INVESTIGACIN OPERATIVA

Teora de Grafos

PROBLEMA DEL FLUJO MXIMO-

ALGORITMO DE FORD FULKERSON

Algoritmo de Ford-Fulkerson

Propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el

flujo, hasta que se alcance el flujo mximo. El objetivo es

encontrar una ruta de penetracin con un flujo positivo

neto que una los nodos origen y destino.

En algunas redes circula por los arcos un flujo (envo o

circulacin de unidades homogneas de algn producto:

automviles en una red de carreteras, litro de petrleo

en un oleoducto) desde el origen o fuente al destino,

tambin denominado sumidero o vertedero, los arcos

tienen una capacidad mxima de flujo, y se trata de enviar

desde la fuente al sumidero la mayor cantidad posible de

flujo

De tal manera que:

El flujo es siempre positivo y con unidades enteras

El flujo a travs de un arco es igual o menor que la

capacidad

El flujo que entra en un nodo, es igual al que sale de el

En el caso de que el origen o destino no existan en el

problema, se aaden de forma ficticia utilizando arcos

unidireccionales de capacidad infinita

Corte: un corte define una seria de arcos cuya supresin

de la red causa una interrupcin completa del flujo entre

el origen y el destino. La capacidad del corte es igual a la

suma de las capacidades de los arcos asociados. Entre

todos los cortes posibles en la red, el corte con la menor

capacidad proporciona el flujo mximo de la red.

Ejemplo

La capacidad residual de cada arco a lo largo de la ruta de

penetracin se disminuye por Fp en direccin del flujo y

se incrementa por Fp en direccin inversa, es decir, para

los nodos i y j en la ruta, el flujo residual se cambia de la

(cij,cji) actual a (cij-fp,cji+fp) si el flujo es de i a j.

Ejemplo

Iteracin 1

Capacidades residuales:

(c13,c31) = (30-20,0+20)=(10,20)

(c35,c53) = (20-20,0+20)=(0,20)

Iteracin 2

Capacidades residuales:

(c12,c21) = (20-10,0+10)=(10,10)

(c23,c32) = (40-10,0+10)=(30,10)

(c34,c43) = (10-10,5+10)=(0,15)

(c45,c54) = (20-10,0+10)=(10,10)

Iteracin 3

Capacidades residuales:

(c12,c21) = (10-10,10+10)=(0,20)

(c25,c52) = (30-10,0+10)=(20,10)

Iteracin 4

Capacidades residuales:

(c13,c31) = (10-10,20+10)=(0,30)

(c32,c23) = (10-10,30+10)=(0,40)

(c25,c52) = (20-10,10+10)=(10,20)

Iteracin 5

Capacidades residuales:

(c14,c41) = (10-10,0+10)=(0,10)

(c45,c54) = (10-10,10+10)=(0,20)

Iteracin 6

El flujo en los diferentes arcos se calcula restando los

ltimos residuales obtenidos en la ultima iteracin de las

capacidades iniciales.

(1,2) (20,0)-(0,20)=(20,-20) 20 1 2

(1,3) (30,0)-(0,30)=(30,-30) 30 1 3

(1,4) (10,0)-(0,10)=(10,-10) 10 1 4

(2,3) (40,0)-(40,0)=(0,0) 0 -

(2,5) (30,0)-(10,20)=(20,-20) 20 2 5

(3,4) (10,0)-(0,15)=(10,-10) 10 3 4

(3,5) (20,0)-(0,20)=(20,-20) 20 3 5

(4,5) (20,0)-(0,20)=(20,-20) 20 4 5

Calcular el flujo mximo desde 0 hasta E

0 E