragan Martin 100.00 100.00 0.00 89.00 Macedo Luis 100.00 100.00 0.00 91.00 Radilla Edna 100.00 70.00 -30.00 74.00 Parra Linda 90.00 80.00 -10.00 67.00 Ramirez Victor 90.00 60.00 -30.00 63.00 Aponte Fredy 80.00 57.00 -23.00 34.00 Cardona Consuelo 80.00 80.00 0.00 67.00 Mora Benjamin 80.00 80.00 0.00 74.00 Nabor Astrid 80.00 60.00 -20.00 56.00 Balderas Patricia 70.00 52.00 -18.00 45.00 Garcia Victor 70.00 52.00 -18.00 34.00 Garduño Jose 70.00 50.00 -20.00 42.00 Alarcon Cinthya 60.00 54.00 -6.00 50.00 Aponte Fanny 60.00 52.00 -8.00 45.00 Bautista Abraham 60.00 80.00 20.00 69.00 Bello Adriana 60.00 55.00 -5.00 45.00 Bello Danae 60.00 52.00 -8.00 46.00 Cabrera Alejandro 60.00 55.00 -5.00 48.00 Del Valle Luis 60.00 52.00 -8.00 43.00

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Delgado Ivan 60.00 60.00 0.00 52.00 Hernandez Juan 60.00 50.00 -10.00 46.00 Luna Gilberto 60.00 47.00 -13.00 39.00 Manzanarez Guadalupe 60.00 50.00 -10.00 43.00 Marino Brenda 60.00 52.00 -8.00 45.00 Martinez Cinthya 60.00 60.00 0.00 53.00 Martinez David 60.00 55.00 -5.00 45.00 Obando Nallely 60.00 60.00 0.00 52.00 Quiroz Christian 60.00 55.00 -5.00 48.00 Adame Cindy 50.00 52.00 2.00 39.00 Castañon Jesus 50.00 47.00 -3.00 43.00 Espinosa Salvador 50.00 55.00 5.00 45.00 Garcia Luis 50.00 55.00 5.00 47.00 Gatica Gloria 50.00 47.00 -3.00 32.00 Jimenez Kenia 50.00 52.00 2.00 45.00 Jorge Nalleli 50.00 52.00 2.00 44.00 Pacheco Herman 50.00 55.00 5.00 46.00 Rojano Ma. De Lourdes 50.00 52.00 2.00 50.00 Cabañas Claudia 40.00 45.00 5.00 39.00 Damian Jesus 40.00 40.00 0.00 36.00 Romero Yanet 40.00 52.00 12.00 39.00 Mediana = 60.00 54.50 -206.00 45.50 Desviación STP= 15.90 13.37 -5.15 13.71 Coef. de Asimetría = 0.91 1.84 1.46 Confianza= 4.93 4.14 4.25 PRUEBA CHI 0.00 Media Aritmética = 63.50 58.35 50.25

PRUEBAS ESTADÍSTICAS F FINAL FINAL Prueba F C Q-B C F-M 0.0273 0.19 Prueba F C Q-B D Q-B Prueba F D F-M C F-M 0.9922 0.36 Prueba F D F-M D Q-B Prueba F C Q-B D F-M 0.0280 0.36 Prueba F C F-M D Q-B

enseñanza constructivista de las ciencias

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