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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CONTROL
PREDICCIÓN DE LA INESTABILIDAD DE LA MAQUINA DE
INDUCCIÓN, BASADO EN EL CIRCUITO EQUIVALENTE
PABLO NAJERA DAVILA
Tesis previa a la obtención ciel titulo de Ingeniero
en Electrónica y Control.
diciembre 1.994
"; .""''':$$*" *f|£%¿ •r:. • ':l££^1Sfg
El pr-esente trabajo ha. sido realizada-:;pbr el .Sr,
Pablo Nájera Dávila :en-su totalidad-'.y ba-do -mi
T o ap anta_jDyó s
Dire.d'-feo-r de Tesis
ÍNDICE
CAPITULO I
La máquina de inducción
1.1 Consideraciones para su estudio 4
1.2 Ecuaciones del motor de inducción
en variables abe 5
1.2.1 Ecuaciones de voltaje en variables abe 6
1.2.2 Ecuación del torgue electromagnético 9
1.2.3 Ecuación del torque electromecánico 11
1.3 Transformación de las ecuaciones de la má-
quina (abe) a un sistema, de referencia arbi-
trario - 11
1.3.1 Ecuaciones de las concatenaciones de
flujo en variables qd0 .14
1.3.2 Ecuación de voltaje en variables qd0 ' 16
1.3.3 Ecuaciones del torque electromagnético 20
1.4 Ecuaciones de la máquina de inducción en
función de las concatenaciones de flujo 20
1.5 Ecuaciones de la máquina en por unidad 24
CAPITULO II
Inestabilidad de la máquina de inducción basado
en el circuito equivalente
2.1 Voltaje inducido en las bobinas del rotor 30
2.2 Voltaje de perturbación 36
2.3 Expresiones para el límite de estabilidad 39
2.4 Sensibilidad de la máquina 40
CAPITULO III
Lugar Geométrico de las Raices
3.1 Ecuaciones de estado de la máquina
de inducción 43
3.2 Ecuación matricial linealisada 47
3.3 Transformación de las ecuaciones de estado
linealisadas a función de transferencia 50
3.3-1 Matriz de transferencia • 50
3.3.2 Funciones de transferencia 50
3.4 Construcción del Lugar Geométrico de las
Raices 53
3.4.1 Puntos de origen 53
3.4.2 Puntos terminales 53
3.4.3 Número de ramas separadas 54
3.4.4 Simetria del Lugar-de las raices 54
3.4.5 Asíntotas del Lugar completo de las
raíces cuando a*-» 54
3.4.6 Intersección de las asíntotas
(centroide) * 54
3.4.7 Lugar de las raíces sobre el eje real 55
3.4.8 Ángulos de salida y .ángulos de llegada 55
3.4.9 Puntos de separación del lugar comple-
to de las raíces 56
3.4.10 Cálculo de K en el Lugar de la raíces 56
CAPITULO IV
Simulación Digital
4 . 1 Consideraciones " 5 7
4.2 Formulación del modelo 57
4.2.1 Ecuación de voltaje en estado estable 61
4.2.2 Lugar Geométrico de las Raices 62
4.3 Ejemplos de aplicación . 64
4.4 Variación de parámetros • 95
4.4.1 Rotor jaula . . . 9 6
4.4.1.1 Resistencia de estator 97
4.4.1.2 Voltaje 98
4.4.1.3 Constante de inercia . 99
4.4.1.4 Frecuencia 99
4.4.1.5 Velocidad del rotor " 100
4.4.2 Rotor doble jaula . ' 101
4.4.2.6 Resistencia de estator 101
4.4.2.7 Voltaje . • 102
4.4.2.8 Constante de inercia 102
4.4.2.9 Frecuencia 103
4.4.2.10 Velocidad del rotor , 103
4.4.3 Rotor bobinado 104
4.4.3.11 Resistencia de estator 104
4.4.2.12 Resistencia de rotor 105
4.4.3.13 Voltaje 106
4.4.3.14 Constante de inercia 107
4.4.3.15 Frecuencia 108
4.4.3.16 Velocidad del rotor . 109
4.5 Uso de PC-MATLAB 161
4-5.1 Manual de uso del programa 165
4.5.2 Nomeclatura 166
4'. 5.3 Ingreso de datos 166
4.5.4 Impresión de resultados 167
Conclusiones 168
Recomendaciones 174
Listado del programa Anexo A
Bibliografía Anexo B
PREFACIO
La máquina cié inducción trifásica es barata y
robusta, sin embargo, no es fácil de controlarla como
sucede con la máquina de corriente continua. Gracias
a la utilización de los elementos de estado sólido,
se pueden obtener voltajes y frecuencias variables,
las cuales acopladas al motor de inducción permiten
un control adecuado. Esto ha posibilitado usarla a
velocidades muy por debajo de la nominal, lo que hace
necesario contar con métodos analíticos de exactitud
que pronostiquen el comportamiento.
La simulación del comportamiento dinámico de la
máquina de inducción, permite.predecir las regiones
en las cuales la inestabilidad ocurre de acuerdo a la
frecuencia^ voltaje de alimentación y de la masa
inercial de carga acoplada al eje, pudiendo esto
realizar para una amplia gama de frecuencias ' que
comprenden desde el sincronismo hasta la continua.
1. Concepto. En éste trabajo se utiliza el
criterio de circuito equivalente, por ser una
herramienta conocida en el área de Máquinas
Eléctricas, y, además por éste método se pueden
hacer* las respectivas transformaciones para el
resto de . tipos de motores. Para los fines
anteriormente enunciados, se procederá en el
trabajo en primer lugar a determinar las
ecuaciones que rigen el comportamiento de la
2
máquina bajo condiciones generales.
2. Inestabilidad. Como segundo tema se conocerá
la inestabilidad de la máquina en base al
circuito equivalente, donde se plantea un método
de entendimiento de las circunstancias como se
presenta este fenómeno, resultado de un estudio
realizado sobre los voltajes de alimentación a
los gue se ve sometido el motor.
3. Lugar de las Raices. En tercer lugar se
realiza un estudio teórico de los pasos que se
deben seguir desde la . consecución de las
ecuaciones de estado de la máquina de inducción
hasta llegar a obtener la función de
transferencia la cual será trasladada al Lugar
Geométrico de las Raíces para su posterior
graficación y análisis,
4_ Simulación. En último lugar, se realizará
la simulación digital, que comprende la
realización de' los cálculos para la obtención
del Llagar* Geométrico de la Raices, objeto de
este estudio, programa realizado en PC-MATLAB,
por ser de gran utilidad las funciones
matemáticas que posee asi como también las
bibliotecas de control que dispone el paquete.
3
Toda obra, por breve, que sea, nunca se realiza sola.
Seria muy largo el nombrar a todos aquellos
profesores, compañeros y amigos quienes se tomaron la
molestia de leer, opinar y sugerir tanto criterios
como modificaciones. Mención especial merece el Ing.
Milton Toapanta Oyos quien ha dirigido est.e trabajo
desde su concepción hasta la culminación del mismo.
También al Ing. Ludwing Ramírez, quien, siempre mostró
un gran apoyo y entusiasmo para la realización de
esta producto. A todos ellos mi más "sincero
agradecimiento.
Pablo Nájera Dávila.
CAPITULO I
LA MAQUINA DE INDUCCIÓN
1.1 Consideraciones para su estudio.
i 5 7 10 12 13 14 19 23 21 20 27 34 35 30]
Una máquina de inducción está generalmente definida
como una máquina polifásica- con las siguientes
consideraciones:
I.- Entrehierro uniforme
2.- Cii^cuito magnético lineal
3.- -Tres bobinados idénticos del estator para
producir una onda f_m.m. sinusoidal en el
espacio, de modo que una sola onda magneto-
motriz se establezca en el entrehierro cuando es
excitado por corrientes sinusoidales
balanceadas.
4.- Bobinas rotóricas o arreglos de barras
dispuestas en forma que produzcan en cualquier
instante dado una onda sinusoidal de f.m-,m. en
el rotor y que tenga el mismo número de polos
que el estator.
La máquina de inducción idealizada, ofrece un medio
adecuado de simulación de muclios tipos ' de'máquinas
polifásicas, aún despreciándose factores tales como:
1.- Circuito magnético no lineal; se desprecia el
efecto de saturación, histéresis y corrientes de
Eddy.
2.- Cambios en la resistencia debido a variaciones
de temperatura y frecuencia.
3.- Contenido armónico de la onda de f.m.m.
1.2 Ecuaciones del motor de inducción en variables
abe [1 5 7 13 13 Í4 15 1? 2S 25 2£> 27 35]
ESlATOfl I ROTOR
S*ntWo ó« rotocloq (Wr)
FIGURA N. 1
Para el establecimiento de las ecuaciones que
describen el comportamiento de la máquina de
inducción, se representa una máquina trifásica de dos
polos; los devanados del estator se .hallan
simétricamente desfasados 120° eléctricos entre -si, y
de igual-manera los devanados o barras del rotor. (El
6
desplazamiento angular entre los ejes del estator y
rotor es BJT; los subíndices a ,b y c representan las
fases de la máquina y los subíndices s y r, estator y
rotor respectivamente). Los devanados del estator
son idénticos, es decir, tienen igual número de
vueltas Ns, igual resistencia rs, igual inductancia
de dispersión Lis e igual inductancia propia Ls. En
idéntica forma, los devanados .equivalentes del rotor
son idénticos, tienen igual número de vueltas Mr,
resistencia r%*, inductancia de dispersión Llr e
inductancia propia Lr.
1,2.1 Ecuaciones de voltaje en variables abe
Para cada una de las fases la ecuación de voltaje es:
siendo: v
P
v = r. i + p A 1-1
voltaje por fase
resistencia total por fase de cada
bobina
corriente por fase
operador d/dt
concatenaciones de flujo totales de una
bobina
Expresando en forma matricial, se tiene:
O r• «be,
+ P •1-2
donde:
v^
r, 0 0
0 rff 0
0 0 r
rr O O
O rr O
O O rv
1-3
Las concatenaciones de,flujo se definen como:
X - Z,. i
donde L es la inductancia de la bobina.
1-4
Desarrollando para expresar en forma matricial se
tiene:
donde:
siendo:
s, o oo ¿es o0 0 L
L/er o — .ua—Jjam
Li x1 r- ~ J-i r- ~~ 1) r- ra
irr 0 0-
o ¿rr o
1-5
1-6
y Lo- inductancia propia de un devanado del
estator'
L^= inductancia propia de un devanado del
rotor
Lsm= inductancia mutua entre fases del
estator
Ls?m= inductancia mutua entre fases del
rotor.
La submatris de inductancias mutuas del estator y
rotor | LSR¡ , tiene la siguiente forma:
iendo
8
C036 003(8^+—) 003(6,,-—)
COS6
co36
1-7
- = amplitud del acoplamiento mutuo entre
los devanados del estator y rotor,
~ desplazamiento angular entre los ejes
de estator y del rotor.
La inductancia mutua entre cualquier devanado del
estator con otro del rotor varia con el coseno del
ángulo 6 r* entre sus ejes. La conveniencia de referir
todas las ecuaciones de la máquina hacia el lado del
estator es debido a que cualquier tipo de medición,
en general ., se lo realiza en dichos terminales . Para
relacionar estas ecuaciones del rotor al estator
deben ser multiplicadas por la relación de espiras en
9
forma análoga a como se hace en un transformador, con
lo que se consigue:
N Ia***
1-8
Los apostrofes indicarán en lo sucesivo que las
cantidades afectadas están referidas al estator.
Ahora aplicando la transformación anterior a la
ecuación 1-2
abe. pZ,
-1 -1-9
siendo:
El superíndice T3 indica la transpuesta de la matriz
o vector.
1.2-2 Ecuación del tor^ue electromagnético
La ecuación del torgue electromagnético se consigue a
partir de la- energía instantánea almacenada en el
campo magnético, según:
10
1-10
donde las matrices de corriente e inductancia son: •
íabcf
7 f
• 1 7 lr =/ 1 -1 1
¿1 = Lr L1
-¿¿ j ¿ t ^
s
r
1-11
Siendo la definición del torque electromagnético:
Te = 1-12
correspondiendo P al número de polos de la máquina.
Reemplazando la ecuación 1-10 en la ecuación 1-12 se
obtiene:
Te = .2 2
-L •II 1-13
Realizando las operaciones indicadas se llega a:
Te = -
1-14
siendo: Lms-(Ns/Nr) Lsr
1.2.3 Ecuación del torque electromecánico
La ecuación que define el comportamiento
electromecánico del motor de inducción es:
Te = J"pwx + Dwx + Tm 1-15
donde: Te - torque electromagnético
J-pWr - torque de aceleración
Dv?r> = torque .de amortiguamiento
Tm = torque de carga
J ~ momento de -inercia del motor
D - coeficiente angular de fricción
viscosa
1_3 Transformación de las ecuaciones de la máquina
(abe) a un sistema de referencia arbitrario
[5 7 14 15 í? 2B 26 27 35 ]
Debido a la variación sinusoidal de la inductancia
mutua con respecto al ángulo de desplazamiento 0 **.,
los coeficientes dependientes del tiempo apar-eceran
en las ecuaciones de voltaje. Afortunadamente, estas
indeseables características pueden ser eliminadas por
un adecuado cambio de ivariables las cuales en efecto
transforman los voltajes y corrientes tanto deli
estator como del rotor a una estructura común de
referencia, girando a ¡ una velocidad arbitraria w,
mientras que los ejes 'del estator están fijos y los
del rotor girando a una velocidad wr*.
Las ecuaciones de transformación son expresiones que
; 12
se obtienen a partir de las relaciones
trigonométricas existentes entre los grupos de ejes
de estatoi" y rotor con el grupo de ejes ortogonales
del sistema de referencia arbitrarlo.
f __ 2f*,- 7
f1
_ 2
ur 3
f , senp
,003^8-^
sen/B-^E\
coWp-^i! \ /
sen/B-—\
(esen 8+
\7
1-16
f' C09/P+ —Cr \
> , 2rt
donde: f =
8 =
Í3 =
es una variable que puede representar
voltaje, corrientes o concatenaciones
de flujo.
es el ángulo de desplazamiento del •
sistema de referencia arbitrario.
8 - 8r>
Con. el objeto de mantener invariante la potencia, se
introduce un factor de 2/3 de modo que la
tránsf ormación corresponde a -un cambio de sistema
trifásico (abe) a un bifásico (qd). Las variables
feo y f 'e 37- se introducen después para mantener
consistente la transformación a tres variables.
Las precedentes ecuaciones, se las ha mencionado en
todas las componentes, simétricas, es decir: qt d, 0,
13
pero dado que el eje cero tiene la particularidad que
las variables referidas a éste no se ven
influenciadas por la velocidad a la que gira el
sistema arbitrario de referencia, debido a que las
variables en este eje no están asociadas a la
transformación, y además que las variables de eje
cero no están relacionadas con los ejes q y d, y solo
se presentan en el lugar donde son originadas.
Las variables de eje cero aparecerán por tanto, de
acuerdo a su definición, cuando existan condiciones
de desbalance o asimetría y éstas no influirán en los
otros ejes. Además, cabe recordar que en-sistemas
sin conexión a neutro o de tres alambres que es lo
mismo, las componentes de eje 0 desaparecen, incluso
para sistemas desbalanceados. Expresando las
ecuaciones anteriores como matrices las cuales son de
transformación, se tiene:
T O1-17
donde:
14
T ! =•¿ „ ~i~23
23
3
3
1 12 2
3
PIATlQ flAT"! £ fi — í3
1 12 . 2
,rj -
(0+ :
i2
3 e n ( p +
12
á 71 \
¿ TV \
27C
3
3
1-18
Las ecuaciones que se utilizan para realizar la
transformación inversa qd0 - abe son:
siendo:
1-19•^&2>c,
f'ebcr
=r;1 oo r;1 •
^Qdo,
f*• <3dor
71
cos8
eos (6--
íT> ci f ñ +> — VJ O \ ' —
cosf/ n
CO3 (p --
eos ( P + -
)3
Ci 71 \
2lT >
3
2n}
3
sen6271s 0n ( 0 ~ — )3
e» QTn f ft "*- )
3
senpfC( _ 27T ^
3
( B + 2 * ' )3
1
1
1j.
1
1
1
1-20,
1.3.1 Ecuaciones de las concatenaciones de flujo en
var iab1es gd0
Las concatenaciones de flujo, expresadas en forma
matricial, se las refiere al estator y aplicando la
15
transformada directa a ¡ejes g.d0 se obtiene:
± i ="abe 4
•i i
¿q
_ L f
L.S7Z - r
ra oo r
1 =TT1 =-*• \1
Así, aplicando la transformación a las
concatenaciones de flujo3 se consigue en variables
1-22
donde;
= r .
1-1
Desarrollando esta última expresión.
L**0
0
M
0
0
0
sa
;o•0
M
,0
0
0
-kffff0
0
0
M
0
0
¿'rr
0
. 0
0
M
0
0
¿'rx
0
0
0
0
0
0
L'rr
1-23
siendo: M-
16
Dado que Lm«= (Na/Na?)Lar-} entonces M representa la
inductancia de magnetización de la máquina. Por lo
tanto se pueden descomponer las inductancias Loa y
L'r en sus componentes de dispersión y de
magnetización:
1-24L'
Este método ha permitido eliminar la dependencia que
tenían las inductancias mutuas entre rotor y estator,
de la posición del rotor y por ende del tiempo,
nótese además que las inductancias propias no cambian
de forma ni de valor.
1.3.2 Ecuación de voltaje en variables qd0
Realizando un proceso similar al de las ecuaciones de
flujo con las ecuaciones de voltaje se obtiene:
R i -O r'
abcm
qdo1-25.
y realizando las operaciones matriciales, además de
tener en. cuenta las definiciones de las concatenacio-
nes de flujo y lo referente a operadores, se tiene:
1-26
Por tanto las ecuaciones de voltaje en el sistema de
ejes arbitrarios de referencia y representadas de
modo en variables de estado se puede llegar* a:
17
1=
-p6,LM (xm +pLaj) 0 -pGAf pM 0
0 0 r, 0 0 0
pM p^W ' 0 (rl x+pL* xr] ppl»'rx 0
-p P M pM 0 -p p L ' ( r * r +pL ' rr) 0
o o o 0 o r'r¿V
1-29
Expresando las ecuaciones de voltaje en función de
las concatenaciones de flujo totales, se tiene:
1-28
Las concatenaciones de flujo totales son
1-29
y reemplazando los valores de las ecuaciones 1.24 se
tiene:
18
1-30
= L
l i = r * 7 'A o^ ^ rr •*• o,
De la ecuación 1.28 se puede obtener los circuitos
equivalentes para cada uno . de los ejes que se
A Atrabajan, donde los • términos .atB , da£& ,
y d.j?pi3, 'representan los voltajes de
velocidad, dado que pB =w es la velocidad de giro del
sistema de ejes arbitrarios, y p0=w-w^ es la
velocidad relativa :entre el sistema de ejes
arbitrarios y el rotor.
A A A ALOS términos p <¿s> , p de», p 'o.r, P 'clr-
.representan los voltajes de transformación.
Puede observarse tanto en las ecuaciones de voltaje ,
como en el circuito equivalente, gráfico N. 2, el
desacoplamiento existente entre las variables del eje
0 con las de los ejes g. y d además entre estator y
rotor. En cambio, en los ejes q y d si existe
ids
Vds
19
rs Lis dspO drp L'lr r'r
•+ Y Y Y " w W
¡qs
Vqs Í
W uu YYY +-
i'dr
§M V'qr
Eje q
rs Lis qspO
•Wqrp L'lr r'r
M
i'dr
V'dr
ids
Vos
Eje d
rs L'rr rr'
Eje o
GRÁFICO N . 2
V'or
acoplamiento, además del existente entre rotor y
estator.
; 20
1.3.3 Ecuaciones del torque electromagnético
A partir de la definición que se realizó sobre el
torque electromagnético y con ayuda de las
transformaciones a variables del sistema qdO y en
función de las concatenaciones de flujo se obtiene
respectivamente: :
Te . 1 11} M (í . i ' - i i' \ \ J \ d* d* Q*J
2 \ 2 / \ 2 / > ' í r r z r'
donde m es el número da fases.
1.4 Ecuaciones de la máquina de inducción en función
de las concatenaciones de flujo
Como se indicó anteriormente, se trabajará con un
motor de inducción trifásico sin neutro, lo que
permitirá estudiar el mismo con solo las componentes
q y d.
Partiendo de la ecuación 1.30, al multiplicarla por
v?o> donde esta variable representa la velocidad
angular eléctrica correspondiente a la frecuencia
nominal de la red de alimentación, es decir:
w9 = 2Kf I [rad/seg] 1-32
donde f representa la frecuencia nominal de la red de
conección; con este método se llega a lo siguiente:
: 21
1V = *i. iqa + xm
1-33
Donde : representa concatenaciones de flujo
por segundo
X representa reactancia, asi:
1-34
Similares definiciones se tienen para el resto de
variables de las componentes.
