1

EOQ model i njegova primjena

ZNANSTVENI RAD

Sveučilište u Zagrebu

Ekonomski fakultet – Zagreb Kolegij: Matematika Profesor mentor:Prof. dr. sc. Kristina Šorid Autor: Dominik Korinčid Br. Indeksa autora: 0036425727

2

Sadržaj:

1. Uvod…………………………………………………………………………………………………….............3

2. Varijable EOQ modela……………………………………………………………………………………3

3. Pretpostavke EOQ modela………………………………………………………………………………………..4

4. Pogrešan pristup……………………………………………………………………………………………………….5

5. Klasičan pristup deriviranjem……………………………………………………………………………………6

6. Algebarski pristup…………………………………………………………………………………………………….8

7. Primjer……………………………………………………………………………………………………………………11

8. Zašto koristiti EOQ model……………………………………………………………………………………….15

9. Literatura……………………………………………………………………………………………………………….18

3

1. Uvod

Osnovni problem poduzeća i proizvođača je, pri narudžbi sirovina ili dijelova, odrediti koju količinu naručiti. Velik broj literature bavi se navedenim problemom, ali su neke od najboljih knjiga povučene iz tiska1. Mnoge formule i algoritmi su stvoreni kako bi pobliže razjasnili i opisali navedeni problem. Među formulama najviše korištena je ujedno i najjednostavnija EOQ formula: EOQ (economic order quantiti), ili Lot size formula (formula veličine skladišta). EOQ je tokom proteklih 90 godina neovisno jedna od druge otkrivena nekoliko puta. Vidjet ćemo da je EOQ trivijalna formula i koristi nekoliko nerealnih pretpostavki. Ovo nas dovodi do pitanja, premda je nerealna kako to da formula opisuje problem toliko dobro? Uistinu, unatoč tome što postoje mnoge sofisticirane formule i algoritmi čak i velike korporacije rabe EOQ model. Općenito, velike korporacije, koje se koriste EOQ modelom ne žele da javnost ili konkurenti znaju da se koriste tako nesofisticiranim modelom.2

2. Varijable EOQ modela

Pretpostavimo da smo zainteresirani za optimalnu politiku zaliha sirovina.

EOQ model koristi 4 varijable:

D: Količina potražnja za sirovinama po jedinici vremena

Q: Količina narudžbe. To je varijabla koju želimo optimizirati

C: Trošak narudžbe. To je paušalni iznos naplaćen za bilo koju narudžbu, koji je neovisan o Q

h: Trošak držanja po jedinici (prostor u skladištu, hladnjači)

EOQ problem se može definirati kao određivanje količine narudžbe Q, koju određuje trošak narudžbe (C) i godišnji trošak držanja (h), kako bi minimizirao ukupni trošak.

1 James M. Caragal (2002), The EOQ inventory formula, Montgomery, str 1. 2 James M. Caragal (2002), The EOQ inventory formula, Montgomery, str 1.

4

Što je Q veći to ćemo manje trošiti na narudžbe, s obzirom da ćemo naručivati rjeđe. U drugu ruko što je Q veći više ćemo trošiti na zalihe. Za primijetiti je da je cijena sirovina ono što nas ne zanima. To je zato što namjeravamo zadovoljiti potražnju za sirovinama. Stoga je varijabla Q nezavisna o cijeni sirovina.

3. Pretpostavke EOQ modela

Pretpostavke modela možemo objasniti pomodu priloženog grafa 1. Ideja je u tome da sirovine stignu odmah i odjednom. Zatim potražnja za sirovinama je konstantna. Okomiti dijelovi grafa označeni s Q predstavljaju trenutak u kojem je skladište puno sirovina, intervali od 0 do T, pa T do 2T itd. predstavljaju period funkcije tj. period u kojem se skladište isprazni pod utjecajem potražnje D.

Graf 1.

Broj perioda navedene funkcije unutar jedne godine je upravo broj narudžbi nekog poduzeda unutar te godine.

5

4. Pogrešan pristup

Rješenje EOQ modela je količina koja minimizira ukupne troškove, a to iziskuje da mi odredimo što su troškovi. Vrijeme narudžbe je vremenski period između dvije uzastopne narudžbe. Vrijeme između dvije narudžbe koje demo označit sa P je Q/D. Na primjer ako je količina narudžbe 20 kg sirovina i stopa potražnje 5 kg sirovina po danu, tada je vrijeme narudžbe 20/5 ili 4 dana.

Neka je ukupni trošak za vrijeme narudžbe. Po definiciji C je trošak nabave po periodu narudžbe. Za vrijeme perioda narudžbe zalihe de stalno varirat između Q (naručene količine) i 0. Stoga je prosječna zaliha Q/2, a trošak zaliha za taj period je prosječni trošak, Q/2, puta dužina perioda, Q/D. Ukupan trošak perioda je:

D

Qh

Q+C=Tp

2

2D

2hQ+C=Tp

Ako deriviramo navedenu funkciju po varijabli Q te dobivenu prvu derivaciju izjednačimo sa 0 dobivamo Q=0. Dakle problem je riješen u slučaju da ne naručimo ništa. To uistinu minimizira trošak zaliha, ali uz činjenicu da ne naručujemo ništa pa samim time ni ne poslujemo. To je greška koju vedina ljudi radi pri nastojanju da riješe EOQ problem.

