entwicklung von kompetenzen in den handlungsgereichen … · kompetenzorientiertes lernen...
TRANSCRIPT
K om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkultur
E ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichenE ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichenE ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichenE ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichen
�D arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbilden�D arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbilden
�InterpretierenInterpretierenInterpretierenInterpretieren
�A rgum entieren , B egründenA rgum entieren , B egründenA rgum entieren , B egründenA rgum entieren , B egründen
H elm ut H eugl, G raz 2009H elm ut H eugl, G raz 2009H elm ut H eugl, G raz 2009H elm ut H eugl, G raz 2009
Ziel einer kompetenzorientierten Aufgabenkultur
� Verstehen lernen, worum es in der Mathematik geht
K om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkultur
Teil 1: CharakterisierungTeil 1: CharakterisierungTeil 1: CharakterisierungTeil 1: Charakterisierung
� Behalten können, verfügbar haben, wie es geht �
nicht nur nachhaltigeres Grundwissen, sondern auch „Denktechnologie“ (heuristische Problemlösestrategien)
� Anwenden können grundlegender Mathematisierungsmuster in Problemsituationen
Kompetenzorientiertes Lernen
LernaktivitätVorerfahrungen
Wissen , Können, Denk- und
Pers. Dispositionmotivationale
und volitionale Aspekte
Kompetenz-orientierte LernaktivitätDenk- und
Handlungsmuster
orientierte Aufgabenkultur
Materielle Lernumgebung
Lernmedien, elektronische
Werkzeuge
AufgabentypenQuelle: Regina Bruder , TU Darmstadt
GegebenesProblem-lösung
Gesuchtes
Gelöste Aufgabe (stimmt das?)
einfache Bestimmungsaufgabe
einfache Umkehraufgabe
Beweisaufgabe
�����
�
�
������������ ����
������������ ���� Beweisaufgabe
Schwere Bestimmungsaufgabe
Schwierige Umkehraufgabe
Erfinden einer Aufgabe
Offene Problemsituation
�
��
� �
� �
� �
���� ��������
��������
�
Komplexität
KI
K2
H1
K3
K om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierte
A ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkultur
Teil 2 :Teil 2 :Teil 2 :Teil 2 :H1
Darstellen, Modellbilden
Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematischer Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repräsentation bzw. Repräsentationsform.
Modellbilden erfordert über das Darstellen hinaus, in einem gegeben Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen (um diese dann in mathematischer Form darzu-stellen), allenfalls Annahmen zu treffen, Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vorzunehmen u. Ä.
Inhalt
Handlung
H1
I1
I2
I3
I4
Heugl
H2H3
H4
http://aufgabenpool.bifie.at/http://aufgabenpool.bifie.at/http://aufgabenpool.bifie.at/http://aufgabenpool.bifie.at/
Realität Mathematik
Reales Problem
Real-modell
Mathemat.ModellMathematisieren
Str
uk
turi
ere
n
Op
erie
ren
Modellieren
Problem
Mathemat.Lösung
RealeLösung
Interpretieren
Op
erie
ren
Be
we
rte
n
Beispiel H1/1: „Erkennen von Mathematisierungsmustern“
Nutzen von technologiegestützten Lernpfaden:
Lernpfad „Schnittstelle 4/5 - Funktionen“
http://rfdz.ph-noe.ac.at
Beispiel H1/2: „Reden über Abhängigkeiten““
Nutzen von technologiegestützten Lernpfaden:
Lernpfad „Wetter“
http://rfdz.ph-noe.ac.at
P rozente?P rozente?P rozente?P rozente?
A bsolute/A bsolute/A bsolute/A bsolute/
relative A nteilerelative A nteilerelative A nteilerelative A nteile
Modellieren mit Prozenten
P rozente?P rozente?P rozente?P rozente?Z insen/Z insen/Z insen/Z insen/
Z insesz insenZ insesz insenZ insesz insenZ insesz insen
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
%
Deutsch Mathematik
„…so erhält man…“
„das Dreifache von …“
=
.3
„Übersetzen“Wortformel => mathematische Formel
„das Dreifache von …“
“3 Viertel von …”
„p% von “
.3
.34p
.100
Vokabelheft © Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Beweise die Übersetzungsregel:
Deutsch Mathematik
vermehre um p% …
vermindere um p% …
)100p
.(1++++
)100p
.(1−−−−
Beweise die Übersetzungsregel:
Vermehre ein Kapital K um p% ���� multipliziere mit
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
K +100p
K. = )100p
K.(1++++
Distributivgesetz
)100p
(1++++
Deutsch Mathematik
vermehre um 3% …
vermehre um 13% …
vermehre um 50% …
.1,03
.1,13
.1,5
vermehre um 100% …
vermindere um 3% …
vermindere um 13%
vermindere um 50%
.2
.0,97
.0,87
.0,5 .