Ahora si se define :
1-35
que representan las concatenaciones de flujo por
segundo mutuo en ejes g. y d respectivamente, se
simplifican las ecuaciones de 1.33 además si de estas
se despeja las corrientes y las reemplazamos en 1 . 35 ,
se tendrá:
22
1-36
en donde:
Seguidamente, a las ecuaciones de voltaje de 1.28, se
las multiplica por w^ y a la vez se reemplaza j8 = w
y p£ = w - Wi-, y dejando en función. de las
concatenaciones de flujo por segundo se llega a:
rg
1-37'
r'r6 Q_ ó ,r i
De estas últimas ecuaciones se puede obtener las
ecuaciones finales del modelo:
23
V'
1-38
r'
Realizando un proceso similar para la ecuación 1-31,
se obtiene la ecuación final del torgue
electromagnético:
1-39
Para la ecuación del torque electromecánico 1.15, se
debe realizar una aproximación en cuanto a despreciar
el torque de amortiguamiento, ya que el coeficiente
angular de fricción viscosa es muy pequeño; asi la
ecuación queda de la siguiente manera:
T — 17 r> cj" 4- 71 1 — APi_ u . u . w_ T j._ -L —fie/
Como puede verse las ecuaciones últimas describen el
funcionamiento eléctrico y mecánico de la máquina de
inducción., y dado que esta realisado en modo general
se pueden referir a cualquier sistema de referencia
arbitrario, a saber:
- sistema fijo en el estator
24
- sistema fijo en el rotor, y
- sistema girando a w«
todo dependerá de las necesidades que se tengan.
1.5 Ecuaciones de la máquina en por unidad
[5 7 19 23 26 27 35]
A fin de tener un trabajo lo más general posible, a
cada uno de los valores de la máquina se los puede
representar de una manera normalizada, respecto de
valores nominales preseleccionados, con la ventaja de
una mejor comprensión de las cantidades de manera
relativa entre si, además de adimencionales.
Para realizar la transformación es necesario
seleccionar los valores base de potencia, voltaje y
frecuencia; generalmente son los datos de placa de la
máquina en cuestión. Asi7 se" toma los siguientes
valores base:
SE - potencia aparente en VA por fase
VB - voltaje base en voltios por fase
fs = 'frecuencia base en herzios, es la
frecuencia a la cual están
definidos los parámetros
De estos valores se definen los demás términos base:
25
Xs = —~ es la corriente base en amperios_
ZB = — - es la irnpedancia base en ohmios
WB = — j£ es la velocidad angular base en rad/segr I ¿
P = número de polos
2"L = __2 es la inductancia base en henrios
W°XB = LB IB son las concatenaciones de flujo base
y multiplicando ambos miembros por wa se tiene
y como:
v — r y *— *? i /i oXB - lsB . _¿5 ~ ¿9 1-42
se puede decir:
^fl = V» 1-43
Para transformar una cantidad al sistema por unidad
(pu) se aplica la siguiente regla por definición:
Valorpu - Valor realValor base
Aplicando esta definición a las ecuaciones 1.38 se
obtienen las mismas en el sistema en por unidad, sin
embargo las ecuaciones no se alterarán y se puede
trabajar directamente con todas los términos en pu.
26
En el sistema pu se toma el mismo valor instantáneo
base tanto para el sistema arbitrario qd0 como para
el sistema abe.
Se tiene además que el torgue base es de la siguiente
forma:
VB- IB
üntonces, expresando !la ecuación 1.39 en pu se
obtendrá: :
r..= lr'vi'dr- t'dr.i'^ 1-45
La unidad de torque en el sistema pu, es definida
como el torgue producido por una unidad de potencia a
la velocidad nominal wa, y
^-l.l.v. 1-46
es la velocidad sincrónica.
El momento de inercia de la máquina, en el sistema pu
se expresa por la constante de inercia H y definida
por la expresión:
Energía almacenada a w3 [Kw.seg]Potencia aparente nominal [KVA]
v en fórmula
27
5 .48 J. ni , _ . ._,—- 10"6 [seg.] 1-47
donde: J - momento .de inercia de la máquina
en Kg-m2
ns- velocidad sincrónica de la máquina
en rpm
Sn~ potencia aparente nominal de la
máquina en KVA
La constante de inercia tiene como unidad segundos,
en el sistema pu; la unidad de energía es igual a la
unidad de potencia en un segundo, por lo tanto, la
constante de inercia les numéricamente igual a la
energía almacenada en pu.
Si se acelera la máquina uniformemente desde el
reposo hasta la velocidad sincrónica w», en un
segundo, el torque, sería igual a J.wa. La energía
almacenada es producida por la potencia debido a éste
torque a la velocidad media ws/2 , y es igual a J Wa/2
y por lo tanto ,
ÍT = A [J.w.] 1-48
despejando J y reemplazando en la ecuación 1-40 se
obtiene:
T ~ r 1~49que es la ecuación diferencial de la velocidad.
CAPITULO II
INESTABILIDAD'DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN BASADO EN EL
CIRCUITO EQUIVALENTE [28]
La inestabilidad de la máquina de inducción
alimentada desde una fuente de frecuencia variable ha
sido objeto de estudio en el pasado mediante el
análisis de los valores propios de las ecuaciones
diferenciales linealizadas de la máquina, lo que
resulta un trabajo extremadamente largo que implica
en general la ayuda de métodos computacionales. Aqui
se presenta un método alternativo de llegar a las
mismas conclusiones que tales métodos, pero basado en
los conceptos clásicos de la máquina de inducción
como es el circuito equivalente, que si bien se
obtiene como resultado del tratamiento de •las
ecuaciones diferenciales de • la máquina, en lo
posterior solo se requerirán cálculos algébricos del
circuito resultante con objeto de obtener los limites
de estabilidad. Basados en dichos conceptos se
deducen las expresiones relacionadas con el limite de
estabilidad a partir de los parámetros de la máquina.
La estabilidad de la máquina será estudiada de la
siguiente manera:
- Considerando una máquina idealizada a la que se
le aplica una alimentación trifásica balanceada
29
de frecuencia wo. se obtiene un torque de
magnitud constante en el rotor operando a una
velocidad ws; al rotor se le aplica una
componente sinusoidal A sen(rt), que representa
una pequeña inestabilidad de oscilación. Para
pequeñas oscilaciones se considera el campo de
entrehierro constante por lo que el voltaje
inducido en cada bobina del rotor,puede ser
obtenido como se indicará a continuación. La
figura 2.1 ilustrará el flujo <&0 de entrehierro
y un rotor de bobina simple.
REFERENCE
00
W1
VcoilGRÁFICO 2.1
w2
Considerando wi a la velocidad sincrónica y la
velocidad del rotor:
2-1
donde: es la velocidad de operación estable
30
A es la amplitud de la velocidad de
oscilación
T es la frecuencia de la velocidad de
oscilación
WIT es la velocidad del rotor*
2.1 Voltaje inducido en las bobinas del rotor
' [2 ó lo 23 32 ]
Los voltajes y corrientes inducidos en las bobinas
estatóricas y rotóricas pueden ser expresados en
términos de las ecuaciones de Bessel .
Con • referencia a la figura anterior en cualquier
instante de tiempo t} la posición del flujo <5o y la
bobina de Ni vueltas es:
e, = -dJo x
= wt t
= f V.dtJQ
sen(yt) ] dt
2-2w71 - — eos (yt) + a
Y
Asi , el f lu j o concatenado de la bobina a éste
instante será:
~N C°8 ( 0 - 0 > 2-3
Y el voltaje inducido eh la bobina es:
31
dAjboJbioa
bobin-a.
dt
dt 2-4
Sustituyendo la ecuación 2.2 y operando, se consigue:
vbobinai 2 \y t) ]senjv:L-v2t+ — eos (y t) -es j
\ /
2-5
Ahora utilizando la expansión a series de Bessel-
Fourier del término correspondiente a la suma .del
seno y realizando las operaciones trigonométricas
además del reemplazo de la equivalencia en series de
Fourier-Bessel, se consigue:
seríx+Acosv) =semccos (Acosw) +cosxsen (Acos
= senx
COSX
(A)2-6
JC-l
Haciendo el cambio de variable, que a continuación se
indica y eliminando . los símbolos de agrupación así
como colocando las equivalencias que se indican, se
llega a:
32
A = -; v = y t
ü \ 2— eos (y t) ) - senx t/n —T / \
eos (2Jcyt)
Yt ]
2-7
Transformando el doble producto del seno de un ángulo
por el coseno de otro ángulo en la suma de senos , y
de manera similar, con el doble producto de cosenos
en suma de cosenos, a partir de lo cual se reemplaza
en cada término de ambas series y se obtiene :
senfx-^— eos•\
= senx J"J —
J"2Jt(— )\ /
[sen +sen
y t ) +cos yt )
2~
Ahora, de la ecuación anterior se aproxima Je ( A/r)
por 1 y Ji(A/r) por A/C2r)3 se obtiene por tanto:
sen
A sen(yt) ].
eos - a ~ y t
2yCOS r a +
Realisando las multiplicaciones expresadas término a
término y despreciando los elementos cuadráticos en
"A", por ser de pequeña magnitud considerando la
33
amplitud de la onda de perturbación estudiada además
de reemplazar (wi - ws ) por SQWI se tiene:
sen a)
sen (yfr) sen (iv - w2t - a)
Y)
2-10
Reemplasando en lugar de
- A sen (y t) sen ( - v2t - a) 2-11
La expresión:
a_
— [coa (yt+ (v^-w2t-a) -eos 2-12
ahora con uso de la propiedad de paridad de la
función coseno y realizando las agrupaciones
necesarias se llega a:
Ni - 2) sen(v1-w2't ~ a)
- 11 f^l C03•¿ ,
- «) 2-13
cos
A partir de la ecuación 2.13. considerando una
máquina de inducción simétrica, los términos segundo
y tercero representan el voltaje inducido en el
rotor, los cuales son creados específicamente por la
34
oscilación. Además, si se considera despreciable la
velocidad de oscilación, es factible resolver para
las corrientes adicionales en el rotor, asi, el
voltaje bajo consideración puede ser visto como si
fueran voltajes balanceados aplicados a las bobinas
del rotor girando a una velocidad estable de W2. Por
tanto las frecuencias aplicadas son Sowi-r y SOWI-Í-T.
Si un bobinado trifásico es considerado en el rotor
entonces cada bobina tendrá un conjunto de voltajes
similares, desplazados una fase de ±2n/3 radianes en
el tiempo.
Wna = o + *i + 2-14
donde:
V2
siendo:
- 1J.
+ 1 2-16
y N± bobinado efectivo del rotor,
$o flujo de operación en el entrecierro,
a ángulo inicial efectivo de la bobina al tiempo
35
Asi, Vo corresponde a la frecuencia de deslizamiento
familiar a las máquinas y los restantes voltajes Vi y
Vs de la ecuación 2—15 darán el aparecimiento a dos
circuitos equivalentes monofásicos como se muestra en
la figura 2-2 a continuación.
FIGURA 2-2
donde: Iir- = corriente de perturbación debido a la
componente de voltaje Vi
I2nr - corriente de perturbación debido a- la
componente de voltaje Vz
Zi ~ impedancia efectiva por la componente
de voltaje Vi a la frecuencia T-Sowi
Zs ~ impedancia efectiva por la componente
de voltaje Vs a la frecuencia r+Sowi
36
Sii = (T-wi)/(T-S0wi)
Ssi = (T-hWl)/(T-S0Wl)
2.2 Torque de Perturbación [5 7 14 15 26 27 ]
La perturbación del torque en una máquina trifásica
es producto de la interacción entre el flujo
principal §0 y las corrientes del rotor debido a las
perturbaciones así? el torque electromagnético entre
la bobina de Ni vueltas llevando una corriente i y el
flujo de operación $0 como se muestra en la figura 2-
2 es: :
T = N 4>0 i sen (61 - 62) 2-17
Además, si la impedancia del estator es omitida, el
voltaje RMS linea-línea y operando el flujo §0 en una
.máquina trifásica será: -
/T ir- 2-18"
Asi, los circuitos equivalentes mostrados en la
figura 2,2 presentan ;las siguientes corrientes de
rotor para cada una de los voltajes de perturbación
encontrados anteriormente.
~LZ ~ ^L "o" ~~p- T7 Ylr—i CO3 ' Y~l^ovi.^ "*" aa ~ ®zi'
3¥ / TT 1 O— 1 QT- IV- "• V-4^ r -i- / ?= A- Q \^ y 3 i ¡ 2 j
que son él resultado del divisor de voltaje en cada
37
circuito para la impedancia total del mismo con su
respectivo ángulo de fase Ozi y 6zz respectivamente.
De similar manera como se trabajó con la ecuación de
voltaje inducido en la bobina del rotor, la ecuación
2-17 puede ser expandida en términos de la función de
Bessel. de la siguiente manera. Primeramente se
reemplazan los valores de O a. y BE y también con
equivalencias trigonométricas, asi como el uso de los
valores de corriente que se indicó con anterioridad,
se tiene:
•-'-••' — ' • ' ' Í. -—• * — ""-L" -,_LÍ COS ( Y O« ÍY-i C ">~ CE „ U"2 V ^ o x a
— — - - cos
/sen ( Wi-v2t-a) + —— [cos;( i^-^-i-y t - a ) -t-cos ( -^.¡-7 t-a ) ]|\0
Facturando los términos comunes y eliminando los
términos A/2r de modo que T^r sea lineal en A además
de realisar las operaciones indicadas en cada una de
las ecuaciones que _se van generando para finalmente
transformar el producto de seno de un ángulo por el
coseno de otro en la suma de senos, se llega a:
2-21
i 38
La ecuación precedente, corresponde a un circuito
monofásico, pero el torque total de perturbación que
actúa sobre el rotor es la sudatoria de cada una de
las fases de modo que: ;
T " = T 4- T -f T 9_99-1-perturbación. * ai ^Jbr ^cx ^ ^^
Las expresiones para. T~br- y Tc^ son encontradas
realizando el cambip apropiado de fase en la
expresión de T&r- con lo que se consigue:
*• p er Curjba ci. ón sen (y
2-23
El torque de carga también sufre de perturbación como
resultado de las variaciones . del campo
electromagnético debido a las componentes de voltaje
de alimentación como se demostró , por • tanto si se
relaciona el torque con la inercia de los cuerpos: .
J a = J] T 2-24
entonces:
^W* = JA Y eos (Yt) 2-25
donde: J es el momento de inercia del rotor,
a es la aceleración angular,
T es el par momento
39
2.3 Expresiones de los limites de estabilidad [24 28]
Ahora con ob j eto de obtener el criterio de
estabilidad se puede decir que:
rrt „ rr»
^ carpa ^
2-26
AV^2 r^ .Fii
sen (y ü-6. sen (y t-QZ2)
de donde se obtienen las relaciones:
= OZL z2
V22-27
donde: H - constante de inercia
= frecuencia base'en radianes
Las últimas ecuacione-s mostradas, establecen la
estabilidad de la máquina de inducción. Estas
ecuaciones pueden ser resueltas mediante cualquier
técnica iteractiva para ecuaciones simultáneas no
lineales, en las cuales un valor inicial es
requerido, problema que puede ser solventado mediante
la aplicación de los conceptos básicos de máquinas
eléctricas.
De los circuitos equivalentes derivados en páginas
anteriores, se consigue hallar expresiones analíticas
de los limites de estabilidad, en las cuales para su
deducción se h'-.* considerado al deslizamiento como
40
cero, además también se considera que la inductancia
de magnetización es considerada lo suficientemente
grande como para poder prescindir de su valor en los
cálculos que le corresponderían en los circuitos
equivalentes. Luego: aplicando los criterio de
estabilidad, se pueden llegar a las siguientes
fórmulas:
1 V2
2-28
donde:
TU. -
*S + *r
= primera frecuencia a la cual ocurre la
inestabilidad
frecuencia de oscilación a w-u
rjl + rlU, +¿:,r)2-29
donde: WL = segunda frecuencia a la cual ocurre la
inestabilidad
TL = frecuencia de oscilación a
2-4 Sensibilidad de la máquina [ 9 1 7 2 4 ]
Puesto que las condiciones ambientales en las que se
desenvuelve la máquina cambian, asi como por el
envejacimiento de los componentes, lo cual conlleva a
un cambio de los parámetros de la misma, hace que la
función de transferencia de la máquina de inducción
I 41
se altere y por tanto, la cantidad controlada. El
efecto producido por el cambio en un parámetro puede
expresarse como una función de sensibilidad. Esta
función de sensibilidad SsM es una medida de la
percepción de la respuesta del sistema a una
variación de un parámetro y está definido por:
0Af 3(:lnAf)~3(;ln8)
d(lnAf) 3636 ' 3(ln 8)
donde: M es la respuesta de salida del sistema;
8 es el parámetro del sistema que varia.
Ahora en general, -en un espacio de n parámetros, la
región de inestabilidad es descrita por un volumen de
n dimenciones. Por simplicidad- si el valor de n es
escogido como uno tal que la frecuencia de
alimentación wx a deslizamiento, cero, la región de
inestabilidad es descrita por un ancho de banda para
una frecuencia de alimentación inestable. Así;
wb = WU-WL 2-31
La sensibilidad del ancho de banda'para diferentes
parámetros como podrían ser la resistencia de estator
podrá ser denotada por:
$R* ~
42
Esto indica cuantitativamente cuanto efectivamente
cambia la resistencia del estator, pudiendo
comprimirse o expandirse el ancho de banda Wto.
Sensibilidad positiva indica que un incremento en el
valor del parámetro, incrementará el ancho de banda,
mientras que un valor negativo de la sensibilidad
implica que un incremento en el valor del parámetro
de consideración, decrementa el ancho de banda wt>.
CAPITULO III
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES
3.1 Ecuaciones de estado de la máquina de inducción
[5 14 15 22 23 24 25 29 ]
Con objeto de representar el comportamiento diiiámico
del sistema para diferentes valores de frecuencia de
alimentación, modo de: realisar control de velocidad
de un motor, se utiliza el Lugar Geométrico de las
Raíces, donde se puede observar las tendencias de la!
máquina respecto a zonas de inestabilidad; para ello
se requiere conocer la relación que existe entre la
entrada y la salida de la planta, es decir, los
valores característicos de ' la función de
transferencia,, como lo. exige el método propuesto.
En la ecuación 1-27, se llegó a determinar en
variables de estado, las ecuaciones generales de
voltaje de la máquina de inducción en el sistema de
ejes arbitrarios de ' referencia que describen el
comportamiento del motor, que a saber son:
44
P V
-X.
P -
-X9V
«
•X»
_ w wr y, -, . P¿n. — Jí. _. ' X*
3-1
En la ecuación anterior se recuerda gue P es el
operador d/dt; rs es la insistencia del estator; r'r-
resistencia del rotor, referida al bobinado del
estator; Xia, X'i** y Xm son las reactancias de
dispersión y magnetización del estator y rotor
respectivamente. La velocidad angular eléctrica del
rotor está denotada por Wr- El marco referencial rota
a una específica pero arbitraria velocidad w.
Las ecuaciones completas generalizadas de un motor de
inducción tipo jaula, son diferenciables no lineales.
Varios métodos pueden ser utilizados para resolver
este tipo de ecuaciones? en todo caso, el
comportamiento dinámico es- solo requerido para
pequeñas oscilaciones alrededor de una condición de
estado estable por tanto, la ecuación anterior se la
puede linealizar permitiendo soluciones más fáciles
de ser logradas.
i 45
Las ecuaciones 1-27 y !3-l difieren en tamaño y forma,
pues como se mencionó oportunamente, las componentes
de eje cero han sido omitidas por ser sistemas
balanceados y las inductancias han sido reemplazadas
por reactancias, lo que implica que las relaciones se
mantienen inalterables.
Si la máquina es excitada por un sistema trifásico
balanceado de voltajes .. de. velocidad angular w,o los
voltajes, de eje q y d, es decir, VQ.O y Vda son
sinusoidales de frecuencia w* - w y en el estado
estable las -cuatro corrientes de eje q, d, asumen la
misma frecuencia. A .partir de ello, será necesario
hallar la solución alrededor de la condición de
estado estable; asi, es de interés seleccionaz^ el
marco de referencia dentro del cual las variables de
voltajes y corientes 'asuman valores constantes (de)
para la condición de estado estable. Resulta claro
que esto ocurre tan so'lo cuando w - w* = 0. En base
a definir que w sea igual a w^, las ecuaciones
precedentes son referidas a un marco de referencia_
rotando en sincronismo: dentro del cual un conjunto de
ejes ortogonales rota \ la velocidad angular de los
voltajes aplicados, poí? tanto la ecuación anterior se
torna en:
46
o
o
donde:
5 = f =
ft
— ' ' 1 0
3-2
3-3
fe se define como el radio de frecuencia y puede ser
entendido como la frecuencia aplicado en pu. El
superindice "e" denota a las variables expresadas
respecto de una estructura rotando sincronizadamente.
El torque electromagnético expresado en pu. es:
3-4
Además, la ecuación, en por unidad que carateriza al
torque electromecánico es expresada por:
T —9 W
3-5
En la expresión anterior, H es la constante de
inercia expresada en' segundos y definida como el
radio de la energía cinética almacenada a la
velocidad mecánica base respecto de la potencia base.
47
es el torque de carga aplicado a la máquina en por
-unidad.
3.2 Ecuación matricial linealizada [3 14 15 íi 29 32]
Las expresiones 3-2, 3-4 y 3-5 incluyen el conjunto
de ecuaciones diferenciales no lineales que definen
el comportamiento de la máquina de inducción. Si una
solución completa del comportamiento dinámico de la
máquina de inducción es deseada, estas ecuaciones
deberán ser resueltas en detalle por un método
computacional lo que implica tiempo y espacio • de
memoria. Las ecuaciones linealizadas para pequeñas
oscilaciones en motores de inducción contienen
coeficientes (las corrientes de estado estable) los
cuales varían sinusoidalmente en el tiempo. Con el
objeto de reducir éstas, a ecuaciones diferenciales
ordinarias con coeficientes constantes, una
transformación sugerida por Kron • puede ser
aprovechada. En éste cambio, el marco de referencia
es modificado a uno fijo en el estator rotando a
velocidad sincrónica (a deslizamiento cero, equivale
a la transformación de Park aplicado a las ecuaciones
de la máquina sincrónica). Sin embargo, si un
estudio localizado del sistema debe ser organizado,
las ecuaciones pueden ser simplificadas
considerablemente con una linealisación de ellas
alrededor de la condición de operación establecida.
