Escuela de astrofísica extra galáctica, Agosto 2010

Observatorio Astronómico Nacional

Estadística de la RCF – Sergio Torres9-Ago-2010 1

Notas sobre este material

• Este material fue preparado por Sergio Torres Arzayús para la

Escuela de astrofísica extra galáctica

Observatorio Astronómico Nacional, Bogotá, Colombia

Agosto 9 – 11, 2010

• Parte del material aquí presente fue tomado de otras fuentes, en dicho caso el crédito debido es indicado igual que la referencia para localizar el original

• El autor anima a estudiantes, docentes e investigadores a usar este material en clase, pero el autor no es responsable de abusos que se cometan con el mismo, ni es responsable de violaciones de derechos de autor relacionada con material originado por terceros.

• Prohibida la reproducción total o parcial de este material en cualquier medio sin la autorización expresa del autor

9-Ago-2010 2Copyright (c) 2010 -- OAN y Sergio Torres

Arzayus

La estadística de la RCF

• El espectro de potencia

• La función de correlación

• Datos experimentales, mapas, time-ordered-data (TOD)

• Prueba de modelos cosmológicos

• Gausianidad, descriptores topológicos

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Porqué estadística?

• La RCF se genera en un proceso estocástico– Medir la RCF no es como medir la longitud de una mesa, es más bien

medir ruido

• El análisis de datos y los resultados cosmológicos son ejercicios estadísticos intensos

• WMAP – 800 páginas publicadas– Más del 75% es estadística

• Afirmaciones atrevidas• 1 - la mayoría de la producción y avances en cosmología han salido

de un selecto numero de proyectos (SN, BAO, COBE, WMAP,...)• 2 - la mayoría de las publicaciones NO ha sido producto de los

originadores de los proyectos (COBE, WMAP)• 3 - ningún investigador va a poder hacer trabajo en cosmología

ignorando WMAP+PLANK• Conclusión… ?

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Expansión en multipolos

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Conviene representar el valor de las anisotropías sobre la esfera celeste usando una expansión en armónicos esféricos (Yℓm, parte real):

Multipolos: ℓ = 1: dipoloℓ = 2: cuadripoloPara cada ℓ, m toma valores: {- ℓ,…,0,…,+ ℓ}Total (2ℓ +1) coeficientes aℓm (para cada ℓ)

El conjunto de coeficientes aℓm es como una “transformada de Fourier” en la esferaTambién llamada descomposición armónica

Mapas simulados de multipolos

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Escala angular :θ = 180°/ℓ

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Cuadripolo

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El valor RMS del cuadripolo es:

COBE DMR: Qrms = 10 ± 4 μKWMAP: Qrms = 8 ± 2 μK

El valor hallado por WMAP es más bajo de lo esperadoSe considera un “outlier” estadístico y ha generado controversia

Posibles efectos físicosRotación globalMétricas con anisotropías intrínsecas

Correlación angular y espectro de potencia

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Correlación angular: promedio del producto de ΔT/T en dos direcciones distanciadas por un ángulo α (probabilidad de regiones “calientes” o “frias”):

Obtenemos para C(α):

Los coeficientes Cℓ definen el espectro angular de potenciaEl par C(α) y Cℓ se relacionan por una “transformada de Fourier” en la esfera

Conviene expresar C(α) en términos de los coeficientes aℓm:

Usando la expansión para ΔT/T y el teorema de adición de los armónicos esféricos

El valor RMS de las anisotropías es:

Espectro de potencia y modelos

• Los coeficientes cℓ constituyen la manera más compacta para comparar observaciones con modelos

• Cℓ(observado) =?= Cℓ(teoría)

• Si las fluctuaciones son gaussianas (fase aleatoria) toda la información está contenida en el espectro de potencia Cℓ

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Espectro de potencia medido y variancia cósmica

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Debido a la resolución angular finita de los sensores, la potencia angular sufre atenuación modelada por un filtro pasa bajos

Para determinar cada coeficiente del espectro de potencia (Cℓ) se deben medir (2ℓ+1) números aleatorios:

Por lo tanto, la precisión para medir los Cℓ está limitada:

