escola de engenharia c++ ford-fulkerson. c++ - ford-fulkerson prof. lincoln cesar zamboni fonte,...

ESCOLA DE ENGENHARIA

C++Ford-Fulkerson

C++ - Ford-FulkersonC++ - Ford-Fulkerson Prof. Lincoln Cesar ZamboniProf. Lincoln Cesar Zamboni

Fonte, Sumidouro, Fonte, Sumidouro, Capacidade e FluxoCapacidade e Fluxo

22 33

11 66

44 55

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

FonteFonte( s )( s )

SumidourSumidouroo

( t )( t )

CapacidadCapacidadee

( c )( c )

FluxoFluxo( f )( f )

exemplos:exemplos:cc52 52 = 4= 4 ff52 52 = 3= 3

cc36 36 = 13= 13 ff36 36 = 6= 6

2/14


CondiçõesCondições

0 0 f fijij c cijij

(fluxo não supera (fluxo não supera capacidade) capacidade)

0 < c0 < cijij

(capacidade não negativa)(capacidade não negativa)

nos arcos:nos arcos:

ii jjccijij, f, fijij

nos vértices:nos vértices:

iiffijij

(sai)(sai)

ffkiki

(entra)(entra)

0, se e

, se

, se ij ki

j k

i s i t

f f F i s

F i t

(conservaç(conservação) ão)

soma soma dos que dos que

saemsaem

soma soma dos que dos que entramentram

3/14


CortesCortes

22 33

11 66

44 55

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

corte corte (A, (A, B)B)

c(A, B) = 5 + 13 = 18c(A, B) = 5 + 13 = 18f(A, B) = - 5 - 3 + 2 + 6 = 0f(A, B) = - 5 - 3 + 2 + 6 = 0

(A, B)(A, B)A = {2, 3}A = {2, 3}B = {1, 4, 5, B = {1, 4, 5, 6}6}

c(C, D) = 7c(C, D) = 7f(C, D) = - 4 + 4 = 0f(C, D) = - 4 + 4 = 0

(C, D)(C, D)C = {4}C = {4}D = {1, 2, 3, 5, D = {1, 2, 3, 5, 6}6}

este simeste simxx este nãoeste não

++ ++

--

--

não contém a não contém a fonte e nem o fonte e nem o

sumidourosumidouro

não contém a não contém a fonte e nem o fonte e nem o

sumidourosumidouro

xx xx

xx

xx

capacidacapacidade do de do corte corte (A, B)(A, B)

fluxo fluxo do do

corte corte (A, B)(A, B)

4/14


Cortes (continuação)Cortes (continuação)22 33

11 66

44 55

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

contém contém o o

sumidousumidouroro

c(E, F) = 20 + 7 = 27c(E, F) = 20 + 7 = 27f(E, F) = 5 + 4 = 9f(E, F) = 5 + 4 = 9

(G, H)(G, H)G = {5, 6}G = {5, 6}H = {1, 2, H = {1, 2, 3, 4}3, 4}

contém contém a fontea fonte

(E, F)(E, F)E = {1, 4}E = {1, 4}F = {2, 3, 5, F = {2, 3, 5, 6}6}

c(G, H) = 4c(G, H) = 4f(G, H) = 3 - 2 - 6 - 4 = -9f(G, H) = 3 - 2 - 6 - 4 = -9

5/14


Cortes (continuação)Cortes (continuação)

22 33

11 66

44 55

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

c(I, J) = 20 + 10 = 30c(I, J) = 20 + 10 = 30f(I, J) = 5 + 4 - 6 - 3 = 0f(I, J) = 5 + 4 - 6 - 3 = 0

contém a contém a fonte e o fonte e o

sumidourosumidouro

(I, J)(I, J)I = {1, 6}I = {1, 6}J = {2, 3, 4, J = {2, 3, 4, 5}5}

xx

este simeste simxx este nãoeste não

xx

xx xx

6/14


Cortes do Tipo (S, T)Cortes do Tipo (S, T)

22 33

11 66

44 55

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

c(Sc(S11, T, T11) = 20 + 10 = 30) = 20 + 10 = 30f (Sf (S11, T, T11) = 5 + 4 = 9) = 5 + 4 = 9

contém contém a a

fontefonte

contém contém o o

sumidousumidouroro

SS11

SS33

SS44

c(Sc(S22, T, T22) = 11 + 10 = 21) = 11 + 10 = 21f (Sf (S22, T, T22) = 8 – 3 + 4 = 9) = 8 – 3 + 4 = 9

c(Sc(S33, T, T33) = 13 + 3 = 16) = 13 + 3 = 16f (Sf (S33, T, T33) = 6 + 3 = 9) = 6 + 3 = 9

c(Sc(S44, T, T44) = 11 + 7 = 18) = 11 + 7 = 18f (Sf (S44, T, T44) = 8 - 3 + 4 = 9) = 8 - 3 + 4 = 9

SS22

7/14


Cortes (S, T) e não (S, T)Cortes (S, T) e não (S, T)

44 55

22 33

11 66

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

fontefonte sumidourosumidouro

0, se (s X,X' t Y,Y')

( , ) ( ', ') 0, se (s Y,Y' t X,X')

0, nos outros casos

f X Y f X Y

8/14


Caminhos de Aumento de Caminhos de Aumento de FluxoFluxo

22 33

11 66

44 55

20, 520, 5

11, 811, 8

5, 25, 2

7, 47, 4

4, 34, 3

3, 33, 3

13, 613, 6

10, 410, 4

No contra-No contra-fluxo fluxo

considere considere apenas o apenas o

fluxofluxo

1212 = 20 – 5 = 15 = 20 – 5 = 15

2323 = 11 – 8 = 3 = 11 – 8 = 3

3636 = 13 – 6 = 7 = 13 – 6 = 7

1414 = 10 – 4 = 6 = 10 – 4 = 6 4545 = 7 – 4 = 3 = 7 – 4 = 3

3535 =

2 =

2

3636 = 13 – 9 = 4 = 13 – 9 = 420, 820, 8

11, 1111, 11

13, 913, 9

10, 610, 6 7, 67, 6

5, 05, 0

13, 1113, 11

fluxo máximo = 8 + 6 = 14?fluxo máximo = 8 + 6 = 14?