La linealisación se la puede lograr por.medio de las
48
Series de Taylor , en casos de sistemas no lineales ;
asi, aplicando éste concepto de desarrollo en series
alrededor del punto de interés se consigue:
3-6
si es pequeña la variación (deltas), se pueden
eliminar los términos superiores:
3-7
Si las variable de 3-2, 3-4 y 3-5 son capaces de
cambiar en una cierta cantidad alrededor del punto de
operación,, y si los términos que detallan el modo del
estado estable son eliminados, la resultante es:
donde:
*r'-**.O
V^rc *)
3-f
3-9
El subíndice 0 denota estado estable o punto de
operación.
La ecuación anterior • puede ser escrita de modo
49
reducido en base a notación matricial:
AvATL
-* Vio
v£ 0
AiA*V**»
+ P«i,
X 0
0 '- O WUT-¿ li"h
AiA*r
"A3-10
donde
Av¿,Av¿,0,0
li V-10
J? ='
r
y A y A-A_ U *-m "-*
o y n yj íi*y n y n
•"•» ^ ^
3-11
y 0 representa un vector columna de ceros de 4x1.
Expresando de manera reducida se tiene:
Ai -X"1 -JT1 10
2AVK '20
Ai
3-12
La expresión anterior constituye la ecuación de
estado matricial del sistema linealizado, donde se
puede observar la relación de las variables de estado
del sistema considerando entradas forzadas en voltaje
y torgue de carga.
50
3 _ 3 Transformación de las ecuaciones de estado
linealizadas a función de transferencia
5 9 17 20 24 ]
3.3.1 Matriz de transferencia.- Sea un sistema
con m entradas y n salidas. Se puede
considerar a las m entradas como componentes' de un
vector. Se denominará a éste vector, vector de
entrada. En forma similar se-pueden considerar las n
salidas como las componentes de un vector de salida.
La matriz que relaciona la transformada de Laplace
del vector de salida a la transformada de Laplace -del
vector de entrada, se denomina matriz de
transferencia entre el vector de salida y el vector
de entrada.
3.3.2 Funciones de.transferencia.- Se ha de
deducir la función de transferencia de
un sistema de entrada única y salida única partiendo
de la versión transformada de Laplace de las
ecuaciones de estado y salida.
Sea el sistema cuya función de transferencia está
dada por:
' 3-13U(3)
Si la representación en espacio de estado de éste
sistema está dado por:
51
X - A X + B UY * CX + D U
3-14
donde X es el vector de estado, U es la entrada y Y
es la salida. Para el caso ds estudio, se tienen las
siguientes equivalencias:
X =
B =
AiA =
u =3-15
Disponiendo de las ecuaciones de estado y de salida,
es necesario hallar los polinomios tanto del
numerador como del denominador de la función de
transferencia para poder aplicar los conceptos de
Lugar Geométrico de las Raices, Para ello teniendo
en cuenta que la manera de hallar los autovalores de
la matris A es mediante el determinante igualado a 0
de:
Si - A I - O
entonces reemplazando e'l presente caso:
3-16
3'i 0
0 I+
X"1^ JC-1 Vlfl
1 r- v nv«j n \J2Hwb 2Q J
= o3-17
Realizando las correspondientes sumas término a
término, la función anterior se convierte en:
52
sI+X^R
8= o
3-18
Si el determinante es expandido por menores a lo
largo de la segunda fila y reacondicionando el primer
menor a una matriz se tiene:
s I sI2H '20
« o3-19
ecuación que puede ser reescrita aún de la siguiente
manera:
2H
—j. =s si
3-20
donde claramente se puede ver que corresponde a la
expresión del tipo:
-1 = K 3-21
aquí el numerador es de quinto orden y corresponde a
los ceros, mientras que el denominador es un
polinomio de quinto grado que contiene los polos de
la función de transferencia en laso abierto. El
valor 1/2H por tanto relaciona la ganancia K de lazo
abierto de la planta y puesto que la ganancia puede
variar de 0a <^; el Lugar de las Raices de laso
celerado pueden ser generadas en el plano complejo.
i 53
3.4. Construcción del Lugar de las Raices [U 22 23 ]
El Lugar Geométrico de las Raices realiza un mapa
tanto de polos . como ceros de la función- de
transferencia de lazo abierto G(s)H(s), mediante la
variación de la ganancia K3 lo que en la práctica es
encontrar el desplazamiento de los polos de lazo
cerrado, que son los que dan la medida de la
estabilidad; deseos del proyectista que por medio de
este método si puede advertir la estabilidad de la
planta como tiempo de establecimiento, elongación,
etc.
Los puntos que a continuación se describen intentan
orientar en el trazado de los mapas, que a saber son:
3-4.1 Puntos de origen:
Los puntos origen (K=0) del lugar de las raíces son
los polos de G(s)H(s).
3.4.2 Puntos terminales:
Los puntos terminales ( K=±°°) del lugar completo de
las raices son los ceros de G(s)H(s); e. d. , que los
lugares de los polos de lazo cerrado, se originan en
Is polos de laso abierto y terminan en los ceros de
laso abierto ( ceros finitos o infinitos ).
54
1 + GH = O
Gff « -1
| GH i = 1
= 180° (2q
K U
£j=i
ñ t s _ ,•A -3-99/ ~ „ % i / ,-, „ _ -i r\* O / --y — •_ 1 \ ¿. ¿,
3.4-3 Número de ramas" separadas:
El número de ramas del lugar completo de las raíces
de la ecuación 3-22 es igual al mayor de n y m.
3.4.4 Simetría del lugar de las raíces:
El lugar completo de las raíces es simétrico con
respecto al eje real del plano s. 'En general, el
lugar completo de las raíces es simétrico con
respecto a los ejes de simetría de los polos y ceros
de G(s)HCs).
3_4.5 Asíntotas del lugar completo de las raices
cuando s-*co:
Para valores grandes de s, el lugar de las raíces
para K :0 es asintótico a líneas rectas o asíntotas
con ángulos dados por:
Q_ = (2Jc+D* g_23* n-m
3_4.6 Intersección de las asíntotas ( centroide ):
a) La intersección de las 2 n-ml asíntotas . del
55
lugar de las raíces se cía en el eje real del plano s.
b) La intersección de las asíntotas viene dada por:
fs _ f^P± ¿~t Z-t 1.—OA
O = " - d 4
p-z
3-4.7 Lugar de las raíces sobre el eje real:
a) Complejos: El ángulo para una raíz compleja se
anula al. sumarse con el ángulo de su conjugada, en
definitiva que las raíces complejas no contribuyen al
argumento de G(s)H(s)' para puntos sobre el eje real.
= O rad 3_25
b) Reales: Para que un punto sobre el eje real sea
punto del lugar geométrico de las raíces, es
necesario y suficiente que se encuentre a la
izquierda de un número impar de polos y/o ceros
reales.
/ GH = (2gr+l)it 0<;JC:£°° 3-26
3.4-8 Ángulos de salida (de los polos) y ángulos de
llegada (a los ceros):
Pueden - ser calculados mediante las siguientes
expresiones respectivas:
Ángulo de salida de un polo complejo:
6p = 180° + / Gff_' 3-27
Ángulo de llegada a cero complejo:
0C = 180° - / GH' 3-28
donde / GH' es el ángulo de fase G(s)H(s) evaluado en
, 56
la raíz compleja, sin tomar en cuenta la contribución
de esa raíz.
3-4.9 Puntos de separación (puntos en silla de
montar) del lugar completo de las raices:
Sí dos o más ramas se encuentran en un punto, éstas
se bifurcan simétricamente para lo que K será máxima
o mínima si llegan o parten las ramas del eje real.
_N(s\ -D(s) 3N(s} =
Al igualar • el numerador de la derivada anterior a
cero que corresponde a una ecuación de orden n+m-1,
se obtendrá la condición, necesaria aunque no
suficiente para ser puntos de separación. Una raíz
del numerador se puede considerar como punto de
separación si confirma que éste punto sea lugar de
las raíces ? o sea que cumpla con la ecuación
característica. El número de ramas que llegan a un
punto es igual al número de ramas que salen de éste y
es proporcional a la multiplicidad de puntos de
separación.
3.4.10 Cálculo de K en el lugar de las raices :
Debe conocerse para que valor de K máximo el sistema
permanece estable, es decir , que el lugar de las
raíces no cruce el eje imaginario y trabaje en el
lado derecho del plano complejo s el cual representa
inestabilidad-
CAPITULO IV
SIMULACIÓN DIGITAL
4-1 Consideraciones
En este trabajo se ha optado por utilizar el software
PC-MATLAB (Matrix Laboratory), por su facilidad de
uso para los cálculos que se requieren en la
elaboración de los gráficos .tanto de las formas de
onda de voltaje y corrriente en variables de fase abe
y en el sistema arbitrario de referencia analizados
en el estator y rotor como del Lugar Geométrico de
las Raíces, puesto que como se señaló en capítulos
precedentes, las operaciones que se realizan
corresponden básicamente a matrices y su entorno.
Además. este paquete posee bibliotecas que son
inherentes al control, como en este caso se requiere,
lo que hace de él, uno de los más aptos para los
fines que se persiguen.
4_2 Formulación del modelo [Í3 14 17 18 24 25 ]
La máquina de inducción en estado estable opera bajo
condiciones balanceadas, es así que las corrientes
del estator producen un campo magnético que gira en
el entrehierro a la velocidad sincrónica w«; el rotor
gii^a a la velocidad w^ (diferente de w©) ,
induciéndose corrientes que producen un campo
magnético que gira a la velocidad (we - w^-) con
respecto al rotor. Por otra parte, debido a las
condiciones balanceadas que corresponden a un motor,
58
todas las variables aparecen como cantidades
sinusoidales. De esta forma, las variables del
estator serán sinusoidales de frecuencia w& y las
variables del rotor, sinusoidales de frecuencia
(wa - WrO . Al transformar estas variables al sistema
de ejes arbitrarios de referencia, que gira a la
velocidad w con respecto al estator y a la velocidad
(w - w*0 con respecto al rotor, las variables del
estator tendrán la frecuencia (we-Wr* )-(w-WrO =w0-w.
Se tiene así, que en estado estable tanto las
variables del estator como las del rotor, referidas
al sistema de ejes Arbitrarios de referencia, son
sinusoides de frecuencia (w« - w) para todos los
sistemas de referencia., excepto para el caso en que
el sistema gira a la velocidad sincrónica ws, en este
caso todas las variables 'aparecen como cantidades
constantes (voltaje y/o corriente).
fbs
4-1
'¿z = F'rcos
donde: Fe. = amplitud máxima de las variables de
fase abe (voltaje y corriente) del
; 59
estator.
- amplitud máxima de las variables de
fase abe (voltaje y corriente) del
rotor, referidas al estator.
Se puede definir además:
9 = KT. t 4-2r
.9 = v.t
Utilizando los valores de las ecuaciones 4-1 en las
ecuaciones de transí cremación 1-16 se llega a las
siguientes expresiones:
4-3- f'xcos(9e-9)
Las relaciones obtenidas anteriormente son verdaderas
para cualquier sistema de referencia, y para los
casos particulares mencionados en los capítulos
precedentes, se tiene:
1) El sistema de referencia fijo en el estator: w = 0
y 8=0.
60
4-4= F'rcos6a
el superindice "s" indica que el sistema de
referencia está fijo en el estator, "r" indicará fijo
en el rotor y "e" que está girando a la. velocidad
sincrónica w&.
2) El sistema de referencia fijo en el rotor: w .= w^
4-5
3) El sistema de referencia gira a la velocidad
sincrónica ws : w = wa y 0 ~ 8e.
fe =* F•t-B ^
4-6
dr = Ou
Asi, se comprueba lo' afirmado- anteriormente : cuando
el sistema de ejes arbitrarios está fijo en el
estator o en el rotor, las variables qd0 son
61
sinusoidales de frecuencia w0 o (w«, -
respectivamente, y cuando el sistema está girando a
velocidad sincrónica, las variables qd0 son
cantidades constantes.
4.2.1 Ecuaciones de voltaje era estado estable.
[17 iS 2B 24 25]
Las ecuaciones de voltaje en estado estable
constituyen un caso particular de la transformación a
coordenadas qd0, y para obtener dichas ecuaciones se
parte de las relaciones de voltaje 1-27, donde, se
toman únicamente las ecuaciones del eje q y se
continúa con el siguiente procedimiento:
1. Se reemplazan los valores obtenidos en 4-6
2. El operador p es reemplazado por j(w« - w)
3. Se sustituyen: p6 por w y pj3 por (w - w*0
4. Se fija el sistema de ejes arbitrarios
girando a velocidad sincrónica por lo que
W — W«. -
5. Los valores se refieren al estator, girando a
velocidad sincrónica.
De este modo, las ecuaciones que rigen el
comportamiento de la 'máquina de inducción en estado
estable son:
62
-5£. =\±-Z-HX' f'8 B JX H -en las ecuaciones anteriores 7 Vara ? V ' a.r-, I£LB e l ' «.
son fasores y s es el deslizamiento, además:
Xie = v?e Lia es la reactancia de dispersión por fase
de estator.
X'x^ = Wo L'ir» es la reactancia de dispersión por
fase de rotor, '
Xm = we M es la reactancia mutua entre rotor y
estator.
En el motor de inducción, se presentan dos tipos
generales de rotores gue ha saber son:
- rotor bobinado
- rotor jaula de ardilla.
Para el caso de rotor jaula debe considerarse que
dado que el rotor está cortocircuitado, el voltaje de
éste es cero asi como los voltajes reflejados al
estator tanto en variables de fase abe como en el
sistema arbitrario de referencia q_d0.
4.2_2 Lugar Geométrico de las Raices
En el capitulo anterior, se obtuvo las ecuaciones
diferenciales que describen el comportamiento de la
máquina de inducción en las que se ha considerado el
sistema de ejes de referencia rotando en sincronismo,
63
donde además se ha eliminado el eje de referencia 0,
por cuanto dado que el sistema es eléctricamente
balanceado, dicha componente se anula. A éste grupo
de ecuaciones también se ha añadido una que describe
al torque electromagnético, para una vez obtenido
todo el grupo de ecuaciones lineal i zar las de .modo de
poder trabajar con mayor facilidad, esto último en
vista de que los análisis se realiza alrededor de un
punto de operación específico,
En la obtención de la Función de Transferencia, se
uso artificios matemáticos para lograr una
presentación de datos acorde al formato que requiere
PC-MATLAB; recordando los resultados se tiene:
2H
s | si +
donde:
0,0,-
X
a
R =
' 7' ' Q
•cr _
4-8
Y o y n•"/7 ""m ^
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O Jír O
O 'Xa O Xr
4-9
Ahora, los datos que se disponen de la entrada del
menú, serán los que se reemplacen en las matrices R,
64
X y para los vectores vi0T y V20T? deberá calcularse
las corrientes de estator y rotor, referida al
estator, para mía fase, en base al circuito
equivalente con lo que se obtiene:
4-10
I1
donde:
4-11
4_3 Ejemplos de aplicación.
Se consideran los parámetros de un motor que consta
en los ejemplos del libro "Teoría y análisis de las
Máquinas Eléctricas" de A. E. Fitsgerald, asi como el
dato inercial de la tabla que consta en "A simplified
approach to the determination of induction machine
dynamic responsé". por los autores R. Stern, D.
Novotny,
Motor de rotor bobinado con una potencia nominal al
B¿e de 10 hp (7460 W), 60 ciclos y cuyas
características son:
Resistencia de estator: Rs - 0,2940 Q
65
Resistencia de rotor:
Reactancia de estator:
Reactancia de rotor:
Reactancia de magnetización:
Constante de inercia del rotor:
Número de polos:
Relación de transformador:
Voltaje de alimentación:
Frecuencia de alimentación:
Potencia nominal:
Velocidad nominal del rotor:
Rr'= 0.1440 Q
Xs = 0.503© ifi
Xr'~ 0,2090 iQ
Xm = 13.2500 iQ
Hr = 0.136 seg
P = 6
Ns/Nr = 1
V = 127 V
f = 60 Ez
Pnom - 7460 W
nr - 1160 rpm
Para el caso de vacio se lograron los siguientes
resultados:
Voltaje de estator (fase a):
Voltaje rotor (fase a):
Voltaje q de estator:
Voltaje q de rotor:
Corriente estator (fase a):
Corriente de rotor (fase a):
Corriente q estator:
Corriente q. rotor: '
TABLA 4.1
Vas = 127 V, 60 Ha
Var - 0.02 V, O.01 Ha
Vqs = 179.61 V
Vqr - 0.03 V
las =9.23 Arms
9 = -87.93°
lar - 0.14 Arms
0 = 1.18°
Iqs = 13.05 A
Iqr = 0.20 A
Los correspondientes gráficos de voltajes y
corrientes que originan estos valores se encuentra en
66
las figuras 4.1 a 4.8; el gráfico N. 4.1 es la forma
de onda de los voltajes de fase en el estator con su
magnitud y ángulo reales; la figura N. 4.2 .es el
voltaj e que se encuentra en el rotor pudiendo
observarse que la frecuencia es menor que la del
estator. La siguiente figura N. 4.3, es la
representación en variable qd0 del voltaje de
estator y dado que para la utilización del sistema de
referencia arbitrario se considera la referencia
sincrónica, las cantidades aparecen constantes en
concordancia con dicha teoría presentada en este
capítulo en las ecuaciones 4-3 y 4-6; cosa similar
presenta el gráfico N. 4.4 que es el voltaje qd0 de
rotor. A continuación, en la figura N. 4.5 se
representan las corrientes de fase de estator en
magnitud y ángulo cuya frecuencia es la misma de la
fuente y en la figura N. 4.6 se encuentran las
corrientes de rotor en magnitud y ángulo; finalmente,
figuras N. 4.7 y.4.8 presentan las corrientes en el
sistema de referencia arbitraria tanto para el
estator como para el rotor? como cantidades
constantes por las condiciones señaladas
anteriormente.
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8
69
Estos valores son necesarios para el cálculo de los
vectores Vi0T y V2©TJ mientras que las matrices R y X
pueden ser conocidas directamente de los valores
originales. La £R en este ejemplo es unitario puesto
que el valor de normalización de frecuencia se ha
escogido 60 Hz y coincidiendo dicho valor con la
fuente, se obtiene tal resultado; ecuaciones 4-9,
En' la simulación, el programa arma la función de
transferencia representada en la ecuación 4-8, de la
que se extrae los valores de ceros y polos que son:
Cero y polos de la función de transferencia
ceroi - -0.2092 - 0.9379 i
ceros = -0.2092 + 0.9379 i
ceros = -0.2250 - 0.0000 i
poloi - 0.0000 + 0.0000 i
polos = -0.4357 + 0.9160 i
polos = -0.4357 - 0.9160 i
polo-4 = -0.1867 + 0.0841 i
poloe = -0.1867 - 0.0841 i
TABLA 4.2I
En esta tabla se puede ver que faltan los ceros de ±
co3 que de acuerdo al orden del numerador de la
función de transferencia existen, pero por su
magnitud el programa limita la presentación de los
ceros a un rango preestablecido pues de otro modo se
afectaría la precisión de los ceros de interés,
70
aunque no por ello dejan de ser considerados en el
proceso de graficación del Lugar Geométrico de las
Raices. Otro punto a observar de la tabla anterior
es la existencia de un polo en el origen.
Frecuencias naturales
frecuencia i = 28.23 rad/seg
frecuencia 2 - 28.23 rad/seg
frecuencia s = 0.9609 rad/seg
frecuencia A. - 0.9609 rad/seg
frecuencia 5 - 0.225 rad/seg
Frecuencias de amortiguamiento
frecuencia i - 0.0106 rad/seg
frecuencia 2 = 0.0106 rad/seg
frecuencia 3 = 0.2175 rad/seg
frecuencia 4 - 0.2175 rad/seg
frecuencia 5 - 1.000 rad/seg
TABLA 4.3
También las frecuencias naturales del sistema como
las de amortiguamiento, se muestran en la tabla para
sabex* bajo que tipo de comportamiento se nalla el
sistema, sea subamortiguado, criticamente amortiguado
ó sobreamortiguado, esta depende de las condiciones
de funcionamiento. Todos estos valores se los
presenta para una mejor comprensión de los gráficos
del Lugar de las Raices. Ademásy el número de
frecuencias de cada tabla es debido al orden de la
71
función de transferencia que se considera, lo que
hace aparecer como, si se repitiecen las frecuencias
en las tablas señaladas.