Variancia cósmicaVariancia intrínseca de los Cℓ

debido a que estamos observando solo una realización

del campo de fluctuaciones primordiales

Errores por muestreo:

Vibraciones acústicas y variancia cósmica

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Una manera de explicar el origen de la variancia cósmica es usando la analogía de ondas en la superficie de una piscina: estas ondas representan un fondo estocástico de ondas caracterizado por amplitud y longitudes de onda aleatorias. Tomar una foto de la piscina sería equivalente a observar una realización de ese campo de fluctuaciones. De manera análoga, los mapas de RCF del WMAP (o COBE, PLANK, etc.) son la foto de una realización del campo de fluctuaciones de la RCF. Lo cual implica que los mapas de COBE y WMAP deben coincidir: las mismas manchas calientes de RCF se debe ver en los mapas de COBE y de WMAP (véase pagina siguiente)

Comparación de mapas COBE con WMAP

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Las características del mapa de COBE-DMR de 53 GHz (arriba) y el mapa de WMAP a 53 GHZ (abajo) coinciden.Fuente: First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Preliminary Maps and Basic Results, C.L. Bennett, et al., 2003, ApJS, 148, 1http://cmbdata.gsfc.nasa.gov/product/map/dr1/pub_papers/firstyear/basic/57713.web.pdf

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El proyecto WMAP de la NASA ha medido las anisotropías de la RCF con gran precisión. A continuación discutiremos detalles importantes de los resultados reportados por WMAP y trataremos de explicar su significado

http://cmbdata.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/powspectra/wmap_7yr_power_spectra.pdf

Espectro de potencia angular medido por WMAP

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Escala angular :θ = 180°/ℓ

Correlaciones angulares también se pueden hacer con mapas de polarización. Esta es la correlación Temperatura - polarización “E”

Anti-correlación TT y TE es consistente con predicción de fluctuaciones primordiales (de densidad) adiabáticas

Errores dominados por variancia cósmica

Larson, D., et.al., “Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Power Spectra and WMAP-Derived Parameters”http://cmbdata.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/powspectra/wmap_7yr_power_spectra.pdf

WMAP + otros

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Espectro de potencia combinados

• Mapas– T = temperatura– E = polarización (modo irrotacional)– B = polarización (modo de divergencia nula)

• Posibles combinaciones y procesos físicos asociados– TT = anisotropías en temperatura (fluctuaciones en

densidad de la materia)– TE = Fluctuaciones primordiales (escalares)– TB = 0 (conservación de paridad)– EE = re-ionización (E ~ velocidad)– EB = 0 (conservación de paridad)– BB = fluctuaciones gravitacionales primordiales (tensor o

“modos B”)

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Cálculo del espectro de potencia en WMAP

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Espectro ℓ Mapa Muestreo

TT ≤ 32 ILC Estimador Blackwell-RaoMuestreo Gibbs

TT > 32 V + W Estimador cuadrático MASTER

TE, TB ≤ 23 T: V+WE,B: Ka+Q+V(mapasuavizado)

Función de verosimilitud (directa)

TE, TB > 23 T: V+WE,B: Q+V+W

Estimador cuadrático MASTER

EE, EB, BB ≤ 7 Ka+Q+V Función de verosimilitud (condicionada, C’ℓ: fijo)

Señal de polarización de la RCF en WMAP

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La señal TE resulta de patrones de polarización alrededor de puntos calientes y fríos (en ΔT/T)

Picos acústicos => patrón alternado radial/tangencial

El proceso que da origen a los patrones de polarización es la dispersión Thompson de los fotones de la RCF en torno a regiones de sobredensidad de materia en la superficie de ultima dispersión.