6

5. Klasičan pristup, deriviranjem

Prvi korak pri rješavanu EOQ problem je pravilan iskaz formule troška zaliha. To možemo učiniti na način da trošak po periodu podijelimo dužinom tog perioda Q/D.

Time dobivamo trošak po jedinici zalihe, :

U ovom iskazu formule trošak po naručenoj jedinici je , a je prosječni trošak

zaliha po jedinici vremena. Sad funkciju deriviramo po varijabli Q (količini), te dobivenu prvu derivaciju izjednačimo sa nulom.

7

Iz toga dobivamo optimalnu količinu Q* pri kojoj se minimiziraju ukupni troškovi.

Ako Q* ubacimo u dobivamo optimalni (minimalni) trošak po jedinici vremena.

= =

= =

= =

8

6. Algebarski pristup

Pristupimo problemu na drugi način, ako kroz taj pristup dobijemo jednako rješenje kao i u prvom potvrdit ćemo točnost našeg izvoda.

Ako funkciju pomnožimo sa Q uz malo sređivanja dobiti ćemo kvadratnu jednadžbu

s nepoznanicama Q i :

=

zatim pomnožimo dobivenu jednadžbu sa 2/h kako bi uz kvadratnu nepoznanicu dobili koeficijent 1.

I na kraju nadopunimo do kvadrata razlike.

Primijetimo da se kvadratna funkcija sastoji od dvije nepoznanice Q i . Kako je

funkcija od Q možemo je zapisati kao . Stoga grafički naša jednadžba (krivulja)

u koordinatnoj ravnini na apscisi ima Q, a na ordinati .

9

Mi želimo vrijednost od Q koja minimizira .

Primijetimo da je konstanta, stoga možemo jednadžbu zapisati kao:

Ako pretpostavimo = 0 tada je,

Ako vratimo u dobivenu relaciju

Dobivamo

što je rezultat jednak onome iz prvog pristupa problemu preko derivacija. Kvadratni dio naše funkcije jednak je nuli ako i samo ako je

10

Zašto ta pretpostavka = 0 ?

Ako pretpostavimo kontradikciju

zamjenimo

dobivamo

što bi značilo da naručena količina mora biti različita od optimalne, a to je u kontradikcija od onog što želimo dokazat. Iz toga slijedi da navedena pretpostavka mora vrijediti.

iz čega slijedi jednakost Q* h = Tu*. Gdje su Q*i Tu* optimalne vrijednosti.

11

7. Primjer:

Korisno je navest određeni primjer. Potražnja za mlijekom je 50 paketa tjedno. Trošak nabave je 30 kn (neovisno o veličini narudžbe), trošak držanja (zaliha) je 6 kn po paketu za tjedan dana. Uvrštavanjem navedenih vrijednosti u EOQ formulu dobivamo:

22,366

50302==Q

Kao što vidimo iz primjera rezultat je RQ te NQ bilo bi primjernije naručiti

mlijeko u litrama. Većinom najbliži prirodni broj dobivenom realnom rezultatu je naša optimalna količina narudžbe. U ovom slučaju naš ukupni trošak zaliha je

kn=Tu 134,18 po tjednu kad naručimo 22 l mlijeka, a u slučaju da naručimo 23 l

iznosio bi T u= 134,22l

12

Slika 1.

Iz priloženog grafa vidimo da u slučaju ako izaberemo nešto manju ili nešto veću količinu od optimalne to neće rezultirat u velikoj razlici ukupnog troška.

Možemo poboljšati naše razumijevanje grafa ako usporedimo graf troška narudžbe i troška držanja. Osnovni oblici sva tri grafa (ukupnog troška, troška narudžbe, troška držanja) su uvijek isti. Graf troška narudžbe je hiperbola, troška držanja linearan

(pravac), a kao rezultat toga graf ukupnog troška T u je konveksan.

13

Slika 2.

To također možemo vidjeti u tome da je funkcija

rastuda, a druga derivacija od je uvijek pozitivna.

14

Ako sad u drugu derivaciju od Tu uvrstimo optimalnu količinu Q* dobivamo:

Obično ova zadnja veličina je vrlo mala, što ukazuje da se ukupan trošak zaliha mijenja vrlo sporo s promjenom Q. Stoga pretpostavke EOQ modela ne moraju bit precizne, jer je model tolerantan na odstupanja.