Finalmente , la figura N . 4.9 presenta el Lugar
Geométrico de las Raices donde la función de
transferencia a graficar contempla no solo las
ecuaciones propias del motor, sino además se halla
incluida la ecuación del torque electromagnético de
una manera integral. En el gráfico se puede ver el
comportamiento del sistema al moverse los polos hacia
los ceros, indicados en el mismo y que corresponden a
los de la tabla anterior, de la función de
transferencia al variar la ganancia que para el caso
de motores se ha llegado a determinar que es el
inverso del doble de la constante de inercia total ,
es decir, la inercia de carga y la de rotor.
donde: K es la ganacia del sistema
H es la constante de inercia total (rotor y
carga)
Bajo las condiciones de funcionamiento asumidas ; el
gráfico corresponde a un sistema condicionalmente
estable , es decir , al aumentar la ganancia desde cero
a infinito, los polos recorren las ramas del Lugar
Geométrico de las Raices hacia los ceros, pero
• '. 72
existen intervalos de valores de ganancia en los que
el punto de operación esta en porciones de las ramas
del Lugar de las Raices que se hallan en el lado
derecho del plano complejo s que por tanto representa
inestabilidad.
Puntos de operación
Ki = -0.4357 0.9160 i
K2 = -0,4357 -0.9160 i
K3 = -0.1867 0.0841 i
IU = -0.1867 -0.0841 i
Ke = 0.0000 0.0000 i
TABLA 4.4
Con la tabla precedente7 se puede ubicar con
exactitud donde se halla el motor trabajando pues la
condición de estabilidad es que los cinco valores de
Kn sean negativos en su parte real, ya que de otra
manera al ser positiva al menos un valor, el motor se
encuentra en el lado derecho del plano complejo que
es inestable.
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74
Una segunda simulación se realisa a un estado de
carga de 0.5 veces el nominal para el mismo motor.
Como en el caso anterior, el programa se encarga de
calcular los valores de voltaj e y corriente cuyos
resultados son los siguientes:
Voltaje de estator (fase a):
Voltaje rotor (fase a):
Voltaje q de estator:
Voltaje q de rotor:
Corriente estator (fase a):
Corriente de rotor (fase a):
Corriente q estator:
Corriente q rotor:
TABLA 4.5
Vas = 127 V, 60 Hs
Var = 1.97 V, 1.0 Ha
Vqs = 179.61 V
Vqr =2.79
las - 16.52 Arms
8 = -35.96°
lar = 13.68 Arms
B = -3.26°
Iqs = 23.36 A
Iqr = 19.35 A
Los correspondientes gráficos de voltajes y
corrientes que originan estos valores se los
encuentra en las figuras 4.10 a 4.17; el gráfico N.
4.10 es la forma de onda de los voltajes de fase con
su magnitud y ángulo reales; la figura tí. 4 „ 11 es el
voltaje que se presenta en el rotor y que es mayor la
inducción en este caso, asi mismo la frecuencia es
mayor que en vacio puesto que la velocidad es menor y
por tanto el valor del deslizamiento ha de aumentar.
75
La siguiente figura N. 4.12, es la representación en
variable g.d0 del voltaje de estator con valores
constantes7 de acuerdo a la referencia que se utiliza
para representar el modelo matemático; cosa similar
presenta el gráfico N. 4,13 que es el voltaje qd0 de
rotor. A continuación, en la figura N. 4.14 se
representan las corrientes de fase de estator en
magnitud y ángulo cuya frecuencia es la misma a la de
la fuente y en la figura N. 4.15 se encuentran las
corrientes de rotor en magnitud y ángulo, los valores
han aumentado por. el estado de carga presente;
finalmente, figuras N. 4.16 y 4.17 presentan las
corrientes en el sistema de referencia arbitraria
tanto para el estator como para el rotor, como
cantidades constantes por las condiciones señaladas
anteriormente.
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78
Cero y polos de la función de transferencia
ceroi = -0,2004 + 0.9371 i
ceros' = -0.2004 - 0.9371 i
ceros - -0.2335 - 0.0000 i
polOi = 0.0000 + 0.0000 i
polos = -0.4366 + 0.9146 i
polos = -0.4366 - 0.9146 i
polo^ = . -0.1858 + 0.1021 i
polos = -0.1858 - 0.1021 i
TABLA 4.6
Los ceros se acercan apenas al origen como lo muestra
la tabla 4.6 respecto de la tabla 4.2. Los polos se
alejan en el valor real pero se reduce el valor
imaginario; de igual manera, los valores son apenas
diferenciables en magnitud puesto que se utiliza un
método gráfico. Se destaca que aquí también existe
un polo en el origen. El gráfico del Lugar
Geométrico se presenta con la misma característica
anterior de estabilidad condicional, sin embargo, los
valores hallados son:
Frecuencias naturales
frecuencia o. = 90.54 rad/seg
frecuencia a - 90.54 rad/seg
frecuencia 3 = 0.9583 rad/seg
frecuencia 4 = 0.9583 rad/seg
frecuencia e = 0-2335 rad/seg
79
Frecuencias de amortiguamiento
frecuencia i - 0.0033 rad/seg
frecuencia 2 - 0.0033 rad/seg
frecuencia 3 - 0.2091 rad/seg
frecuencia -4. = 0.2091 rad/seg
frecuencia 5 — 1.0000 rad/seg
Puntos de operación
Ki = -0.4366 0.9146 i
Ks = -0.4366 -0.9146 i
K3 - -0.1858 0.1021 i
fU - -0.1859 -0.1021 i
Ke = 0.0000 0.0000 i
TABLA 4.7
Las frecuencias naturales han variado como efecto de
la variación del estado de carga del sistema, ahora
son mayores las frecuencias propias de la planta; las
frecuencias de amortiguamiento han disminuido por lo
que no deja de ser un sistema subamortiguado, mas aún
al variar el torque del conjunto. El punto de
operación indica sin embargo que para los parámetros
de ingreso al motor, este se comporta de manera
estable.
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Para un estado de carga nominal,'se obtuvieron los
siguientes resultados: •
Voltaje de estator (fase a): Vas - 127 V3 60 Hz;
Voltaje rotor (fase a): Var - 3.80 V, 2.0 Hs
Voltaje q de estator: Vqs = 179.61 V
Voltaje q de rotor: Vqr - 5.37 V
Corriente estator (fase a): las - 28.09 Arms
0 = -25.23°
Corriente de rotor (fase a): lar = 26.33 Arms
8 = -7.43°
Corriente q estator: Iqs - 39.73 A
Corriente q rotor: Iqr = 37.24 A
TABLA 4.8
Las formas de onda aparecen en las figuras 4.19 a
4.26, donde se destaca que la magnitud de voltaje que
aparece en el rotor es mayor asi como la frecuencia
que se puede ver claramente en la tabla 4.8. Es
lógico suponer que el aumento de carga influirá
directamente en las corrientes tanto de estator como
de rotor y además el defasaje disminuye lo que indica
que la energía que se consume de la red es
transformada en energía mecánica y las pérdidas
reactivas son menos influyentes.
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84
Cero y polos de la función de transferencia
ceroi = -0.1962 + 0.9372 i
ceros - -0,1962 - 0.9372 i
cerca - -0.2412 - 0.0000 i
poloi - 0.0000 + 0.0000 i
polos. - -0.4375 + 0.9131 i
poloa ~ -0.4375 - 0.9131 i
polo^ - -0.1849 + 0.1202 i
polos - -0.1849 - 0.1202 i
TABLA 4.9
Frecuencias naturales
frecuencia i - 163.1 rad/seg
frecuencia 2 =: 163.1 rad/seg
frecuencia s - 0.9575 rad/seg
frecuencia A. - 0.957.5 rad/seg
frecuencia e = 0.2412 rad/seg
Frecuencias de amortiguamiento
frecuencia i - 0.0018 rad/seg
frecuencia 2 - 0.0018 rad/seg
frecuencia 3 = 0.2049 rad/seg
frecuencia 4 = 0.2049 rad/seg
frecuencia e = 1.00 rad/seg
85
Puntos de operación
. Ki = -0.4375 0.9131 i
Ks - -0.4375 -0.9131 i
K3 = -0.1849 0.1202 i
K4 = -0.1849 -0.1202 i
Ks = -0.0000 0.0000 i
TABLA 4.10
De las tablas 4.9 y 4.10 los puntos de operación
coinciden con los polos de la función de
transferencia lo que indica que para las condiciones
de funcionamiento, la ganancia coincide con los polos
de la función de transferencia y si bien el sistema
presenta un comportamiento de estabilidad relativa,
el sistema es estable.
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87
Una cuarta prueba se realiza para sobrecarga de 25
por ciento de la nominal a la misma inercia que para
plena carga y se obtuvieron los siguientes
resultados:
Voltaje de estator (fase a): Vas = 127 V, 60 Hz
Voltaje rotor (fase a): Var - 4.65 V, 2.5 Hz
Voltaje q de estator: Vqs = 179.61 V
Voltaje q de rotor: Vqr = 6.58 V
Corriente estator (fase a): las - 33.82 Arms
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Corriente de rotor (fase a): lar - 32.24 Arms
e = 9.40°Corriente q estator: Iqs = 47.82 A
Corriente q rotor: Iqr = 45.60 A
TABLA 4.11
La variación del voltaje en el rotor sigue en aumento
y también la frecuencia del mismo; el incremento de
corriente es notable como en el caso anterior e igual
cosa sucede con el ángulo de la corriente como lo
demuestra la tabla N_- 4.11. Puesto que el aumento
de carga es representativo, se puede ver en los
gráficos de las corriente que los valores se acercan
entre estator y rotor por cuanto la rama de
magnetización presenta un menor consumo de potencia y
es algo que se trata de igual manera en la tabla
anterior al analizar el valor del ángulo de defasaje
de dichas corrientes. Esto como es lógico redundará
en el factor de potencia del sistema pues a mayor
carga el factor de potencia aumenta lo que es
beneficioso para los correspondientes costeos. .
Los valores de los polos y ceros calculados de la
simulación son los siguientes:
Cero y polos de la función de transferencia
ceroi = -0.1943 + 0.9372 i
ceros = -0.1943 - 0.9372 i
ceros = -0.2450 + 0.0000 i
polox -
polos =
poloa -
poloxt -
polos =
TABLA 4.12
4380 +
.4380 -
1844 +
1844 -
0.0000 i
0.9123 i
0.9123 i
0.1293 i
0.1293 i
Frecuencias naturales
frecuencia i = 198 rad/seg
frecuencia -2. — 198 rad/seg
frecuencia 3 = 0.9572 rad/seg
frecuencia A = 0.9572 rad/seg
frecuencia s = 0.245 rad/seg
Frecuencias de amortiguamiento
frecuencia i = 0.0015 rad/se|
89
frecuencia 2 = 0.0015 rad/seg
frecuencia 3 = 0.2030 rad/seg
frecuencia 4 = 0.2030 rad/seg
frecuencia e = 1.00 rad/seg
Las características de frecuencia y amplitud llevan
los mismos comportamientos que los señalados en
páginas anteriores, para los casos de carga antes
especificados.
Puntos de operación
Kx = -0,4380 0.9123 i
K2 = -0,4380 -0.9123 i
•Ka - -0.1844 0.1293 i
!U = -0.1844 -0.1293 i
Ke = -0.0000 0.0000 i
TABLA 4.13
Los valores de polos y ceros no han variado
ostenciblemente, respecto al caso de plena carga,,
como se puede ver al comparar las correspondientes
tablas de valores, y en general es algo que debía
esperarse7 puesto que si se recuerda la matris que
origina la función de transferencia, aquella está en
función de los valores que caracterizan al motor y la
ecuación que relaciona el torque con la velocidad es
la que se ve afectada por el valor del estado de
carga del sistema.
90
Siendo considerado para las simulaciones un estado de
carga 'diferente, mas no una constante de inercia
distinta puesto que como se recordará de la ecuación
1-40 en el primer capitulo, el torque
electromagnético es la suma del valor del •torque de
carga representado por la carga propiamente dicha y
por las pérdidas, más la variación de velocidad del
eje afectado por una constante que es el momento de
inercia, entonces, todo esto lleva a concluir que el
diagrama del Lugar Geométrico de las Raices en
principio es básicamente el mismo para los estados de
simulación que han sido considerados. Ello explica
además el porque las frecuencias naturales del
sistema son próximas asi como las de amortiguamiento
y además como los puntos de operación de la máquina
coinciden con los valores de los polos de la función
de transferencia y que por tanto indica estabilidad
desde el punto de vista del control. Esta
localiaación de los puntos de trabajo coincidentes
con los polos de la función de trarisf erencia,
justifican la estabilidad de un motor eléctrico a
cualquier estado de carga por lo que es una planta
que al ser operada en condiciones para las que fue
diseñada se comporta en perfectas condiciones desde
el punto de vista de la estabilidad de control, cosa
distinta es la estabilidad de potencia que si al
sobrepasar el torque máximo que puede desarrollar la
máquina, ya sea por la variación controlada o no de
los parámetros internos y externos del motor, este se
91
detendrá inmediatamente o no logrará partir si es que
aún no lo ha hecho.
Los ejemplos realisados a este punto se los considera
para condiciones nominales de funcionamiento y para
distintos estados de carga, pero al disponer de
elementos de estado sólido, se puede variar la
frecuencia y el voltaje de alimentación por lo que se
podría trabajar en la parte inestable de la curva de
torque - deslizamiento y asi con un solo motor lograr
distintos estados de velocidad estable. Para ello se
presentarán variaciones de los parámetros factibles
de adulteración en un motor para ver que ocurre en
cada caso.
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96
Resistencia de estator:
-Rotor bobinado.
Resistencia de rotor':
Reactancia de magnetización:
Reactancia de estator ~
Reactancia de rotor':
Momento de inercia:
-Rotor jaula.
Resistencia de rotor':
Reactancia de magnetización:
Reactancia de estator -
Reactancia de rotor':
Momento de inercia:
1,61 Q/fase
5,341 O/fase
102.588 Q/fase
6.112 Q/fase
.0490 m2 Kg
5.373 Q/fase
102.26 Q/fase
5.496 Q/fase
.0468 m2 Kg
El valor del momento de inercia del rotor se ha
considerado el de cálculo por método físico, según
consta en dicho trabajo.
4-4.1 Rotor jaula
Para el caso de rotor jaula, se realizaron similares
pruebas para ver que tipo de reacciones se esperan
del uso del motor para diferentes tipos de
alimentación. En cada tipo de simulación solo se ha
ve-riado un parámetro mientras el resto han
permanecido a valores constantes y nominales siendo
los valores de deslizamiento de 2.22 por ciento,
constante de inercia total igual a cinco veces la del
rotor. A continuación se detallan las simulaciones
desarrolladas y las conclusiones a que se llegó con
97
dichas simulaciones.
4.4-1.1 Resistencia de estator.
Partiendo de la resistencia nominal y variandola en 2
y 3 veces y conservando los valores del resto dei
parámetros como se especificó originalmente, se puede
decir que la primera variación perceptible es la de
corriente de estator , la cual disminuye al igual que
en el rotor mientras que el ángulo de las corrientes
presenta variaciones sin ningún tipo de
comportamiento específico respecto del aumento de
resistencia, como muestra el cuadro W. 1. En cuanto
al Lugar Geométrico de las Raíces, que en condiciones
originales topa el eje vertical lo que implica
oscilación, al aumentar la resistencia de estator,
este se desplaza hacia la izquierda, y el polo y cero
cercanos al eje imaginario, en principio se producía
entre estos el trazado del • Lugar Geométrico, al
aumentar la resistencia de estator, las ramas del
gráfico varían de trayectoria, como se puede observar
en los gráficos N. la. Ib y le. Las frecuencias
naturales y de amortiguamiento, en el primer caso
disminuyen ligeramente de valor, tomando en cuenta el
porcentaje variado en la resistencia de esta
simulación, similar situación acurre con las
frecuencias de amortiguamiento pero en aumento. El
punto de fucionamiento del motor se puede observar en
la referida tabla N. 1 que es muy cercana a los
polos, por tanto es estable y se estabiliza más al
98
aumentar la resistencia. En cuanto al torque,
disminuye de valor al aumentar la resistencia. En la
ecuación del torque electromagnético es inversamente
proporcional el valor de la resistencia de estator.
4.4.1.2 Voltaje.
Los voltajes de alimentación del estator fueron de
220; 180 y 140 voltios respectivamente en cada
simulación. Se puede observar que las corrientes de
estator disminuyen en la misma proporción de la
reducción de voltaje conservándose el ángulo voltaje-
corriente, de acuerdo a la tabla N. 2. 'El Lugar
Geométrico de las Raices, los polos y ceros, se
conservan en cada caso de variación de voltaje, por
lo que el gráfico de los tres casos es el mismo,
gráficos H. la, 2b y 2c; las frecuencias naturales
altas, disminuyen; las baj as permanecen iguales.
Para las frecuencias de amortiguamiento, estas
permanecen constantes, pues la respuesta del sistema
depende de la planta no de la entrada a que se ve
sometida dicha planta. El punto de funcionamiento
del motor mostrado en las ganancias de la tabla N. 2,
denotan que estos puntos viajan de los polos a los
ceros, pero en ningún caso tienen un valor positivo
que indicaría que el sistema se encuentra en el
semiplano derecho que representa inestabilidad. El
torque disminuye con el cuadrado de la relación de
reducción de voltaje.
99
4.4.1-3 Constante de inercia.
Al variar la constante de inercia total en múltiplos
de la constante de inercia del rotor, en 10 y 15
veces, los valores de voltaje, corriente permanecen
constantes pues se considera que no varia el
deslizamiento. El Lugar Geométrico es el mismo para
las variaciones estudiadas, gráficos N. la, 3b y 3c.
Las frecuencias naturales. , tienden ligeramente a
disminuir, cuando no a permanecer constantes, como
sucede con las frecuencias de amortiguamiento que no
se ven alteradas. El punto de operación es el
indicado en la tabla N. -3 donde se observa que es
seme jante a los polos de la función de transferencia.
En cuanto al torgue electromagnético, permanece
constante. El sistema es estable.
4.4-1-4 Frecuencia.
A partir de la frecuencia nominal de 60 Hz en pasos
descendientes de 20 Hs hasta los 20 Hz se realiza la
simulación en cada caso, manteniendo el resto de
parámetros bajo las condiciones especificadas
anteriormente. Al disminuir la frecuencia, las
corrientes de estator se ven incrementadas al igual
que los ángulos de dichas corrientes. Los polos y
ceros cercanos al origen al disminuir la frecuencia
se acercan al mismo, mientras que los más alejados
del origen se alejan del eje horizontal, como lo
muestran los gráficos N. la, 4b y 4c. Las
frecuencias naturales disminuyen de valor, las altas,
100
mientras las bajas disminuyen y luego crecen. Las
frecuencias de amortiguamiento crecen de valor pero
no apreciablemente. El punto de operación muestra
que para baja frecuencia de alimentación, en este
caso el sistema es inestable como lo demuestra el
valor positivo de K 5' en la tabla N. 4. Para el
torque, aumenta de valor al disminuir la frecuencia.
4-4.1,5 Velocidad del rotor.
Se practicaron tres variaciones de la velocidad del
rotor, partiendo del 2.22 por ciento . de
deslizamiento, luego el 5 por cien y 10 por ciento.
Los. valores de voltaje en el estator asi como la
frecuencia se' hallan constantes a travez de la
prueba, no por ello la corriente de estator y rotor
que aumentan al disminuir la velocidad del r'otor y el
ángulo entre voltaje y corriente en ambos casos
disminuye. Su relación halla sustento en que el
circuito equivalente se halla expresado • en función
del deslizamiento y al variar la velocidad del rotor
este se ve directamente afectado. El Lugar
Geométrico de las Raices, los valores no dominantes
se alejan de los ejes, por lo que el Lugar se hace
menos angular y tiende a girar un poco a la
izquierda; las asisntotas se mantienen semejantes.
Los ceros y polos dominantes, se acercan al or.igen,
todo esto se puede observar en los gráficos N. la, 5b
y 5c y la tabla N. 5. Las frecuencias naturales
aumentan las altas y las bajas permanecen
101
prácticamente constantes. Las frecuencias de
amortiguamiento disminuyen ligeramente. El punto de
operación demuestra estabilidad y el torgue aumenta
en cada disminución de velocidad puesto que la curva
torque deslizamiento se la esta recorriendo de
derecha a izquierda.
4-4,2 Rotor doble jaula.
Los datos para esta simulación son los tomados de la
tesis de C. Almeida.
4.5.2.6 resistencia de estator
A partir de una, para luego 2 y 3 veces ' el valor
nominal? se puede ver que la corriente de estator y
de rotor disminuye en muy poca cantidad, como se
aprecia en la tabla N. 6. El Lugar Geométrico, en
los gráficos N. 6a, 6b y 6c se ve que al aumentar la
resistencia de estator el Lugar se desplaza hacia la
izquierda, lo que origina que se estabilice el
sistema; para los valores originales, las ramas
atraviesan el eje vertical lo que podría implicar una
eventual inestabilidad. Las frecuencias naturales de
la planta disminuyen en general al aumentar la
resistencia mientras que las de amortiguamiento
crecen de manera pronunciada. El punto de operación
de la máquina para los valores de alimentación y
carga, en el primer caso existe inestabilidad, al
aumentar la resistencia, desaparece, pero en el
tercer caso reaparece la inestabilidad, como se
comprueba de la tabla N. 6 y los gráficos N. 6a, 6b y
102
6c. El torgue disminuye a lo largo del experimento.
4-4.2.7 Voltaje.
Con la variación desde 220 voltios hasta 140 en paso
de 40 voltios, se observa en la tabla N. 7 que las
corrientes disminuyen en el rotor y en el estator.
En cuanto al Lugar Geométrico, los polos y ceros se
conservan los originales por lo que el Lugar de las
Raices es el mismo en los tres casos; figuras N. 6a,
7b y 7c, mientras las frecuencias naturales altas
disminuyen, las bajas son las mismas; las frecuencias
de amortiguamiento prácticamente son las originales,
como lo muestra la tabla N. 7. El torque
electromagnético disminuye al reducirse el voltaje
como ya se explicó en el caso de rotor jaula.