Una presentación pedagógica sobre el tema se encuentra en las paginas de Wayne Hu:http://background.uchicago.edu/~whu/polar/webversion/polar.html

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Stacked images of temperature and polarization data around temperature cold spots. Each panel shows a 5° × 5° region with north up and east left. Both the temperature and polarization data have been smoothed to a common resolution of 0.5°. (Top) Simulated images with no instrumental noise. From left to right: the stacked temperature, Stokes Q, Stokes U, and transformed Stokes Qr (see equation (1)) overlaid with the polarization directions. (Middle) WMAP 7-year V+W data. In the observed map of Qr, the compression phase at 1.2° and the reversal phase at 0.6° are clearly visible. (Bottom) Null tests. From left to right: the stacked Qr from the sum map and from the difference map (V-W)/2, the stacked Ur from the sum map and from the difference map. The latter three maps are all consistent with noise. Note that Ur, which probes the TB correlation (see equation (12)), is expected to vanish in a parity-conserving universe.

Señal de polarización de la RCF en WMAP

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Hot spots

Señal polarización de la RCF en WMAP

Espectro de potencia TB observado por WMAP

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Consistente con TB = 0 (predicción del modelo Λ-CDM)

Larson, D., et.al., “Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Power Spectra and WMAP-Derived Parameters”http://cmbdata.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/powspectra/wmap_7yr_power_spectra.pdf

Señal BB (o “modo B”) en WMAP

• Asociada con ondas gravitacionales de origen primordial (predichas por modelos inflacionarios)

• No detectada

• Cota superior

– CBB(ℓ:2-7) < 0.055 μK2 (95% CL)

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Estimación de parámetros cosmológicos

• Mapa: ILC (internal linear combination = una superposición de mapas con pesos relativos de tal manera que la contribución de la galaxia se minimiza) suavizado con filtro gaussiano de 5° (FWHM)

• Función de verosimilitud (“likelihood”) se usa para comparar los Cℓ(modelo) con los Cℓ observados

• Cálculo de los coeficientes Cℓ observados– Muestreo: cadena de Gibbs– Estimador: Blackwell-Rao

• Cálculo de los coeficientes Cℓ teóricos– Code for Anisotropies in the Microwave Background

(CAMB)• Lewis, A., Challinor, A., & Lasenby, A. 2000, ApJ, 538, 473• Basado en CMBFAST (de Seljak y Zaldarriaga)

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Análisis bayesiano -- Función de verosimilitud (I)

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Verde, L., et al., “First-Year Wilkinson microwave anisotropy probe (WMAP) observations: parameter estimation methodology”, ApJSS, 148, pp. 195-211 (2003)

Función de verosimilitud (II)

Los coeficientes Cℓ son los coeficientes armónicos (como la transformada de Fourier) de la función de correlación angular de la RCF C(θ).

La función de verosimilitud compara los Cℓ

observados experimentalmente con los Cℓ

th calculados con la teoría y da la probabilidad de que los datos experimentales sean consistentes con un modelo cosmológico (es decir con la elección de los “6 parámetros” que fijan el modelo)

La función de verosimilitud calcula la probabilidad de que los parámetros del modelo (el vector α) sean verdaderos dado los datos (Cℓ)

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Verde, L., et al., “First-Year Wilkinson microwave anisotropy probe (WMAP) observations: parameter estimation methodology”, ApJSS, 148, pp. 195-211 (2003)

Parámetros cosmológicos(los “6 parámetros” de Λ-CDM)

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• Parámetros del modelo de “fondo”

– Ωb: densidad bariónica

– Ωm : densidad de + masa Ωm = Ωb + ΩCDM + Ων

– ΩDE : densidad de energía oscura (= ΩΛ para w=-1)

– w: ecuación de estado para energía oscura (P = wρ)

– h: constante de Hubble, h = H0/(100 km s-1 Mpc-1)

• Parámetros que describen el espectro primordial P(k) = Δ2R(k/k0)n (escalar y tensorial)

– n: índice espectral ( “inclinado” o “tilted”: n< 1, inflación predice ~ 0.96)

– Δ2R : amplitud de fluctuaciones de curvatura

– α = dn/d ln k: pendiente o inclinación del índice espectral

– r = Δ2R-esc/ Δ2

R-ten: razón tensorial/escalar (escala de energía de la inflación)

• Otros

– τ: profundidad óptica, τ = σT ∫ne(t)dt (historia de re ionización)

