escher l'artista matematico

Prof. ssa Francesca ZabattaI.I.S. Caravaggio - Roma

a.s.2014/15

Non si pu parlare di Escher senza parlare di

simmetria.

La presenza di simmetria ed equilibrio proporzionale

nelle pi alte espressioni creative delluomo,

testimonia, fin dallantichit, lo stretto rapporto che

tali concetti realizzano tra scienza, estetica ed arte.

Lesigenza di individuare nellarte un linguaggio

decifrabile di forme ha sempre indotto gli artisti ad

utilizzare i canoni geometrici, a volte anche

intuitivamente, anticipando in alcune conclusioni i

matematici stessi.

La simmetria

Nel mondo dellarte figurativa, la

ripetitivit simmetrica di elementi

costituisce un modello seguito

fin dalle prime manifestazioni

artistiche.

Alhambra, Granada

Pavimento di unantica casa romanaTivoli: Villa Adriana

Tramite il nostro approfondimento vogliamo

analizzare le simmetrie del piano legate alle

tassellazioni e individuarle nelle opere di

Escher.

Per tassellazione si intende la divisione regolare

del piano, linsieme di forme chiuse che lo

ricoprono completamente, senza sovrapporsi e

senza lasciare spazi vuoti.

Esempi di tassellazioni sono le piastrellature di

pavimenti o pareti, ma molto ricorrenti sono

state anche le loro applicazioni nel mondo della

decorazione.

Le tassellazioni possono essere periodiche e non

periodiche (vedremo solo il primo tipo), ma

prima di parlarne, iniziamo il nostro percorso

con delle semplici considerazioni.

Le tassellazioni

Escher: disegno preparatorio per la

litografia Rettili (1943)

Simmetrie: metafore letterali

La geometria si interessa delle propriet delle figure. Per semplicit consideriamo la

geometria dellalfabeto, relativa alle propriet delle lettere.

1) Prendiamo ad esempio la lettera b: riflettendola

verticalmente, in uno specchio disposto parallelamente ai

lati lunghi del foglio, otteniamo la lettera d.

2) Riflettendola invece orizzontalmente, in uno specchio

parallelamente ai lati corti del foglio, otteniamo la lettera p.

La riflessione rispetto ad una retta anche

detta simmetria assiale.


4) traslazione

4) La traslazione la trasformazione che si

ottiene mediante due riflessioni verticali partendo

dalla lettera b.

3) Se invece ruotiamo il foglio di 180 oppure

lo guardiamo dalla altra parte del tavolo, la b si

trasforma in una q.

3) rotazione


Notiamo che la rotazione di 180 si pu ridurre a due

opportune riflessioni: riflettendo la lettera b

verticalmente otteniamo la d e riflettendo

questultima orizzontalmente otteniamo la q, senza

rotazioni.

Non sarebbe invece possibile evitare le riflessioni:

non c modo di ruotare b o q in modo da ottenere

d o p.

La glissoriflessione la composizione di una

riflessione e di una traslazione.

5) glissoriflessione

La riflessione ha un ruolo cruciale nel campo

delle trasformazioni geometriche e viene

definita SIMMETRIA GEOEMTRICA, di

cui sono esempi

le impronte dei piedi di un soldato sullattenti (sono legate da una riflessione)

se il soldato effettua un fianco-destro senza spostarsi, le impronte dello stesso piede

sono legate da una rotazione

se il sodato in marcia, le impronte dello stesso piede sono legate da una traslazione

.e quelle di piedi diversi da una glissoriflessione

pi in generale possiamo dire che il nostro corpo caratterizzato da una simmetria

bilaterale, come pure una farfalla

Simmetria bilaterale della

farfalla

Le trasformazioni appena analizzate prendono

il nome di isometrie ovvero movimenti rigidi

che mantengono inalterate le distanze.