4,4.2.8 Constante de inercia.
Con el mismo concepto de 5, 10 y 15 veces la
constante de inercia del rotor, se puede observar en
la tabla N. 8 que las corrientes de estator y de
rotor permanecen constantes. En cuanto al Lugar
Geométrico, los polos y ceros permanecen inalterados
para efectos prácticos como lo demuestra la tabla N.
8 y las figuras N. 6a, 8b y 8c. Las frecuencias
naturales del sistema dismunuyen las altas y se
conservan las frecuencias bajas; en cuanto a las de
amortiguamiento permanecen constantes. El punto de
operación de la máquina demuestra inestabilidad en el
primer y tercer caso por el valor positivo de uno de
103
los puntos de operación. El torgue permanece
constante.
4.4-2.9 Frecuencia.
Las frecuencias de simulación de 60, 40, 20 Hz
muestran que las corrientes aumentan en el estator y
son casi inadvertidas en el rotor. El Lugar de las
Raíces al disminuir la frecuencia tiende a disminuir
de tamaño a la ves de viajar a la izquierda^ por lo
que se estabiliza, algo que se puede apreciar en los
puntos de operación de la simulación pues en el
primer caso, existe un valor positivo de la ganancia
y en los restantes no hay tal caso. Para la tercera
frecuencia de simulación el Lugar vuelve a dirigirse
a la derecha, pero se encogen las ramas del mismo,
esto explica la estabilidad del sistema. -El torque
del motor se ve incrementado en su valor. Las
frecuencias naturales y de amortiguamiento se
incrementan en todos los casos. Estas conclusiones
se las puede ver en la tabla N. 9 y los gráficos N.
6a, 9b y 9c.
4.4-2.10 Velocidad del rotor.
Con los parámetros originales y con deslizamientos de
2. .22, 5 y 10 por ciento, las corrientes de rotor y de
estator aumentan de valor al disminuir ' la velocidad
del rotor; tabla N. 10. En cuanto al Lugar
Geométrico, tanto en polos y ceros, el valor real es
básicamente el mismo, mientras que la parte
104
imaginaria de los ceros es la misma y en el caso de
los polos, aquellos alejados'del origen aumentan su
valor, esto hace que las ramas de Lugar Geométrico
suavice su forma en el lado estable del plano
complejo s, pero a su vez existe un aumento de la
porción que ingresa al semiplano derecho que es
inestable. Gráficos N, 6a, 10b y 10c. El punto de
operación en el primer caso es inestable y en los
restantes son estables. Las frecuencias de
amortiguamiento son prácticamente las mismas .mientras
que el torque incrementa su valor.
4-4.3 Rotor bobinado.
Para realisar las simulaciones de rotor bobinado a
condición nominal, se consideran los valorees
nominales de los parámetros con una constante de
inercia total de 5 veces aquella correspondiente al
rotor. Los datos nuevamente -se refieren a la tesis
del Ing. A. Bonilla.
4.4..3-11 Resistencia de estator.
Las variaciones de resistencia de estator se las
realizó a partir de la original, 2, y 3 veces. Como
es natural se presentará una reducción de la
corriente de estator que también se refleja en el
rotor-' manteniéndose constantes las condiciones de
voltaje y frecuencia en estos elementos. Los efectos
sobre el Lugar Geométrico de las Raices hace que todo
el sistema se desplace hacia la izquierda, con lo que
105
se estabiliza este cada ves más pues las raices
dominantes se alejan del eje vertical y aquellas no
dominantes se alejan aún más; además se observa que
los ceros y polos se acercan al eje horizontal,
siendo las frecuencias naturales similares en los
casos estudiados. Las frecuencias de amortiguamiento
crecen de valor pero no dejan de ser oscilatorias.
Para los tres-casos estudiados, las condiciones hacen
que el motor sea inestable, como lo demuestra la
tabla N. 11 y los gráficos N. lia, llb y lie. El
torque tiende a disminuir con el aumento de la
resistencia de estator.
4.4.3.12 Resistencia de rotor,
La variación de resistencia de rotor se lo realizó
partiendo de la original, al doble y tres veces la de'
origen. Como siempre es el único parámetro que se ha
variado. La corriente en el estator y en el rotor se
ven afectadas por la variación de la resistencia., si
esta aumenta, la corriente disminuye, como se puede
comprobar en los resultados obtenidos en la tabla N.
12. En cuanto a polos y ceros de la función de
transferencia, se puede ver entre los gráficos N.
lia, 12b y 12c, que un aumento de la resistencia de
rotor hace que los polos y ceros dominantes, se
relacionen de diferente manera, pues en caso original
el polo conjugado, se convierte en asíntota y el otro
par de polos ascienden buscando el cero- en esta
maniobra, se topa el eje vertical. Para las
106
restantes simulaciones, el polo y cero alejados del
eje horizontal se cierran entre sí y el par -de polos
alejados del eje vertical se convierten ahora en
asíntotas, demostrando que 3! sistema se estabiliza
al aumentar resistencia en el rotor. El punto de
operación en los casos analizados muestra que existe
inestabilidad en el primer caso y se elimina en los
posteriores. En cuanto al torque la relación es
inversa, a menor resistencia de rotor, mayor torque
de trabajo. Cosa parecida ocurre con las frecuencias
naturales del sistema y con las frecuencias de
amortiguamiento se produce una variación directa a la
de la resistencia.
4-4-3_13 Voltaje.
La variación de voltaje produce los siguientes"
resultados:
variaciones desde 220 voltios, 180 y 140 voltios
manteniendo constante la frecuencia, se puede ver que
el voltaje del rotor varía en la misma proporción
mientras la frecuencia del rotor es fija a la de
condición original. En cuanto a corriente de
estator, la variación es en igual proporción que la
del voltaje, manteniéndose constante el ángulo de la
misma; cosa semejante ocurre en el rotor. Respecto a
los ceros y los polos, permanecen invariantes a los
cambios de voltaje, por lo que el Lugar geométrico es
el mismo como se observa en los gráficos N. lia, 13b
y 13c y en la tabla N, 13. Las frecuencias naturales
107
bajas permanecen constantes y las frecuencias de
amortiguamiento, todas se encuentran entre 0 y 1 por
lo que su comportamiento es subamortiguado a las
entradas a que se ve sometido el motor; hay
frecuencias que disminuyen, mientras otras aumentan.
En los tres casos el sistema es inestable como lo
demuestra el valor de K 5 en la tabla N. 13, pues
tiene un valor positivo. El torque decrece con el
cuadrado de la proporción de reducción de voltaje.
4.4-3.14 Constante de inercia.
En esta simulación se ha variado el valor de la
constante de inercia total desde cinco veces hasta 10
y 15 veces dicho valpr. Los valores de voltaje se
mantienen constantes a lo largo del experimento tanto
en el rotor como en el estator y cosa similar ocurre
con las corrientes de rotor y estator en magnitud y
en ángulo. Los polos y ceros del Lugar Geométrico
son los mismos en todos los casos, por lo que el
gráfico es idéntico en todos los casos, gráficos N.
lia, 14b y 14c; se aprecia que las frecuencias
naturales tienden a .disminuir las elevadas mientras
que las bajas son constantes y las frecuencias de
amortiguamiento son constantes en el rango. Los
puntos de operación demuestran inestabilidad para los
primeros dos casos. El torque se mantiene constante
para los casos simulados.
108
4.4.3.15 Frecuencia.
Desde los 60 Hz nominales en pasos descendientes de
20 Hz, manteniendo constantes el resto de parámetros,
se puede ver que la misma proporción se mantiene en
el rotor, pero la corriente de estator se ve
incrementada debido a que la. impedancia del circuito
"ha disminuido en cada caso además de la respectiva
variación de ángulo. El cpmportamiento del Lugar
Geométrico hace que al disminuir la frecuencia, la
configuración del sistema de polos y ceros varié, de
acuerdo a como se ve en los gráficos N. lia, 15b y
15c. Los pares de polos y ceros que antes no se
relacionaban, ahora se cierran entre sí y el par de
polos alejados del origen son partida para las
asíntotas: para 20 Hz el polo y cero se anulan
prácticamente. Los polos siempre tienen una raiz en
cero. En todos los casos se observa inestabilidad y
es mayor para 20 Hz. Las frecuencias naturales
muestran un carácter de aumento y decrcmento en las
variaciones de frecuencia, tabla N. 15. Las
frecuencias de amortiguamiento, están comprendidas
entre 0 y 1 por su conformación subamortiguada pero
al bajar la frecuencia, estas aumentan su valor,
aunque no lo suficiente como para tener una respuesta
no oscilatoria. Respecto del torque, aumenta alt
disminuir la frecuencia.
109
4-4-3.16 Velocidad del rotor.
Las variaciones realizadas fueron las siguientes:
partiendo de un deslizamiento de 2.22% luego de 5 y
finalmente de 10 por ciento, los voltajes de estator
como la frecuencia permanecen inalterables, mientras
los de rotor si varían porque como se indicó, el
voltaje de rotor depende del deslizamiento a que se
ve sometida la máquina, directamente por ello aumenta
el voltaje al igual que con la frecuencia del rotor.
Las corriente se ven incrementadas en su valor y en
el ángulo, dependiendo del grado de variación de la
velocidad. Lo propio ocurre en el rotor. Los polos
y ceros de la planta, permanecen constantes para
efectos de graficación como se puede ver en la tabla
N. 16 y los correspondientes gráficos N. lia, IGb y
16c, por lo que el dibujo comparativo entre los tres
deslizamientos, produce un suavizamiento de las ramas
del Lugar Geométrico de las Raices. En cuanto a las
frecuencias naturales, las altas aumentan mientras
que las restantes y que son bajas se conservan
prácticamente inalterables. Las frecuencias de
amortiguamiento en general disminuyen aunque en
valores no apreciables. El punto de operación en los
tres casos muestra una inestabilidad en el primer
caso tan solo mientras que el torque aumenta con cada
vartiación de deslizamiento de acuerdo al concepto de
la curva torque deslizamiento.
110
TABLA NI 1; ROTOR.JAULA, VARIACIÓN Rs
Vs 220
f 60
Vsq 311.1
Is 2.219
0 -1.181
Ir 0.8573
e 3.112Isa 3.139
Irq 1.212
cero 1 -0.0645 -0.971
cero 2 -0.0645 0.971
cero 3 -0.534
polo 1 0 0i
polo 2 -0.124 0.9371
polo 3 -0.124 -0.9371
polo 4 -0.528 0.08571
polo 5 -0.5278 -0.08566Í
Wn 1 4034
Wn 2 4034
Wn 3 0.9725
Wn 4 0.9725
Wn 5 0.5338
Wa 1 7.944e-005
Wa 2 7.944e-005
Wa 3 0.06637
Wa 4 0.06637
Wa 5 1
K 1 -0.1241 0,93661
K 2 -0.1241 -0.93661
K 3 -0.5278 0.085671
K 4 -0.5278 -0.085671
K 5 ~8.235e-006 01
Te 0.9429
220
60
311.1
2.206
-1.166
0.852
3.127
3.119
1.205-
-0.126 -0.9341
-0.126 0.9341
-0.572
0 01
-0.256 0.8491
-0.256 -0.8491
-0.546 0.1731
.-0.5465 -0.17311
4009
40.09
0.9425
0.9425
0.572
9.732e-005
9.732e-005
0.1337
0.1337
1
-0.2557 0.8491Í
-0.2557 -0.84911
-0.5464 0..17311
-0.5464 -0.17311
-2.425e-005 01
0.9312
220
60
311.1
2.191
-1.151
0.8465
-3.141
3.099
1.197
-0.183 -0.8911
-0.183 0.8911
-0.619
0 , 01
-0.41 0.7081
-0.41 -0.7081
-0.539 0.3151
-0.53 -0.311
3983
3983
0.9093
0.9093
0.6187
0.0001154
0.0001154
0.2016
0.2016
1
-0.413 0.70771
-0.413 -0.7071
-0.539 0.31451
-0.539 -0.3141
0..0001 0.00001
0.9192
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114
TABLA N: 2; ROTOR JAULA, VARIACIÓN DE VOLTAJE
Vs 220
f 60
Vsq 311.1
Is 2.219
e -i.isiIr 0.8573
e . 3,112Isg 3.139
Irq 1,212
cero 1 -0.0645 -0.971
cero 2 -0.0645 0.97Í
cero 3 -0.534
polO 1 0 01
polo 2 -0.124 0.937'i
polo 3 -0.124 -0.9371
polo 4 -0.528 0.08571
polo 5 -0.5278 -0.03566Í
Wn 1 4034
Wn 2 4034
Wn 3 0.9725
Wn 4 0.9725
Wn 5 0.5338
Wa 1 7.944e-005
Wa 2 7.944e-005
Wa 3 0.06637
Wa 4 0.06637
Wa 5 1
K 1 -0.1241 0.9366Í
K 2 -0.1241 -0.9366Í
K 3 -0.5278 0.085671
K 4 -0.527S -0.08567Í
K 5 ~S.235e-006 0i
Te 0.9429
180
60
254.6
•1.816
-1.181
0.7015
3.112
2.568
0.992.
-0.0645 '-0.971
-0.0645 0.971
-0.534 '
0 0i
-0.124 0.9371
-0.124 -0.9371
-0.528 0.08571
.-0.5278 -0.085661
3301
3301
0.9725
0.9725
0.5338
9.709e-005
9.709e-005 -
0.06637
0.06637
1
-0.1241 0.93661 '
-0.1241 -0.93661
-0.5278 0.085671
-0.5278 -0.085671
-8.269e-006 01
0.6312
140
60
198
1.412
-1.181
0.5456
3.112
1.997
0.7716
-0.0645 0,97i
-0.534
l.tfJ 01
0 01'
-0.124 0.931
-0.124 -0.931
-0.528 0,0851
-0.527 -0.081
2567
2567
0.9725
0.9725
0.5338
0.0001248
0.0001248
0.06637
0.06637
1
-0.320 6.5e6i
-0.320 -6.5e6i
-0.064 0.9701
-0.064 -0.971
-0.5338 0.001
0.3818
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117
TABLA N-. 3; ROTOR JAULA, VARIACIÓN DE LA CONSTANTE DE INERCIA
Vs 220
f 60
Vsq 311.1
Is 2.219
e -1.181Ir 0.8573
9 3.112
Isq 3.139
Irg 1.212
cero 1 -0,0645 -0.971
cero 2 -0.0645 0.97Í
cero 3 -0.534
polo 1 0 01
polo 2 -0.124 0.9371
polo 3 -0.124 -0,9371
polo 4 -0.528 0.0857Í
polo 5 -0.5278 -0.085661
Wn 1 4034
Wn 2 4034
Wn 3 0.9725
Wn 4 0.9725
Wn 5 0.5338
Wa 1 7.944e-005
Wa 2 7.944e~005
Wa 3 0.06637
Wa 4 0.06637
Wa 5 1
K 1 -0.1241 0.93661
K 2 -0.1241 -0.9366Í
K 3 -0.5278 0.085671
K' 4 -0.5278 -0.08567Í
K 5 -8.235e~006 • 01
Te 0.9429
220
60
311.1
2.219
-1.181
0.8573
3.112
3,139
1.212,
-0.0645 '-0.971
-0.0645 0.971
-0.534
0 01
-0.124 0.9371
-0.124 -0.937Í
-0.528 0.08571
-0.5278 -0.08566Í
2017
2017
0.9725
0.9725
0.5338
0.0001589
0.0001589
0.06637
0.06637
1
-0.1241 0,93661
-0.1241 -0.93661
-0.5278 0.085671
-0.5278 -0.085671
-3.088e-006 01
0.9429
220
60
311.1
2.219
-1.181
0.8573
3.112
3.139
1.212
-0.0645 -0.971
-0.0645 0.971
-0.534
0 01
-0.124 0.931
-0.124 -0.931
-0.528 0.0851
-0.527 -0.081
1345
1345
0.9725
0.9725
0.5338
0.0008383
0.0002383
0.06637
0.06637
1
-0.1241 0.931
-0.124 -0.931
-0.527 0.081
-0.527 -0.081
0.000 0.00001
0.9429
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LUGAR
DE
LAS
RAICES
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TABLA N.- 4; ROTOR JAULA, VARIACIÓN DE FRECUENCIA
Vs
f
Vsg.
Is
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eIsg.
Irg
cero 1
cero 2
cero 3
polo 1
polo 2
polo 3
polo 4
polo 5
Wn 1
Wn 2
Wn 3
Wn 4
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K 2
K 3
K 4
K 5
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60
311.1
2.219
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0.8573
3,112
3,139
1.212
-0.0645
-0,0645
-0.534
0
-0.124
-0.124
-0.528
-0.5278
4034
4034
0.9725
0.9725
0.5338
7.944e-
-0.971
0.97Í
-2.07e-017i
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0.9371
-0.9371
0.0857Í
-0.085661
005
7.944e-005
0.06637
0.06637
1
-0.1241
-0.1241
-0.5278
-0.5278
0.93661
-0.93661
0.085671
-0.085671
-8.235e-006 0i
0.9429
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40 20 '
311.1 311.1
3.174 ' 6.148
-1.289 -1.393
0.8577 0.8573
3.135 f -3.112
4.488 . . 8.695 '
1.213. 1.212
-0.0555 -0.6141 -1.9 2.48e-18i
-0.885 l,92e-016i -0.043 -0.291
-0.0555 0.614i -0.043 0.2961
0 0i 0 01
-0.0869 0.5541 -1.91 0.071
-0.0869 -0.5541 -1.91 -0.071
-0.891 0.1271 -0.04 0.2621
-0.8909 -0.12711 -0.04 -0.261
6473 15910
6473 15910
0.8848 1.908
0.6169 . 0.2993
0-6169 0.2993
7.415e-005 6.022e-005
7.415e-005 6.022e-005
1 1
0.0899 0.1457
0.0899 0.1457
-0.08694 0-.55441- -1.911 0.0781
-0.08694 -0.55441 -1.91 -0.078Í
-0,8909 0.12711 -0.04 0.26251
-0.8909 -0.12711 -0.04 -0.262Í
-3.185e-005 01 0.002 0.00i
1.415 2.329
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TABLA N. 5; ROTOR JAULA, VARIACIÓN DE DESLIZAMIENTO
'Vs 220
f 60
Vsq 311.1
Is 2.219
6 -1.181
Ir 0.8573
9 3.112
Isq 3.139
Irg 1.212
cero 1 -0.0645 -0,971
cero 2 -0.0645 0.971
cero 3 -0.534 -2,07e-017i
polo 1 0 01
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polo 3 -0.124 -0.9371
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139
TABLA N. 10; ROTOR DOBLE JAULA, VARIACIÓN EN DESLIZAMIENTO
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TABLA N. 11; ROTOR BOBINADO, VARIACIÓN
Vs 220
f 60
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146
TABLA N. 12; ROTOR BOBINADO, VARIACIÓN DE Rr
Vs 220
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Is 2.205
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149
TABLA N-. 13: ROTOR BOBINADO, VARIACIÓN DE VOLTAJE
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TABLO N. 14; ROTOR BOBINADO, VARIACIÓN DE CONSTANTE DE INERCIA
Vs 220
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TABLA N. 15; ROTOR BOBINADO, VARIACIÓN DE FRECUENCIA
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TABLA N-. 16; ROTOR BOBINADO, VARIACIÓN DE DESLIZAMIENTO
Vs 220
f 60
Vsq 311.1
Is 2.205
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Irq 1.213
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-0.0554 0.9771
-0.0554 -0.981
-0.483 -2e-l7i
0 0i
-0.113 0.9451
-0.113 -0.9451
-0.472 0.1551
-0.471 -0.1551
9625
9625
0.9788
0.9788
0.4826
2.997e-005
2.997e-005
0.05656
0.05656
1
-0.113 0.9441
-0.113 -0.9441
-0.471 0.1551
-0.471 -0.1551
-0.0002 0.001
3.878
L'O
Ot '
O-
s
'-Q.9
Í O
O I
á
V H
O
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n
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O
pf-o
L'J
I M A G I N A R I O
O -^ hO O-J
co
O
O
161
4.5 Uso del PC-MATLAB . [37] •
El paquete PC-MATLAB, versión 3.5a, marzo 1989,
requiere de un computador IBM PC, PC/XT, PC/AT o-un
compatible de MS-DOS, con una memoria de al menos 320
Kb asi como una versión de DOS 2.0 o mayor, además
requiere de un coprocesador matemático 8087, 80287 o
un 80387 y al menos' de un floppy DSDD. Estos son los
mínimos requerimientos para operar con el -PC-MATLAB,
pero se puede añadir otros que siendo opcionales,
darán mayor versatilidad al programa como son mayor
memoria, una de 640 Kb puede ser utilizada, tarjeta
de gráficos/ una impresora de matriz de puntos y un
segundo floppy o un-disco duro. El programa en . si
ocupará alrededor de 1.2 Mb de memoria.
Este programa que debido a su variedad de
bibliotecas, puede ser utilizado tanto en losi
cálculos puramente matemáticos y trigonométricos, así
como en éste caso se han utilizado también las
funciones de control como son en la obtención del
Lugar Geométrico de las Raíces, el cálculo de los
eigenvalores del polinomio característico tanto del
numerador como del denominador, y demás funciones que
llevaron a configurar el programa objeto de éste
trabajo.