Eine Sparglühlampe benötigt nur 33 Watt und leuchtet gleich hell wie eine herkömmliche 100 Watt Glühlampe.
Werbeslogan der Erzeugerfirma:
Sie sparen
Gefahr von Übersetzungsregeln!
Sie sparen
200 %200 %200 %200 %
an E nergie!
Preis ohne MwSt Preis inkl. MwSt
Vermehre um 20%
....1,2
:1,2
Vermindere um 20%
:1,2
Aufgabe Autokauf:
Preis eines Autos ohne Steuer (Mwst. und Nova) € 13.000,-Man bezahlt 28% Steuer, der Händler bietet 10 % Rabatt
H1/H4
Was ist günstiger?�Zuerst die Steuer dazurechnen und dann den Rabatt abziehen, oder�zuerst den Rabatt abziehen und dann die Steuer dazuzählen
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Aus der Werbung eines Versandhauses:
Bei uns zahlen Sie nur 1% Zinsen! (monatlich)
� Ist 1% monatlich günstiger als 12% jährlich oder i st es egal?
H1/H2
� Ist 1% monatlich günstiger als 12% jährlich oder i st es egal?
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Bar-Dose Bar-Kasse Pro-ct-Bank
Beispiel: „Zinsrechnung und Tabellenkalkulation“[Quelle: SINUS-Transfer NRW CD-ROM]Max hat zur Konfilrmation einen größeren Geldbetrag erhalten. Davon möchte er 1000 € bei einer Bank anlegen, damit er in 5 Jahren seinen Führerschein finanzieren kann. Er findet bei drei Banken Angebote für junge Sparer.
Wachsender Zins!1% Zinsen im 1.Jahr und jedes Jahr 0,5% Zinsen mehr!Laufzeit für Zinsen und Kapital 5 Jahre
Dein Geld spart für dich!Einzahlung: 1000€Du erhältst nach 5 Jahren 1100 € zurück !
Hol dir deine Prämie!1,5% Zinsen pro Jahr Laufzeit: 5 JahreSparprämie nach 5 Jahren: 25% von den Zinsen!
Untersuche, welches der Angebote das günstigste ist und beschreibe die durchgeführten Rechnungen!Ermittle den effektiven Jahreszins für das Angebot der Bar-Kasse!Du möchtest die Zinsen, die du von der Bar-Dose und der Pro-ct-Bank erhältst, für verschiedene Kapitalbeträge möglichst schnell mit einer Tabellenkalkulation berechnen.
H1/H2/H3/H4
schnell mit einer Tabellenkalkulation berechnen.Welche Befehle musst du in die Felder eintragen, damit du das Kapital nach jeweils 1, 2, ..,5 Jahren durch Ausfüllen der übrigen Zeilen berechnen kannst?
Excel GeoGebra
Aussendung der kalifornischen SchulbehördeAussendung der kalifornischen SchulbehördeAussendung der kalifornischen SchulbehördeAussendung der kalifornischen Schulbehörde
DerDerDerDer LeistungsindexLeistungsindexLeistungsindexLeistungsindex derderderder kalifornischenkalifornischenkalifornischenkalifornischen SchülerSchülerSchülerSchüler istististist zwarzwarzwarzwar inininindendendenden 70707070----erererer JahrenJahrenJahrenJahren umumumum rundrundrundrund 60606060%%%% gesunken,gesunken,gesunken,gesunken, seitherseitherseitherseither aberaberaberaber umumumum70707070%%%% gestiegengestiegengestiegengestiegen.... SomitSomitSomitSomit liegtliegtliegtliegt erererer alsoalsoalsoalso nunnunnunnun wiederwiederwiederwieder überüberüberüber demdemdemdemaltenaltenaltenalten WertWertWertWert....