9/14


Alguns Resultados para o Alguns Resultados para o Algoritmo de Ford-FulkersonAlgoritmo de Ford-Fulkerson

#1#1: qualquer fluxo em uma rede é sempre um fluxo de : qualquer fluxo em uma rede é sempre um fluxo de um corte (S, T);um corte (S, T);

#2#2: um fluxo em uma rede não excede a capacidade: um fluxo em uma rede não excede a capacidade de qualquer corte (S, T);de qualquer corte (S, T);

#3#3: um fluxo da fonte ao sumidouro em uma rede é: um fluxo da fonte ao sumidouro em uma rede é máximo se, e somente se, não existe um caminhomáximo se, e somente se, não existe um caminho de aumento de fluxo;de aumento de fluxo;

#4#4: o fluxo máximo em uma rede é igual à capacidade: o fluxo máximo em uma rede é igual à capacidade mínima dentre os cortes (S, T).mínima dentre os cortes (S, T).

10/14


ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

Algoritmo de Ford-FulkersonAlgoritmo de Ford-Fulkerson

2020

1111

55

77

44

33

1133

1100

22 33

11 66

44 55

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

20, 20, 55

11, 11, 88

13, 13, 66

5, 5, 22

3, 33, 3

7, 47, 4

10, 10, 44

4, 4, 33

fluxo fluxo inicialinicial

ΔΔ== A=0 S=+ A=0 S=+

ΔΔ=15 A=1 =15 A=1 S=+S=+

ΔΔ=6 A=1 =6 A=1 S=+S=+

ΔΔ=3 A=2 =3 A=2 S=+S=+

ΔΔ=3 A=2 =3 A=2 S=S=––

atingiu atingiu o o

sumidousumidouroro

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ=3 A=3 =3 A=3 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

13, 13, 99

11, 11, 1111

20, 20, 88

ΔΔ=12 A=1 =12 A=1 S=+S=+

ΔΔ=6 A=1 =6 A=1 S=+S=+

ΔΔ=0 A=2 =0 A=2 S=+S=+

ΔΔ=3 A=2 =3 A=2 S=S=––

ΔΔ=2 A=5 =2 A=5 S=S=––

ΔΔ=0=0 A=5 A=5 S=+S=+

ΔΔ=2=2 A=3 A=3 S=+S=+

atingiu atingiu o o

sumidousumidouroro

13, 13, 1111

5, 5, 00

4, 4, 11

20, 20, 1010

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=S=++

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=S=++

ΔΔ==–– A=0 A=0 S=+S=+

ΔΔ=10 A=1 =10 A=1 S=+S=+

ΔΔ=6 A=1 =6 A=1 S=+S=+

ΔΔ=0=0 A=2 A=2 S=S=++

ΔΔ=1 A=2 =1 A=2 S=S=––

ΔΔ=3 A=4 =3 A=4 S=+S=+

ΔΔ=0=0 A=5 A=5 S=+S=+

atingiu atingiu o o

sumidousumidouroro

o fluxo não o fluxo não pode ser pode ser

mais mais aumentadoaumentado

fluxo máximo = 14fluxo máximo = 14

11/14

capacidcapacidadeade


ExercíciosExercícios#1#1: Encontre o fluxo máximo para a rede seguinte.: Encontre o fluxo máximo para a rede seguinte.

11

22 44

33 55

44

55

22 77

22

6633

fluxo máximo = 7fluxo máximo = 7

12/14


ExercíciosExercícios#2#2: Encontre o fluxo máximo para a rede seguinte.: Encontre o fluxo máximo para a rede seguinte.

11

22 44

33 55

55

1010

99

33

55

2244

66

77

44

221010

33

fluxo máximo = compare com outrasfluxo máximo = compare com outras respostas da classerespostas da classe

13/14


Ford-FulkersonFord-Fulkersoninícioinício

Estabeleça osEstabeleça osfluxos iniciaisfluxos iniciais

(zeros, por exemplo).(zeros, por exemplo).

11

Marque os outrosMarque os outrosvérticesvértices

ΔΔ==-- A=0 S= A=0 S=+.+.

Expanda o vérticeExpanda o vérticecom maior ‘com maior ‘ΔΔ’.’.

11

O ‘O ‘ΔΔ’ do’ dosumidourosumidouro

é nulo?é nulo?

simsim

fimfim

Um corte queUm corte quecontenha a fontecontenha a fontefornecerá o fluxofornecerá o fluxo

máximo.máximo.

simsim22

22

nãonãoRetire as (menosRetire as (menosda fonte), volte uti-da fonte), volte uti-lizando os ‘As’ e re-lizando os ‘As’ e re-

calcule os fluxos.calcule os fluxos.

Atingiu oAtingiu osumidouro?sumidouro?

nãonão

Marque a fonteMarque a fonteΔΔ== A=0 S= A=0 S=++,, . .

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