Le tassellazioni periodiche

Sono realizzate con tasselli che si moltiplicano in modo ricorrente; losservazione

di tali tassellazioni rende facilmente percettibile la regolarit con cui i tasselli si

ripetono.

I tasselli possono avere una struttura basata su un numero limitato di figure

geometriche: triangoli ed esagoni regolari, quadrilateri (parallelogrammi, rombi,

rettangoli e quadrati). Le possibili variazioni ottenute per trasformazione delle

figure sono anchesse di un numero finito di gruppi (17).

REALIZZAZIONE DI TASSELLAZIONI PERIODICHE

Per realizzare questo tipo di tassellazioni si seguono le seguenti operazioni:

scelta della forma del tassello;

tracciatura del motivo, possibilmente avvalendosi degli elementi strutturali

della figura scelta (vertici, punti medi,centro, diagonali e mediane) oppure di

griglie;

replica del motivo mediante trasformazione (traslazione, rotazione,

simmetria);

colorazione dei diversi elementi della tassellazione;

eventuale replica di gruppi di tasselli.

Vediamo qualche esempio.

ESEMPIO 1

In un quadrato si disegna un motivo

con una simmetria assiale rispetto

ai due assi mediani del quadrato.

Dopo aver colorato il motivo si replica

il tassello per traslazione.


ESEMPIO 2

Si divide un esagono regolare mediante

le diagonali e gli assi di simmetria.

Dopo aver colorato i triangoli, si

replica il tassello per traslazione.


ESEMPIO 3

In un quadrato si disegna un trapezio

isoscele, che verr sottratto al

quadrato.

Si sottrae un secondo trapezio replicato

per simmetria assiale dal

primo.

Si sommano due trapezi ottenuti

per rotazione dei precedenti.

Si ottiene il tassello, da replicare nel

piano per traslazione e rotazione.


ESEMPIO 4

Da un esagono regolare si sottrae

un triangolo ottenuto dalle diagonali.

Lo stesso triangolo viene aggiunto

dopo traslazione.

Si ottiene il modulo elementare.

Con due copie del modulo ruotato

di 120 si definisce il tassello, che

viene poi replicato per traslazione.


Alcune definizioni

Nelle opere di Escher la simmetria ricopre un ruolo fondamentale.

Ci proponiamo ora di trovare, oltre alle simmetrie, la CELLA UNITARIA dellimmagine

(detta anche dominio fondamentale) e la REGIONE GENERATRICE.

Si definisce CELLA UNITARIA dellimmagine il parallelogramma costituito da due

vettori che generano tutte le traslazioni possibili della figura.

La cella unitaria pu variare dimensioni a seconda che si considerino o meno i diversi

colori del disegno.

Si definisce REGIONE GENERATRICE la pi piccola regione poligonale del piano in

cui limmagine, attraverso lapplicazione delle diverse trasformazioni (isometrie), non

solo delle traslazioni, ricopre tutto il piano.

ESCHER LE OCHE

Il disegno caratterizzato da due figure diverse:

oche bianche ed oche celesti, diverse non solo per

il colore ma anche per la forma (becco e coda).

Ai fini del nostro studio possiamo anche non

considerare il colore, dato che le oche presentano

delle leggere differenze. Gli animali sono disposti

in riga e colonna, le simmetrie della figura sono

dunque date dai due vettori che generano la cella

unitaria, che in tal caso coincide con la regione

generatrice.

ESCHER I CAVALIERI

In questa seconda immagine il cavaliere chiaro e il cavaliere

scuro sono perfettamente sovrapponibili (con la dovuta

trasformazione). Lo studio dell immagine analogo al caso

delle oche, ma ora pi interessante guardare il disegno

prendendo re in considerazione la differenza di colore fra i

due cavalieri.

Si nota che applicando una glissoriflessione si trasforma

un cavaliere bianco in uno nero e viceversa. Lasse di

questa trasformazione obbligatoriamente verticale, o

fra le schiene o fra i polsi, con un vettore diretto verso

lalto o verso il basso di modulo pari a met del vettore

relativo alla traslazione verticale.