Los archivos que contienen subrutinas ya sean de
bibliotecas originales o producidas, tendrán la
extensión ";m", mientras que los archivos que se
162
creen con fines de almacenar datos tendrán la
extención ".mat", mientras que los archivos en los
cuales se guarda, información para posteriormente
imprimirla y que corresponden a los gráficos de la
simulación tienen una extensión ".met".
A continuación se presenta un diagrama de flujo
básico del programa en'el que se reseña la secuencia
a seguir en la solución de las posibilidades de
simulación. ( Página 163 )
Como se puede ver en el diagrama de flujo, en primer
lugar existe un menú principal el cual contempla las
opciones de iniciación, uso, simulación propiamente
dicha y la de impresión de resultados, apartir del
cual se derivan el resto de subrutinas necesarias
para la ejecución del trabajo.
En el caso de escogerse la primera opción, es decir,
la de uso, se encuentra una explicación de como se
encuentra configurado el programa, tanto en la
concepción de programa asi como la parte operativa
del mismo, lo que permite tener una breve idea de lo
que se puede lograr con la utilisación del programa.
Para la segunda opción, la de conocimiento del
sistema, en la que se explican las condiciones en que
se sustenta la simulación, •como son el tipo de
máquina gue se considera además, se puede hacer una
simulación controlada de antemano en la que se
P R E D I C C I Ó N DE Lft I N E S T ñ D I L I D f t D DE Lfl M f t Q U I H f t DF I H D U C C I O H. ' B ñ S f t D O EH EL C I R C U I T O E Q U I U f t L E H T E
Ü E B I C C I O H DE LA I N E S T A B I L I D A D DE LAHA DE l í iDUCCION
i.- A V U P f t DE USO V H f i H E J O DELP R G G P . f i H ñ
^ , ~ C O H O C 1 H 1 E H T O D E L S I S I E H f i
3.- E M P E Z A R S I H U L ñ C I O H
A.- I U P R I I Ü R . G R f i F K O S
6,- S f t L I P . D E L P R G G R A H f t
164
explican las preguntas que realiza el programa al
usuario para adquirir los datos de la simulación y la
manera de ingresar los datos y respuestas de acuerdo
al caso escogido que se ha resumido en dos tipos:
- rotor jaula de ardilla y datos ingresados en
valores reales.
- rotor bobinado y datos ingresados en valores
en por unidad.
En cualquiera de los casos escogidos para el ejemplo,
únicamente se realiza un preingreso de datos al
programa y explicando en cada caso el significado de
las pantallas que aparecen, según el desarrollo de la
simulación, se utiliza el mismo programa que si se
ingresaran los datos por teclado por cuenta del
usuario; de todos modos para el ingreso de los datos
se realizan preguntas de conformidad del usuario 'para
que en caso de detectar algún error lo corrija a
tiempo y pueda realizar un trabajo adecuado' sin
pérdida de tiempo.
Si del menú principal se ha escogido 'empezar
simulación.', aparecerán preguntas que el usuario debe
contestar de acuerdo a su decisión del tipo de
simulación en conformidad con los datos que se
disponga para el efecto hasta terminar la secuencia
del trabajo, en cuyo caso se puede hacer la impresión
de los resultados con la cuarta categoría del menú
principal de la. última simulación realizada. Para
165
este caso se ha previsto la impresión de las formas
de onda y del Lugar Geométrico de las Raices por
separado,
4-5.1 Manual de -aso del programa.
Para la utilización del programa deberá seguirse un
orden preestablecido, el cual comprende el cargar el
programa en sí, en un computador ÍBM o '.compatible,
que deberá poseer de -, ser posible un coprocesador
matemático para que el tiempo de ejecución sea el
menor posible, sin embargo de no ser este el caso, en
el listado de archivos del programa se halla'previsto
un emulador; el "emBT" al que hay que cargarlo
previamente para que pueda correr el Matlab; para
que cargue el programa teclear. INESTA ya sea desde el
floopy a:? b: o desde el disco duro c:. Para
reuniones de trabajo en que no se impriman los
resultados a la par como son generados, se recomienda
utilizar disco duro, puesto que los archivos de
impresión van creciendo de modo que no se podrá
realisar más halla, de 2 simulaciones continuas y
tener, lleno un dlskette de alta densidad, ó imprimir
los resultados como van apareciendo para que se
borren los archivos mencionados. Al realisar la
carga del programa, automáticamente se disponene de
todos los archivos de funciones necesarias del PC-
MATLAB para la ejecución del mismo, en lo referente
al caso a tratarse.
166
4.5.2 Norneclatura.
Rs Resistencia de estator por fase
Rr' Resistencia de rotor por fase referida- al
estator
Xs Reactancia inductiva de estator por fase
Xr". Reactancia inductiva de rotor por fase y
referida al estator
Xm Reactancia de magnetización
S Deslizamiento
P Número de polos
Ws/Hr Relación de transformación entre estator y
rotor .
V Voltaje de alimentación fase-neutro
nr Velocidad del rotor en revoluciones por minuto
Hr Constante de inercia del rotor
He Constante de inercia de la carga
We Velocidad de rotación sincrónica
W Velocidad de rotación del sistema de referencia
g.,d Ejes de transformación arbitrarios de referencia
9 Def asa.j e entre el sistema arbitrario de
referencia y el sistema de variables abe
4.5.3 Ingreso de valorea _
Al realisar la simulación, el programa por si mismo
realiza preguntas al usuario del tipo de motor que
utiusará, las condiciones de simulación y por su
puesto el modo de los datos de- ingreso, es decir, si
estos "se hallan en valor real o en por unidad, de
acuerdo a la nomeclatura anterior.
167
4.5.4 Impresión de resultados.
Para lograr imprimir los resultados de tipo numérico,
se deberá utilizar- "Print Screen" en cada pantalla
que se requiera de dichos valores, que en este caso
serán los parámetros que caracterizan al motor, asi
como los valores de las condiciones de la simulación.
También se dispone de los voltaoes y corrientes
calculados por el programa además de los polos y
ceros de la Función ..de Transferencia, frecuencias
naturales, de amortiguamiento y el punto de operación
del sistema para las condiciones dadas para la
simulación.- En cuanto a los gráficos, se los puede
imprimir desde .el programa mismo a partir del menú
con la división de forma.s de onda de .voltaje y
corriente bao o la primera opción y la segunda
correspondiente al Lugar Geométrico. Otra manera de
realisar la impresión de gráficos es desde el Sistema
Operativo mediante los archivos "forma.bat' y
'lgr.bat', para formas de onda y Lugar de las Raices
respectivamente.
168
Conclusiones
Corno resultado de realizar el programa de simulación
y las posteriores- corridas del mismo, es posible
declarar las siguientes ideas.
Se ha comprobado respecto de la transformación a un
sistema arbitrario de referencia, que para el caso de
dependencia sincrónica, las transformaciones de
voltaje y corriente '.se- convierten en cantidades
constantes, como era de esperar. Esta característica
de la transformación, permitió que se puedan
linealisar • las ecuaciones que describen el
comportamiento dinámico de la máquina de inducción
puesto que además se considera una zona -de trabajo
reducida para cada estudio, g]; entonces la
expansión en series de Taylor es factible. Para
finalmente- luego poder trabajar con matrices en el
programa y no con ecuaciones diferenciales como en
general se realiza.
En general no es reconocido la inestabilidad de una
máquina de inducción simétrica, pero se ha demostrado
que puede existir dicha inestabilidad si no se
escogen adecuadamente los parámetros de
funcionamiento del motor. Básicamente se produce en
motores de pequeña potencia con baja constante de
inercia Ql 23 33].
La posibilidad de variar los parámetros de la
169
máquina, para conocer la capacidad real de trabajo,
al disponer de todo el espectro de comportamiento de
la misma. No ha de olvidarse la disponibilidad de
las formas de onda de voltaje y corriente tanto en
estator como en el rotor y de la misma manera para
variables de fase abe como para el sistema arbitrario
de referencia y la facilidad de las magnitudes
respectivas, que en conjunto-, dan una idea clara del
funcionamiento en lo relativo a potencia, que en
ningún caso deberá perderse de vista.
Por las facilidades computacionales> es factible
trabajar con el modelo completo, sin hacer una
aproximación de la Función de•Transferencia a una de
segundo orden, que en general discrepa de la función
real al predecir estabilidad pB]: en grandes motores
se puede trabajar con aproximaciones de la función de
transferencia £1 ], por tanto se puede ver en los
gráficos que la estabilidad es condicional porque
presenta ramas del Lugar Geométrico que en parte se
hallan en el semiplano derecho del plano complejo s,
ahora al conocer el punto de operación de la máquina
se sabe si existe o no inestabilidad.
La realización del programa originalmente fue
planteado para realizarlo en Quick Basic, • pero
finalmente se lo hizo en PC-MATLAB, el cual mostró
algunas de sus potencialidades en cuanto a la
realización de cálculos así. como su versatilidad para
170
formar los archivos que contienen las diferentes
subrutinas de traba jo como también el programa raíz
además de las posibilidades de ayuda que brinda para
trabajos relacionados con los Sistemas de Control,
por su gran contenido de bibliotecas que dispone al
respecto de este tema por lo que debería ampliarse el
uso en el área de Control. Sin embargo, presentó
dificultades al momento de realizar los gráficos
porque toda operación., del PC-MATLAB se lo realiza en
una matriz de 90x90, entonces tener datos, archivos y
realizar cálculos, satura dicha matriz; es por ello
que al realizar el Lugar Geométrico de las "Raíces en
miras a obtener la mayor y mejor cantidad posible de
información de los gráficos más aún en vista de que
se trata de un método gráfico de análisis se
pretendió utilizar los intervalos de cálculo más
reducidos posible para tener curvas en verdad
continuas, esto hizo que se realicen hasta tres
cálculos de un mismo dibujo para poder tener la mejor
resolución.
En el capítulo Cuatro, 'Variación de parámetros',
se pretendió presentar los gráficos superponiendo los
tres cambios llevados a cabo en cada caso, en un solo
dibujo para poder comparar el efecto de la variación,
pero el procesador de gráficos, 'gPP-exe', no
disponía de la capacidad suficiente para manejar toda
la información gue para el efecto se extrajo del
programa principal, pese a reducir al 20 por ciento
171
la resolución de los dibujos del Lugar Geométrico.
La utilización del PC-MATLAB, implica en general la
disponibilidad de equipos modernos puesto que para
una PC donde deba utilizarse un emulador matemático,
hace que el tiempo de uso del computador se
incremente entre 40 y 45 veces el tiempo ocupado por
un computador 80486 con coprocesador matemático, como
se lo explicó oportunamente en las necesidades
básicas de hardware.
Las perspectivas que presenta este trabajo con los
comentarios antes sañalados, llevan a pensar que se
puede lograr una utilización del mismo, en las áreas
donde se realice el control de máquinas, más aún en
los casos en los cuales la posibilidad de destrucción.
del equipo o la imposibilidad de realisar pruebas
para determinar los .límites de las zonas de
estabilidad, han de tenerse presentes. Por tanto se
dispone de un medio mediante el cual se conoce el
comportamiento de las máquinas y la planta en si bajo
las condiciones a las que físicamente se vería
sometida.
Los resultados de las simulaciones del cuarto
capítulo se las presenta en la tabla N.- 17, donde se
indica la manera de variar los parámetros factibles
de alteración, es decir, si la resistencia de estator
se multiplica por uno, quiere decir que es la
172
nominal; por dos, es dos veces la nominal, etc. Caso
contrario se indica el valor utilizado. Para cada
tipo rotor simulado, se indica si fue estable (E) o
inestable (I).
Resultados de las simulaciones según el tipo de rotor
Jaula Doble jaula Bobinado
Rs*l E E. E
Rs*2 -E
Rs*3 I
V = 220 E
V = 180 E
V = 140 E
Hrtfl E
Hr*10 E
Hr*15 I
f - 60 E
f = 40 E
f = 20 I
S = 2.2% E
S = 5% E
S = 10% E
Rr'*l
E
I
E
E
E
E
E
I
E
E
E
E
E
E
E
I
E
E
I
E
E
E
E
E
r
E
E
E
E
173
Rr'*2
Rr'*3
E
E
El Lugar Geométrico de las Raices presenta un polo en
el origen tanto en condiciones nominales como en la
variación de los parámetros considerados en este
trabajo.
De las experiencias realizadas y dependiendo del
rotor, se concluye que:
RS r
v i
H r
f i
S í
Rr'í
Jaula Doble jaula Bobinado
estabiliza estabiliza estabiliza
no influye no influye no influye
no influye no influye • no influye
no influye no influye no influye
no factible no factible estabiliza
T I aumento disminución
# En la primera reducción se ve estabilidad, pero al
seguir disminuyendo la frecuencia? se produce
inestabilidad.
174
Recomendaciones
Todas las consideraciones expuestas en los capítulos
precedentes, tomadas en cuenta para realizar el
estudio del mo.tor y su posterior simulación,
constituyen en si limitantes por lo que un trabajo
que cuantifique estas aproximaciones complementa las
obras hasta hoy expuestas.
La comprobación de los resultados obtenidos en estos
trabajos podrían ser contrastados con datos reales
obtenidos mediante una tarjeta de adquisición de
datos acoplada a un computador personal.
Disponiendo del Lugar Geométrico de las Raices y
conociendo las circunstancias en las que se halla un
motor, se podrían realisar compensaciones derivativas
para lograr efectos deseados de estabilidad del
sistema al que pertenece dicho motor.
La utilización de este paquete computacional puede
ser extendida, con la expansión de la zona, de trabajo
quisa a una matris de mayor capacidad o de modo
indirecto desde archivos ejecutables que manejen
archivos de datos numéricos '.mat' datos gráficos
'.met' y subrutin.as '.m' y también ejecutables como
gPP, pcmatlab. •
Las bibliotecas que dispone el PC-MATLAB, hace de él
un paquete de fácil utilización por lo que ayuda en
175
la realización de cálculos, pero presenta
dificultades de resolución al momento de graficar por
no disponer de espacio suficiente de memoria para
archivar los valores de los cálculos y los valores de
los puntos del gráfico, entonces podría realizarse
los gráficos por medio de otro pagúete como el C o
Fortran, que PC-MATLAB directamente puede comunicarse
con la respectiva extensión en los archivos.
Vistas las posibilidades del PC-MATLAB, se podría
pensar en trabajar las ecuaciones del motor
directamente en variables de fase abe puesto gue el
programa maneja ecuaciones diferenciales.
Este trabajo utiliza el Lugar Geométrico de las
Raíces para determinar la estabilidad del sistema,
pero cuan efectivos o mejores pueden ser los métodos
de Nyquist, la carta de Nichol-s o diagramas de Bode
también utilizados para determinar estabilidad.•
La respuesta transitoria no ha sido considerada en
este trabajo por cuanto se asume un proceso de
enceridido a valores nominales y un cambio gradual a
las condiciones de trabajo, pero que ocuriría si
cambia bruscamente el voltaje, la frecuencia o la
carga acoplada al eje, son preguntas que surgen como
resultado de las simulaciones realizadas.
Región o£complex zeros
5)
1.437
damping for low gain machines (R<4). "Lcast míni-mum" damping occurs for machinen with 5 > K > 3 .
The oscillation frequency atmínimum damping dependeessentially'on.UC alone and is' giveñ "ápproximately
by 0.55 ÍC2/3.
Instability is produced by high vnlues of R and lov.valúes of o and a - Sincc large machines tend tu-have high valúes o£ K and often have low valúes oEo, instability or very poor damping are more likelyin large machines.
.20 .24 .28 .32 .36 .40Fig. 11. Incremental shaft speed responso Cor a 0-\2l
(.754 rad/s) step changa in operating frequency, 800• • hp.machino. ' •
APPENDIX A - TABLE OF' MOTOR PARAMETERS
Ref.
*
5
4
13
6
13
8,9
7
7
4
10
4
11
4
12
4
4
4
4
4
4
4 -
hp
,0067
2
3
3
3.75
7.5
10 '
15
20
25
30
50
74
100
110
250
500
800
1000
1500
2250-
6000
VLL
115
208
220
208
400
208
380
230
230
460
325
460'
273
• 460
364
2300
2300
2300
2300
2300'
2300
4160
Poles
2
6
A
6
4
6
4
4
4
4
6
4
4
4
4
4
4 f.
4
'4
'4
4
4
Freq.
60
60
60
60
50
60
50
60
60
60
50
60
50
60
50
60
60 '
60
60
60
. 60
60
Rr (?U)
.1605
.0377
.0377
.0324
.0799
.0266
.0262
.0199
.0197
.0472
.0250
.0402
'.0280
.0472
.0170
.0141
.0132
-.0106
.0100
.0078
.0070 .
- .0057
X1=X2 CpUÍ
.0113'
.0562
.0349
.0566
.0526
.0760
. .0781 *
.1270
.1241
.0498tt.08731 '
.0532tt
.1043 '
.0532tt.1215'
.0864
.0851
-.0808
.0851
.0797
..-0718 •
.'0780
Xm(pu)
.188
1.466
• 1.208
1.026
1.127
1.302
2.476
2.073
2.144
1.951
3.877
2.306
4.866
2.512
4.140
3.026
3.809
4.070
7.635
4.203
4.139
5.743
2 •J (Kg-m )
1.68*10~5
.0106'
.044
.312
.1023
.379t-153T
.150
.068
.277
2.736
.831
. 9.650
2.224
s.ooo3.459
5.531 .
10.631
14.935
22.274
31.934
337.>105
T1 íms)
0.37
7.77
4.83
9.02
4109
15.09
18.70
32.89
32.47
5.53
21.98
6.94
23.26
5.91
44.25
31.95
33.90
40.00
42.92
53.48
54.05
72.46-
^soJr.L.
0.015
' .091
.142
—.286
.310
.306
.122
.138
.234
.124
.208
.191
.184
^198
.191
.159
.197 '
a
.339
1.007
.533
.645
.415
.710
_. .850
1.489
1.571
.465
1.067
.382
0.842
0.231
1.237
1.698
1.401
1.394
1.514
1.514
1-318
'l.OOO
a
.111
.073
.055
.102
.087
.110
.060
.112
.106
.049
.044
.045
.041
.041
.056
.055
.043
.039
.022
.037
.034
.027
ÍC -
.008
1.71
.171
.176
.052
.472
1-33
3.08
9.0G
.200
.620
,208
.18*1
.113
1:68
3'. 24
4 :G6
5.73
5.66
9.32 '
11-07
4 . 61 .
?ec unit quantities 'calculafce.d frotn ZB " VLI/np (746). t-J cómputed according to J « 2H (hp) (746)/üJ , whered\ = synchronous radian shaft freguency.- TT = average of Xl and X2 used. * - tested in lab.