QuelleQuelleQuelleQuelle:::: DewdneyDewdneyDewdneyDewdney:::: „„„„200200200200%%%% vonvonvonvon Nichs“Nichs“Nichs“Nichs“
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
W as soll m an glauben?W as soll m an glauben?W as soll m an glauben?W as soll m an glauben?
H1/H2/H4
W achstum sW achstum sW achstum sW achstum s---- und A bnahm eprozesseund A bnahm eprozesseund A bnahm eprozesseund A bnahm eprozesse
H1/H2/H3
Beispiel (3): Von einer radioaktiven Substanz zerfallen stündlich 3%. Nach welcher Zeit bei einer Ausgangsmenge von mo= 200 mg nur mehr die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?
Zeitpunkt Substanzmenge
Montag, 10 h 200 mg
11h 194
12h 188,2
13h 182,5
„vermindere um 3% „ ����„multipliziere mit 0,97“
H1/H2
14h 177,1
15h 171,7
16h 166,5
… …
… …
… …
Dienstag, 8 h 102,3
9h 99,33. und 4. Klasse © Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Übersetzung Phase 1: Wortformel„was passiert jedes Jahr?“
Das Kapital wird verzinst
Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung
Modellbilden ����
Übersetzung von der Alltagssprache in die Sprache d er Mathematik
Das Kapital wird verzinstund die Rate wird abgezogen
Kneu = Kalt.(1+p/100) - R
Übersetzung Phase 2: Mathem. Sprache Rekursives Modell
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Beispiel: Herr Maier nimmt einen Kredit von 10000 Euro zu 6% auf und zahlt jeweils am Ende des Jahres 1200 Euro zurück (ganzjährige Kapitalisierung):Nach wieviel Jahren hat Herr Maier den Kredit zurückgezahlt?
Zeitpunkt Geldbetrag
Anfang 2006 10.000,00
2007 9.400,00
2008 8764,00
„Verzinsung – minus Rate“����„multipliziere mit 1.06 undsubtrahiere 1200“
H1/H2/H3
2008 8764,00
2009 8.089,80
2010 7.375,2
2011 6.617,70
2012 5.814,80
… …
… …
2017 1.017
2018 -122 © Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Weiterentwicklung des Modellierens in der Sek II
Exponentielles Wachstum
Begrenztes Wachstum
Logistisches Wachstum
Interagierende
Lineares Wachstum
Interagierende Systeme
Realität Mathematik
Reales
Real-modell
Mathemat.ModellMathematisieren
Str
uktu
riere
n
Sm
ulieren
Begrenztes Wachstum
Realmodell Charakteristik: Mathematisches ModellReales Problem
Mathemat.Lösung
RealeLösung
Interpretieren
Bew
erte
n
Charakteristik:− Die Änderungsrate ist
proportional zum verfügbarenfreien Platz. Der Zuwachs istnicht konstant
“Wortformel”“Neuer Bestand = alter Bestand + Zuwachs” DerZuwachs ist proportional zumverfügbaren freien Platz.
Mathematisches Modell
Differenzengleichungeny(n) - y(n-1) = r.(G - y(n-1))
Wachstumsrate r, Wachstumsgrenze G,Startwert y(0)
y(n) = y(n-1) + r.(G - y(n-1))
Realität Mathematik
Reales
Real-modell
Mathemat.ModellMathematisieren
Str
uktu
riere
n
Sm
ulieren
Logistisches Wachstum
Realmodell Charakteristik:Reales Problem
Mathemat.Lösung
RealeLösung
Interpretieren
Bew
erte
n
Charakteristik:Die Änderungsrate istproportional zum Bestandund zum Freiraum.
“Wort-Formel”“Neuer Bestand = alter Bestand + Zuwachs” . DerZuwachs ist proportional zum aktuellen Bestand und zum Freuraum.
Mathematisches Modell
Differenzengleichungen
y(n) - y(n-1) = r.y(n).(G - y(n-1))
y(n) = y(n-1) + r.y(n).(G - y(n-1))
Interagierende Populationen2 Populationen Bk und Rk beeinflussen einander.
Reuber-Beute-SytemBk+1 = q1.Bk – d.Rk.BkRk+1 = q2.Rk + c.Rk.Bk
Symbiose
KonkurrenzBk+1 = q1.Bk - d.Rk.BkRk+1 = q2.Rk - c.Rk.Bk
SymbioseBk+1 = q1.Bk + d.Rk.BkRk+1 = q2.Rk + c.Rk.Bk
Example: HIV and the Immune System –A Mathematical Model
[Josef Lechner,1999]Simulation 1: 1 Mutant is active.
