Ministero dell’IstruzioneScuola Statale Secondaria di Primo Grado

“Tommaso Fiore” di BariSezione Ospedaliera

Scuola in Ospedale - Didattica a Distanza

Approfondimento di Matematica:

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

Docente

Prof.ssa Elena Dilonardo

Le identità e le equazioni

Un’identità è un’uguaglianza tra due espressioni algebriche, verificata per qualunque valore attribuito alle

lettere che vi compaiono.

Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, che è vera solo per particolari

valori delle lettere.

Osserviamo che le identità sono particolari equazioni.

Risolvere un’equazione vuol dire trovare tutti i valori numerici che, sostituiti alle incognite, rendono vera

l’uguaglianza. Questi valori si chiamano soluzioni o radici dell’equazione.

La 𝒙 è l’incognita e indica il numero da trovare. Il valore di 𝒙 che rende vera l’uguaglianza si chiama soluzione.

Nel caso dell’equazione 2𝒙+ 1 = 11:

𝒙 = +5 è la soluzione

perché

2 ∙ (+5) + 1 = 11

L’insieme S delle soluzioni di un’equazione può quindi essere vuoto, finito e non vuoto (e, in particolare, essere

costituito da un unico elemento) o infinito.

Equazioni equivalenti

Due o più equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Esempio: 𝒙 + 2 = 4 e 3𝒙 = 6

La soluzione per entrambe è 𝒙 = 2.

Infatti:

2 + 2 = 4 e 3 ∙ 2 = 6

Per risolvere più facilmente le equazioni, si cerca di trasformarle in equazioni equivalenti, applicando i

principi di equivalenza.

I principi di equivalenza

Primo principio di equivalenza

Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa

espressione si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Dal primo principio si possono ricavare due utili conseguenze:

regola del trasporto: in un’equazione un qualsiasi termine può essere trasportato da un membro all’altro

cambiando il suo segno; si ottiene così un’equazione equivalente;

regola di elisione: se nei due membri di un’equazione compaiono due termini uguali, questi possono

essere eliminati; si ottiene così un’equazione equivalente.

Primo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero o per una stessa

espressione diversi da 0, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Dal secondo principio si possono ricavare due utili conseguenze:

regola del cambiamento di segno: cambiando il segno a ciascun termine di un’equazione si ottiene

un’equazione equivalente a quella data;

regola della riduzione a coefficienti interi: un’equazione a coefficienti frazionari può essere trasformata in

un’equazione equivalente a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. di tutti i

denominatori.

Ora prova tu!

Tra le seguenti equazioni, individua quelle equivalenti all’equazione data.

2𝒙 − 3 = −5𝒙 + 2

a.

b.

c.

d.

f.

4𝑥 − 2 = −5𝑥 + 2

3𝑥 = −5

1

2𝑥 −

1

3= −

1

5𝑥 +

1

2

2𝑥 − 2 = −5𝑥 + 3

8𝑥 − 12 = −20𝑥 + 8

Ecco le soluzioni:

2𝒙 − 3 = −5𝒙 + 2

a.

b.

c.

d.

f.

4𝑥 − 2 = −5𝑥 + 2

3𝑥 = −5

1

2𝑥 −

1

3= −

1

5𝑥 +

1

2

2𝑥 − 2 = −5𝑥 + 3

8𝑥 − 12 = −20𝑥 + 8

XÈ equivalente a quella data perchè

è stata applicata la regola del trasporto.

XÈ equivalente a quella data perchè è

stato applicato il 2° principio di equivalenzamoltiplicando ciascun termine per 4.

La risoluzione di equazioni di 1° grado

Un’equazione di primo grado in una incognita si dice ridotta in forma normale se in essa compaiono solo due

termini: al primo membro il termine con l’incognita e al secondo membro il termine noto.

ax = b

a coefficiente

x incognita

b termine noto

Esempio:

Una volta scritta l’equazione in forma normale, 𝒂𝒙 = 𝒃, si può avere:

● a ≠ 0 l’equazione è determinata: ha una sola soluzione 𝒙 =𝒃

𝒂.