^
ANEXO A
Listado alfabético de archivos del programa
A3CDCHKf une t ion msg ~ abcdchck(a,b,c,d)msg = [] ;[ma,na] - sise(a) ;if (ma ~= na)msg = 'The A inatrix must be square';endif (nargin > 1)[mb,nb] = size(b) ;if (ma ~- mb)msg = 'The A and B matrices must have the same numberof rows' ;endif (nargin > 2) " •[mc.nc] = size(c ) ;if (nc ~= ma)msg - 'The A and C matrices must have the same numbercf coluinns * :endif (nargin > 3)[md,nd] = s ize(d) ;if (md "= me)msg - 'The C and D matrices must have the same- numberof rows';endif (nd ~= nb)msg - 'The B and D. matrices must have the same numberof columns';endende ndend
ANCLEf une t ion p = angle(h)p = atan2( imag(h) , real(h));
ARGÜMxs^xs-fxm:xrp=xrp+xni ;We=2*pi*f;Wb=2*pis|í60/(P/2);
So- ( ns-nr ) /ns ;fr=We/Wb;noscila=l ;theta=noscila/f ;paso=theta/200 ;thetarot=3*theta;t=0 : paso : theta;a~zeros(t ) ;b=seros( t ) ;c-zeros(t ) ;Vabcs=seros( t ) ;Vgdos-zeros(t ) ;
A2
Vqe=zeros(t);Vde=zeros(t);Voe=zeros(t) ;Iqe~zeros(t);Ide~zeros(t);Ioe=zeros(t);tT=0:paso:thetarot;Vabcrp=seros(tT);Vqdorp-seros(tT);BB=zeros(tT);Ma=zeros(tT);Nb-zeros(tT);Nc-zeros(tT);Vq-zeros(tT);Vd-zeros(tT);Vo-seros(tT);Iqr=aeros(tT);idr-zeros(tT); .lor-zeros(tT);i2a~zeros(tT);12b=seros(tT);12c=zeros(tT);Wr=We*So;a=sqrt(2)*Vl*sin(t*We);b=sqrt(2)*Vl*sin(tüíWe-2*pi/3) ;c-sqrt(2)*Vl*sin(t*We+2*pi/3);Na=So*NrNs*sqrt (2) *Vl*sin (t*We ) ;.Nb=So*NrNs*sqrt(2)*Vl*sin(t*We-2*pi/3);Nc=So*NrNs*sqrt(2)*Vl*sin(t*We+2*pi/3);T=t*1000;
AYUDAcíedisp('disp('disp('disp('se hadisp('
AYUDA EN LA PREDICCIÓN DE LA INESTABILIDAD...')
de la máquina de inducción,'Para la simulacióntomado en')'cuenta la utilización del
equivalente de la misma,")disp('con el objeto de poder obtener latransferencia que')disp('será estudiada' por medio delGeométrico de las Raíces,')disp('de modo de conocer laen el caso de')disp('realisar el controlplanta a la cual se')disp('pertenece.')disp('')disp('La máquinael cual se ha")disp('realizado lade fase (abe)')
circuito
función de
Lugar
estabilidad del sistema
de velocidad de la
de inducción es un sistema en
transformación de variables
disp("a un sistemaCqd0), con el objeto")disp('de eliminar la
arbitrario ae referencia
dependencia que existe entre
A3
las reactancias')disp('tanto de estator como de rotor así comola reactancia de')disp('magnetización, las cuales varían de acuerdo ala posición del')disp("rotor, en vista de la interacción entre loscampos, como se')disp("indica detalladamente en el texto del trabajo.El cambio a un')disp("sistema arbitrario de referencia, posibilitaque a dichos ejes")disp("se los pueda hacer rotar o fijar según laconveniencia y es ')disp('así que para esta simulación se los- hacegirar a velocidad')disp('')disp(" . •. Enter para continuar')pausecíedispC " )disp(")disp('sincrónica, lo que posibilita que a lasecuaciones que- desci^i-')disp("ben el funcionamiento del sistema setransformen en lineales')disp('que simplifica enormemente el trabajo en lasmismas al podei"')disp('tratarlas como matrices.*)disp('')disp("El trabajo, considera una máquina deinducción trifásica con")dispt "entre-hierro uniforme, .un circuito magnéticolineal, bobinados')disp('idénticos del estator para producir una onda defuerza magneto")disp('motriz sinusoidal en el espacio, de modo queuna sola onda')disp( "magneto matriz; se establezca en elentre-hierro cuando es')disp("excitado por corrientes sinusoidalesbalanceadas. Bobinas")disp('rotóricas o arreglos de barras dispuestas enforma que produz-')•disp('can en cualquier instante' dado una ondasinusoidal de fuerza")disp('magneto motriz en el rotor y que tenga el mismonúmero de polos")disp( "que el estator. Por1 otra parte ha de conocerseque la máquina")disp("de inducción idealizada, ofrece un medioadecuado de simulación')disp("de muchos tipos de máquinas polifásicas, aúndespresiandosé")disp('factores tales como:')disp("")disp("')disp(" Enter para continuar")
A4
pauseeledisp('')disp(")disp('- Circuito magnético lineal; se desprecia elefecto de satura-')disp(' ción, histéresis y corrientes de Eddy.')disp('- Cambios en la resistencia debido avariaciones de temperatu-')dispC' ra y frecuencia.')disp( '- Contenido armónico de la onda de f.m.m.".)disp('")echo offolearoacks=l;S=l;n=0;N=0;disp('')disp('')disp('')disp('')disp(")disp('')yu=input(' Desea realisar ejemplo de aplicacións/n-');
cíematlab!4elseif yu-=n ¡ yu==Nlistendcíe
CALCULOeledisp('')disp('')disp('') - •disp('')disp('')disp('')disp('')disp('')disp(',
dispCI
i : >disp('I • CALCULANDO
disp('|
disp('|
disp("'
A5
CIREQUIBi=sart(-l);am=Vl/sgrt(2);Vas=am*(cos(0)+i#sin(0))5Vbs=am*(eos(-2*pi/3)+i*sin(-2*pi/3Vcs=am*(cos(2*pi/3)+i*sin(2*pi/3))
s2= ( rrp/So ) -fi*xrp ;z3=i*xm;ZZ=(s2+z3)/(zl#32+z2#z3+zl*z3) ;las-Vas-KZZ;modas=abs( las ) ;angas^angle ( las ) ;Ila=modas . ;í«sin( angas+We#t ) ;Ibs=Vbs*ZZ;tnodbs-abs ( Ibs ) :angbs=angle ( Ibs ) ;Iib=modbs. -!-'sin(angbs+We^-fe) ;Icsr-Vcst-ZZ;¡nodcs-abs( les) ;angcs=angle( les) ;Ilc-modcs. -siri( angcs+We#b) ;
- - -modar=abs( larp)angar-angle C
Ibrp=Ibs*ss;modbr-abs( Ibrp) ;angbr=angle(Ibrp) ;I2b=modbr*sin(angbr-rWe*t ) ;Ierp=Ics*ss ;modcr=abs( Icrp) ;angcr-angle ( Icrp) ;I2c=modcr;irsin(angcr+We*t ) ;iqsoe-modas;iqrope=modar ;idrope~0 ;idsoe-0;cor
CIREQUIJi-sqrt(-l) ;am-Vl/sqrt(2);Vas=am*(cos(0)-i-i#sin(0) ) ;Vbs-am'l- ( eos ( -2*pi/3 )+i*sin C -2*pi/3 ) ) ;Vcs=am*(cos(2#pi/3)+i#sin(2#pi/3) ) ;
s2= ( rrp/So ) -J-i*xrp ;s3~i^xm;ZZ=(s2+s3)/(sl*32+z2*z3+zl*s3) ;l.as=Vas*ZZ ;modas=abs( las ) ;angas-angleCIas) ;
Ibs=Vbs*ZZ;modbs=abs ( Ibs ) ;
A6
angbs-angle(Ibs);Ilb=modbs.#sin(angbs+We*t);Ics=Vcs#ZZ;modcs^abs(les);angcs^angle(les);Ilc^modcs.*sin(angcs+We*t);zz=-z3/(z2+z3);Iarp~Ias#zz;modar=abs(larp);angar-angle(Iarp);I2a=modar . #sin(angar+We#t) ;Ibrp~Ibs:i'zs;modbr-abs(Ibrp);angbr^angle(Ibrp);I2b-modbr.*sin(angIcrp=Ics#zz;modcr-abs(Icrp);anger-angle(Icrp);I2c-modcr . *sin( angiqsoe~modas;igrope^modcr;idrope-0;idsoe-0;cor
CONVfuñetion c - conv(a? b)na ~ max(sise(a));nb = max(sise(b));if na > nbif nb > 1 . .a(na-fnb-l) - 0;endc - filter(b, 1, a);elseif na > 1b(na+nb-l) = 0;endc = filter(a,. 1, b) ;end
CORplot (1,11a, '-.g'jT^lb, '.w',1,110, '-r')title{"CORRIENTES EN EJES abe PARA EL ESTATOR')xlabel( 'tiempo [inseg. ] ')ylabelC"Corriente [A]')text(.84,.25,'-.lae','se')text(.84,.20,'. Ibe",'se')text(;S4?.15,'- Ice','se')gridmeta :pause :plot(T,I2a,"-.g',T7I2b3',w',1,120%'-r')titleí'CORRIENTES EN EJES abe PARA EI/ROTOR')xlabel('tiempo [mseg.]')ylabelC"Corriente [A]')text(.84,.25,'-.lar','so') i
A7 |
te:-:t( .84, ,20, ' . Ibr' , 'se')textf. 84, .15,'- Icr','sc')gridmetapause
DAMPfunction [vm, s] = damp(a)[m;n] = size(a);-if (m -- n)r = eig(a);elseif (m -- 1)r = roots(a);elseif (n -- 1)r = a; .elseend . 'wn = abs(r) ;2 = -cos(imag(log(r)));
DATA% Datos intrínsecos de la máquinacíeclgload v.ector;vector;disp('')disp(" PARÁMETROS DE LA MAQUINA')disp( ' • •')disp('')fprintf(" Resistencia de estator - Rs =%-7.4f Q\n\n'rrs)fprintf(' Resistencia de rotor Rr~ =%-7.4f fi\n\n',rrp)fprintf(' Reactancia de estator Xs -%-7.4fiQ\n\n',xs)fprintfC' Reactancia de rotor . • Xr" ~%-7.4fiQ\n\n',xrp)fprintf(' Reactancia de magnetización Xm =
fprintf(' Constante de inercia del rotor Hr =%~7. 4fseg\n\n' ,Hr')fprintf(' Número de polos p -%-4g \n\n',P)fprintf(' Velocidad del rotor nr - %-4grpm\n\n'? nr)fprintf(" Relación de transformador Ns/Nr =%~7.4f \n\n',NrNs)disp('')disp("')pause • •cíe% Datos de parámetros de alimentación ('y de la cargadispC"')disp("')dispC . . CONDICIONES DE LA . SIMULACIÓN')disp(" í ')
A8
fprintf(' Voltaje de alimentación V = %-5.2fVac\n\n',Vl)fprintf(' Frecuencia de alimentación f =%-5.2f Hz\n\n',f)fprintf(' Constante de inercia carga He =%-7.4f ség\n\n',HH}disp('')
DELETdelete rl.matdelete r2.matdelete r3.matdelete vector.mat
DMAQcíedisp('")disp('')disp(' DATOS DEL SISTEMA
disp('')
DV10Tv!0t-[0
0
- (xm*idsoe+:-:rp#idrope)xm*iqsoe-f-xrp*iqrope] ;
DV20Tv20t=[xm#idrope
-xm*iqrope-xm*idsoexm#iqsoe];
FREC%Valor de las frecuencias propias del sistema% N ( s)% K + 1 = 0% D(s)arg=NÜN+DEN;[Wn,Z]=damp(arg);prefre
GKAFICOSecho off% impresión%x/lrpclearwhile 1demo- ["impresa' ;
"resul " ] ;•cíehelp graflistn-input(' OPCIÓN DE IMPRESIÓN : ');if ((n <=0) ¡ ( n > 1))break
A9
enddemo-demo(n,:);eval(demo)clearendcíe
GRAFLISTcíe
IMPRESIÓN DE RESULTADOS
% I 1). FORMAS DE ONDA DE VOLTAJE Y CORRIENTE
% \[ 2) LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES
%
%
0) SALIR
ele
IMPRESAmeta foz^ma!gpp forma/depsd/fprndelete forma.met
IMPRE2Ameta Igr!gpp Igr/depsd/fprn/oldelete Igr.met
INT2STRfunetion s = int2str(n)Ns ~ sprintf('%,0f'?n);
INTRODUCele
ESCUELA
A10
POLITÉCNICA NACIONAL% IIINGENIERÍA ELÉCTRICA% IIELECTRÓNICA Y CONTROL•y II/o
FACULTAD DE
°77o
% IIDE LA MAQUINA DE°/ li/é II
% ICIRCUITO EQUIVALENTE"% II
"PREDICCIÓN DE LA INESTABILIDAD
INDUCCIÓN BASADO EN EL
°/ u
* , •Ing. Milton Toapanta O
Pablo Nájera Dávila |% ||
Agosto 1.994 ||
Dirección
Realización
cíe
ISEMPTYfunetion y = isempty(x)y - ~all(size(x));
JBecho offcíej-1;J=l;b=0;B=0;disp(disp(disp(disp(disp(dispfdisp(disp(pu-input( Rotor jaula o bobinado
All
j/b =? ');if pu— b ¡ pu--B ^cíeIanda2elseif pu~=j ¡ pu==JlandaSe ndcíe
LANDAecho offclearpackclgdatos realescíeseguro=0; s=l ; S=l :n=0 ; N-0 ;rs=0;rrp=0 ;xs=0;xrp=0;xm=0;while segur o==n ¡ segur o-=Ndmaqwhile rs<=0rs=input ( ' Resistencia del Estator "Rs(£2) = ?"');endwhile rrp<~0rrp=input( ' Resistencia del rotor referida al estator
endwhile xs<-0xs=input ( " Reactancia del Estator "Xs (H)~?" ' ) ;endwhile xrp<=0xrp=input( 'Reactancia rotórica referida al estator"Xr- H)=?"'};e ndwhile :<ni<-0xm=input ( " Reactancia de Magnetización "Xin(H}=?"'J;enddispC ' ' )disp( ' ' )disp( ' ' )seguro-input( ' ESTA SEGURO DE LOSDATOS /n=?'};if seguro==n ¡ seguro~-N%rs-0 ; rrp-0 :xs=0;xrp=0 ;xm=0 ;
segro-0 ; n=0 : N=0 ;while seguro=~n ¡ seguro=-NcíedmaqVl-0 : f =0 ; nr-0 ; NrNs=0 ; P=0 ; Hr-0 ; HH=0 ;while Vl<-0 ' ;Vl-input( ' Voltaje de alimentación por fase "V (V)-^" " } •
J 7
endwhile f<~0f~input( ' .Frecuencia de Trabajo "f
A12 !
endwhile nr<~0nr-input(' Velocidad del Rotor "nr (rpm)= '?"')•) iendwhile MrNs<~0NrNs-input ( ' Relación de transformador"Ns/Nr="?');endwhile P<~0P=input ( ' Número de polos "P=?" ' ) ;endwhile Hr<-0Hr-input(' Constante de inercia .del rotor • "Hrf CSPÉT 1 = " ' } -\^ . J — . j 3
endwhile HH<0HH=input ( ' Constante de inercia de la carga Ht(seg. ) =?"'};enddisp( ' ' )disp(")disp(")seguro=input( ' ESTA SEGURO DE LOSDATOS /n=?");i fs e . g ' u r o = = n ¡seguro==N%Vl=0 ; f-0 ; nr-0 ; NrNs=0 : P-0 ; HH-0 ; Hr-0 ; -endendH=Hr+HH;vector-[rs rrp xs xrp xm nr Hr HH P f NrNs VI];save vector
LANDA1echo . of fclearpackclgdatos en pucíeseguro-0 ; s-1 ; S=l ; n-0 ; N=0 ; r s=0 ; rrp=0 ; xs-0 ; xrp=0 ; xm=0 ; V1=0;while seguro==n ¡ seguro==Ndmaqwhile rs<~0rs=input( ' Resistencia del estator "Rs
endwhile rrp<~0rrp-input(' Resistencia del rotor referida al estatorRr'(pu)=?"-); . , jendwhile xs<-0>:s-input(" Reactancia del estator "Xs
end
A13 ¡
while xrp<=0xrp=input(" Reactancia rotórica referida al estator
endwhile xm<=0>:m=input ( " Reactancia de magnetización "Xin(pu)=?"');endwhile Vl<=0Vl~input(" Voltaje de alimentación por fase "V
enddispC " ) •disp( ' " )disp('")seguro~input( ' ESTA SEGURO DE LOSDATOS s/n= ' ) ;if seguro=-n j seguro==N-r s-0 ; rr>p-0 ; xs- 0 ; xrp-0 ; :-on-0 ;endendseguro=0 ; n-0 ; M-0 ;while seguro— n ¡ seguro==Ncíedmag.Vbase-0 ; Zbase-0 : f =0 : nr~0 ; NrNs=0 ; P=0 ; Hr~0 ; HH-0 : Sbase=0
while Vbase<=0Vbase=input( ' VOLTAJE BASE "Vbase =?"');endwhile Sbase<=0Sbase=in?ut( " POTENCIA BASE "Soase =?"');endwhile f<=0f=input( * Frecuencia de Trabajo • "f (Hz)=?"');endwhile nr<=0nr=input(" Velocidad del rotor "nr (rpm)=?'");endwhile NrNs<=0NrNs=input(' Relación de transformación "Ns/Nr=?" ' ) ;endwhile P<^0P-input( ' Número de polos "P =?"');endwhile Hr<-0Hr=input( 'Constante de inercia del rotor"Hr(seg. ) = ?—);endwhile HH<-0HH-input( 'Constante de inercia de la cargaHc(seg)=?" ' ) ;end ;
disp( ' ' )seguro=input( ' ESTA SEGURO DE LOSDATOS /n=?');
A14
seguro==N%Vl=0 ; f =0 ; nr-0 ; NrNs-0 ; P=0 ; HH=0 ; Hr-0 ; Vbase=0 ;Zbase-0 ; Sbase~0 ;end -endZbase=(Vbase*Vbase)/Sbase;V7b=2*pi*60/(P/2);We=2#pi*f ;Lbase-Zbase/We ;
rp#Zbase;rp=xrp#We#Zbase/Wb;Vl=Vl#Vbase;H=Hr+HH;vec"bor-[rs rrp xs xrp xm nr Hr HH P f MrNs VI];save vectorOb
LANDA2pspausecíedatapausecalculoargumclgplot ( Tía?'-.g\T,bí'.v7',T,c,'-r')t it le ( 'VOLTAJE DE ALIMENTACIÓN EN EL ESTATOR')xlabel ( ' tienroo [mseg. ] ' )ylabelf 'Voltaje [V] ' )text( .84, .25, '-.Va" , 'se' )text( .84,, .20, ' . Vb'3'sc')text( .84, . 15, '- Ve', 'se')'gridmeta foz^mapauseclgplot (T, Na, '-.g',T,Nb, ' .w',T,Nc, '-r')tit le ('VOLT AJE EN EL ROTOR')xlabel ( 'tiempo [mseg. ] ' )y label( 'Voltaje [V] ' )text( .84, .25, '-.Vra' , 'se' )text( .84, .20, '. Vrb'7'sc')textf .84, .15, '- Vrc','sc')gridmeta •pauseclg%calculo. de voltaje qdo en el estatorVq=Vl*Sqrt(2)*sin(We*t-We*t+pi/2) ;Vd=Vl*Sqrt ( 2 ) -Ksin( We*t-We*t ) ;Vo=Vl*sqr t ( 2 ) *sin ( We*t-We*t ) ; : •plot(T?Vq: '-.g',T,Vd, '.w'?T,Vo, '-r'} 't it le ( 'VOLTAJE EN EJES qd0 PARA EL ESTATOR')xlabel ( 'tiempo [mseg. ] " )ylabel( 'Voltaje [V]')text( .84, ..25, '-.Vqe' , ' se ' )text( .84, .20, ' . Vde^ , 'se' )
A15
textí.84,.15,'- Voe','sc')gridmetapauseclg%calculo de voltaje qdo en el rotorVqr=So*WrNs*sqrt(2)*Vl*sin(We*t-We*t+pi/2);Vdr=Vl#sqrt(2)#sin(We#t-We#t);Vor=Vl#sqrt(2)*sin(We*t-We*t);plot(T,Vqr; '-.g',T,Vdr; '.w";T?Vor, '-r')title('VOLTAJE EN EJES qd0 PARA EL ROTOR")xlabel('tiempo [mseg,] ')ylabelf'Voltaje [V]')te:-:t(.84,.25,'-.Vqr',"se")text(.84,.20,'. Vdr'?'sc')text(.84,.15,'- Vor',"se')gridmetapausematxrcirequibclg^calculo de la corriente qdo en el estatorIqe=modas*cos(We*t-We*t);
. Ide-imag(abs(lia));Ioe=2/3*(.5.*Ila+.5.*Ilb+.5.*Ilc);plot(T,Iqe, '-.g',T,Ide, '.w",T,loe,'-r')titleC'CORRIENTES EN EJES qd0 PARA EL ESTATOR')xlabel('tiempo [mseg.]')ylabel('Corriente [A]')text(.84,.25,'-.loe','se')te:ct( .84, .20, ' . Ide" , 'se')text(.84,.15,"- loe','se')gridmeta " •pauseclg '%calculo de la corriente qdo en el rotorIqr~modar*cos(Wei;t-We#t) ;Idr=modar*s'in(We*t-We*t) ;Ior=Idr;plot(T,Iqr;'-.g',T,Idr,'.w',T,Ior,"-r")title("CORRIENTES EN EJES qd0 PARA EL.ROTOR')xlabel('tiempo [mseg.]')ylabel( "Corriente [A]')text(.84,.25,'-.Iqr','se')textC.84,.20,'. Idr','se')text(.84,.15,"-gridmetapauseelei^esulbpauseIgr
LANDA3
A16
PSpausecíedatapausecalculoargumc Igplot( T,a,'-.g',T5b,'.w',T,c,'-r')title( 'VOLTAJE DE ALIMENTACIÓN EN EL ESTATOR')xlabel( 'tiempo [mseg. ] ' )ylabel( 'Voltaje [V]')text( .84, .25, '-.Va' , 'se' )text( .84, .20,, ' . Vb', *sc' )text( .84, .15, '- Ve', 'se')gridmeta formapauseclg%calculo de voltaje qd0 en el estatorVg=Vl*sqrt(2)*sin(We*t-We#t+pi/2) ;Vd=Vl#sin(We*t-We*t) ;Vo=Vl*sin(We#t-We*t) ;plot(T,Vq? '-.g',T,Vd, ' .w' ,T,Vo, '-r' )tit le (.'VOLTAJE EH EJES qd0 PARA EL ESTATOR'):-:label( "tiempo [mseg.]')ylabelf 'Voltaje [V] ')text( .34, .25, '~.Vqe' , ' se ' )text( .84, .20, '. Vde','sc')text( .34, . 15, '- Voe','sc')gridmetapause% volt aje qdo en el rotor son ceromatxrcirequij%calculo de la corriente qd0 en el estatorIqe=modas#sin(We*t-We*t+pi/2) ;Ide=modas*sin(We#t-We#t) ;
' Ioe-modas*sin(We*t-We*t) ;plot(T,Iqe, '-.g',T,Ide, ' - W ,T,Ioe, '-r')titleC 'CORRIENTES EN EJES qd0 PARA EL ESTATOR")xlabel( 'tiempo [mseg. ] ' )y label ( 'Corriente [A] ' )text( .84, .25, '-. Iqe' , 'se' )text( .84, .20, ' . Ide' , 'se' )text( .84, .15, '- loe' , 'se' )gridmeta :
pause%calculo de la corriente qd0 en -el rotor
) ;plot(T,Iqr, '-.g',T,Idr, ' . W , T, lor , '-r ' )titlef 'CORRIENTES EN EJES qd© PARA EL ROTOR')xlabel ( 'tiempo [mseg.]')