Ako bolje promotrimo sliku 2. s dva grafa možemo primijetiti da njihova suma postiže minimum upravo u sjecištu dvije navedene krivulje i pravca, a to je u točki u kojoj su troškovi narudžbe i troškovi držanja jednaki. Iz toga slijedi jednakost:

Sređivanjem dobivamo

15

upravo ono što smo na početku izveli, optimalnu količinu, u nekim literaturama zvanu EOQ formula ili EOQ model.

8 Zašto koristiti EOQ model

Problem koji se pojavljuje u primijenjenoj matematici i rješavanju problema, kao navedenih u primjeru, leži u primjeni aplikacija, koje pomodu programskih kodova s implementiranim formulama rješavaju takve problem, za nas. Bez da se mi zamaramo s razumijevanjem same računice, jer programski kodovi to izvršavaju za nas. Pokušajmo zamisliti kako je bilo riješiti problem navedenog tipa prije recimo 40 godina. Jednostavna operacija poput recimo dijeljena izvršavana je ručno, korištenje logaritamskih tablica i klizedeg pravila bili su nužni za rješavanje problema. Primjerice nije bilo praktično jednostavno izračunati ukupan trošak zaliha za veliki skup narudžbi i jednostavno usporediti rezultate. EOQ model pojednostavljuje problem na minimalan broj računskih operacija. Danas je uistinu lako i brzo izračunati troškove velikih narudžbi koristedi jednostavne kompjuterske aplikacije poput excel-a, dok bi nam za isto EOQ metodom bilo potrebo podosta vremena.

Možemo koristiti proračunske tablice. Slika 3 pokazuje kako naš navedeni primjer riješiti pomodu proračunskih tablica.

16

Slika 3.

Naručena količina Ukupni trošak Trošak

narudžbe Trošak držanja

1 1503,00 1500,00 3,00

2 756,00 750,00 6,00

3 509,00 500,00 9,00

4 387,00 375,00 12,00

5 315,00 300,00 15,00

6 268,00 250,00 18,00

7 235,29 214,29 21,00

8 211,50 187,50 24,00

9 193,67 166,67 27,00

10 180,00 150,00 30,00

11 169,36 136,36 33,00

12 161,00 125,00 36,00

13 154,38 115,38 39,00

14 149,14 107,14 42,00

15 145,00 100,00 45,00

16 141,75 93,75 48,00

17 139,24 88,24 51,00

18 137,33 83,33 54,00

19 135,95 78,95 57,00

20 135,00 75,00 60,00

21 134,43 71,43 63,00

22 134,18 68,18 66,00

23 134,22 65,22 69,00

24 134,50 62,50 72,00

25 135,00 60,00 75,00

26 135,69 57,69 78,00

27 136,56 55,56 81,00

28 137,57 53,57 84,00

29 138,72 51,72 87,00

30 140,00 50,00 90,00

31 141,39 48,39 93,00

32 142,88 46,88 96,00

33 144,45 45,45 99,00

34 146,12 44,12 102,00

35 147,86 42,86 105,00

36 149,67 41,67 108,00

37 151,54 40,54 111,00

38 153,47 39,47 114,00

39 155,46 38,46 117,00

40 157,50 37,50 120,00

17

Dakle uzimamo ved navedeni primjer 1 i izračunavamo za široki raspon količine trošak narudžbe, trošak držanja i ukupni trošak. Potrebno je od prilike 15 min da bi sastavili ovakvu proračunsku tablicu, a vedinu vremena potrošimo na unos podataka. Velika prednost kod proračunskih tablica je, kada je jednom formiramo i određene vrijednost izračunamo pomodu ugrađenih formula, svaka daljnja promjena bilo koje od navedenih varijabli automatski mijenja i ostale varijable zavisne o promijenjenoj varijabli. Navedena tablica mi je poslužila kao osnova za formiranje svih navedenih grafova u seminaru.

Proračunske tablice su opdenito dobar alat u diskretnoj matematici. Rukovodedi se time softverske kompanije su obogatile proračunske tablice stotinama znanstvenih funkcija. Baš kao i formule, proračunske tablice se mogu formirati tako da sadrže pretpostavke realnije od onih korištenih u EOQ modelu.

18

LITERATURA

Knjige i znanstveni časopisi

1. James M. Cargal (2002), “The EOQ inventory formula“, Mathematical department, Troy state University Montgomery, Working paper No. 19, Montgomery AL 36103 2. Bill Roach (2005), “Origins oft he Economic Order Quantita Formula“, Washburn University School of Bussines, Working paper No. 37, Washburn 3. David J. Piasecki(2009), Inventory Managment Explained: A focus on Forcasting, Lot Sizing, Safety Stock, and Ordering System, Villanova Press, Vilanova, PA U.S.A.

Internet

1. http://scm.ncsu.edu/public/inventory/6eoq.html 2. http://www.investopedia.com/terms/e/economicorderquantity.asp 3. http://www.pafis.shh.fi/~stecon02/afis/ws1/ 4. http://www.referenceforbusiness.com/small/Di-Eq/Economic-Order-Quantity.html

19