Ensino Mdio: Mtodo de Tartaglia para obter razes de equao do 3o. grau

Apresentaremos o desenvolvimento terico do mtodo de Tartaglia, tambm conhecido como mtodo de Cardano, uma vez que este ltimo tornou pblico o trabalho de Tartaglia. Detalhes histricos sobre estes assuntos podem ser obtidos na segunda bibliografia no final desta pgina.

Uma equao geral do terceiro grau na varivel x, dada por:

a x + b x + c x + d = 0

e se o coeficiente a do termo do terceiro grau no nulo, dividiremos esta equao por a para obter:

x + (b/a) x + (c/a) x + (d/a) = 0

e assim iremos considerar s as equaes em que o coeficiente de x seja igual a 1, isto , equaes da forma geral:

x + A x + B x + C = 0

onde A=b/a, B=c/a e C=d/a. Fazendo a substituio detranslao:

x = y-A/3

na equao acima, obteremos:

y + (B-A/3) y + (C-AB/3+2A/27) = 0

e tomando p=(B-A/3) e q=C-AB/3+(2/27)A, poderemos simplificar a equao do terceiro grau na varivel y, para:

y + p y + q = 0

Como toda equao desta forma possui pelo menos uma raiz real, ns procuraremos esta raiz na forma y=u+v. Substituindo y por u+v, na ltima equao, obteremos:

(u+v) + p(u+v) + q = 0

o que equivale a

u + v + 3uv(u+v) + p(u+v) + q = 0

ou seja

u + v + (3uv+p)(u+v) + q = 0

Usando esta ltima equao e impondo a condio para que:

p = -3uveq= -(u+v)

obteremos valores de u e v para os quais y=u+v dever ser uma raiz da equao. Estas ltimas condies implicam que:

u v=-p/27eu+v = -q

Considerando u e v como variveis, o problema equivale a resolver uma equao do 2o. grau da forma:

z - S z + P = 0

onde

S = soma das razes = u + vP = produto das razes = u v

Resolveremos agora a equao do 2o. grau:

z + q z - p/27 = 0

para obter aspartesu e v da primeira raiz:

r1= u + v

Com odiscriminantedesta ltima equao, definido por:

D = q/4 + p/27

e utilizando a frmula de Bhaskara (o prprio Bhaskara relatou em um trabalho, que no de sua autoria a frmula, mas do matemtico hindu Sridhara), obtemos:

u = -q/2 + Dv = -q/2 - DA primeira raiz r1da equao original

x + A x + B x + C = 0

depende da translao realizada no incio e ser dada por:

r1= u + v - A/3

Como r1 uma raiz, utilizaremos a diviso

(x + A x + B x + C)/(x-r1)

para obter a polinomial de segundo grau:

p(x) = x + (A+r1)x - C/r1com o resto da diviso igual a:

Resto = r1 + A r1 + B r1+ C

que ser nulo ou muito prximo de zero se o valor for aproximado.

Os zeros desta equao do segundo grau, podem ser obtidos facilmente e as outras duas razes dependem do valor D que o discriminante desta ltima polinomial.

Pela anlise destes valores, conheceremos as caractersticas das razes da equao x+Ax+Bx+C=0.

DiscriminanteDetalhes sobre as razes da equao

D=03 razes reais, sendo duas iguais

D>01 raiz real e 2 razes complexas conjugadas

D