Al?
ylabelC'Corriente [A]'text( .84,text( .84:text( .84,gridmetapausecíeresuljpauseIgr
.25, '-.Iqr'3
.20, '. Idr',
. 15 , '- lor' ,
'se ' )' se ' )'se ' )
LGRcalculodvietdv20twba[ z , p , k ] =t f 2 zp ( NUN , DEN ) ;1=0;for ii=l:5;if -20<=real(z(ii)) & real( z( ii) )<=20-20<=imag(z(ii)) & imag(z(ii) )<=201=1+1;cl(l)=a(ii);end;e nd;P-—0 -e ^ ?for u=l:5;if -20<-real(p(u)) & real(p(u) )<=20 &-& imag(p(u) )<~20g=g+l;pl(g)-P(u) :end;end;% Presentación en pantallaraizpausefreopausecalculo
clear a b e Vabcs Vqdos Vge Vde Voe I ge Ide loeVabcrp Vqdorpclear Na Nb Nc Vq Vd Vo Iqr Idr lor i2a Í2b i2c fr RX Invx XRclear xs xm xrp We f Wb ns P So nr noscila paso thetathetarotclear v!0t v20t iqrope idrope iqsoe idsoe BB tT Wr VIT vectorhr~real( el ) ;hi-imag( el ) ;gr-real(pl) ; :gi-imag(pl) ; ¡vA-j-max ( abs ( hr ) ) ;qq-max(abs(hi) ) ;ee=max(abs{ gr ) ) ;rr=ma:-: ( abs ( gi ) ) ; l
A18 -;i
v7V7m~min(abs(hr) ) ;qqm=min(abs(hi));eem-min(abs(gr));rrm^min(abs(gi));gf-[ww qq ee rr v?win qqm eem rrm];fg-[ww qq ee rr v?wm qqm eem rrm];gf=max(gf);fg-min(fg);rr-gf-fg;rt=rr#.02¿s=0:rt/500:rt;rl=rlocus(HUN,DEN,s);save rlrt=rt#.2;s-0:rt/500:rt;clear rlr2=rlocus(NÜM,DEN,s);save r2 . .rt=rt*.2:s-0:rt/500:rt;clear r2r3=rlocus(NÜN,DEN,s);save r3clear r3load rlplot(rl,'-g")clear rlload r2hold onplot(r2,'.g")clear r2load r3hold onPlot(r37'.g')clear r3hold onplot(el,'ow')hold onplot(pl,'*w')title"( 'LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES')xlabel('REAL')ylabel('IMAGINARIO')gridtextC-3, .25, "o ZERO','sc')text(.3,.20?'* POLO','se')meta Igrpausedeletclearpack
LISTcíe
'-^*rj 7-;s tf£3^^ ' *
A19
ff=%': v || PREDICCIÓN DE LA INESTABILIDAD'•MAQUINA DE INDUCCIÓN II% f| BASADOEQUIVALENTE ' .
•DE LA
EN EL CIRCUITO
PROGRAMA .
4)
1) AYUDA DE U
CONOCIMIENTO DEL
EMPEZAR SIMULACIÓN
IMPRIMIR GRÁFICO'E
30 Y MANEJO DEL
SISTEMA
9//e,
SALIR DEL PROGRAb
cíe
MATLABecho otff%- x/lrpolearwhile 1cíehelp introducpause ' - .breáke iidmatlab'l'
MATLABl"- - ' •clear'pae'kwhile' 1demol= ['uso
"ayuda "-"sino
• - • • * gT'B.±ÍCOS-'-] ;
help list'disp( """ ).disp('')•disp( ' " )
•if- (Xñ <^0)breakenddemol^demol(n,:);eval(demol)
OPCIÓN DEL -MENGÍ-5 - ¿$*&( n > 4))
A21
s rs —0 fr-t-So#xm-fr#So#xm 0 ~fr#So#xrp rrp] ;
X=[xs 0 xm 00 xs 0 xmxm 0 xrp 00 xm 0 xrp] ;
Invx-inv(X) ;XR=Invx*R;
NARGCHKfunction msg = nargchk( low, high, number )msg = [ ] :i f ( numta e r < 1 o w )msg - 'Not enough input argumenta. ' ;elseif (number > high)msg - 'Too many input argumenta.';end
WUM2STRfunction t = num2str(x)if isstr (x)U — -V j
elset = aprintf ( '%. 4g' ,x) ;end
POLYfunction c - poly(x)n - sise(x) ;C« ~~ "V •"" - - 7
if ~aum(n -- 1)e = eig(x) ;endif max(size(e)) -- 0c = 1;returnende = e ( abs ( e ) ™- inf ) ;11 = max( size ( e ) ) ;c = [1 zeros( 1, n) ] ;for j=l:nc(2:(á+D) = c(2:'(j + l)) - e (ó ) . *c( 1 : j ) ;endif all C imag(x) ==0)c ~ real(c) ;end
PREDICAecho offclsa:\inesta\graphics.comclsa:\inesta\matlab .bat \s
PREDICE
A22
echo offclsb:\inesta\graphics.comclsb:\inesta\matlab.batcls
PREDICOecho offclsC:\inesta\graphics.comclsC:\inesta\pcmatlab.batcls
PREFREcíedisp('')disp('disp('disp('')i=0;for i=l:5;fprintf('fprintf('endpausecíedisp('')disp("disp('dispr ')for i=l:5fprintf('fprintf('end
PScíedisp(disp(disp(dispCdisp(disp(disp(disp(disp(
disp(
disp(PRESIONEdisp('IDE VALORESdisp("\S NATURALES')
frecuencia %lg',i)%-6.6g rad/seg\n\n'3V7n(i) )
FRECUENCIAS DE AMORTIGUAMIENTO')
frecuencia %lg',i)%-6.6g
DESEA IMPRIMIR LOS RESULTADOS
"PRINT SCREEN" LUEGO DE CADA PANTALLA
A23
disp( - i —
PUBOBIcíeclgolearpack ' •disp('Se debe contestar las preguntas tanto de menú,como directas para')disp(' encasillar el tipo de motor que se quieresimular, asi:")help listdisp(")disp(' ' OPCIÓN DEL MENÚ: ') .dispf")disp(' Se escogerá "3" para empezar la simulación')disp(")disp(' . Enter paracontinuar ')pausecíedisp('Los datos para la simulación, podrán ser envalores reales o en por ')disp('unidad, por lo que deberá contestarse lapregunta:")disp(")disp(' " Parámetros en por unidad s/n = "')disp('')disp('"s" o "S" en este caso.")disp(")disp("De las respuestas, el programa por si sólo seenruta a la subrutina")disp('respectiva que realiza la adquisición devalores en las unidades que')disp('se hayan escogido: ideales o por unidad.')disp("')disp('A continuación se realiza otra consultarespecto del tipo de rotor")disp('que se desea analizar:')disp('')disp(' " Hotor jaula o bobinado j/b = " ')disp('')disp('"b" o "B" en este caso.')disp('')disp('A partir de éste momento, se han adquirido losdatos necesarios para ")disp("la simulación de la planta')disp(")disp(' ; Enter paracontinuar") • ipause ' - ;cíedisp("')disp("Ahora deben ingresarse los parámetros de lamáquina según van apare-') ]
A24
disp('ciendo las variables en pantalla asi como lascondiciones de la simu-')dispf'lación y aparecerán los gráficos de losvoltajes de estator y rotor,')disp('las corrientes de estator y de rotor tanto envariables de eje abe a™')dispf'si como en variables del sistema de referenciaarbitrario, además del')disp('Lugar Geométrico de las Raíces. Adicionalmentese presenta los valo-')dispC'res de datos de entrada, resultados de cálculospara voltajes y corrí-')disp('entes graficados, los valores, caracteristicosde la 'función de trans-") ;disp('ferencia, cuadros conteniendo las frecuenciasnaturales y de amorti-')disp('guarniente propias del sistema .')disp(")disp('NOTA: Los valores de salida del programa son envalor real, tanto en ')•';isp( ' las gráficas como en los cálculos entregados alusuario, independiente')disp('del valor de ingreso.')disp(")disp(' . Enter paracontinuar')pauser s=.025:xs=- 1;xm=3.5;rrp-.015;xrp-.1;HH-0;Hr-,1;P=4;nr=1140;NrNs=l;Vl=120;f-60;nr=120*f/P;vector-[rs rrp xs xrp xm nr Hr HH P f MrNs VI];Hr=Hr+.00001;H=HH+Hr;save vectorIanda2
RAÍZcíe/¿presentación- en pantalladisp('')disp('')disp(" CEROS' Y POLOS DE LA FUNCIÓN DETRANSFERENCIA')disp('
. _ . ')dispC")disp('')jj-0;for jj=l:l;fprintf(' cero %lg'?jj), ;
fprintf(' - % 1 0 . 4 g % 1 0 . 4 gi\n\n';real(cl(jj))3imag(cl(jj)))enddisp('')disp('')
A25
for r=l:gfprintf (' polo %lg'ar),fprintfC = % 1 0 . 4 g % 1 0 -. 4 gi\n\n' , real(pl(r) ) , imag(pl(r) ) )end
RESÜLBvector;disp(' Voltajes y corrientes calculados")disp( ' -- " )disp("')fprintf( "Voltaje estator (abe) = %6.2f Vrms %6.2fHs\n\n*,Vl,f )fprintfC 'Voltaje rotor Cabe) - %6.2f Vrms %6.2fHz\n\n" , Vl*NrNs*So, So*f )fprintfC "Voltaje g. estator ' - %6. 2f,\n\n' ,Vl#sqrt(2))fprintfC "Voltaje q rotor . = %6.2f\n\n" ,Vl*NrNs*So*sqrt(2) )fprintfC "Corriente estator (abe) - %6.2fA\n\ ' ?modas#sgrt(2) )fprintfC "Corriente rotor (abe) - %6.2'fA\n\n" 3modar#sgrt(2) )fprintf ( 'Corriente q estator = %6 . 2f\n\ " ?modas*sqrt ( 2 ) )fprintf ( "Corriente r rotor - %6.2f\n\n' ,modar*sqrt ( 2) )
KESULJvector;disp( ' Voltajes y corrientes calculados")disp( ' - : - - - ')disp( " " )fprintf ( "Voltaje estator (abe) . = %-6, 2f Vrms%6.2f Ha\n\n%Vl,f )fprintf ( "Voltaje g estator = %-6.2f\n\n',Vl*sqrt(2)}fpr-intf ( "Corriente estator Cabe ) = %»6. 2f Arms%S , 3f ° \n\ ' , modás/sqrt ( 2 ) 9 angas*180/pi )fprintfC 'Corriente rotor Cabe) = %-6.2f Arms%6 . 3f ° \n\ ' , modar/sqrt ( 2 ) ,, angar*180/pi )fprintfC 'Corriente g_ estator = %-S,2f\n\ ' , modas)fprintf ( 'Corriente q rotor - %~6.2f\n\n"
RJAULAeleclgclearpack . ídisp("")disp('Se debe contestar las preguntas tanto de menú,como directas para" )disp( " encasillar el tipo de motor que se quieresimular, así : ' )help list ;
A26 ;
disp('')disp(' OPCIÓN DEL MENÚ: ')disp(")disp(' Se escogerá "3" para empezar la simulación')dispC")disp(' . Enter paracontinuar ' ) 'pausecíedisp(")disp('Los datos para la simulación podrán ser envalores reales o en por ')disp('unidad, por lo que deberá contestarse lapregunta:' ) - . .disp(")disp(' " Parámetros en por unidad s/n =') ' -disp( " )disp('"n" o "N" en este caso ')disp('')disp('De la respuesta, el programa por si sólo seencamina a la subrutina')disp('respectiva que realiza la adquisición devalores en las unidades que')disp('se hayan escogido: reales o por unidad.')disp(")disp('A continuación se realiza otra consultarespecto del tipo de rotor')disp(' que se desea analizar:')disp('')disp(' " Rotor jaula o bobinado j/b = " ')disp('')disp('"j" o "J" en este caso.')disp('')disp('A partir de este momento, se han adquirido losdatos necesarios para ')disp('la simulación de la planta') .disp('')disp(' Enter paracontinuar')pausecíedisp(")dispC'Ahora deben ingresarse los parámetros de lamáquina según van apare-')dispf'ciendo las variables en pantalla asi como lascondiciones de la simu-')disp('lación y aparecerán los gráficos de losvoltajes de estator y las co-')disp('rrientes de estator y rotor tanto en variablesde eje abe tanto como')disp('en variables del sistema : de referenciaarbitrario; además del Lugar ')disp('Geométrico de las Raices. . Adicionalmente sepresenta los valores de')disp('datos de entrada, resultados de cálculos paravoltajes y corrientes ") !
A27
disp('graficados, los valores característicos de lafunción de transferencia,')disp("cuadros con las frecuencias naturales y deamortiguamiento propias')disp('del sistema.')disp('')disp('NOTA: Los valores de las respuestas tanto engráficas como en cálculos,')dispf'son entregados en valor real, independientedel tipo de valores de ")disp("ingreso')disp("')disp( ")disp(' . Enter paracontinuar')pausers=.025:xs~.1;xm=3.5;rrp=.015;xrp-,1;HH-0;Hr=.1;P=4;nr=1140;ÑrNs=l;Vl=120;f=45;nr=.9#120*f/P;vector~[rs rrp xs xrp xm nr Hr HH P f NrNs VI];save vector;Hr-Hr-f. 00001;H-HH+Hr;laridaS
RLOCUS-function r = rlocus(a?b7c?d,k)if (nargin ==3)k " c;[a?b,c?d] ~ tf2ss(a,b);elseerror(nargchk(5.5,nargin));error(abcdchk(a,b,c,d));if min(size(c)) > 1error("The C matrix must be single output,")endif min(si3e(b)) > 1error('The B matrix must be single input.")endend[ns,nu] = sise(b); . .nk ~ length(k);r = sqrt(-l) * onesfns,nk);k =. k./(l+k*d);b = b*c; i = 0:for ki ki - i + 1;r(:,i) = eig(a-b-Hki) ; ;end 'tr = r - '; ;
HOOTSfunction r = roots(c)n = size(c);if ~sum(n <- 1) .error('Must be a vector')
A28 :
endn = max(n) ;c = c(:).';inz ~ find(abs(c));nnz - max(sise(inz));if nnz ~~ 0c = c (inz(1):ins(nnz));r = zeros(n-inz(nns) , 1) ;endn - max(size(c));a = diag(ones(1,n-2),-1);if n > 1a(l,:) = -c(2:n) ./ c(l);endr = [r;eig(a)];
SINOecho off • -cíeclearpacks=l;S=l;n=0;N=0;disp('')disp('')dispf")disp('')disp('')disp('')dispC")disp(")disp(")disp(")disp('') -disp('')dispC")disp(")disp("')dispC'')disp('')disp(")p-u=input( " Parámetros enpor unidad s/n= ' )•;if pu~~s ¡ pu--Scíelandal-elseif pu-=n ¡ pu~=Nlandaendcíe
SS2ZPfunction [z,p,k] = ss2sp(a3b? c, d, iu.) |error(nargchk(5,5,nargin)); :
error(abcdchk(a,b,c,d));b - b(:;iu);d = d(:,iu);p - eig(a); • i
A29
[no?ns] - size(c);z = zeros(ns,no) + inf;for i=l:nosi = [a b;c(i,:) d(i)];s2 = diag([ones(l,ns) 0]);zv - eig(sl,s2);zv - zv(~isnan(zv) & finite(zv));if ~isempty(zv)z(l:length(zv),i) - zv;endendk - d; CAn - c; iter - 0;while any(k==0)i = find(k==0);if iter > ns .k(i) = zeros(max(size(i)),1);breakenditer = iter + 1;markov = CAn*b;k(i) - markov(i);CAn = CAn*a;end
TF2SS .funetion [a,b,c,d] - tf2ss(num; den)Lmnum3nrmm] = sise(num);[mden,n] = size(den);inz ~ find(den "•=• 0);den - den(ina(l):n);[mden.n] = size(den);if nnum > nerror ( 'bJumerator cannot be higherdenominator.')endnum = [ze ro s(mnum,n—nnum) num]./den(1);d = num(:,1);if n == 1a = [];b = [];c = [];returnendden - den(2:n) ./ den(l);a - [-den; eye(n-2,n—1)];b - eye(n-l,1);c - num(:,2:n) - num(:,1) * den;
TF2ZPfunction [zrpsk] = tf2zp(num,den)[a,b,c?d] = tf 2ss(nuni, den) ;[a,p,kj - ss2zp(.a3b3c,d, 1) ;
USOcíedisp('')disp(^CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA') ¡
order than
A30 i
disp('')disp('El formato del programa corresponde al uso demenús, que deberán ser')disp('contestados según los requerimientos que setengan con un número o')disp('con una letra y para tener una confirmaciónde la orden debe presio-')disp('narse adicionalmente la tecla "Enter", con loque el programa .empieza a' )disp("ejecutar las ordenes . del programasecuencialmente. Los datos de las ')disp('variables pueden ser de valor real o en porunidad para lo que en tal')disp('caso se necesitará de los valores base denormalización. Los datos que')disp('se requieren para utilizar el programa son:')disp('')disp('- resistencia de estator
Rs' )disp('- resistencia de rotor referida al estator
Rr" )disp('- reactancia de estator
Xls')dispC'- reactancia del rotor referida al estator
Xlr^')disp("- reactancia de magnetización
Xm' )disp('- voltaje de alimentación rms fase neutro
VI')disp('- frecuencia de trabajo correspondiente al ')disp(' voltaje de alimentación
f)disp('- velocidad del rotor
nr' )disp('- relación de transformación entre ')disp(' estator y rotor
NrNs')disp(")disp(' . Enter para continuar')pausecíedisp(") .disp('- número de polos
P')dispC'- constante de inercia del rotor
Hr ' )disp('- constante de inercia de la carga
He' )disp( " )dispC'Complementariamente, para los valores en porunidad las bases son: ') :disp("voltaje base •
Vb") ;disp('potencia aparente base
Sb' )disp('frecuencia de normalización
fb') ;
A31
disp('')disp('Para el presente trabajo se ha reemplazadofb = 60Hz por el tipo de')disp('uso que se espera del programa.')disp('Los resultados parciales como datos, gráficos ycálculos se logran impri-')disp('mir presionando la tecla "Print Screen" encualquier instante de la eje-')disp('cución del programa. La configuración de laimpresión esta realizada de ')disp('acuerdo a las características de lasimpresoras Epson, para otro tipo de ')disp('impresora, deberá configurarase para dichaimpresora; según puede con-')disp('sultarse ' en el manual de uso del softwarePC-MATLAB.')disp('')disp(" . . Enter para continuar') .pausecíedisp(")disp('Cada vez que corre el programa, se almacenanlos gráficos de las formas')disp('de onda y del Lugar Geométrico de las Raícesen archivos ".met" por lo')disp('que al hacer una impresión" final se recuperarátodos los gráficos estu-')disp('diados hasta ese instante, bajo cola deimpresión, por tanto de no ser')disp('el caso, deberá borrarse previamente losarchivos ".met" y realizar la ')disp('corrida deseada y proceder a la impresión.')disp( ""}disp('La opción de impresión de gráficos - que constaen éste trabajo, se la ha ')disp('definido como de alta resolución y los archivosexteriores de impresión ')disp('tienen extensión ".bat".')disp('')disp('Los archivos generados por el programa tanto deextensión "_mat" y los ')disp('".met", serán borrados cuando se realice laimpresión, de no ser el caso')disp('la siguiente sesión de trabajo los colocará acontinuación de los exis-')disp('tentes por lo que se los debe borrar si no seva a utilizar dichos datos.')disp(")disp(' Enter para continuar')pause
VECTOR :load vector;rs-vector(1);rrp=vector' (2) ;xs=vector(3);xrp-vector(4);
A32
xm-vector (5) ;nr-vector ( 6) ;Kr-vector (7) ;HH=vector(8) ;P=vector(9) ;f -vector ( 10 ) ;HrNs=vector ( 11) ;Vl-vector(12) ;
WBAcíea=[-XR];al=a;b=[-Invx*vl0t; [0]] ;c=[(l/(Wb#2#H))*v20t] 'a=[a; [c]] ;a=[a [b]];%Calculo de 1 numerador
1-poly(al) ; - Ia0=[l 0] ; !a2=conv(a21, a0 ) ;N U N - [ N l ] - [ a 2 ] ; .%Calculo del denominadordenl=[r-XR] ;den2=[l 0];DSNl-poly (denl) ;•DEN=conv ( DEN1 , den2 ) ;
WWYYWu=sqrt ( VI " 2* ( rs+rrp ) /( 2#H*We " 2* ( rrp*Wb* ( xs+xrp )))-((rs+rrp)"2/( xs+xrp) "2) ) :Yu-sqrt (rrp/( rs+rrp )-Wu" 2) ;Yl=sqrt(Vl"2/(We"2*(xs+xrp)*4*H*Wb) ) ;Wl=Yl*sqrt( ( (rs+rrp) <%2+Yl"2*(xs+xrp)'%2)/Crrp"2+Yl"2*Cxs+xrp) "2) ) ;wb=Wu-WÍ; • .snl=-0. 5* (l/Wu)*(Vl"2*( rs+rrp) )/(2*H"2*We"2*rrp*V/b*(xs+xrp) ) ;sn2=~0.5*(l/'Wl)*( ( (xs+xrp)*Vl~2*rs*(rs+2*rrp) )/(We"2*4*HA2*Wb) )/(rrp"2+(Vl"2*Cxs+xrp)"2)/(We"2*4*H*Wb) ) ;sns=snl+sn2 ;Sh=H*sns/wb;wb;Sh;
ANEXO B
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