Virus (type 1): v(n) = v(n-1) + R.v(n-1) – P.v(n-1).a(n-1)
Increase rate of thevirus (R=0,1)
Efficiency of theresistant cells
(P=0,002)
Increase rate of the Agressiveness of
Resistant cells (type 1): a(n) = a(n-1) + K.v(n-1) – U.v(n-1).a(n-1)
Increase rate of theimmune cells
(K=0,02)
Agressiveness ofthe viruses(U=0,00004)
Viruses (1): u1(n)=u1(n-1)+u1(n-1).(0.1- 0.002.u2(n-1))Starting value viruses: ui1=1
Resistant cells (1):u2(n)=u2(n-1)+0.02.u1(n-1)-0.00004.u5(n-1).u2(n-1)Starting value resistant cells ui2=0
Viruses (2):u3(n)= when(n=60, 1 , u3(n-1)+u3(n-1).(0.1- 0.002.u4(n-1)))Starting value viruses ui3=0
Simulation 2: 2 Mutants are active
Restistant cells (2):u4(n)=u4(n-1)+0.02.u3(n-1)-0.00004.u5(n-1).u4(n-1)Starting value resistant cells: ui4=0
Total number viruses: u5(n)=u1(n-1)+u3(n-1)Starting value: ui5(n)=0
Total number resistant cells: u6(n)=u2(n-1)+u4(n-1)Starting value: ui6(n)=0
Resistant cellsResistant cells
Virus
Simulation 3: 11 Mutant are activeUsing a program of J. Lechner a s a black box
VirusResistant cells
Realität Mathematik
Reales
Real-modell
Mathemat.ModellMathematisieren
Str
uktu
riere
n
Operieren
Modellieren ist keine innermathematische Tätigkeit
Beschreiben durch Reales Problem
Mathemat.Lösung
RealeLösung
Interpretieren
Operieren
Bew
erte
n
Datenmaterial Beschreiben durch
verschiedene Änderungsmaße
Welche Partei ist besser? [Bürger-Fischer-Malle, Mathematik Oberstufe Band 2]
In der Fernsehdiskussion diskutieren 2 Politiker der Parteien A und B über die Einkommensveränderung der Bevölkerung seit 1994
Jahr Einkommen (WE) Partei2001 4.800 A2002 5.100 A2003 5.500 A2003 5.500 A2004 5.800 A
2005 6.200
A
Wechsel
B2006 6.500 B2007 6.900 B2008 7.400 B
Welche Partei ist besser?
a) Absoluter Einkommenszuwachs
A
B
∆E =6200-4800=1400 €
∆E =7400-6200=1200 €
b) Mittlerer Einkommenszuwachs
A
B
∆E 1400= =350 €
4 4∆E 1200
= =400 €3 3
c) Relativer Einkommenszuwachs
A
0A
B
0B
∆E 6200-4800= =0,29=29%
E 4800
∆E 7400-6200= =0,19=19%
E 6200
d) Änderungsfaktord) Änderungsfaktor
E(1998) 6200= =1,29
E(1994) 4800
E(2001) 7400= =1,19
E(1998) 6200
Beschreibung der Änderung einer Funktion
f:A�B im Intervall [a,b] mit a,b aus A(1)AbsoluteÄnderung
∆f =f(b)-f(a)
0
(2)Re Änderung
( ) ( )=
( )
lative
f f b f af f a
∆ −∆ −∆ −∆ −
(4)Änderungsfaktor(3)MittlereÄnderungsrate
(Differenzenquotient)
∆f f(b)-f(a)=
∆a b-a
(4)Änderungsfaktor
(Wachstumsfaktor)
f(b)w =
f(a)
Modellieren
Fermi Aufgaben ����
Erkennen von MathematisierungsmusternErkennen von Mathematisierungsmustern
Enrico Fermi Kernphysiker (1901-1954)„Trotz mangelnder Informationen spontan gute Abschätzungen liefern“
Wie groß wäre wohl eine Person, die so einen großen Mund hätte?