– t0: edad del universo

– σ8: amplitud de fluctuaciones en densidad de materia a una escala de 8/h Mpc

– zeq, zrion, Δz: z de la época de igualdad y re ionización (y duración)

– Neff: número efectivo de familias de partículas relativistas (neutrinos)

– Y (He): fracción de masa (primordial) en helio

Parámetros cosmológicos determinados por WMAP

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Ωb = 0.045 (*)ΩCDM = 0.22Ωtot = 1Ω k = 0

(*) de la materia en el universo apenas el 17% es potencialmente visible

WMAP consistente con Ωk = 0

9-Ago-2010 28Los puntos (colores) ajustan bien los datos WMAP (degeneración ΩΛ - Ωm), se requieren datos adicionales (BAO y H0) para restringir el rango de valores consistentes con los datos

BAO + H0

68%, 95%

Ωk = 0

Modelo de concordancia

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Ωmh2 = 0.12

0.13

0.140.105

Detección del pico acústico en la distribución de galaxias

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Función de correlación de la muestra de galaxias Sloan Digital Sky Survey (SDSS) Eisenstein, D. J., et. al., “Detection of the baryon acustic peak in the large-scale correlation function of SDSS luminous red galaxies”, ApJ, 633, pp. 560 – 574, 2005

Ωbh2 = 0.024n = 0.98

Ondas de gravedad?

9-Ago-2010 31Contornos derivados de la función de verosimilitud al 68% y 95% (CL)Nótese la “degeneración” entre parámetros

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Constraint on the effective number of neutrino species, Neff. (Left) Joint two-dimensional marginalized distribution (68% and 95% CL), showing how a better determination of H0 improves a limit on Ωmh2. (Middle) A correlation between Neff and Ωmh2. The dashed line shows the line of correlation given by equation (58). A better determination of H0 improves a limit on Ωmh2 which, in turn, improves a limit on Neff. (Right) One-dimensional marginalized distribution of Neff from WMAP-only and WMAP+BAO+H0. The 68% interval from WMAP+BAO+H0, Neff = 4.34+0.86

-0.88, is consistent with the standard value, 3.04, which is shown by the vertical line.

Komatsu, E., et.al., “Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation”, 2010http://cmbdata.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/cosmology/wmap_7yr_cosmology.pdf

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Joint two-dimensional marginalized constraint on the time-independent (constant) dark energy equation of state, w, and the curvature parameter, Ωk. The contours show the 68% and 95% CL from WMAP+BAO+H0 (red), WMAP+BAO+H0+DΔt (black), and WMAP+BAO+SN (purple). Komatsu, E., et al., 2010.

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Two-dimensional joint marginalized constraint (68% and 95% CL) on the primordial tilt, ns, and the tensor-to-scalar ratio, r, derived from the data combination of WMAP+BAO+H0. The symbols show the predictions from “chaotic” inflation models whose potential is given by V (Φ) ∝ Φα (Linde 1983), with α = 4 (solid) and α = 2 (dashed) for single-field models, and α = 2 for multi-axion field models with β = 1/2 (dotted; Easther & McAllister 2006).

Otros parámetros derivados (WMAP-7yr)

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Neff > 2.7 (95% CL) modelo estándar de partículas: Neff = 3.04 => ∑mν< 1.3 eVw = -1.10 ± 0.14YHe = 0.28 ± 0.15 => evidencia de He primordial

WMAP combinado con otras observaciones

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Komatsu, E., et.al., “Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation”http://cmbdata.gsfc.nasa.gov/product/map/dr4/pub_papers/sevenyear/cosmology/wmap_7yr_cosmology.pdf

Más allá de los cℓ – detectando no gaussianidad

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Descriptores topológicosTorres, S., “Topological analysis of COBE-DMR cosmic microwave background maps”, ApJL, 423, pp. L9-L12, 1994

El set de “excursiones”• Numero de excursiones (Nν)• Área (aν)• Genero (perímetro, Gν)

Excelente resumen del tema se puede encontrar en: Martinez-Gonzalez, E. “Cosmic microwave backgroundanisotropies: the power spectrum and beyond”, astro-ph:0610162 http://arxiv.org/abs/astro-ph/0610162