Ensino Superior

1 – Matrizes: Operações e Propriedades

Amintas Paiva Afonso

Álgebra Linear

Definição de Matrizes

Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Amxn = [a11 a12 L a1n

a21 a22 L a2n

M M Mam1 am2 K amn

] = [aij]mxn

matriz A de m linhas e n colunas

Elemento da linha ie coluna j

Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

TIPOS DE MATRIZES

214

311

221

Matriz quadrada

m = n (x linhas = x colunas)

Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Diagonais

Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.

Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)

Elementos dadiagonal principal:

1, 1 e 2

Elementos dadiagonal secundária:

2, 1 e 4

400

210

112

Matriz triangular superior

Matrizes Triangulares

2754

0432

0011

0002

Matriz triangular inferior

500

020

004

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são

todos nulos.

Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também

quando ambos são verdade!

Esta também é uma matriz triangular!

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas.

Casos especiais de Matrizes

Triangulares. Matriz identidade

700

040

002

100

010

001

Matriz diagonal

Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero

A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal

são todos iguais a um.

Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares

são quadradas. Chatice hein!

Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.

Chamamos a matriz acima de I3

(identidade de ordem 3)

No geral, In onde n é a ordem da matriz.

0000

0000

0000

Matriz nula

Todos os elementos são nulos.

Chamamos a matriz nula de Omxn

Então essa é O3x4

A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos

correspondentes são iguais.

421

21 3

112

421

21 3

112

Caso ao olhar essas duas

matrizes e não ver que elas são iguais,

favor procurar o oculista.

Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m )

3x2 41

30

12

=A .

431

102

2x3

=At

Matriz A transposta

Simétrica Matriz quadrada tal que At = A

2x2 23

31

=A

2x2 23

31

=At

Matriz A transposta

Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A

3x3 013

102

320

=A

3x3 013

102

320

=At

=Os elementos da transposta

são os opostos da original.

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição

[1 −14 02 5 ]+[ 0 4

−2 51 0 ] = [1 3

2 53 5 ]

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.

É sempre possível somar matrizes?

Não!

Somente quando estas forem de mesma ordem.

+ =

Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Multiplicação por escalar

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número.

31

102 2.

2.3 2.1

2.102.2=

6 2

204=

Matriz A Matriz -2A

Multiplicação de matriz por matriz

CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

2x2

3x2

40

11 .

35

24

12

3x2 3.4153.05.1

2.4142.04.1

1.4121.02.1

+)(+

+)(+

+)(+=

75

44

22=

Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo

Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.

O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.

Ihhh... Aqui fu...!

[2 14 25 3 ]3x2

.[1 −10 4 ]

2x2

75

44

22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4

4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4

5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4

Observe, multiplicamos

ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o

primeiro elemento da elemento com o

primeiro da coluna e por aí vai...

EXEMPLO 1

1) Seja A =

143

201 e seja B =

012

411

Calcule A + B.

12

EXEMPLO 2

2) Seja A =

143

201 e seja B =

012

411 .

Calcule A – B.

13

EXEMPLO 3

3) Calcule o produto das matrizes:

20

53

12

.

021

102

321

14

EXEMPLO 4

4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é dada por:

a)

321

642 b)

1242

621 c)

642

321

d)

321

111 e)

321

642

15

EXEMPLO 5

5) Dadas as matrizes

65

43

21

A

102

231B

calcule a matriz A – Bt é:

16