Quelle: W. Herget, Vortrag beim Didaktiktag in Wien, Sept. 2006© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Quelle: Lernbuchverlag Friedrich
Komplexität
KI
K2
H1
K3
K om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierte
A ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkultur
Teil 3:Teil 3:Teil 3:Teil 3: H4Argumentieren,
Begründen
Argumentieren meint die Angabe von mathematischen Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/ Entscheidung sprechen. Argumentieren erfordert eine korrekte und adäquate Verwendung mathematischer Eigenschaften/ Beziehungen, mathematischer Regeln sowie der mathematischen Fachsprache.
Begründen meint die Angabe einer Argumentation(skette), die zu bestimmten Schlussfolgerungen/Entscheidungen führt.
Inhalt
Handlung
H1
I1
I2
I3
I4
Heugl
H2H3
H4
Induktives Schließen
Deduktives SchließenA
rgumentieren, B
egründen
Reden über
Erklären
Plausibel machen
Argum
entieren, Begründen
28:7 =
Beispiel: „Reden über das Dekadische Zahlensystem“
Beispiel: „Reden über das Dividieren“
Teil 1: Vergleiche die Ergebnisse![Quelle:
Wie entstehen die weiteren Divisionen aus der ersten?
a) 8: 4 = b) 72: 8 =16: 8 = 36: 4 =24:12 = 18: 2 =
Beispiel: „Reden über das Dividieren“
Teil 2: Was passiert mit dem mit dem Quotienten?[Quelle: Reichel-Hummenberger: Das ist Mathematik 1]
Berechne den Quotienten der Zahlen 32 und 4!(1) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und
Divisor mit 2 multipliziert?(2) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und
Divisor durch 2 dividiert?Divisor durch 2 dividiert?(3) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und
Divisor mit 10 multipliziert?(4) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und
Divisor durch 4 dividiert?
Teil 3: Was passiert beim „Nullen streichen“?
15000: 300 =
Teil 4: Was passiert beim „Komma verschieben“?
3,75 : 0,1250
Teil 1: Vergleiche die Ergebnisse!Wie entstehen die weiteren Subtraktionen aus der ersten?a) 8 - 4 = b) 25 - 20 =
10 - 6 = 21 - 16 =28 - 24 = 15 - 10 =
Teil 2: Berechne die Differenz von 34 und 28Wie ändert sich die Differenz, wenn man
Beispiel: „Reden über das Subtrahieren“
Teil 3: Erkläre das schriftliche Subtrahieren
582− 237
„7 und 5 ist 12“
„warum 12? Hier steht doch 2!
Wie ändert sich die Differenz, wenn mana) beide Zahlen um 7 vergrößert,b) beide Zahlen um 5 verkleinert,c) beide Zahlen verdoppelt?
Beispiel: „Seil um den Äquator“Um den Äquator ist ein Seil gespannt, das um 1 m länger ist als der Umfang des Äquators. Kommt eine Maus unter dem Seil durch?
Löse das Problem zuerst mit dem Taschenrechner und dann allgemein.Nimm statt der Erde eine Orange.
Argumentieren durch Operieren
Nimm statt der Erde eine Orange.
Vom Vermutenzum Beweisen
Winkelsumme im DreieckPhase 1: Vermuten, induktives Schließen
„Vom Vermuten zum Beweisen“
Winkelsumme im DreieckPhase 1: Vermuten, induktives Schließen
Winkelsumme im DreieckPhase 1: Vermuten, induktives Schließen
S
S
α β
h
Winkelsumme im DreieckPhase 2: Beweis („Parallelwinkel“)
g
Beispiel: „Rechteck Optimierung“Quelle: „Mathematik - Neue Wege 8“. Schmidt Günter Hrsg. Schroedel Verlang, Hannnover 2003. ISBN 3-507-8552-0
Experimentelle PhaseAufgabe 1: Rechteck OptimierungMit einer Schnur der Länge U kann ein Rechteck abgesteckt werden.Man kennt den Umfang eines Rechtecks: U = 120 m.
Fertige eine Tabelle an und zwar zuerst im Heft (Rechen mit dem TR)
Vom Vermuten zum Beweisen
Fertige eine Tabelle an und zwar zuerst im Heft (Rechen mit dem TR) und dann mit Hilfe der Tabellenkalkulation. Die Tabelle enthält folgende Größen (bei gegebenem Umfang U)
− die Länger der Seite a− die Länge der Seite b− den Flächeninhalt:
Starte mit a = 10 m und erhöhe die Länge a dann immer um 5 m.Ermittle mit Hilfe der Tabellenkalkulation auch ein Diagramm.Bei welchen Längen der Seiten a und b hat das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt?