Nellimmagine a destra si vede come la cella unitaria

(verde) sia pi grande della regione generatrice

(azzurra).

ESCHER CONCHIGLIE E STELLE MARINE

Limmagine ha tre figure principali: un gruppo di

conchiglie rosse, una stella marina gialla e altre

conchiglie diverse per colore e forma dalle prime.

Si pu quindi analizzare il disegno

indipendentemente dai colori.

Si nota che la cella unitaria il quadrato che unisce

il centro delle conchiglie rosse (o delle altre

conchiglie o delle stelle marine, indifferentemente),

grazie ai due vettori generatori, uno verticale e

laltro orizzontale.

La regione generatrice per un quarto della cella

unitaria, infatti si possono applicare nei centri dei

gruppi di conchiglie (quadratini gialli) delle

rotazioni di 90. Nei due vertici rimanenti della

regione generatrice (punti verdi) si possono

applicare solo due rotazioni di 180 (considerando

le conchiglie rosse aventi un centro di simmetria).

ESCHER I PESCI

I pesci differiscono solo per il colore (rosso e grigio)

e si presentano in gruppi di sei. Ogni pesce pu

essere considerato in tre differenti cerchi, a seconda

che ponga nel centro del cerchio la bocca, la pinna

caudale o la pinna dorsale.

Considerando i colori possiamo trovare solo delle

traslazioni o delle rotazioni di 120 con centro nei

triangoli rossi. Per quanto riguarda la cella unitaria

sempre il rombo delimitato dai due vettori rossi,

mentre la regione generatrice il rombo pi acceso.

Senza distinguere i due colori la cella rimane uguale,

ma la regione generatrice la met di quella

predente: infatti si hanno delle rotazioni di 60 con

centro nei triangoli rossi. In ultimo si hanno delle

simmetrie centrali (con centro nei punti verdi) che

trasformano pesci rossi in pesci grigi e viceversa.

ESCHER I GRANCHI

Analizziamo il disegno prima considerando la diversit di

colore per poi passare ad enunciare le differenze che si

trovano senza considerala.

I vettori generatori (a, b) sono lunghi due granchi sia in

verticale che in orizzontale, individuando un rettangolo

contenete quattro granchi come cella unitaria, la regione

generatrice rappresentata invece dalla met di questa (met

granchio rosa e met blu).

Fra gli esempi riportati lunico che gode di una simmetria

assiale, tutti gli assi sono verticali e dividono in due i

granchi. I punti verdi rappresentano simmetrie centrali (o

anche rotazioni di 180 gradi), mentre le righe viola

tratteggiate sono gli assi delle possibili glissoriflessioni.

Nell ultima immagine si pu notare che se non si

considerano le diversit di colori la cella unitaria si dimezza

(la componente verticale infatti lunga un solo granchio) e

di conseguenza anche la regione generatrice la met (si

nota di un colore pi acceso). Le glissoriflessioni (tratteggi

fucsia) e simmetrie centrali (pallini verdi) sono raddoppiati

in quanto ne abbiamo anche che trasformano granchi rosa in

granchi blu.

Bibliografia - Sitografia

Francesca Zabatta Tassellazioni del piano Tesi di Laurea in MatematicaUniversit Studi Roma Tre Relatore Prof. Andrea Bruno

Piergiorgio Odifreddi Simmetrie: metafore letterali http://www.polito.it/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Settembre_02/APPUNTI.HTM

Sergio Sammarone Scheda di approfondimento onlinehttp://www.online.scuola.zanichelli.it/sammaronedisegno/

Chiara Gandolfi Tassellatura periodica fra matematica e arte: Escher - classe IV CLiceo Scientifico Statale N. Copernico, Bologna - A.S. 2005/2006

escher l'artista matematico

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