Esempio: 5𝒙 = 10 𝒙 = 10

5= 2

● a = 0 l’equazione è impossibile: non esistono soluzioni.

Esempio: 0𝒙 = 10

● a = 0, b = 0 l’equazione è indeterminata: ha infinite soluzioni.

Esempio: 0𝒙 = 0

Nessun numero moltiplicato per 0può dare un numero diverso da 0!

Qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0!

Verifica

Per verificare un’equazione bisogna sostituire all’incognita 𝒙 la soluzione trovata e risolvere l’espressione ottenuta.Se i due membri dell’uguaglianza sono uguali, allora la soluzione è corretta.

Esempio:

Si possono avere tre casi:

•L’equazione ax = 0, con a ≠ 0, è un particolare tipo di equazione determinata la cui unica soluzione è x = 0.

È un’equazione di questo tipo, per esempio, 2x = 0.

•L’equazione indeterminata 0x = 0 è un’identità.

Cenni sulle equazioni di 2° grado

Nelle equazioni di 2° grado l’incognita 𝒙 compare elevata al quadrato: 𝒂𝒙² = 𝒃.

La soluzione si trova con la formula: 𝒙 = ±𝒃

𝒂.

Esempio:

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche.

Le disequazioni

3x – 5 > –6 a2 + b ≤ 2a

Nelle disequazioni il segno di uguale è sostituito da uno di maggiore (>), maggiore o uguale (≥), minore (<),minore o uguale (≤).

Esempio:

2𝒙 < 8 𝒙 <𝟖

𝟐𝒙 < 4

La soluzione della disequazione

è l’insieme dei numeri < di 4.

⁴

₁

Risolvere una disequazione vuol dire trovare tutti i valori numerici che, sostituiti alle incognite, rendono vera

la disuguaglianza. Questi valori sono le soluzioni della disequazione.

La risoluzione di disequazioni

Per risolvere le disequazioni si applicano le stesse regole delle equazioni (regola del trasporto e principi diequivalenza), ma con una particolarità: se si moltiplica o si divide per un numero negativo bisognacambiare il verso della disequazione.

Esempio:

−𝒙 < −9 −𝒙 ∙ (-1) > −9 ∙ (-1) 𝒙 > 9

La soluzione della disequazione

è l’insieme dei numeri > di 9.

L’insieme S delle soluzioni può essere vuoto, finito e non vuoto o infinito e si può rappresentare su una retta

orientata.

Due o più disequazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.Una disequazione di primo

grado in una incognita è ridotta in forma normale se è scritta in uno dei seguenti modi:

ax > b ax < b ax ≥ b ax ≤ b

Primo principio di equivalenza

Addizionando o sottraendo a entrambi i membri di una disequazione uno stesso numero o una stessa espressione

si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Dal primo principio di equivalenza derivano anche in questo caso la regola del trasporto e la regola di elisione.

Secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero positivo, si ottiene

una disequazione equivalente a quella data.

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero negativo e

cambiando il verso della disuguaglianza, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Ora prova tu!

Calcola le soluzioni delle disequazioni e completa le frasi.

● 𝑥 + 4 < 5 Sono soluzioni della disequazionei numeri ........... di .....

● 2𝑥 > 10 Sono soluzioni della disequazionei numeri .......... di .....

● 4𝑥 ≤ 8 Sono soluzioni della disequazionei numeri ........................ a .....

Ecco le soluzioni:

● 𝑥 + 4 < 5 𝑥 < 5 − 4 𝑥 < 1 Sono soluzioni della disequazionei numeri minori di 1.

● 2𝑥 > 10 𝑥 >102

𝑥 > 5Sono soluzioni della disequazionei numeri maggiori di 5.

⁵

₁

● 4𝑥 ≤ 8 𝑥 ≤84

𝑥 ≤ 2Sono soluzioni della disequazionei numeri minori o uguali a 2.

²

₁