GeoGebra
Exaktifizierende Phase
Aufgabe 2: Rechteck Optimierung
Beweise deine Vermutung von Aufgabe 1:Unter allen umfanggleichen Rechtecken hat das Quadrat den größten Flächeninhalt
Tips zum Beweis:Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat mit dem Umfang 4.a?
xxmit dem Umfang 4.a?
Verlängere die eine Seite des Quadrates um x und verkürze die andere um x. Welchen Umfang hat dieses Rechteck?Gib eine Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks an! Vereinfache die Formel!Vergleiche die Formeln für die Flächeninhalte von Rechteck und Quadrat! Begründe deine Behauptung!
a
a
(((( )))) (((( ))))(((( )))) 22
R
R
2
Q
xax).(axaA
4.axa2.xa2.u
aA
−−−−====−−−−++++========−−−−++++++++====
====
(((( ))))
222
R
axa
Folgerung
xax).(axaA
≤≤≤≤−−−−
−−−−====−−−−++++====
Experimentieren mit CAS
� Graph von A(x) im Graphikfenster untersuchen.
Berechnen mit Hilfe der Differentialrechnung
� A(x) = x.(60-x)
� A‘(x) = 30 – 2.x
� A‘(x) = 0 ���� x = 30
„Kein Schnittpunkt“Gegeben ist eine Gerade g: y = -2.x + 5 undeine Geradenschar hk : y = k.x + 1
Vermuten:
Zeichne die Gerade g und mehrere Gerade der Geradenschar hk. Für welches k hat die Gerade mit der Geraden g keinen Schnittpunkt? Geraden g keinen Schnittpunkt?
Begründen:
Begründe deine Vermutung algebraisch.
2k4
x
42)x.(k
1k.x52.x:hgk
++++====
====++++++++====++++−−−−∩∩∩∩
Ableitung der Sinusfunktion
Vermuten:
Experimentieren mit dem Differenzenquotienzen (Tabelle, Graph)
Exaktifizierende Phase:
Ableitung herleiten
GeoGebra
Beispiel 4: Experimentelle Phase:
Durch Experimentieren Monotonievermutungen aufstellen
Exaktifizierende Phase:Monotonie beweisen
Komplexität
KI
K2
H1
K3
K om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierte
A ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkultur
Teil 4 :Teil 4 :Teil 4 :Teil 4 :
H3Interpretieren
Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen im jeweiligen Kontext zu deuten.
Inhalt
Handlung
H1
I1
I2
I3
I4
Heugl
H2H3
H4
RealeLösung Interpretieren
Mathemat.Lösung
Von der mathematischen zur realen Lösung
Beispiel: „Tapetenrollen“
Beispiel: „Kühe auf der Weide“
Beispiel: „Sinnvolle Genauigkeit“
Weniger Kontrolle – mehr Straßenverkehr
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Beispiel 2: „Übertragungsrechte“
(a) Beschreibe: Was fällt Dir bei der Grafik auf?
(b) Fertige ein entsprechendes Schaubild mit linearer Ordinate und richtigen zeitlichen Abständen an
Von der Grafik zur GeschichteFahrt zum Supermarkt:
Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
Wettschwimmen auf der 30m-Bahn (2 Längen):
Die Distanz vom Startpunkt in Abhängigkeit von der Zeit
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Literatur und LinksBaden Württemberg, 2007: Homepage des Regierungspräsidiums (Schulabteilung)
Karlsruhe Fachbereich Mathematik (Gymnasien): Bildungsstandards 2004: http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/
BMBWK (Hrsg.) 2005: Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe. BMBWK, Sektion I. Internet: www.gemeinsamlernen.at
Blum, Werner (Hrsg.) (2006): „Bildungsstandards Mathematik konkret“ . S 16. Verlag Cornelsen. ISBN-10: 3-589-22321-9
Bruder, Regina (2006): „Langfristiger Kompetenzaufbau“ In Blum Werner (Hrsg.), 2006: Bruder, Regina (2006): „Langfristiger Kompetenzaufbau“ In Blum Werner (Hrsg.), 2006: „Bildungsstandards Mathematik konkret“ . S 135-152. Verlag Cornelsen. ISBN-10: 3-589-22321-9
NCTM (National Council of Teachers of Mathematics): “Principles&Standards for School Mathematics”. Homepage: http://standards.nctm.org/
Neubrand, Michael (Hrsg.) 2004: „Mathematische Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern in Deutschland“ (Deutsches PISA-2000-Konsortium). VS Verlag für Sozialwissenschaften. ISBN 3-531-14456-1
Schmidt Günter Hrsg :„Mathematik - Neue Wege 8“.. Schroedel Verlang, Hannnover2003. ISBN 3-507-8552-0
Peschek, Werner; Heugl Helmut (Hrsg.), (2007): „Standards für die mathematischenFähigkeiten österreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe“Version4/07. Institut für Didaktik der Mathematik, Alpen-Adria-Universität Klagenfurt.Homepage des Institutes: http://www.uni-klu.ac.at/idm/inhalt/295.htm
Links zum Thema
http://aufgabenpool.bifie.at/ : Aufgabenplattform Standards M12 (Sek II)
http://did.mat.uni-bayreuth.de/: Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik an der Universität Bayreuth: SINUS Transfer; Smart – die Aufgabendatenbank usw.
