esercitazioni di algebra e geometria · a+a, b+(b+b) e (b+c)+c. a) a+b: l’operazione non è...
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1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercitazioni di Algebra e Geometria
Anno Accademico 2011 ndash 2012
Dottssa Elisa Pelizzari
e-mail elisapeliliberoit
presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti)
Esercitazioni lunedigrave 1430 ndash 1630
venerdigrave 1430 ndash 1630
Ricevimento studenti venerdigrave 1300 ndash 1400
2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Matrice
Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave
una lsquotabellarsquo con m righe n colonne
i cui elementi detti entrate appartengono al
campo K Esempi di campi sono
Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali
C il campo dei numeri complessi
Esempio minus3 0 2 4 radic2
egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali
3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente
= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave
= 13helliphellip
dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione
(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Matrice
Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave
una lsquotabellarsquo con m righe n colonne
i cui elementi detti entrate appartengono al
campo K Esempi di campi sono
Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali
C il campo dei numeri complessi
Esempio minus3 0 2 4 radic2
egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali
3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente
= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave
= 13helliphellip
dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione
(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente
= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13
Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave
= 13helliphellip
dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione
(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2
= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯
con isin R e gli indici = 12 e $ = 123
Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo
stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate
razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate
reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate
complesse
Casi particolari
a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K
= ⋮ isin Km1
c) = si ottengono matrici quadrate di
dimensioni times a coefficienti in K Il
numero n egrave detto ordine della matrice quadrata
=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012
3 isin Knn
ma di solito tale insieme si indica Mn(K)
Ovviamente = = 1 egrave una matrice con
unrsquounica entrata 4 = 5
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15
egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali
=-
minus2minus1lt30 1
23 isin R51
egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali
=
-
0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1
gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2
minus 0 4 minusradic5 1 0 1
2223 isin M6(R)
egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita
Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K
Osservazioni
1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
numero di righe e lo stesso numero di colonne
2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle
oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn
O+A=A+O=A
Esercizio Date le seguenti matrici
Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice
somma egrave
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip
d) A+A lrsquooperazione egrave definita
e) B+(B+B) le operazioni sono definite
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
f) (B+C)+C le operazioni sono definite
Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice
egrave possibile calcolare
e cosigrave via
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Possiamo generalizzare e definire
Il prodotto tra uno scalare e una matrice
Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare
Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita
Esempio
Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esercizi da svolgere
Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra
matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice
colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento
di K cosigrave definito
Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
mentre
non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B
Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio Date
il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave
Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il
prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui
elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B
Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero
delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B
2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32
e B matrice di
R21
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21
e B matrice
di R12
Esempi
Calcolare se possibile AC CA CH e HC
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
18 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire
ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2
b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile
calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave
definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j
allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)
In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di
ordine n su K ed egrave detta matrice
identica
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
19 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Esempio
Esercizio da svolgere Date le matrici
determinare quando possibile AB BA CD DC A2
BC BD A2
ndash I3 A(A2-3B)
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
20 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse
entrate in K date
A=B se e solo se
1) m=p 2) n=q
3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn
Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano
queste ldquooperazionirdquo
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
21 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Somma di matrici
Per ogni isin Kmn valgono le seguenti
proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +
Dimostrazionehellip
2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro
Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente
Da dimostrare
3) Esistenza dellrsquoopposto
Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij
allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento
- aij
Da dimostrare
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
22 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo
quindi (Kmn +) egrave un gruppo
4) Proprietagrave commutativa + = +
Da dimostrare
Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo
commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
23 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto di uno scalare per una matrice
Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono
le seguenti proprietagrave
1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
24 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Prodotto tra matrici
1) Proprietagrave associativa
Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)
2) Proprietagrave distributive
Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)
Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro
Siano isin Kpm e GH isin Kpp
IJK = K (da dimostrare)
Siano isin Kpm e G isin Kmm
KIL = K (da dimostrare)
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
25 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile
garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della
matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale
che C G C
Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo
ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo
Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale
la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto
eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
26 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
La matrice trasposta
Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si
definisce trasposta di K la si indica con KN O
oppure P una matrice di Knm di entrate aji
Per esteso
Con notazione sintetica
t
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi
27 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012
Per costruire la matrice trasposta trascrivo la
i-esima riga di nella i-esima colonna di O
(scambio le righe con le colonne) o viceversa
Esempi