http://www.bildungsserver.de/db/mlesen.html?Id=12241 : Deutscher Bildungsserver
http://blk.mat.uni-bayreuth.de/indexblk.html : Server des BLK-Programms (Bundes-Länder-Kommission für Bildungsplanung und Forschungsförderung)
http://www.dorfmayr.org: Homepage von Anita Dorfmayr
http://www.leu-bw.de/ : Landesinstitut für Schulentwicklung (Baden Württemberg): Bildungspläne: Angebote für allgemein bildende Schulen, für berufliche Teilzeit- und Vollzeitschulen
http://rfdz.ph-noe.ac.at: Homepage des Regionalen Fachdidaktik Zentrums an der PH Baden
http://www.uni-klu.ac.at/idm/ : Homepage des Instituts für Didaktik der Mathematik an der Alpen-Adria-Universität Klagenfurt
http://www.acdca.ac.at/ : Homepage von ACDCA (Austrian Center for Didactics of Computer Algebra)
Traditioneller Unterricht
WissensbasenWerkzeuge
Kooperative Lernformen
Projekt „Medienvielfalt“
Selbstentdeckendes Lernen
ElektronischeMedien undWerkzeuge
ElektronischeWissensbasen undKommunikationsmedien
Interesse und Freude an Mathematik
DEU
DNK
AUTCZE
Werden Schülerbesser motiviert, weil sie das Gebotene als relevant für ihre Zukunft einschätzen?
Instrumentelle Motivation in Mathematik
AUT
Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten in Mathematik
AUT
FIN
Angst vor Mathematik
AUT
Charakteristika erfolgreicher PISA-Staaten
� Verbindliche Leistungserwartung
� Regelmäßiges Monitoring
� Evaluationskultur� Evaluationskultur
� Professionelle Test- und Evaluationsagenturen
� Positivere Einstellung zur schulischen Leistung
Bieler
Charakteristika erfolgreicher Schulen
� Konsens über Ziele und Normen
� Klare, anspruchsvolle Leistungserwartung
� Internes Rückmeldesystem� Internes Rückmeldesystem
� Autonomie und Rechenschaftslegung nach außen
Bieler
€
€
€
Aufgabe als Beispiel für überfachliche Standards: „Zeit für Schule“Aufgabenstellung: Setzt Euch mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander!
Standards für den mittleren BildungsabschlussDeutschland, Dezember 2003
© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl
Beispiel 2: Preissteigerungsrate(a) Ermittle die Preissteigerungsrate aus den Kosten W eines
„Warenkorbes“:im Jahr 2001 W1 = 6.470,-€im Jahr 2002 W2 = 7.060,-€
2 1W -W 7060-6740r = = = 0,0474 4,7%
W 6740®
1
r = = = 0,0474 4,7%W 6740
®
(b) Die Daten seien mit einem Fehler von ±1% behaftet. In welchem Intervall liegt dann die Preissteigerungsrate?
0,068WW
0,027
458WW182
7130,6W6989,4
6807,4W6672,6
12
12
2
1
≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤
≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
(c) Annahme: Der Fehler sei ±5%
6,8%r2,7%
0,068W
WW0,027
1
12
≤≤≤≤≤≤≤≤
≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤
15,8%r5,2% ++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−